Geometria Analitica UERJ FEN - 2015

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Um Curso de Geometria anaĺıtica
Alexandre Teixeira Béhague
Sumário
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Operações com números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Aplicações e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Polinômios e sistemas de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana . . . . . . . 11
3 G.A. parte 2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Soma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Produto de número real por vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Soma de ponto com vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Dependência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Bases e coordenadas de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Mudança de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8 Orientações no espaço R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 G.A. parte 2 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1 Mudança de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Funções e o Método cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 G.A. parte 2 Estudo de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1 Equações de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Equações de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Interseções de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Posições relativas entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Perpendicularidade e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6 Ângulos em retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 O conceito de distância através de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 G.A. parte 2 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1
Sumário Sumário
7 Movimentos ŕıgidos de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1 Translação sem rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Rotação sem translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3 Translação seguida de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8 G.A. parte 2 Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Elipsóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3 Hiperbolóides de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.4 Hiperbolóides de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.5 Parabolóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.6 Parabolóides hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.7 Quádricas ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8 Quádricas cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Uma idéia matemática abstrata, sem contato com a intuição e a natureza, é freqüentemente
vista como uma �curiosidade matemática� e desprezada pelo ceticismo daqueles que valorizam
somente a prática, a aplicação.
Ocorre que a história registra inúmeros exemplos de �idéias curiosas�, desenvolvidas por
matemáticos despreocupados com a praticidade, e que se mostraram indispensáveis em
trabalhos de outros profissionais.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 2 Geometria anaĺıtica
Sumário Sumário
Observações para o aluno
◦ Geometria anaĺıtica não se faz com desenhos, é uma matemática que analisa questões
geométricas através de equações numéricas e, portanto, faz uso da Aritmética e da
Álgebra.
É matéria dif́ıcil que exige muita dedicação e interesse. O texto disponibilizado aqui
tem por objetivo resumir as partes centrais e os principais fatos dessa matéria, e mesmo
assim trata-se de um texto bem longo, pois equivale a um livro com 220 páginas.
◦ Esse texto é completado com comentários sobre sutilezas da teoria feitos durante as
aulas. Com regularidade, essas sutilezas são exploradas nas provas, logo a ausência em
uma determinada aula pode custar caro.
◦ O texto apresenta um bom número de exemplos e exerćıcios, sendo que esses são
resolvidos em sala de aula.
◦ Serão feitos duas provas e o critério de avaliação para essa matéria é o definido pelo
regimento interno da UERJ, média M :=
P1 + P2
2
≥ 7 aprova; se 4 ≤ M < 7, faz prova
final e é aprovado se conseguir média final Mf :=
M + Pf
2
≥ 5, isto é, Pf ≥ 10−M .
Em cada um dos exames, o aluno deverá usar somente duas folhas de papel para
elaborar suas respostas.
◦ Não são feitas provas de reposição/substitutiva, a não ser nos casos indicados pelo
regimento interno dessa universidade.
Fonte bibliográfica
◦ O único livro indicado para tópicos dessa matéria é Geometria Anaĺıtica, um
tratamento vetorial, Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo, Pearson Prentice Hall.
Estude os exemplos e exerćıcios. Havendo dúvida, procure o professor fora do horário
de aulas.
◦Os alunos MAT, FEN e FIS devem dominar os fundamentos de aritmética ’1’, mas de-
vido à péssima (nula) formação teórica no ensino fundamental/médio, torna-se necessária
a leitura de algum livro de Aritmética, ou Álgebra elementar. A biblioteca do IME
disponibiliza vários.
1 É o mais elementar e mais antigo ramo da Matemática. É a ciência matemática que se preocupa com
os números e as operações que com eles se pode fazer.
”A Aritmética é a base de toda a Matemática, pura ou aplicada. É a mais útil das ciências e provavel-
mente não existe nenhum outro ramo do conhecimento humano tão espalhado entre as massas”(Tobias
Dantzig (1884-1956), matemático da Letónia)
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 3 Geometria anaĺıtica
Sumário Sumário
Introdução
A esmagadora maioria da população mundial não sabe que ciência é
conhecimento exato e racional de coisa determinada,
é sistema de conhecimentos com um objeto determinado e um método próprio.
Matemática é a ciência exata por excelência, se ocupando de idéias e estabelecendo
resultados demonstrados rigorosamente. Muitas pessoas acham que Geometria é a parte
da Matemática que se ocupa com desenhos, triângulos, ćırculos, etc., Geometria é muito
mais do que isso, é uma ciência exata com nomenclatura e procedimentos próprios, que
se subdivide em vários ramos teóricos, de acordo com o objeto de estudo. Existem, entre
outras:
Geometria de Lobatchevski-Bolyai
Geometria de Riemann
Teoria geométrica da folheações
Sistemas dinâmicos
Topologia diferencial
Topologia algébrica
Análise em uma ou várias variáveis, reais ou complexas
Teoria de grupos
Cálculo diferencial e integral
Álgebra elementar e vetorial
Geometria diferencial
Topologia geral
Geometria riemanniana
Geometria euclidiana
Geometria descritiva
Geometria projetiva
Geometria analítica
Esse texto de
aulas é
fornecido em
caráter pessoalao aluno
inscrito em
Geometria
anaĺıtica e
Cálculo
Vetorial I,
IME03-01913,
UERJ.
O autor não
autoriza sua
transferência a
terceiros, nem
a divulgação
na Internet de
parte ou da
integra desse
texto
Coube a René Descartes ’2’ introduzir o procedimento de associação de equações aos
entes geométricos, o chamado método cartesiano, e fundar a Geometria anaĺıtica.
Mais tarde, Gottfried Wilhelm Leibniz ’3’ em 1684 e Isaac Newton ’4’ em 1687 apresen-
taram os prinćıpios fundamentais do Cálculo Infinitesimal, fazendo forte uso da Geometria
anaĺıtica e do conceito de limite.
2 Matemático e filósofo francês, 1596-1650. Fundador do racionalismo moderno, cŕıtico da ausência de
fundamentos teóricos no ensino de ciências. Publicou Discurso do método em 1637 com ensaios sobre
Óptica geométria e refração, Meteorologia e, o mais importante, sobre como ligar a Geometria (clássica)
ao Cálculo, criando a Geometria anaĺıtica
3 Matemático e filósofo alemão, 1646-1716. Considerado como um dos esṕıritos mais brilhantes do
século 17, contribuiu com as Matemáticas descobrindo, em 1675, os prinćıpios fundamentais do cálculo
infinitesimal. Esta descoberta foi realizada independentemente da de Newton, que inventou seu sistema
de cálculo em 1666. O sistema de Leibinz foi publicado em 1684, o de Newton em 1687, época na
qual o método de notação imaginado por Leibinz, bastante influenciado pelos trabalhos de Descartes, foi
universalmente adotado
4 F́ısico inglês, 1642-1727
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 4 Geometria anaĺıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos
A leitura da parte 1 do texto - caṕıtulos 1 e 2 - é deixada sob responsabilidade do
aluno. O professor se ocupará com a leitura e explicação minuciosas dos fundamentos da
parte 2 - caṕıtulos 3 e seguintes -, bem com a resolução dos exerćıcios propostos.
1.1 Conjuntos
Conjunto é uma coleção de coisas fundamentais, indiviśıveis, minimais (em Geome-
tria são chamados pontos, em Álgebra são elementos), não constitúıdos de nada menor
e que possuem todos uma mesma propriedade matemática, que pode ser numérica (quan-
titativa), ou não numérica (qualitativa). A nomenclatura usual é
’śımbolo do conjunto’ = {’elemento do conjunto’; ’propriedade espećıfica do conjunto’}.
Um subconjunto Y de um dado conjunto X é uma coleção de pontos particulares de
X com uma determinada propriedade comum P, escreve-se
Y = {pontos A ∈ X; A verifica P},
leia ’Y é formado dos pontos A que pertencem a X tais que A verifica a propriedade P’.Esse texto de
aulas é
fornecido em
caráter pessoal
ao aluno
inscrito em
Geometria
anaĺıtica e
Cálculo
Vetorial I,
IME03-01913,
UERJ.
O autor não
autoriza sua
transferência a
terceiros, nem
a divulgação
na Internet de
parte ou da
integra desse
texto
Usa-se a notação Y ⊂ X, leia ’Y está contido em X’, ’Y é subconjunto de X’, para
indicar que cada ponto de Y é também ponto de X.
A idéia de igualdade em Matemática não é tão simples como muitos acham: quando
se diz ’X é igual a Y’, quer-se dizer que todos os pontos do conjunto X são pontos do
conjunto Y, e todos os pontos de Y são também pontos de X. Nesse caso, escrevemos
X = Y. Mas basta um ponto de X não ser ponto de Y, ou um ponto de Y não ser ponto
de X, para que os conjuntos não sejam iguais e então escrevemos X 6= Y.
Com dois conjuntos podemos formar três tipos especiais de conjuntos:
1) A união de X e Y é o conjunto
X∪Y = {pontos A; A ∈ X ou A ∈ Y}.
2) A interseção de X e Y é o conjunto
X∩Y = {pontos A; A ∈ X e A ∈ Y}.
Quando X∩Y = ∅, ou seja, quando X e Y não têm ponto comum, diz-se que X e Y
são disjuntos. Mas cuidado, em Matemática a palavra ou não significa ’ou é P, ou é Q’,
pode ocorrer ’é P e é Q’.
3) O produto cartesiano de X e Y é o conjunto
X×Y = {(x, y); x ∈ X e y ∈ Y}
de pares ordenados, em que os conjuntos X e Y podem ter mesma natureza, ou não, um
pode ser numérico e o outro não numérico.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 5 Geometria anaĺıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos 1.2 Operações com números reais
1.2 Operações com números reais
1) Os números racionais Q = {x
y
; x ∈ Z e y ∈ Z, y 6= 0} reunidos com os números irra-
cionais {a0, a1a2...an... d́ızima não-periódica ; a0, a1, a2, ..., an, ... ∈ Z} formam o conjunto
R dos números reais e nele tem destaque o subconjunto R+ dos números reais positivos,
bem como R− = {−x; x ∈ R+}. As operações sobre R:
1. Adição, a cada (x, y) ∈ R×R se associa a soma x + y;
2. Multiplicação, a cada par (x, y) se associa o produto x.y = xy;
3. Subtração, (x, y) é associado à diferença x− y := x + (−y);
4. Divisão, (x, y), com y 6= 0, é associado ao quociente x
y
:= xy−1.
Observe a diferença entre
1
2
3 =
3
2
e
1
2
1
3
=
1
6
e
1
2
1
3
=
3
1
1
2
=
3
2
.
A adição e a multiplicação se relacionam através das seguintes regras de distribuição:
x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx + zx = xy + xz,∀x, y, z ∈ R.
A equação
x− 3
5
=
7
2
se desenvolve via multiplicação em cruz, isto é, multiplicando-se
ambos membros da equação por
2
7
, logo
x− 3
5
=
7
2
⇒ (traduza essa flecha ’⇒’ como
’implica em’) 2(x− 3) = 35⇒ 2x− 6 = 35⇒ x = 41
2
.
Vale x0 = 0,∀x ∈ R: de fato, x0 + x = x0 + x1 = x(0 + 1) = x1 = x e, somando −x
a ambos os membros da igualdade x0 + x = x, tem-se x0 = 0.
Se xy = 0, então x = 0, ou y = 0: com efeito, se y 6= 0, então xyy−1 = 0y−1 ⇒ x1 =
