9- Probabilidade Condicional

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Teoria das Probabilidades
- Probabilidade de dois eventos.
- Teorema do Produto
- Probabilidade Condicional.
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3
Relembrando o que é Evento
a) Lançar um dado e observar o número de cima. 
E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. 
b) Lançar um dado e observar a ocorrência de pares. 
E = Ω = {2, 4, 6} é um evento de números pares. 
c) Lançar um dado e observar a ocorrência de número 
maior que 8. 
E = Ø é um evento impossível. 
Teoria das Probabilidades
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PROBABILIDADE DA UNIÃO DE 
DOIS EVENTOS 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço
amostral. Vamos encontrar uma expressão para
a probabilidade de ocorrer o evento A ou o
evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência
do evento A  B.
Consideremos dois casos:
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1°) Teorema da soma: 
eventos mutuamente exclusivos
A  B = Ø 
n(A  B) = n(A) + n(B)
Como n( Ω ) ≠ 0:
) n(
)n(B
) n(
)n(A
 ) n(
)Bn(A 

+

=


Teoria das Probabilidades
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Da definição de probabilidade: 
a probabilidade da união de (A) com (B) é a 
soma da probabilidade de (A) com a 
probabilidade de (B).
P( A  B ) = p(A) + p(B)
Teoria das Probabilidades
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2°) Eventos com ocorrências simultâneas: 
Aplica-se nas operações multiplicativas de 
probabilidades, que são aquelas que envolvem a 
expressão “e” e são representadas por “”.
A  B ≠ Ø
p( A  B ) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
O evento A  B representa a ocorrência simultânea 
dos eventos A e B.
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Exemplo 1 
Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola 
é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada 
ser múltiplo de 2 ou de 3? 
Consideremos os eventos:
A “o número é múltiplo de 2” e B “o número é múltiplo de 3”. 
Queremos encontrar p(A  B) 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 
Teoria das Probabilidades
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Lembrando que:
Podemos calcular a probabilidade da interseção: 
25
12
) n(
)n(A
)A( =

=p
25
8
) n(
)n(B
)B( =

=p
Teoria das Probabilidades
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A  B = {6, 12, 18, 24} ➔ é o evento formado pelos 
múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo, isto é, pelos 
múltiplos de 6. 
Temos: p(A  B) = 
Como p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
Temos p(A  B) = %6464,0
25
4
25
8
25
12
==−+
25
4
Teoria das Probabilidades
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Exemplo 2: Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 
25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade 
da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? 
A = {5, 10, 15, 20, 25} 
Logo: p(A) = 
B = {7, 14, 21} 
Logo: p(B) = 
Como A  B = Ø temos: 
p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B) =
25
5
25
3
%3232,0
25
8
25
3
25
5
===+
Teoria das Probabilidades
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Exemplo 3: A probabilidade de um policial aplicar quatro 
ou mais multas em um dia é de 63%; a probabilidade de 
ele aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. 
Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente 
quatro multas? 
Consideremos os eventos: 
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56 
Temos: 
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1°) A  B é o evento “aplica exatamente quatro multas”. 
Queremos determinar p(A  B). 
2°) p(A  B) = (o guarda aplica menos de quatro multas 
ou quatro multas ou mais de quatro multas). 
Assim, p(A  B) = p(Ω) = 1 (pois A  B é o evento certo). 
Então: 
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
1 = 0,63 + 0,56 - p(A  B)
p(A  B) = 1 – 1,19 = 0,19 = 19%
≤ 4 4 ≥4
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Exemplo 4: Observe a roleta. 
a) Qual a probabilidade de cada 
evento elementar? 
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 
P(3) = 2/8 
b) Qual a probabilidade do número ser par? P({2,4,6}) = 3/8 
c) Qual a probabilidade de dar o número 3? P(3) = 2/8 = 1/4 
Teoria das Probabilidades
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
Seja o evento E: lançar um dado 
Seja o evento A = {sair o nº 4}
p (A) = 1/6
Seja o evento B = {sair um número par} = {2, 4, 6}
É importante para o cálculo das probabilidades calcular a 
probabilidade condicional. 
Teoria das Probabilidades
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Estamos interessados em avaliar a probabilidade do 
evento A condicionada à ocorrência do evento B. 
A probabilidade condicionada é representada por: 
p(A/B) ➔ lê-se: probabilidade de A dado B
Observe que uma vez dada a informação da ocorrência 
de um evento, teremos a redução do espaço amostral.
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Sabemos que B = {2, 4, 6}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para
Ω = {2, 4, 6} e é nesse espaço amostral reduzido é que 
se avalia a probabilidade do evento.
Dados dois eventos A e B, a p(A/B) é a probabilidade 
condicionada do evento A quando B tiver ocorrido:
p(A/B) = 
)B(
B) (A 
p
p 
Teoria das Probabilidades
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Podemos concluir:
p(A/B) = = = 
Assim, para avaliar a probabilidade de A, dado B, basta 
contar o número de casos favoráveis ao evento (A  B) e 
dividir pelo número de casos favoráveis ao evento B.
)B(
B) (A 
p
p 
NTC
BNCF
NTC
)(
B) NCF(A 
)(
B) NCF(A 
BNCF

