Aula 9: Derivadas direcionais e o vetor gradiente para funções de três variáveis. Reta normal

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Derivadas direcionais e vetor gradiente de funções de três variáveis
Seja f(x, y, z) uma função de três variáveis. Suponha que (a, b, c) ∈ Dom(f) e que −→u =
(u1, u2, u3) seja um vetor unitário do espaço R3.
A reta que passa pelo ponto (a, b, c) e possui vetor diretor −→u possui equação paramétrica
x = a+ su1
y = b+ su2, s ∈ R
z = c+ su3
Definimos a derivada direcional de f em P = (a, b, c) na direção do vetor unitário −→u como
sendo o número (
df
ds
)
−→u ,P
= lim
s→0
f(a+ su1, b+ su2, c+ su3)− f(a, b, c)
s
caso o limite exista. Também podemos denotar a derivada direcional como (D−→u f)P .
A derivada direcional representa a taxa de variação da função f no sentido do vetor −→u .
Observe que, em particular,(
df
ds
)
−→
i ,P
= lim
s→0
f(a+ s, b, c)− f(a, b, c)
s
⇒
(
df
ds
)
−→
i ,P
= fx(a, b, c)(
df
ds
)
−→
j ,P
= lim
s→0
f(a, b+ s, c)− f(a, b, c)
s
⇒
(
df
ds
)
−→
j ,P
= fy(a, b, c)(
df
ds
)
−→
k ,P
= lim
s→0
f(a, b, c+ s)− f(a, b, c)
s
⇒
(
df
ds
)
−→
j ,P
= fz(a, b, c)
Logo, as derivadas parciais da função f são casos particulares de derivadas direcionais:
são as derivadas direcionais na direção dos vetores canônicos
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e−→
k = (0, 0, 1).
Definimos o vetor gradiente de f no ponto P = (a, b, c) como sendo o vetor
∇f(a, b) = fx(a, b, c)−→i + fy(a, b, c)−→j + fz(a, b, c)−→k = (fx(a, b, c), fy(a, b, c), fz(a, b, c))
Ou seja, o vetor gradiente de f em P é o vetor do espaço tridimensional cujas entradas são
as derivadas parciais de f calculadas em P .
De forma análoga à que fizemos para funções de duas variáveis, é possível mostrar que (se
f possui derivadas parciais contínuas) a derivada direcional de f em P = (a, b, c) na direção do
vetor unitário
−→u pode ser calculada por(
df
ds
)
−→u ,P
= ∇f(a, b, c) • −→u
Exemplo 1. Determine a derivada direcional da função f(x, y, z) = x2 + xy + ez no ponto
P = (1, 2,−1) na direção do vetor unitário −→u = 1√
3
−→
i +
1√
3
−→
j +
1√
3
−→
k =
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
)
.
Temos que
fx(x, y, z) = 2x+ y, fy(x, y, z) = x, fz(x, y, z) = e
z
Logo,
fx(1, 2,−1) = 4, fy(1, 2,−1) = 1, fz(1, 2,−1) = ez = e−1
e concluímos que(
df
ds
)
−→u ,P
= ∇f(1, 2,−1) •
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
)
=
4√
3
+
1√
3
+
e−1√
3
=
5 + e−1√
3
1
Podemos reescrever as derivadas direcionais como(
df
ds
)
−→u ,P
= ||∇f(a, b, c)|| cos θ
onde θ é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor −→u . Com isso, temos os seguintes resultados:
Teorema 1. O valor máximo da derivada direcional (D−→u f)P de uma função (que possui de-
rivadas parciais contínuas) ocorre quando o vetor
−→u tem a mesma direção e o mesmo sentido
do vetor ∇f(a, b, c).
Teorema 2. O valor mínimo da derivada direcional (D−→u f)P de uma função (que possui deri-
vadas parciais contínuas) ocorre quando o vetor
−→u tem a mesma direção, mas sentido oposto
ao do vetor ∇f(a, b, c).
Se f e g forem funções de duas variáveis com derivadas parciais contínuas, então as seguintes
propriedades são válidas:
• ∇(kf)(a, b, c) = k∇f(a, b, c) para qualquer número real k.
• ∇(f + g)(a, b, c) = ∇f(a, b, c) +∇g(a, b, c)
• ∇(f − g)(a, b, c) = ∇f(a, b, c)−∇g(a, b, c)
• ∇(fg)(a, b, c) = f(a, b, c)∇g(a, b, c) + g(a, b, c)∇f(a, b, c)
• ∇
(
f
g
)
(a, b, c) =
g∇f(a, b, c)− f(a, b, c)∇g(a, b, c)
g(a, b, c)2
se g(a, b, c) 6= 0.
Reta normal
Seja S uma superfície de nível de uma função de três variáveis f(x, y, z) = k onde k =
f(a, b, c). Seja C uma curva derivável da superfície S passando pelo ponto P = (a, b, c). É
possível mostrar que o vetor gradiente ∇f(a, b, c) é ortogonal à reta tangente à curva C no
ponto P .
