projeto de ensino e aprendizagem de Cristiana Belarmino da Silva

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Sistema de Ensino A DISTÂNCIA
MATEMÁTICA - LICENCIATURA
Cristiana Belarmino da Silva
PROJETO DE ENSINO
EM MATEMÁTICA
Cidade
2020
Cidade
OROBÓ - PE
2022
Cristiana Belarmino da Silva
PROJETO DE ENSINO
EM MATEMÁTICA
Projeto de Ensino apresentado à Universidade Norte do Paraná – Unopar, como requisito parcial à conclusão do Curso de Licenciatura em matemática.
Tutor à distância: Darlini Ribeiro Marino
OROBÓ - PE
2022
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO	3
1	TEMA	4
2	JUSTIFICATIVA	5
3	PARTICIPANTES	6
4	OBJETIVOS	6
5	PROBLEMATIZAÇÃO	7
6	REFERENCIAL TEÓRICO	8
7	METODOLOGIA	13
8	CRONOGRAMA	19
9	RECURSOS	20
10	AVALIAÇÃO	20
CONSIDERAÇÕES FINAIS	21
REFERÊNCIAS	22
INTRODUÇÃO
O presente estudo apresenta um Projeto de Ensino em Matemática abordando o tema “Modelagem Matemática no ensino de funções trigonométricas” de maneira que proporcione para os profissionais da área de matemática possibilidades de explorar o conteúdo procurando atender as necessidades de seu aluno.
Se apresenta como um trabalho obrigatório para a conclusão do curso de licenciatura em matemática, mas se caracteriza como uma contribuição à comunidade acadêmica, uma alternativa metodológica, dinâmica e atrativa no processo de ensino e aprendizagem das funções trigonométricas aplicadas a fenômenos periódicos.
No estudo será apresentado um aporte teórico em relação Trajetória Hipotética de Aprendizagem e da Modelagem Matemática, evidenciando sua definição e a definição de modelo, conforme descrevem Burak (1992), D’ambrósio (1986) e Biembengut (2018) e outros. Também é apresentado os procedimentos e etapas dessa metodologia em sala de aula, bem como suas contribuições nesse processo. 
Para exemplificar a aplicação da modelagem em sala, foi desenvolvida uma atividade que investiga o movimento das marés, com o objetivo de construir um modelo matemático que explique o movimento desse fenômeno.
Assim, apresento uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem voltada para alunos do 1º ano do Ensino Médio da educação regular, pois é nesta etapa de ensino que os conceitos de funções trigonométricas são introduzidos, tendo como principal objetivo apresentar as principais características do fenômeno variação das marés e mostrar como as funções trigonométricas são adequadas para modelá-las.
Para a compreensão da importância e contribuição desta temática para o ensino de matemática, o projeto conta com alguns tópicos como tema, justificativa, participantes, objetivos, problematização, referencial teórico, metodologia, cronograma, recursos e avaliação.
7
TEMA 
Atualmente, o papel da educação básica é formar cidadãos capazes de viver em harmonia no o convívio em sociedade, respeitando as diferenças, agindo de forma crítica e reflexiva diante das diversas situações do dia a dia.
Em relação ao ensino da matemática, essa área tem como objetivo subsidiar condições e ferramentas para resolver problemas na área de tecnologia e construir aporte teórico eficaz para o desenvolvimento e aplicações em outras áreas de conhecimento e, principalmente em seu cotidiano.
Na escolha do tema, partiu-se para a necessidade de realizar alguma mudança significativa para a educação matemática. Com base em experiências pessoais, observações e pesquisa bibliográfica, construiu-se o tema “Modelagem Matemática no ensino de Funções Trigonométricas”. 
Com a determinação do tema, partiu-se em busca do aporte teórico que justificasse a importância do tema e, principalmente, que apresente as contribuições que a modelagem matemática como metodologia em sala de aula pode oferecer para se construir um ensino com base na contextualização e, promoção de um aprendizado significativo para os alunos da educação básica. 
