Treliças_alturaconstanteAulasPLE (1)

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5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
Teoria das Estruturas I 
Profs Ricardo Silveira e Marcilio Freitas 
DECIV/EM/UFOP 
SUMÁRIO 
5.1. Aplicações 
5.2. Tipos 
5.3. Definição 
5.4. Considerações de Projeto 
5.5. Classificação 
5.6. Grau de Indeterminação 
5.7. Estabilidade 
5.8. Observações Importantes 
5.9. Análise e Métodos de Resolução 
5.10. Treliças Compostas 
5.11. Treliças de Altura Constante 
5. Treliças Isostáticas 
Tipos: 
Análise: VIGA DE SUBSTITUIÇÃO 
5.12. TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE 
Treliça com duas diagonais por painel 
(Vigas Hässler) 
A 
A’ 
C D E F G 
B 
B’ C’ O1 O2 O3 
U1 U2 U3 
2t 2t 2t 2t 2t 
V3 
V0
i 
V0
s V1
s 
V2
s 
V1
i 
V2
i 
D1
s 
D1
i 
D2
s 
D2
i 
D3
s 
D3
i 
Treliça com uma 
diagonal por painel 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 
V7 D2 D1 D3 
VA VB 
S1 
S1 
S2 
S2 
O1 O2 O3 
h 
A B C 
D E F G H 
I J K 
U1 U2 
U3 
1. Treliça com uma diagonal por painel 
Análise 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 D2 D1 D3 
VA VB 
S1 
S1 S2 
S2 
O1 O2 O3 
h 
A B C 
D E F G H 
I J K 
Idéia básica: Viga de Substituição 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
VA VB 
d e f g h i j k 
a. Barras Horizontais (inferiores e superiores) 
b. Barras Diagonais 
c. Barras Verticais 
U1 U2 
U3 
a1. Barras Horizontais (inferior - Under) 
Avaliação de U3: 
         
       
 G A 1 2 3 3
A 1 2 3
3
M = 0 ⇒ V 3d - P 3d - P 2d - P d - U h = 0 ∴
V 3d -P 3d -P 2d -P d
U =
h
Portanto: 
g
3
M
U = +
h
Sinal: mesmo do momento 
Momento fletor na seção g (Viga de Substituição):        g A 1 2 3M = V 3d -P 3d -P 2d -P d
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
VA VB 
d e f g h i j k 
d 
P1 P2 P3 
VA 
S1 
S1 
U3 
h 
A 
D E 
F’ 
G 
d d 
D3 
O3 
j 
F 
a2. Barras Horizontais (superior - Over) 
Avaliação de O3: 
       
     
 F' A 1 2 3
A 1 2
3
M = 0 ⇒ V 2d - P 2d -P d + O h = 0 ∴
V 2d -P 2d -P d
O = -
h
Portanto: f
3
M
O = -
h
Sinal: oposto ao do momento 
Momento fletor na seção f (Viga de Substituição): 
     f A 1 2M = V 2d -P 2d -P d
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
VA VB 
d e f g h i j k 
d 
P1 P2 P3 
VA 
S1 
S1 
U3 
h 
A 
D E 
F’ 
G 
d d 
D3 
O3 
j 
F 
b. Barras Diagonais 
Avaliação de D3:  A 1 2 3Y A 1 2 3 3 3
V -P -P -P
F =0⇒V -P -P -P +D senφ=0 ∴ D =-
senφ
Portanto: 
f -g
3
Q
D = -
senφ
Caso Geral: trecho interceptado
1
D Q
sen

