livro de matemática 1 ano (marcelo)

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matemática
paiva
componente curricular: 
matemática
Manoel Paiva
 Ensino M
éd
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1
manual do 
professor
Manoel Paiva
Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Santo André.
Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Professor em escolas particulares por 29 anos.
Componente curricular: MateMátiCa
MateMática
Paiva
ensino Médio
3a edição
São Paulo, 2015
1
MANUAL DO PROFESSOR
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
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2016
Impresso no Brasil
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo, Mara Regina Garcia Gay
Edição de texto: Everton José Luciano, Marcos Gasparetto de Oliveira, Patrícia Nakata
Assistência editorial: Adriana Soares Netto
Preparação de texto: Renato da Rocha 
Gerência de design e produção gráfica: Sandra Botelho de Carvalho Homma
Coordenação de produção: Everson de Paula
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues (coord.)
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Marta Cerqueira Leite, Otávio dos Santos, Rafael Mazzari
Capa: Mariza de Souza Porto
Foto: Micrografia de olho composto de inseto 
© Science Faction/SuperStock/Glow Images
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho
Edição de arte: Denis Torquato
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen 
Ilustrações de vinhetas: Otávio dos Santos
Coordenação de revisão: Adriana Bairrada
Revisão: Rita de Cássia Sam, Vânia Bruno, Viviane Mendes de Almeida
Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Junior Rozzo
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Tratamento de imagens: Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, 
Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Hélio P. de Souza Filho, 
Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani
Impressão e acabamento: 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Paiva, Manoel
Matemática : Paiva / Manoel Paiva . — 
3. ed. — São Paulo : Moderna, 2015. 
Obra em 3 v. 
“Componente curricular : Matemática”.
Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
15-01700 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
Conheça seu livro
Este livro foi elaborado para oferecer, de forma clara e objetiva, 
conteúdos matemáticos fundamentais para o Ensino Médio.
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Erro insignificante
O valor encontrado por 
Eratóstenes foi apenas 15% maior 
do que o real, o que é bastante razoável 
pelo método usado na época. O erro 
ocorreu por duas razões: a distância 
entre Siena e Alexandria não era 
exatamente 5.000 estádios, nem as duas 
cidades se localizavam no mesmo 
meridiano. Se esses dois fatos fossem 
verdadeiros, o erro seria de 
aproximadamente 2%.
Medida do ângulo
Eratóstenes verificou que 
a medida a do ângulo 
A BDB determinado 
pela vareta e pelo raio de 
Sol era 1
50
 da medida do 
ângulo correspondente a 
um círculo e que o ângulo 
DBCS, determinado 
pelas duas varetas, 
tinha a mesma medida.
M
E
a
Ângulos congruentes
Como os ângulos ABDB e DBCS 
tinham mesma medida e a 
distância entre as duas cidades 
era de 5.000 estádios, 
Eratóstenes multiplicou essa 
distância por 50, obtendo 
250.000 estádios como 
comprimento da 
circunferência da Terra.
Â
C
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RealEratóstenes
91
Além da teoriaAAllAAA
1. Calcule a medida , em grau. 
2. Por que os ângulos AåDB e DåCS 
tinham a mesma medida? 
3. Sabendo que 1 estádio 
equivale a 185 metros, calcule o 
comprimento, em quilômetro, 
da circunferência da Terra 
obtido por Eratóstenes.
Representação sem escala, uso de cores-fantasia.
Um feito notável há 2.200 anos
Com varetas, olhos, pés e cérebro, Eratóstenes (276-195 a.C.), por 
volta de 240 a.C., foi a primeira pessoa a calcular o comprimento 
da circunferência da Terra com bastante precisão.
Em Siena, ao meio- 
-dia, a vareta não 
produzia sombra.
Em Alexandria, nesse 
mesmo horário, a vareta 
produzia sombra.
Sombras desiguais
Eratóstenes percebeu 
que em Siena a sombra 
de uma vareta vertical 
era invisível, por coincidir 
 
mas, no mesmo momento, em 
Alexandria uma vareta vertical 
projetava uma sombra visível.
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Alexandria
Siena (Aswen)
Geometria plana: 
circunferência, círculo 
e cálculos de áreas
CAPÍTULOCA
PÍÍTTÍ UULLOO
4
90
•	 Adicionando	um	mesmo	número	a	ambos	os	membros	de	uma	desigualdade	ou	subtrain-
do	um	mesmo	número	de	ambos	os	membros,	a	desigualdade	se	mantém.
•	 Dividindo	 ou	multiplicando	 ambos	 os	membros	 de	 uma	 desigualdade	 por	 um	mesmo	
número	positivo,	a	desigualdade	se	mantém.
•	 Dividindo	ou	multiplicando	por	um	mesmo	número	negativo	ambos	os	membros	de	uma	
desigualdade	do	tipo	.,	>,	,	ou	<,	a	desigualdade	inverte	o	sentido.
4 Considerando como universo o conjunto dos números 
naturais, determinar o conjunto solução da inequação: 
5x 2 8 , 3x 1 12
Resolução
Adicionando 8 a cada membro da inequação e subtrain-
do 3x de cada membro, obtemos:
5x 2 3x , 12 1 8 Æ 2x , 20
Dividindo ambos os membros da inequação por 2, obte-
mos: x , 
20
2 Æ x , 10
No universo considerado (N), o conjunto dos valores de 
x que satisfazem a inequação é o conjunto solução S tal 
que S 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(Nota: Se o universo do exercício fosse o conjunto dos 
números reais, não seria possível explicitar, um a um, 
todos os números reais menores que 10. Por isso, o con-
junto solução S seria representado simplesmente por: 
S 5 {x [ R  x , 10}) 
5 (Covest-PE) Um provedor de acesso à internet oferece 
dois planos para seus assinantes:
Plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por 
minuto de conexão durante o mês.
Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 
por minuto de conexão durante o mês. 
Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais 
econômico optar pelo plano B?
a) 160 b) 180 c) 200 d) 220
Resolução 
Sendo x o número de minutos de conexão por mês, a 
opção pelo plano B será mais econômica que pelo plano 
A se 10 1 0,02x , 8 1 0,03x, ou seja:
10 2 8 , 0,03x 2 0,02x Æ 2 , 0,01x
[ x . 200
Logo, a opção pelo plano B será mais econômica para 
mais de 200 minutos de conexão mensal.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resolva o exercício complementar 3.
8 Considerando o universo dos números inteiros, determi-
ne o conjunto solução das inequações.
a) 9x 2 5(3 2 2x) . 7x 1 9
b) 4y 2 5 , 2( y 1 3) 1 5y
c) 6t 2 (5t 1 8) < 1 2 2(5 2 t)
9 Resolva as inequações a seguir, no universo R.
a) 
2x
5 2 1  
x
10 1 
3x
8
b) 4k 2 
3(k 1 2)
4 , 
1
2 1 2(1 2 3k)
c) 2a 2 a 2 42 % 1
10 (FGV-SP) As tarifas praticadas por duas agências de lo-
cação de automóveis para veículos idênticos são:
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS Faça as atividades no caderno.
Em que condição é mais vantajoso alugar um carro na 
agência A do que na agência B?
O	conjunto	solução	de	uma	inequação	pode	ser	vazio?
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ingerir 120 g de proteínas por dia, alimentando-se apenas 
com os dois produtos A e B. Se num certo dia a pessoa 
alimentou-se com 420 g desses produtos, a quantidade do 
alimento B que ingeriu nesse dia foi:
a) 248 g
b) 220 g
c) 250 g
d) 300 g
e) 308 g
5 Resolva, em R, a equação:
0,2x2 2 2,614x 1 8,0822 5 0
6 Para vender sua produção de 100 pneus, um empresário 
estabeleceu que o preço por pneu dependeda quantidade 
adquirida pelo comprador, ou seja, para cada x unidades 
vendidas, o preço unitário, em real, é 40 2 
x
5 .
a) Se um comprador adquirir toda a produção, quanto 
pagará por pneu e quanto pagará por toda a produção?
b) Se um comprador adquirir um lote de 30 pneus, quan-
to pagará por pneu e quanto pagará por todo o lote?
c) Se um comprador adquirir um lote de pneus por 
R$ 1.500,00, qual será o preço pago por pneu?
1 Desde o instante em que inicia a entrada em um túnel até 
o instante em que sai inteiramente desse túnel, um trem 
percorre 780 m. Sabendo que o comprimento do túnel 
tem 260 m a mais que o triplo do comprimento do trem, 
calcule o comprimento do trem.
2 (UFV-MG) Uma certa quantidade de livros será embalada 
em caixas. Se forem colocados 3 livros por caixa, todas as 
caixas serão usadas e sobrará 1 livro. Se forem colocados 
4 livros por caixa, sobrará uma caixa vazia. O número de 
livros é:
a) 20
b) 16
c) 24
d) 12
e) 15
3 Para um espetáculo teatral foram vendidos 260 ingressos, 
distribuídos em apenas dois tipos, A e B, a preços de 
R$ 40,00 e R$ 20,00, respectivamente. Sabendo que o total 
arrecadado com essa venda superou R$ 9.000,00, qual o 
menor número possível de ingressos do tipo A que podem 
ter sido vendidos?
4 Em cada porção de 100 g de um alimento A há 35 g de 
proteínas, e em cada porção de 100 g de um alimento B há 
26 g de proteínas. Uma pessoa, seguindo uma dieta, deve 
43 Para acabar com o estoque, um comerciante deu 12% de desconto sobre o preço p de um produto, 
que passou a custar p1. Por falta de compradores, ele então descontou 5% do preço p1, e o novo 
preço passou a ser p2. Depois ainda descontou 3% do preço p2.
a) Qual foi o preço final do produto após esses três descontos sucessivos?
b) Qual foi o percentual de desconto sobre o preço inicial p após os três descontos sucessivos?
Resolva os exercícios complementares 15 a 20.