Nesse sentido, acredita-se que este projeto de ensino é interessante, pois representa uma alternativa para o ensino de funções trigonométricas, por meio da elaboração de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA), utilizando a modelagem matemática como metodologia.
JUSTIFICATIVA
O ensino de trigonometria apresenta uma certa defasagem na Educação Básica, principalmente na Ensino Médio, em que são necessários conhecimentos adquiridos no ensino fundamental para dar continuidade aos conceitos da trigonometria. Os alunos apresentam muitas dificuldades nessa área da matemática, de acordo com Silva (2013):
Uma das dificuldades do ensino da matemática pode estar associada na formalidade abstrata da transmissão dos conteúdos por parte dos professores, que em muitos casos, são oriundos dos livros didáticos. Com isso, surge um desajuste ao comparar o conhecimento formal dos professores com o prático dos alunos. Desta forma, cabe-se uma investigação sobre a forma com a qual o aluno consegue compreender determinados conteúdos, analisando as dificuldades e consultando suas necessidades e, a partir daí, adaptar a teoria à prática. (SILVA, 2013, p. 01)
Para aprimorar o ensino da trigonometria, são necessárias novas abordagens, uma possibilidade para realizar essa intervenção pode estar na promoção do uso de metodologias alternativas no ensino da matemática, que de acordo com os PCNEM’s, podem contribuir de forma significativo no processo de ensino-aprendizagem.
O que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. (BRASIL, 2002, p.121).
 Dessa forma, a escola por trabalhar com as funções trigonométricas através da modelagem matemática, fundamenta-se ao fato de que essa metodologia fornece aos alunos, a possibilidade de conhecer o conteúdo de maneira ampla, identificando a importância de suas aplicações para o desenvolvimento da sociedade, além de desenvolver versatilidade para compreender outros conteúdos relacionados presentes na contextualização.
Quanto à modelagem matemática, “arte de expressar por intermédio de linguagem matemática situações problemas de nosso meio” (BIEMBENGUT, HEIN, 2003, p.7), percebe-se que esta é uma excelente metodologia de ensino, pois ao realizar investigações em busca de um modelo matemático que possa modelar uma determinada situação, o aluno se depara com conceitos matemáticos e, com isso desenvolver estratégias de acordo com seus conhecimentos.
PARTICIPANTES
Diante dos conteúdos e conhecimentos matemáticos para o desenvolvimento da atividade, a proposta é destinada aos alunos do 1º ano do Ensino Médio da Educação Regular. É importante ressaltar, que pode ser adaptada para as etapas seguintes, potencializando os conhecimentos dos alunos sobre as funções trigonométricas que são utilizadas em outras áreas de conhecimento.
OBJETIVOS
Geral: Apresentar as principais características do fenômeno variação das marés e mostrar como as funções trigonométricas são adequadas para modelá-las.
Específicos:
Conseguir desenvolver modelos que possam ser utilizados para compreender a situação envolvida;
Perceber as funções trigonométricas para modelar a situação;
Compreender a importância dos parâmetros “a”, “b”, “c” e “d” nas funções seno ou cosseno.
PROBLEMATIZAÇÃO
	
O ensino da matemática está no centro de discussões em razão da crescente defasam em relação a alguns conteúdos. A maior preocupação está forma como essa disciplina tem sido ensinada na educação básica.
Um dos fatores é a falta de interesse ou capacitação adequada para realizar um ensino de qualidade, o fato de as escolas públicas não apresentarem infraestrutura e recursos adequados e, consequentemente, a falta de interesse por parte dos alunos.
O que se pode observar é que embora os documentos que orientam a educação no Brasil enfatizem a utilização de metodologias diversificadas no ensino da matemática, em grande parte das escolas, o ensino da matemática é aplicado por aulas repletas de teoria e fórmulas abstratas, que não apresentam significado para os alunos. 
