tese cantoneiras comprimidas (1)

Prévia do material em texto

Comportamento e Dimensionamento de Cantoneiras 
Comprimidas 
 
 
Ricardo Junqueira Justiniano 
 
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em 
 Engenharia Civil 
 
 
 
Orientação 
Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim 
Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis 
Júri 
Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões 
Orientador: Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim 
Vogal: Professor Doutor Luís Manuel Calado de Oliveira Martins 
 
Outubro 2014 
 
 
 ii 
 
 
 i 
Agradecimentos 
 
 
 Esta é a mais pessoal de todas as páginas e também a mais difícil de escrever. 
 A conclusão desta dissertação, e do Mestrado Integrado em Engenharia Civil, 
marca o fim de um período na minha vida. Este período só foi possível de concluir com 
muito esforço, dedicação e vontade de aprender. Mas este não foi um período solitário, 
nem todos os créditos se devem a mim. 
 Em primeiro lugar tenho de agradecer aos professores doutores Dinar Camotim e 
Pedro Borges Dinis que tiveram a amabilidade de orientar e coorientar a minha 
dissertação. A eles devo todo o tempo e paciência que dedicaram na partilha das suas 
visões e experiências das estruturas metálicas, bem como pela inspiração na 
investigação das estruturas metálicas. 
 À minha irmã, que sempre me apoiou e aguçou a curiosidade para aprender 
novas coisas. Aos meus pais, que tudo sacrificaram por mim, para o meu sucesso, 
felicidade e realização. 
 Ao meus amigos, que me acompanharam nesta jornada, que me ajudaram a 
crescer e com os quais vivi momento inesquecíveis. 
 À Sofia, pelo exemplo e apoio incondicional em todas as alturas. 
 
 
 ii 
Resumo 
 
 Nesta dissertação apresenta-se um estudo sobre o comportamento e 
dimensionamento de cantoneiras uniformemente comprimidas de aço, com abas iguais e 
comprimentos curtos-a-intermédios. 
 Começa-se por apresentar o estado de arte sobre os comportamentos desses 
perfis quando carregados concêntrica ou excentricamente, os quais exibem diferenças 
comportamentais significativas, mas também partilham algumas semelhanças 
(importância das imperfeições/excentricidades iniciais). O estudo incide sobretudo 
sobre os comportamentos de estabilidade, pós-encurvadura e resistência última de 
cantoneiras submetidas a compressão centrada, sendo chamada a atenção para as 
diferenças que resultam das diferentes condições de apoio das colunas (encastramentos, 
apoios cilíndricos ou esféricos). 
 Faz-se uma breve revisão das actuais e mais eficientes metodologias de 
dimensionamento para estimar a carga de colapso de cantoneiras de aço, dando 
particular atenção a uma metodologia recentemente proposta para cantoneiras 
concentricamente carregadas. A metodologia, baseada no Método da Resistência 
Directa (Direct Strength Method, em Língua Inglesa), foi estabelecida para cantoneiras 
de abas esbeltas (relação comprimento/espessura de b/t>25) e com secções extremas 
encastradas ou rotuladas (apoios cilíndricos). 
 Finalmente, avaliam-se os méritos da aplicação dessa metodologia no 
dimensionamento de cantoneiras (i) compactas (b/t<25), encastradas ou com apoios 
cilíndricos nas extremidades, e (ii) com apoios esféricos e um espectro variado de b/t. 
Faz-se a avaliação comparando as estimativas fornecidas com os valores de resistência 
última obtidos numericamente (análises por elementos finitos de casca efectuadas com o 
programa ABAQUS) ou experimentalmente (retirados da literatura) – sempre que a 
qualidade e fiabilidade das previsões não é considerada satisfatória (em geral, resultados 
excessivamente conservativos), apresentam-se novas curvas de dimensionamento 
calibradas especificamente para cantoneiras compactas e/ou com apoios esféricos. 
 
