U2S1 - Equação da Energia

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FENÔMENO DE TRANSPORTES
Unidade 2 | Equação da energia e escoamento interno
U2S1 – Equação da Energia
PROF. Dr. PAULO MARIA
Equação da energia
Iremos tratar da equação da conservação da energia com a
equação da conservação da massa (também chamada de 
equação da continuidade) é uma das equações mais importantes 
da mecânica dos fluidos. 
Tem-se que o cálculo das energias mecânicas associadas a um 
fluido, o cálculo de uma das incógnitas do escoamento a partir
da equação de Bernoulli e o cálculo da potência e do rendimento
de uma máquina hidráulica possuem grande importância em 
várias situações da realidade prática. 
Os princípios da conservação da energia são utilizados, por 
exemplo, no cálculo da perda de carga,utilizado no projeto de 
uma instalação hidráulica.
Equação da energia
Energias mecânicas associadas a um fluido
A energia mecânica, estudada pela mecânica clássica a partir das leis do 
movimento de Newton, pode ser dividida em:
energia potencial, energia cinética e trabalho.
A energia potencial gravitacional é o estado de energia em que um sistema se 
encontra, devido à sua posição em relação a um campo gravitacional e em 
relação a uma referência adotada. Essa energia é a medida do potencial de 
realização de trabalho desse sistema. 
A equação da energia potencial Ep é representada 
por:
A variação de energia potencial entre dois pontos A e B, 
é dada por:
Equação da energia
A energia cinética é uma grandeza escalar que representa o trabalho 
realizado por uma força quando um corpo está em movimento ao longo de 
uma trajetória. 
A equação da energia cinética Ec é representada por:
Para o estudo da mecânica dos fluidos, o trabalho W é representado por 
uma energia de pressão Epressão, que corresponde ao potencial de realização 
de trabalho das forças de pressão que atuam em um escoamento fluido. 
Tem-se que o trabalho é dado por:
Equação da energia
Logo o enunciado da conservação da energia mecânica nos mostra que a 
energia mecânica total de um escoamento fluido é a soma de todas as energias 
mecânicas associadas ao fluido.
Observação:
As energias térmicas foram desprezadas, ou seja, o enunciado da 
conservação da energia mecânica considera somente a energia mecânica 
total de um escoamento fluido.
No Sistema Internacional de Unidades e Medidas (SI), a unidade de energia é o 
Newton-metro (N.m), denominada de Joule (J)
Equação da energia
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é a forma mais simplificada da equação da 
conservação da energia. Portanto, devido ao grande número de 
hipóteses simplificadoras utilizadas, a equação de Bernoulli 
dificilmente conduzirá a resultados compatíveis com os problemas 
reais de escoamentos fluidos. 
Apesar disso, é uma das equações mais utilizadas na mecânica dos 
fluidos, pois é a base conceitual para qualquer estudo mais elaborado, 
que possa representar com maior exatidão um problema real, a partir 
da eliminação das hipóteses simplificadoras impostas nessa equação.
Equação da energia
As hipóteses simplificadoras da equação de Bernoulli são:
- Escoamento em regime permanente, ou seja, as propriedades 
são constantes em relação ao tempo.
- Propriedades uniformes na seção, ou seja, não variam ponto a 
ponto na área da seção.
- Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito 
com a parede da tubulação.
- Fluido incompressível, ou seja, não há variação de massa 
específica.
- Energia térmica desprezível, ou seja, não há trocas de calor.
- Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo.
Equação da energia
Aplicando o princípio da conservação de energia, temos:
𝐸𝑚𝑒𝑐1 = 𝐸𝑚𝑒𝑐2 ⇒ 𝑔𝑧1 +
𝑉1
2
2
+
𝑝1
𝜌
= 𝑔𝑧2 +
𝑉2
2
2
+
𝑝2
𝜌
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Dividindo a equação de Bernoulli por g, podemos também apresentá-la na 
seguinte forma:
Equação da energia
PROBLEMAS
Qual é o trabalho realizado pela pressão para fazer passar 1,4 m³ de água por um cano 
com um diâmetro interno de 13 mm se a diferença de pressão entre as extremidades do 
cano é 1,0 atm?
