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AE Rosa Maria Salani Mota 1 Amostragem Estratificada (AE) Estrutura da Amostragem estratificada : •Divisão da população em subpopulações bem definidas (estratos). •Em cada estrato realiza-se uma amostragem independente dos demais estratos. •Em cada estrato, usam-se estimadores convenientes para os parâmetros populacionais de interesse. •Monta-se para a população um estimador, combinando-se os estimadores de cada estrato, e determinam-se suas propriedades. AE Rosa Maria Salani Mota 2 Amostragem Estratificada •Na amostragem aleatória simples, uma única estimativa é obtida para toda a população alvo. Porem, para cada estrato, é obtida uma estimativa que, dada a maior homogeneidade dos estratos, geralmente é mais precisa que a estimativa da ACS para a população alvo. •A estimativa para população alvo é obtida pela combinação ponderada das estimativas dos estratos. AE Rosa Maria Salani Mota 3 Notação : Seja a população alvo Ω e Ωh Ω o estrato h, h=1,2,...,L Seja o vetor de dados populacionais d = (y11; ...; y1N1 ; ... ; yhi ; ... ; yLNL ) • Nh o tamanho populacional no estrato h N o tamanho da população, N = h=1 Nh (soma do tamanho populacional dos estratos) • Th = : total populacional no estrato h • : média populacional no estrato h Estimação na AE μh = 𝑦𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖=1 𝑁ℎ = 𝑇ℎ 𝑁ℎ = 𝑌 ℎ 𝑦𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖=1 AE Rosa Maria Salani Mota 4 • 2h = : variância populacional do estrato h • Então: : total populacional média populacional Estimação na AE- notação 1 𝑁ℎ (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ) 2 = 𝑁ℎ − 1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝑇 = 𝑇ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑦𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 = 𝑁ℎ𝑌 ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜇 = Ῡ = 𝑇 𝑁 = 1 𝑁 𝑇ℎ 𝐿 ℎ=1 = 1 𝑁 𝑁ℎ𝜇ℎ = 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑁 𝜇ℎ = 𝑊ℎ𝜇ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐿 ℎ=1 Wh = Nh N : peso relativo do estrato h com Wh 𝐿 ℎ=1 = 1 AE Rosa Maria Salani Mota 5 2= 2= 2 = Onde e S2 = Estimação na AE- notação 1 𝑁 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇) 2 = 1 𝑁 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ + 𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 1 𝑁 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ) 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 + 1 𝑁 𝜇ℎ − 𝜇 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 = 1 𝑁 𝑁ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 + 1 𝑁 𝑁ℎ(𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 + 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 = 𝜎𝑑 2 + 𝜎𝑒 2 𝜎𝑑 2 = 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 𝑒 𝜎𝑒 2 = 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 1 𝑁 − 1 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇) 2 = 𝑁ℎ − 1 𝑁 − 1 𝐿 ℎ=1 𝑆ℎ 2 + 𝑁ℎ 𝑁 − 1 (𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 Variação dentro dos estratos Variação entre os estratos AE Rosa Maria Salani Mota 6 Estimação na AE - Estimadores •Os estimadores podem ser expressos em termos dos estimadores dos parâmetros nos estratos: Estimador da média: Estimador do total : AE Rosa Maria Salani Mota 7 •Usando a ACSs para a coleta da amostra em cada estrato então, para uma amostra de tamanho nh no estrato h, h=1,...,L - Por estrato: Estimador da média: com Estimador do total : com Estimação na AE – Estimadores usando a ACS 𝜇 ℎ = 𝑦 ℎ = 𝑦𝑖ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ = 1 − 𝑓ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ ; 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ) 2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ) 2𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ − 1 AE Rosa Maria Salani Mota 8 Propriedade: Se a amostragem por estrato é a ACSs, o estimador da média populacional: é um estimador não tendencioso de Ῡ com onde, ; , e Propriedades dos estimadores populacionais na AE 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ) 2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ) 2𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ − 1 AE Rosa Maria Salani Mota 9 Prova: sendo onde e e, como, Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑠 𝑊ℎ 2 1 − 𝑓ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐸(𝑦 𝑒𝑠𝑡 ) = 𝑊ℎ𝐸 𝑦 ℎ =𝐴𝐶𝑆 𝐿 ℎ=1 𝑊ℎ𝑌 ℎ = 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑁 𝑌 ℎ =(𝑑𝑒𝑓𝑖 𝑛 .