x = 0. Se, ao contrário, x 6= 0, então xx−1y = x−10 ⇒ 1y = y = 0. Isto significa que o
único divisor de zero em R é o número zero.
Pode-se facilmente estabelecer as regras dos sinais, isto é, x(−y) = −(xy) = (−x)y e
(−x)(−y) = xy: de fato, x(−y) + xy = x(−y + y) = x0 = 0 e, somando −(xy) a ambos
membros da igualdade x(−y) + xy = 0, tem-se x(−y) = −(xy). O mesmo é feito para
(−x)y = −(xy). Por fim (−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(xy)] = xy. Segue, em particular,
que (−1)(−1) = 1.
2) Potenciação. A n-ésima potência de x é o número xn igual a x. x. . . x︸ ︷︷ ︸
n vezes
, sendo
que o número n se chama o expoente de x. Claro que x1 = x.
(x + y)2 é o segunda potência de x + y, é o quadrado de x + y, enquanto que x2 + y2
é a soma do quadrado de x com o quadrado de y. Claro que (x + y)2 = (x + y)(x + y) =
x2 + 2xy + y2 6= x2 + y2.
(x − y)2 é o quadrado da diferença x − y, enquanto que x2 − y2 é a diferença do
quadrado de x pelo quadrado de y. Note que (x− y)2 = (x− y)(x− y) = x2− 2xy + y2 e
x2 − y2 = (x + y)(x− y).
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 6 Geometria anaĺıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos 1.2 Operações com números reais
(2x+3)2 = (2x)2+2(2x)3+32 = 4x2+12x+9. Note que (3x−5)2 = (3x)2−2(3x)5+52 =
9x2− 30x+25 é diferente de (3x)2− 52 = (3x− 5)(3x+5) = (3x)2 +(3x)5− 5(3x)− 25 =
9x2 − 25.
3) Radiciação. A raiz n-ésima de x é o número n
√
x := x
1
n igual a y, no sentido que
yn = ( n
√
x)n = (x
1
n )n = x
n
1
n = x.
Observe que
√
4 = ±2 porque 22 = 4 e (−2)2 = 4. Só se pode assumir
√
4 = 2 quando
uma resposta negativa não é conforme à situação estudada, algo comum quando se opera
distâncias, áreas, volumes que são, por definição, números positivos.
4) A relação de ordem para os números reais. Dados x, y ∈ R, escreve-se x < y (leia
’x é menor do que y’) quando y − x ∈ R+. Também podemos escrever y > x (’y é maior
do que x’). Claro que x > 0 quando x ∈ R+ e x < 0 quando x ∈ R−.
5) O valor absoluto de x ∈ R, módulo de x, é definido por |x| = max{x,−x} ={
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
e possui as seguintes propriedades:
1. |x| ≥ 0 e |x| = 0 se, e somente se, x = 0;
2. |x− y| = |y − x|;
3. |xy| = |x||y|;
4. |x
y
| = |x||y| , para y 6= 0;
5. |x + y| ≤ |x|+ |y|.
Como subproduto da definição, para qualquer x ∈ R, tem-se −x ≤ |x|, x ≤ |x| e
−|x| ≤ x ≤ |x|. Exemplos, | − 4| = 4, | − π + 3| = π − 3 (π: pi, ’p’ latino) |x − 3| ={
x− 3, quando x ≥ 3
−x + 3 quando x < 3
.
Dados númerosreais a, x e r, vale |x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r ’5’. De
fato, |x − a| ≥ x − a e |x − a| ≥ −(x − a), assim |x − a| < r implica x − a < r e
−(x − a)− = a − x < r e então a − r < x < a + r. O racioćınio no sentido inverso
(rećıproca) é verdadeiro e imediato.
Na prática, devido a esse resultado, o módulo permite pensar um intervalo de números
como se fosse um segmento de reta, isto é, a inequação |x− a| < r representa o intervalo
real (a − r, a + r) de todos os números que são simultaneamente maiores do que a − r e
menores do que a + r, isto é, |x− a| < r ⇔ a− r < x < a + r.
( )
a - r a+r
.
ax
.
5 Imagine que P e Q são duas frases. O śımbolo P ⇒ Q é lido ’P implica Q’, e também ’se P, então
Q’. Significa que se vale a frase P, então vale a frase Q.
O śımbolo P ⇔ Q é lido ’P se, e somente se, Q’, indicando que tanto vale a afirmação P ⇒ Q, quanto
a afirmação rećıproca Q ⇒ P
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 7 Geometria anaĺıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos 1.3 Aplicações e funções
Por exemplo, |x− 2| < 1
2
é o intervalo dos números x ∈ R tais que 3
2
< x <
5
2
.
Um propriedade do módulo bastante útil é a desigualdade do triângulo: dados
x, y ∈ R, vale |x + y| ≤ |x|+ |y|.
1.3 Aplicações e funções
Por aplicação entende-se uma regra de associação matemática e dois conjuntos tais
que, a cada ponto de um, faz-se corresponder um ponto do outro. O conjunto onde a regra
é aplicada chama-se domı́nio, o outro conjunto, que contém os resultados da aplicação
da regra, é chamado contra-domı́nio. Em śımbolos, escrevemos
f : X→ Y (leia ’f está definida de X para Y’),
em que f é a regra de associação, X é o domı́nio de f e Y é o contra-domı́nio de f .
A cada x ∈ X, f associa um único y ∈ Y e escrevemos y = f(x) (leia ’y é igual a f de
x’). O ponto y é a imagem de x por f , o valor de f em x. O conjunto imagem de
f é o conjunto
f(X) = {f(x) ∈ Y; x ∈ X} (leia ’f de X’).
O gráfico de f é o conjunto
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ X} ⊂ X×Y
e pode assumir uma infinidade de formas, dependendo da expressão de f .
A pré-imagem de um subconjunto E ⊆ Y por f : X→ Y é o conjunto
f−1(E) = {x ∈ X; f(x) ∈ E} (leia ’f a menos um de E’).
O termo função é reservado exclusivamente para as aplicações que assumem valores
reais ou complexos, ou seja, Y = R ou C = {x + iy; x, y ∈ R e i =
√
−1 }.
Alguns tipos gerais de aplicações:
1. Biuńıvoca: x 6= y ∈ X⇒ f(x) 6= f(y) ∈ f(X).
2. Sobre: dado y ∈ Y, existe (ao menos) um x ∈ X tal que f(x) = y. Assim f(X) = Y.
3. Bijetiva ou correspondência biuńıvoca: a aplicação é biuńıvoca e sobre.
4. Uma distância no conjunto X é uma função d : X×X → R que a cada par x, y
de pontos de X faz corresponder o número d(x, y) chamado a distância de x a y, a
distância entre x e y.
Mais adiante (proposição 4.1) veremos com se calcula explicitamente a distância de
um ponto a outro, e consequentemente a distância de um ponto a uma reta, de ponto a
plano, de um ponto a uma esfera, etc.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 8 Geometria anaĺıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos 1.4 Polinômios e sistemas de equações
1.4 Polinômios e sistemas de equações
Polinômio é uma expressão algébrica em que estão envolvidas as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão, bem como expoentes inteiros positivos.
São polinômios: p(x) =
x3
7
+ (x− 1)2 − 14, q(x) = (x− 3
4
)2 + 5x + 2.
Não são polinômios: r(x) = x2 −√x + 2, s(x) = x2 + sen x.
Uma expressão da forma f(x) = ax+ b é um polinômio do primeiro grau, pois o maior
exponente de x é 1, já uma expressão da forma f(x) = ax2 + bx + c é um polinômio do
segundo grau, visto que o maior exponente de x é 2.
Encontrar uma raiz de f(x) = ax + b equivale à se resolver a equação ax + b = 0.
Assim, a raiz de f(x) = 3x − 2 é obtida de 3x − 2 = 0, ou seja, é x = 2
3
. Isto significa
que f(
2
3
) = 3(
2
3
) + 2 = 0 e que f(x) = 3x− 2 = 3(x− 2
3
).
Encontrar uma raiz de f(x) = ax2 + bx + c consiste em se resolver a equação ax2 +
bx + c = 0, assim as posśıveis ráızes de f(x) = ax2 + bx + c são
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
.
Note que se b2− 4ac > 0, então a equação ax2 + bx+ c = 0 terá duas ráızes reais, uma
é x =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
, a outra é x =
−b−
√
b2 − 4ac
2a
. Se, ao contrário, b2 − 4ac = 0,
então a equação ax2 + bx + c = 0 terá somente uma raiz real, que é x = − b
2a
.
A resolução de f(x) = 3x2 − 4x + 1 é obtida ao se escrever 3x2 − 4x + 1 = 0 e
x =
−(−4)±
√
(−4)2 − 4.3.1
2.3
=
4± 2
6
. As ráızes são x0 = 1 é x1 =
1
3
, portanto,
f(1) = 0, f(
1
3
) = 0 e f(x) = 3x2 − 4x + 1 = 3(x− 1)(x− 1
3
).
Um sistema de equações consiste em um grupo de duas ou mais equações, com uma
ou mais variáveis. Por exemplo,
9x2 − 4y2 − 36 = 0
3x + 2y + 15 = 0
Resolver um sistema de equações significa obter valores para as variáveis, de modo que
ambas equações do sistema sejam simultaneamente satisfeitas.
Existem várias técnicas, mais aqui no curso de Geometria Anaĺıtica e Cálculo Vetorial
se emprega basicamente duas.
1) Somar o membro esquerdo de uma equação com o membro esquerdo da outra, o
que gera o membro esquerdo de uma expressão auxiliar. Somar o membro direiro de
uma equação do sistema com o membro direito da outra, o que gera o membro direito
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 9 Geometria anaĺıtica
1 G.A. parte 1 Fundamentos básicos 1.4 Polinômios e sistemas de equações
da expressão auxiliar. Então, isolar uma das variáveis na expressão auxiliar e substitúı-la
em uma das equações originais do sistema.
2) Isolar de imediato uma das variáveis em uma das equações do sistema, e substitúı-la
em outra equação do sistema.
No caso do sistema exemplo, isole y na equação mais simples e obtenha y =
−3x− 15
2
.
Agora, substitua y por
−3x− 15
2
na outra equação, assim 9x2 − 4(−3x− 15
2
)2 − 36 =
0⇒ 9x2 − 9x2 − 90x− 225− 36 = 0⇒ −90x− 361 = 0⇒ x = −29
10
.
Agora, volte à expressa obtida ao se isolar y, isto é, y =
−3x− 15
2
, e substitua x por
−29
10
. Desse modo, y =
−3x− 15
2
= −3
2
x − 15
2
= −3
2
(−29
10
) − 15
2
= −63
20
. Portanto, a
solução do sistema
9x2 − 4y2 − 36 = 0
3x + 2y + 15 = 0
é x = −29
10
e y = −63
20
.
Como estamos estudando uma matéria de Geometria, onde um dos elementos fun-
damentais é o ponto, dizemos então que o ponto (x, y) = (−29
10
,−63
20
) é a solução do
problema. E como se trata de um problema geométrico, somos obrigados à fazer uma
interpretação geométrica do sistema
9x2 − 4y2 − 36 = 0
3x + 2y + 15 = 0
Ocorre aqui que a hiperbole de equação 9x2 − 4y2 − 36 = 0 é interceptada pela reta
de equação 3x + 2y + 15 = 0 e o resultado é o ponto (−29
10
,−63
20
) !
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 10 Geometria anaĺıtica
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
1) Segmento de reta AB é o conjunto de todos os pontos alinhados (colineares)
com A e B e que estão entre A e B.
A B
..
2) Semi-reta
−→
AB é o conjunto AB ∪ {pontos P ; B está entre P e A}.
. .
A B
É um conjunto com ińıcio, a origem A, e que se estende infinitamente com uma
determinada orientação (direção, indicação de rumo a seguir, sentido).
3) Reta
←→
AB é a reunião
−→
AB ∪ −→BA, conjunto infinito formada de infinitos pontos.
. .
A B
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aulas é
fornecido em
caráter pessoal
ao aluno
inscrito em
Geometria
anaĺıtica e
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Vetorial I,
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texto
Três pontos são colineares se há uma reta que os contém; são não-colineares se não
estão simultaneamente em uma mesma reta.
4) A intersecção de duas retas é um único ponto e determina um plano. Isto é, se
retas r e s têm ponto comum A, escolha B ∈ r, C ∈ s e o plano que contém r es, o plano
que contém A,B e C não-colineares, é a reunião {retas que passam por A e um ponto de
BC} ∪ {retas que passam por B e um ponto de AC} ∪ {retas que passam por C e um
ponto de AB}.
.
.
.C
A B
Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe um único plano Π (pi maiúsculo, ’P’) que
os contém. Duas retas são paralelas quando são coplanares (estão em um mesmo plano)
e disjuntas.
Dois planos são paralelos quando são disjuntos, infinitos planos paralelos determinam
o espaço, muitas vezes denotado pelo śımbolo R3, ou V3.
Dados um plano Π e um ponto P 6∈ Π, existe um único plano Σ (sigma maiúsculo,
’S’) que contém P e é paralelo a Π.
5) Dadas duas semi-retas
−→
AB e
−→
AC, o plano que as contém fica dividido em duas
partes, sendo que a parte convexa é chamada ângulo e denotado por B̂AC.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 11 Geometria anaĺıtica
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
.
.
.
C
A
B
O ponto A é o vértice do ângulo, as semi-retas limitantes são as arestas do ângulo.
A medida de B̂AC é um número, obtido por intermédio do instrumento transferidor,
e que se denota por m(B̂AC) e também por med(B̂AC). Em teoria, a gente escreve
med(B̂AC) = 60o; na prática, e por abuso de linguagem, a gente pode escrever B̂AC =
60o.
Supondo seis pontos em um plano, com os quais se determinam ÂBC e ÊDF medindo
45o, podemos escrever ÂBC = 45o e ÊDF = 45o. Mas não podemos escrever ÂBC =
ÊDF , pois os dois ângulos são conjuntos diferentes.
A
D
B
C
E
F
.
.
45º
.
.
45º
6) Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe uma única reta s que contém P e
é perpendicular a r, isto é, ficam definidos quatro ângulos retos (= 90o) a partir do
vértice A = r ∩ s, e escreve-se r ⊥A s.
.
.
P
A
s
r
