Aplicações das Transformadas de Laplace e Fourier na Engenharia

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APLICAÇÕES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE E 
FOURIER NA ENGENHARIA 
APPLICATIONS OF LAPLACE AND FOURIER 
TRANSFORMATIONS IN ENGINEERING 
 
 
Agamilo dos Santos Miranda 1 
Gilvan Melo dos Santos 2 
Reinaldo do Nascimento Freitas 3 
 
 
 
 
Resumo 
As Transformadas de Laplace e Fourier são ferramentas amplamente utilizadas no 
campo da matemática, ajudando a resolver problemas complexos de engenharia. 
Através de uma revisão de literatura apresentaremos o conceito das Transformadas de 
Laplace e Fourier, demonstrando seu contexto histórico, aplicações. 
 
Palavras Chave: Transformada de Laplace, Transformada de Fourier, Aplicações em 
Engenharia. 
 
 
 
 
Abstract 
Laplace and Fourier Transforms are tools widely used in the field of mathematics, 
helping to solve complex engineering problems. Through a literature review we present 
the concept of Laplace and Fourier Transforms, demonstrating its historical context, 
applications. 
 
Keywords: Laplace Transform, Fourier Transform, Engineering Applications. 
 
 
 
 
 
1 Educando em Engenharia Elétrica, Centro Universitário Leonardo da Vinci. 
2 Educando em Engenharia Elétrica, Centro Universitário Leonardo da Vinci. 
3 Educando em Engenharia Elétrica, Centro Universitário Leonardo da Vinci. 
1 INTRODUÇÃO 
 
Grandes matemáticos, principalmente franceses, contribuíram para a história da 
matemática e campos de estudos que envolvem cálculos complexos. Dois destes foram 
Pierre Simon Laplace e Jean-Baptiste Joseph Fourier, que dentro de seus campos de 
estudos contribuíram muito para evolução da matemática com a elaboração dos 
conceitos das Transformada de Laplace e da Transformada de Fourier. Como de 
costume no mundo da matemática as transformadas, também, levam os nomes em 
homenagem aos que formulam os conceitos das mesmas, sendo Laplace e Fourier. 
As Transformadas de Laplace e Fourier são instrumentos utilizados para 
resolução de problemas em vários campos do conhecimento, entre eles física, química, 
matemática, entre outros. No âmbito da engenharia, o método da Transformada de 
Laplace é uma importante ferramenta para a resolução de equações diferenciais, em 
particular das EDO’s lineares com coeficientes constantes e dos correspondentes a 
problemas de valor inicial (PVI’s), bem como dos sistemas de EDO’s, que são bastante 
frequentes. A transformada de Fourier é chamada de representação do domínio da 
frequência do sinal original. O termo da Transformada de Fourier refere-se à ambas 
representações do domínio frequência e a operação matemática que associa a 
representação domínio frequência a uma função temporal. A transformada de Fourier 
não é limitada a funções temporais, contudo para fins de convenção, o domínio original 
é comumente referido como domínio do tempo, certas operações tornam-se muito mais 
simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da frequência, domínio este, 
conseguido a partir das Transformadas de Fourier. 
A generalização da representação por senóides complexas de um sinal de tempo 
contínuo fornecida pela Transformada de Fourier é realizada em termos de sinais 
exponenciais complexos pela Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace 
fornece uma caracterização mais ampla, podendo ser utilizada para a solução de 
problemas de tempo contínuo que envolvem sinais que não são absolutamente 
integráveis. 
Este trabalho apresenta a origem dos conceitos que envolvem as Transformadas 
de Laplace e Fourier, o contexto histórico do surgimento, bem como a importância no 
campo matemático e aplicabilidade na área de engenharia. 
 