Palavras-chave: Cantoneiras de abas iguais, Colunas encastradas e apoiadas, Análises 
linear de estabilidade e de pós-encurvadura, Resistência última e dimensionamento, 
Método da Resistência Directa (MRD). 
 
 iii 
Abstract 
 
 This thesis presents a study on the behavior and design of short to medium single 
angle equal leg column. 
 It shows the state of art of concentric and eccentrically loaded single angle equal 
leg, which are related by the major roll that initial imperfection/ eccentricity have in the 
ultimate load capacity. The focus of this thesis is on the stability behavior, post-crítical 
behavior and ultimate load capacity on angle column under fix, pin and spherical 
support condition. 
 It is revise the design methodology of angle column presented by some authors 
and it’s taken a particular attention on a design methodology based on Direct Strength 
Method with good results in fixed and pin slender angle column (b/t>25). 
 Finally, the design methodology is adapted to design of: (i) fixed and pin 
compact angle column (b/t<25) (ii) spherical angle column with a large b/t spectrum. 
The evaluation of the design method is made by the comparison of the ultimate load 
capacity indicated by the method and the numerical results obtained by ABACUS 
(analysis with finite elements S4) or the experimental results obtained in literature. 
Whenever the quality or the reliability of the results isn’t good enough (generally, 
conservative), a new design curve is presented. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Key Words: Single angle equal legs column, Fixed, Pin and spheric column, Analysis 
of stability and post-crítical behavior, ultimate load capacity and design, Direct Strength 
Method (DSM) 
 
 iv 
Índice 
1.Introdução ...................................................................................................................... 1 
1.1 Enquadramento Geral ............................................................................................. 1 
1.2 Objectivos e Metodologia ....................................................................................... 3 
1.3 Organização da Dissertação .................................................................................... 4 
2. Revisão da Literatura .................................................................................................... 6 
2.1 Introdução ............................................................................................................... 6 
2.2 Compressão Concêntrica ........................................................................................ 6 
2.2.1 Estabilidade ...................................................................................................... 6 
2.2.2 Resistência Elástica ........................................................................................ 11 
2.2.3 Resistência Elasto-Plástica ............................................................................. 16 
2.2.4 Dimensionamento........................................................................................... 18 
2.3 Compressão Excêntrica ......................................................................................... 28 
2.3.1 Resistência Elástica ........................................................................................ 29 
2.3.2 Resistência Elasto-Plástica ............................................................................. 30 
2.3.3 Disposições Regulamentares .......................................................................... 39 
2.3.4 Novas Propostas ............................................................................................. 41 
2.4 Sumário ................................................................................................................. 47 
3.Dimensionamento de Cantoneiras Compactas ............................................................ 49 
3.1 Introdução ............................................................................................................. 49 
3.2 Influência da Geometria no Comportamento de Estabilidade .............................. 49 
3.2.1 Relação b/t vs L ..............................................................................................51 
3.2.2 Influência da flexão na maior inércia ............................................................. 53 
3.2.3 Influência de b/t na evolução dos modos de deformação............................... 54 
3.3 Cantoneiras Encastradas ....................................................................................... 55 
3.4 Cantoneiras com Apoios Cilíndricos .................................................................... 57 
3.5 Sumário ................................................................................................................. 59 
 
 v 
4. Comportamento e Dimensionamento de Cantoneiras com Apoio Esférico ............... 61 
4.1 Introdução ............................................................................................................. 61 
4.2 Estabilidade ........................................................................................................... 61 
4.2.1 Influência da Geometria ................................................................................. 62 
4.3 Resistência Elástica ............................................................................................... 68 
4.4 Resistência Elasto-Plástica ................................................................................... 73 
4.5 Dimensionamento Através do MRD ..................................................................... 75 
4.5.1 Cantoneiras Esbeltas ...................................................................................... 75 
4.5.2 Cantoneiras Compactas .................................................................................. 79 
4.6 Sumário ................................................................................................................. 86 
5. Visão Global do Dimensionamento de Cantoneiras Através do MRD ...................... 87 
5.1 Introdução ............................................................................................................. 87 
5.2 Curvas de Dimensionamento ................................................................................ 87 
5.2.1 Índice de fiabilidade ("Load and Resistance Factor Design"-LRFD) ............ 88 
6. Conclusão e Perspectivas de Desenvolvimento Futuro .............................................. 90 
6.1 Conclusões ............................................................................................................ 90 
6.2 Perspectival de desenvolvimento futuro ............................................................... 91 
7. Bibliografia ................................................................................................................. 92 
8. Anexos ........................................................................................................................ 95 
Anexo A - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras encastradas 
e b/t < 25 – Adaptado Dinis e Camotim. .................................................................... 96 
Anexo B - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras encastradas 
e b/t < 25 – Proposta. ................................................................................................ 101 
Anexo C - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras de apoio 
cilíndrico e b/t<25 – Adaptado Dinis e Camotim. .................................................... 106 
Anexo D - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras de apoio 
cilíndrico e b/t<25 – Proposta. .................................................................................. 109 
 
