Análise de Sistemas de Potência em Valores por Unidade

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Análise de Sistemas 
de Potência
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Elvis Luiz dos Santos
Revisão Textual:
Prof. Me. Claudio Brites
Valores Percentuais e Por Unidade
• Introdução;
• Definições;
• Representação de Máquinas Elétricas em Valores por Unidade;
• Mudanças de Base.
• Estudar as teorias de sistemas trifásicos e de máquinas elétricas por unidade (pu).
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Valores Percentuais e Por Unidade
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Valores Percentuais e Por Unidade
Introdução
Quando nos referimos à formulação em por unidade (pu), estamos nos referindo 
a uma formulação que pode ser usada em qualquer ramo das ciências. No ramo das 
engenharias, e mais especificamente na engenharia elétrica, o uso da representa-
ção do Sistema de Energia em pu simplifica a modelagem dos sistemas elétricos, a 
resolução de problemas e a comparação de resultados dando a esses um significado 
relativo. É uma forma de expressar as grandezas elétricas em um circuito de forma 
normalizada, com base em valores pré-determinados.
Valores em pu são frequentemente encontrados em especificações e dados de 
placas de equipamentos elétricos (como geradores, transformadores etc.), em gráfi-
cos e também são utilizados em programas computacionais para cálculos e simula-
ções de Sistemas Elétricos de Potência.
Artigo sobre pu: http://bit.ly/36NfVs8
Ex
pl
or
Definições
No sistema por unidade, ou sistema pu, define-se os valores de base para as 
grandezas (tensão, corrente, potência etc.) e em seguida fazemos a substituição 
dos valores das variáveis e constantes (usando o Sistema Internacional de unidades) 
pelas suas relações com os valores de base pré-definidos. O pu é uma forma de ex-
pressar as grandezas elétricas em um circuito de forma normalizada, com base em 
valores pré-determinados. Além disso, os cálculos serão realizados no sistema pu e 
os resultados finais novamente convertidos para o sistema internacional de unidade 
(SI) por meio de G = Gpu.Gb, ou seja, multiplicando o valor em pu pelo valor da 
base. Antes de se expressar uma determinada grandeza em pu, é necessário definir 
o valor de base dessa grandeza.
Dadas as relações existentes entre as unidades, só poderão definir-se duas bases 
independentes, a partir das quais se calculam todas as outras. Dessa forma:
 
PU
base
Valor naunidadeda grandezaValor
Valor
=
Assista ao vídeo com ótimo conteúdo sobre pu: https://youtu.be/3J5JXfhZlLc
Ex
pl
or
8
9
Em um sistema de energia, define-se como bases independentes a potência apa-
rente total S para o sistema e a tensão composta V. Importante salientar que a base 
sempre será a potência aparente, e nunca Ativa ou Reativa.
Uma grandeza em pu pode ser expressa percentualmente simplesmente multi-
plicando-a por 100%.
% .1 00%PUValor Valor=
Representação de Máquinas 
Elétricas em Valores por Unidade
Transformadores
Pode-se analisar o transformador por meio de um circuito elétrico que considera 
sua potência de primário e secundário e suas perdas na forma de reatâncias induti-
vas e resistivas. Os parâmetros desse circuito, segundo Fitzgerald, são apresentados 
na seguinte maneira: 
i (t) C
LR
v (t)Cv (t)i _
+
Circuito RLC
Figura 1 – Circuito RLC
Figura 2 – Transformador de alta ABB
Fonte: Wikimedia Commons
9
UNIDADE Valores Percentuais e Por Unidade
• Xm = reatância indutiva de magnetização; 
• Rc = resistência de magnetização que retrata as perdas do ferro; 
• R1 = resistência do enrolamento primário; 
• X1 = indutância do enrolamento primário; 
• R´2 = resistência do enrolamento secundário refletida; 
• X´2 = indutância do enrolamento secundário refletida.
No primário, têm-se a representação da resistência no cobre (R1) e a indutância ge-
rada pela corrente que apresenta ao circuito a reatância indutiva (XL1). Essa indutância 
gera o aparecimento da tensão no secundário e, assim, deve-se considerar a resistên-
cia no secundário pela passagem da corrente refletida (R’1) e a passagem dessa cor-
rente na bobina do secundário gera a reatância indutiva refletida no secundário (X’L2). 
Considera-se também as perdas no núcleo, por meio da reatância indutiva de 
magnetização (Xm) e da Resistência de magnetização (Rc) para retratar a perda no 
ferro, com a queda de tensão. 
Em um transformador, também utilizamos pu, mas temos 2 (duas) condições 
para adotar os valores de base: primário (1) e secundário (2). Quando optamos 
pelos valores do primário, utilizamos:
1
1
1
1
Base
Base
S S
V V
=
=
Quando optamos pelos valores do secundário, utilizamos:
2
2
2
2
Base
Base
S S
V V
=
=
Considerando as relações fundamentais do transformador de potencial:
1
2 1
1
!1 2
2 2 1
1
1
2
1
12 1
2
2
1
1 2
pu
pu
pu pu
Base
Base Base
Base
NV I
V N I
VV
V
NV
NV VV
V VNV
N
V V
= = = α
=
  
