Erro, Dificuldade e Obstáculo na Aprendizagem de Matemática

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Unidade II
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5 ERRO, DIFICULDADE, OBSTÁCULO E CONCEPÇÃO EQUIVOCADOS
No estudo que fazemos sobre didática da matemática, trazemos uma reflexão sobre como os 
conceitos de erro, dificuldade e obstáculos comparecem na literatura de educação e educação 
matemática. Nosso objetivo é trazer à luz essas ideias, para compreensão da perspectiva teórica, 
quando se pensa os efeitos dos processos de ensino e aprendizagem de matemática.
Vamos partir de uma compreensão do que significam os termos: dificuldade, erro e obstáculo 
(CURI; RAMOS, 2013, p. 30‑31). Dificuldade tem como significado “o que impede, embaraça; estorvo, 
obstáculo”. Erro significa “juízo ou julgamento em desacordo com a realidade observada; engano”. 
Obstáculo designa “algo que impede ou atrapalha o movimento, a progressão de alguém ou alguma coisa”.
Por esses significados, podemos perceber que os termos dificuldade e obstáculo são palavras 
sinônimas, pois na acepção de ambas encontramos o termo impedimento. Empregadas para contexto 
de um processo de ensino e aprendizagem, são palavras com significado de barreiras na busca e no 
estudo do conhecimento. Por outro lado, o termo erro também é expresso como “engano” em um dos 
seus significados ou podemos dizer que “é um desvio em relação ao padrão ou ideal preestabelecido” 
(CURI; RAMOS, 2013, p. 11).
Retomar o significado desses três termos reforça a ideia de que há uma relação entre eles, 
o que pode contribuir para o entendimento do que ocorre em momentos de aprendizagem de um 
conceito matemático.
De antemão, consideramos que falar em dificuldade é senso comum para expressar que os alunos 
não atingiram as expectativas de aprendizagem, após um processo de ensino e aprendizagem em que 
ocorrem o envolvimento e a interação do aluno com determinado conteúdo matemático. Contudo, ao 
abordar o termo erro, inevitavelmente, comparecem outros dois, dificuldade e obstáculo. O termo 
obstáculo apresenta uma elaboração mais consistente na literatura da educação matemática.
Uma abordagem alternativa da questão dos “desvios de padrão que ocorre na aprendizagem” 
consiste em estudar outra noção: a concepção equivocada de conceitos matemáticos que aparecem 
durante a aprendizagem. Após essa exposição, vamos ampliar o que significam esses termos.
Comecemos pela noção de erro. O erro, analisado com base no referencial da psicologia 
cognitiva, apresenta um papel importante no processo de aprendizagem de conteúdos matemáticos 
(TEIXEIRA, 1997).
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DIDÁTICA ESPECÍFICA - MATEMÁTICA
Para entender como ocorre o erro na aprendizagem, a psicologia cognitiva recorre a 
diferentes concepções:
• a abordagem behaviorista;
• a abordagem piagetiana;
• a abordagem de G. Brousseau;
• a abordagem dos campos conceituais de G. Vergnaud.
A abordagem behaviorista ou comportamental, em linhas gerais, considera que “o erro ocorre devido 
à ausência de condicionamento adequado ou de reforçamento, para que um estímulo discriminativo 
produza uma resposta específica” (TEIXEIRA, 1997, p. 49).
 Saiba mais
Abordagens psicológicas sobre a aprendizagem humana são muito bem 
apresentadas numa série de vídeos no site da Didatics.
Sobre behaviorismo, há três vídeos e textos, que podem ser acessados 
diretamente através do link: 
Disponível em: https://bit.ly/3wM9bKT. Acesso em: 23 ago. 2022.
Sobre construtivismo, há três vídeos e texto de aprofundamento, 
(teoria de Jean Piaget), que podem ser acessados diretamente através do 
link: Disponível em: https://bit.ly/3QIpZdn. Acesso em: 23 ago. 2022.
Nela, o erro é visto de maneira negativa e sem qualquer interesse, o que implica minimizá‑lo em 
um processo de ensino e aprendizagem. Isso significa que, pelo ponto de vista dessa abordagem, o erro 
não pode trazer compreensões ao professor sobre o conhecimento mobilizado pelo aluno ao explicitar 
o conhecimento elaborado ou consolidado na aprendizagem.
Na abordagem piagetiana, o erro é entendido como resultado de um conflito cognitivo em decorrência 
de um esforço adaptativo dos indivíduos a novas situações. Essa concepção de erro é mais utilizada nas 
correntes pedagógicas centradas no tripé aluno, professor e conhecimento, de maneira articulada, em 
que os dois primeiros têm responsabilidades específicas no processo de ensino e aprendizagem.
Ainda nessa concepção, temos a ideia de um conflito cognitivo, o termo usado por Piaget para 
explicar o processo através do qual ocorrem mudanças cognitivas. Isso significa que as aprendizagens 
de conceitos ou conteúdos ocorrem pela passagem de um estado de equilíbrio a outro, teoria da 
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equilibração, por meio de um período de transição em que há formas contraditórias de interpretar e 
resolver um mesmo problema. O conflito se supera por meio de um processo de regulação interna, em 
que há uma reorganização e uma coordenação das ações em jogo (TEIXEIRA, 1997).