 vi 
Anexo E - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras de apoio 
esférico com b/t>25 – adaptado Dinis e Camotim. ................................................... 111 
Anexo F - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras de apoio 
esférico com b/t>25 – proposta. ................................................................................ 126 
Anexo G - Análises numéricas de carregamentos últimos em cantoneiras de apoio 
esférico com b/t <25 – Proposta. .............................................................................. 141 
Anexo H - Propriedades geométricas nominais das secções utilizadas nos ensaios 
experimentais. ........................................................................................................... 147 
Anexo I - Ensaios experimentais em cantoneiras de apoio esférico e b/t<25 – 
Proposta. ................................................................................................................... 148 
Anexo J - Propriedades das imperfeições iniciais dos ensaios de Ban, Shi, Shi e 
Wang. ........................................................................................................................ 151 
 
 
 
 vii 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
FIGURA 1: CANTONEIRA. ............................................................................................................................... 1 
FIGURA 2: COEFICIENTE DE INSTABILIDADE CRÍTICA KCR VS COEFICIENTE DE FORMA ................................. 8 
FIGURA 3: MODOS DE DEFORMAÇÃO NO GBTUL ......................................................................................... 9 
FIGURA 4:A) CHAPA APOIADA B) COMPORTAMENTO CORPO RÍGIDO C) COMPORTAMENTO ROTAÇÃO NULA 
NA BORDA ............................................................................................................................................. 9 
FIGURA 5: RELAÇÃO KCR VS Φ COM VÁRIOS NÍVEIS DE RIGIDEZ NA BORDA. ............................................... 10 
FIGURA 6:A) PCR VS L PARA BARRAS F E PC B) % DE PARTICIPAÇÃO DOS MODOS DE DEFORMAÇÃO AO 
LONGO DE L. ....................................................................................................................................... 10 
FIGURA 7: TRAJECTÓRIAS DE EQUILÍBRIO P VS ROTAÇÃO OBTIDOS EM ANÁLISE ELÁSTICA. COLUNAS F. ... 11 
FIGURA 8:TENSÕES INSTALADAS NA SECÇÃO DE MEIO VÃO EM COLUNA CURTA (F3) E COLUNA LONGA (F9).
 ........................................................................................................................................................... 12 
FIGURA 9: TENSÕES INSTALADAS NA SECÇÃO DE MEIO VÃO COM O CANTO BLOQUEADO CONTINUAMENTE 
COLUNAS F A) MEIO VÃO B) QUARTO DE VÃO. ................................................................................... 12 
FIGURA 10: TENSÕES INSTALADAS NA SECÇÃO DE MEIO VÃO EM COLUNA CURTA (PC3) E COLUNA LONGA 
(PC6). ................................................................................................................................................. 13 
FIGURA 11: RELAÇÃO N VS DM COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS NOS DOIS SINAIS. ........................................... 14 
FIGURA 12: RELAÇÃO DAS IMPERFEIÇÕES INICIAIS NORMALIZADAS DM E DM. A) APROXIMAÇÃO EM 
CÍRCULO B) APROXIMAÇÃO EM QUADRADO. ...................................................................................... 14 
FIGURA 13: TRAJECTÓRIA DE EQUILÍBRIO PARA COLUNAS F. A) RELAÇÃO P VS D. B) RELAÇÃO P VS D. .... 15 
FIGURA 14: TRAJETORIA DE EQUILÍBRIO EM COLUNAS PC. A) RELAÇÃO P VS D. B) RELAÇÃO P VS D. ....... 15 
FIGURA 15: TRAJECTÓRIA DE EQUILÍBRIO EM COLUNAS CURTAS. A) N VS D. B) N VS Β. .............................. 17 
FIGURA 16: TRAJECTÓRIA DE EQUILÍBRIO EM COLUNAS LONGAS. A) N VS D. B) N VS Β. ............................. 17 
FIGURA 17: CURVA DE DIMENSIONAMENTO P VS LE/RY PROPOSTA POR YOUNG. ........................................ 22 
FIGURA 18: FU/FY VS ΛFT. ........................................................................................................................... 24 
FIGURA 19: A) P ELÁSTICO VS ΛFT PARA COLUNAS F E PC B) CURVA DE Β. ................................................ 26 
FIGURA 20:RESULTADOS FU/FNFTE VS ΛFTE PARA (A) COLUNAS F (B) COLUNAS PC: (1) RESULTADOS 
EXPERIMENTAIS (2) RESULTADOS NUMÉRICOS. .................................................................................28 
FIGURA 21: RELAÇÃO CARREGAMENTO VS DESLOCAMENTO AXIAL NA L90X90X6 PARA BARRAS COM 
VÁRIOS COMPRIMENTOS E TIPOS DE IMPERFEIÇÃO INICIAL. ................................................................ 31 
FIGURA 22: TIPOS DE LIGAÇÃO DE CHAPA SOLDADAS A ABA DA CANTONEIRA. A) DESEQUILIBRADA, B) 
IGUAL, C) EQUILIBRADA. .................................................................................................................... 32 
FIGURA 23: RELAÇÃO FU/FY VS TG/B PARA BARRA COM L/RZ=300 E B/T=5. .............................................. 32 
FIGURA 24: RELAÇÃO FU VS DESLOCAMENTO AXIAL EM BARRA APARAFUSADA COM 2 PARAFUSOS. ......... 34 
FIGURA 25: CAPACIDADE RESISTENTE (FU) PREVISTA NO ANN E AISC 2000 PARA O INTERVALO ENTRE A 
POSIÇÃO DO CENTROIDE E DO CENTRO DA ABA. .................................................................................. 35 
FIGURA 26: FU/FY VS E/X0 PARA EXCENTRICIDADES QUE GERAM MOMENTO EM TORNO DA MAIOR E OU 
MENOR INÉRCIA A) BARRA DE 900 MM. B) BARRA DE 1500 MM. ........................................................ 36 
file:///F:/All%20IN/tese%20cantoneiras%20comprimidas.docx%23_Toc401086060
 
