Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico Contábil - aula 5 - impressão

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RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E 
ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Muitas situações nas áreas de administração e ciências contábeis podem 
ser representadas por funções matemáticas. Mas, o que é função? Ela está 
presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis como: número de 
litros de combustível e preço a pagar; tempo e distância percorrida em uma 
viagem; e número de peças produzidas e o custo. Acrescentam-se inúmeros 
exemplos de nosso cotidiano dentro e fora das organizações. 
Nesta aula, estudaremos os principais conceitos envolvendo funções, 
além das funções composta, inversa, linear, afim, constante, quadrática, 
exponencial e logarítmica. Veremos também onde e como aplicá-las. 
CONTEXTUALIZANDO 
Diariamente nos deparamos com funções matemáticas: quando vamos ao 
supermercado, o preço a pagar por uma compra depende dos produtos 
selecionados; o valor gasto para encher o tanque de combustível é determinado 
pela quantidade de litros abastecidos; o salário de um vendedor comissionado 
está relacionado às vendas realizadas no mês; e o imposto de renda que 
pagamos varia conforme o salário. Logo, o conceito de funções está presente 
em nosso cotidiano e em diferentes áreas. 
As funções descrevem ainda a trajetória de objetos, como uma bola de 
futebol que realiza um movimento que acompanha uma parábola. Problemas 
relacionados a juros compostos, crescimento populacional, decaimento 
exponencial, prazo de uma aplicação financeira ou o tempo relativo ao 
crescimento da população também são exemplos de aplicações das funções. 
Saiba mais 
Vamos entender mais sobre as funções? Confira, então, os seguintes 
vídeos e os respectivos endereços eletrônicos: 
“Conceito de função”: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ>. 
“Noção de função”: <https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg>. 
 
 
 
3 
TEMA 1 – FUNÇÕES 
Anteriormente, estudamos os principais conceitos envolvendo conjuntos, 
e agora vamos utilizá-los para definir funções. Uma função está presente sempre 
que relacionamos duas grandezas variáveis. 
Segundo Rodrigues (2010), considerando dois conjuntos A e B não vazios 
e f a relação entre eles, se todos os elementos x de A estiverem associados a 
um único elemento y de B, dizemos que essa relação é uma função. 
De acordo com Macedo, Castanheira e Rocha (2006), chama-se função 
ou aplicação de A em B, representada por f: A → B; y = f(x), qualquer relação 
binária que associa a cada elemento de A um único elemento em B. 
 
Em algumas situações, temos relações que não são funções. Isso ocorre 
sempre que um valor da variável x estiver associado a dois ou mais valores ou 
quando algum valor de x não estiver relacionado, ou seja, algum elemento do 
conjunto A não tiver correspondente em B. 
 
Uma função pode ser representada por y = f(x), indicando que y está 
associado a x por meio da função f. A variável y é chamada de variável 
dependente, pois é uma consequência do valor de x, ou seja, y depende de x. 
Já a variável x é chamada de variável independente, que assume os possíveis 
valores do conjunto A. 
O conjunto A formado pelos possíveis valores da variável independente x 
recebe o nome de domínio, representado pela letra D. O conjunto B representa 
o conjunto das variáveis dependentes e chamamos de contradomínio 
 
 
4 
(representado por CD). Todos os elementos do contradomínio que se relacionam 
ao domínio formam o conjunto Imagem (Im). 
A lei que define como os elementos do domínio estão relacionados com o 
contradomínio é denominada lei de formação ou de associação de uma função. 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1} e B = {-5, -2, 1, 4, 5, 6} e a relação 
f(x) = 3x + 1, determinar o domínio, o contradomínio e a imagem. 
O domínio é o conjunto A formado pelos valores de x, já o contradomínio 
é o conjunto B que possui os valores de y. Assim: 
D(f) = A = {-2,-1,0,1} 
CD (f) = B = {-5, -2, 1, 4, 5, 6} 
Para encontrarmos o conjunto imagem valor, substituir os valores de x do 
conjunto A na relação f(x) = 3x + 1: 
A = {-2,-1,0,1} 
f(-2) = 3.(-2) +1 = - 5 
f(-1) = 3.(-1) + 1 = -2 
f(0) = 3.(0) + 1 = 1 
f(1) = 3.(1) + 1 = 4 
Assim: Im(f) = { -5, -2, 1, 4} 
 
