SERIE FOURIER 17-04-2021 (1)

Prévia do material em texto

Universidade Estácio de Sá
Departamento de Engenharia
Curso de Engenharia Elétrica
Trabalho
Série de Fourier
Alunos : Eduardo da Silva Coutinho
 Eduardo Ferreira
 João Álvaro Cavalcante de Mattos
 Jorge Fortes
 Mateus Monção
 
 
 
22 de Abril de 2021
Série de Fourier
O Que é Série de Fourier?
Criada em 1807 por  Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830), se trata de forma de série trigonométrica utilizada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos. Isto é, simplificando a visualização e manipulação de funções complexas. 
Ideia Inicial de Joseph Fourier
       
Porque é importante?
A Série de Fourier é importante na técnica de compactação digital, como por exemplo: para reproduzir músicas digitais por streaming, para ver imagens online de rápido carregamento, e no cancelamento de ruído nos fones de ouvido.
Representação Geral da Série
A forma geral da série é:
Representação Geral da Série
Em que os coeficiente       ,       ,       são números que variam de acordo com a função que será representada, de período fundamental 2L. Esses coeficientes são as amplitudes de cada onda em série, que são calculadas com as seguintes fórmulas:
Definição
Uma série trigonométrica é uma série da forma:
Seja     uma função periódica de período 2L, ou seja                             para todo (t), a qual satisfaz às seguintes condições, conhecidas como as condições de Dirichlet:
Definição
A função é unívoca/injetora (de um para um), e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L;
A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral                          converge;
Definição
Então define-se a Série de Fourier da função f como a série trigonométrica dada pelos coeficientes:
Para n inteiro. Observamos aqui que, comora n inteiro. Observamos aqui que, como f periódica de período 2L, o intervalo de integração pode ser qualquer intervalo de comprimento 2L. 
Sendo que geralmente são utilizados 
Os coeficientes                        são conhecidos como coeficientes de Fourier.
Forma Harmônica
Também podemos expressar a série de Fourier da função f(t) com período T como: 
Forma Complexa
Diagramas de espectro
Os coeficientes Cn da expansão de uma função em Série de Fourier Complexa são números complexos. É comum representar os Cn na forma de módulo e fase, isto é:
Convergência
Nas aplicações da engenharia, normalmente se presume que a Série de Fourier converge em todos os pontos, exceto nas descontinuidades. Isso se deve ao fato de que essas funções são mais comportadas do que as que os matemáticos fornecem em contrapartida. Em particular, se S é contínua e derivada de f(x) , que pode apresentar descontinuidade, é integrável ao quadrado, então a Série de Fourier f converge para f(x).  Se uma função é integrável ao quadrado no intervalo                     então a série de Fourier converge para a função em praticamente todos os pontos. A convergência das séries de Fourier também depende do número finito de máximos e mínimos em uma função que é popularmente conhecida como uma das condições de Dirichlet para as séries de Fourier. É possível definir coeficientes de Fourier para funções ou distribuições mais gerais, nesses casos a convergência em norma ou convergência fraca é usualmente de interesse.
Teorema de Perseval
Considerando uma função f(t), com período (T) e representável por uma série de Fourier, a seguinte identidade é válida:
Sendo Cn os coeficientes complexos da série analisada.
Esta integral se relaciona com o conceito de potência média de um sinal.
Sinais Discretos
Vamos considerar que o espectro da função f(t) é composto apenas por frequências inferiores a Wc, onde Wc é chamado de frequência de corte. Mostraremos que se conhecermos apenas os valores de f(t) para t=kT, k e Z, onde T é o período de amostragem e Wa:=2wc é a frequência de amostragem, então podemos reconstruir exatamente f(t) em todos instantes de tempo. Considere f(t) uma função real, definiremos ft(t) uma versão discretizada deste sinal da seguinte forma:
Sinais Discretos
Trem de Dirac’s
Conclusão
 Jean Baptiste Joseph desenvolveu um estudo sobre Fourier que ultrapassou os limites da barreira dos problemas relacionados à condução do calor, e apresentam uma grande importância nas resoluções de problemas práticos relacionados à física e à engenharia, sendo que podemos citar como exemplo o cálculo da intensidade da corrente de um circuito elétrico sujeito a uma força eletromotriz variável periódica e a deflexão de uma viga uniformemente carregada com uma carga q por unidade de comprimento.
 As séries de Fourier são uma ferramenta que permite representar um sinal periódico como uma soma infinita de componentes senoidais (senos e cossenos). são utilizadas para transformar para o domínio da frequência um sinal representado originalmente no domínio do tempo.
Referências
 https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier.
 Butkov, Eugene - Física Matemática - editora Guanabara Koogan, 1988.
 A teoria analítica do calor de Joseph Fourier: uma análise das bases conceituais e epistemológicas Anderson Pifer, Katya Margareth Aurani Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 37, n. 1, 1603 (2015) www.sbfisica.org.br.