 Observação
O erro e, em especial, o conflito cognitivo, serão também explorados mais 
adiante, na próxima unidade (tecnologias educacionais em metodologias 
ativas) sob a ótica do insucesso escolar e jogos eletrônicos.
Aqui, o erro assume um papel construtivo e auxiliar na aprendizagem de conceitos matemáticos. 
O conceito de erro distancia‑se do de dificuldade, já que “o erro, nessa perspectiva, não é apenas o 
indício de uma dificuldade, mas sobretudo, indicador de uma lógica infantil ou ‘teoria em ação’, que 
orienta as estratégias de ação com vistas à obtenção do êxito” (TEIXEIRA, 1997, p. 49).
Nessa concepção, os erros não têm o propósito de avaliar o aluno, mas de contribuir para compreensão 
de como ele se envolve e se apropria de um determinado conhecimento e quais as dificuldades ainda 
precisa superar até ser capaz de trabalhar com o conteúdo em questão. Assim, o erro é visto como 
construtor da aprendizagem. As soluções de questões matemáticas têm sido investigadas, tanto 
quantitativa quanto qualitativamente, para analisar as dificuldades apresentadas pelos estudantes na 
aprendizagem de conteúdos matemáticos (CURY, 2013).
Outra percepção construtiva em relação ao erro é a abordagem de G. Brousseau, no contexto de 
pesquisas da didática francesa. Para concebê‑la, Brousseau recorre à noção de obstáculo, cunhada 
por G. Bachelard, que a compreende como inevitável, pois faz parte do conhecimento, revela a 
sua sedimentação, constituindo resistência à mudança. Bachelard classifica esse obstáculo como 
epistemológico e aponta alguns desses obstáculos encontrados ao longo da história da produção do 
conhecimento das ciências físicas, tais como: o senso comum, a opinião, o realismo das observações, a 
tendência a explicar o fenômeno por uma causa única etc. (TEIXEIRA, 1997).
O obstáculo epistemológico caracteriza‑se por um conhecimento, uma concepção – e não por uma 
dificuldade ou uma falta de conhecimento – que em um certo contexto produz respostas adaptadas e, 
fora dele, respostas falsas. A noção de obstáculo pode ser utilizada para discutir tanto a gênese histórica 
de um conhecimento como o ensino ou a evolução espontânea do aluno.
Os obstáculos podem ter motivações diferentes:
• obstáculos epistemológicos;
• obstáculos de origem didática;
• obstáculos ontogênicos.
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Os obstáculos epistemológicos são aqueles que tiveram um papel importante no desenvolvimento 
histórico do conhecimento, cuja rejeição precisou ser integrada explicitamente no saber transmitido, 
sendo, portanto, inerentes ao saber e identificáveis pelas dificuldades encontradas pelos matemáticos 
para superá‑los no decorrer da história.
Podemos citar, como exemplo, a construção da ideia de número irracional, com a qual se depararam 
os pitagóricos na Antiguidade Grega, as regras de sinais na multiplicação de números inteiros ou ainda o 
desenvolvimento das geometrias não euclidianas, a partir da negação do Quinto Postulado de Euclides, 
no século XIX.
A ideia de que, ao aprender, nos deparamos com obstáculos, mostra o distanciamento em relação 
à noção de dificuldade,nessa elaboração teórica. Os obstáculos não podem ser confundidos, portanto, 
com meras dificuldades.
Os obstáculos de origem didática parecem depender apenas de uma escolha ou de um projeto de 
um sistema educativo que resulta de uma transposição didática que dificilmente o professor pode 
renegociar no conjunto restrito da sala de aula.
Surgem da escolha das estratégias do ensino, permitindo formar, no momento da aprendizagem, 
conhecimentos errôneos ou incompletos que se revelarão mais tarde como obstáculo ao desenvolvimento 
da conceituação, sendo, por isso, inevitáveis, inerentes à necessidade da transposição didática.
 Lembrete
Esse é um dos motivos pelo qual o educador precisa tomar muito 
cuidado na escolha de sua metodologia e estratégia de aula, pois os alunos 
mobilizam um conhecimento prévio de matemática, por serem cidadãos.
Assim, independentemente do trabalho de aprendizagem formal na escola, os alunos têm contato 
com práticas informais de aprendizagem, quando vão ao supermercado, frequentam shoppings centers 
ou convivem no contexto familiar. Como participantes da vida econômica, quando manuseiam dinheiro, 
estratégias de resolução de problemas são acionadas, muitas vezes, com o significado do conceito 
matemático totalmente desconhecido ou empregado de forma assistemática.
Um fator importante que deve ser observado com muita atenção é que cada discente, em qualquer 
nível de escolaridade, traz para a escola sua identidade cultural, com histórias de vida diferenciadas, suas 
crenças e concepções, inclusive sobre a matemática. Sendo assim, o professor, ao escolher a metodologia 
mais adequada para dar sentido ao processo ensino e aprendizagem, se depara com obstáculos surgidos 
no processo em contextos informais.
Além disso, como futuro professor, é necessário perceber como ocorre sua aprendizagem dos 
conceitos e conteúdos matemáticos ao longo da graduação, porque também nesses momentos pode 
haver obstáculos didáticos.