Existem infinitas retas em um plano Π que contêm (passam) por um dado P ∈ Π e
diz-se que uma reta r é perpendicular a Π por P (escreve-se r ⊥P Π) se for r perpendicular
a duas quaisquer retas s, t ⊂ Π com s ∩ t = P .
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 12 Geometria anaĺıtica
2 G.A. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
P
reta r perpendicular ao plano
.
s
t
7) A projeção (perpendicular) de uma reta r sobre um plano Π é o conjunto de pontos
A′ ∈ Π tais que ←→AA′ ⊥A′ Π, com A ∈ r.
A
rs
P
.
A’
.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 13 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores
3 G.A. parte 2 Vetores
Quando se desenha AB com uma régua, não faz diferença se o segmento é traçado
desde A até B, ou de B até A, mas no estudo que segue é necessário fixar um ’começo’ e
um ’fim’ para AB.
Definição 3.1. O segmento de reta desenhado desde A até B é chamado segmento
orientado ’6’ e denotado por (A,B), sendo que A é a origem do segmento orientado e
B é sua extremidade. •
Note que dois pontos A e B sempre definem dois segmentos de reta e dois segmentos
orientados, sendo que AB = BA e (A,B) 6= (B,A).
Definição 3.2. (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se AB e CD têm mesmo
comprimento, i.e., a distância d(A,B) de A até B é igual à distância d(C,D) de C até D.
(A,B) e (C,D) são de mesma direção, têm mesma direção, quando AB e CD são
paralelos. E (A,B) e (C,D) de mesma direção são de mesmo sentido quando AC∩BD =
∅, sendo de sentido contrário quando AC ∩BD 6= ∅. •
Definição 3.3. (A,B) e (C,D) são equipolentes quando têm (1) mesmo comprimento,
(2) mesma direção e (3) mesmo sentido. A fim de indicar essa situação, utiliza-se o śımbolo
(A,B) ∼ (C,D). •
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Cuidado, é errado dizer ’(A,B) é igual a (C,D)’, pois freqüentemente esses conjuntos
têm pontos diferentes. O correto é dizer ’(A,B) é equipolente a (C,D)’, ou ’(A,B) e
(C,D) são equipolentes’.
Pode-se provar (é uma proposição matemática) que a equipolência possui as seguintes
propriedades, tornando-a uma relação de equivalência:
E1. (A,B) ∼ (A,B);
E2. (A,B) ∼ (C,D)⇒ (C,D) ∼ (A,B);
E3. (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F )⇒ (A,B) ∼ (E,F ).
Também é fácil verificar que se (A,B) ∼ (C,D), então (A,C) ∼ (B,D).
Exerćıcio 1. Prove que se (A,B) ∼ (P,Q) e (C,D) ∼ (P,Q), então (A,B) ∼ (C,D).
Chegamos finalmente à idéia principal deste caṕıtulo.
Definição 3.4. O conjunto formado pelos segmentos orientados (em número infinito) que
são, todos eles, equipolentes a (A,B) se chama vetor e é simbolizado por
−→
AB. •
6 Esse conceito é devido à Möbius e Chasles. Mas Hamilton irá chamá-lo vetor em 1843 e atribuirá a
ele uma medida algébrica
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 14 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores
vetor AB
A
B
.
.
X
Y
.
D
C
.
.
.
A idéia de vetor surgiu da necessidade de se considerar (A,B) onde for necessário, se
não está no local ideal para um determinado estudo, troque-o por um segmento equipo-
lente no local ideal. É comum dizer ’o vetor
−→
AB é representado pelo segmento (A,B)’ e
’o segmento (A,B) representa o vetor
−→
AB’.
Algumas observações:
1a. (A,B) ∈ −→AB.
2a. Se (A,B) ∼ (C,D), então −→AB = −−→CD e reciprocamente.
3a. Está errado dizer ’
−→
AB e
−−→
CD são equipolentes’, o correto é ’
−→
AB e
−−→
CD são iguais’
ou ’
−→
AB é igual a
−−→
CD’.
4a. Muitas vezes não é interessante destacar qualquer segmento orientado para indicar
um vetor, usamos então letras minúsculas com uma seta superior tal como −→a ,−→b ,−→v , etc.
Veremos mais adiante que vetores são manipulados com se fosse números.
v
5a. Se ocorre de −→v ser representado por (A,B), então −→v = −→AB
e (A,B) ∈ −→v . É muito comum ver em textos cient́ıficos a ilustração
que deve ser interpretada com cuidado: o śımbolo −→v ao lado do
segmento orientado (flecha) está somente nos lembrando que esse segmento orientado é
um dos infinitos representantes do vetor. Não é o vetor propriamente dito !
Bem ao contrário do que muitos acham, não podemos desenhar vetor simplesmente
porque vetor não é um segmento de reta.
Por vetor nulo, vetor zero, entende-se qualquer vetor que admite um representante
segmento orientado nulo. Já é tradicional escrever
−→
0 ,
−→
AA, etc., para indicar vetores nulos.
O vetor oposto de −→v = −→AB é o vetor −−→v = −−→AB = −→BA, ou seja, os representantes
de −−→v têm sentido contrário com relação aos representantes de −→v . Fácil ver que −→v =
−(−−→v ), e que −→v = −−→v se, e somente se, −→v = −→0 .
Voltando à definição 3.4, é fácil aplicar aos vetores as idéias ’ser paralelo’, ’ser de
mesma direção’, ’ser de mesmo sentido’, ’ser de sentido contrário’, etc. Por exemplo, se
−→a e −→b são não-nulos, então esses são de mesma direção quando um representante (logo
qualquer) de −→a é paralelo a algum representante (logo qualquer) de −→b . Por uma questão
de ajuste teórico,
−→
0 é paralelo a qualquer outro.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 15 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.1 Soma de vetores
Definição 3.5. A norma de −→v é igual ao comprimento de qualquer um do representantes
de −→v e se indica esse comprimento pelo śımbolo |−→v |. •
É óbvio que |−→0 | = 0. E se |−→v | = 1, −→v é chamado vetor unitário.
Sejam −→a e −→b não-nulos. Ocorre −→a = −→b se, e somente se, ambos vetores são de
mesma norma, mesma direção e mesmo sentido.
Exerćıcio 2. Se
−→
AB =
−−→
CD, prove que AC ∩BD = ∅ e |−→AB| = |−−→CD|.
Exerćıcio 3. Prove que se
−−→
AX =
−−→
BX, então A = B.
3.1 Soma de vetores
De agora em diante, R3 indica o conjunto da Geometria anaĺıtica onde encontramos
pontos, retas, segmentos orientados, vetores, planos, ćırculos, esferas, etc. Esse conjunto
é chamado espaço cartesiano real de dimensão 3, ou espaço para encurtar.
A Adição é a operação matemática que, para −→u e −→v , define o vetorsoma −→u +−→v do
seguinte modo: considera-se (A,B) ∈ −→u e (B,C) ∈ −→v , e então (A,C) ∈ −→u +−→v .
C
+
.
A
.
u
v
u v
u v
B
.
Exerćıcio 4. Por que a adição vetorial pode ser definida desse modo ?
Exerćıcio 5. Prove que a adição vetorial está bem definida, isto é, −→u + −→v independe
dos representantes.
Do ponto de vista das ilustrações, existem duas opções:
1a. Desenhe (A,B) e, em seguida, (B,C). Desse modo, (A,C) é, por definição, um
representante de −→u +−→v (vide figura anterior).
2a. Após desenhar (A,B), desenhe um representante de −→v com origem em A, digamos
(A,C). Fica definido um paralelogramo e a diagonal vinculada a A representa −→u +−→v .
C
+
.
A
.
u
v
u
v
u v
B
.
.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 16 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.2 Produto de número real por vetor
A subtração de −→u e −→v é a operação matemática que associa o vetor diferença −→u −
−→v = −→u + (−−→v ).
.
.
.
_
u
v
v
_
vu
Pode-se provar facilmente as seguintes propriedades:
A1. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w );
A2. −→u +−→v = −→v +−→u ;
A3. −→v +−→0 = −→0 +−→v = −→v ;
A4. Dado −→u , existe −→v tal que −→u +−→v = −→0 . Escreve-se −→v = −−→u .
Exerćıcio 6. Seja a a norma de −→a e b a norma de −→b . 1) Qual é o limite superior para
a norma da resultante ? 2) Obtenha o limite inferior para a norma da soma vetorial. 3)
Supondo a = 2b, quais deveriam ser os limite superior e inferior para a norma da soma ?
3.2 Produto de número real por vetor
A multiplicação de número real por vetor é a operação matemática que, para
a ∈ R e −→v , faz corresponder o vetor a−→v que verifica as seguintes propriedades:
P1. a = 0 ou −→v = −→0 ⇒ a−→v = −→0 ;
P2. a 6= 0 e −→v 6= −→0 ⇒ a−→v e −→v são de mesma direção, sendo que são de mesmo
sentido quando a > 0 e são de sentido contrário, caso a < 0;
P3. |a−→v | = |a||−→v |, em que |a| é o módulo de a.
v
v2
1
2
_
v
_
O número a é chamado escalar e a−→v é lido ’o produto de a por −→v ’, ’o múltiplo
escalar de −→v ’, ’a vezes −→v ’. Observe que a > 1 ou a < −1 implicam |a−→v | > |−→v |.
Também −1 < a < 1 implica |a−→v | < |−→v | (verifique !). No caso particular em que a = 1
b
,
é comum escrever
−→v
b
, em vez de
1
b
−→v . Mas cuidado,
−→v
b
não é um quociente, uma fração.
O vetor
−→v
|−→v | é conhecido como o versor de
−→v .
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 17 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.2 Produto de número real por vetor
Exerćıcio 7. Prove que se (A,B) ∼ (C,D), então, para qualquer a ∈ R, tem-se a−→AB =
a
−−→
CD.
Exerćıcio 8. Prove que o versor de −→v é unitário, isto é, de norma 1. Mostre também
que −→v e seu versor são sempre de mesma direção e de mesmo sentido.
Além das propriedades definidoras, valem as seguintes:
P4. a(−→u +−→v ) = a−→u + a−→v ;
P5. (a + b)−→v = a−→v + b−→v ;
P6. 1−→v = −→v ;
P7. a(b−→v ) = (ab)−→v = b(a−→v ).
Todos esses resultados nos dizem que se pode operar vetores como se fossem números,
e existem vários fatos curiosos. Por exemplo:
1. (−a)−→v = −(a−→v );
2. a(−−→v ) = −(a−→v );
3. (−a)(−−→v ) = a−→v .
O seguinte resultado é muito empregado em Cálculo vetorial: −→u ‖ −→v se, e somente
se, existe algum escalar não-nulo a ∈ R tal que −→u = a−→v .
Exemplo 1. Mostre a regra de cancelamento −→u +−→v = −→u +−→w ⇒ −→v = −→w .
Podemos somar o oposto de −→u em ambos os membros da igualdade, −→u + −→v + (−−→u ) =
−→u +−→w + (−−→u )⇒ −→u −−→u +−→v = −→u −−→u +−→w ⇒ −→0 +−→v = −→0 +−→w ⇒ −→v = −→w . C
Além de valer a equação vetorial −→u = a−→v para vetores paralelos, vale também que
se −→u e −→v são não paralelos, então a equação vetorial a−→u + b−→v = −→0 admite apenas a
solução trivial a = b = 0. Também a1
−→u + b1−→v = a2−→u + b2−→v implica que a1 = a2 e
b1 = b2.
Resumindo, a−→u + b−→v 6= −→0 , com a, b 6= 0, e só existe uma maneira de descrevê-lo.
Exemplo 2. Se
−→
AB +
−→
AC =
−−→
BC, prove que A = B.
Somando
−−→
BC, membro a membro, teremos
−→
AB +
−→
AC +
−−→
BC =
−−→
BC +
−−→
BC ⇒ −→AB +−−→BC +
−→
AC = 2
−−→
BC ⇒ −→AC + −→AC = 2−−→BC ⇒ 2−→AC = 2−−→BC ⇒ 1
2
2
−→
AC =
1
2
2
−−→
BC ⇒ 1−→AC = 1−−→BC ⇒
(A,C) ∼ (B,C)⇒ A = B. C
Exerćıcio 9. De quanto é necessário multiplicar
−→
AB +
−−→
CB + 2
−→
BA para que este vetor
seja igual a
1
3
−→
AC ?
Exemplo 3. Ocorre −→u +−→v = −→w se, e somente se, −→u = −→w −−→v .
De fato −→u + −→v = −→w ⇒ −→u + −→v + (−−→v ) = −→w + (−−→v ) ⇒ −→u + −→0 = −→u = −→w − −→v .
Reciprocamente, −→u = −→w −−→v ⇒ −→u +−→v = −→w −−→v +−→v = −→w +−→0 = −→w . C
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.2 Produto de número real por vetor
Exemplo 4. Mostre que −(−→u +−→v ) = −−→u −−→v .
Claro que −→u + −→v + [−(−→u + −→v )] = −→0 . Também −→u + (−−→u ) + −→v + (−−→v ) = −→0 ⇒
−→u +−→v + (−−→u −−→v ) = −→0 . Segue o resultado pela comparação das igualdades. C
Exemplo 5. Suponha a 6= 0. Então a−→v = −→w implica −→v = 1
a
−→w .
a−→v = −→w ⇒ 1
a
(a−→v ) = 1
a
−→w ⇒ (1
a
a)−→v = 1
a
−→w ⇒ 1−→v = −→v = 1
a
−→w . C
Exemplo 6. Verifique se vale a implicação a−→v = −→0 ⇒ a = 0 ou −→v = −→0 .
Suponha a 6= 0. Então 1
a
(a−→v ) = 1
a
−→
0 ⇒ (1
a
a)−→v = −→0 ⇒ −→v = −→0 . Suponha agora
−→v 6= −→0 . Então a−→v + −→v = −→0 + −→v ⇒ (a + 1)−→v = −→v = 1−→v ⇒ a + 1 = 1 ⇒ a = 0. O
caso trivial a = 0, |−→v | = 0 é óbvio. C
Exemplo 7. Resolva a equação vetorial 3−→u + 2(−→v +−→w ) = 5(−→w −−→v ) na incógnita −→w .
O objetivo é bem simples, aplicar propriedades operacionais a fim de isolar −→w na equação.
Com isso em mente, 3−→u + 2(−→v + −→w ) = 5(−→w − −→v ) ⇒ 3−→u + 2−→v + 2−→w = 5−→w − 5−→v ⇒
3−→u + 2−→v + 2−→w + (−2−→w ) = 5−→w − 5−→v + (−2−→w )⇒ 3−→u + 2−→v +−→0 = 5−→w − 2−→w − 5−→v ⇒
3−→u + 2−→v = 3−→w − 5−→v ⇒ 3−→u + 2−→v + 5−→v = 3−→w − 5−→v + 5−→v ⇒ 3−→u + 7−→v = 3−→w +−→0 ⇒
1
3
(3−→w ) = 1
3
(3−→u + 7−→v )⇒ 1−→w = 1−→u + 7
3
−→v e −→w = −→u + 7
3
−→v . C
Exemplo 8. Resolva o sistema de equações vetoriais nas incógnitas −→x e −→y .
−→x − 3−→y = −10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v
1o método. Isolar uma das incógnitas em uma das equações e substitui-la na outra
equação. Vamos isolar −→x em −→x − 3−→y = −10−→v : −→x − 3−→y + 3−→y = −10−→v + 3−→y ⇒