Em relação as funções trigonométricas, o ensino é pautado na excessivaabordagem algébrica na manipulação de fórmulas existentes nesse conteúdo, o que torna a aprendizagem cansativa para os alunos. Dada a complexidade deste conteúdo essa abordagem dificilmente irá ser suficiente para compreender tais conceitos.
Estudos mostram que, em geral, o professor ensina da forma como lhe foi ensinado, mas deve-se considerar as mudanças ocorridas no mundo e, procurar cursos de capacitação para aprimorar a prática docente, utilizando estratégias que forneçam uma aprendizagem significativa para os alunos.
Todos esses fatores supracitados são responsáveis pela defasagem no ensino de funções trigonométricas no ensino médio, dessa forma, é necessário pensar em estratégias de ensino que possa modificar esse cenário.
REFERENCIAL TEÓRICO
A Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) está sendo muito utilizada por educadores no ramo da matemática. Essa técnica de planejamento, apesar de parecer recente, vem sendo estudada há alguns anos.
Foi apresentada por Simon (1995), baseado no construtivismo, destaca sua importância na necessidade de mudanças na forma de ensinar matemática. De acordo com o autor, o uso da expressão “trajetória hipotética de aprendizagem” é para se referir à:
[...] previsão do professor como um caminho pelo qual a aprendizagem pode ocorrer. É hipotético porque a trajetória real de aprendizagem não é conhecida previamente. Ela caracteriza uma tendência esperada. A aprendizagem individual dos estudantes ocorre de forma idiossincrática, embora frequentemente em caminhos similares. É assumido que uma aprendizagem individual tem alguma regularidade (cf. Steffi, et al., 1983, p. 118), que a sala de aula limita a atividade matemática frequentemente de formas previsíveis, e que muitos estudantes na mesma sala podem se beneficiar da mesma tarefa matemática. Uma trajetória hipotética de aprendizagem fornece ao professor uma análise racional para escolher um projeto instrucional particular; assim, eu tomo as minhas decisões baseadas nas minhas melhores suposições de como a aprendizagem pode acontecer (Simon, 1995, p. 135) 
Desse modo, a THA pode ser utilizada pelo professor em sala de aula ao oferecer a possibilidade de construir seu próprio plano com base em decisões, buscando suas melhores suposições de como o conhecimento por parte dos alunos pode ser construído em sala de aula.
Destaca-se que a THA se torna essencial quando o professor deseja promover um ensino baseado em uma metodologia que tanto ele quanto os alunos não estão acostumados, dessa forma ele poderá fazer previsões de como o desenvolvimento da atividade irá ocorrer tendo em mente os conhecimentos prévios de seus alunos, as dificuldades que podem apresentar, e estar preparado para intervir frente á essas dificuldades.
Nesse sentido, a construção de uma THA será de grande valia em um projeto de ensino, que visa a utilização de uma metodologia diversificada, dando ao professor um suporte pedagógico para a construção da aprendizagem. O estudo foca na análise de uma trajetória hipotética de aprendizagem (THA) para o conteúdo de funções trigonométricas considerando a Modelagem Matemática como metodologia de ensino.
Dentro da Matemática a trigonometria é responsável, dentre outras coisas, pelo o comportamento gráfico das funções trigonométricas. Esse conceito é iniciado no ensino médio, e apresenta muita complexidade, pois necessita de conhecimentos adquiridos nas séries anteriores para compreensão deste.
Quando o assunto é funções trigonométricas é possível notar que os alunos expressam um certo “medo” e demonstram rejeição a esse conteúdo, criando uma visão negativa em relação ao processo de ensino e aprendizagem desse conteúdo. 
Esse nível de rejeição, demonstrado por parte dos alunos, pode estar relacionado à falta de compreensão dos conceitos trigonométricos básicos, dado os erros de notação e de conceitos, observados nas representações matemáticas realizadas por alunos do ensino médio e até mesmo iniciantes do ensino superior (BORTOLI, 2012). 