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Unidade II
Temos ainda os obstáculos ontogênicos, “provenientes das limitações do sujeito num dado momento 
do seu desenvolvimento mental” (TEIXEIRA, 1997, p. 50). Por exemplo, a aprendizagem da abstração 
exigida pelas estruturas algébricas será mais propícia ao aluno no fim do Ensino Fundamental. Ou, ainda, 
a completa compreensão e o domínio dos processos envolvidos na demonstração de um teorema também 
devem se dar tardiamente, porque há a necessidade de entender a lógica matemática e a estrutura 
axiomática para encadear as hipóteses, expressas em noções primitivas, postuladas e, eventualmente, 
outros teoremas, a fim de se chegar a uma tese.
Diante da noção de obstáculo, o erro adquire um novo significado:
 
Frente a estas colocações, Brousseau afirma que o erro não é somente o efeito 
da ignorância, da incerteza, do acaso mas o efeito de um conhecimento 
anterior, que num contexto era adaptado, mas que em outro se revela falso 
ou simplesmente inadaptado. Podemos citar, como exemplo, a redução 
aos naturais das operações no conjunto Z e R, ou, ainda, a dificuldade 
de entender nos inteiros, a operação de adição como associação e não 
como acréscimo. Acrescenta ainda que os erros, em um mesmo sujeito, 
comparecem ligados entre si por uma fonte comum: um conhecimento 
antigo que foi eficiente em certas situações. Por isso mesmo são resistentes 
e vão ressurgir várias vezes, mesmo depois do sujeito ter rejeitado o modelo 
errado (TEIXEIRA, 1997, p. 50).
Outra concepção sobre erros diz respeito à abordagem da teoria dos campos conceituais de 
G. Vergnaud. Para esse autor, os conceitos matemáticos são compostos de um tripé de três conjuntos 
(TEIXEIRA, 1997, p. 50):
• Conjunto de situações de referência ou do real que dão sentido ao conceito: o significado 
dos conceitos advém da variedade de situações comuns de problemas aos quais o conceito se 
aplica. As situações indicam o sentido da aprendizagem, ou seja, implicam para que e quando. 
A ação em situação é a fonte da formação dos conceitos.
• Conjunto de invariantes operatórios que são constitutivos do conceito: para cada classe 
de situações, há operações de pensamento que se baseiam no reconhecimento de invariantes 
relativos à extração de uma propriedade, a regras de ação, a inferências, a predições, ou mesmo à 
aplicação de um verdadeiro teorema, mesmo não necessariamente explícito.
• Conjunto de significantes ou de representações simbólicas que podem ser de várias ordens: 
linguagem natural, gestos, desenhos, esquemas, tabelas, álgebra, referentes não só à representação 
dos problemas, como às soluções.
Embora não compareça à noção de obstáculo, nessa abordagem, Vergnaud identifica obstáculos 
como resultado das contradições entre a ação a ser executada (por exemplo, uma operação aritmética 
ou algébrica) e aquela apontada pelo funcionamento do esquema, definido como organização invariante 
da conduta para uma classe de situações dadas (TEIXEIRA, 1997).
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DIDÁTICA ESPECÍFICA - MATEMÁTICA
Outra maneira de entender os desvios de padrão que ocorrem na aprendizagem de um conceito 
consiste em identificar efeitos colaterais da aprendizagem em matemática ou na concepção equivocada 
de conceitos matemáticos (MAKHUBELE, 2014).
 Observação
Na tradução do verbete misconception, a palavra concepção foi mantida 
para ficar mais próxima do significado em inglês.
Podem ocorrer diferentes acepções para a concepção equivocada de conceitos matemáticos 
(MAKHUBELE, 2014, p. 45‑46):
• aspectos incorretos do conhecimento do aluno que são repetidos e explicitados;
• dificuldades conceituais experimentadas pelos alunos que podem impedir o conhecimento dos 
conceitos matemáticos, de modo que concepções equivocadas são, portanto, impedimentos na 
aprendizagem significativa dos conhecimentos matemáticos;
• entendimentos feitos pelo aprendiz que podem ser uma pedra no caminho para o entendimento 
de conceitos matemáticos;
• linha de pensamento que causa uma série de erros, todos eles resultantes de uma subjacente 
premissa incorreta, em vez de um erro esporádico sem conexão e não sistemático;
• dificuldade de entendimento ou raciocínio que impede o domínio de certo conteúdo;
• aplicação equivocada de uma regra, uma excessiva ou insuficiente generalização ou uma 
concepção alternativa de uma situação.
A concepção equivocada de conceitos matemáticos, entendidos como um conjunto relativamente 
estável e funcional das crenças de um indivíduo, entra em conflito com uma posição alternativa proposta 
por uma comunidade de estudiosos, especialistas e professores. Isso quer dizer que muitas vezes, nossas 
intuições e concepções podem se chocar com o entendimento correto de uma ideia em uma certa área 
de conhecimento. O papel do professor consiste em, partindo das concepções equivocadas, que podem 
ocorrer durante a aprendizagem de conceitos matemáticos, persuadir os alunos sobre o pensamento 
compreendido em uma teoria matemática.
Essa concepção diz respeito à teoria do reparo:
 
[...] quando os solucionadores se deparam com um novo problema, eles 
tentam aplicar um conhecimento anterior à nova situação. Se eles falham 
ao resolver o problema, eles podem introduzir um reparo no procedimento. 
Quando o procedimento mudado está correto, uma solução criativa é obtida. 