j
Sinal: estudar cada caso 
d 
P1 P2 P3 
VA 
S1 
S1 
U3 
h 
A 
D E 
F’ 
G 
d d 
D3 
O3 
j 
F 
Esforço cortante no trecho f-g 
(Viga de Substituição): 
f -g A 1 2 3Q = V -P -P -P
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
VA VB 
d e f g h i j k 
c. Barras Verticais 
Avaliação de V3:  Y' A 1 3 4 32
3 A 1 2 3 4
F = 0 ⇒ V - P - P - P - P - V = 0 ∴
V = V -P -P -P -P
Portanto: 
3 g-hV = Q
Caso Geral: trecho interceptadoV Q
Sinal: estudar cada caso 
P1 P2 P3 
VA 
S2 
V3 
A 
D E 
F’ 
G F 
P4 
H 
S2 
Esforço cortante no trecho g-h (Viga de Substituição): g-h A 1 2 3 4Q = V -P -P -P -P
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
VA VB 
d e f g h i j k 
Observação: casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter 
 (caso de interceptar mais, ou menos, de três barras). 
Solução: Método do equilíbrio dos nós 
V0 = VA (compressão) 
 
V2 = P3 (compressão) 
 
V5 = VB (compressão) 
 
V7 = P8 (compressão) 
No caso: 
VA 
A 
F 
B 
K 
V0 = VA 
V2 = P3 
P3 V5 = VB 
VB V7 = P8 
P8 
c. Outras Barras Verticais 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 D2 D1 D3 
VA VB 
S1 
S1 S2 
S2 
O1 O2 O3 
h 
A B C 
D E F G H 
I J K 
Aplicação 
Problema 1: Determine o esforço normal de cada membro da treliça 
 (altura constante e uma diagonal por painel) mostrada 
 na figura abaixo. A treliça é carregada superiormente. 
3 m 3 m 3 m 3 m 
h = 3 m 
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
Solução: Viga de substituição 
Fórmulas: 
erceptadointtrechoQV 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
5 t 5 t 
9 mt 9 mt 
12 mt 
 3 t 3 t 
1 t 
1 t 
1 t 1 t 
3 t 3 t 
+ 
 - 
DMF 
DEC 
3 m 3 m 3 m 3 m 
h = 3 m 
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
Solução: Viga de substituição 
3 m 3 m 3 m 3 m 
h = 3 m 
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
Fórmulas: 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

erceptadointtrechoQV 
Barras O 
 
O1 = - Mc/h = 0 t ; O2 = - Md/h = - 3,0 t 
O3 = - Mf/h = - 3,0 t ; O4 = - Mg/h = 0 t 
 
Barras U 
 
U1 = Md/h = 3,0 t ; U2 = Me/h = 4,0 t 
U3 = Me/h = 4,0 t ; U4 = Mf/h = 3,0 t 
Solução: Viga de substituição 
3 m 3 m 3 m 3 m 
h = 3 m 
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
Fórmulas: 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

erceptadointtrechoQV 
Solução: Viga de substituição 
3 m 3 m 3 m 3 m 
h = 3 m 
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
Fórmulas: 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

erceptadointtrechoQV 
Solução: Viga de substituição 
3 m 3 m 3 m 3 m 
h = 3 m 
2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 
Fórmulas: 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

erceptadointtrechoQV 
Problema 2: Obter os esforços normais para as barras da treliça-marquise da 
figura a seguir. 
4 m 4 m 4 m 4 m 
h = 3 m 
A 
A 
B C D E 
V1 
U1 U2 U3 U4 
O4 O3 O2 O1 
V2 
V3 V4 D4 
D3 
D2 
D1 
S1 
S1 
S2 
S2 
3t 3t 3t 3t 
j 
Solução: Viga de substituição 
Fórmulas: 
erceptadointtrechoQV 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
Problema 3: A figura abaixo representa uma treliça de altura constante, estando 
faltando as diagonais (uma em cada painel). 
 Pede-se: 
a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado, 
trabalhem todas a tração; 
b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal 
atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o 
valor de 8 tf; 
c. Para este valor de h, achar os esforços normais nas barras. 
Solução: Viga de substituição 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
Fórmulas: 
erceptadointtrechoQV 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j

Solução: Viga de substituição 
vigasub
i
M
U
h
 
vigasub
i
M
O
h
 
Fórmulas: 
erceptadointtrechoQV 
erceptadointtrechoQ
sen
1
D
j