Considerando que domínio e contradomínio pertencem ao conjunto dos 
números reais, precisamos avaliar algumas situações, pois há certas operações 
que não são realizadas no conjunto dos números reais. Dessa forma, avaliamos 
e determinamos o domínio de uma função levando em consideração as 
seguintes situações: 
 
 
5 
1. Caso o domínio da função não seja dado, consideramos que o domínio é 
o conjunto dos números reais; 
2. Caso seja dado um intervalo de validade da variável x, este será o domínio 
da função. Exemplo: f(x) = 4x – 2 com 0 ≤ x ≤ 6. 
3. Caso a variável independente esteja no denominador de uma fração, 
precisamos lembrar que o denominador deve ser ≠ 0. 
Exemplo: 
5
8
)(


x
xf 
Como o denominador precisa ser diferente de zero, temos que: 
x – 5 ≠ 0. 
Isolando o x, temos que x ≠ 5, ou seja, x precisa ser diferente de 5. 
Logo, o domínio será: D(f) = {x R | x ≠ 5} 
4. Caso a variável independente esteja em um radical de índice par, 
devemos lembrar que o radicando precisa ser maior ou igual a zero, 
conforme estudamos anteriormente. 
Exemplo: 153)(  xxf 
Como o radicando precisa ser maior ou igual a zero, temos: 
3x – 15 ≥ 0 3x ≥ 15 
3
15
x x ≥ 5 
Logo, o domínio será: D(f) = {x R | x ≥ 5}. 
As funções podem ser classificadas em sobrejetora, injetora e bijetora: 
 Sobrejetora: quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio: 
 
 Injetora: quando elementos distintos do domínio possuem imagens 
distintas: 
 
 
 
6 
 Bijetora: quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora: 
 
Segundo Macedo (2006), seja dada uma função f: R → R definida pela lei 
de formação y = f(x). Pode-se representar os pares ordenados (x,y), obtidos por 
meio da lei de formação, que possuem x D(f) e y= f(x), em um sistema de 
coordenadas cartesianas. A curva obtida com a ligação dos pares ordenados é 
a representação geométrica da função, usualmente denominada de gráfico da 
função f. 
Exemplo: Elaborar o gráfico da função f(x) = 2x - 3, sabendo que A = {1,2,3,4} 
(Macedo; Castanheira; Rocha, 2006, p. 104). 
Para elaborar o gráfico, precisamos encontrar o conjunto imagem 
substituindo o valor de x pelos valores do conjunto A: 
f(1) = 2.1 – 3 = -1, par ordenado (1, -1) 
f(2) = 2.2 – 3 = 1, par ordenado (2, 1) 
f(3) = 2. 3 – 3 = 3, par ordenado (3, 3) 
f(4) = 2. 4 – 3 = 5, par ordenado (4, 5) 
Agora, representamos no plano cartesiano os pares ordenados: 
 
 
 
7 
TEMA 2 – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA 
Uma função composta é constituída com base em outra ou em outras 
funções, ou seja, se forma pela relação entre duas ou mais funções. 
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, chamamos de função composta 
de g e f a função g o f: A → C, que é definida por (g o f)(x) = g(f(x)), x A. 
 