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Entretanto, quando o procedimento alterado está incorreto, uma concepção 
equivocada se manifesta. Então, de acordo com a teoria do reparo, uma 
concepção equivocada não é uma simples generalização excessiva que 
ocorre sempre que o solucionador aplica um conceito quando está em outro 
domínio em que é incorreto; mas uma concepção equivocada resulta de um 
pequeno reparo a dado procedimento (MAKHUBELE, 2014, p. 43).
Fazendo uma analogia, ao resolver problemas, elaboramos hipóteses, que precisam ser testadas, para 
se chegar à solução. Pôr à prova essas hipóteses, sem validá‑las acriticamente, exige intervenções do 
professor, que vão levar à aprendizagem de novos procedimentos, conceitos ou a uma solução criativa 
doproblema.
 Lembrete
A clareza na discussão sobre as ideias abordadas contribui para 
um melhor entendimento do processo de ensino e aprendizagem por 
parte do professor.
6 AVALIAÇÃO DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
De acordo com a Lei n. 9.394 (BRASIL, 1996), em seu artigo 24, parágrafo V, os critérios para avaliação 
do rendimento escolar são:
 
a) avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com 
prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos 
resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais;
b) possibilidade de aceleração de estudos para alunos com atraso escolar;
c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries mediante verificação 
do aprendizado;
d) aproveitamento de estudos concluídos com êxito;
e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos 
ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem 
disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos.
Observe que a legislação fixa momentos em que a escola precisa garantir também quando ocorre 
déficit de aprendizagem: aceleração de estudos e estudos de recuperação.
Avaliar está presente nas práticas sociais como ato deliberado e organizado que reflete o resultado 
de um juízo de valor. Considera‑se que em situações de ensino e aprendizagem, esse ato desconsidera 
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o aluno e os conhecimentos, e por isso é descartado por pesquisadores de didática da matemática 
(ALMOULOUD, 2007).
A avaliação escolar está baseada em duas suposições (DOLL JR., 1997, p. 188), pelo ponto de vista 
do professor:
 
a) fazer com que os alunos adquiram um conjunto específico de 
conhecimento de maneira específica, para que possam lidar com 
este conhecimento de maneira “aceitável”;
b) obter a avaliação em termos de notas, para saber quanto do padrão e 
seu método o estudante adquiriu, medindo o “déficit” entre o padrão 
apresentado e o padrão adquirido.
Superar esse modelo consiste em considerar a avaliação como um processo que leve à transformação 
dos atores envolvidos. Por meio de negociação e crítica, a avaliação seria comunal e interativa. Por esse 
ponto de vista, observe que o professor continua a desempenhar um papel central no processo, 
mas não como avaliador exclusivo, já que abre a possibilidade de ser um processo interativo de 
fazer‑criticar‑fazer‑criticar (DOLL JR., 1997).
Por um lado, a avaliação teria como papel o levantamento de informações sobre o aluno, tais como 
a forma e as condições de sua aprendizagem, para que ele possa saber sobre seus avanços, dificuldades 
e possibilidades. Por outro lado, a avaliação seria um termômetro para o professor avaliar criticamente 
sua prática, para propor ajustes e orientação adequada, tanto para o seu trabalho de ensino como para a 
aprendizagem do aluno, a fim de verificar os objetivos educacionais alcançados.
Nessa concepção, a avaliação apresenta como características ser formativa, contínua, processual e 
coletiva; de forma que tanto alunos quanto professores estejam envolvidos nos momentos de avaliação, 
o qual se constitui em um processo de reflexão para a transformação da aprendizagem.
Além disso, essa concepção destaca que a avaliação não é um ato isolado, tampouco um fim em si 
mesmo no processo de ensino e aprendizagem, mas relacionado a todos os momentos em que aluno, 
escola e professor estão interagindo.
A avaliação do processo de ensino e aprendizagem apresenta alguns pressupostos e princípios 
(HAYDT, 2011, p. 217):
 
a) A avaliação é um processo contínuo e sistemático, porque acompanha 
cada etapa do ensino e da aprendizagem;
b) A avaliação é funcional, porque se realiza em função dos objetivos 
previstos;
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c) A avaliação é orientadora, porque indica os avanços e dificuldades 
do aluno, ajudando‑o a progredir na aprendizagem, orientando‑o no 
sentido de atingir os objetivos propostos, mas também direciona o 
trabalho do professor;
d) A avaliação é integral, pois considera o aluno como um ser total e 
integrado e não de forma compartimentada.
Por esses princípios e pressupostos, entendemos que analisar o desempenho do aluno pode adquirir 
outro caráter diante dos significados construídos pelos envolvidos nos momentos de avaliação, 
superando a dicotomia da aprovação e retenção a que se reduz a avaliação.
6.1 Avaliação e objetivos educacionais
Em um sistema de ensino, a avaliação é tratada segundo objetivos educacionais a serem alcançados, 
referentes à aquisição de conhecimentos, habilidades e competências em relação ao conhecimento 
estudado. Ao avaliar, o professor verifica o que foi atingido ou não pelo aluno (ALMOULOUD, 2007).
Dessa maneira, as metas são o suporte para as avaliações escolares, levando à fragmentação 
das tarefas, o que influi no aprendizado dos conceitos fundamentais do currículo que os estudantes 
precisam saber.
