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Matemática Básica - Aula 7 ok_
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MATEMÁTICA BÁSICA Números Racionais Números Racionais Um ancião deixou como herança a seus três filhos 𝟓𝟎 camelos. Quantos camelos cada filho recebeu? Efetuando a divisão de 𝟓𝟎 por 𝟑 obtemos 𝟏𝟔 e resto 𝟐. 𝟓𝟎 = 𝟏𝟔. 𝟑 + 𝟐 Assim, cada filho recebeu 𝟏𝟔 camelos e mais uma terça parte dos 𝟐 camelos que restaram. 𝟓𝟎 𝟑 = 𝟏𝟔 + 𝟐 𝟑 Números Racionais Conjunto dos números racionais. 𝑸 = 𝒂 𝒃 𝐭𝐚𝐢𝐬 𝐪𝐮𝐞, 𝒂, 𝒃 ∈ 𝒁 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 Exemplos: 𝟏 𝟐 ∈ 𝑸 − 𝟑 𝟒 ∈ 𝑸 𝟖 ∈ 𝑸 Operações nos Racionais Dados números racionais 𝒂 𝒃 𝐞 𝒄 𝒅 , definimos: 𝒂 𝒃 + 𝒄 𝒅 = 𝒂. 𝑴𝑴𝑪(𝒃; 𝒅) 𝒃 + 𝒄. 𝑴𝑴𝑪(𝒃; 𝒅) 𝒅 𝑴𝑴𝑪(𝒃; 𝒅) 𝒂 𝒃 . 𝒄 𝒅 = 𝒂. 𝒄 𝒃. 𝒅 Para 𝐜 ≠ 𝟎 𝒂 𝒃 ÷ 𝒄 𝒅 = 𝒂 𝒃 . 𝒅 𝒄 = 𝒂. 𝒅 𝒃. 𝒄 Operações nos Racionais Exemplos: 𝟑 𝟒 + 𝟓 𝟔 = = 𝟑. 𝟏𝟐 𝟒 + 𝟓. 𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐 = = 𝟑. 𝟑 + 𝟓. 𝟐 𝟏𝟐 = 𝟏𝟗 𝟏𝟐 Operações nos Racionais Exemplos: 𝟑 𝟒 . 𝟓 𝟕 = 𝟑. 𝟓 𝟒. 𝟕 = 𝟏𝟓 𝟐𝟖 𝟑 𝟒 ÷ 𝟓 𝟕 = 𝟑 𝟒 . 𝟕 𝟓 = 𝟐𝟏 𝟐𝟎 Elemento Inverso Dado 𝒙 ∈ 𝑸, não nulo, existe 𝒚 ∈ 𝑸, tal que: 𝒙. 𝒚 = 𝟏 O número racional 𝒚, definido pela equação acima, é chamado inverso do número 𝒙 e pode ser denotado por: 𝒚 = 𝟏 𝒙 = 𝒙−𝟏 Elemento Inverso Exemplos: 𝒚 = 𝟏 𝟐 é o inverso de 𝟐, pois 𝟐. 𝟏 𝟐 = 𝟏. 𝒚 = 𝟑 𝟓 é o inverso de 𝟓 𝟑 , pois 𝟑 𝟓 . 𝟓 𝟑 = 𝟏𝟓 𝟏𝟓 = 𝟏. Com este conceito podemos entender a divisão de 𝒙 por 𝒚,como sendo o produto de 𝒙 pelo inverso de 𝒚. 𝒙 𝒚 = 𝒙. 𝟏 𝒚 Números Decimais A fração 𝟏 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎−𝟏 é chamada um décimo. A fração 𝟏 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎−𝟐 é chamada um centésimo. A fração 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎−𝟑 é chamada um milésimo. Podemos usar estas frações para escrever alguns números racionais. Vejamos dois exemplos. Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 𝟑 𝟐 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟑 por 𝟐. 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟏, 𝟓 𝟎 Logo 𝟑 𝟐 = 𝟏, 𝟓 = 𝟏. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟓. 𝟏𝟎−𝟏 Um inteiro e cinco décimos Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟏𝟎 𝟎, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟓 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟓 𝟐 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟓 𝟐𝟎 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐 𝟐𝟎 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐 𝟐𝟎 𝟒 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐 𝟐𝟎 𝟒𝟎 Números Decimais Vamos efetuar a divisão de 𝟓 por 𝟖. 𝟓 𝟖 𝟓𝟎 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟒𝟎 𝟎 𝟓 𝟖 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟔. 𝟏𝟎−𝟏 + 𝟐. 𝟏𝟎−𝟐 + 𝟓. 𝟏𝟎−𝟑 Seiscentos e vinte e cinco milésimos Operações nos Decimais Exemplos. 𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 = 𝟑 𝟐 + 𝟓 𝟖 = 𝟑. 𝟒 + 𝟓. 𝟏 𝟖 = 𝟏𝟕 𝟖 = 𝟐, 𝟏𝟐𝟓 Operações nos Decimais Exemplos. 𝟏, 𝟓 . 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 = 𝟑 𝟐 . 𝟓 𝟖 = 𝟑. 𝟓 𝟐. 𝟖 = 𝟏𝟓 𝟏𝟔 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 Dízimas Periódicas Exemplos. 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑… = 𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 Dízima periódica simples 𝟕𝟏 𝟗𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖… = 𝟎, 𝟕𝟖𝟖𝟖𝟖 Dízima periódica composta Dízimas Periódicas Encontre uma fração que resulta na dízima periódica 𝒙 = 𝟐, 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖. Sol: 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟒, 𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟒𝟕𝟖, 𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟐𝟒𝟒 ⇔ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒙 = 𝟐𝟑𝟐𝟒𝟒 ⇒ ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟑𝟐𝟒𝟒 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∈ 𝑸 Dízimas Periódicas Sejam 𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 e 𝒚 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 , calcule: a) 𝒙 + 𝒚 𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟒 𝟑 , 𝒚 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟓 𝟗 Logo, 𝒙 + 𝒚 = 𝟒 𝟑 + 𝟐𝟓 𝟗 = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟓 𝟗 = 𝟑𝟕 𝟗 = 𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏 Dízimas Periódicas b) 𝒙. 𝒚 𝒙 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 e 𝒚 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒙. 𝒚 = 𝟒 𝟑 . 𝟐𝟓 𝟗 = 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟕 = 𝟑, 𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑 Frações Equivalentes Exemplos: 𝟗 𝟏𝟐 = 𝟑. 𝟑 𝟒. 𝟑 = 𝟑 𝟒 . 𝟑 𝟑 = 𝟑 𝟒 𝟔 𝟏𝟖 = 𝟏. 𝟔 𝟑. 𝟔 = 𝟏 𝟑 MATEMÁTICA BÁSICA Números Racionais
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