−→x + −→0 = −→x = −10−→v + 3−→y . Substitúındo −→x por −10−→v + 3−→y na segunda equação,
(−10−→v + 3−→y ) +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y + 10−→v =
7−→u − 6−→v + 10−→v ⇒ −10−→v + 10−→v + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ −→0 + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y =
1
4
(7−→u +4−→v )⇒ 1−→y = 7
4
−→u +1−→v e então −→y = 7
4
−→u +−→v . Por fim substitua −→y por 7
4
−→u +−→v
em −→x = −10−→v + 3−→y , ou seja, −→x = −10−→v + 3(7
4
−→u + −→v ) = −10−→v + 21
4
−→u + 3−→v =
21
4
−→u −10−→v +3−→v = 21
4
−→u −7−→v . Portanto, a resposta é −→x = 21
4
−→u −7−→v e −→y = 7
4
−→u +−→v .
2o método. Multiplique os membros de uma das equações por um dado número e depois
some ambas equações, membro a membro. Por exemplo, multiplicando a primeira equação
por −1, teremos
{
−−→x + 3−→y = 10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v
⇒ −−→x +−→x + 3−→y +−→y = 10−→v + 7−→u − 6−→v ⇒
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 19 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.3 Soma de ponto com vetor
−→
0 + 4−→y = 7−→u + 10−→v − 6−→v ⇒ 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y = 1
4
(7−→u + 4−→v ) ⇒ 1−→y =
7
4
−→u + 1−→v ⇒ −→y = 7
4
−→u + −→v . Agora, substitua −→y por 7
4
−→u + −→v em qualquer uma das
duas equações originais e resolva com antes. Outra opção é multiplicar a 2a equação por
3, somar as equações e proceder como acima. C
Exemplo 9. Mostre que −→v 6= −→0 e a−→v = b−→v implicam a = b.
a−→v = b−→v ⇒ a−→v +(−b−→v ) = b−→v +(−b−→v )⇒ a−→v −b−→v = −→0 ⇒ (a−b)−→v = −→0 ⇒ a−b =
0⇒ a = b. C
Exemplo 10. Seja −→u = a−→v . Mostre que se |−→v | 6= 0, então |a| = |
−→u |
|−→v | .
De fato |−→u | = |a−→v | = |a||−→v | ⇒ 1−→v |
−→u | = 1−→v |a||
−→v | e então |
−→u |
|−→v | = |a|
|−→v |
|−→v | = |a|1 = |a|.
C
Exemplo11. Suponha −→u e −→v paralelos não-nulos. Então |−→u +−→v |2 6= |−→u |2 + |−→v |2.
Existe a ∈ R \{0}, tal que −→u = a−→v . Então |−→u + −→v |2 = |a−→v + −→v |2 = |(a + 1)−→v |2 =
(a + 1)2|−→v |2 = (a2 + 2a + 1)|−→v |2. Por outro lado, |−→u |2 + |−→v |2 = |a−→v |2 + |−→v |2 =
a2|−→v |2 + |−→v |2 = (a2 + 1)|−→v |2. C
3.3 Soma de ponto com vetor
Sendo (A,B) um represente de −→v , o ponto B é dito a soma de A por −→v e se
escreve B = A + −→v . Note que −→AB = −→v se, e somente se, B = A + −→v , e −→PQ = −→a se,
e somente se, Q = P + −→a . Essa operação matemática permite pensar movimento, para
cada P ∈ ←→AB, existe um único escalar p tal que P = A + p−→v . Imaginando o número p
variando de valor, P muda de posição sobre
←→
AB. É essa idéia que definirá reta do ponto
de vista vetorial.
Pode-se facilmente provar que, para quaisquer A,B,−→u e −→v , valem:
S1. (A +−→u ) +−→v = A + (−→u +−→v );
S2. A +−→u = A +−→v ⇒ −→u = −→v ;
S3. A +−→v = B +−→v ⇒ A = B;
S4. (A−−→v ) +−→v = A.
Exemplo 12. Para qualquer A, se A + −→v = A, então −→v = −→0 .
Bem simples, A + −→v = A ⇒ A + −→v + (−−→v ) = A + (−−→v ) ⇒ A + −→0 = A = A − −→v ⇒
−→v = −→0 . C
Exemplo 13. Se A +−→u = B +−→v , então −→u = −→AB +−→v , quaisquer que sejam os pontos
e os vetores.
De fato A+−→u = B +−→v ⇒ A+−→u +(−−→v ) = B +−→v +(−−→v )⇒ A+(−→u −−→v ) = B +−→0 =
B ⇒ −→u −−→v = −→AB ⇒ −→u −−→v +−→v = −→AB +−→v ⇒ −→u +−→0 = −→u = −→AB +−→v . C
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependência linear
Exemplo 14. Determine o ponto sobre PQ que está a
3
4
de P , sabendo que P =
(3, 2, 1), Q = (−1, 6, 5).
Basta
−−→
PX =
3
4
−→
PQ, isto é, X = P +
3
4
(−4, 4, 4) = (0, 5, 4). C
Exerćıcio 10. Determine D sabendo que (A +
−→
AB) +
−−→
CD = C +
−−→
CB.
Exerćıcio 11. Alguém olha para A + −→u + −→v = A é diz que −→u e −→v podem ser não
paralelos. Já para A + −→u + −→v + −→w = A aquela pessoa diz −→w e −→u + −→v devem ser
paralelos. Analise as situações.
3.4 Dependência linear
Dois vetores são ditos linearmente dependentes (L.D.) quando admitem represen-
tantes paralelos; e se os representantes são não paralelos, então os vetores são linear-
mente independentes (L.I.).
Três vetores são L.D. quando admitem representantes que são paralelos a um mesmo
plano, ou estão contidos em um mesmo plano; caso contrário, diz-se que são vetores L.I.
E
F
A
B
u
C
v Dw
Suponha que −→a = 2−→u + 5−→v e −→b = −4−→u + 2−→v − 3−→w . Diz-se que −→a é combinação
linear de −→u e −→v , e −→b é combinação linear de −→u ,−→v e −→w . Também se diz que −→a é gerado
por −→u e −→v , e que −→b é gerado por −→u ,−→v e −→w .
É muito dif́ıcil testar se vetores são paralelos a um mesmo plano, por isso, tem destaque
o seguinte resultado que se demonstra facilmente: supondo −→u e −→v L.I., então −→u ,−→v e −→w
são L.D. se, e somente se, −→w é gerado por −→u e −→v .
A idéia por trás do resultado é que se pode fixar pontos A,B,C,D tais que (A,B) ∈
−→u , (A,C) ∈ −→v e (A,D) ∈ −→w . Note que A,B,C,D são coplanares, pois −→u ,−→v e −→w são
L.D., e que A,B,C são não-colineares, visto que −→u e −→v são L.I. Em seguida, pense na
reta por D que é paralela a
−→
AB, e a reta por D paralela a
−→
AC.
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependência linear
A
B
C
D
E
F
Então existem escalares a, b, tais que
−→
AE = a−→u e −→AF = b−→v , logo −→w = −−→AD =−→
AE +
−−→
ED =
−→
AE +
−→
AF = a−→u + b−→v .
No caso n = 2, −→u e −→v L.D. implica que a−→u + b−→v = −→0 é satisfeito para a, b 6= 0 e
então podemos escrever −→u = x−→v , com x = − b
a
.
.
u
v
a=2, b=3
No caso n = 3, −→u ,−→v e −→w L.D. implica que a−→u + b−→v + c−→w = −→0 se verifica através de
a, b, c não todos nulos. Supondo c 6= 0, podemos escrever −→w = x−→u +y−→v , em que x = −a
c
e y = −b
c
.
.
u
v
a=-1, b= , c=2
2
__3
w
Para concluir o estudo de dependência linear, ocorre que −→u ,−→v e −→w são L.D. se, e
somente se, um dos vetores é gerado pelos outros dois.
A negativa dese resultado é importante: −→u ,−→v e −→w são L.I. se, e somente se, nenhum
desses vetores é gerado pelos outros dois. Ou seja, x−→u +y−→v +z−→w = −→0 ⇔ x = y = z = 0.
Exemplo 15. Vamos ver que −→a = 2−→u +4−→v +−→w , −→b = −−→u + 1
2
−→v + 3
4
−→w e −→c = −→v + 1
2
−→w
são L.D., quaisquer que sejam −→u ,−→v e −→w .
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.4 Dependência linear
A equação x−→a + y−→b + z−→c = −→0 equivale a x(2−→u + 4−→v +−→w ) + y(−−→u + 1
2
−→v + 3
4
−→w ) +
z(−→v + 1
2
−→w ) = 2x−→u + 4x−→v + x−→w − y−→u + y
2
−→v + 3y
4
−→w + z−→v + z
2
−→w = (2x− y)−→u + (4x +
y
2
+ z)−→v + (x + 3y
4
+
z
2
)−→w = −→0 logo
2x− y = 0
4x +
y
2
+ z = 0
x +
3y
4
+
z
2
= 0
Obtém-se y = 2x e z = −5x, para cada x ∈ R, logo x(−→a + 2−→b − 5−→c ) = −→0 nos leva a
−→a = −2−→b + 5−→c . C
Exerćıcio 12. Faça o mesmo no caso em que −→a = −→u + 2−→v −−→w , −→b = 2−→u − 3−→v +−→w e
−→c = 7−→v − 3−→w .
Exemplo 16. Considere −→a = −→u +−→w ,−→b = 2−→u +−→v −−→w e −→c = −→v − 2−→w , com −→u ,−→v e
−→w aleatórios. Veja que −→u ,−→v e −→w são L.I. se, e somente se, −→a ,−→b e −→c são L.I.
De fato x−→a + y−→b + z−→c = −→0 ⇒ x(−→u + −→w ) + y(2−→u + −→v − −→w ) + z(−→v − 2−→w ) =
x−→u +x−→w +2y−→u +y−→v −y−→w + z−→v −2z−→w = (x+2y)−→u +(y + z)−→v +(x−y−2z)−→w = −→0 .
Se −→u ,−→v e −→w são L.I., então o sistema de equações
x + 2y = 0
y + z = 0
x− y − 2z = 0
só admite a solução trivial x = y = z = 0 (verifique !) e segue que −→a ,−→b e −→c devem
ser L.I. Reciprocamente, comece por resolver as equações −→a = −→u + −→w ,−→b = 2−→u +
−→v − −→w e −→c = −→v − 2−→w nas incógnitas −→u ,−→v e −→w . Primeiro, −→a + −→b = 3−→u + −→v
e −→c − 2−→b = −−→v − 4−→u , assim −→v = −→a + −→b − 3−→u = −−→c + 2−→b − 4−→u implica em
−→u = −−→a + −→b − −→c . Desse modo, −→v = −→a + −→b − 3(−−→a + −→b − −→c ) = 4−→a − 2−→b + 3−→c
e −→w = −→a −−→u = −→a − (−−→a +−→b −−→c ) = 2−→a −−→b +−→c . Se −→a ,−→b e −→c são vetores L.I.,
então
−→
0 = x−→u +y−→v + z−→w = (−x+4y +2z)−→a +(x−2y− z)−→b +(−x+3y + z)−→c admite
a única solução posśıvel x = y = z = 0 (verifique !). C
Por fim, tem destaque o seguinte importante resultado.
Proposição 3.1. . Se −→u ,−→v e −→w são L.I., então para qualquer −→a existem únicos x, y, z ∈
R tais que −→a = x−→u + y−→v + c−→w .
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 23 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.5 Bases e coordenadas de vetores
Demostração. A ı́deia geométrica é a seguinte: o ponto terminal de −→a é projetado no
plano dos representantes (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v .
u
v
w
A
B
C
D
F
H
.
.
.
E
E’
a
G
.
O ponto projeção E ′ permite fixar
−−→
AE ′ e então existem x, y, z ∈ R tais que −→AF =
x−→u ,−→AG = y−→v e −−→AH = z−→w . Claro que −→a = −→AF +−−→FE ′+−−→E ′E = −→AF +−→AG+−−→AH = x−→u +
y−→v + z−→w . Esses números x, y, z são únicos no sentido que se x1−→u +y1−→v + z1−→w = x2−→u +
y2
−→v +z2−→w , então (x1−x2)−→u +(y1−y2)−→v +(z1−z2)−→w =
−→
0 ⇒ −→u = y2 − y1
x1 − x2
−→v + z2 − z1
x1 − x2
−→w
e os três vetores são L.D. Essa contradição implica que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. �
Exerćıcio 13. Prove que −→u e −→v são L.I. se, e somente se, −→u +−→v e −→u −−→v são L.I.
Exerćıcio 14. Calcule a, b ∈ R sabendo que −→u e −→v são L.I. e que (a − 1)−→u + b−→v =
b−→u − (a + b)−→v .
Exerćıcio 15. A seguir são indicadas operações com vetores −→u ,−→v e −→w L.I. que resultam
em três novos vetores. Esses são L.I. ou L.D. ?
1) Multiplica-se os vetores por um escalar a ∈ R.
2) Substitui-se cada um dos vetores dados pela soma dos outros dois.
3) Soma-se a cada um dos três vetores um mesmo −→a .
4) Somam-se aos vetores, respectivamente, −→a ,−→b e −→c supostos L.I.
3.5 Bases e coordenadas de vetores
Até aqui temos tratado vetor como um conjunto de segmentos equipolentes, e vimos na
seção precedenteque a cada vetor se pode associar números. A idéia seguinte é essencial.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 24 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.5 Bases e coordenadas de vetores
Definição 3.6. Por uma base em R3 entende-se um terno ordenado −→e1 ,−→e2 ,−→e3 de vetores
L.I. e vamos denotá-la por ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} (ε: épsilon, ’e’ latino). Uma base ortonormal
em R3 é uma base formada de vetores unitários e ortogonais dois a dois. •
O conceito se adapta facilmente para R2.
Claro que −→u e −→v são ortogonais quando os representantes de um são ortogonais a
todos os representantes do outro. Em śımbolos, −→u ⊥ −→v .
Fixada ε, para cada −→v em R3, ficam definidos biunivocamente x, y, z ∈ R, tais que
−→v = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 . Nesse caso, x é a 1a coordenada de −→v , y é a 2a coordenada
de −→v e a z é a 3a coordenada de −→v (em relação à base ε), isso nos permite pensar −→v
como uma tripla ordenada e escrever −→v = (x, y, z)ε, ou −→v = (x, y, z) quando ε estiver
subentendida.
São facilmente verificáveis as seguintes propriedades, onde a, x1, y1, z1, x2, y2, z2 ∈ R:
C1. (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);
C2. a(x1, y1, z1) = (ax1, ay1, az1).
Exemplo 17. Quais são as coordenadas de −→a = 5−→u − 3−→v , se −→u = (3,−2, 7) e −→v =
(−1, 4,−6) ?
Simples, −→a = 5−→u +(−3)−→v = 5(3,−2, 7)+(−3)(−1, 4,−6) = (15,−10, 35)+(3,−12, 18) =
(18,−22, 53). C
Exemplo 18. Pode −→u = (4, 5,−2) ser combinação linear de −→v = (5, 4, 1) e −→w =
(
21
2
, 3,
21
2
) ?
Deve-se procurar por a, b ∈ R tais que −→u = a−→v + b−→w , (4, 5,−2) = a(5, 4, 1)+ b(21
2
, 3,
21
2
)
e isso equivale a
5a +
21b
2
= 4
4a + 3b = 5
a +
21b
2
= −2
Um cálculo direto determina a =
3
2
e b = −1
3
(verifique !). C
Exerćıcio 16. Considerando −→a = (2, 4, 3) e −→b = (1,−5, 2), determinar gráfica e analiti-
camente a resultante −→a +−→b .
Exerćıcio 17. Encontre um vetor unitário paralelo à resultante de −→a = (2, 4,−5) e−→
b = (1, 2, 3).
Exerćıcio 18. Prove que −→a = 3−→e1 − 2−→e2 +−→e3 ,
−→
b = −→e1 − 3−→e2 +5−→e3 e −→c = 2−→e1 +−→e2 − 4−→e3
formam um triângulo retângulo.
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3 G.A. parte 2 Vetores 3.5 Bases e coordenadas de vetores
A distância de −→u a −→v é igual ao número |−→u −−→v |.
Exerćıcio 19. Determine a distância de −→a = (3,−5, 4) a −→b = (6, 2,−1). E de −→m = (1, 7)
a −→n = (6,−5).
Lembre-se que det