Exemplo 1: Dadas as funções f(x) = x + 5 e g(x) = x² -1, determinar f(g(x)). 
Para encontrar f(g(x)), precisamos substituir o valor de x na função f(x) 
pela função g(x): 
f(x) = x + 5 
f(g(x))= f(x² -1) = (x² -1) + 5 
f(g(x)) = x² -1 + 5 f(g(x)) = x² + 4 
Exemplo 2: O lucro de uma empresa é representado pela função L = 0,5.V, em 
que V é o preço de venda. Sabendo que o preço de venda V é representado pela 
função V = 15 + 2,5.C, em que C é o custo da matéria-prima, encontrar o lucro 
por meio do custo da matéria-prima. 
Para descobrir o resultado, podemos utilizar a definição de função 
composta, fazendo uma composição entre as funções L e V. Dessa forma, 
podemos substituir V direto na função L; assim: 
L = 0,5.V 
V = 15 + 2,5.C 
L = 0,5.(15 + 2,5.C) L = (0,5 . 15) + (0,5 . 2,5C) 
L = 7,5 + 1,25 C 
Assim, identificamoso lucro relacionado diretamente com o custo da 
matéria-prima C. 
Temos também a função inversa, que é representada por f-1(x) e é a 
função contrária à f(x). Para existência da função inversa, a f(x) precisa ser uma 
 
 
8 
função bijetora; assim, considerando a função f: A → B bijetora, chamamos 
função inversa de f a função f: B → A. 
 
Para obter a função inversa, trocamos a ordem dos elementos de cada 
par ordenado da função f, ou seja, substituímos y por x e x por y e, em seguida, 
isolamos o valor de y. 
Exemplo 1: Determinar a função inversa das seguintes funções: 
a) f(x) = x + 2 
Para encontrar a função inversa f-1(x), escrevemos f(x) na forma: y = x + 
2 e trocamos y por x e x por y: 
y = x + 2 
x = y + 2 
Vamos isolar a variável y, utilizando as operações inversas: 
x = y + 2 
x – 2 = y ou y = x -2 
Assim: f-1(x) = x -2 
b) f(x) = -3x + 5 
y = -3x + 5 
Trocando x por y e y por x, temos: 
y = -3x + 5 x = -3y + 5 
x – 5 = -3y 
Multiplicando por (-1) e isolando y, temos: 
x – 5 = -3y - x + 5 = 3y 
3
5

x
y 
 
 
9 
TEMA 3 – FUNÇÃO LINEAR, AFIM, CONSTANTE 
Uma função afim ou de primeiro grau é escrita na forma y = ax + b, com a 
≠ 0. Quando temos apenas o coeficiente a, chamamos de função linear; assim 
uma função linear é escrita na forma f(x) = ax, sendo a ≠ 0 e b = 0. O coeficiente 
a é chamado de coeficiente angular, e o coeficiente b, coeficiente linear. 
Exemplos: 
1) f(x) = -7x + 120 
2) f(x) = 2x + 6 
3) f(x) = -3x + 
5
4
 
4) f(x) = 2x 
O gráfico de uma função de primeiro grau é representado por uma reta; o 
coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta, e o coeficiente linear (b), 
o valor em que o gráfico corta o eixo y. O ponto onde a reta corta o eixo x é 
chamado de raiz da função e é dado por: 
a
b
x  
Analisando o coeficiente a, temos as seguintes funções: 
 a > 0 → função crescente 
Exemplo 1: f(x) = 2x + 1 
 
 a < 0 → função decrescente 
 
 
10 
Exemplo 2: f(x) = -3x + 2 
 
 a = 0 → função constante 
Exemplo 3: f(x) = 2 
 
Quando temos uma função linear na forma f(x) = ax, o gráfico é uma reta 
que passa pela origem: 
 
Exemplo 4: Construir o gráfico da função y = 3x - 1, determinar a sua raiz, o 
coeficiente angular e o coeficiente linear e verificar se a função é crescente ou 
decrescente. 
Vamos encontrar os coeficientes: 
 Coeficiente angular (a) = 3 
 Coeficiente linear (b) = -1 
 