 
2 REFERENCIAL TEÓRICO 
 
2.1 Definição das Transformadas 
 
2.1.1 Laplace 
 
O nome da Transformada de Laplace, foi dado em homenagem ao estudioso 
Pierre Simon Laplace, francês, que viveu entre os anos de 1749 a 1827, segundo 
Oliveira (2021, p. 01) afirma “vindo de uma família agrícola e financeiramente estável, 
começou seus estudos em uma escola beneditina na sua cidade natal. Isso o induziu a 
frequentar, aos 16 anos, o curso de teologia na Universidade de Caen. Porém, enquanto 
estava na universidade, despertou grande interesse pela matemática”. Na área de cálculo 
trabalhou com a solução de integrais e equações de diferenças, que foram de grande 
valia tanto em seus trabalhos posteriores, como a Transformada de Laplace, quanto na 
aplicação na mecânica celeste. 
A Transformada de Laplace é uma poderosa ferramenta que transforma uma 
equação diferencial, ou um problema de valor inicial, em uma equação algébrica, Valle 
(2021, p. 02) afirma que “Resolvendo a equação algébrica, podemos determinar a 
solução da equação diferencial ou do problema de valor inicial usando a transformada 
inversa”. Valle (2021, p. 03), apresenta a definição da Transformada de Laplace como, 
“Dada uma f uma função definida para todo t ≥ 0, a Transformada de Laplace de f é 
uma função F. para todos os valores de s para os quais a integral imprópria converge”, 
temos então a função F(s): 
 
 
 
Exemplo: Determine a transformada de Laplace da função constante: 
 f (t) = 1, ꓯt ≥ 0. 
Resposta: L {1} = 1 / s , ꓯs > 0. 
Para sistemas lineares e invariantes no tempo as equações são ordinárias e 
podem ser analisadas por meio de alguma técnica de transformação, como a 
transformada de Laplace, que tem a propriedade de transformar uma equação diferencial 
ordinária em equação algébrica, ou uma equação diferencial parcial em ordinária 
(ARAÚJO, 2012). 
2.1.2 Fourier 
 
O nome da Transformada de Fourier, foi dado em homenagem ao estudioso 
Jean-Baptiste Joseph Fourier, francês, que viveu entre os anos de 1768 a 1830, segundo 
Przygocki (2021, p. 01) afirma que Fourier, “foi um físico e matemático mais conhecido 
por suas contribuições e investigações em séries matemáticas, mais notavelmente por 
sua famosa Série de Fourier”. Seus trabalhos se estendiam da matemática até a área da 
física. Mais conhecido por suas Series de Fourier, a Transformada de Fourier, 
descoberta do Efeito Estufa e teoria de transferência de calor. 
A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes 
elementares seno e cosseno. A aplicação inicial em problemas da condução do calor (lei 
da condução térmica). É importante destacar que, funções periódicas são representadas 
por séries de Fourier, funções não-periódicas são representadas por transformadas de 
Fourier (espectro do sinal) e uma representação de f(x) é uma decomposição em 
componentes que também são funções (as componentes dessa decomposição são as 
funções trigonométricas sen(x) e cos(x)) (FACHINE, 2010). 
A Transformada de Fourier permite analisar de forma adequada funções não 
periódicas. A Transformada de Fourier compete em algumas aplicações com a 
Transformada de Laplace. Entretanto, a Transformada de Fourier é mais útil que a 
Transformada de Laplace em algumas aplicações relacionadas com problemas de 
comunicações e processamento de sinais. É possível escrevê-la como combinação linear 
de todos os senos e cossenos que existem, utilizando todas as frequências 
disponíveis: 
 
Fenômenos periódicos ocorrem recorrentemente em várias aplicações: 
representação de funções periódicas em termos de funções simples, como o sem(x) ou 
cos(x) - Séries de Fourier. Conceitos e técnicas desenvolvidos para as séries de Fourier 
podem ser estendidos para o caso de funções que não são periódicas: Transformadas de 
Fourier. A utilização de séries e Transformadas de Fourier revela-se, portanto, eficiente 
na resolução de problemas nas mais diversas áreas. Para facilitar o tratamento 
matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno e cosseno são 
periódicas de período fundamental 2π, contínuas, limitadas e de classe C∞, ou seja, são 
infinitamente diferenciáveis. 
 