A lei do crescimento orgânico
No século XVII, o matemático suíço Jacques Bernoulli (1654-1705) propôs o seguinte pro-
blema: “Qual é a lei segundo a qual cresce um capital aplicado a juro composto quando o juro 
é acrescido ao capital instantaneamente?”.
Observe que esse problema propõe que se calcule a taxa de juro composto, não ano a ano, 
ou mês a mês, ou dia a dia, ou hora a hora, ou segundo a segundo, mas instantaneamente a 
partir do momento da aplicação.
Bernoulli talvez não imaginasse a importância da lei geral a que chegaria. Conhecida atual-
mente como lei do crescimento orgânico, o resultado desse estudo é aplicado em diversas 
áreas além da Matemática, como Biologia, Física, Astronomia, Química, Economia, Geografia 
etc. Enfim, essa lei é aplicada a todas as situações em que se deseja calcular a variação instan-
tânea de uma grandeza que cresce ou decresce através do produto por uma taxa constante.
MENTES BRILHANTES
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Faça as atividades no caderno.
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9 Uma agência de turismo fretou um ônibus de 40 poltronas 
para uma viagem. Cada passageiro pagará R$ 20,00 mais 
uma taxa de R$ 2,00 por poltrona não ocupada.
a) Qual é a receita máxima que a agência pode arrecadar 
com essa viagem?
b) Qual deve ser o número de passageiros para que a 
receita seja máxima?
10 Em um mês de 30 dias, em certo país, os valores E e I, em 
milhão de dólares, das exportações e importações, respec-
tivamente, acumulados até o dia t, podem ser descritos 
pelas funções E(t) 5 
t 2
8 1 
t
4 e I(t) 5 3t. Considerando o 
valor da balança comercial até o final de cada dia, responda 
às questões.
a) Durante quantos dias desse mês a balança comercial 
desse país esteve em déficit?
b) Em algum dia desse mês a balança comercial desse país 
esteve em superávit acima dos 13 milhões de dólares? 
Em caso afirmativo, quais foram esses dias?
(Nota: A balança comercial de um país, em determinado 
período, é a diferença entre o valor monetário total das 
exportações e o das importações, nessa ordem.)
11 Uma única dose de medicamento foi injetada na circu- 
lação sanguínea de um paciente. A concentração C desse 
medicamento no sangue do paciente, em miligrama por 
litro, em função do tempo t, em hora, a partir do instante 
em que foi injetado, pode ser calculada pela função:
C(t) 5 
t
t 2 1 7
Durante quantas horas, após a injeção, a concentração do 
medicamento na circulação sanguínea será de pelo menos 
0,125 mg/L?
Responda às questões a seguir, cuja finalidade é rever os principais conceitos necessários para o desenvolvimento da teoria e das 
atividades do Capítulo 8.
1 Sendo x um número real qualquer, classifique em verda-
deira ou falsa cada uma das afirmações.
a) Se x 5 23, então o número 2x é positivo.
b) A expressão 2x representa um número positivo se x  0.
c) A expressão 2x representa um número negativo para 
qualquer valor de x.
d) A expressão x representa um número positivo para 
qualquer valor de x.
e) Para qualquer valor não negativo de x, tem-se que 
√z x2 5 x.
f ) Para qualquer valor de x, tem-se que √z x2 5 x.
2 Desenhe em seu caderno um eixo real de origem 
O cuja unidade adotada seja o centímetro. Depois, assinale 
nesse eixo:
a) dois pontos de abscissa positiva tal que a distância en-
tre eles seja 6 cm;
b) dois pontos, um de abscissa positiva e outro de abscissa 
negativa, tal que a distância entre eles seja 8 cm;
c) dois pontos de abscissa negativa tal que a distância 
entre eles seja 4 cm;
d) dois pontos distintos que equidistem da origem O.
3 Considere os conjuntos A, B, C e D, a seguir, contidos em um 
eixo real de origem O cuja unidade adotada é o centímetro:
• A, formado por todos os pontos de abscissa x, com 
25  x  5;
• B, formado por todos os pontos de abscissa x, com 
25  x  5;
PRÉ-REQUISITOS PARA O CAPÍTULO 8 Faça as atividades no caderno.
• C, formado por todos os pontos de abscissa x, com 
x  25 ou x  5;
• D, formado por todos os pontos de abscissa x, com 
x  25 ou x  5.
Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirma-
ções a seguir.
a) Há exatamente dois pontos distintos pertencentes a 
A que distam 4 cm da origem O.
b) Há apenas um ponto pertencente a A que dista 4 cm da 
origem O.
c) Todos os pontos pertencentes a A distam menos de 
5 cm da origem O.
d) Todos os pontos pertencentes a A distam 5 cm ou me-
nos da origem O.
e) Há exatamente dois pontos distintos pertencentes a B 
que distam 5 cm da origem O.
f ) Há exatamente dois pontos distintos pertencentes a C 
que distam 6 cm da origem O.
g) Há apenas um ponto pertencente a C que dista 6 cm da 
origem O.
h) Todos os pontos pertencentes a C distam 5 cm ou mais 
da origem O.
i) Todos os pontos pertencentes a D distam mais de 5 cm 
da origem O.
j) Há exatamente dois pontos distintos pertencentes a D 
que distam 5 cm da origem O.
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4 (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela rota-
ção de uma parábola em torno de um eixo z, conforme 
mostra a figura.
x (cm)
y (cm)
C
V
Eixo de rotação (z)
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano 
da figura, é dada pela lei f (x) 5 3x
2
2 2 6x 1 C, onde C é a 
medida da altura do líquido contido na taça, em centímetro. 
Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da 
parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a 
altura do líquido contido na taça, em centímetros, é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
5 No mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das fun-
ções y 5 x2 2 3x 1 2 e y 5 2x 1 5 e determine as coordena-
das dos pontos comuns aos dois gráficos.
6 Esboce o gráfico da função. 
 f (x) 5 
x2 2 9, se x < 4
7, se 4 , x < 6
x 1 1, se x . 6
Resolva os exercícios complementares 1 a 6.
 Inspirando-se nos exercícios propostos 2 a 4, elaborem e resolvam um problemasobre a 
função polinomial do 2o grau que envolva uma situação do cotidiano.
CRIANDO PROBLEMAS
Usando o Winplot, programa de construção de gráficos já instalado no computador (veja 
a atividade Conectado na página 165 do capítulo 6), faça o que se pede.
a) Construa o gráfico de uma função polinomial do 2o grau y 5 ax2 1 bx 1 c, escolhendo 
quaisquer valores reais para a, b e c, com a  0.
b) No mesmo plano cartesiano (ou seja, na mesma tela), construa o gráfico das funções:
 I. y 5 ax2 1 bx 1 c 1 3
 II. y 5 ax2 1 bx 1 c 2 3
III. y 5 a(x 1 3)2 1 b(x 1 3) 1 c
IV. y 5 a(x 2 3)2 1 b(x 2 3) 1 c
Para cada um dos subitens (I), (II), (III) e (IV), redija um texto explicando a transformação 
que sofreu o gráfico em relação ao gráfico original, construído no item a. Tente generalizar 
suas conclusões.
CONECTADO
3 Otimização da função quadrática
Um fabricante pretende lançar no mercado peças de queijo prato na forma de blocos retangu-
lares com 600 cm3 de volume. Como essas peças terão um revestimento plástico, foi necessária 
uma avaliação de custos da embalagem. O departamento de projetos propôs as três possibilidades 
a seguir para as dimensões das peças de queijo.
JA
CE
K/
KI
NO
Projeto A
10 cm
10 cm
6 cm
Projeto B
8 cm
15 cm
5 cm
Projeto C
10 cm
12 cm
5 cm
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Trabalhando 
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Discos parabólicos usados para captar energia solar no Arizona, 
Estados Unidos. Foto de 2010.
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MATEMÁTICA SEM FRONTEIRAS
O paraboloide
Ao girar uma parábola em torno de seu eixo 
de simetria, obtemos uma figura chamada 
paraboloide de revolução.
Resolução
O custo unitário mínimo, em real, é o valor da ordenada yv do vértice da parábola que 
representa a função C:
yv = –
 
4a
 = – (–410)
2 – 4 . 10 . 4.500
4 . 10 => yV = 297,5
Logo, o custo unitário mínimo de produção é R$ 297,50.
Nos objetos do cotidiano com a forma de um paraboloide, os raios de luz que atingem a superfície côncava, parale-
lamente ao eixo de simetria, refletem-se passando por um ponto chamado foco da paraboloide e, reciprocamente, os 
raios de luz gerados no foco são refletidos pela superfície côncava paralelamente ao eixo de simetria. Essa propriedade 
dos paraboloides vale também para outros tipos de onda.
ANÁLISE DA RESOLUÇÃO
Componha uma equipe com alguns colegas e discutam as seções a seguir.
“Se todos estão indo adiante juntos, então o sucesso encarrega-se de si mesmo.”
Henry Ford, fundador da Ford Motor Company.
Um aluno resolveu o exercício conforme a reprodução a seguir. Um erro foi cometido. Apontem o 
erro e refaçam a resolução no caderno, corrigindo-a.
Exercício
O departamento de planejamento de uma indústria de motores para piscina estimou que o custo 
unitário de produção, C, em real, de um tipo de motor decresce em função do número x de unidades 
fabricadas por dia, de acordo com a função C(x) 5 10x 2 2 410x 1 4.500, com x . 0. Qual é o custo unitário 
mínimo para a produção desse tipo de motor?
FA
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O
Os Exercícios resolvidos 
acompanham a teoria 
ajudando na compreensão 
dos conceitos.
Os Exercícios propostos
têm o objetivo de verificar 
o aprendizado, propondo 
uma aplicação mais 
imediata dos conteúdos, 
além de algumas conexões 
com o cotidiano. 
Questões para reflexão 
são apresentadas com o 
objetivo de estimular o 
aluno a argumentar sobre 
os conteúdos estudados.
A seção Pré-requisitos 
para o capítulo seguinte 
propõe exercícios 
para rever conceitos 
importantes ao 
desenvolvimento do 
capítulo seguinte.
