Distribuição Retangular e Triangular

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TRECHO RETIRADO DO LIVRO 
METROLOGIA & INCERTEZA DE MEDIÇÃO – CONCEITOS E APLICAÇÕES. EDITORA LTC. 
AUTORES: ALEXANDRE MENDES E PEDRO PAULO NOVELINO ROSARIO. CAPITULO 3. 
 
 
a) Distribuição Retangular ou Uniforme 
 Quando a distribuição de probabilidade for constante num intervalo definido, estaremos diante de uma 
distribuição uniforme ou retangular. 
 
Gráfico 3.3: Distribuição Uniforme ou Retangular 
 A distribuição uniforme tem uma função densidade de probabilidade definida por: 
 
 
1
; f x a x b
b a
  

 Eq. 3.7 
 Obs: f (x) = 0 quando x < a ou x > b. 
 A média de uma variável aleatória contínua uniforme X é definida pela equação 3.5. 
    .
x
x
µ E X x f x dx

   
 Integrando a equação 3.4 nos limites entre a e b e adotando 𝑓(𝑥) =
1
(𝑏−𝑎)
; temos: 
 
 
2
2
b
a
bx x
dx
ab a b a

 
 
 
2
a b
x

  Eq. 3.8 
 Usando a definição de variância dada pela equação 3.6, temos: 
     
22 V X x f x dx 


   
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 
2
2
a
b
a b
x
V X dx
b a
   
   
  

 
 
 
2
2
3
a b
x
b
V X
ab a
 
 
 

 
 
 
2
12
b a
V X

 Eq. 3.9 
 Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, então temos: 
   
12
b a
X s X

  Eq. 3.10 
 Adotamos a expressão 𝑠(𝑋) para o desvio-padrão amostral e a expressão 𝜎(𝑋) para o desvio-padrão 
da população. No caso da distribuição uniforme, é dada pela mesma equação. 
 
Exercício resolvido 3.4 
 Suponha que o valor da massa de um objeto seja 25,9 g e que a balança digital 
utilizada para essa medição tenha uma resolução de leitura de 0,1 g. Isto significa dizer 
que a balança lê incrementos de 0,1 g em 0,1 g. Considerando o algoritmo existente na 
balança digital, responsável pela digitalização dos valores indicados, o “valor 
verdadeiro” da massa estará compreendido entre o intervalo 25,85 g a 25,95 g. Valores 
como 25,96 g, ou maiores, deverão ser arredondados pelo instrumento para 26,0 g; da 
mesma forma que valores como 25,84 g, ou menores, para 25,8 g. 
Com base nessas informações determine a média e o desvio-padrão dessa distribuição. 
Solução: 
 Considerando que a balança tem uma limitação de leitura de 0,1 g (resolução), 
sabemos que toda vez que a balança indicar 25,9 g teremos uma dúvida do 
“verdadeiro valor” da massa em questão, ocasionada pela sua limitação de resolução. 
Considerando que a probabilidade de o “valor verdadeiro” estar compreendido entre 
25,85 g a 25,95 g é a mesma dentro deste intervalo, é razoável adotar uma 
distribuição estatística que reflita este comportamento, ou seja, a distribuição 
retangular ou uniforme. No gráfico a seguir temos: 
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Gráfico 3.4: Distribuição estatística do exercício resolvido 3.2 
 
Observe que a área sob o gráfico vale 1, como era de se esperar. 
Deste modo, a média será: 
25,95 25,85 
2 2
a b g g
x
 
  
25,9 x g 
O desvio-padrão é dado pela equação 3.9 
 
25,95 25,85 0,1 
12 12 12
b a g g g
s x
 
   
  0,028867513 s x g 
Veremos mais adiante que esse resultado é considerado como a incerteza da resolução de leitura dos 
instrumentos com distribuição de leitura retangular. 
b) Distribuição Triangular 
 
 Quando a distribuição de probabilidade for maior na parte central, num intervalo definido, e decair 
linearmente nas extremidades, estaremos diante de uma distribuição triangular. 
 Em muitos casos, é mais realista esperar que valores perto dos limites fossem menos prováveis do que 
os que estejam perto do ponto médio. É então razoável substituir a distribuição retangular simétrica por uma 
distribuição triangular. 
 
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Gráfico 3.5: distribuição triangular 
 
Obs: f (x) = 0 quando x < a ou x > b. 
 Para a distribuição triangular com a média �̅� no centro do intervalo a,b, temos: 
2
a b
x
 
   
 
 Eq. 3.11 
 E desvio-padrão dado pela expressão: 
   
24
b a
X s X

  Eq. 3.12 
 Adotamos a expressão 𝑠(𝑋) para o desvio-padrão amostral e a expressão 𝜎(𝑋) para o desvio-padrão 
da população. No caso da distribuição triangular, é dada pela mesma equação. 
 
Exercício Resolvido 3.5 
Suponha que na calibração de um manômetro, com intervalo de medição (0 a 40) bar e resolução 1 
bar, ao utilizarmos uma bomba comparadora fixamos os pontos de calibração no manômetro objeto em: 10 
bar, 20 bar, 30 bar e 40 bar (Figura 3.2). 
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Figura 3.2. Calibração de manômetro 
Fonte: Os autores 
Esses valores são fixados, de forma a apresentar uma probabilidade de ocorrência maior do que 
qualquer outro. 
Por exemplo, para o ponto 30 bar, o “valor verdadeiro” da pressão estará compreendido no intervalo 
29,5 bar a 30,5 bar. Valores como 30,5 bar, ou maiores, serão arredondados para 31 bar, da mesma forma que 
valores como 29,4 bar, ou menores, para 29 bar. Considerando a probabilidade do “valor verdadeiro” ser maior 
no ponto 30 bar do que em qualquer outro ponto, porque fixamos neste valor. 
Com base nessas informações determine a média e o desvio-padrão dessa distribuição no ponto 30 bar. 
Solução: 
Considerando que a probabilidade do “valor verdadeiro” é maior no ponto 30 bar do que em qualquer 
outro ponto, porque fixamos neste valor, é razoável adotar uma distribuição estatística que reflita este 
comportamento, ou seja, a distribuição triangular. Na figura abaixo temos: 
 
Gráfico 3.6: Distribuição estatística do exercício resolvido 3.5 
 
Para o cálculo da média adotaremos a equação 3.10. 
29,5 30,5 
2
bar bar
x

 
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60,0 
2
bar
x  
30,0 x bar 
Para o cálculo do desvio-padrão adotaremos a equação 3.12. 
 
30,5 29,5 
24
bar bar
s X

 
 
 
1 
24
bar
s X  
  0,0416666666 s X bar 
Esse resultado é considerado a incerteza da resolução de leitura dos instrumentos com distribuição de 
leitura triangular.