2.2 Áreas do Conhecimento Onde Utilizam-se as Transformadas: Laplace e 
Fourier 
 
2.2.1 Laplace 
 
O método da Transformada de Laplacepode ser utilizado para resolução de 
problemas em áreas como a matemática, a física, a engenharia e a automação industrial. 
A aplicação é na resolução: 
• De equações diferenciais ordinárias; 
• De equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas; 
• De equações diferenciais lineares de primeira ordem não homogêneas; 
• De equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas; 
• De equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas; 
• De equações diferenciais de ordem superior; 
A Transformada de Laplace pode ser usada para análise de sistemas lineares 
invariantes no tempo, tais como circuitos elétricos, osciladores harmônicos, dispositivos 
ópticos e sistema mecânicos. Nessas aplicações costuma-se interpretá-la como 
transformações do domínio do tempo para o domínio de frequências. A vantagem mais 
interessante desta transformação e que as integrações e derivações tornam-se 
multiplicações e divisões. Ela permite fazer a resolução de equações diferenciais em 
forma de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver (ARAÚJO, 
2012). 
 
2.2.2 Fourier 
 
A Transformada de Fourier é uma ferramenta largamente empregada em 
processamento de sinais (sons, imagens). A teoria de Fourier demonstrou que um som 
periódico (como os sons instrumentais utilizados na música) podia decompor-se numa 
soma de sons puros (sinusoidais) de frequência 1f, 2f, 3f. Usado amplamente na análise, 
síntese, e processamento de voz e sons musicais. Pode ser usada para obter o espectro a 
partir da forma de onda (ARAOZ, 2007). 
A Transformada de Fourier tem aplicações diversas em diversas áreas do 
conhecimento, tais como: 
• Física; 
• Química; 
• Teoria dos números; 
• Análise combinatória; 
• Processamento de sinais; 
• Teoria das probabilidades; 
• Estatística; 
• Criptografia; 
• Entre outras áreas. 
A transformada de Fourier usa um ponto de vista específico: Qualquer sinal 
pode ser representado por uma combinação de trajetórias circulares. vibrações de 
diferentes velocidades, intensidades e direções), os edifícios podem ser concebidos para 
evitar que interajam destrutivamente com as mais fortes (GUARNERI, 2015). 
 