A rejeição, em relação as funções trigonométricas, também pode estar atrelada ao fato de que entre os conteúdos matemáticos do ensino médio, o campo da trigonometria é considerado com um dos mais difícil compreensão por parte dos alunos. O fato é que existe uma complexidade maior nos conceitos envolvidos, mas muitas das vezes, essa dificuldade é dada pela forma como é ensinada em sala de aula, de forma puramente mecânica. 
As funções trigonométricas, na maioria das vezes, não são trabalhadas de forma contextualizada, e sim apenas através de figuras do livro didático e resolução de exercícios, o que ocasiona o não aprendizado. Consequentemente, os alunos não absorvem o conteúdo, não conseguem realizar situações que envolvem os conceitos e acabam por criar esta repulsa pelo conteúdo de funções trigonométricas.
Analisando as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM, 1999) em relação a matemática, observa-se que: 
Cabe a matemática no Ensino Médio apresentar ao aluno o conhecimento de novas informações e instrumentos necessários para que seja possível a ele continuar aprendendo. Aprender matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar resultados dessa ciência e a aquisição do conhecimento deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático (BRASIL, 1999, p. 252).
Com isso, é necessário pensar sobre estratégias de ensino que favoreça o desenvolvimento do pensamento matemático. E ao pensar no ensino de trigonometria, essa concepção se faz mais urgente devido as utilidades deste conteúdo na análise de situações cotidianas.
As orientações curriculares para o ensino médio, enfatizam que para o ensino de funções trigonométricas: 
Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve f (x) = seno (x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em radianos. As funções trigonométricas seno e cosseno também devem estar associadas aos fenômenos presentes na natureza que apresentam comportamento periódico (BRASIL, 2006, p.74. grifo do autor).
Com isso, entende-se que o ensino de funções trigonométricas deve estar relacionado às aplicações cotidianas, permitindo aos alunos analisar as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente e seus gráficos, em fenômenos presentes na natureza e, assim evitar o uso excessivo de exercícios por meio apenas de cálculos algébricos.
No ensino da matemática existe muitas metodologias de ensino que incentiva o aprendizado por meio da contextualização, partindo de situações da nossa realidade. No qual nosso estudo busca destacar a Modelagem Matemática como metodologia, que incentiva o uso e elaboração de modelos matemáticos na análise das mais variáveis situações, motivando o interesse dos alunos ao poder investiga-las matematicamente.
Inserindo a modelagem matemática como metodologia no ensino de funções trigonométricas podemos trabalhar a interdisciplinaridade e a transversalidade, mostrando ao aluno como este conteúdo é importante para sociedade e como ele se relaciona com as outras áreas de conhecimento.
 Nesse contexto, o aluno passa a compreender a importância das funções trigonométricas para o estudo de fenômenos naturais, com a possibilidade de realizar previsões e alguns acontecimentos utilizando modelos matemáticos, despertando seu interesse, não só pelo conteúdo, mas também pelo fazer matemática, pois ao estudar fenômenos que acontecem no cotidiano, é possível pensar sobre eles e sobretudo que está a nossa volta que pode ser explicado matematicamente.
Para compreender a Modelagem Matemática faz como metodologia de ensino faz-se necessário a análise das definições de alguns estudiosos sobre a temática.
De acordo com Burak (1992, p. 62), a modelagem matemática “é o conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomardecisões”. Biembengut (2018, p. 12), por sua vez considera a modelagem como um “o processo que envolve a obtenção de um modelo”. 
Em relação ao modelo matemático D’ambrósio (1986, p.17) enfatiza:
Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. Através da modelagem matemática o aluno se torna mais consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do dia a dia.
Como metodologia de ensino em sala de aula, Chevallard (2001, p.50) defende que o objetivo principal da atividade de modelagem “consiste em construir um modelo matemático da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho”, em resposta aos questionamentos.