SOLUÇÃO
Equação da energia
PROBLEMA:
Um tanque cilíndrico de grande diâmetro está cheio d’água até uma profundidade D = 
0,30 m. Um furo de seção reta A = 6,5 cm² no fundo do tanque permite a drenagem da 
água. (a) Qual é a velocidade de escoamento da água, em m³/s? (b) A que distância 
abaixo do fundo do tanque a seção reta do jorro é igual à metade da área do furo?
SOLUÇÃO
Pela equação de Bernoulli:
ρ é a densidade da água, h1 é a altura da água no tanque, p1 é a pressão lá e v1 é a 
velocidade da água lá; h2 é a altura do buraco, p2 é a pressão lá, e v2 é a velocidade da 
água lá. A pressão no topo do tanque e no furo é atmosférica, então p1 = p2. Como o 
tanque é grande, podemos desprezar a velocidade da água em o topo; que é muito 
menor do que a velocidade no buraco. A equação de Bernoulli então simplifica para
Equação da energia
(a) Como D = h1-h2 = 0,30 m, a velocidade da água ao sair do buraco é
Assim, a vazão é
(b) Usamos a equação da continuidade: A2v2 = A3v3, onde A3=1/2 A2 e v3 é a velocidade 
da água onde a restrição da área é metade de sua área no furo (veja o diagrama)
A água está em queda livre e queremos saber até onde ela caiu 
quando sua velocidade é dobrada para 4,84 m/s. Como a 
pressão é a mesma durante a queda,
Então, 
Equação da energia
Equação da energia com a presença de uma máquina; potência
de máquina e rendimento
A equação da energia pode ser reescrita retirando-se uma das hipóteses 
simplificadoras, que diz que “não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho 
em estudo”. Tem-se que uma máquina é um equipamento que fornece ou retira 
energia do fluido, na forma de trabalho. 
Apesar da validade da hipótese simplificadora que considera que o fluido é 
incompressível, ou seja, que não há variação de massa específica do fluido, 
sabe-se que uma máquina que fornece energia ao fluido é uma bomba hidráulica 
e uma máquina que retira energia do fluido é uma turbina.
Equação da energia
Podemos escrever a equação da energia com a presença de uma máquina de 
maneira genérica, utilizando o termo HM como sendo a altura manométrica da 
máquina:
Utilizando todas as energias mecânicas associadas ao fluido, podemos reescrever 
a equação da energia com a presença de uma máquina na forma:
A potência pode ser dada por uma energia mecânica por unidade de tempo. A 
potência de uma máquina pode ser escrita na seguinte maneira:
Equação da energia
Para uma bomba hidráulica, tem-se que, devido às perdas na transmissão de potência, 
nem toda a potência da máquina é transferida para o fluido. Surge, portanto, o conceito 
de rendimento de uma máquina η, que, para bombas hidráulicas, é dado por:
Em que Pot é a potência recebida pelo fluido e PotB é a potência da 
bomba hidráulica.
Analogamente, para turbinas hidráulicas, tem-se que:
Em que Pot é a potência retirada do fluido e PotT é a potência da turbina hidráulica.
Equação da energia
PROBLEMA:
A Figura ilustra um tanque de grandes dimensões que abastece o tanque menor a uma 
vazão volumétrica de 10 L/s. Supondo que o fluido é ideal, tem-se que a máquina 
instalada no sistema entre os pontos (1) e (2) é uma bomba hidráulica ou uma turbina 
hidráulica?
Qual é a potência dessa máquina, se o seu rendimento for de 75%?
Considerar regime permanente e 𝛾𝐻2𝑂 = 10
4N/m³ ; Atubos = 10 cm² e g = 9,81 m/s²
Aplicando a equação de conservação da energia 
com a presença de uma máquina, tem-se que:
tem-se que z1 = 20 m ; V1 = 0 m/s; p1 = p2= patm e 
z2 =5 m
Equação da energia
calcular a velocidade no ponto (2) a partir da equação da vazão volumétrica:
altura manométrica da máquina é:
o valor da altura manométrica da máquina é negativo, o que significa que a máquina 
retirou energia do fluido. Assim, a máquina instalada é uma turbina, ou seja:
Portanto, HT = - 9,9 m.
