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GEOPLANO ISOMÉTRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descrição. 
Os geoplanos isométricos ou geoplano de malha triangular são tabuleiros de madeira de 
forma quadrada com pinos de madeira, de plástico ou pregos, colocados parcialmente pregados 
configurando uma malha triangular. As ligas de borracha, fios ou elásticos enlaçadas nos pinos, 
representam figuras poligonais com vértices nesses pontos da malha. 
 Existe variedade entre os geoplanos isométricos, por exemplo, pode variar o tamanho do 
tabuleiro, o número de pinos e os tipos de pinos segundo o material utilizado, podem ser diferentes 
na inclusão ou não da representação dos segmentos da malha na montagem do geoplano, etc. 
Também é possível colocar juntos, unidos pelo lado, dois ou mais geoplanos isométricos para 
trabalhar em um geoplano maior. 
 
 
 
 
 
 
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Os geoplanos são importantes ferramentas para o ensino-aprendizagem da Matemática pela 
ampla variedade de temas que permitem abordar, inclusive formas distintas de trabalhar os mesmos 
assuntos, combinando o estímulo da intuição, da criatividade, da reflexão, da inovação, do 
desenvolvimento do raciocínio geométrico espacial com a indagação, a experimentação, a 
verificação, a comprovação e a interiorização dos conceitos. Por ser muito simples de manufaturar e 
com enorme potencial de aplicações no ensino, este recurso didático apresenta muitas 
possibilidades de renovar as estratégias e metodologias aplicadas na sala de aula. 
 
Construção do geoplano isométrico 
 
Material: madeira de 30 cm x 30 cm e de 2cm de espessura, de preferência colorida, 70 pinos de 
madeira ou pinos de plástico ou pregos. No caso de escolher pregos, também são usados canudos de 
plástico (palitos de pirulitos), estes são opcionais. 
Construção: O tabuleiro de madeira pode ser laminado com fórmica branca ou colorida, pode ser 
pintado com tinta para madeira de cor branca ou outras cores. Resultados excelentes são obtidos 
com tintas automotivas. 
 Para certas aplicações dos geoplanos isométricos, por exemplo com alunos do ensino 
fundamental, pode ser necessário o desenho das linhas da malha no geoplanos. Com essa finalidade, 
traçamos a malha em cartão colorido e o colamos no tabuleiro 
antes da colocação dos pinos. 
 Para um geoplano isométrico, no desenho da malha 
triangular marcam-se os pinos em cada linha horizontal e 
vertical como na figura ao lado. A distância entre dois pinos 
consecutivos, vértices de um mesmo triângulo equilátero é de 
4cm. É importante deixar uma faixa de 2cm entre a malha e os 
lados do tabuleiro. 
 Se os pinos são de madeira ou plástico, são feitas perfurações no tabuleiro de tamanho 
adequado e colocam-se pinos nos orifícios, usando cola para uma melhor fixação. 
 Se os pinos são pregos então se pode cortar porções de 
canudo de plástico (palito de pirulito) branco ou colorido, para 
revestir o prego. Para acabamento, coloca-se tinta para metal ou esmalte na 
cabeça do prego. 
 