Dessa forma, é possível perceber que o processo de modelagem é considera um método científico, mas pode ser muito eficaz como metodologia de ensino, ao permitir que os alunos apliquem conceitos matemáticos na exploração de fenômenos e situações do cotidiano.
Em geral, apoia-se em algumas etapas procedimentais vislumbrando sucesso na busca do modelo matemático. Conforme mostra Biembengut e Hein (2003):
Fonte: BIEMBENGUT e HEIN (2003, p.15)
Essas etapas apresentam direções ao processo de modelagem na tentativa de obter o melhor modelo possível, que possa explicar ou modelar à situação investigada. Porém, como explica Biembengut e Hein (2003), não há necessidade de seguir exatamente e na sequencia essas etapas, por entender que no processo de modelagem matemática: 
[...] não é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo matemático bem sucedido, mas, caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado. Com a modelagem o processo de ensino-aprendizagem não mais se dá no sentido único do professor para o aluno, mas como resultado de interação do aluno com seu ambiente natural. Na modelação, a validação de um modelo pode não ser uma etapa prioritária. Mais importante do que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural. O fenômeno modelado deve servir de plano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria matemática. As discussões sobre esse tema escolhido favorecem a preparação do estudante como elemento participativo na sociedade em que vive [...] (BASSANEZI, 2002, p.38). 
Diante do exposto, pode-se considerar que a modelagem em sala de aula compõe-se da escolha do problema, sua resolução, e o percurso de análise reflexiva sobre ele. Esse processo desenvolve habilidades essenciais no aluno, ao ser necessário realizar investigações desde a escolha do tema até a obtenção do modelo. 
Na aprendizagem por meio desta metodologia os alunos tem a oportunidade de: 
[...] compreenderem os objetos matemáticos, conhecer e relacionar as várias representações destes objetos e utilizá-los para interpretar fatos da realidade. Registros de representação associados a um mesmo objeto matemático e a coordenação adequada entre estes registros representa uma possibilidade do aluno compreender o objeto matemático como um todo (VENTUAN; ALMEIDA, 2007, p.879)
Podemos assim, considerar a modelagem Matemática como uma metodologia de ensino eficaz, contextualizando as mais diversas representações, conceitos matemáticos com problemas do cotidiano. 
METODOLOGIA
1) Inicialmente, é necessário conceituar a Modelagem matemática aos alunos e descrever as fases desse processo. Nessa etapa o professor pode utilizar os trabalhos Burak (1992), que segundo esse autor o desenvolvimento da Modelagem Matemática, segue cinco etapas que de devem ocorrer a partir do interesse ou curiosidade dos alunos, sendo elas: 1) Escolha do tema, 2) Pesquisa exploratória, 3) Levantamento de problemas, 4) Resolução de problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema, 5) Análise crítica das soluções.
2) Em seguida, retomar os conceitos de funções trigonométricas, abrir uma discussão sobre os fenômenos periódicos que podem ser estudados através dessas funções como: o movimento dos ponteiros de um relógio, a sequência dos dias da semana, os períodos de insolação em um determinado local, a roda gigante em um parque de diversões, a variação das marés, entre outros. Nessa etapa, propor ao estudo a análise da variação das marés. Essa é a primeira etapa da Modelagem.
3) Segunda etapa, pesquisa exploratória. Iniciar com uma “bate-papo” sobre o tema que será trabalhado, Efeito Maré, para criar um clima mais descontraído e permitir ao aluno explicitar suas experiências e compreensões a respeito do tema. Entregar aos alunos o texto Efeito Maré. Em seguida, disponibilizar um link para pesquisa que contém informações e noções prévias sobre as marés em Alcântara no Maranhão no dia 20 de janeiro de 2021.
4) Terceira etapa, Levantamento de problemas. De posse dos dados, elaborar o problema: Qual modelo matemático expressa essa situação?