Almouloud (2007) considera que essa forma de tratar a avaliação configura a pedagogia por objetivos, 
que traz alguns problemas à prática escolar. O autor tece algumas críticas sobre a operacionalização 
dos objetivos:
• Pode favorecer o condicionamento: tendo por objetivo resolver equação do tipo ax + b = cx + d, 
o aluno talvez aprenda a resolver uma equação tal como 7x – 3 = 13x – 15, mas não consiga 
responder se o valor x = 10 é solução dessa mesma equação.
• Pode esconder a realidade do saber do aluno: por exemplo, seja o objetivo levantar as medidas 
de um triângulo desenhado em uma folha de papel e calcular a área:
Caso 1
Caso 2
Sucesso: 46% Sucesso: 20%
Figura 26 – Porcentagem de sucesso em medida de área
Fonte: Almouloud (2007, p. 100).
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— pode ocorrer que o aluno tenha dificuldade em responder qual a área de um triângulo 
obtusângulo, dependendo da operacionalização dos objetivos;
— pode esconder a significação do saber: saber‑fazer diz respeito a mobilizar o conhecimento 
para resolver outras situações.
No caso de solicitar a construção de bissetriz de um ângulo, os resultados foram os seguintes:
Construir a bissetriz do 
âbgulo XO?Y X
A B
C
O Y
Construir a bissetriz 
do âbgulo BAC
Sucesso = 28%Sucesso = 69%
Figura 27 – Porcentagem de sucesso na construção de bissetriz
Fonte: Almouloud (2007, p. 102).
• Levar à infidelidade da avaliação do saber: julgar o aprendizado do aluno por meio de diferentes 
provas particulares, com diferentes objetivos pode significar não ser fiel, já que cada prova tem 
diferentes fins. Outra constatação é que o comportamento do aluno pode ser afetado por cada 
situação de avaliação, sem que o professor esteja atento a esse fenômeno.
• Evidenciar que o saber não é a preocupação essencial da avaliação do professor: como 
formador, o professor está preocupado com o conhecimento aprendido pelo aluno, ao passo 
que, como avaliador, o professor atende a uma função social que não está relacionada ao saber. 
Um dos seus desafios é compreender que julgar o nível de conhecimento não é o único objetivo 
da avaliação, mas que também significa considerar o saber e a evolução do aprendizado.
6.2 Avaliação diagnóstica
A avaliação diagnóstica é feita no início de cada processo de aprendizado para verificar domínio, 
aptidões e competências, por exemplo, no início de um ano letivo.
Esse tipo de avaliação proporciona informações acerca dos conhecimentos prévios do aluno, que 
podem ser importantes antes de iniciar um processo de ensino e aprendizagem, indicando os saberes já 
consolidados e os que poderão ser aprendidos.
Outro aspecto da avaliação diagnóstica é o professor identificar possíveis causas de dificuldades, 
com a finalidade de planejar as situações didáticas mais adequadas. Ao conhecer as dificuldades do 
aluno no início do processo educativo, é possível prever suas reais necessidades e trabalhar na busca de 
seu atendimento.
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Em suma, a avaliação diagnóstica constitui‑se em momento importante, cujas informações serão 
úteis para a tomada de decisão sobrecomo pode ser feito o planejamento dos conteúdos a serem 
trabalhados, bem como os cuidados que o professor precisa antecipar para atingir os resultados 
educacionais esperados.
6.3 Avaliação formativa
A avaliação formativa é realizada ao longo de um processo de ensino e aprendizagem com o intuito 
de verificar se o aluno atingiu os objetivos esperados, podendo ser uma ferramenta para a tomada de 
decisão sobre os próximos momentos do trabalho docente.
Essa avaliação possibilita ao professor detectar os problemas relativos à aprendizagem dos 
alunos e identificar deficiências na sua maneira de ensinar, trazendo informações importantes para o 
desenvolvimento do trabalho didático, no sentido de seu aperfeiçoamento.
No desenvolvimento do trabalho didático, torna‑se evidente que o aluno tenha clareza de quais 
são seus acertos e erros, para que se sinta motivado a continuar aprendendo. Dessa forma, a avaliação 
formativa, dentro da pedagogia dos objetivos, tem a função de orientar o aluno em seu aprendizado e 
evidenciar ao professor aquilo que pode ser redirecionado em seu trabalho, para alcançar os objetivos 
educacionais esperados.
6.4 Avaliação somativa
Essa forma de avaliação fornece uma síntese de um processo de ensino e aprendizagem, por exemplo, 
ao fim do ano letivo, possibilitando visualizar os níveis de aproveitamento; o que auxilia na promoção 
de uma série para outra.
A avaliação somativa apresenta como objetivo captar o que foi aprendido pelo aluno ao final de uma 
unidade de aprendizagem no sentido de aferir resultados já colhidos por avaliações formativas. Pode ser 
empregada para obter indicadores que permitam aperfeiçoar o processo de ensino.
Por ser uma síntese final, tem por finalidade mostrar o grau de domínio do aluno em um tópico de 
aprendizagem, dando apoio a uma certificação ou decisão de continuidade de estudos, no caso dos anos 
de um nível de ensino.
Assim, o presente tipo de avaliação denota a preocupação do professor em apresentar os resultados 
finais da aprendizagem, no que diz respeito ao desempenho dos alunos, sendo mais coerente e fiel 
quanto mais cuidado tenha sido a condução das avaliações parciais feitas pelo professor.