A seção Trabalhando em equipe 
propõe uma das principais 
competências exigidas pelo 
mundo moderno, que é saber 
trabalhar em equipe.
Dentro dessa seção temos dois 
itens: Análise da resolução, que 
possibilita a reflexão sobre erros 
comuns na resolução de exercícios, 
além de mostrar sua correção; 
e Matemática sem fronteiras, 
que traz textos interessantes, com 
situações que aplicam conceitos 
trabalhados no capítulo.
A seção Criando problemas 
tem o objetivo de incentivar 
a elaboração de problemas.
Na seção Conectado, são 
propostas atividades usando 
a internet.
Há ainda as atividades com 
Calculadora, Pesquisa e Atividades 
que podem ser feitas em dupla 
ou grupo.
Na seção Mentes brilhantes, 
são apresentados feitos de 
pessoas que revolucionaram 
a Matemática ou a Ciência 
em sua época.
Os Exercícios complementares 
oferecem questões de 
aprofundamento dos 
assuntos abordados.
Trabalhando em equipe
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CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Na abertura deste capítulo, você leu sobre a evolução tecnológica da informática. A fabricação de 
chips é uma área que caminha em direção à nanotecnologia. Aqui há uma dança dos números: enquan-
to o tamanho dos chips converge a medidas extremamente pequenas, a quantidade deles em um mi-
croprocessador é dada por números astronômicos.
Agora, você e seu grupo vão pesquisar o mundo dos números microscópicos.
Fio de cabelo. Imagem obtida por microscopia 
eletrônica de varredura, colorizada artificialmente e 
ampliada 540 vezes, aproximadamente.
Justificativa
A manipulação de matéria em nível atômico já tem um papel significativo em áreas tão diversas 
como tecnologia, medicina, computação, agronegócio, têxtil, energia, química, entre outras, e em 
um futuro próximo ela será imprescindível ao ser humano. 
Objetivo
Pesquisar o mundo microscópio e as unidades de medida a ele relacionadas.
Apresentação
Painel expositivo apresentando textos e imagens ampliadas de organismos visíveis somente ao 
microscópio, acompanhadas de informações sobre suas medidas e as correspondentes unidades.
Questões para pensar em grupo
1. Pesquisem e expliquem a importância do mundo microscópico.
2. O que é nanotecnologia?
3. Que unidades de medida são adequadas a tamanhos tão pequenos? Como elas se relacionam 
com as unidades de medida que vocês já conhecem? A notação científica é a mais útil para 
expressar essas relações?
4. Convém expor no painel a tabela de prefixos usados nas unidades de medida e definidos no 
Sistema Internacional de Unidades (SI)?
5. Onde obter as imagens ampliadas? O que convém colocar nas legendas?
6. Seria interessante acrescentar imagens de corpos visíveis a olho nu para o estabelecimento de 
comparações?
7. Como organizar no painel as informações coletadas?
Organização do trabalho
•	 Escrevam as etapas necessárias para o desenvolvimento desse trabalho e as distribuam criterio-
samente entre os elementos do grupo.
•	 Façam um cronograma para a realização do trabalho que contemple o prazo estabelecido.
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235
Ainda dentro da 
seção Trabalhando 
em equipe, em 
alguns capítulos 
temos a proposta 
de elaboração de 
uma pesquisa, em 
geral, sobre temas 
do cotidiano, 
incentivando uma 
discussão entre 
os alunos
A abertura estimula a reflexão sobre um problema 
contextualizado. Traz questões para avaliar os 
conhecimentos prévios ou que poderão ser 
resolvidas após o estudo do capítulo.
O conjunto solução de uma equação pode ser vazio?
 Uma introdução à linguagem 
Capítulo 1 dos conjuntos 6
 1 A origem da teoria dos conjuntos ............................... 8
 2 Os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos ...... 8
 3 Representação de um conjunto ................................... 9
 4 Conjunto unitário e conjunto vazio ............................. 10
 5 Conjunto finito e conjunto infinito .............................. 10
 6 Subconjunto.................................................................... 11
 7 Igualdade de conjuntos ................................................... 12
 8 Conjunto universo .......................................................... 12
 9 Operações entre conjuntos .......................................... 14
10 Conjunto diferença ........................................................ 17
11 Conjunto complementar ............................................... 19
12 Problemas sobre quantidades de elementos de 
conjuntos finitos ............................................................. 20
13 Conjuntos numéricos ..................................................... 24
14 O eixo real ........................................................................ 34
z Exercícios complementares ..................................... 36
z Pré-requisitos para o capítulo 2 ............................. 38
z Trabalhando em equipe ............................................. 39
 Análise da resolução ................................................... 39
 Matemática sem fronteiras ........................................ 40
 
 Temas básicos da Álgebra 
Capítulo 2 e Matemática financeira 42
1 Equações polinomiais do 1o grau ................................. 44
2 Inequações polinomiais do 1o grau ............................. 46
3 Sistemas de equações polinomiais do 1o grau .......... 48
4 Equações polinomiais do 2o grau ................................ 49
5 Matemática financeira ................................................... 52
z Exercícios complementares ..................................... 59
z Pré-requisitos para o capítulo 3 ............................. 61
z Trabalhando em equipe ............................................. 62
 Análise da resolução ................................................... 62
 Matemática sem fronteiras ........................................ 63
 Consumo e orçamento doméstico ............................ 64
 
 Geometria plana: triângulos 
Capítulo 3 e proporcionalidade 65
1 As origens da Geometria ............................................... 66
2 Polígonos ......................................................................... 66
3 Triângulos ......................................................................... 68
4 Propriedades dos triângulos ......................................... 72
5 Proporcionalidade entre segmentos de reta ............. 75
6 Semelhança de figuras planas ...................................... 77
7 Semelhança de triângulos ............................................ 77
8 Relações métricas no triângulo retângulo ................. 80
z Exercícios complementares ..................................... 84
z Pré-requisitos para o capítulo 4 ............................. 86
z Trabalhando em equipe ............................................. 87
 Análise da resolução ................................................... 87
 Matemática sem fronteiras ........................................ 88
 Planejamento e execução .......................................... 89
 Geometria plana: circunferência, 
Capítulo 4 círculo e cálculos de áreas 90
1 Circunferência e círculo ................................................ 92
2 Posições relativas entre reta 
e circunferência .............................................................. 94
3 Posições relativas entre duas 
circunferências ............................................................... 95
4 Ângulos na circunferência ............................................ 97
5 Perímetro da circunferência ......................................... 100
6 Cálculo de áreas ............................................................. 102
7 Cálculo da área de algumas 
figuras planas .................................................................. 104
z Exercícios complementares ...................................... 113
z Pré-requisitos para o capítulo 5 ............................. 114
z Trabalhando em equipe ............................................. 115
 Análise da resolução ................................................... 115
 Matemática sem fronteiras ........................................ 116
 A linguagem das funções 118
1 Sistema de coordenadas no dia a dia ......................... 119
2 O conceito de função .................................................... 122
3 Formas de representação 
de uma função ................................................................ 125
4 Imagem de x pela função f ........................................... 128
5 Função real de variável real ......................................... 135
6 Zero (ou raiz) de uma função ....................................... 137
7 Variação de uma função ................................................ 139
8 Funções inversas ............................................................ 145
z Exercícios complementares ..................................... 149
z Pré-requisitos para o capítulo 6 ............................. 153
z Trabalhando em equipe ............................................. 154
 Análise da resolução ................................................... 154
 Matemática sem fronteiras ........................................ 155
Capítulo 5
Sumário
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Indicação de leituras complementares ........................................................................................................................................ 259
Respostas ................................................................................................................................................................................................... 261
Lista de siglas .......................................................................................................................................................................................... 278
Bibliografia ............................................................................................................................................................................................... 279
Capítulo 7 Função polinomial do 1o grau 
Capítulo 6 ou função afim 156
1 Função polinomial do 1o grau 
ou função afim ................................................................ 157
2 Gráfico da função polinomial 
do 1o grau ......................................................................... 158
3 Funções definidas por mais 
de uma sentença ............................................................ 166
4 Variação de sinal da função afim ....................................... 168
5 Inequação-produto ........................................................ 170
6 Inequação-quociente .................................................... 171
z Exercícios complementares ...................................... 172
z Pré-requisitos para o capítulo 7 ............................. 174
z Trabalhando em equipe .............................................. 175
 Análise da resolução ................................................... 175
 Matemática sem fronteiras ........................................ 176
 
Capítulo 8 Função polinomial do 2o grau 
Capítulo 7 ou função quadrática 177
1 Função polinomial do 2o grau 
ou função quadrática ..................................................... 178
2 Gráfico da função quadrática ....................................... 178
3 Otimização da função quadrática ............................... 184
4 Variação de sinal da função quadrática ..................... 188
5 Inequações polinomiais do 2o grau ............................. 191
z Exercícios complementares ..................................... 193
z Pré-requisitospara o capítulo 8 ............................. 195
z Trabalhando em equipe ............................................. 196
 Análise da resolução ................................................... 196
 Matemática sem fronteiras ........................................ 196
 Função modular 198
1 Distância entre dois pontos do eixo real ................... 199
2 Módulo, equações e inequações modulares ............ 199
Capítulo 8
3 Função modular .............................................................. 207
z Exercícios complementares ..................................... 210
z Pré-requisitos para o capítulo 9 ............................. 211
z Trabalhando em equipe ............................................. 212
 Análise da resolução ................................................... 212
 Matemática sem fronteiras ........................................ 213
Capítulo 9 Função exponencial 214
1 Introdução ....................................................................... 216
2 Potenciação e radiciação .............................................. 217
3 A função exponencial .................................................... 225
4 Equação exponencial ..................................................... 229
z Exercícios complementares ..................................... 231
z Pré-requisitos para o capítulo 10 ........................... 232
z Trabalhando em equipe ............................................. 233
 Análise da resolução ................................................... 233
 Matemática sem fronteiras ........................................ 234
 Ciência e tecnologia ................................................... 235
Capítulo 10 Função logarítmica 236
1 Os fundamentos da teoria 
dos logaritmos ............................................................... 238
2 O conceito de logaritmo ............................................... 238
3 Função logarítmica ........................................................ 247
4 Equações logarítmicas ................................................... 252
z Exercícios complementares ..................................... 256
z Trabalhando em equipe ............................................. 257
 Análise da resolução ................................................... 257
 Matemática sem fronteiras ........................................ 258
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Big Bang
Primeiros 
vermes
Primeiros ancestrais 
dos elefantes
O2 na atmosfera
Calendário cósmico
Estamos habituados com números que representam 
grandezas do nosso cotidiano, como o preço de 
uma caneta, a duração de um dia e a massa de um 
pacote de café. Mas temos dificuldade em estabelecer 
comparações entre grandes valores numéricos.