 
11 
Analisando o coeficiente angular, temos que a é positivo (a>0); assim, 
nossa função é crescente. 
Agora, vamos determinar a raiz da função utilizando a fórmula: 
a
b
x  
Por fim, esboçamos o gráfico, indicando os pontos 3
1
x
, ponto em que a 
reta corta o eixo x, e b = -1, que é o ponto que corta o eixo y: 
 
TEMA 4 – FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Uma função quadrática, também como função polinomial de 2º grau, é 
escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. 
Exemplos: 
1) f(x) = x² - 2x + 1, a = 1, b = -2, c = 1 
2) f(x) = -4x² + 4x -1, a = -4, b = 4, c = -1 
3) f(x) = x² -4, a = 1, b = 0, c = -4 
4) f(x) = -x² + 100x, a = -1, b = 100, c =0 
5) f(x) = -x², a = -1, b = 0, c = 0 
A função quadrática possui uma representação gráfica dada por uma 
curva, denominada parábola, que pode ter concavidade voltada para cima ou 
para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a: 
 a > 0: a curva terá a sua concavidade voltada para cima, e a função terá 
um ponto de mínimo: 
 
3
)1(
x
3
1
x
 
 
12 
 a < 0: a concavidade da curva será voltada para baixo, e a função terá 
ponto de máximo: 
 
O ponto em que a parábola cruza o eixo y é indicado pelo parâmetro c da 
função, já o eixo x é interceptado pelas raízes da função. Para determinar as 
raízes, igualamos a função a zero e resolvemos a equação de 2º grau utilizando 
a fórmula de Bháskara. 
a
acbb
x
2
4² 
 
em que  é chamado de discriminante e igual a b² - 4ac. 
Uma função de 2º grau possui duas raízes x1 e x2, e, analisando o valor 
do discriminante ( ), sabemos como serão essas raízes. Assim: 
  > 0 ( um valor positivo): a função possui duas raízes reais diferentes, 
e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos x1 e x2 : 
 
  = 0: a função possui duas raízes reais iguais, e a parábola intercepta o 
eixo x em um único ponto, pois x1 = x2 . 
 
  < 0 (  um valor negativo): a função não possui raízes reais, e a 
parábola não intercepta o eixo x. Isso ocorre, pois não existe raiz real de 
a
b
x
2


 
 
13 
um número negativo quando o índice é par, conforme aprendemos 
anteriormente sobre radiciação. 
 
Segundo Macedo (2006), toda parábola possui um vértice, que é o ponto 
no qual o gráfico representativo da função de 2º grau deixa de ser crescente e 
passa a ser decrescente, ou vice-versa. Para calcular as coordenadas do vértice, 
utilizamos as fórmulas: 
a
b
xv
2
 
Com base nas definições estudadas, podemos representar 
genericamente o gráfico de uma função de 2º grau conforme a figura a seguir: 
 
Exemplos: Para cada, função vamos determinar as raízes, as coordenadas do 
vértice, verificar se a concavidade é voltada para cima ou para baixo e traçar o 
gráfico da função. 
a) f(x) = x² - 5x + 6 
Vamos iniciar identificando os coeficientes a, b e c, lembrando que a forma 
geral da função de 2ª grau é f(x) = ax² + bx + c, assim a = 1, b = -5, c = 6. 
Analisando o coeficiente a, temos que ele é positivo, assim a concavidade 
será virada para cima. Vamos agora encontrar as raízes, utilizando a fórmula de 
Bháskara, substituindo os coeficientes: 
a
acbb
x
2
4² 
 
2
24255 
x 
a
yv
4


1.2
6.1.4)²5()5( 
x
2
15
x
2
15
x
 
 
14 
Uma das raízes será a soma, e a segunda, a subtração: 
3
2
6
2
15
1 

x
 
Agora, vamos calcular as coordenadas do vértice: 
a
b
xv
2

 
a
yv
4


 
Obs:  é o radicando que aparece dentro da raiz na fórmula de Bháskara. 
Com todos os dados calculados vamos traçar o gráfico da função: 
 
b) f(x) = x² -8x + 16 
a = 1 – como a é positivo, a concavidade será voltada para cima. 
b = -8 
c = 16 
Raízes: 
a
acbb
x
2
4² 
 