Concluindo, trata‑se de um processo decisório final de um processo educativo, ou seja, corresponde 
a um levantamento final, a uma visão de conjunto relativa ao que foi aprendido, considerando as 
apreciações parciais feitas pelo professor.
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6.5 Tipos de avaliação e instrumentos de avaliação
Apresentaremos a seguir a figura síntese dos tipos de avaliação:
Por que avaliar?
Avaliação somativa
Indicar os níveis de 
aprendizagem já consolidados 
pelo aluno
Avaliação diagnóstica
Conhecer os alunos, suas 
capacidades, atitudes e 
conhecimentos com os quais 
inicia o processo
Avaliação formativa
Elaborar plano de 
ação, intervenção e 
acompanhamento
Figura 28 – Síntese das avaliações
Ao falar em tipos de avaliação, é importante entender que elas servem para coleta e análise de 
informações que possam ser usadas na tomada de decisão para o desenvolvimento do trabalho do 
professor. Para tanto, os professores podem empregar diferentes instrumentos de avaliação.
Durante o planejamento de um curso, ao selecionar as técnicas e os instrumentos de avaliação da 
aprendizagem, o professor precisa considerar os seguintes aspectos (HAYDT, 2011, p. 223):
• os objetivos visados para o ensino‑aprendizagem (aplicação de conhecimentos, habilidades, atitudes);
• a natureza do componente curricular ou área de estudo;
• os métodos e procedimentos usados no ensino e as situações de aprendizagem;
• as condições de tempo do professor;
• o número de alunos da classe.
Os principais instrumentos de avaliação (HAYDT, 2011, p. 223) estão descritos no quadro 1.
Quadro 1 – Técnicas, instrumentos e objetivos básicos
Técnicas Instrumentos Objetivos básicos
Observação Registro da observação em fichas ou cadernos
Verificar o desenvolvimento cognitivo, afetivo 
e psicossocial do educando, em decorrência 
das experiências vivenciadasAutoavaliação Registro da autoavaliação
Aplicação de provas Prova escrita, dissertativa ou objetiva Determinar o aproveitamento cognitivo do aluno, em decorrência da aprendizagem
Adaptado de: Haydt (2011, p. 223).
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6.6 Avaliação institucional
Assim como o professor exerce seu papel social e a responsabilidade de avaliar o aluno no âmbito 
escolar, a Lei n. 9.394 (BRASIL, 1996) determinou que os municípios, estados e a União também avaliassem 
seus sistemas de ensino.
No âmbito federal, foram criadas a Prova Brasil e o Sistema Nacional de Avaliação da Educação 
Básica (Saeb), avaliações para diagnóstico, em larga escala, com o objetivo de aferir a qualidade do 
ensino oferecido pelo sistema educacional brasileiro a partir de testes padronizados e questionários 
socioeconômicos.
A Prova Brasil é realizada desde 1995. Esses testes são aplicados no quinto e nono anos (antigas 
4ª e 8ª séries) do Ensino Fundamental e no terceiro ano do Ensino Médio. Os estudantes respondem a 
itens (questões) de língua portuguesa, com foco em leitura; e matemática, com foco na resolução de 
problemas. Na avaliação, os alunos também respondem a um questionário socioeconômico, fornecendo 
informações sobre fatores de contexto que podem estar associados ao desempenho.
Por sua vez, professores e diretores das turmas e escolas avaliadas também respondem a questionários 
que coletam dados demográficos, perfil profissional e de condições de trabalho, produzindo dados para 
o conhecimento do desempenho educacional no país, que podem ser empregados no planejamento e 
na execução de políticas educacionais referentes ao nível municipal, estadual e federal.
No nível superior, foi criado, em 2004, o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Superior (Sinaes), 
formado por três componentes principais: a avaliação das instituições, dos cursos e do desempenho dos 
estudantes. O Sinaes avalia todos os aspectos que giram em torno desses três eixos, principalmente, 
o ensino, a pesquisa, a extensão, a responsabilidade social, o desempenho dos alunos, a gestão da 
instituição, o corpo docente e as instalações.
Para avaliar o Ensino Superior, foi criado o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes (Enade), 
que avalia o rendimento dos alunos dos cursos de graduação, ingressantes e concluintes, em relação aos 
conteúdos programáticos dos cursos em que estão matriculados. O exame é obrigatório para os estudantes 
selecionados e condição indispensável para a emissão do histórico escolar. A primeira aplicação ocorreu 
em 2004 e a periodicidade máxima da avaliação é trienal para cada área do conhecimento – em 2017, 
foi avaliado o curso de Matemática.
Contudo, percebe‑se, ao longo dos anos, que os resultados têm sido utilizados para produzir 
comparações entre escolas e universidades por meio de diferentes tipos de ranqueamentos, 
desconsiderando características, particularidades e problemas específicos de cada instituição de ensino.
Outro efeito da valorização dessas provas institucionais, consideradas como um fim em si mesmas, 
tem sido o desenvolvimento de uma cultura de direcionamento da avaliação escolar unicamente por 
avaliações institucionais, desvalorizando, muitas vezes, a elaboração curricular da escola.