Definimos o plano tangente à superfície de nível f(x, y, z) = k no ponto P = (a, b, c) como
sendo o plano que passa pelo ponto P e possui vetor normal ∇f(a, b, c). Assim, a equação desse
plano tangente é
fx(a, b, c)(x− a) + fy(a, b, c)(y − b) + fz(a, b, c)(z − c) = 0
2
Exemplo 2. Determine a equação do plano tangente à superfície de nível f(x, y, z) = −1,
onde f(x, y, z) = zexy, no ponto P = (2, 0,−1).
Temos que
fx(x, y, z) = yze
xy, fy(x, y, z) = xze
xy, fz(x, y, z) = e
xy
Logo,
fx(2, 0,−1) = 0, fy(2, 0,−1) = −2, fz(2, 0,−1) = 1
Assim, ∇f(2, 0,−1) = (0,−2, 1) e a equação do plano tangente à superfície de nível f(x, y, z) =
−1 no ponto P = (2, 0,−1) é
−2y + z + 1 = 0
Definimos a reta normal à S em P como sendo a reta que passa pelo ponto P e possui vetor
diretor ∇f(a, b, c) (ou seja, como sendo a reta perpendicular ao plano tangente passando pelo
ponto P ). Assim, a equação paramétrica da reta normal à superfície de nível S no ponto P é
x = a+ sfx(a, b, c)
y = b+ sfy(a, b, c), s ∈ R
z = c+ sfz(a, b, c)
Exemplo 3. Determine a equação paramétrica da reta normal à superfície de nível f(x, y, z) =
−1, onde f(x, y, z) = zexy, no ponto P = (2, 0,−1).
Temos que ∇f(2, 0,−1) = (0,−2, 1) e, portanto, a equação paramétrica da reta normal à
superfície de nível f(x, y, z) = −1 no ponto P = (2, 0,−1) é
x = 2
y = −2s, s ∈ R
z = −1 + s
3
Considere o caso particular em que a superfície S é da forma z = g(x, y) (ou seja, o caso em
que S é o gráfico de uma função g de duas variáveis). Podemos ver a superfície S como sendo
a superfície de nível 0 da função de três variáveis
f(x, y, z) = g(x, y)− z
Neste caso, temos que 
fx(a, b, c) = gx(a, b)
fy(a, b, c) = gy(a, b)
fx(a, b, c) = −1
Assim, o vetor
∇f(a, b, c) = (gx(a, b), gy(a, b),−1)
é o vetor normal à superfície de nível f(x, y, z) = 0 e a equação do plano tangente à essa
superfície no ponto P é
gx(a, b)(x− a) + gy(a, b)(y − b)− (z − c) = 0
ou seja,
z − c = gx(a, b)(x− a) + gy(a, b)(y − b)
Observe que o plano tangente à superfície de nível 0 de f coincide com o plano tangente ao
gráfico da função g(x, y) no ponto (a, b). De fato, como o vetor gradiente ∇f(a, b, c) é ortogonal
às retas tangentes de todas as curvas deriváveis contidas na superfície de nível S no ponto P ,
então, em particular, ele é perpendicular às retas tangentes das curvas C1 = {y = b} ∩ {z =
f(x, y)} e C2 = {x = a} ∩ {z = f(x, y)} no ponto P . Como estas retas tangentes determinam
o plano tangente ao gráfico da função g(x, y) no ponto (a, b), então mostramos que o vetor
∇f(a, b, c) = (gx(a, b), gy(a, b),−1)
é um vetor normal à superfície z = g(x, y) no ponto P . Portanto, a constante γ que multiplicava
o termo z − c na equação do plano tangente ao gráfico da função g(x, y) no ponto (a, b)
α(x− a) + β(y − b) + γ(z − c) = 0
era realmente −1.
Exemplo 4. Determine a equação do plano tangente e a equação paramétrica da reta normal
ao elipsóide
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 3
no ponto P = (−2, 1,−3).
Observe que este elipsóide é a superfície de nível f(x, y, z) = 3 da função
f(x, y, z) =
x2
4
+ y2 +
z2
9
Temos que
fx(x, y, z) =
x
2
, fy(x, y, z) = 2y, fz(x, y, z) =
2z
9
Logo,
fx(−2, 1,−3) = −1, fy(−2, 1,−3) = 2, fz(−2, 1,−3) = −2
3
4
Assim, ∇f(−2, 1,−3) =
(
−1, 2,−2
3
)
e a equação do plano tangente ao elipsóide no ponto
P = (−2, 1,−3) é
−(x+ 2) + 2(y − 1)− 2
3
(z + 3) = 0
ou seja,
−x+ 2y − 2z
3
− 6 = 0
A equação paramétrica da reta normal ao elipsóide no ponto P = (−2, 1,−3) é
x = −2− s
y = 1 + 2s, s ∈ R
z = −3− 2s
3
5