2
08 
x
 
4
2
8
2
08
1 

x
 
Vértice: 
a
b
xv
2

 
 
1.2
5
vx 2
5
vx
4
1
1.4
1
vy
1.2
16.1.4)²8()8( 
x
2
64648 
x
2
08
x
1.2
)8(
vx 4
2
8
vx
2
2
4
2
15
2 

x
4
2
8
2
08
2 

x
 
 
15 
a
yv
4

 
Gráfico: 
 
c) f(x) = -x² + 4 
a = -1 – como a é negativo, a concavidade será voltada para baixo. 
b = 0 
c = 4 
Raízes: 
a
acbb
x
2
4² 

 
2
160


x 
2
2
4
2
40
1 


x
 
Vértice: 
a
b
xv
2

 
a
yv
4

 
Gráfico: 
0
1.4
0
vy
)1.(2
4).1.(4²00


x
2
1600


x
2
40


x
0
)1.(2
0


vx
4
4
16
)1.(4
16




vy
2
2
4
2
40
2 





x
 
 
16 
 
TEMA 5 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A função exponencial é uma função com base constante e expoente 
variável e possui a forma f(x) = ax; ou seja, a variável x encontra-se no expoente, 
e a > 0 e a ≠ 1. Ela pode ser crescente ou decrescente, de acordo com o valor 
da base (a). Se a > 1, a função é crescente, e se 0 < a < 1, é decrescente. 
Vejamos no gráfico a representação dessa função. 
 
Exemplos: 
1) f(x) = 3x 
2) 
x
xf 






2
1
)( 
Esse tipo de função pode ser utilizado para descrever a desvalorização 
comercial, os juros compostos e o crescimento ou decrescimento de populações 
humanas. 
Saiba mais 
Vamos ver algumas aplicações da função exponencial no cotidiano? 
Confira, então, o seguinte material: <http://x-
damatematica.blogspot.com/2016/09/aplicacoes-funcao-exponencial-no.html>. 
A função logarítmica é a função inversa da exponencial; ela é definida pela 
lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0. Dizemos também que o logaritmo 
é o expoente de uma potência; assim:17 
xayx ya log 
Exemplos: 
1) f(x) = log2x 
2) xxf
4
1log)(  
Analisando o gráfico de uma função logarítmica, temos que a função será 
crescente se a base do logaritmo for maior que 1, e decrescente, se a base for 
um número entre 0 e 1. 
 
Saiba mais 
Vamos entender mais sobre a função logarítmica e verificar que diversos 
problemas podem ser resolvidos com o uso de logaritmos. 
“Funções logarítmicas”: <https://www.youtube.com/watch?v=LyumzT6br2A>. 
“Logaritmo na prática: matemática financeira”: 
<https://www.youtube.com/watch?v=k2WWRA5aMyY>. 
TROCANDO IDEIAS 
Vimos que as funções estão presentes em nosso dia a dia. Você se 
recorda de alguma situação na qual já utilizou funções? Em que circunstâncias 
podemos utilizar as funções dentro das organizações? 
NA PRÁTICA 
Podemos utilizar as funções em várias situações, como em aplicações 
que envolvam custos, lucros, demanda, oferta, receita e ponto de equilíbrio. 
Quando analisamos as coordenadas do vértice de uma função quadrática, 
podemos determinar valores máximos, mínimos e intervalos de crescimento ou 
 