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Uma crítica aos resultados das provas é o pouco retorno à escola de informações que auxiliem a 
compreensão das dificuldades do professor no processo de ensino e aprendizagem, de modo que as 
provas têm, portanto, pouco impacto na formação dos alunos.
Por fim, essas avaliações restringem‑se ao conhecimento em matemática, português e ciências, 
desconsiderando o conhecimento que outras áreas propiciam para a formação cultura e social dos 
alunos; ainda que pese o fato de essas avaliações terem questões com abordagens interdisciplinares e 
contextualizadas das situações propostas.
 Saiba mais
Para ter uma ideia mais clara sobre o tipo de avaliação realizadapara o 
9º ano, acesse:
NEP. Testes e questionários Brasília, [s.d.]. Disponível em: 
https://cutt.ly/UCNgAIP. Acesso em: 13 set. 2022.
80
Unidade II
 Resumo
Estudamos a diferença entre erro, dificuldade, obstáculos e concepções 
equivocadas. Esses diferentes termos procuram sinalizar ao professor 
os cuidados a serem tomados no estudo de conceitos matemáticos, 
sendo inerentes ao processo de ensino e aprendizagem, por isso sua 
discussão é pertinente.
As diferentes abordagens didático‑pedagógicas apresentam o erro 
desde a instância do insucesso ao mecanismo processual de estruturação 
de pensamento, passando por acepções teóricas que identificam esse 
fator como base do processo construtivo e auxiliar na aprendizagem de 
conceitos matemáticos.
Erro ou engano? Que obstáculos pressupõem a rota de dificuldades 
no processo de aprendizagem? Nesta unidade, nos debruçamos em 
aprofundar a compreensão mais pertinente da relação do estudante com 
o ato de aprender e de que forma as percepções distorcidas podem influir 
na práxis docente.
Tratou‑se de incluir, junto à expressividade das situações didáticas que 
compreendem a reformulação do conceito de erro, o debate sobre conceitos 
de avaliação, destacando os diferentes tipos: diagnóstica, formativa 
e somativa e algumas críticas em relação à pedagogia dos objetivos 
educacionais; prática que baliza as avaliações escolares. Abordamos, ainda, 
as avaliações institucionais, destacando sua importância, planejamento e 
execução de políticas educacionais, bem como tecemos algumas críticas a 
respeito dessas avaliações.
O repertório comum e imediato da avaliação na práxis docente permeia 
a necessidade de avanços nas estratégias didáticas que dialoguem com a 
modernidade. Para tanto, foram abordados alguns elementos distintivos 
da contemporaneidade tecnológica frente a um contexto dinâmico das 
relações de ensino‑aprendizagem no campo da ciência da didática para 
o ensino da matemática.
A unidade termina com a apresentação de técnicas avaliativas 
que corroboram a eficiência e a eficácia educacional, em seus mais 
amplos desdobramentos.
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DIDÁTICA ESPECÍFICA - MATEMÁTICA
 Exercícios
Questão 1. Vimos, no livro‑texto, que, de modo didático, podemos classificar as avaliações conforme 
indicado a seguir.
• Avaliação diagnóstica.
• Avaliação formativa.
• Avaliação somativa.
Em relação a esses tipos de avaliações, avalie as descrições I, II e III a seguir.
• Descrição I: feita ao longo do processo de ensino e aprendizagem, com a intenção de verificar se 
o aluno alcançou os objetivos propostos. Pode ser uma ferramenta útil para a tomada de decisão 
sobre as próximas atividades a serem desenvolvidas pelo professor. Essa avaliação permite que o 
docente identifique problemas relativos à aprendizagem dos alunos e deficiências no seu modo 
de ensinar, o que fornece informações importantes para o aprimoramento do trabalho didático.
• Descrição II: realizada no início de cada processo de aprendizado (por exemplo, no começo do 
ano letivo), a fim de verificar domínio de determinadas aptidões e competências. Trata‑se de um 
tipo de avaliação que fornece informações sobre os conhecimentos prévios dos estudantes, que 
podem ser importantes antes de iniciarmos um processo de ensino e aprendizagem, visto que 
indica os saberes já consolidados e os que poderão/deverão ser aprendidos.
• Descrição III: oferece uma síntese de um processo de ensino e aprendizagem, o que possibilita 
que o professor observe os níveis de aproveitamento dos alunos, e auxilia na decisão a respeito da 
promoção de uma série para outra. Tem como objetivo captar o que foi aprendido pelo estudante 
ao final de uma unidade de aprendizagem, a fim de aferir os resultados já verificados.
Assinale a alternativa que mostra correta e respectivamente os tipos de avaliações associadas às 
descrições I, II e III.
A) Avaliação somativa, avaliação formativa e avaliação diagnóstica.
B) Avaliação somativa, avaliação diagnóstica e avaliação formativa.
C) Avaliação diagnóstica, avaliação formativa e avaliação somativa.
D) Avaliação formativa, avaliação somativa e avaliação diagnóstica.
E) Avaliação formativa, avaliação diagnóstica e avaliação somativa.
Resposta correta: alternativa E.
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Unidade II
Análise da questão
No livro‑texto, vimos o que segue.
• Avaliação diagnóstica: realizada no início de cada processo de aprendizado (por exemplo, no 
começo do ano letivo), a fim de verificar domínio de determinadas aptidões e competências. 