 viii 
FIGURA 27: FU/FY VS E/X0. A) EXCENTRICIDADE GERA MOMENTO EM TORNO DA MAIOR INÉRCIA. B) 
EXCENTRICIDADE GERA MOMENTO EM TORNO DA MENOR INÉRCIA. ................................................... 37 
FIGURA 28: EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE VON MISES NA SECÇÃO DE MEIO VÃO CONFORME A 
EXCENTRICIDADE SEJA INFERIOR (A) IGUAL (B) OU SUPERIOR (C) À EXCENTRICIDADE CRÍTICA. ......... 37 
FIGURA 29: CURVA DE DIMENSIONAMENTO PARA LIGAÇÕES SOLDADAS DE CHAPA NA ABA DA CANTONEIRA 
PROPOSTO POR SAKLA (1997) ............................................................................................................. 43 
FIGURA 30: CURVAS DE DIMENSIONAMENTO PROPOSTO POR RASMUNSSEN E HUSSEN EM RELAÇÃO À 
EXCENTRICIDADE. .............................................................................................................................. 45 
FIGURA 31: FCR,FT (MPA) VS L (MM) EM L70X70X1 EM COLUNA F. .......................................................... 50 
FIGURA 32: FCR,FT (MPA) VS L (MM) EM L50X50X1 EM COLUNA F. .......................................................... 50 
FIGURA 33: FCR,FT (MPA) VS L (MM) EM L30X30X1 EM COLUNA F. .......................................................... 50 
FIGURA 34: FCR,FT (MPA) VS L (MM) EM L15X15X1 EM COLUNA F. .......................................................... 50 
FIGURA 35: RELAÇÃO B/T TCONSTANTE VS L/T PARA COLUNA F. ............................................................... 52 
FIGURA 36: RELAÇÃO B/T T CONSTANTE VS LT/B PARA COLUNAS F. ........................................................... 52 
FIGURA 37: VARIAÇÃO DE FU/FNFTE VS ΛFT COLUNAS F COMPACTAS E CURVAS DE [2]. ............................ 55 
FIGURA 38: FU/FY VS ΛFT PARA COLUNAS F COM O CANTO CONTINUAMENTE BLOQUEADO SEGUNDO O EIXO 
DA MAIOR INÉRCIA. ............................................................................................................................ 56 
FIGURA 39: VARIAÇÃO FU/FNFTE COM Λ. COLUNAS F COM CANTONEIRAS COMPACTAS E NOVA PROPOSTA.
 ........................................................................................................................................................... 57 
FIGURA 40: VARIAÇÃO DE FU/FNFTE VS ΛFT. COLUNAS PC COMPACTAS E CURVAS DE [2]. ........................ 58 
FIGURA 41: VARIAÇÃO DE FU/FNFTE VS ΛFT. COLUNAS PC COMPACTAS E NOVA PROPOSTA. ..................... 58 
FIGURA 42: A) RELAÇÃO PCR VS L PARA COLUNAS F, PC E PS. B) EVOLUÇÃO DA % DE PARTICIPAÇÃO DOS 
MODOS DE DEFORMAÇÃO NAS COLUNAS F, PC E PS. C) MODOS DE DEFORMAÇÃO NUMERADO 
SEGUNDO O GBTUL. .......................................................................................................................... 61 
FIGURA 43: FCRFT (MPA) VS L (MM) EM L70X70X1 E COLUNA PS. ............................................................ 62 
FIGURA 44: FCRFT (MPA) VS L (MM) EM L50X50X1 E COLUNA PS. ............................................................ 63 
FIGURA 45: FCRFT (MPA) VS L (MM) EM L30X30X1 E COLUNA PS. ............................................................ 63 
FIGURA 46: FCRFT (MPA) VS L (MM) EM L15X15X1 E COLUNA PS. ............................................................ 63 
FIGURA 47: RELAÇÃO B/T T CONSTANTE VS LT/B PARA COLUNAS PS.......................................................... 64 
FIGURA 48: RELAÇÃO B/T COM B CONSTANTE VS L/T PARA COLUNAS PS. .................................................. 64 
FIGURA 49: PU/PCR VS Β. ROTAÇÕES OBTIDAS DA ANÁLISE ELÁSTICA DE CANTONEIRAS EM APOIO 
ESFÉRICO. ........................................................................................................................................... 69 
FIGURA 50: PU/PCR VS DM/T. DESLOCAMENTO NO EIXO DA MENOR INÉRCIA OBTIDOS DA ANÁLISE 
ELÁSTICA DE CANTONEIRAS DE APOIO ESFÉRICO. ............................................................................... 69 
FIGURA 51: PU/PCR VS DM/T. DESLOCAMENTOS NO EIXO DA MAIOR INÉRCIA OBTIDOS DA ANÁLISE 
ELÁSTICA DE CANTONEIRAS DE APOIO ESFÉRICO. ............................................................................... 70 
FIGURA 52: TENSÕES INSTALADAS NA SECÇÃO DE MEIO VÃO DA COLUNA PS1 PARA VÁRIOS NÍVEIS DE 
CARREGAMENTO. ................................................................................................................................ 72 
FIGURA 53: TENSÕES INSTALADAS NA SECÇÃO DE MEIO VÃO DA COLUNA PS10 PARA VÁRIOS NÍVEIS DE 
CARREGAMENTO. ................................................................................................................................ 72 
 