 
18 
decrescimento das funções. Vamos verificar uma aplicação da função quadrática 
assistindo ao seguinte vídeo: 
<https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ>. 
Agora, vamos aplicar os conceitos que aprendemos nesta aula na 
resolução dos seguintes exercícios: 
1) Um vendedor recebe por mês um salário fixo de R$ 1.500, mais uma parte 
variável de 6% de comissão sobre o total de vendas realizadas no período. Qual 
a função que representa o salário desse vendedor? 
Neste exercício, sabemos que o vendedor recebe um salário fixo, mais 
uma comissão variável que depende das vendas realizadas durante o mês. 
Como não sabemos o total de vendas do mês e esse valor é variável, vamos 
chamar o total de vendas realizadas de x; assim, o salário do vendedor seria: 
Salário = fixo + comissão 
Salário = 1.500 + 6% x vendas totais no mês 
Salário = 1.500 + 6%. X 
Transformando a comissão de 6% em decimal – dividindo 6 por 100 –, 
temos: 
Salário = 1.500 + 0,06. X 
Assim, o salário mensal do vendedor é dado em função do total de vendas 
que ele faz durante o mês, e essa função é uma função afim ou de 1º grau. 
2) Uma indústria possui um custo fixo mensal de R$ 24.000, e a cada unidade 
produzida, um custo de fabricação de R$ 180. Sabendo que o preço de venda 
do produto é R$ 420, vamos determinar a função custo total, função receita total 
e função lucro. 
A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável que é 
dependente da quantidade produzida. Como não sabemos qual é a quantidade 
produzida, a chamamos de x. Assim: 
Custo total = custo fixo + custo variável x quantidade produzida 
Custo total = 24.000 + 180.x 
Para encontrarmos a função receita, consideramos a quantidade vendida 
multiplicada pelo preço de venda. Como não sabemos qual a quantidade 
vendida, consideramos essa quantidade variável como x; logo: 
Receita total = preço de venda x quantidade vendida 
 
 
19 
Receita total = 420 x quantidade vendida 
Receita total = 420. x 
Agora, vamos encontrar a função lucro. Sabendo que o lucro é obtido pela 
diferença entre a função receita e custo, temos: 
Lucro = receita - custo 
Substituindo na fórmula do lucro as funções receita e custo, obtemos: 
Custo total = 24.000 + 180.x 
Receita total = 420. x 
Lucro = 420. x – (24.000 + 180.x) 
Lucro = 420. x – 24.000 - 180.x 
Lucro = 240 x – 24.000 
3) Sabendo que o lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = -400x² + 
6800x + 12000 (em que x representa o preço de venda de um produto), 
determinar qual seria o preço que maximiza o lucro e qual o lucro máximo dessa 
empresa. 
Esse exemplo representa uma aplicação das coordenadas do vértice que 
estudamos no Tema 4. Como nessa função o valor de a é -400, temos a 
concavidade virada para baixo e um ponto de máximo que é obtido pelo cálculo 
do valor de x do vértice. Dessa forma, temos: 
 
a
b
xv
2

 
Vamos substituir os valores na fórmula, em que a = -400 e b = 6800: 
)400.(2
6800

vx 
5,8
800
6800
800
6800


vx 
Assim, o preço que maximiza o lucro é R$ 8,50. Com esse valor, 
conseguimos encontrar qual será o lucro máximo da empresa, substituindo na 
função L(x): 
L(x) = -400x² + 6800x + 12000 
L(8,5) = -400.(8,5)² + 6800.(8,5) + 12000 
L(8,5) = -400.(72,25) + 57800 + 12000 
L(8,5) = -28900 + 57800 + 12000 
L(8,5) = 40900 
 
 
20 
O lucro máximo desta empresa será R$ 40.900. Outra forma de encontrar 
esse valor seria descobrir o valor de y do vértice (yv). 
FINALIZANDO 
Chegamos ao final desta aula, na qual estudamos os principais conceitos 
envolvendo funções. Vimos também as funções composta, inversa, linear, afim, 
constante, quadrática, exponencial e logarítmica. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
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Disponível em: <http://x-damatematica.blogspot.com/2016/09/aplicacoes-
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em: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ>. Acesso em: 18 dez. 
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<https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ>. Acesso em: 18 dez. 2019. 
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<https://www.youtube.com/watch?v=LyumzT6br2A>. Acesso em: 18 dez. 2019. 
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