𝑑𝑒 𝑌 ℎ ) 𝐿 ℎ=1 1 𝑁 𝑌𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖 = 𝑌 𝐿 ℎ=1 AE Rosa Maria Salani Mota 10 (yih - h )2 = (yih - + - h )2 = (yih - )2+( - h )2 + 2 (yih - )( - h) onde então ou seja, Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 𝑦𝑖ℎ − 𝑦 𝑦 − ℎ = 𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑦 − ℎ = −𝑛ℎ 𝑦 − ℎ 2 (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 𝒉 𝒏𝒉 𝒊=𝟏 )𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 ) 𝟐 + 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉) 𝟐 − 𝟐 𝒏𝒉 𝒊=𝟏 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉) 𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 ) 𝟐 − 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉) 𝟐 𝒏𝒉 𝒊=𝟏 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ) 2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ) 2𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ − 1 • Intervalo de Confiança • Pelo Teorema Central do Limite, a estimativa da média (Ῡ) como do total ( = N Ῡ) no caso de grandes amostras tem distribuição Gaussiana. • Para amostras estratificadas o Intervalo de Confiança com 100(1 − )% a: Estimativa da Média est ± t(1 − /2; d) Estimativa do Total ± t(1 − /2; d) IC na AE – Propriedades dos estimadores 𝑡 𝑒𝑠𝑡 Onde t ~ t-Student com d graus de liberdade (gl) - por Satterthwaite (1946)1 e citado por COCHRAN (1977), o valor aproximado do gl d = ; a h = Nh (Nh - nh)/ nh Considerando que n é “suficientemente grande” então: t(1 − /2; d) ≅ percentil de ordem 1 − /2 da normal padrão IC na AE – Propriedades dos estimadores 𝑎ℎ 𝜎 ℎ 2𝐿 ℎ=1 2 (𝑎ℎ 𝜎 ℎ 2𝐿 ℎ=1 ) 2/(𝑛ℎ − 1) 1 Biometrics Bulletin, Vol. 2, No. 6, (Dec., 1946), pp. 110-114 TAMANHO DA AMOSTRA NA AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA população 1 2 3 4 5 6 7 8 Ῡ (μ) 2 renda 13 17 6 5 10 12 19 6 11 24 região A B A A A B B A - - Exemplo: Considerando o exemplo 20: ESTRATO Região A (N=5) Região B (N=3) Subpopulação 1 3 4 5 8 2 6 7 renda 13 6 5 10 6 17 12 19 WA = 5/8 = 0,625 ; μA = 8 WB = 3/8 = 0,375 ; μB = 16 A 2 = 9,2 ou SA 2 = 11,5 B 2 =8,7 ou SB 2= 13,0 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =1 e nB =2 var (Ῡest ) = (0,625) 2 (1-1/5) (11.5/1) + (0,375)2 (1-2/3) (13/2) var (Ῡest ) = 3,9 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =2 e nB =1 var (Ῡest ) = (0,625) 2 (1-2/5) (11,5/2) + (0,375)2 (1-1/3) (13/1) var (Ῡest ) = 2,4 Conclusão o tipo de alocação da amostra nos estratos pode reduzir ou aumentar a variância. Estimação na AE – Propriedades dos estimadores • Tamanho da Amostra e Alocação das Unidades Amostrais : Assumindo uma ACSc em cada estrato então, o tamanho da amostra para um erro “E” e um nível de significância (1- )%. E2 = z2 onde Como depende de nh , h = 1, ..., L, e sendo nh = n wh onde , encontra-se AE – tamanho da amostra 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝜎 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛 = 𝑧2 𝑊ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐸2 = 𝑧2 𝑁ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 (𝑁𝐸)2 wh = nh n onde wh = 1 L h=1 Se a amostragem é sem reposição e a população é de tamanho finito onde, z = percentil de ordem 1− /2 da normal padrãoNh = tamanho do estrato h, N = tamanho da população alvo = AE – tamanho da amostra 𝑛 = 𝑧2 𝑁ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 (𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 𝑁ℎ 𝐿 ℎ=1 Wh = Nh N : peso relativo do estrato h com Wh 𝐿 ℎ=1 = 1 wh = nh n onde wh = 1 L h=1 • Note que para encontrar o tamanho de amostral, é necessário primeiramente definir a proporções wh , isto é, como as unidades amostrais serão distribuídas nos vários estratos ( nh= n.wh ). AE - tamanho da amostra ALOCAÇÃO UNIFORME (AEuni): Se n é o tamanho da amostra nh = = n =k (constante) para h = 1, 2,..., L; wh = nh/n = Se a amostra nos estratos é obtida pela ACSc para uma margem de erro E e um coeficiente de confiânça (1- )%, o valor mínimo necessário para “n” será : AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA UNIFORME (Aeuni) L n L 1 L 1 𝑛 = 𝑧2 𝑊ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐸2 = 𝐿 𝑧2 𝑊ℎ 2𝜎 ℎ 2 𝐿ℎ=1 𝐸2 • se a amostragem é sem reposição e a população é de tamanho finito ainda, para a alocação uniforme: AE – tamanho da amostra N N We N n f onde n hh h h hhh WL f NL n N f 𝑛 = 𝑧2 𝑁ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 (𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 = 𝐿 𝑧2 𝑁ℎ 2𝜎 ℎ 2 𝐿ℎ=1 (𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 Exemplo 21: Deseja-se estimar o numero de arvores em florestas ombrófilas (fluviais tropicais ) densa na Amazônia Oriental Para isso, construiu-se estratos de acordo com a área da floresta. As informações disponíveis são: AE – tamanho da amostra Estrato A A A A B B B B B C C C C Nº arvore 358 332 290 304 268 242 256 244 216 288 322 234 276 Nh 4 5 4 h 321,00 245,20 280,00 2 h 685,00 300,16 990,00 h 26,17 17,33 31,46 Em uma AE Uniforme , para =0,05 z =1,96 z2 = 3,846 e, para E = 10 E2 = 100 nh = n wh = k (constante), h = 1, 2, 3, e N = 13 (obs: na ACSs Existe a necessidade da correção do tamanho populacional ) AE – tamanho da amostra Estrato Nh Nh 2 2 h h AEuni ACSc ACSs A 4 16 685,00 26,17 8 4 B 5 25 300,16 17,33 8 4 C 4 16 990,00 31,46 8 4 n - - - - ≅24 ≅12 ALOCAÇÃO PROPORCIONAL (AEprop): Na alocação proporcionalmente ao tamanho dos estratos h (Nh ), h=1, 2, .., L , encontra-se nh = k Nh , 0 < k 1 - nh = k Nh n = k N wh = = Wh e, nh = n Wh para todo, h =1, 2, ... L Assim, se a amostra dos estratos é obtida pela ACSc AE - tamanho da amostra na AEprop N N n n hh 𝑛 = 𝑧2 𝑊ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐸2 = 𝑧2 𝑊ℎ𝜎 ℎ 2 𝐿ℎ=1 𝐸2 Se na AEprop a amostra dos estratos é obtida pela ACSs com wh = Wh então Observe que: ; n*= tamanho da amostra na ACSc AE - tamanho da amostra na AEprop 𝑛 = 𝑧2 𝑁ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 (𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 𝑛 = 𝑧2 𝑁2 𝑊ℎ 𝜎 ℎ 2 𝐿ℎ=1 (𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 = 𝑧2 𝑁 𝑊ℎ 𝜎 ℎ 2 𝐿ℎ=1 𝑁𝐸2 + 𝑧2( 𝑊ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 = 𝑧2 𝑁 𝑁ℎ 𝜎 ℎ 2 𝐿ℎ=1 (𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 2 )𝐿ℎ=1 Teorema: Na AEprop usando a ACS nos estratos, encontra- se est = da ACS e , são estimadores não tendenciosos de Ῡest e var(est ) respectivamente AE – propriedade dos estimadores na AEprop 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑊ℎ 2 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ = 𝑊ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛 𝑙 ℎ=1 𝑛𝑎 𝐴𝐶𝑆𝑐 𝐿 ℎ=1 1 − 𝑓 𝑊ℎ 2 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ = (1 − 𝑓) 𝑊ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛 𝑙 ℎ=1 𝑛𝑎 𝐴𝐶𝑆𝑠 𝐿 ℎ=1 AE – propriedade dos estimadores na AEprop logo, como est é não tendencioso para Ῡ então na AEprop est = é não tendencioso para Ῡ Demonstração: Como na wh = Wh ; nh = n Wh e fh = f = : constante est = 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑦 ℎ =(𝑊ℎ=𝑤ℎ ) 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑦 ℎ = 𝑛ℎ 𝑛 𝑦𝑖ℎ 𝑛ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 = 1 𝑛 𝑦𝑖ℎ = 𝑦 𝑛ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 N n AE – propriedade dos estimadores na AEprop • é não tendencioso para a var(Ῡest ) 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 1 − 𝑓 𝑊ℎ 2 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ = (1 − 𝑓) 𝑊ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛 𝐿 ℎ=1 𝐿 ℎ=1 como, na AEprop, fh = f e nh = n Wh então Tamanho da Amostra e Alocação das Unidades Amostrais em uma ACS para E= 10 arvores e = 0,05: para =0,05 z =1,96. z2 = 3,846, para E = 10 E2 = 100 Sendo N = 13 e considerando nh = n wh , h = 1, ..., 4 OBS: na ACSs Existe a necessidade da correção do tamanho