Dados obtidos em: SAGAN, Carl. Os dragões do éden. São Paulo: Francisco Alves, 1980.
Um dia
Às 22 h 30 min do dia 
31 de dezembro surgiram 
os primeiros seres 
humanos, e às 23 h 46 min 
os seres humanos 
dominaram o fogo. 
Um minuto
No último segundo do 
último minuto desse 
ano, ocorreu amplo 
desenvolvimento da 
Ciência e Tecnologia, 
exploração do espaço, 
além dos acontecimentos 
da atualidade.
Um mês
Destacando o mês de 
dezembro, podemos notar 
que os primeiros insetos 
surgiram no dia 21, 
e os dinossauros 
foram extintos no dia 28.
Um ano
Para comparar grandes valores, 
como a idade do Universo e a 
idade do planeta Terra, estimadas, 
respectivamente, em 15 bilhões de 
anos e 4,5 bilhões de anos, podemos 
representar a idade do Universo pelo 
intervalo de um ano. A formação do 
planeta Terra teria, então, ocorrido 
no dia 14 do mês de setembro.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Além da teoria
Considerando o calendário cósmico, em que representamos 
a idade do Universo pelo intervalo de 1 ano (365 dias), 
responda às questões.
1. Uma hora corresponde a quantos anos, aproximadamente?
2. Um minuto corresponde a quantos anos, aproximadamente?
3. Observando o horário em que surgiram os primeiros seres 
humanos, calcule há quantos anos a Terra é habitada 
por humanos.
 1.712.329 anos
 28.539 anos
 2.568.494 anos
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CAPÍTULO
1
Uma introdução à 
linguagem dos conjuntos
6
CAPÍTULO
1
Uma introdução à 
linguagem dos conjuntos
6
Formação 
da Terra
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
0 10 20 30 40 50 60
Via Láctea
Primeiros 
dinossauros
Primeiros 
humanos
Primeiros 
felinos
Morrem 
os últimos 
neandertais Agricultura
Avanços científicos 
e tecnológicos, 
exploração do espaço
Domínio 
do fogo
Primeiros 
mamíferos
Extinção dos 
dinossauros
Formação 
do Sistema Solar
Surge 
a vida 
na Terra
Seres 
unicelulares
Primeiros 
insetos
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JAN FEV MAR ABR MAIO JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Ver sugestões para o desenvolvimento 
do infográfico no Suplemento com 
orientações para o professor.
77
1 A origem da teoria dos conjuntos
Até quanto é possível contar? 
Para qualquer número atingido na contagem, sempre existirão nú-
meros maiores, que poderão ser contados. Por isso, dizemos que os 
números resultantes de contagens são infinitos.
Analogamente, metade de 1 é 1
2
, a metade de 1
2
 é 1
4
, a metade 
de 1
4
 é 1
8
 e assim por diante. Repetindo esse procedimento, isto é, 
calculando sempre a metade da fração resultante da operação ante-
rior, qual será a menor fração a que podemos chegar? 
Não existe a menor fração a que podemos chegar com esse proce-
dimento, pois, obtida uma fração, sempre podemos dividi-la por 2, 
conseguindo uma fração menor. Por isso, dizemos que as frações re-
sultantes desse processo são infinitas.
O conceito de infinito, claramente presente nessas duas situações, 
motivou intensos debates científicos, filosóficos e teo lógicos no decor-
rer dos séculos, desde a Antiguidade grega (cerca de 450 a.C.) até a segunda metade do século 
XIX, quando os matemáticos George Cantor (1845-1918) e Richard Dedekind (1831-1916) defi-
niram precisamente esse conceito. Para isso, utilizaram a nova teoria criada por Cantor em 1872: 
a teoria dos conjuntos.
A definição de infinito foi um dos principais objetivos dessa nova teoria. Isso, aliás, pode ser 
observado no primeiro artigo publicado sobre o assunto, em que Cantor trata da comparação de 
coleções infinitas.
Além da definição rigorosa de infinito e de muitas outras contribuições, a teoria dos conjuntos 
unificou a linguagem em todos os ramos da Matemática.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
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Modelo de uma molécula 
de água.
Os primeiros registros históricos sobre debates e tentativas de definir o conceito de infinito 
datam da Antiguidade grega, com os filósofos Zenão de Eleia (cerca de 490 a.C.-430 a.C.), 
Demócrito (cerca de 460 a.C.-370 a.C.), Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) e Arquimedes 
(287 a.C.-212 a.C.). Os argumentos mais famosos sobre esses debates são, sem dúvida, os 
paradoxos de Zenão, com os quais ele pretendia provar a inconsistência do conceito de infinito 
(relacionado ao movimento, ao espaço e ao tempo) adotado até então.
Pesquise na internet “paradoxos de Zenão” e redija um breve texto sobre o paradoxo conhe-
cido como “Aquiles e a tartaruga”. (A palavra paradoxo refere-se a uma ideia aparentemente 
absurda, contraditória.)
CONECTADO
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George Cantor.
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2 Os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos
Os conceitos que iniciam determinada teoria são aceitos sem definição, pois, não existindo 
ainda a teoria, não há como defini-los; por isso são chamados de conceitos primitivos. Na teoria 
dos conjuntos, esses conceitos são: conjunto, elementode um conjunto e pertinência entre 
elemento e conjunto. A ideia de conjunto é a mesma de coleção, conforme mostram os exemplos 
a seguir.
Exemplos
a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada uma dessas revistas é um elemento que 
pertence ao conjunto.
b) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto. Você é um elemento que pertence a 
esse conjunto.
c) Uma molécula de água (H2O) é um conjunto formado por três átomos: dois de hidrogênio 
e um de oxigênio.
Ver Suplemento com orientações para o professor.
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3 Representação de um conjunto
É usual dar nomes aos conjuntos usando letras maiúsculas (A, B, C, D etc.) e representar os 
elementos por letras minúsculas (a, b, c, d etc.).
Destacamos a seguir as três formas fundamentais de representação de um conjunto.
Representação tabular
Na representação tabular de um conjunto, os elementos são apresentados entre chaves e 
separados por vírgula ou por ponto e vírgula.
Exemplos
a) A 5 {a, e, i, o, u} b) B 5 {1, 2, 3, 4} c) C 5 {3,2; 4,5; 8,9}
Note que, nos exemplos acima, u é elemento do conjunto A, mas não é elemento do conjun-
to B. Esses fatos são indicados, respectivamente, por: 
u  A (lê-se: “u pertence a A“) u  B (lê-se: “u não pertence a B “)
Representação por um diagrama de Venn
Na representação de um conjunto por um diagrama de Venn, os elementos são simbolizados 
por pontos interiores a uma região plana, delimitada por uma linha fechada que não se entrelaça.
Exemplos
a) 
a
e
i
o
u
A
 b) 
1
2
3
5
4
0
B
 c) 
1
C
Representação por uma propriedade
Na representação de um conjunto A por meio de uma propriedade, os elementos são descri-
tos por uma propriedade que os determina. Representa-se o conjunto A por:
A 5 {x | x tem a propriedade p}
(lê-se: “A é o conjunto de todos os elementos x, tal que x tem a propriedade p”)
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John Venn (1834-1923), 
criador dos famosos 
diagramas de Venn, que 
ultrapassam as fronteiras 
das ciências e são aplicados 
na Lógica, na Matemática, 
na Informática etc.
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Exemplos
a) A 5 {x | x é país da América do Sul}
Entenda bem: o conjunto A é formado por todos os 
países da América do Sul.
b) B 5 {x | x é planeta do Sistema Solar}
 O conjunto B é formado por todos os planetas do 
Sistema Solar.
propriedade p propriedade p
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Na forma tabular, usa-
-se ponto e vírgula para 
separar números deci-
mais, como no exem-
plo c, pois a vírgula 
poderia ser confundi-
da com a vírgula que 
separa as casas deci-
mais de cada número.
Se necessário, explicar que o Sol e os planetas têm órbitas diferen-
tes, não se mantendo alinhados. Os planetas do Sistema Solar são: 
Mércurio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.
BRASIL
URUGUAI
ARGENTINA
PARAGUAICHILE
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
PACÍFICO
BOLÍVIA
PERU
COLÔMBIA
EQUADOR
VENEZUELA
América do Sul
GUIANA
SURINAME
GUIANA FRANCESA (FRA)
FERREIRA, Graça 
M. L. Moderno 
atlas geográfico.
São Paulo: 
Moderna, 2013.
1.390 km
Representação artística do Sol com os planetas alinhados.
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4 Conjunto unitário e conjunto vazio
Nas situações abaixo, cada uma das letras (A, B e C) representa o conjunto das peças sobre o 
respectivo tabuleiro.
A B C
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Quantos elementos tem cada um desses conjuntos?
Observando que sobre o primeiro tabuleiro da esquerda há 32 peças, sobre o segundo há 
apenas uma peça e sobre o terceiro não há peças, concluímos que o conjunto A tem 32 elementos, 
B tem 1 elemento e C não tem elementos. Dizemos que B é um conjunto unitário e C é um 
conjunto vazio.
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Conjunto vazio, representado por [ ou { }, é aquele que não possui elemento algum.
