2-3-Transformada-de-Fourier

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Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Teoria das Comunicações
2.3 Transformada de Fourier
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (1)
• Como representar um sinal não periódico no domínio da freqüência?
g(t)
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (2)
• Criamos um sinal periódico gT0(t) com período T0
)(lim)(
0
0
tgtg T
T 

gT (t)0
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (3)
• Sinal periódico gT0(t) pode ser representado por uma série 
exponencial de Fourier
0
0
2 1
,)( 0
0 T
feDtg
n
tnfj
nT  







 dtetg
T
D
tnfj
n
02
0
)(
1 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (4)
• definimos



 dtetgfG ftj 2)()(

)(
1
0
0
nfG
T
Dn 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (5)
• Podemos reescrever




n
tnfj
T e
T
nfG
tg 0
0
2
0
0 )()(

0
00
1
 definimos
0, com
T
f
fT






n
tnfj
T effnGtg
0
0
2
)()(

Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (6)
• No limite f 0 temos a integral





  dfefGtgeffnGtg ftj
T
n
tnfj
T
 22 )()()()(
0
0
0
Integral de Fourier
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier (7)
  


 dtetgtgfG ftj 2)()()( F
Transformada de Fourier
  


 dtefGfGtg ftj- 21 )()()( F
)()( fGtg 
• G(f) é a densidade espectral de g(t)
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Linearidade da Transformada de Fourier
     )()()(
)()()(
tybtxatz
tbytaxtz
FFF 


Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier de algumas 
funções (1)
• Pulso retangular (função porta)















2
,1
2
,
2
1
2
,0
rect




t
t
t
t
    
 
x
x
x
πft
sin
sinc onde
sincrect

 

F
t0
)g(t
1
2

2

0

1

2

1 f

)( fG

2
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier de algumas
funções (2)
• Impulso (delta de Dirac)
  1)( tF
)()( ttg 
0 t
)( fG
0 f
1
)(tg
0 t
1
)()( ffG 
0 f
  1)( f1-F
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier de algumas 
funções (3)
• cosseno
       000
2
1
2cos ffffft  F
• seno
       000
2
1
2sin ffff
j
ft  F
• Exponencial periódica
   02 0 ffe tfj  F
0 f0f
)( fG
0f
 
2
1 
2
1
t
)2(cos)( 0 tftg 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier de algumas 
funções (4)
• Funçao signum (sinal)
 









0,1
0,0
0,1
sign
t
t
t
t
  
fj
t

1
sign F
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier de algumas 
funções (5)
• Funçao degrau
 






0,0
0,1
t
t
tu
   






fj
ftu


1
)(
2
1
F
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Transformada de Fourier de algumas 
funções (5)
• Funçao degrau
 






0,0
0,1
t
t
tu
   






fj
ftu


1
)(
2
1
F
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (1)
• Simetria
)()(
)()(
fgtG
fGtg


t0
)g(t
A
2
T
2
T
0
T
1
T
2
T
1 f
AT
)( fG
T
2
0  2 t
K
)(tx
2  f0
)( fX
K
2
1
2
1
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (2)
• Escalonamento (Expansão/Compressão)
• Expansão/compressão no tempo = compressão/expansão na freqüência








a
f
G
a
atg
fGtg
1
)(
)()(
t0
)g(t
A
2
T
2
T
t0
)2()( tgtx 
A
TT 0
T
1
T
2
T
1 f
AT2
)( fX
T
2
0
T
1
T
2
T
1 f
AT
)( fG
T
2
( ) 2 (2 )X f G f
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (3)
• Deslocamento no tempo
• Deslocamento na Freqüência
)()(
)()(
02
0 fGettg
fGtg
ftj 


)()(
)()(
0
2 0 ffGtge
fGtg
tfj



Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Deslocamento na freqüência (Exemplo)
• Modulação por cosseno
   
    00
22
0
2
1
)(
)(
2
1
2cos)()( 00
ffGffGfG
eetgtftgtg
c
tfjtfj
c




t
g(t)
f
G( f )
t
gc(t
)
f
Gc( f )
-f0 f0
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (3)
• Convolução 


  dtggtgtg )()()(*)( 2121
)(*)()()(
)()()(*)(
)()(
)()(
2121
2121
22
11
fGfGtgtg
fGfGtgtg
fGtg
fGtg




Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (4)
• Diferenciação no tempo
• Integração no tempo
  )(2
)(
)()(
fGfj
t
tg
fGtg
n
n
n




fj
fGfG
dg
fGtg
t



2
)(
2
)()0(
)(
)()(


 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (5)
• Função Conjugada
)()(
)()(
** fGtg
fGtg


Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Propriedades da Transformada De 
Fourier (6)
• Área de g(t)
• Área de G(f)



 )0()( Gdttg



 )0()( gdffG