populacional AE – tamanho da amostra Estrato Nh Wh 2 h Z 2 Wh 2 h/E 2 Aeprop: nh= n Wh ACSc ACSs A 4 0,3077 685,00 8,097 8 4 B 5 0,3846 300,16 4,435 9 5 C 4 0,3077 990,00 11,702 8 4 n - - - ≅25 ≅13 ALOCAÇÃO ÒTIMA (AEotm) Na alocação ótima toma-se, em cada estrato um nº de elementos proporcional ao tamanho Nh do estrato h, à variação (dp(yh) )da variável de interesse no estrato h e o custo (ch ) da pesquisa por unidade de observação no estrato h, h=1,..., L. Na AEotm, pretende-se otimizar a informação obtida sobre a população, baseando-se no princípio de que onde a variação é menor, menos elementos são necessários para caracterizar o parâmetro e a um custo linear mínimo. AE - Alocação Ótima (AEotm) Problema: As principais dificuldades para a AEotm consiste na análise dos dados que, muitas vezes, não é possível avaliar a priori a variabilidade da variável nos estratos e os custos da amostragem por unidade no estrato. Alocação Ótima: para L estratos, h=1,2,3,...,L , definindo: C = custo total de amostragem ; c0 = custo inicial fixo, ch = custo por unidade de observada no estrato h nh = numero de unidades alocadas no estrato h AE - Alocação Ótima (AEotm) então considerando o custo linear C = c0 + C - c0 = C’ = = custo variável e, para uma amostra ACSc nos estrato, Vest = o problema será encontrar nh de tal, para um dado custo C , nh minimize a variabilidade Vest ou, então, para uma dada Vest , nh minimize o custo C. AE - Alocação Ótima (AEotm) 𝑐ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛ℎ 𝑐ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛ℎ 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 Teorema: Na AE de tamanho n com um custo linear C , temos que Vest é mínima para C’ (= C – c0 ) fixado ou o C’ é mínimo para Vest fixado, se, para h=1,2,..., L, quando Demonstração: Como Vest = e C’ = e, pelo Teorema de Cauchy-Schwartz: AE - Alocação Ótima (AEotim) 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑐ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛ℎ onde = Q Q = constante real Assim, fazendo a2h = e b 2 h = ch nh encontra-se que, Vest . C’ = . é mínimo ⇔ e, como h=1 nh = n AE - Alocação Ótima (AEotim) 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑐ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑛ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑛ℎ = 𝑛ℎ 𝑐ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ = 𝑄 ⇔ 𝑛ℎ = 𝑄𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑐ℎ Propriedade: Na AEotm onde a amostra nos estratos é obtida pela ACSc então: : -Para um custo (C’) fixo, o tamanho da amostra ótimo será- Sendo C’ = com Substituindo Q em nh e sendo h=1 nh = n AE - Alocação Ótima (AEotim) 𝑐ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑛ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑛ℎ = 𝑛ℎ 𝑐ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ = 𝑄 ⇔ 𝑛ℎ = 𝑄𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑐ℎ Propriedade: Na Aeotm onde a amostra nos estratos é obtida pela ACSc então: : -Para a variância (Vest) fixa o tamanho da amostra ótimo será - Sendo Vest = com Substituindo Q em nh e sendo h=1 nh = n AE - Alocação Ótima (AEotim) 𝑐ℎ𝑛ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑛ℎ = 𝑛ℎ 𝑐ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ = 𝑄 ⇔ 𝑛ℎ = 𝑄𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑐ℎ 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 Propriedade: Alocação òtima de Neyman: Se o custo ch = c (constante) então o tamanho nh da amostra ótima no estrato h será com Prova: sendo ch = c , então C’ = = nc : constante e AE - Alocação Ótima (AEotim) 𝑐ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛ℎ AE - Alocação Ótima (AEotim) 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ = 𝑊ℎ𝜎ℎ 1 𝑛 𝑊ℎ𝜎ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑊ℎ𝜎ℎ( 𝑊ℎ𝜎ℎ) 𝐿 ℎ=1 𝑛 𝑉𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝜎ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 𝑊ℎ𝜎ℎ 𝑛 𝐿 ℎ=1 = 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 𝑛 Propriedade: Na Alocação òtima de Neyman (custo ch = c) se h = (constante) então o tamanho nh da amostra ótima no estrato h será = tamanho da amostra na AEprop Prova: sendo ch = c então pela propriedade anterior sendo h = (constante) então AE - Alocação Ótima (AEotm) Estimação de Proporções na Amostragem Estratificada Como um caso particular das propriedades anteriores, considere que o interesse é estudar uma característica A da população: Definindo, para todo i= 1,2,..., Nh e h = 1,2,...,L então : AE – Estimando proporções 𝑌𝑖ℎ = 0 𝑠𝑒 𝑛ã𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝐴 𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑖 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 ℎ 1 𝑠𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝐴 𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑖 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 ℎ : total de elementos da população no estrato h com a característica A : proporção de elementos da população no estrato h com a característica A : variância populacional da proporção no estrato h : proporção de elementos da população com a característica A AE – Estimando proporções : total de elementos da amostra com a característica A no estrato h : proporção de elementos da amostra com a característica A no estrato h = Estimador de PA no estrato h na ACSc ou na ACSs AE – Estimando proporções Propriedade: Em uma AE, é um estimador não viesado de PA com Vest = Propriedade: Em uma AE, onde na ACSc ou na ACSs é um estimador não tendencioso da Vest AE – Estimando proporções Propriedade: Um intervalo de confiança com (1- )% de confiança para Pest será: ( pest – z ; pest + z ) onde P(Z z) = 1- /2 e Z ~N(0;1) Propriedade: Usando a função de custo linear C = C0 + h ch nh . A alocação ótima para estima PA será: -se ch é constante então nh será: -se ch e Ph é constante então nh será: AE – Estimando proporções Propriedade: Em uma amostragem estratificada sem reposição definindo, média ponderada dos desvios padrões (dp) dos estratos. e = variância dos dp dos estratos Então = Vprop – Vot onde Vprop e Vot são respectivamente as variâncias da média na AE proporcional e ótima de Neyman. - como , e conclui-se que = Vprop – Vot Eficiencia das alocações na AE - Efeito do Planejamento 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜎𝑑𝑝 2 𝑛 = 1 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 − 𝜎 2 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜎𝑑𝑝 2 𝑛 = 1 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 − 𝜎 2 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜎𝑑𝑝 2 𝑛 = 1 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 − 𝜎 2 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡 Propriedade: Em uma amostragem estratificada sem reposição definindo, = variação das médias entre os estratos. Então, = Vcasu – Vprop onde Vcasu e Vprop são respectivamente as variâncias da média na ACSc e na AE proporcional . -Como Onde e Eficiencia das alocações na AE - Efeito do Planejamento 𝜎2 = (𝑌𝑖ℎ − 𝜇 ) 2𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 𝑁 = (𝑌𝑖ℎ − 𝜇 ℎ) 2𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 𝑁 + (𝜇 ℎ − 𝜇 ) 2𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 𝑁 (𝜇 ℎ − 𝜇 ) 2𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 𝑁 = 𝑊ℎ(𝜇 ℎ − 𝜇 ) 2 = 𝜎𝑒 2 𝜎𝑒 2 𝑛 𝐿 ℎ=1 = 𝑉𝐴𝐶𝑆𝑐 − 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 Uma consequência imediata das propriedades anteriores é que VACSc Vprop Vot a AE ótima, para um dados n fixo, produz a maior precisão, onde, -sendo = VACSc – Vprop 0 VACSc Vprop e verifica-se a igualdade apenas quando a variação das médias entre os estrato é nula ou seja, h = para todo h = 1, 2, ..., L. -sendo = Vprop – Vot 0 Vprop Vot e verifica-se a igualdade apenas quando a variação dos desvios padrões entre os estrato é nula ou seja, h = para todo h = 1, 2, ..., L. Eficiencia das alocações na AE - Efeito do Planejamento 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜎𝑑𝑝 2 𝑛 = 1 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 − 𝜎 2 𝑛 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡
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