3. METODOLOGIA 
 
O intuito deste artigo é, por meio de uma pesquisa bibliográfica, tendo como 
base livros técnicos, artigos científicos, trabalhos de conclusão de curso, dissertações de 
mestrado etc. acerca do tema proposto que é “Aplicações das Transformadas de Laplace 
e Fourier na Engenharia”, apresentar as definições, áreas do conhecimento que utilizam 
e aplicação em engenharia. A pesquisa proposta é de natureza bibliográfica, com 
objetivos descritivos e explicativos. Para a pesquisa bibliográfica foram utilizados 
artigos que abordam o assunto da pesquisa que é “Aplicações das Transformadas de 
Laplace e Fourier na Engenharia”, tais como Oliveira (2021) “Pierre Simon Laplace 
(1749-1827)”, abordando o contexto histórico de Laplace, Valle (2021) “Transformada 
de Laplace e sua Inversa”, que expressa os conceitos das Transformadas. Todas as 
publicações de autores qualificados, no que tange sua formação acadêmica e 
profissional, no assunto, o que os tornam fontes confiáveis. 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
A transformada de Fourier expande o conceito de espectro de frequências, 
podendo analisar funções periódicas como também as funções não periódicas, 
levantando a máxima de que essas funções são periódicas quando o período é infinito. 
Portanto ela transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência, 
sendo extremamente útil em análise de sistemas de telecomunicação e processamento 
digital de sinais. Um dos sistemas de telecomunicações que pode ser abordado usando 
esta ferramenta é a transmissão de dados por modulação de amplitude(Sinais de Rádio 
AM), que tem sua fama maior no ramo do rádio, mas sendo utilizada para sinais de 
televisão e até mesmo sendo uma das integrantes na modulação de sinais de internet Wi-
Fi, ela se mostra versátil, além de simples e com baixo custo de execução (CORREIA, 
2020). 
O método das transformadas de Laplace é bastante utilizado em vários campos 
da engenharia por sua aplicabilidade em equações diferenciais e análises no domínio da 
frequência complexa. Nos circuitos elétricos, a transformada de Laplace se torna ainda 
mais importante, além do fato da modelagem do seu sistema ser regido por equações 
diferenciais, fato que permite a solução de problemas para a descoberta, por exemplo, 
de tensões e correntes do circuito, a análise no domínio da frequência através de funções 
de transferência e variáveis de estado nos permite obter respostas futuras de 
funcionamento dos circuitos apenas conhecendo seus componentes estruturais (SOUZA, 
2017). 
Comparando as Transformada de Fourier e Laplace, temos que, alguns pontos 
interessantes surgem quando se compara essas duas transformadas, vejamos alguns 
deles: 
- Enquanto a transformada de Laplace é unilateral, sendo útil para funções com tempo 
positivo, a transformada de Fourier pode ser aplicada para funções definidas em um 
intervalo de tempo qualquer. 
- A transformada de Laplace pode ser aplicada em uma quantidade maior de funções 
que a transformada de Fourier, entretanto, as transformadas de Fourier são existentes em 
funções em que não é possível realizar fisicamente e que não possuem uma 
transformada de Laplace. 
- Enquanto a transformada de Fourier é de grande ajuda para solucionar problemas que 
trabalham em regime estacionário, a transformada de Laplace se adequa para problemas 
transientes que possuem condições iniciais. 
 - A transformada de Fourier traz uma melhor compreensão das características da 
frequência dos sinais analisados que a transformada de Laplace. 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Em conclusão, grandes matemáticos sempre trazem grandes contribuições a 
humanidade quando formulam teoremas ou hipóteses que são comprovadas 
matematicamente. Laplace e Fourier, contribuíram muito com a formulação dos 
conceitos das Transformadas de Laplace e Transformada de Fourier. Os campos de 
aplicações, tais como matemática, física, química, engenharia, entre outros, avançam em 
problemas e trazem soluções mais confiáveis para problemas complexos. 
Laplace na resolução das EDOs e Fourier no âmbito das frequências, contribuem 
muito para resolução de problemas complexos de engenharia, dentro de circuitos 
elétricos, eletromagnetismo, etc. 
 
REFERÊNCIAS 
 
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implementação e aplicações musicais. 2007 - USP. Disponível em 
<https://www.ime.usp.br/~kon/MAC5900/seminarios/seminario_Jorge.pdf>. Acesso em 
05 de Jul. 2021. 
 
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6dGs6Khp/?lang=pt>. Acesso em 05 de Jul. 2021. 
 
CORREIA, V. T. Uma abordagem da transformada de fourier e sua aplicação em 
sistemas de rádio am. 2020 - FENEMI. Disponível em 
<file:///C:/Users/rfranco.IMMERSIVE/Desktop/galoa-proceedings--conemi-2018--
95391.pdf>. Acesso em 12 de Jul. 2021. 
 
FACHINE, J. M. A Transformada de Fourier e Suas Aplicações. 2010 - UFCG. 
Disponível em <http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/ 
TransformadaDeFourier.pdf>. Acesso em 05 de Jul. 2021. 
 
GUARNERI, H. Introdução a Transformadas de Fourier. 2015 - UFPR. Disponível 
em <https://docs.ufpr.br/~bleninger/arquivos/matapII/fourier-henrique.pdf>. Acesso em 
05 de Jul. 
 
OLIVEIRA, V. C. Pierre Simon Laplace (1749-1827). 2021 - UNICENTRO. 
Disponível em <https://www3.unicentro.br/petfisica/2016/05/15/pierre-simon-laplace/>. 
Acesso em 05 de Jul. 2021. 
 
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Acesso em 05 de Jul. 
 
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VALLE, M. E. Transformada de Laplace e sua Inversa. 2021 - UNICAMP. 
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