  
  = = =  
     
=
10
11
O mesmo ocorrerá para a corrente do transformador I.
1
2 1
1
1
1
1
1
22 1
2
1
2
1 2
pu
pu
pu pu
Base
Base Base
Base
II
I
NI
NI II
I INI
N
I I
=
  
  
  = = =  
     
=
E a impedância Z.
1 1
2
1
2 2
2
1 2 1
11
1 2
2
2 1
22
2 2
2
2 1 1 12 2
1 2
.
. . . 
pu
pu
PU
PU PU
Base
Base Base
Base
Base
Base
Base Base
Base Base Base
PU
Base Base Base
Z SZZ
Z V
V
Z Z
V
Z SZZ
Z V
V S SZ Z Z Z
V V V
Z Z
= =
 
=   
 
= =
 
= = =  
 
=
Transformador internamente: http://bit.ly/36dMUWx 
Ex
pl
or
O transformador de potencial é representado simplesmente por sua impedância 
em pu.
Transformador de potencial: http://bit.ly/2Rq0bXN
Ex
pl
or
ZPU=RPU+jXPU
Além disso, trabalhando com pu, não há necessidade de transformação de ten-
são e a corrente em pu é a mesma nos dois lados. Isso demonstra a vantagem de 
trabalhar com pu em transformadores.
11
UNIDADE Valores Percentuais e Por Unidade
Máquinas Elétricas Rotativas
Para as máquinas elétricas rotativas, a tensão de um gerador é apresentada por:
( )t g a a sV E I R jX= − +
onde: 
• Eg = tensão gerada em vazio, força eletromotriz fem;
• Ia = corrente do enrolamento de armadura;
• Ra = resistência do enrolamento da armadura (por fase);• Xs = reatância síncrona (por fase).
Máquina elétrica em detalhes: http://bit.ly/33U4AEX 
Ex
pl
or
Para saber mais sobre máquinas elétricas, veja o vídeo: https://youtu.be/9pCe8vS8CNg
Ex
pl
or
Sendo que seu circuito equivalente é representado por:
VoutVin
R L
Figura 3 – Circuito RL série
Assim, têm-se os valores pu segundo a regra:
PU
Base
PU
Base
PU
Base
VV
V
II
I
ZZ
Z
=
=
=
 
E também as regras seguintes:
.
.PU Base Base
I ZV
I Z
=
12
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Mudanças de Base
Algumas vezes, a impedância em pu de um dado equipamento do sistema elétri-
co é expressa em uma base diferente da parte do sistema na qual o elemento está 
localizado. Como nos cálculos todas as impedâncias devem ser expressas na mesma 
base, torna-se necessário converter impedâncias em pu de uma base para outra.
Suponha que uma impedância Zpu dada na base VBase dada, SBase dada deva ser conver-
tida para Z pu NOVA na nova base VBase NOVA, SBase NOVA. Como Zpu = Z/ZBase, tem-se:
2
2
.
.
dada
dada
NOVA
NOVA
Base
PU
Basedada
Base
PU
BaseNOVA
S
Z Z
V
S
Z Z
V
=
=
Dessa forma, pode-se dividir as relações:
2
. .dada NOVA
NOVA
dada
Base Base
PU pudada
BaseNOVA Base
V S
Z Z
V S
 
=  
 
Exemplo
Um gerador síncrono apresenta os seguintes dados: 50 MVA, 13,8 kV e X = 0,2 pu. 
Qual a reatância da máquina se em pu para uma nova base 100MVA e 13,2 kV?
2
23 6
3 6
. .
13,8.10 100.100,2. . 0, 4372 
13,2.10 50.10
dada NOVA
NOVA
dada
NOVA
Base Base
PU pudada
BaseNOVA Base
PU
V S
X X
V S
X pu
 
=  
 
 
= = 
 
Assista o vídeo com ótimo material sobre mudança de base: https://youtu.be/KAJZydjUNQI
Ex
pl
or
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UNIDADE Valores Percentuais e Por Unidade
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Sistema por Unidade PU (Monofásico, Trifásico ) e Mudança de Base
https://youtu.be/3J5JXfhZlLc
Aula Conversão PU
https://youtu.be/HuH34g6LwxA
 Leitura
Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico
Exercícios propostos sobre grandezas em pu e representação de elementos do siste-
ma elétrico.
http://bit.ly/2PZnPIg
Representação de trafos monofásicos em Sistemas Elétricos de Potência valores por unidade (pu)
http://bit.ly/2Sa8I1i
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Referências
BOYLESTAD, R. L. Introdução a análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2004.
MAMEDE FILHO, J.; MAMEDE, D. R. Proteção de sistemas elétricos de potência. 
Rio de Janeiro: LTC, 2017. [e-book] 
MARIOTTO, P. A. Análise de circuitos elétricos. São Paulo: Prentice Hall, 
2003. [e-book]
ROBBA, E. J.; SCHMIDT, H. P. Introdução a sistemas elétricos de potência: 
componentes simétricos. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2010.
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