5) Na quarta etapa, os alunos devem responder o problema com o auxílio do conteúdo matemático funções trigonométricas. Levantar hipóteses, variáveis e defini estratégias para a obtenção do modelo. Nessa etapa, também será necessário utilizar o conteúdo de sistema linear, conversão de minutos em horas. Se necessário, revisar os conteúdos para melhor aproveitamento da atividade.
6) Na última etapa de modelação, Análise crítica das soluções. Os alunos devem realizar alguns testes para verificar se o modelo está correto. Nessa etapa, solicitar que os alunos vão ao quadro apresentar o modelo e realizar os cálculos que irão definir ou não se representa a situação de maneira eficaz.
7) Após a realização dessas atividades abrir uma discussão sobre o que os alunos acharam da atividade e gostariam de realizar mais atividades desse tipo.
Atividades propostas:
Segunda etapa, pesquisa exploratória:
EFEITO MARÉ
Texto adaptado de: efeito maré: a lua influencia os mares? disponível em: https://www3.unicentro.br/petfisica/2020/10/29/efeito-mare/; 
O incrível fenômeno da maré: uma onda oceânica. Disponível em: https://www.bioicos.com.br/post/o-incrivel-fenomeno-das-mares-uma-onda-oceanica; 
Maranhão tem a maior variação da maré do Brasil e uma das maiores do mundo. Disponível em: https://www.viagensecaminhos.com/2016/11/maranhao-tem-maior-variacao-da-mare-do-brasil.html. 
Se você já passou um dia na praia, provavelmente deve ter notado o movimento que o mar realiza de subir e descer, e com isso deve ter se perguntado o porquê deste “vai e vem”. Este fenômeno é denominado de Efeito Maré ou simplesmente, maré. O principal responsável por esse efeito é o nosso satélite natural, as marés surgem devido a atração gravitacional que a Lua exerce nas águas dos oceanos, e, em uma menor escala, da atração gravitacional o Sol exerce sobre os oceanos.
Outro fato curioso sobre o efeito maré é que dependendo da posição do Sol e da Lua, em relação à Terra, as marés terão diferentes comportamentos. Caso o Sol, Lua e a Terra estejam alinhados, a soma das forças gravitacionais se multiplicará e então a maré alta acontecerá. No entanto, quando a Terra, Lua e o Sol formam um ângulo reto, as forças gravitacionais se neutralizarão e como resultado obtém-se a maré baixa. Cada uma das marés acontece duas vezes “ao dia” em todos os pontos do mundo, ou seja, aproximadamente, de 12 em 12 horas acontece uma maré alta e baixa.
Para te deixar um pouco mais intrigado, lá vai mais um fato curioso: a própria rotação da terra também influencia na hora e no local onde as marés acontecem.
As marés são muito importantes no nosso cotidiano. Um navio para entrar em um porto é necessário saber se a maré está alta ou baixa. Se uma pessoa quiser dar um passeio pela praia precisa ter alguma noção sobre marés, caso contrário pode ficar ilhado depois de algum tempo. Por isso não há horário padrão para as chegadas e saídas, apenas horários aproximados que variam de um dia para outro. Quem manda é a maré!
No maranhão, por exemplo, os barcos para Alcântara não têm um horáriodefinido é preciso se informar no dia antes, pois durante a maré está baixa, o Cais da Praia Grande (de onde partem os barcos) fica seco e impossibilitado de funcionar. Podemos encontrar os dados das marés altas e baixas nas tábuas de marés no site da marinha. 
Acesse o Link: https://tabuademares.com/br/maranhao/alcantara. E observe a tabela de marés em Alcântara no Maranhão.
De acordo com o site, as marés apresentaram os seguintes dados no dia 20 de janeiro de 2021.
Observe que em ocorreu o intervalo entre uma maré alta e uma maré baixa, é aproximadamente, 6hrs. A altura máxima atingida é de 4,0m e a mínima 0,8m.
