Ficha_Exercícios_N01_NúmerosComplexos_ALGA 2023

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INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
 
Ficha Nº 01| Números complexos ALGA | ISUTC 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Usando a unidade imaginaria 𝑖, escrever os seguintes números: 
a) √−4 b) 3 + √−25 c) 
5
6
− √−18 d) √−16 
2. Determine 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) de modo que o número 𝑧 = 2 + (2𝑎 − 3)𝑖 seja: 
a) Imaginário puro. b) Real 
3. Resolva as seguintes equações, em ℂ: 
a) 𝑥4 − 1 = 0 
b) 𝑥2 − 2𝑥 + 10 = 0 
c) 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 
d) 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 
e) 𝑥2 + 6𝑥 + 10 = 0
 
4. Se 𝑧 = 4 + 2𝑖 e 𝑤 = 3 − 5𝑖, calcule: 
a) 𝑧 + 𝑤 b) 𝑧 − 𝑤 c) 𝑧. 𝑤 d) 
𝑧
𝑤
 
5. Determine os valores reais 𝑘 e 𝑡 para que o número 1 − 𝑖 seja raíz da equação 
𝑥2 + 𝑘𝑥 + 𝑡 = 0. 
6. Determine o número complexo 𝑧, de modo que 5𝑧 + 𝑧̅ = 12 + 16𝑖. 
7. Seja 𝑧 = 3 − 2𝑖, determine: 
a) 𝑧−1 b) |𝑧| 
8. Determine 𝑚 ∈ ℝ para que 𝑧 =
2+3𝑖
2+𝑚𝑖
 seja: 
a) Real puro. b) Imaginário puro. 
9. Calcular: 
a) 𝑖92 b) 𝑖45 c) 𝑖30 d) 𝑖4𝑛 
10. Calcule o valor das seguintes somas: 
a) 𝑆 = 𝑖6 + 𝑖7 + 𝑖8 + 𝑖9 + ⋯ + 𝑖98 + 𝑖99 + 𝑖100 
b) 𝑆 = 𝑖23 + 𝑖24 + 𝑖25 + ⋯ + 𝑖261 + 𝑖262 
c) 𝑆 = 𝑖32 + 𝑖33 + 𝑖34 + 𝑖35 + ⋯ + 𝑖123 + 𝑖133 
d) 𝑆 = 𝑖7 + 𝑖9 + 𝑖11 + ⋯ + 𝑖85 
e) 𝑆 = 𝑖4 + 𝑖6 + 𝑖8 + 𝑖10 + ⋯ + 𝑖74 + 𝑖76 
11. Sabendo que a soma 𝑖10 + 𝑖11 + 𝑖12 + ⋯ + 𝑖𝑛 é nula e que 𝑛 > 200, determine o menor valor 
possível de 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ). 
12. Obtenha o complexo 𝑧 de modo que 2𝑧 + 𝑧𝑖 − 3 = −10 − 𝑖. 
Ficha de Exercícios Nº 01 
NÚMEROS COMPLEXOS 
Curso: Engenharias Nível: I 
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica Semestre: 1º/2023 
Docentes: Grupo de ALGA Carga Horária: 6h/Semanal 
Duração: 1 semana (27-Fev a 04-Mar) 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
 
Ficha Nº 01| Números complexos ALGA | ISUTC 2023 
13. Obtenha o complexo 𝑧 de modo que 2𝑧 + 𝑧𝑖 − 𝑧(1 − 𝑖) − 4 = 3𝑖 
14. Escreve os seguintes números na forma trigonométrica: 
a) 𝑧 = 5 + 5𝑖 
b) 𝑧 = √3 − 𝑖 
c) 𝑧 = −1 − √3𝑖 
d) 𝑧 = 1 + √3𝑖 
e) 𝑧 = −1 + 𝑖 
f) 𝑧 = 5 
15. Resolver em ℂ as equações: 
a) 𝑧2 = 1 + 𝑖√3 
b) 𝑧3 = −4𝑖 
c) 𝑧4 = −1 
d) 𝑧2 = 3 + 4𝑖 
16. Determine as raízes a seguir: 
a) (−1 + 𝑖√3)
4
 b) √−𝑖
3
 c) √−1 − 𝑖√3 
17. Dados os complexos 𝑧 = 8(𝑐𝑜𝑠75𝑜 + 𝑖𝑠𝑒𝑛75𝑜) e 𝑤 = 2(𝑐𝑜𝑠15𝑜 + 𝑖𝑠𝑒𝑛15𝑜), calcule: 
a) 𝑧. 𝑤 b) 
𝑧
𝑤
 
18. Encontre as raízes quadradas de 𝑧 = 4 + 4√3𝑖. 
19. Escreve as expressões abaixo na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 
a) (4 − 𝑖) + 𝑖 − (6 + 3𝑖)𝑖 
b) 
(2−𝑖)2
(3+𝑖)2
 
c) (4 − 𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ∙ (1 − 4𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) 
d) 
3−𝑖
4+5𝑖 
 
e) 
𝑖7−𝑖10
𝑖13−𝑖19
 
20. Escreve a forma algébrica do complexo 𝑤, sabendo-se que |𝑤| = 6 e arg(W) =
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑. 
21. Dados complexos na forma trigonométrica, coloca-os na forma algébrica 𝑎 + 𝑏𝑖 
a) 𝑤 = 8(cos
3
4
𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛
3
4
𝜋) 
b) 𝑣 = 17(cos 𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋) 
c) 𝑧1 = 4(cos
𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
) 
d) 𝑧2 = √6(cos
4𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
4𝜋
3
) 
22. Encontre o número complexo na forma algébrica que tenha: 
a) Módulo 2 e argumento 𝛼 = 450 
b) Módulo 10 e argumento 𝛼 =
5𝜋
3
 
23. Represente, no plano de Argand-Gauss, os seguintes números complexos: 
a) 𝑧1 = −1 + 2𝑖 
b) 𝑧2 = 3 − 2𝑖 
c) 𝑧3 = −1 − 𝑖 
d) 𝑧4 = −3𝑖 
24. Determine o argumento e faça a representação gráfica de: 
a) 𝑧 = −
√3
2
+
1
2
𝑖 
b) 𝑤 = −√2 + √2𝑖 
c) 𝑧 = 5 − 5𝑖 
d) 𝑧 = 1 − √3𝑖 
e) 𝑧 = −5𝑖