A potência fornecida do fluido para a turbina é dada por:
A potência da turbina, considerando-se o rendimentode 75% é calculada por:
Equação da energia
Equação da energia para diversas entradas e saídas para escoamento em 
regime permanente
Da mesma maneira que fizemos para a equação da conservação da massa, podemos 
considerar mais de uma entrada e mais de uma saída de energia para o sistema em 
estudo, ou seja:
Em que todas as hipóteses simplificadoras utilizadas na conceituação da equação de 
Bernoulli permanecem mantidas
Reescrevendo a equação da energia para diversas entradas e saídas para 
escoamento em regime permanente, utilizando todas as energias mecânicas 
associadas ao fluido, temos:
Equação da energia
a potência fornecida ou retirada do fluido por uma máquina instalada no sistema pode 
ser calculada por:
Ou seja:
Equação da energia
PROBLEMA
Determinar a potência e o rendimento da bomba hidráulica utilizada na instalação de 
recalque de água, ilustrada na Figura.
DADOS: Temos V1 = V2 = 0 / m s; p1 = p2 = patm. 
Considerando-se que z1 - z2 = h , em que h representa 
diferença de altura entre os níveis dos reservatórios, 
tem-se que a altura manométrica da máquina é:
Aplicando a equação de conservação da energia com a presença
de uma máquina, tem-se que:
O valor da altura manométrica da máquina é positivo, o que significa que a máquina 
forneceu energia ao fluido. Assim, a máquina instalada é uma bomba hidráulica
Equação da energia
A potência fornecida pela bomba hidráulica para o fluido dada por:
A potência da bomba hidráulica, considerando-se o rendimento de 75% é calculada por:
Equação da energia
Por um duto de seção circular escoa água (𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 N/m³). Em um ponto 
localizado a 10 m acima do nível do solo, a pressão dentro do duto é 250 kPa e a 
velocidade é 5 m/s. Num ponto a jusante, no nível do solo, a velocidade é 20 m/s.
Determine a pressão na seção a jusante desprezando os efeitos de atrito. Para os 
cálculos utilize g = 10 m/s².
EXERCÍCIO 1
Equação da energia
Um reservatório de grandes dimensões é drenado por uma tubulação com 10 cm de 
diâmetro, conforme mostra a figura a seguir. Considerando o escoamento ideal, calcule 
a vazão aproximada no dreno quando h = 2m.
EXERCÍCIO 2
Considerando que o fluido é ideal, Temos que: z1=h; V1=0; V2=V; (nível do reservatório 
é constante); z2=0 e p1=p2=patm
a velocidade do jato é dada por: = 6,26 m/s
E a vazão é:
Equação da energia
Na taxa máxima de geração de eletricidade, uma pequena central hidrelétrica 
apresenta uma vazão de 14,1 m³/s, para uma diferença de cota de 61 m. A eficiência 
da turbina é de 87%. Qual é a potência da turbina?
Considerar regime permanente e 𝛾𝐻2𝑂 = 10
4 N/m³; Atubos = 10 cm² e g = 9,81 m/s² .
EXERCÍCIO 3
Dados: z1 = 61 m ; z2 = 0 m ; V1 = V2 =0 m/s; p1 = p2 = patm
Portanto, temos que altura manométrica da máquina é:
A potência fornecida do fluido para a turbina é dada por:
Equação da energia
A potência da turbina, considerando-se o rendimento de 75% é calculada por:
Equação da energia
Na Fig. a água atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com uma 
velocidade v1 = 15 m/s. Os diâmetros dos segmentos esquerdo e direito do cano são 
5,0 cm e 3,0 cm. (a) Que volume de água escoa para a atmosfera em um período de 
10 min? (b) Qual é a velocidade v2 e (c) qual é a pressão manométrica no segmento 
esquerdo do tubo?
EXERCÍCIO 4
(a) O volume de água (durante 10 minutos) é
(b) A velocidade na seção esquerda do tubo é
(c) Desde e h1 = h2; p1 = patm
Assim, a pressão manométrica é
Equação da energiaEXERCÍCIO 5
Equação da energia
Equação da energia