Terceira etapa, Levantamento de problemas: 
Tendo em mente os conhecimentos sobre o fenômeno das marés e, com base nas informações do Gráfico acima, qual modelo matemático expressa essa situação, as marés de Alcântara no Maranhão no dia 20 de janeiro de 2021?
Possíveis dúvidas dos alunos: Como devemos iniciar?
Professor: Primeiramente é importante definir as principais informações definidas no problema, formular hipóteses e variáveis.
Possíveis dúvidas dos alunos: O modelo matemático precisa ser uma função?
Professor: Veja que os dados apresentam a altura da maré em determinado tempo, assim observamos uma relação entre duas grandezas, que podem ser analisadas por funções.
Possíveis dúvidas dos alunos: Podemos utilizar qualquer função?
Professor: Veja que estamos trabalhando com a variação das marés que podem ser estudadas por uma função em específico. 
Possíveis dúvidas dos alunos: Função seno ou cosseno?
Professor: A escolha é sua, mas lembre-se das características de cada função.
Quarta etapa: Resolução de problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema.
· As marés apresentam movimentos periódicos, portanto podem ser estudadas pela lei de formação: ;
· A altura máxima atingida é de 4,0m e a mínima 0,8m;
· Cada uma das marés acontece, aproximadamente, de 12 em 12 horas.
Possíveis dúvidas dos alunos: Quais as características dos parâmetros “a”, “b”, “c” e “d”?
Professor: Vamos relembrar no quadro.
a: Desloca verticalmente o gráfico da função 
b: Altera a amplitude da função 
c: Altera o período da função 
d: Desloca horizontalmente o gráfico da função 
Os parâmetros “a” e “b” são os valores de máximo e mínimo da função. Sendo “a” o deslocamento vertical e “b” a amplitude. O parâmetro “c” permite calcular o período da função, em que: . O parâmetro “d” é p deslocamento horizontal.
Obtenção do modelo:
Altura máxima = 4,0. 
Altura mínima = 0,8
Possíveis dúvidas dos alunos: Como podemos obter o período dessa função?
Professor: O Gráfico mostra as horas em que as marés estavam altas e baixas, assim é possível calcular o intervalo de tempo entre uma maré e outra, realizar a média entre elas. Nesse caso é preciso converter os minutos em horas.
Possíveis dúvidas dos alunos: Como podemos converter minutos em horas?
Professor: Vamos realizar um cálculo no quadro.
A primeira maré baixa do dia foi ás 06:54.
Intervalos de tempo:
Período: 
Até agora a função está modelada desta forma:
00:28 = 0,47hrs - 
O seno possui valor igual 1 quando o ângulo é . Dessa forma:
Com os valores dos parâmetros “a”, “b”, “c” e “d” definimos o modelo que expressa a situação das marés como:
Realização de testes para verificar se o modelo está correto. 
Realizando os cálculos verifica-se que o modelo satisfaz a situação.
Dentro de um processo de modelagem é possível que se chegue a modelos diferentes, mas que também descrevem a situação com propriedade. Nesse sentido, tendo como possibilidade que os alunos apresentem modelos diferentes, faz-se necessário a discussão sobre modelos, que se apresentam como aproximações para a situação analisada.
CRONOGRAMA
	Etapas do projeto.
	Período 
	justificativa
	
Exploração do tema 
	
1 aula
	
Este tempo será necessário para uma discussão adequada sobre o tema, procurando sempre ouvir os alunos e respeitar suas opiniões.
	
Atividade Modelagem
	
1 ou 2 aulas
	
Uma atividade de modelagem requer um tempo adequado para que os alunos consigam desenvolver o raciocínio de forma coerente com a situação apresentada. Não se deve apressar o aluno.
RECURSOS 
Computador com internet; 
Data show
Texto com passo a passo para desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática; 
Texto Efeito Maré; 
Atividade impressa;
Calculadoras;
Livro didático; 
Caderno, caneta, lápis e borracha;
Quadro, pinceis e apagador.