u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3

 é o número u1 det
(
v2 w2
v3 w3
)
− v1 det
(
u2 w2
u3 w3
)
+
w1 det
(
u2 v2
u3 v3
)
= u1(v2w3−v3w2)−v1(u2w3−u3w2)+w1(u2v3−u3v2), e com determinante
é fácil verificar a situação posicional de três vetores, pois −→u = (u1, u2, u3),−→v = (v1, v2, v3)
e −→w = (w1, w2, w3) são L.D. se, e somente se, det


u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3

 = 0.
Exerćıcio 20. Verifique se −→u = (2, 3, 4),−→v = (5, 6, 7) e −→w = (8, 9, 1) são L.D.
Dois resultados são essenciais para a manipulação numérica de vetores:
1o. Uma condição necessária e suficiente para que −→u e −→v sejam ortogonais é que
|−→u +−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2.
2o. Sobre uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, a norma de −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 é
simplesmente |−→a | =
√
x2 + y2 + z2.
A idéia que se explora nesse 2o resultado é a seguinte: considera-se inicialmente rep-
resentantes como na ilustração.
A
B
C
.
.
.
E
B’
a
D
.
e
1
2
3
e
e
Então −→a = −−→AB′ + −−→B′B = (−→AC + −−→CB′) + −−→B′B = (x−→e1 + y−→e2 ) + z−→e3 é a soma de dois
vetores ortogonais e, Proposição anterior, |−→a |2 = |x−→e1 + y−→e2 |2 + |z−→e3 |2. Mas x−→e1 ⊥ y−→e2
implica |x−→e1 +y−→e2 |2 = |x−→e1 |2 + |y−→e2 |2 e então |−→a |2 = |x−→e1 |2 + |y−→e2 |2 + |z−→e3 |2 = |x|2 |−→e1 |2 +
|y|2 |−→e2 |2 + |z|2 |−→e3 |2 = x2 + y2 + z2.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 26 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudança de bases
Exemplo 19. Considere ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} ortonormal e −→a = (3,−1, 5).−→a = (3,−1, 5) = 3−→e1 − −→e2 + 5−→e3 ⇒ |−→a |2 = |(3−→e1 − −→e2 ) + 5−→e3 |2 = |3−→e1 − −→e2 |2 + |5−→e3 |2 =
|3−→e1 |2 + | − −→e2 |2 + |5−→e3 |2 = 32|−→e1 |2 + | − 1|2 |−→e2 |2 + 52|−→e3 |2 = 35⇒ |−→a | =
√
35. C
É posśıvel de se substituir uma base qualquer por outra, cujos vetores são ortogonais.
É o que faz o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Dada uma base
ϕ = {−→f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3}, cujos vetores são não-ortogonais dois a dois (algo muito comum), o
objetivo é construir uma nova base γ = {−→g1 ,−→g2 ,−→g3} que seja ortonormal. Para tanto,
basta fazer
−→v1 =
−→
f1
−→v2 =
−→
f2 −
−→
f2 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1
−→v3 =
−→
f3 −
−→
f3 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1 −
−→
f3 .
−→v2
|−→v2 |2
−→v2
Afirmação 3.1. −→g1 =
−→v1
|−→v1 |
, −→g2 =
−→v2
|−→v2 |
, −→g3 =
−→v3
|−→v3 |
é uma base ortonormal.
Exemplo 20. Ortonormalização da base (
−→
f1 = (5,−4, 6),
−→
f2 = (1,−1, 3),
−→
f3 = (8,−3, 2)).
De fato, −→v1 =
−→
f1 ⇒ −→g1 =
1√
77
(5,−4, 6); −→v2 =
−→
f2 −
−→
f2 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1 = (1,−1, 3)−
27
77
(5,−4, 6) =
(−58
77
,
31
77
,
69
77
) ⇒ −→g2 =
1√
9086
(−58, 31, 69); −→v3 =
−→
f3 −
−→
f3 .
−→v1
|−→v1 |2
−→v1 −
−→
f3 .
−→v2
|−→v2 |2
−→v2 = (8,−3, 2) −
64
77
(5,−4, 6) + 419
118
(−58
77
,
31
77
,
69
77
) =
1
77
(
6729
59
,−17219
118
,
74223
118
).
3.6 Mudança de bases
O assunto aqui tratado se complementa com as matérias tratadas na seção 4.1 e no
caṕıtulo 7.
Considerando-se bases ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} e ϕ = {
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3} (ϕ: phi, ’f’ latino), e levando
em conta que
−→
f1 ,
−→
f2 e
−→
f3 são combinações lineares dos elementos de ε, eles se escrevem
sob as formas
−→
f1 = a11
−→e1 + a21−→e2 + a31−→e3 = (a11, a21, a31)ε
−→
f2 = a12
−→e1 + a22−→e2 + a32−→e3 = (a12, a22, a32)ε
−→
f3 = a13
−→e1 + a23−→e2 + a33−→e3 = (a13, a23, a33)ε
para determinados valores aij, 1 ≤ i, j ≤ 3.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 27 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudança de bases
Para qualquer −→a em R3, existem únicos x, y, z, u, v, w ∈ R tais que
−→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3
= u
−→
f1 + v
−→
f2 + w
−→
f3
Agora tudo se reduz a determinar os x, y, z em função de u, v, w, o que é bem simples:
−→a = u−→f1 + v
−→
f2 + w
−→
f3 = u(a11
−→e1 + a21−→e2 + a31−→e3 ) + v(a12−→e1 + a22−→e2 + a32−→e3 ) + w(a13−→e1 +
a23
−→e2 + a33−→e3 ) = (a11u+ a12v + a13w)−→e1 +(a21u+ a22v + a23w)−→e2 +(a31u+ a32v + a33w)−→e3
e assim
x = a11u + a12v + a13w
y = a21u + a22v + a23w
z = a31u + a32v + a33w
É comum pensar ε como ’a base antiga’, ϕ como ’a nova base’ e transcrever os ele-
mentos da base antiga como elementos da nova base. Em notação matricial