Exemplos
a) O conjunto A 5 {x | x é um número e x ? 5 5 15} é unitário, pois A é formado por um único 
elemento, isto é, A 5 {3}.
b) O conjunto B 5 {x | x é estrela do Sistema Solar} é unitário, pois o Sistema Solar possui uma 
única estrela: o Sol. Logo, B 5 {Sol}.
c) O conjunto C 5 {x | x é um número e x ? 0 5 15} é vazio, pois, como não existe número 
que satisfaça essa condição, C não possui elemento algum, isto é, C 5 [.
d) O conjunto D 5 {x | x é estado da região Centro-Oeste brasileira e é banhado pelo mar} é va-
zio, pois nenhum estado da região Centro-Oeste do Brasil é banhado pelo mar, isto é, D 5 [.
5 Conjunto finito e conjunto infinito
Um conjunto é finito se for vazio ou se, ao contar seus elementos um a um, chega-se ao 
fim da contagem.
Um conjunto é infinito quando, por mais que se avance na contagem de seus elemen-
tos, sempre haverá elementos a serem contados.
Exemplos
a) O conjunto A 5 {a, b, c, d, e, f } é um conjunto finito, pois podemos contar seus elementos 
e chegar ao fim da contagem.
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
PACÍFICO
NORTE
CENTRO-
-OESTE
SUDESTE
SUL
NORDESTE
RIO GRANDE
DO SUL
SANTA
CATARINA
PARANÁ
SÃO 
PAULO RIO DE 
JANEIRO
ESPÍRITO
SANTO
MINAS
GERAIS
BAHIA
GOIÁS
DF
MATO GROSSO
MATO GROSSO
DO SUL
AMAZONAS
ACRE
RONDÔNIA
RORAIMA AMAPÁ
PARÁ
TOCANTINS
SERGIPE
ALAGOAS
PERNAMBUCO
PIAUÍ
MARANHÃO
CEARÁ
PARAÍBA
RIO GRANDE
DO NORTE
Brasil: divisão por regiões
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SIMIELLI, Maria Elena. Geoatlas. São Paulo: Ática, 2012.
720 km
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b) O conjunto B 5 {x | x é pessoa brasileira} é um conjunto finito, pois podemos contar seus 
elementos e chegar ao fim da contagem.
c) O conjunto C 5 [ é um conjunto finito, pois é vazio.
d) Um importante conjunto infinito que vamos usar como referência neste capítulo é o con-
junto dos números naturais: N 5 {0, 1, 2, 3, 4, ...}
e) Outro importante conjunto infinito que também será usado como referência é o conjunto 
dos números inteiros: Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}
6 Subconjunto
Considere o conjunto B formado pela população brasileira. Com os elementos de B, podemos 
formar o conjunto H, de todos os homens brasileiros, e o conjunto M, de todas as mulheres brasi-
leiras. Os conjuntos formados, H e M, são subconjuntos de B. Se um conjunto T de pessoas possui 
como elemento pelo menos uma pessoa que não seja brasileira, dizemos que T não é subconjunto 
de B. Indicamos esses fatos por:
H  B (lê-se: “H está contido em B”)
M  B (lê-se: “M está contido em B”)
T  B (lê-se: “T não está contido em B”)
Dizer que um conjunto B é subconjunto de um conjunto A equivale a afirmar que, se x 
é elemento de B, então x é elemento de A.
Observe que a definição de subconjunto (B  A) não exige que B possua algum elemento, mas 
que, se possuir, todo elemento de B deverá pertencer a A.
A sentença B  A equivale à sentença A  B (lê-se: “A contém B”), e a sentença B  A equivale 
à sentença A  B (lê-se: “A não contém B”).
Exemplos
a) {2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
b) {2, 5, 3}  {2, 5, 3}
c) {2, 5, 3}  {2, 5, 7, 9}
d) {2, 5, 3, 8, 9}  {2, 5, 3}
e) {2, 5, 7, 9}  {2, 5, 3}
f ) O conjunto de letras {k, w, y} está contido no conjunto das letras do alfabeto 
da língua portuguesa.
g) {cachorro, gato}  {x | x é animal mamífero}
Propriedades
P1. O conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto.
[ - A, ? A
P2. Todo conjunto é subconjunto de 
si mesmo.
A - A, ? A
Exemplos
a) [  {5, 4, 3} b) {5, 4, 3}  {5, 4, 3} c) [  [
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C
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O símbolo ? é lido 
“qualquer que seja”.
Escrevendo todos os subconjuntos do conjunto M 5 {a, b, c}, observa-se que ele tem oito 
subconjuntos: ~, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}. É possível calcular o número de sub-
conjuntos do conjunto M sem precisar escrever todos eles?
Ver Suplemento com orientações para o professor.
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7 Igualdade de conjuntos
Observe que todo elemento do conjunto {1, 2, 3} também pertence ao conjunto {3, 2, 1} e que 
todo elemento de {3, 2, 1} também pertence a {1, 2, 3}. Por isso, dizemos que:
{1, 2, 3} 5 {3, 2, 1}
Dois conjuntos A e B são iguais (A 5 B) se, e somente se, A  B e B  A.
Exemplos
a) {b, c, d, e} 5 {e, b, d, c} b) [ 5 [
Notas:
1. Indicamos que dois conjuntos A e B não são iguais por A  B (lê-se: “A é diferente de B ”).
2. Observe que {4, 5} 5 {4, 4, 4, 5, 5}, pois todo elemento do primeiro conjunto pertence ao 
segundo e todo elemento do segundo pertence ao primeiro. Por isso, convencionamos não 
repetir elementos em um conjunto.
8 Conjunto universo
Na linguagem cotidiana, usamos a palavra “universo” com vários significados. Um deles é o de 
conjunto de seres ou ideias que, em determinada circunstância, é tomado como referência. Por 
exemplo, o universo da Biologia é o conjunto dos seres vivos; o universo do Direito é o conjunto 
de regras que disciplinam as relações em sociedade. Na Matemática, a palavra “universo” assume 
significado semelhante.
Conjunto universo de um estudo, representado por U, é aquele ao qual pertencem 
todos os elementos relacionados com esse estudo.
Exemplos
a) Quando estudamos métodos de contagem, o conjunto universo é 
 U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, ou seja, é o conjunto dos números que podem 
resultar de uma contagem.
b) No estudo das figuras geométricas planas como conjuntos de pontos, o conjunto universo 
é o plano.
c) No estudo das figuras geométricas espaciais como conjuntos de pontos, o conjunto uni- 
verso é o espaço tridimensional.
1 Um automóvel é fabricado em cinco modelos diferentes, 1, 2, 3, 4 e 5, e cada modelo apresenta 
uma destas três cores: azul, vermelha ou preta. Na tabela abaixo, as quadrículas assinaladas com 
um X indicam a disponibilidade de modelo e de cor desse automóvel em uma concessionária.
Cor
Modelo
Azul Vermelha Preta
1 X
2 X
3 X X
4 X X X
5 X
a) Indicando por A, V e P os conjuntos de automóveis nas cores azul, vermelha e preta, res-
pectivamente, representar por um diagrama de Venn os modelos disponíveis em cada cor 
nessa concessionária.
exercício resolvido
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1 Represente, na forma tabular, os seguintes conjuntos:
a) A 5 {x  Z | 23 < x < 3}
b) B 5 {x  Z | x2 5 9}
c) C 5 {x  N | x2 5 9}
d) D 5 {x  N | 9 < x , 100}
e) E 5 {x  N | x . 54}
2 Classifique cada um dos conjuntos a seguir em finito 
ou infinito.
a) A 5 {x  Z | x , 0} c) C 5 {x  N | 0 ? x 5 0}
b) B 5 {x  N | x , 0} d) D 5 {x  N | 0 ? x 5 x}
3 Para uma aula de laboratório, o professor de Química pre-
tende separar os 36 alunos do 1o ano B em conjuntos com 
o mesmo número de alunos cada um. Ele planeja formar 
pelo menos 3 conjuntos, e que cada conjunto tenha pelo 
menos 4 elementos. 
a) Quantos conjuntos podem ser formados?
b) Quantos elementos pode ter cada conjunto?
4 Observando o diagrama, classifique, no caderno, cada 
uma das afirmações em verdadeira ou falsa.
a) 3  A
b) 3  A e 3  B
c) 3  A ou 3  B
d) 5  A ou 5  B
e) 5  A e 5  B
f) {5, 8}  A
g) {5, 8}  B
h) {6, 8}  B
i) {8, 4, 9}  A
j) Se A 5 {5, x, y}, então x 5 3 e y 5 8.
5 Após o teste de um novo medicamento em dez ratos, 
numerados de 1 a 10, verificaram-se, 
como efeitos colaterais, os sintomas 
A, B e C. O pesquisador responsá-
vel pela equipe que realizou a 
experiên cia registrou em seu relató-
rio o diagrama ao lado, que descre-
ve o sintoma de cada rato submeti-
do ao teste. A, B e C representam, 
respectivamente, os conjuntos dos 
ratos com os sintomas A, B e C.
A 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, 3}
B 5 {23, 3}
C 5 {3}
D 5 {9, 10, 11, 12, ..., 98, 99}
E 5 {55, 56, 57, 58, ...}
a) Represente, na forma tabular, cada um dos conjuntos 
A, B e C.
b) Em vez de usar o diagrama, o pesquisador poderia orga-
nizar esses dados em uma tabela, em que no cruzamento 
da linha “sintoma (A, B ou C)” com a coluna rato 
(1, 2, 3, ..., 10) ele assinalaria um X, indicando que tal 
sintoma foi observado em tal rato. Construa uma ta-
bela como essa.
6 A linguagem dos conjuntos é usada em todos os ramos da 
Matemática. Neste exercício, aplicaremos essa linguagem à 
Geometria. Para isso, vamos recordar que:
• Pontos são nomeados por letras maiúsculas: A, B, C, 
D etc.