.
AVALIAÇÃO
Realizar uma avaliação formativa. Não estipulando nota na aprendizagem para reprovar ou aprovar os alunos. Nesse projeto, o professor deverá avaliar o desenvolvimento, participação e pensamento matemático dos alunos durante a resolução da atividade de modelagem e verificar se os objetivos pretendidos na aprendizagem foram alcançados e desta forma poder fazer as devidas alterações se necessárias.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta de ensino por meio de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem é uma excelente ferramenta para professor da educação matemática que buscam modificar sua prática pedagógica e inserir metodologias alternativas em sala de aula, considerando que a THA propicia momentos de reflexão, estando o professor preparado para possíveis situações que possam ocorrer durante a aprendizagem.
Propostas pedagógicas como a apresentada contribuírem para uma aprendizagem significativa de Funções trigonométricas, promove a contextualização da Matemática a mobilização e valorização de conhecimentos prévios dos alunos, dentre muitos outros fatores.
A modelagem matemática como metodologia se mostra eficaz no trabalho com funções trigonométricas, dada a variedade de fenômenos que podem ser analisados por meio dessas funções, podendo assim o aluno fazer um elo entre os conteúdos curriculares e suas aplicações no cotidiano.
É importante ressaltar que não é intenção promover uma metodologia pronta e acabada no ensino de funções trigonométricas, a intenção é mostrar que através de metodologias diversificadas pode-se mudar a realidade do ensino em relação a esse conteúdo e promover um aprendizado significativo para os alunos.
Por fim, é importante que cada professor, conhecendo as possibilidades de intervenção pedagógicas e o potencial de seus alunos, deve definir estratégias que promova uma formação matemática que privilegie o essencial e o significativo.
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, R. C. Ensino – Aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Editora Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Editora Contexto.2003.
BIEMBENGUT, M. S; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 5ª ed. São Paulo: Contexto, 2018. 
BORTOLI, G. Um olhar histórico nas aulas de trigonometria: Possibilidades de uma prática pedagógica investigativa. 2012. 149f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas). Centro Universitário Univates, Lajeado, RS. 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto/ Secretaria de Educação Fundamental. PCN+ Ensino Médio. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF. 2002. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em: 30 set. 2022.
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BRASIL, Ministério da Educação. Orientações curriculares para o ensino médio. Brasília: MEC, 2006. 
BURAK, Dionísio. Modelagem matemática: ações e interações no processo ensino-aprendizagem. Tese (Doutorado em Psicologia Educacional). Faculdade de Educação, UNICAMP. Campinas, 1992.
CHEVALLARD, Y. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001.
D’AMBRÓSIO, U. Dá Realidade à Ação: Reflexões sobre Educação Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 1986.
FIUZA, Lorraine G. J. Efeito Maré: A Lua influencia os mares? Disponível em: https://www3.unicentro.br/petfisica/2020/10/29/efeito-mare/. Acesso em:30 set. 2022.
OLIVEIRA, J. C. R., FRIAS, R.T., OMODEI, L. B.C. Uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem para o ensino de função afim em um curso de Formação Continuada. 2014. Disponível em: http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/COMUNICACOES/CCTitulo/CC077.PDF. Acesso em: 30 set. 2022.
ROSSETTO, Hallynnee Héllenn Pires. Trajetória Hipotética de Aprendizagem sob um olhar realístico. 2016. 104f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. Disponível em: http://www.uel.br/pos/mecem/arquivos_pdf/2016%20-%20Dissertacao%20-%20ROSSETTO,%20Hallynnee%20H.%20P.pdf. Acesso em: 30 set. 2022.
SIMON, M. A. “Reconstructing Mathematics Pedagogy from a Constructivist Perspective. Journal for research in Mathematics Education”, Vol. 26, n° 2. p. 114-145, 1995.
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