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Área de figuras planas representadas no geoplano isométrico 
O geoplano isométrico apresenta um contexto diferente do habitual para a abordagem de 
áreas de figuras planas utilizando um sistema de medição de áreas em unidades triangulares de área. 
O triângulo unitário é o menor triângulo no geoplano isométrico e tem uma unidade triangular de 
área, que notamos com 1𝑢2, vide o triângulo A na figura. 
A área em unidades triangulares de triângulos equiláteros 
com vértices nos pontos do geoplano isométrico é calculada pela 
contagem dos triângulos unitários que eles contém, assim na 
figura ao lado, área(B) = 9𝑢2, área(C) = 4𝑢2. Também são 
determinadas por contagem as áreas das regiões poligonais, não 
triangulares, logo, na figura ao lado, área(D) = 6𝑢2, área(E) = 5𝑢2 
e área(F) = 13𝑢2. 
 Outras figuras planas não podem ter sua área calculada pela contagem direta dos triângulos 
unitários que elas contém, por exemplo os triângulos G e H na 
figura. Observar que o triângulo G tem o ângulo em P de 60º. 
Logo, pode ser construído o rombóide OPQR e o cálculo da área 
desse polígono segue da contagem direta das unidades 
triangulares de área, área(OPQR) = 12𝑢2. 
A diagonal OG determina em OPQR dois triângulos congruentes, 
portanto, área(ΔOPQ) = 6𝑢2. Isso resulta também do produto 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ .𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 6𝑢2. 
O triângulo H tem o ângulo em O de 120º, e esse triângulo é metade da superfície do rombóide 
OPQR onde PR é uma diagonal. Resulta assim, área(ΔROP) = 6𝑢2. Esse valor também resulta do 
produto 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ .𝑂𝑅̅̅ ̅̅ = 6𝑢2. 
Então, a área de triângulos na malha triangular com um ângulo interno de 60º ou de 120º é 
igual ao produto dos comprimentos dos lados do ângulo de 60º ou de 120º, respectivamente. Esse 
resultado conduz a uma fórmula geral para o cálculo de áreas de triângulos no geoplano isométrico. 
Consideramos o triângulo ΔSTU e traçamos o segmento UV 
que determina no ΔSTU os dois triângulos: ΔSVU, que tem o ângulo 
𝑆𝑉�̂� com med(𝑆𝑉�̂�) = 120°, e o triângulo ΔUVT, que tem o ângulo 
𝑈𝑉�̂� com med(𝑈𝑉�̂�) = 60º. Logo, 
 área(ΔSTU) = área(ΔSVU) + área(ΔUVT) = 𝑆𝑉̅̅̅̅ . 𝑉𝑈̅̅ ̅̅ + 𝑉𝑈̅̅ ̅̅ . 𝑇𝑈̅̅ ̅̅ 
 = (𝑆𝑉̅̅̅̅ + 𝑉𝑇̅̅ ̅̅ ) 𝑉𝑈̅̅ ̅̅ = 𝑆𝑇 ̅̅ ̅̅ . 𝑉𝑈̅̅ ̅̅ 
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Nos casos onde não é possível traçar um segmento interior ao triângulo tal que forme 
ângulos de 60º e de 120º com a base, como no exemplo 
anterior, é produzido um novo polígono externo ao triângulo 
com as características que nos permitem calcular a área usando 
propriedades conhecidas. 
No caso do triângulo ΔWXY traçamos o segmento com 
origem no vértice oposto à base e com extremidade no ponto Z 
da reta pela base XY. Logo, XZ e YZ são os lados do ângulo 
𝑋𝑍�̂� = 𝑌𝑍�̂�, tal que med(𝑋𝑍�̂�) = 60º. Logo, 
área(ΔWXY) = área(ΔWXY) – área(ΔWXY) = 
 = 𝑋𝑍̅̅ ̅̅ . 𝑍𝑊̅̅ ̅̅ ̅ - 𝑌𝑍̅̅̅̅ . 𝑍𝑊̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑋𝑍̅̅ ̅̅ - 𝑌𝑍̅̅̅̅ ) 𝑍𝑊̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ . 𝑍𝑊̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Então, em ambos casos considerados, a área do triângulo é igual ao produto do comprimento 
da base com o segmento que une o vértice oposto à base com a reta pela base formando um ângulo 
de 60º. Esta é uma regra geral para o cálculo de áreas de regiões triangulares no geoplano 
isométrico. 
 
Enunciamos uma generalização do teorema de Pick para regiões poligonais representadas no 
geoplano isométrico. 
 
Teorema de Pick para polígonos em malha triangular. 
Se P é um polígono com vértices em pontos da malha triangular, 𝑃𝑖 são pontos interiores a P e 𝑃𝑏 
são pontos no bordo de P, então área(P) = 𝑃𝑏 + 2(𝑃𝑖 – 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APLICAÇÕES DIDÁTICAS DO GEOPLANO ISOMÉTRICO 
 Retas. Semirretas. Posições relativas. 
 Segmentos de reta. Posições relativas. Comparações de segmentos. 
 Poligonais. Classificação. Comparação de comprimento. 
 Ângulos. Classificação de ângulos. 
 Posições relativas de ângulos. Comparações de medidas de ângulos 
 Elementos dos polígonos: lados, vértices, ângulos, diagonais. 
 Elementos dos triângulos: alturas, bissectrizes, medianas, mediatrizes. 
 Relações entre os elementos dos triângulos 
 Classificações dos polígonos. 
 Convexidade das figuras poligonais. 
 Construção de padrões geométricos. 
 Perímetro de figuras planas. 
 Conceito de área. 
 Trabalho com unidade de área triangular. 
 Área de figuras planas. Equivalência de áreas. 
 Relações perímetro-área. 
 Teorema de Pick. 
 Polígonos isoperimétricos. Polígonos equivalentes. 
 Congruência de polígonos. 
 Simetrias das figuras poligonais. 
 Disecções de polígonos. Polígonos equidecomponíveis. 
 Verificação do Teorema de Pitágoras. 
 Semelhança de polígonos. 
 Relações entre os perímetros e entre as áreas de figuras planas semelhantes. 
 Visualização espacial. 
 Construção de mosaicos. 
Limitações do geoplano isométrico 
As restrições inerentes à estrutura do geoplano isométricofazem que não seja possível: 
 Construção de segmentos de comprimento √3 , √4 , √6 , √7 ,... 
 Construção de ângulos de certa amplitude. 
 Construção de polígonos regulares, exceto triângulo equilátero, hexágono regular convexo e 
hexágono regular não convexo.