 ix 
FIGURA 54: TENSÕES INSTALADAS NA SECÇÃO DE MEIO VÃO DA COLUNA PS11 PARA VÁRIOS NÍVEIS DE 
CARREGAMENTO. ................................................................................................................................ 72 
FIGURA 55: P VS DN. ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA EM CANTONEIRAS DE APOIO ESFÉRICO. ......................... 73 
FIGURA 56: P VS DN. ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA EM CANTONEIRAS DE APOIO ESFÉRICO. ......................... 74 
FIGURA 57: P VS DN. ANÁLISE ELASTO-PLÁSTICA EM CANTONEIRAS DE APOIO ESFÉRICO. ......................... 74 
FIGURA 58: VARIAÇÃO DE FU/FY VS ΛFT. COLUNAS PS COM CANTONEIRAS L70X70X1.2 COM O CANTO 
CONTINUAMENTE BLOQUEADO NO EIXO DA MAIOR INÉRCIA. .............................................................. 77 
FIGURA 59: CURVA DE RESISTÊNCIA FNFT E VALORES DE FU PARA COLUNAS COM (A) ∆=0,5; (B) ∆=2,8; (C) 
∆=7,0. ................................................................................................................................................ 77 
FIGURA 60: (A) CURVA P VS FMAX PARA COLUNAS F E PS (70X70MM, T=1,2 E L=980MM). (B) CURVA Β 
PARA ∆=(0; 0,5 E 12) .......................................................................................................................... 78 
FIGURA 61: VALORES DE FU/FNFTE EM FUNÇÃO DE ΛFT PARA CANTONEIRAS PS COM B/T > 25. ................. 79 
FIGURA 62: FU/FY VS ΛFT PARA COLUNAS PS COM CANTONEIRAS L125X125X8 E CANTO CONTINUAMENTE 
BLOQUEADO NO EIXO DA MAIOR INÉRCIA. .......................................................................................... 80 
FIGURA 63: FU/FY VS ΛFT PARA COLUNAS PS COM CANTONEIRAS L180X180X10 E CANTO CONTINUAMENTE 
BLOQUEADO NO EIXO DA MAIOR INÉRCIA. .......................................................................................... 80 
FIGURA 64: VALORES DE FU/FNFTE EM FUNÇÃO DE ΛFT PARA CANTONEIRAS PS COM B/T < 25. ................. 81 
FIGURA 65: VARIAÇÃO DE FU/FNFTE COM ΛFT PARA OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS. COLUNAS PS EM 
CANTONEIRAS COM B/T<25. ............................................................................................................... 82 
FIGURA 66: TIPOS DE DESLOCAMENTOS NA LEITURA DOS ENSAIOS EXPERIMENTAIS. ..................................83 
FIGURA 67: MODELO DE DETERMINAÇÃO DO DESLOCAMENTO F TEÓRICO. ................................................. 84 
 