x
y
z

 =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




u
v
w

 = Mεϕ


u
v
w


em que Mεϕ é a matriz de mudança de base, de ε para ϕ, da base antiga para a nova
base. É muito importante notar que a j-ésima coluna de Mεϕ é formada das coordenadas
de
−→
fj na base antiga, j = 1, 2, 3. E uma vez que os vetores de qualquer base são L.I., fica
assegurado det Mεϕ 6= 0 e a existência de matriz inversa, isto é, a matriz M−1εϕ tal que
Mεϕ.M
−1
εϕ = M
−1
εϕ .Mεϕ = Id =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 .
A existência de M−1εϕ permite calcular u, v, w em termos dos x, y, z. De fato
Mεϕ


u
v
w

 =


x
y
z

⇒M−1εϕ .Mεϕ


u
v
w

 = M−1εϕ


x
y
z

⇒


u
v
w

 = M−1εϕ


x
y
z

 .
Proposição 3.2. Se ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, ϕ = {
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3} e γ = {−→g1 ,−→g2 ,−→g3} (γ: gama, ’g’
latino) são bases então Mεϕ.Mϕγ = Mεγ .
Demostração. Fixemos as notações Mεϕ = (aij),Mϕγ = (bij),Mεγ = (cij),
−→
fj =
3∑
i=1
aij
−→ei e
−→gk =
3∑
j=1
bjk
−→
fj =
3∑
i=1
cik
−→ei . Então, −→gk =
3∑
j=1
bjk(
3∑
i=1
aij
−→ei ) =
3∑
i, j=1
bjkaij
−→ei =
3∑
i=1
(
3∑
j=1
aijbjk)
−→ei
implica cik =
3∑
j=1
aijbjk e isso se reflete em Mεγ = Mεϕ.Mϕγ . •
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 28 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudança debases
Uma análise do assunto faz suspeitar que M−1εϕ deve determinar a mudança da base
nova para a antiga e isto é verdade!
Corolário 3.1. Mϕε = M
−1
εϕ .
Com efeito, Mϕε = Mϕε. id = Mϕε.Mεϕ.M
−1
εϕ = Mϕϕ.M
−1
εϕ = id .M
−1
εϕ = M
−1
εϕ . •
Cálculo matricial.
A) Para matrizes 2 × 2. Dada M =
(
a11 a12
a21 a22
)
de det M = a11a22 − a12a21 6= 0,
teremos
M−1 =
1
det M
(
a22 −a12
−a21 a11
)
.
B) Para matrizes 3 × 3. Dada M =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

, define-se ãij = (−1)i+j det Mij
como o cofator do elemento aij, em que Mij é a submatriz 2 × 2 obtida de M pela
eliminação da i-ésima linha e j-ésima coluna. Por exemplo, M12 =
(
a21 a23
a31 a33
)
.
Desse modo, se det M = a11ã11 + a12ã12 + a13ã13 6= 0, então
M−1 =
1
det M


ã11 ã21 ã31
ã12 ã22 ã32
ã13 ã23 ã33

 .
Exemplo 21. Considere
−→
f1 = 2
−→e1 −−→e2 + 3−→e3 ,
−→
f2 = 4
−→e1 +−→e2 + 5−→e3 ,
−→
f3 = 6
−→e1 −−→e2 + 9−→e3
e escreva −→a = 4−→e1 + 7−→e2 − 3−→e3 em termos da nova base.
f
1
2
3
a
e
3
e
f
f
1
2
e
Pelo estabelecido,


x
y
z

 = Mεϕ


u
v
w

 =


2 4 6
−1 1 −1
3 5 9




u
v
w

 e temos três opções:
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 29 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.6 Mudança de bases
1a. Desenvolver o sistema de equações
x = 2u + 4v + 6w (a)
y = −u + v − w (b)
z = 3u + 5v + 9w (c)
Calculando 2(b) + (a), temos x + 2y = 6v + 4w e w =
1
4
(x + 2y − 6v); 3(b) + (c) leva a
3y + z = 8v + 6w e w =
1
6
(3y + z − 8v). Logo v = 3x
2
− z e w = −2x + y
2
+
3z
2
.
Voltando a (b), u =
7x
2
− 3y
2
− 5z
2
. As coordenadas de −→a na base antiga são x = 4, y =
7, z = −3 e assim −→a = u−→f1 + v
−→
f2 +w
−→
f3 = 11
−→
f1 +9
−→
f2 − 9
−→
f3 . Portanto,
−→a = (4, 7,−3)ε =
(11, 9,−9)ϕ.
2a. Desenvolver a equação matricial


2 4 6
−1 1 −1
3 5 9

 M−1εϕ =


2 4 6
−1 1 −1
3 5 9




a b c
d e f
g j k

 =


2a + 4d + 6g 2b + 4e + 6j 2c + 4f + 6k
−a + d− g −b + e− j −c + f − k
3a + 5d + 9g 3b + 5e + 9j 3c + 5f + 9k

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


o que nos leva a trabalhar com nove equações. Ou então use a informação anterior
envolvendo a matriz inversa com a matriz dos cofatores. Obtém-se a =
7
2
, b = −3
2
, c =
−5
2
, d =
3
2
, e = 0, f = −1, g = −2, j = 1
2
e k =
3
2
(verifique !) e então


u
v
w

 = M−1εϕ


x
y
z

 =


7
2
−3
2
−5
2
3
2
0 −1
−2 1
2
3
2




x
y
z


conduz à u =
7x
2
− 3y
2
− 5z
2
, v =
3x
2
− z e w = −2x + y
2
+
3z
2
. Como na 1a opção, um
cálculo direto estabelece −→a = (4, 7,−3)ε = (11, 9,−9)ϕ.
3a. Aplicar a expressão de M−1 por meio dos cofatores. M−1 =
1
det M


ã11 ã21 ã31
ã12 ã22 ã32
ã13 ã23 ã33

 =
1
4


14 −6 −10
6 0 −4
−8 8 6

 =


7
2
−3
2
−5
2
3
2
0 −1
−2 1
2
3
2


e continue como na segunda opção. Por fim
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 30 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
as colunas de M−1εϕ = Mϕε indicam que
−→e1 =
7
2
−→
f1 +
3
2
−→
f2 − 2
−→
f3 ,
−→e2 = −
3
2
−→
f1 +
1
2
−→
f3 e
−→e3 = −
5
2
−→
f1 −
−→
f2 +
3
2
−→
f3 . C
Exerćıcio 21. Suponha bases ε = {−→e1 ,−→e2} e ϕ = {
−→
f1 ,
−→
f2} tais que −→e1 = 3
−→
f1 − 5
−→
f2 e
−→e2 = −8
−→
f1 + 2
−→
f2 . Determine Mεϕ,Mϕε e as expressões dos
−→
fj em termo dos
−→ej , com
j = 1, 2.
Exerćıcio 22. Verifique que −→a = (1,−3, 4),−→b = (2,−4,−1) e −→c = (1,−5, 7) formam
uma base ϕ. Em seguida, explicite Mεϕ,Mϕε e verifique que Mεϕ.Mϕε = id.
3.7 Produto interno
Dados −→u e −→v , tome (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v . Por medida angular entre −→u e −→v ,
ou medida do ângulo entre −→u e −→v , entende-se a medida a(−→u ,−→v ) do ângulo definido
por AB e AC. É comum dizer ’ângulo entre −→u e −→v ’ em vez de ’a medida angular entre
−→u e −→v ’.
O cálculo de a(−→u ,−→v ).
Suponha uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, por meio da qual se tem |−→u | =√
u21 + u
2
2 + u
2
3 e |−→v | =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3. Independente da medida α = a(
−→u ,−→v ) (α: alfa,
’a’ latino), valem |−→u − −→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2|−→u ||−→v | cos α ’7’ e também |−→u − −→v |2 =
(u1− v1)2 +(u2− v2)2 +(u3− v3)2 = u21− 2u1v1 + v21 +u22− 2u2v2 + v22 +u23− 2u3v3 + v23 =
u21 + u
2
2 + u
2
3 + v
2
1 + v
2
2 + v
2
3 − 2(u1v1 + u2v2 + u3v3) = |−→u |2 + |−→v |2− 2(u1v1 + u2v2 + u3v3).
Portanto,
|−→u ||−→v | cos α = u1v1 + u2v2 + u3v3
e
cos α =
u1v1 + u2v2 + u3v3√
u21 + u
2
2 + u
2
3
√
v21 + v
2
2 + v
2
3
.
Exemplo 22. Qual é a medida do ângulo formado por −→u = (3,−4, 7) e −→v = (−1, 2,−3)
?
|−→u | =
√
32 + (−4)2 + 72 =
√
74 e |−→v | =
√
(−1)2 + 22 + (−3)2 =
√
14 e cos α =
3(−1) + (−4)2 + 7(−3)√
74
√
14
= − 32√
1036
= −16
√
259
259
. Com aux́ılio de uma calculadora
cient́ıfica obtém-se α = arccos−16
√
259
259
= 173, 8216o. C
Imagine −→u = −→AB e −→v = −→AC. Por B passa uma única reta perpendicular à ←→AC e fica
definido D.
7 Sendo x, y, z as arestas de um triângulo, e a, b, c os ângulos internos, tem-se x2 = y2 + z2 −
2yz cos a, y2 = x2 + z2 − 2xz cos b, z2 = x2 + y2 − 2xy cos c (Teorema de al-Kashi, também conhecido
como Lei dos co-senos)
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 31 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
u
A
B
C
v
D
A
B
C
D
u
v
a
a
p-a
Tanto no caso agudo (α < 90o), quando no caso obtuso (90o < α < 180o), (A,D)
representa o vetor projeção ortogonal de −→u sobre −→v , que é denotado por proj−→v −→u .
Define-se proj−→u
−→v do mesmo modo. Facilmente se demonstra que, para quaisquer −→a ,−→b
e −→v , vale proj−→v (−→a +
−→
b ) = proj−→v
−→a + proj−→v
−→
b .
O produto interno euclidiano é a operação matemática que, para −→u e −→v , associa o
número real |−→u ||−→v | cos α, em que α = a(−→u ,−→v ). Esse número é conhecido com produto
escalar de −→u por −→v e denotado por −→u .−→v . As principais propriedades do produto
escalar são as seguintes:
PI1. −→u ⊥ −→v se, e somente se, −→u .−→v = 0;
PI2. −→u .−→v = −→v .−→u ;
PI3. x(−→u .−→v ) = x−→u .−→v = −→u .x−→v ,∀x ∈ R;
PI4. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w e −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w ;
PI5. −→u .(x−→v + y−→w ) = x(−→u .−→v ) + y(−→u .−→w ),∀x, y ∈ R;
PI6. |−→u | =
√−→u .−→u .
PI7. |−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v | (Desigualdade triangular).
Note que nenhuma base está fixada.
Exerćıcio 23. Verifique cada uma das propriedades acima para o caso particular −→a =
(3, 2,−5),−→b = (−1, 4,−7) e −→c = (9, 6,−2) em uma base ortonormal.
Exerćıcio 24. Supondo que (−→a +−→b ).(−→a −−→b ) = 0, qual a relação entre −→a e −→b ?
Exemplo 23. Sejam −→u = (3,−5, 6),−→v = (a, b, c) e −→w = (7, 2, 2) tais que −→u .−→w = −→v .−→w .
É tentador ’cancelar’ −→w e escrever −→u = −→v , porém isso não é válido já que não existe
divisão de vetor por vetor. O que podemos fazer é −→u .−→w = −→v .−→w ⇒ −→u .−→w −−→v .−→w = 0⇒
(−→u −−→v ).−→w = 0⇒ (3−a,−5−b, 6−c).(7, 2, 2) = 23−7a−2b−2c = 0⇒ c = 23− 7a− 2b
2
.
Tomando a = 1, b = 2, vale c = 6. E se a = 3, b = −5, então c = 6. Perceba que a
igualdade −→u .−→w = −→v .−→w admite infinitas soluções. C
Também é um absurdo ’cancelar’ −→w em
−→u .−→w
−→v .−→w , pois o resultado seria
−→u
−→v , algo que não
foi e não será definido.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 32 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.7 Produto interno
Com o produto interno é fácil determinar a projeção de −→u sobre −→v , de fato proj−→u−→u =−→u .−→v
|−→v |2
−→v , o que é fácil de se verificar.
Exerćıcio 25. Dado −→u ∈ R3, |−→u | 6= 0, todo −→v ∈ R3 se escreve como a soma de um
múltiplo de −→u com um vetor ortogonal a −→u .
Inclinações de um vetor.
Sendo ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base ortonormal, valem
−→e1 .−→e1 = −→e2 .−→e2 = −→e3 .−→e3 = 1
−→e1 .−→e2 = −→e1 .−→e3 = −→e2 .−→e3 = 0
e é fácil calcular os ângulos que −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 forma com os −→ej . De fato:
1. −→a .−→e1 = (x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 ).−→e1= x = |−→a ||−→e1 | cos α⇒ α = arccos
x
|−→a | .
2. −→a .−→e2 = (x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 ).−→e2 = y = |−→a ||−→e2 | cos β ⇒ β = arccos
y
|−→a | .
3. −→a .−→e3 = (x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 ).−→e3 = z = |−→a ||−→e3 | cos γ ⇒ γ = arccos
z
|−→a | (γ: gamma,
’g’ latino).
Curioso que −→a = (−→a .−→e1 )−→e1 + (−→a .−→e2 )−→e2 + (−→a .−→e3 )−→e3 .
É certo que podemos fixar qualquer base no espaço, e em qualquer plano, mas se os
vetores da base são não-ortogonais dois a dois, então cada um desses se projeta no plano
dos dois outros e determina um vetor não-nulo. Essa situação é ruim do ponto de vista
do cálculo numérico, como se vê no seguinte exemplo.
Exemplo 24. Em uma base ortonormal, tem-se −→u = 2−→e1 + 3−→e2 − −→e3 ,−→v = −→e1 + 2−→e2 +
3−→e3 ,−→w = −3−→e1 +−→e2 + 2−→e3 e −→a = 5−→u + 3−→v + 7−→w .
O determinante de