Trata‑se de um tipo de avaliação que fornece informações sobre os conhecimentos prévios 
dos estudantes, que podem ser importantes antes de iniciarmos um processo de ensino 
e aprendizagem, visto que indica os saberes já consolidados e os que poderão/deverão ser 
aprendidos. Além disso, na avaliação diagnóstica, o professor pode identificar os motivos das 
dificuldades e, assim, planejar as situações didáticas mais apropriadas.
• Avaliação formativa: feita ao longo do processo de ensino e aprendizagem, com a intenção 
de verificar se o aluno alcançou os objetivos propostos. Pode ser uma ferramenta útil para 
a tomada de decisão sobre as próximas atividades a serem desenvolvidas pelo professor. 
Essa avaliação permite que o docente identifique problemas relativos à aprendizagem dos 
alunos e deficiências no seu modo de ensinar, o que fornece informações importantes para 
o aprimoramento do trabalho didático. Em suma, a avaliação formativa visa a orientar o 
estudante em termos de aprendizado e a evidenciar ao professor o que pode ser aperfeiçoado 
no trabalho no sentido de atingir as metas educacionais.
• Avaliação somativa: oferece uma síntese de um processo de ensino e aprendizagem, o que 
possibilita que o professor observe os níveis de aproveitamento dos alunos e auxilia na decisão 
a respeito da promoção de uma série para outra. Tem como objetivo captar o que foi aprendido 
pelo estudante ao final de uma unidade de aprendizagem, a fim de aferir os resultados já 
verificados. Em resumo, a avaliação somativa visa mostrar o grau de domínio do aluno em 
relação a determinado tópico de aprendizagem, dando mais subsídios ao docente sobre a 
decisão de progressão do aluno para outro nível de ensino.
Questão 2. (Enade 2017). Leia o texto a seguir.
É preciso repensar certas ideias predominantes acerca da avaliação em matemática, ou seja, ideias 
que concebem como prioritário avaliar apenas se os alunos memorizam as regras e os esquemas, 
não verificando a compreensão dos conceitos, o desenvolvimento de atitudes e procedimentos e a 
criatividade nas soluções, que, por sua vez, se refletem nas possibilidades de enfrentar situações‑problema 
e resolvê‑las. As formas de avaliação devem contemplar também as explicações, justificativas e 
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspectos do raciocínio que, muitas vezes, não ficam 
evidentes nas avaliações escritas.
Adaptado de: BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Ministério 
da Educação, 1998. Disponível em: https://bit.ly/3SXmPnQ. Acesso em: 15 jul. 2022.
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DIDÁTICA ESPECÍFICA - MATEMÁTICA
Considerando as informações do texto, avalie as afirmativas.
I – A observação do trabalho individual do aluno permite a análise de erros. Na aprendizagem escolar, 
o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto.
II – Na seleção dos critérios de avaliação, é fundamental contemplar a visão da matemática 
como uma construção significativa, analisando‑se o progresso do estudante em relação à média de 
desempenho da turma.
III – Para cada conteúdo a ser desenvolvido, é importante que se reconheçam as possibilidades de 
conexões e que se fomente um conhecimento flexível com várias formas de aplicações, valorizando o 
progresso do aluno.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa C.
Análise das afirmativas
I – Afirmativacorreta.
Justificativa: os PCNs afirmam o que segue sobre o erro no processo de ensino‑aprendizagem:
Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, 
trabalhos ou postura em sala, constituem indícios de competências e como 
tal devem ser considerados. A tarefa do avaliador constitui um permanente 
exercício de interpretação de sinais, de indícios, a partir dos quais manifesta 
juízos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedagógica.
Ao levantar indícios sobre o desempenho dos alunos, o professor deve ter 
claro o que pretende obter e que uso fará desses indícios. Nesse sentido, a 
análise do erro pode ser uma pista interessante e eficaz.
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Unidade II
Na aprendizagem escolar, o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser 
interpretado como um caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda 
não sabe como acertar, faz tentativas, à sua maneira, construindo uma 
lógica própria para encontrar a solução.
Fonte: BRASIL. Parametros Curriculares Nacionais: matematica. Brasilia: Ministerio da Educacao, 1998. 
Disponivel em: https://bit.ly/3SXmPnQ. Acesso em: 15 jul. 20212.
II – Afirmativa incorreta.
Justificativa: deve‑se analisar o progresso individual do aluno, e não apenas seu desempenho em 
relação ao desempenho médio da turma, de forma que as características individuais sejam respeitadas 
e valorizadas. Cada estudante tem um ritmo de aprendizado, uma vivência diferente: não se pode tratar 
a classe como um grupo uniforme.
III – Afirmativa correta.
Justificativa: sobre conexões no processo de ensino e aprendizagem de matemática, os PCNs afirmam 
o que segue:
É fundamental não subestimar a capacidade dos alunos, reconhecendo que 
resolvem problemas, mesmo que razoavelmente complexos, lançando mão 
de seus conhecimentos sobre o assunto e buscando estabelecer relações 
entre o já conhecido e o novo.
O significado da atividade matemática para o aluno também resulta 
das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre 
ela e seu cotidiano e das conexões que ele percebe entre os diferentes 
temas matemáticos.
Fonte: BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: Ministério da 
Educação, 1998. Disponível em: https://bit.ly/3SXmPnQ. Acesso em: 15 jul. 20212.