Teoria das Probabilidades
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Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os 
eventos:
A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} 
B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado do 
dado 2.
Pede-se avaliar p(A); p(B); p(A/B) e p(B/A)
Solução:
Teoria das Probabilidades
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p(A) = 
p(B) =
Lembrando A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} e B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Apenas (6,4) é favorável ao evento A  B e que 15 pares são favoráveis a B.
12
1
36
3NCF(A)
==
NTC
12
5
36
15NCF(B)
==
NTC
15
1
)(
)NCF(A 
=

BNCF
B
3
1
)(
)NCF(A 
=

ANCF
B
p(A/B) = 
p(B/A) =
Teoria das Probabilidades
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TEOREMA DO PRODUTO
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois 
eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao 
produto da possibilidade de um deles pela probabilidade 
condicional do outro, dado o primeiro”.
Logo: p(A  B) = p(B) . p(A/B)
Logo: p(A  B) = p(A) . p(B/A)
)(
B) p(A 
)/(
Bp
BAp

=
)(
B) p(A 
)/(
Ap
ABp

=
Teoria das Probabilidades
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TEOREMA DO PRODUTO
Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 
duas são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual 
a probabilidade de que ambas sejam boas?
A = {a primeira peça é boa} ➔ p(A) = 
B = {a segunda peça é boa} ➔ p(B/A) =
p(A  B) = p(A) . p(B/A) = 
33
14
11
7
12
8
=x
12
8
11
7
Teoria das Probabilidades
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Exercícios: 
1) Calcule A  B. São dados:
p(A) = p(B) = P(A  B) =
Solução:
Pela fórmula p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
5
2
3
1
5
1
15
8
5
1
3
1
5
2
=−+
Teoria das Probabilidades
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2) Dado p(A) = p(B) = p (A  B) = 
Calcule p(A/B). 
Solução:
5
2
4
1
5
1
5
4
4
1
5
1
)(
B) p(A 
)/( ==

=
Bp
BAp
Teoria das Probabilidades
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3) Dado p(A) = p(B) = p (A  B) = 
Calcule p [(A  B)/B].
Solução:
Obs: A probabilidade de A  B dado B é igual a 1, pois é 
um evento certo.
2
1
3
1
4
1
1)]B/BA[( =p
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4) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de 
observarmos um múltipo de 3 ou um quadrado perfeito?
Solução:
p(Múltiplos de 3) = 2/6 = 1/3 (números 3 e 6)
P(Quadrado perfeito) = 2/6 = 1/3 (números 1 e 4)
Logo: P = 1/3 + 1/3 = 2/3 
Teoria das Probabilidades
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5) Dois dados, azul e vermelho, são lançados.
Qual a probabilidade de sair 2 no azul e 6 no vermelho?
Considerando os eventos:
A: Tirar 2 no dado azul: p(A) = 1/6
B: Tirar 6 no dado vermelho: p(B) = 1/6
p(A  B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Teoria das Probabilidades
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6) Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 
52 cartas, qual a probabilidade de ser um 7 ou um Ás?
Eventos:
Assim, p(A B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13
Note que p(A  B) = 0, pois uma carta não pode ser 7 e Ás 
ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os 
eventos A e B são mutuamente exclusivos.
A: sair 7 ➔ P(A) = 4/52
B: sair um Ás ➔ P(B) = 4/52
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7)
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