2 1 −3
3 2 1
−1 3 2

 é não-nulo (verifique !) logo ϕ = {−→u ,−→v ,−→w } também
é uma base. Porém, |−→u + −→v |2 = |(3, 5, 2)|2 = 38 6= |−→u |2 + |−→v |2 = 28 mostra que os
vetores de ϕ são não-ortogonais entre si.
Tem-se −→a = (5, 3, 7)ϕ e −→a = 5(2, 3,−1) + 3(1, 2, 3) + 7(−3, 1, 2) = (−8, 28, 18)ε. Agora
as inclinações de −→a com relação a −→u ,−→v e −→w :
1. cos a(−→a ,−→u ) =
−→a .−→u
|−→a ||−→u | =
5−→u .−→u + 3−→v .−→u + 7−→w .−→u√
1172
√
14
=
5.14 + 3.5 + 7.(−5)√
1172
√
14
=
50√
1172
√
14
indica 67,024o.
2. cos a(−→a ,−→v ) =
−→a .−→v
|−→a ||−→v | =
5−→u .−→v + 3−→v .−→v + 7−→w .−→v√
1172
√
14
=
5.5 + 3.14 + 7.(5)√
1172
√
14
=
102√
1172
√
14
indica 37,222o.
3. cos a(−→a ,−→w ) =
−→a .−→w
|−→a ||−→w | =
5−→u .−→w + 3−→v .−→w + 7−→w .−→w√
1172
√
14
=
5.(−5) + 3.5 + 7.14√
1172
√
14
=
88√
1172
√
14
indica 46,607o.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 33 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.8 Orientações no espaço R3
Deve-se notar que a projeção de −→u sobre −→v e −→w não é vetor nulo, idem para os dois
outros casos. Já na base ortonormal, a projeção de −→e1 sobre −→e2 e −→e3 é o vetor nulo, idem
para os dois outros casos, e assim são mais simples os cálculos das inclinações de −→a com
relação a −→e1 ,−→e2 e −→e3 :
1. cos a(−→a ,−→e1 ) =
−→a .−→e1
|−→a | = −
8√
1172
indica 103,514o.
2. cos a(−→a ,−→e2 ) =
−→a .−→e2
|−→a | =
28√
1172
indica 35,126o.
3. cos a(−→a ,−→e3 ) =
−→a .−→e3
|−→a | =
18√
1172
indica 58,28o. C
Será que existe uma base ortonormal {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} tal que −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 é de
norma |−→a | =
√
x2 + y2 + z2 ? Mesmo os vetores da base são combinações entre eles,
−→e1 = a11−→e1 +a12−→e2 +a13−→e3 ,−→e2 = a21−→e1 +a22−→e2 +a23−→e3 ,−→e3 = a31−→e1 +a32−→e2 +a33−→e3 , e então−→a = x−→e1 +y−→e2 +z−→e3 = (a11x+a21y+a31z, a12x+a22y+a32z, a13x+a23y+a33z) = (x, y, z)
implicam em
a11x + a21y + a31z = x
a12x + a22y + a32z = y
a13x + a23y + a33z = z
O mais óbvio a se fazer é tomar aij = 1, quando i = j, e aij = 0, quando i 6= j, e
então −→e1 = (1, 0, 0),−→e2 = (0, 1, 0) e −→e3 = (0, 0, 1). Esses vetores especiais formam a base
canônica em R3, a única base ortonormal que será utilisada aqui.
Exerćıcio 26. Sejam −→u = (2,−7, 1),−→v = (−3, 0, 4) e −→w = (0, 5,−8). Detemine o ângulo
associado a 2−→u − 4−→v e 2−→u + 3−→v − 5−→w .
Exerćıcio 27. Escreva −→v = (1,−2,−5) como combinação linear de −→a = (1, 1, 1), −→b =
(1, 2, 3) e −→c = (2,−1, 1). Depois, calcule os ângulos que −→v forma com os −→e j (j = 1, 2, 3).
Exerćıcio 28. Encontre B = (x, y, z) sabendo que A = (1,−2, 3), |−→AB| = 6 e −→AB forma
ângulos α = arccos
2
3
, β = arccos−1
3
e γ = arccos
1
2
com os eixos coordenados.
3.8 Orientações no espaço R3
a
v
b u
A
B
C
E
D
Quando é necessário escolher um vetor ortogonal a dois
outros, existem dois sentidos posśıveis. O que diferen-
cia −→a de −→b , além do sentido ? Vamos considerar −→u =
(u1, u2, u3),
−→v = (v1, v2, v3),−→a = (a1, a2, a3) = −
−→
b =
−(b1, b2, b3). Então
det


u1 v1 a1
u2 v2 a2
u3 v3 a3

 = det


u1 v1 −b1
u2 v2 −b2
u2 v3 −b3

 = − det


u1 v1 b1
u2 v2 b2
u2 v3 b3

 6= 0.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 34 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
mostra que a troca de −→a por −→b muda o sinal do determinante, mas não o valor.
Exerćıcio 29. Calcule os dois determinantes no caso em que −→u = (2, 3, 4),−→v = (−5, 6,−7)
e −→a = (11,−1, 3) = −−→b .
Existe uma infinidade de bases em R3, sendo que uma base {−→u ,−→v ,−→w } obedece à
regra da mão direita quando a matriz formada pelos vetores tem det > 0, i.e., quando
posicionados o dedo indicador sobre o representante de −→u e o dedo médio sobre o repre-
sentante de −→v , o dedo polegar pode se sobrepor ao representante de −→w . Uma orientação
de R3 consiste na coleção de todas as bases (em um número infinito) que respeitam a
regra da mão direita. Na ilustração anterior, a orientação é dada pela base {−→u ,−→v ,−→a }.
3.9 Produto vetorial
De agora em diante R3 está munido da base canônica, que verifica a regra da mão
direita. O produto vetorial em R3 é a operação matemática que, para −→u e −→v , associa
o vetor −→u ∧ −→v com as seguintes caracteŕısticas:
PV1. |−→u ∧ −→v | = |−→u ||−→v | sen α, em que α = a(−→u ,−→v );
PV2. −→u ∧ −→v ⊥ −→u e −→u ∧ −→v ⊥ −→v ;
PV3. (−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v ) é uma base em R3 com a regra da mão direita.
Claro que α = 0o, 180o, significa −→u e −→v L.D. e então −→u ∧ −→v = −→0 .
A condição PV1), puramente geométrica, significa que a norma de −→u ∧ −→v coincide
com a área do paralelogramo cujas arestas são (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v .
A condição PV2) obriga −→u ∧−→v ter representantes paralelos à reta r que contém A e é
perpendicular ao plano que contém A,B,C. Em r existem D,E que distam exatamente
|−→u ||−→v | sen α de A, a regra da mão direita leva à escolha de D e então (A,D) é um
representante de −→u ∧ −→v .
e
1
2
3
e
e
r
E.
e
B u
C
A
v
u
<
v
D
.
.
.
Área | |u
<
v
.
Além disso, existe um único −→e unitário com a direção de r tal que {−→u ,−→v ,−→e } é uma
base na orientação de R3, assim podemos escrever −→u ∧ −→v = (|−→u ||−→v | sen α)−→e . Por fim,
PV3) significa que −→a se escrever na forma −→a = x−→u + y−→v + z(−→u ∧ −→v ).
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 35 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
Exerćıcio 30. Mostre que −→u ,−→v e −−→AD = −→u ∧−→v são L.I., que −→u ,−→v e −→AE = −(−→u ∧−→v )
também são. Mostre que esses dois ternos ordenados formam bases discordantes.
Além das propriedades definidores do produto vetorial, são importantes as seguintes:
PV4. −→u ∧−→v = −→0 se, e somente se, (1) ao menos um dos vetores é nulo ou (2) se são
L.D;
PV5. −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u );
PV6. k−→u ∧ −→v = −→u ∧ k−→v = k(−→u ∧ −→v );
PV7. −→u ∧ (−→v +−→w ) = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w e (−→u +−→v ) ∧ −→w = −→u ∧ −→w +−→v ∧ −→w .
Exemplo 25. Desenvolver (3−→u − 5−→v ) ∧ (−5−→u +−→v ).
Aplicando os fatos demonstrados, 3−→u ∧ (−5−→u +−→v )−5−→v ∧ (−5−→u +−→v ) = 3−→u ∧ (−5−→u )+
3−→u ∧−→v −5−→v ∧ (−5−→u )−5−→v ∧−→v = −15(−→u ∧−→u )+3(−→u ∧−→v )+25(−→v ∧−→u )−5(−→v ∧−→v ) =
3(−→u ∧ −→v )− 25(−→u ∧ −→v ) = −22(−→u ∧ −→v ). C
Os produtos escalar e vetorial se relacionam pela expressão
|−→u ∧ −→v |2 + (−→u .−→v )2 = |−→u |2|−→v |2.
Exemplo 26. Determinar |−→u ∧ −→v | para −→u = (3, 4, 2) e −→v = (−5, 2, 7) em uma base
ortonormal (concordante com a orientação fixada em R3). Dois modos:
1o. Pela definição, |−→u ∧ −→v | = |−→u ||−→v | sen α =
√
29
√
78
√
1− cos2 α =
√
29
√
78
√
1− ( 7√
29
√
78
)2 =
√
29
√
78
√
29.78− 49
29.78
=
√
2213.
2o. Pela expressão relacionando produto escalar e vetorial, |−→u ∧ −→v | =
√
29.78− 49 =√
2213. C
O passo seguinte é obter as coordenadas de −→u ∧ −→v em termos das coordenadas de
−→u e −→v , como feito com o produto escalar. Sejam −→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3) em
uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} associada à orientação fixada em R3. Verifica-se
facilmente que
−→e1 ∧ −→e1 = −→e2 ∧ −→e2 = −→e3∧ −→e3 =
−→
0
−→e1 ∧ −→e2 = −→e3 , −→e2 ∧ −→e3 = −→e1 , −→e3 ∧ −→e1 = −→e2
−→e2 ∧ −→e1 = −−→e3 , −→e3 ∧ −→e2 = −−→e1 , −→e1 ∧ −→e3 = −−→e2
Desenvolvendo −→u ∧ −→v tem-se, (u1−→e1 + u2−→e2 + u3−→e3 ) ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) PV7=
u1
−→e1 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) + u2−→e2 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) + u3−→e3 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) =
u1
−→e1 ∧ v1−→e1 + u1−→e1 ∧ v2−→e2 + u1−→e1 ∧ v3−→e3 + u2−→e2 ∧ v1−→e1 + u2−→e2 ∧ v2−→e2 + u2−→e2 ∧ v3−→e3 +
u3
−→e3 ∧ v1−→e1 + u3−→e3 ∧ v2−→e2 + u3−→e3 ∧ v3−→e3 PV6= u1v1−→e1 ∧ −→e1 + u1v2−→e1 ∧ −→e2 + u1v3−→e1 ∧ −→e3 +
u2v1
−→e2 ∧ −→e1 + u2v2−→e2 ∧ −→e2 + u2v3−→e2 ∧ −→e3 + u3v1−→e3 ∧ −→e1 + u3v2−→e3 ∧ −→e2 + u3v3−→e3 ∧ −→e3 =
u1v2
−→e3 + u1v3(−−→e2 ) + u2v1(−−→e3 ) + u2v3−→e1 + u3v1(−→e2 ) + u3v2(−−→e1 ).
Logo −→u ∧ −→v = (u2v3 − u3v2)−→e1 − (u1v3 − u3v1)−→e2 + (u1v2 − u2v1)−→e3 . Essa com-
binação linear é demasiada complexa para ser memorizada, mas pode ser encarada como
o determinante da seguinte ’matriz simbólica’ (não é matriz !):
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 36 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
−→u ∧ −→v = det