• Retas são nomeadas por letras minúsculas: a, b, c, r, s, 
t etc. Uma reta é um conjunto de pontos; logo, cada um 
de seus pontos é elemento da reta.
• Um segmento de reta de extremos A e B é representa-
do por TAB ou TBA. Um segmento de reta é um conjunto 
de pontos; logo, cada um de seus pontos é elemento do 
segmento de reta.
• Uma semirreta de origem A que passa por B é repre-
sentada por AB -. Uma semirreta é um conjunto de 
pontos; logo, cada um de seus pontos é elemento 
da semirreta. 
Considerando a figura, classifiquem em verdadeira ou 
falsa cada afirmação a seguir.
B
A
C
D
E
s
r
a) A  r
b) A - r
c) {A} - r
d) AB -  r
e) AB - - r
f ) DE - - AE -
g) A  TAC
h) A - TAC
verdadeira
falsa
verdadeira
verdadeira
verdadeira
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS Faça as atividades no caderno.
22 conjuntos
verdadeira
verdadeira
verdadeira
verdadeira
verdadeira
verdadeira
verdadeira
falsa
falsa
falsa
12; 9; 6; 4
a) A 5 {..., 24, 23, 22, 21} (infinito) b) B 5 [ (finito)
5. b) 
rato
sintoma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A X X X X X
B X X X X X X X X
C X X X X X X
3
8
4
9
6
5
A B
b) Se a concessionária apresentasse todos os modelos 
nas três cores, quantas possibilidades de escolha te-
ria um comprador?
Resolução
a) A tabela informa que:
• o modelo 1 está disponível apenas na cor vermelha;
• o modelo 2 está disponível apenas na cor azul;
• o modelo 3 está disponível apenas nas cores azul 
e vermelha;
• o modelo 4 está disponível nas três cores;
• o modelo 5 está disponível apenas na cor preta.
 Assim, é possível montar o diagrama a seguir.
3
2
4
1
5
A V
P
b) Na tabela, as quadrículas disponíveis para assinalar 
as disponibilidades formam 3 linhas e 5 colunas; logo, 
há 5 ? 3 possibilidades de escolha, isto é, 15 possibili-
dades de escolha.
c) C 5 {0, 1, 2, 3, ...} 5 N (infinito) d) D 5 {0} (finito)
3
8
4
9
6
5
A B
C
1
10
2
7
a) A 5 {1, 4, 6, 9, 10}
 B 5 {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
verdadeira
falsa falsa
 C 5 {3, 4, 5, 6, 7, 9}
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9 Operações entre conjuntos
União (ou reunião) de conjuntos
O departamento de Recursos Humanos de um centro de diagnósticos abriu inscrições para um 
concurso que pretende selecionar novos profissionais para a ampliação do quadro de funcionários 
da empresa. Exige-se do candidato formação em Medicina ou em Enfermagem.
Gustavo é formado apenas em Medicina, Rodrigo é formado apenas em Enfermagem, e 
Camila, em Medicina e em Enfermagem. Qual dos três pode participar do concurso do centro 
de diagnósticos?
Os três preenchem os requisitos exigidos pela empresa, pois cada um deles é médico ou enfer-
meiro. Assim, os três podem se inscrever para a seleção.
Note que o conectivo “ou” nesse texto tem um sentido inclusivo, isto é, ele inclui no conjunto 
das pessoas que podem participar daseleção todas as que têm apenas uma das formações exigidas 
e todas as que têm as duas formações.
O conectivo “ou”, com sentido inclusivo, é usado na definição de união (ou reunião) de con-
juntos, conforme segue:
A união de dois conjuntos, A e B, que indicaremos por A  B, é o conjunto cujos elemen-
tos são todos aqueles que pertencem a A ou a B.
A  B 5 {x | x  A ou x  B }
Exemplos
a) Sendo A 5 {7, 8, 9} e B 5 {10, 11}, temos: A  B 5 {7, 8, 9, 10, 11}
b) Sendo C 5 {7, 8, 9, 10} e D 5 {9, 10, 11, 12, 13}, temos: C  D 5 {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
c) Sendo E 5 {4, 5, 6} e F 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7}, temos: E  F 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7}
d) A tabela abaixo mostra a composição química de cada molécula de alguns gases. As letras 
C, H, O e N representam átomos de carbono, hidrogênio, oxigênio e nitrogênio, respecti-
vamente. O número subscrito à direita de cada letra indica o número de átomos represen-
tados pela letra, que compõem a molécula. Por exemplo, cada molécula do metano é for-
mada por um átomo de carbono e 4 de hidrogênio.
 
Gás Composição
Metano CH
4
Etano C
2
H
6
Propano C
3
H
8
Dióxido de 
carbono
CO
2
Nitrogênio N
2
Oxigênio O
2
 Em relação ao universo dos gases dessa tabela, se M é o conjunto dos gases que possuem 
carbono em sua composição e N é o conjunto dos gases que possuem oxigênio, então:
M  N 5 {metano, etano, propano, dióxido de carbono, oxigênio}
 Isso significa que os gases do conjunto M  N são aqueles da tabela que possuem carbono 
ou oxigênio em sua composição.
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O dióxido de carbono 
proveniente da queima de 
combustíveis fósseis e das 
queimadas na lavoura tem 
efeito danoso sobre o 
clima do planeta e a 
qualidade do ar.
 Inspirando-se no exercício resolvido 1 e no exercício proposto 5, elaborem uma tabela sobre 
uma situação fictícia. Em seguida, representem os dados da tabela em um diagrama de Venn. 
Criando problemas
Resposta pessoal.
A  B é lido como 
“A união B ”.
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 M
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TA
Representação da união de conjuntos por diagramas de Venn
 Toda a região hachurada Toda a região hachurada Toda a região hachurada
 representa A  B. representa C  D. representa E  F.
Propriedades da união de conjuntos
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
P1. Se B é subconjunto de A, então A  B 5 A; e, se A  B 5 A, então B é subconjunto 
de A. Ou seja: B  A X A  B 5 A
P2. A  B 5 B  A
P3. (A  B)  C 5 A  (B  C )
Nota:
O símbolo X (lê-se: “se, e somente se”) representa a relação de equivalência, que é a implicação 
mútua entre duas proposições. Assim, a sentença B  A X A  B 5 A significa que: 
B  A Æ A  B 5 A e A  B 5 A Æ B  A
Como consequência da propriedade P1, vem:   A 5 A e A  A 5 A
E, como consequência da propriedade P3, a união de mais de dois conjuntos A1, A2, A3, ..., An 
pode ser definida da seguinte maneira:
A1  A2  A3  ...  An 5 {x | x  A1 ou x  A2 ou x  A3 ou ... ou x  An}
Intersecção de conjuntos
Seja A o conjunto dos professores de uma escola e B o conjunto dos 
membros do sindicato dos professores. Se Pedro é professor dessa escola e 
é membro do sindicato, dizemos que Pedro pertence a A e pertence a B.
O conectivo “e”, com o sentido de simultaneidade, conforme usado 
acima, é adotado na definição de intersecção de conjuntos:
A intersecção de dois conjuntos, A e B, que indicaremos por A  B, é o conjunto cujos 
elementos são todos aqueles que pertencem a A e a B.
A  B 5 {x | x  A e x  B }
Se a intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que A e B são 
disjuntos.
Exemplos
a) Sendo A 5 {5, 6, 7, 8} e B 5 {7, 8, 9, 10}, temos: A  B 5 {7, 8}
b) Sendo C 5 {3, 4, 5} e D 5 {8, 9}, temos: C  D 5 
c) Sendo E 5 {b, c, d, e} e F 5 {a, b, c, d, e, f }, temos: E  F 5 {b, c, d, e}
d) Retomando a tabela da composição química de alguns gases, apresentada no exemplo d 
da página 14, temos que, em relação ao universo dos gases da tabela:
M  N 5 {dióxido de carbono}
 Isso significa que o dióxido de carbono é o único gás da tabela que possui carbono e oxi-
gênio em sua composição.
A  B é lido como 
“A intersecção B ”.
Note que, no exemplo 
b, os conjuntos C e D 
são disjuntos.
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7 São dados os conjuntos:
A 5 {x  Z | 24 , x < 2}
B 5 {x  N | x < 3}
C 5 {x  Z | 22 , x , 5}
D 5 {x  Z | 3 < x < 8}
Determine:
a) A  B f) A  B  C
b) A  B g) A  B  C  D
c) A  D h) (A  D)  (B  C )
d) A  D i) (A  D)  (B  C )
e) A  B  D
8 Sabendo que S  T 5 {a, b, d}, S 5 {a, b, c, d} e 
S < T 5 {a, b, c, d, e, f, g}, copie o diagrama abaixo no ca-
derno e represente nele os elementos dos conjuntos S e T.
TS
9 Os três círculos abaixo simbolizam os conjuntos A, B e C.
A região hachurada representa:
a) (B  A)  C d) B  (A  C )
b) (B  A)  C e) B  (A  C )
c) (B  C )  A
10 Os diagramas de Venn sintetizam informações, facilitando 
a visão global das relações entre conjuntos. Por exemplo, 
com o auxílio desses diagramas, podemos entender facil-
mente a distinção entre Inglaterra, Grã-Bretanha e 
Reino Unido.
exercícios ProPostos Faça as atividades no caderno.
P5. Propriedade distributiva da união 
em relação à intersecção:
A  (B  C ) 5 (A  B)  (A  C )
P4. Propriedade distributiva da inter-
secção em relação à união:
A  (B  C ) 5 (A  B)  (A  C )
S T
e
f
a
b
c
d
g
8.
7. a) A  B 5 {23, 22, 21, 
0, 1, 2, 3}
 b) A  B 5 {0, 1, 2}
 c) A  D 5 {23, 22, 21, 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
 d) A  D 5 [
 e) A  B  D 5 {23, 22, 
21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8}
 f) A  B  C 5 {0, 1, 2}
 g) A  B  C  D 5 [
 h) (A  D)  (B  C) 5 
5 {21, 0, 1, 2, 3, 4}
 i) (A  D)  (B  C) 5 {0, 
1, 2, 3}
alternativa d
Representação da intersecção de conjuntos por diagramas de Venn
 Toda a região hachurada 
representa A  B.
