01-Proposições Matemáticas, Conectivos e Condicionais

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Proposições Matemáticas, Conectivos
e Condicionais
hamamos de proposição toda oração declarativa que pode ser 
classificada como verdadeira ou falsa. Sendo assim, uma 
proposição:
• Possui sujeito e predicado;
• Não é uma oração interrogativa ou exclamativa.
Além disto, toda proposição satisfaz os seguintes princípios:
• Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
• Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou é 
falsa, não há uma terceira possibilidade.
 
São exemplos de proposições:
• Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil.
• Onze é maior do que sete. (11>7)
• Buenos Aires é a capital do Brasil.
E não são proposições:
• X elevado ao quadrado mais um. (x2+1)
• O número Pi é um número irracional?
• O dobro de um número somado com dois é igual a doze (2x+2=12)
 
Na primeira temos que a sentença não possui um predicado, a segunda é 
uma oração interrogativa, e na terceira não temos como classificar a 
sentença como verdadeira ou falsa, pois depende do valor de x.
 
A partir de uma proposição p podemos construir uma nova proposição, 
chamada de negação de p, denotada por ~p, cujo valor lógico é sempre 
o oposto da proposição original p.
Exemplos de negação:
 
 p: Buenos Aires é a capital do Brasil. (Falso)
~p: Buenos Aires não é a capital do Brasil. (Verdadeiro)
 
 p: Cinco vezes sete é igual a trinta e cinco (7⋅5=35) (Verdadeiro)
~p: Cinco vezes sete é diferente de trinca e cinco (7⋅5≠35) (Falso)
 
 p: Sete é um número inteiro (7∈ Z). (Verdadeiro)
~p: Sete não é um número inteiro (7∉ Z) (Falso)
 
Conectivos são símbolos lógicos utilizados para gerar novas proposições 
a partir de uma proposição inicial. 
 
Conectivo de conjunção: ∧ (lê-se “e”)
 
Exemplo:
 p: O número 7 é primo.
 q: O número 2 é par.
p ∧ q: O número 7 é primo e o número 2 é par.
 
 p: 5>7
 q: 5≠2
p ∧ q: 5>7 e 5≠2.
 
Uma conjunção p ∧ q é verdadeira somente se p e q são ambas 
verdadeiras. Se pelo menos uma destas sentenças possuem o valor 
lógico como falso, então a conjunção é falsa. Com isto, a conjunção do 
primeiro exemplo é verdadeira, enquanto a do segundo exemplo, é falsa.
 
Conectivo de disjunção: ∨ (lê-se “ou”)
 
Exemplo:
 p: 2 é um número primo.
 q: 2 é um número composto.
p ∨ q: 2 é um número primo ou um número composto.
 
 p: 10 é um número ímpar.
 q: 4 é um número primo.
p ∨ q: 10 é um número ímpar ou 4 é um número primo.
Uma disjunção p ∨ q só será falsa se ambas as proposições p e q forem 
falsas. Se pelo menos uma delas for verdadeira, então o valor lógico da 
disjunção é verdadeiro. No exemplo anterior, temos que a primeira 
disjunção é verdadeira, enquanto a segunda disjunção é falsa. 
 
Existe outro modo de gerar novas proposições a partir de duas 
proposições iniciais, utilizando os símbolos lógicos condicionais.
 
Condicional → (lê-se: “se p, então q”)
Exemplo:
 p: Cinco é divisor de vinte (5|20)
 q: Vinte é divisor de 100 (20|100)
p q: Se cinco é divisor de vinte, então vinte é divisor de 100 
(5|20→20|100)
 
 p: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida.
 q: Todo quadrilátero é um paralelogramo.
p q: Se um quadrado possui todos os lados com a mesma medida, então 
todo quadrilátero é um paralelogramo.
 
A condicional p q terá o valor lógico como sendo falso somente quando p 
é uma proposição verdadeira e q é uma proposição falsa. Do contrário, a 
condicional será verdadeira. No exemplo anterior, a primeira condicional é 
verdadeira, e a segunda, falsa.
 
Condicional (lê-se: “p, se e somente se, q”)
 p: Cinco é divisor de vinte (5|20)
 q: Vinte é divisor de 100 (20|100)
p q: Cinco é divisor de vinte, se e somente se, vinte é divisor de 100. 
 (5|20↔20|100)
 
 p: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida.
 q: Todo quadrilátero é um paralelogramo.
p ↔ q: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida, se e 
somente se, todo quadrilátero é um paralelogramo.
 
A condicional p ↔ q será verdadeira se p e q tiverem o mesmo valor 
lógico, isto é, ou p e q são ambas verdadeiras, ou ambas falsas. Se p e q 
tiverem valores lógicos distintos, então a condicional será falsa. No 
exemplo anterior, a primeira condicional é verdadeira, enquanto a 
segunda é falsa.
 
Podemos resumir as relações de valores lógicos na seguinte tabela:
 
 
 
Atividade Extra
Leitura do Capítulo 1 do livro Introdução à Lógica, de Irving M. Copi.
 
 
Referência Bibliográfica
Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, 
1: Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013.
 COPI, Irwing M. Introdução à lógica. Editora Mestre Jou. São Paulo, 2001
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel. 
São Paulo, 2002.
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