 
 
 x 
Índice de Tabelas 
 
TABELA 1: RESULTADOS MRD – COLUNAS F E MRD – COLUNAS PC ........................................................ 28 
TABELA 2: VALORES DAS VARIÁVEIS A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 CONFORME OS EFEITOS ................. 42 
TABELA 3: DIFERENÇAS DOS COMPRIMENTOS DE TRANSIÇÃO ENTRE COLUNAS F E PC PARA VÁRIOS TIPOS 
DE CANTONEIRAS. ............................................................................................................................... 53 
TABELA 4: VALORES DE ∆ CORRESPONDENTES AOS LTRANSIÇÃO PARA VÁRIAS CANTONEIRAS EM COLUNAS 
F. ........................................................................................................................................................ 53 
TABELA 5: VALORES DE ∆ CORRESPONDENTES AOS LTRANSIÇÃO PARA VÁRIAS CANTONEIRAS EM COLUNAS 
PC. ..................................................................................................................................................... 54 
TABELA 6: PERCENTAGEM DE PARTICIPAÇÃO PARA O QUAL OS MODOS DE DEFORMAÇÃO P2 E P6 SÃO 
IGUAIS EM COLUNAS F E PC. ............................................................................................................... 54 
TABELA 7: RESUMO DOS RESULTADOS OBTIDOS PARA CASO CANTONEIRAS COMPACTAS ENCASTRADAS. .. 55 
TABELA 8: RESUMO DOS RESULTADOS OBTIDOS PARA CASO CANTONEIRAS COMPACTAS ENCASTRADAS. .. 57 
TABELA 9: RESUMO DOS RESULTADOS OBTIDOS PARA CASO CANTONEIRAS COMPACTAS COM APOIO 
CILÍNDRICO. ........................................................................................................................................ 58 
TABELA 10: RESUMO DOS RESULTADOS OBTIDOS PARA CASO CANTONEIRAS COMPACTAS COM APOIO 
CILÍNDRICO. ........................................................................................................................................ 59 
TABELA 11: DIFERENÇAS DOS COMPRIMENTOS DE TRANSIÇÃO ENTRE COLUNAS F E PS PARA VÁRIOS TIPOS 
DE CANTONEIRAS. ............................................................................................................................... 65 
TABELA 12: VALORES DE ∆ CORRESPONDENTES AOS LTRANSIÇÃO PARA VÁRIAS CANTONEIRAS DE COLUNAS 
PS. ...................................................................................................................................................... 65 
TABELA 13: COMPARAÇÃO DE ∆ OBTIDOS EM COLUNAS F E PS PARA A MESMA POSIÇÃO NO PLATEAU PARA 
CANTONEIRAS L70X70X1. .................................................................................................................. 66 
TABELA 14: COMPARAÇÃO DE ∆ OBTIDOS EM COLUNAS F E PS PARA A MESMA POSIÇÃO NO PLATEAU PARA 
CANTONEIRAS L20X20X1. .................................................................................................................. 67 
TABELA 15: DIFERENÇA MÁXIMA ENTRE ∆ QUANDO COMPARANDO CANTONEIRAS COM A L70X70X1 PARA 