Os conjuntos C e D são 
disjuntos, isto é: C  D 5 [
Toda a região hachurada 
representa E  F.
B
A
C
D
F
E
Propriedades da intersecção de conjuntos
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
P1. Se B é subconjunto de A, então A  B 5 B; e, se A  B 5 B, então B é subconjunto de A. 
Ou seja: B  A ≤ A  B 5 B
P2. A  B 5 B  A
P3. (A  B)  C 5 A  (B  C )
Como consequência da propriedade P1, vem: [  A 5 [ e A  A 5 A
E, como consequência da propriedade P3, a intersecção de mais de dois conjuntos
A1, A2, A3, ..., An pode ser definida da seguinte maneira:
A1  A2  A3  ...  An 5 {x | x  A1 e x  A2 e x  A3 e ... e x  An}
Lembre-se:
Não escreva no livro!
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O diagrama abaixo apresenta os conjuntos:
R 5 {x | x é nação do Reino Unido}
I 5 {y | y é nação da Ilha da Irlanda}
G 5 {z | z é nação da Grã-Bretanha}
República 
da
Irlanda
Irlanda
do Norte
Escócia
Inglaterra
País de Gales
GI
R
Com base no diagrama, responda às questões.
a) Quais são as nações que formam o Reino Unido?
b) Quais são as nações que formam a Grã-Bretanha?
c) Determine o conjunto G > I.
d) Represente, na forma tabular, o conjunto R > I.
e) Represente, na forma tabular, o conjunto R ø I.
f ) Represente, na forma tabular, o conjunto (R ø I) > G.
11 Considere o conjunto universo U dos cidadãos brasilei-
ros e os conjuntos abaixo.
A 5 {x  U | x nasceu na região Sul do Brasil}
B 5 {y  U | y nasceu na região Sudeste do Brasil}
C 5 {z  U | z nasceu na região Centro-Oeste do Brasil}
D 5 { p  U | p nasceu na região Nordeste do Brasil}
E 5 { q  U | q nasceu na região Norte do Brasil}
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
PACÍFICO
REGIÃO NORTE
REGIÃO
CENTRO--OESTE
REGIÃO
SUDESTE
REGIÃO
SUL
REGIÃO
NORDESTE
RIO GRANDE
DO SUL
SANTA
CATARINA
PARANÁ
SÃO 
PAULO RIO DE 
JANEIRO
ESPÍRITO
SANTO
MINAS
GERAIS
BAHIA
GOIÁS
DF
MATO GROSSO
MATO GROSSO
DO SUL
AMAZONAS
ACRE
RONDÔNIA
RORAIMA AMAPÁ
PARÁ
TOCANTINS
SERGIPE
ALAGOAS
PERNAMBUCO
PIAUÍ
MARANHÃO
CEARÁ
PARAÍBA
RIO GRANDE
DO NORTE
Brasil: divisão por regiões
SIMIELLI, Maria Elena. Geoatlas. São Paulo: Ática, 2012.
10 Conjunto diferença
Paula e Roberto são alunos de salas diferentes do 1o ano do Ensino Médio de um mesmo 
colégio. Em uma época de provas bimestrais, Paula perguntou a Roberto:
— Você já fez todas as provas desse bimestre?
Roberto respondeu:
— Todas, menos a de História e a de Geografia.
Observe que, nessa resposta, Roberto usou uma espécie de subtração. Ele tirou {História, Geo-
grafia} do conjunto {Matemática, Português, Biologia, Física, Inglês, Química, História, 
Geografia} de todas as disciplinas ensinadas no colégio. Logo, entende-se que Roberto já havia 
feito todas as provas do conjunto {Matemática, Português, Biologia, Física, Inglês, Química}.
Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirma-
ções a seguir, supondo que todas as pessoas mencionadas 
nasceram no Brasil.
a) Se Pedro nasceu em Minas Gerais, então ele pertence 
a B.
b) Se Maria nasceu em Santa Catarina, então ela pertence 
a A.
c) Se Apolinário nasceu no Piauí, então ele pertence 
a E.
d) Se Bartolomeu é amazonense, então ele pertence 
a E. 
e) Se Carlos pertence a E, então ele é amazonense. 
f ) Se Lucas não pertence a (A  B  C), então ele não 
é gaúcho. 
g) Se Luíza não pertence a (C  D  E), então ela não 
é carioca. 
h) Se José não pertence a (A  D) > (B  D), então ele 
não é baiano. 
12 A figura a seguir apresenta quatro pontos distintos, A, B, 
C e D, pertencentes a uma reta r.
D
r
C
B
A
Classifiquem em verdadeira ou falsa cada afirmação 
a seguir.
a) TAB  TBC 5 TAC
b) TAC > TBD 5 TBC
c) BC -  TAB 5 AC - 
d) BC -  CB - 5 r
e) BC - > CB - 5 r
f ) TAD > TBC 5 TBC
g) TAD  TBC 5 TBC
h) CD -  BD - 5 TBD IL
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verdadeira
verdadeira
verdadeira
verdadeira
falsa
verdadeira
falsa
falsa
verdadeira
verdadeira
10. a) Escócia, inglaterra, País de Gales e Irlanda do Norte.
 b) Escócia, Inglaterra e País de Gales.
 c) G  I 5 Ö
verdadeira
verdadeira
verdadeira
falsa
falsa
falsa
A
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d ) R  I 5 {Irlanda do Norte}
e) R  I 5 {Escócia, inglaterra, País de Gales, Irlanda do Norte, República da Irlanda}
f ) (R  I )  G 5 {Escócia, Inglaterra, País de Gales}
Lembre-se:
Não escreva no livro!
700 km
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Propriedades da diferença de conjuntos
Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos:
P1. B  A à B 2 A 5 	 	 P2. A  B 5  à A 2 B 5 A P3. A Þ B à A 2 B Þ B 2 A
B
A
Toda a região hachurada 
representa B 2 A.
C
D
Como D  C, temos: 
D 2 C 5 
A
B
Toda a região hachurada 
representa A 2 B.
Toda a região hachurada 
representa C 2 D.
E
F
Toda a região hachurada 
representa E 2 F.
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Essa ideia de subtração, tão utilizada no dia a dia, é aplicada na definição de diferença de conjuntos:
A diferença de dois conjuntos, A e B, nessa ordem, que indicamos por A 2 B, é o con-
junto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.
A 2 B 5 {x | x  A e x  B}
Exemplos
a) Sendo A 5 {1, 2, 3, 4, 5} e B 5	{4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos: 
A 2 B 5 {1, 2, 3} e B 2 A 5 {6, 7, 8, 9}
b) Sendo C 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e D 5 {3, 4, 5}, temos: C 2 D 5 {1, 2, 6} e D 2 C 5 
c) Sendo E 5 {1, 2, 3} e F 5 {4, 5, 6}, temos: E 2 F 5 E e F 2 E 5 F
Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn
E
F
Toda a região hachurada 
representa F 2 E.
B
A
B
A A
B B
A
18
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A B
2 Determinar os conjuntos A e B tais que: A 2 B 5 {5, 8, 2}, B 2 A 5 {3, 6} e
A  B 5 {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}.
Resolução
Considerando o diagrama ao lado:
 I. Inicialmente, representamos os elementos de A 2 B, que são 
aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.
 II. Depois, representamos os elementos de B 2 A, que são aqueles 
que pertencem a B e não pertencem a A.
 III. Finalmente, representamos os elementos de A  B, que são 
aqueles que pertencem a A  B e não foram representados nem 
em I nem em II.
Portanto: A 5 {1, 7, 2, 8, 5} e B 5 {1, 7, 3, 6}.
exercício resolvido
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11 Conjunto complementar
Provavelmente, em sua infância, você montou um quebra-cabeça (puzzle) e formou, assim, uma 
imagem com peças encaixantes, como mostra a ilustração ao lado. Vamos usar essa ilustração para 
entender a ideia de complementar.
Note que, encaixando as peças A e B nas posições vazias do quadro, completamos a imagem. 
Por isso, dizemos que essas peças são o complemento das peças que já foram colocadas para com-
pletar a imagem. Assim, o complemento é aquilo que se inclui em uma parte para completar o todo.
Exatamente essa ideia é aplicada na definição de conjunto complementar, apresentada a seguir.
Sejam A e B dois conjuntos tais que A  B. Chama-se complementar de A em relação a 
B, que indicamos por 
B
A (lê-se: “complementar de A em relação a B ”), o conjunto cujos 
elementos são todos aqueles que pertencem a B e não pertencem a A.
A  B ≤ 
B
A 5 {x | x  B e x  A}
Nota:
O conjunto {x | x  B e x  A} é exatamente a diferença B 2 A. Assim, temos:
A  B ≤ 
B
A 5 B 2 A 
A condição necessária e suficiente para que exista 
B
A é que A  B. Caso contrário, dizemos que não 
existe complementar de A em relação a B.
Exemplos
a) Sendo A 5 {1, 2, 3} e B 5 {1, 2, 3, 4, 5}, temos A  B; logo, existe complementar de A em 
relação a B, que é igual a B 2 A, isto é: 
B
A 5 B 2 A 5 {4, 5}
b) Sendo D 5 {1, 2, 3, 4} e E 5 {3, 4, 6, 7}, temos D  E; logo, não existe 
E 
D.
Representação do complementar de um conjunto 
em diagramas de Venn
Toda a região hachurada representa 
B 
A.
A
B
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12 Problemas sobre quantidades de elementos 
 de conjuntos finitos
Neste tópico, resolveremos problemas que relacionam as operações entre conjuntos finitos 
com as quantidades de elementos desses conjuntos.
3 Considerando os conjuntos A e B representados no diagrama ao 
lado, determinar (A  B)
A  B
.