−→e1 −→e2 −→e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3


Exemplo 27. Calcular (3−→u − 7−→w ) ∧ (2−→v + 9−→w ), sabendo que −→u = (6,−2,−4),−→v =
(3, 4, 5) e −→w = (9,−3, 1) são dados em uma base ortonormal associada à regra da mão
direita. Existem duas opções. 1a. 3−→u ∧ 2−→v + 3−→u ∧ 9−→w − 7−→w ∧ 2−→v − 7−→w ∧ 9−→w =
6(−→u ∧−→v )+27(−→u ∧−→w )−14(−→w ∧−→v ) = 6 det


−→e1 −→e2 −→e3
6 −2 −4
3 4 5

+27 det


−→e1 −→e2 −→e3
6 −2 −4
9 −3 1

−
14 det


−→e1 −→e2 −→e3
9 −3 1
3 4 5

 = 6(6,−42, 30)+27(−14,−42, 0)−14(−19,−42, 45) = (−76,−798,
−450). 2a. Considere −→a = 3−→u − 7−→w = (−45, 15,−19),−→b = 2−→v + 9−→w = (87,−19, 19) e
então −→a ∧ −→b = det


−→e1 −→e2 −→e3
−45 15 −19
87 −19 19

 = (−76,−798,−450). C
Exerćıcio 31. Verifique cada uma das propriedades (PV) para o caso particular −→a =
(2, 1, 1),
−→
b = (−1, 4,−7) e −→c = (9, 6,−2).
Exerćıcio 32. Determine −→u ∧ −→v , tal que:
1) −→u = (1, 2, 3) e −→v = (4, 5, 6).
2) −→u = (7, 3, 1) e −→v = (1, 1, 1).
Em cada um dos casos, verifique que −→u ∧ −→v ⊥ −→u e −→u ∧ −→v ⊥ −→v .
Exerćıcio 33. Encontrar um vetor unitário que seja ortogonal a −→v = (1, 3, 4) e −→w =
(2,−6, 5).
Exerćıcio 34. Estabeleça um vetor −→w de norma 4, tal que {−→u ,−→v ,−→w } constitua uma
base concordante com a orientação de R3, tal que −→u = (2,−3, 4) e −→v = (1, 5, 3).
Exerćıcio 35. Sejam −→u = (1, 3,−5) e −→v = (2,−2, 2). Decomponha −→v = −→v1 + −→v2 , de
sorte que −→v1 ⊥ −→u e −→v2//−→u . Mostre que |−→u ∧ −→v | = |−→u ∧ −→v1 | e que −→u ∧ −→v = −→u ∧ −→v1 .
Uma interessante aplicação geométrica do produto vetorial ocorre na projeção de áreas.
Na ilustração, S é a área do paralelogramo gerado por (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v , B e
C são projetados no plano que contém A,X, Y , que contém A, Y, Z e que contém A,X,Z,
o que faz surgir paralelogramos de áreas S12, S13 e S23.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 37 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
D
E
e
1
2
3
e
e
X
Y
Z
.
.
.
.
.
.
.
v
u
B
C
.
A F
G
H
I
.
.
S
S
12
S
13
S
23
vu
v
a
A projeção de −→u = (u1, u2, u3) sobre o plano que contém A,X, Y é a soma das
projeções de −→u sobre −→e1 e −→e2 , é −→u 12 = proj−→e1
−→u + proj−→e2
−→u = (−→u .−→e1 )−→e1 + (−→u .−→e2 )−→e2 =
u1
−→e1 + u2−→e2 . A projeção de −→v = (v1, v2, v3) sobre o mesmo plano é −→v 12 = (−→v .−→e1 )−→e1 +
(−→v .−→e2 )−→e2 = v1−→e1 + v2−→e2 . Têm destaque os seguintes fatos:
1. −→u 12 ∧ −→v 12 =′ 8′ det


−→e1 −→e2 −→e3
u1 u2 0
v1 v2 0

 = (u1v2 − v1u2)−→e3 = det
(
u1 u2
v1 v2
)
−→e3 e S12 =
|−→u 12 ∧ −→v 12| = | det
(
u1 u2
v1 v2
)
|.
2. −→u ∧−→v .−→e3 = |−→u ∧−→v | cos α = S cos α = [(u2v3−u3v2)−→e1 − (u1v3−u3v1)−→e2 +(u1v2−
u2v1)
−→e3 ].−→e3 = u1v2 − u2v1 logo S| cos α| = |u1v2 − u2v1| = S12.
3. De modo análogo define-se as projeções −→u 13 e −→v 13 sobre o plano que contém
A,X,Z, bem como −→u 23 e −→v 23 sobre o plano que contém A, Y, Z. Como antes, S13 =
| det
(
u1 u3
v1 v3
)
| é a área do quadrilátero associado a −→u 13 e −→v 3, S23 = | det
(
u2 u3
v2 v3
)
|
é a área do quadrilátero associado a −→u 23 e −→v 23, −→u 13 ∧ −→v 13 = − det
(
u1 u3
v1 v3
)
−→e2 e
−→u 23 ∧ −→v 23 = det
(
u2 u3
v2 v3
)
−→e1 .
8 Lembre-se que a base deve ser ortonormal para que seja posśıvel escrever o determinante
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 38 Geometria anaĺıtica
3 G.A. parte 2 Vetores 3.9 Produto vetorial
Também sendo β = ang(−→u ∧ −→v ,−→e2 ) e γ = ang(−→u ∧ −→v ,−→e3 ), tem-se S13 = S| cos β| e
S23 = S| cos γ|.
4. S2 = |−→u ∧ −→v |2 = |(u2v3 − u3v2)−→e1 − (u1v3 − u3v1)−→e2 + (u1v2 − u2v1)−→e3 |2 =
|(u2v3 − u3v2)−→e1 |2 + |(u1v3 − u3v1)−→e2 |2 + |(u1v2 − u2v1)−→e3 |2 = (u1v3 − u3v1)2 + (u1v3 −
u3v1)
2 + (u1v2 − u2v1)2 = S212 + S213 + S223.
Note que todo o cálculo feito não leva em conta a posição relativa de (A,B) e (A,C), ou
seja, tanto faz se o quadrilátero de área S é horizontal, é vertical ou tem outra disposição.
Exerćıcio 36. Leve em consideração−→u = (4, 3,−1),−→v = (−2, 4, 3) e determine S12, S13, S23,
α, β, γ e S.
Exerćıcio 37. Qual o valor da área limitada pelo triângulo que é a projeção de ABC
sobre Oxy, tome A = (3,−1, 2), B = (1, 5, 1) e C = (4, 1, 1) ?
Outra importante aplicação geométrica do produto vetorial está na definição da equação
geral de um plano. Isso será visto mais adiante.
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ 39 Geometria anaĺıtica
4 G.A. parte 2 Sistemas de coordenadas
4 G.A. parte 2 Sistemas de coordenadas
Uma vez que ponto é o elemento minimal da Geometria, é posśıvel estabelecer um
mecanismo através do qual ponto é associado a número. Imagine A e B sobre uma reta r;
para qualquer C ∈ r, existe um único a ∈ R que satisfaz à equação vetorial −→AC = a −→AB
(certo ?). Sendo O um ponto qualquer, vale
−→
AC =
−→
AO +
−→
OC =
−→
OC −−→OA.
B
r
.
O
.
C
.
A
.
Portanto, a
−→
AB =
−→
OC − −→OA implica em −→OC = −→OA + a−→AB e a interpretação é que,
fixados A,B ∈ r (i.e., fixado −→AB), cada número real a define um único ponto C sobre r,
e vice-versa.
Definição 4.1. Se O um ponto e ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base concordante com a orientação
de R3, o par ordenado (O, ε) é chamado sistema de coordenadas em R3, de origem O
e base ε. Se for ε ortonormal, então (O, ε) é um sistema de coordenadas ortogonal
em R3, de origem O e base ε. •
Esse texto de
aulas é
fornecido em
caráter pessoal
ao aluno
inscrito em
Geometria
anaĺıtica e
Cálculo
Vetorial I,
IME03-01913,
UERJ.
O autor não
autoriza sua
transferência a
terceiros, nem
a divulgação
na Internet de
parte ou da
integra desse
texto
Note que ao falar em sistema de coordenadas (O, ε) ficam pré-estabelecidos dois fatos:
1. Os representantes de −→e1 ,−→e2 e −→e3 são segmentos orientados com origem em O.
2. Cada ponto P ∈ R3 estabelece o segmento orientado (O,P ), o vetor −→OP , e torna-se
então associar as coordenadas de vetores com às de pontos, e vice-versa.
Definição 4.2. Sendo
−→
OP = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 = (x, y, z)ε, as coordenadas de P são
os números x, y e z e se escreve P = (x, y, z). O número x é a abscissa de P , y é a
ordenada de P e z é a cota de P . •
Algumas observações:
1a. Deve-se interpretar
−→
OP = (1, 4, 3) como uma indicação de que todos os segmentos
orientados de
−→
OP são equipolentes a (O,P ) com P = (1, 4, 3). Só isso !
2a. Se P = (−6, 2, 3), então −→OP = (−6, 2, 3), mas não se pode dizer que P e −→OP
são iguais, embora associados biunivocamente aos mesmos três números, são objetos
matemáticos diferentes (ponto e conjunto).
3a. Se
−→
OP = (−1, 1, 5), então P = (−1, 1, 5), e de novo não se pode dizer que −→OP e P
são iguais.
Exemplo 28. Determinar as coordenadas de B sabendo que (A,B) representa −→v =
(4, 7, 1), tal que A = (3,−4, 5).
A. T. Béhague - Prof. Doutor IME/UERJ