Resolução
Como A  B é subconjunto de A  B, dizemos que existe o conjunto 
(A  B)
A  B
 e que este é formado pelos elementos que pertencem a A  B 
e não pertencem a A  B. Logo:
(A  B)
A  B
 5 {4, 7, 5, 6, 8}
exercício resolvido
A
4 1
2
3
7
5
6
8
B
Complementar de um conjunto A em relação a um universo U
Quando tivermos um conjunto universo U, previamente fixado, indicaremos o complementar 
de A em relação a U simplesmente por A’ ou por TA, em vez de 
U
A.
Toda a região hachurada representa 
U
A,
que será indicado por A’ ou A y.
A
U
A’ ou tA
13 Dados os conjuntos E 5 {3, 8, 6, 4}, F 5 {1, 2, 3, 8, 6, 4, 9} 
e G 5 {4, 5, 6, 7, 8}, determine:
a) F 2 E
b) G 2 E
c) (E  G ) 2 F
d) (F 2 G )  (G 2 F )
e) E
F
f ) (E  G)
F
g) G
F
h) E
E
i) [
F
14 O diagrama a seguir representa três conjuntos, A, B e 
C, tais que: A  B  C 5 {0, 6, 8}, A  B 5 {0, 6, 8, 1}, 
A  C 5 {0, 6, 8, 12}, B  C 5 {0, 6, 8, 2, 3}, B 2 A 5 {2, 3}, 
C 2 B 5 {12} e A 2 B 5 {12, 15}. Copie em seu cader-
no esse diagrama e complete-o com os elementos de 
cada conjunto.
exercícios ProPostos Faça as atividades no caderno.
C
BA
15 Sendo U o conjunto universo de todos os estudantes de 
sua escola, considere osseguintes conjuntos:
A 5 {x 9 U | x é do sexo masculino}
B 5 {y 9 U | y tem no mínimo 1,6 m de altura}
C 5 {z 9 U | z tem no máximo 1,7 m de altura}
Indicando por TX o complementar de X em relação a U, 
representem cada conjunto a seguir por meio de uma 
propriedade que determine seus elementos.
a) TA
b) TB
c) TC
d) TB  C
e) TB  TC
C
BA
15
1
0
8
612 3
2
{1, 2, 9}
{1, 2, 9}
{5, 7}
{5, 7}
{1, 2, 3, 5, 7, 9}
{1, 2, 3, 9}
Não existe, pois G  F.
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
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Ver Suplemento com orientações para o professor.
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Lembre-se:
Não escreva no livro!
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(2) O conjunto A é o das pessoas que conhecem o pro-
duto A. Tal conjunto possui 280 elementos; porém, 
na parte (1), já foram consideradas 80 pessoas desse 
total, faltando, portanto, 200 pessoas para completar 
o conjunto. O número 200 deve ser escrito na região 
que corresponde a A 2 B:
4 Foi realizada uma pesquisa com 350 pessoas para avaliar 
a eficácia de um anúncio na divulgação de dois produtos 
novos, A e B. Ao final da pesquisa, constatou-se que, dos 
entrevistados, precisamente:
• 280 conheciam 
o produto A;
• 80 conheciam os dois 
produtos;
• 20 não conheciam 
nenhum dos dois 
pro dutos.
De acordo com esses 
dados, quantas pessoas 
entrevistadas conheciam 
apenas o produto B?
Resolução
Sejam:
• U o conjunto universo das pessoas entrevistadas;
• A o conjunto das pessoas entrevistadas que conhecem 
o produto A;
• B o conjunto das pessoas entrevistadas que conhecem 
o produto B.
(1) Primeiro vamos considerar o conjunto A > B, 
aquele das pessoas que conhecem os dois produ-
tos. Essa intersecção possui 80 elementos. Para nos 
orientar, vamos escrever o número 80 na região 
correspondente a A  B:
(3) A região que corresponde a (A  B)l é a das pessoas 
que não conhecem nenhum dos dois produtos. 
Nessa região, escrevemos o número 20:
(4) A região que corresponde ao conjunto B 2 A é a das 
pessoas que conhecem apenas o produto B. Seja x o 
número de elementos desse conjunto:
Como o número de elementos do universo é 350, temos: 
20 1 200 1 80 1 x 5 350
Ou seja, x 5 50; portanto, o número de elementos do 
conjunto B 2 A é 50.
Logo, 50 pessoas conheciam apenas o produto B.
5 Dos 180 funcionários que trabalham no escritório de 
uma empresa, precisamente:
• 108 falam inglês;
• 68 falam espanhol;
• 32 não falam inglês 
nem espanhol.
Quantos funcionários 
desse escritório falam 
as duas línguas 
(inglês e espanhol)?
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200 80
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exercícios resolvidos
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Do you speak 
English?
Lo 
siento, no lo 
entiendo. Hablo 
Español.
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Resolução
Sejam:
• U o conjunto dos 180 funcionários;
• I o conjunto dos funcionários que falam inglês;
• E o conjunto dos funcionários que falam espanhol.
(1) Convém, nesse tipo de problema, indicar inicialmente 
o número de elementos da intersecção I  E. Como 
esse número é exatamente o que o problema pede, va-
mos indicá-lo por x:
I
x
E
U
(2) O conjunto I tem 108 elementos. Como já admitimos 
que x desses elementos estão em I, faltam 108 2 x ele-
mentos em I, que devem ser indicados na região I 2 E:
I
x108 � x
E
U
(3) O conjunto E tem 68 elementos. Como já admitimos 
que x desses elementos estão em E, faltam 68 2 x ele-
mentos em E, que devem ser indicados na região E 2 I:
I
x 68 � x108 � x
E
U
(4) Se 32 funcionários não falam inglês nem espanhol, o 
conjunto (I  E)’ deve ter 32 elementos:
I
x 68  x
32
108  x
E
U
Como o conjunto U tem 180 elementos, fazemos:
32 1 108 2 x 1 x 1 68 2 x 5 180, ou seja, x 5 28
Concluímos que 28 funcionários do escritório falam as 
duas línguas (inglês e espanhol).
6 Uma indústria de artigos esportivos fez uma pesquisa de 
mercado com 1.500 pessoas, que deveriam responder 
“sim” ou “não” a cada uma das seguintes perguntas:
 I. Você pratica caminhada?
 II. Você pratica corrida?
 III. Você pratica ginástica?
O resultado da pesquisa foi apresentado na tabela:
Resposta “sim”
Número de 
pessoas
à pergunta I 800
à pergunta II 332
à pergunta III 618
às perguntas I e II simultaneamente 118
às perguntas I e III simultaneamente 172
às perguntas II e III simultaneamente 110
às perguntas I, II e III simultaneamente 70
De acordo com esses dados, quantas pessoas responderam 
“não” a todas as perguntas?
Resolução
Sejam:
• U o conjunto das 1.500 pessoas entrevistadas;
• A o conjunto das pessoas que responderam “sim” à 
pergunta I;
• B o conjunto das pessoas que responderam “sim” à 
pergunta II;
• C o conjunto das pessoas que responderam “sim” à 
pergunta III.
(1) Indicaremos, inicialmente, o número de elementos da 
intersecção dos conjuntos. Como 70 pessoas respon-
deram “sim” às perguntas I, II e III simultaneamente, 
escrevemos o número 70 na região que corresponde a 
A  B  C:
A
B C70
U
(2) Em seguida, indicamos o número de elementos das 
intersecções dos conjuntos dois a dois. Como 118 
pessoas responderam “sim” às perguntas I e II simulta-
neamente e já indicamos 70 elementos nessa intersec-
ção, faltam 48 elementos em A  B; como 172 pessoas 
responderam “sim” às perguntas I e III simultanea-
mente e já indicamos 70 elementos nessa intersecção, 
faltam 102 elementos em A  C; como 110 pessoas 
responderam “sim” às perguntas II e III simultanea-
D
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22
 Inspirando-se nos exercícios propostos 16 a 20, elaborem e resolvam um problema sobre 
a quantidade de elementos de conjuntos finitos que envolva uma situação do cotidiano.
Criando problemas
16 Em uma festa, 29 pessoas discutiam dois filmes, A e B. 
Dessas pessoas, precisamente:
• 13 assistiram ao filme A;
• 5 assistiram aos dois filmes;
• 6 não assistiram a nenhum dos dois filmes.
Sabendo que todas as 29 pessoas opinaram, responda: 
quantas pessoas assistiram ao filme B?
17 De uma pesquisa realizada pela Secretaria de Turismo do 
Estado com 2.200 pessoas, pôde-se concluir que:
• exatamente 816 dessas pessoas já estiveram na região 
Nordeste do Brasil;
• exatamente 602 dessas pessoas já estiveram na região 
Norte do Brasil;
• exatamente 206 dessas pessoas já estiveram nas duas 
regiões.
Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram em 
nenhuma das duas regiões?
18 Para avaliar o conhecimento dos 32 alunos de uma classe 
no início do ano letivo, um professor de História fez as 
seguintes perguntas:
1a pergunta: “Quem já estudou, na Antiguidade Oriental, 
a história do Egito?”
2a pergunta: “Quem já estudou, na Antiguidade Ociden-
tal, a história do mundo grego?”
Após a contagem, o professor constatou que exatamente 
18 alunos responderam “sim” à primeira pergunta, 21 
responderam “sim” à segunda pergunta e 3 responderam 
“não” a ambas. Quantos alunos dessa classe já haviam 
estudado a história do Egito e a história do mundo grego?
19 Uma pesquisa foi feita com 40 alunos. As questões foram 
as seguintes:
1. Você conhece a região A do Brasil?
2. Você conhece a região B do Brasil?
3. Você conhece a região C do Brasil?
Feito o levantamento de dados, constatou-se que:
• 19 alunos conheciam a região A;
• 20 alunos conheciam a região B;
• 19 alunos conheciam a região C;
• 7 alunos não conheciam nenhuma das três regiões;
• 10 alunos conheciam as regiões A e C;
• 12 alunos conheciam as regiões B e C;
• 11 alunos conheciam as regiões A e B.
O número de alunos que conheciam