COLUNAS PS. MODOS DE DEFORMAÇÃO ASSOCIADOS OBTIDOS POR GBTUL. .................................... 68 
TABELA 16: RESUMO DOS RESULTADOS FU/FNFTE OBTIDOS PARA CASO CANTONEIRAS ESBELTAS COM 
APOIO ESFÉRICO. ADAPTADO DO MÉTODO PARA CASO CILÍNDRICO. ................................................... 76 
TABELA 17: RESUMO DA COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS NUMÉRICOS COM O MÉTODO DE 
DIMENSIONAMENTO (FU/FNFTE) DE CANTONEIRAS PS COM B/T > 25. ................................................. 79 
TABELA 18: RESUMO DA COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS NUMÉRICOS COM O MÉTODO DE 
DIMENSIONAMENTO DE CANTONEIRAS COM B/T < 25 EM COLUNAS PS. .............................................. 81 
TABELA 19: RESUMO DA COMPARAÇÃO DOS ENSAIOS EXPERIMENTAIS COM O MÉTODO DE 
DIMENSIONAMENTO DE CANTONEIRAS COMPACTAS EM COLUNAS PS ................................................. 82 
TABELA 20: IMPERFEIÇÕES INICIAIS CONSIDERADAS NO MÉTODO NUMÉRICO VS IMPERFEIÇÕES INICIAIS 
TEÓRICAS VERIFICADAS NOS ENSAIOS EXPERIMENTAIS. ..................................................................... 85 
TABELA 21: INDICE DE FIABILIDADE 𝝓. ...................................................................................................... 89 
 
 xi 
Índice de Símbolos 
 
b - Comprimento da aba da cantoneira 
t - Espessura da aba da cantoneira 
fbt - Tensão crítica torsional 
fcre- Tensão crítica de Euler 
fcrft - Tensão crítica flexo - torsional 
fnfte - Tensão de dimensionamento de cantoneiras com modo de instabilidade flexo 
torsional. 
x0 - Distância do centroide ao centro de corte 
k - Coeficiente de instabilidade 
φ - Coeficiente de forma 
P2 - Modo de deformação de flexão em torno da maior inércia 
P3 - Modo de deformação de flexão em torno da menor inércia 
P4 - Modo de deformação de flexo-torsão 
F- Colunas encastradas 
PC - Colunas de apoio cilíndrico com a flexão em torno da menor inércia libertado 
PS - Colunas de apoio esférico 
dm- Deslocamentos no eixo da maior inércia 
Dm - Deslocamento de flexo-torsão 
Nc,rl – Esforço normal crítica 
e0 - Excentricidade 
ex0 - Excentricidade crítica 
FT - Flexo - torsional 
Δ - Variável adimensional que traduz a % de participação do modo de deformação de 
flexão em torno da maior inércia no modo de deformação flexo - torsional. 
β - Variável adimensional que traduz o efeito do centroide efectivo no carregamento 
último de cantoneiras concentricamente carregadas. 
fu – Tensão última obtida através de análises numéricas 
ϕ - Factor de fiabilidade referente ao LRFD 
 
 
 0 
 
 
 
 1 
1.Introdução 
1.1 Enquadramento Geral 
 
 
 Esta dissertação, no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil, pretende 
rever e aprofundar os conhecimentos relativos ao comportamento e dimensionamento de 
cantoneiras comprimidas. 
 
 
Figura 1: Cantoneira. 
 
 As cantoneiras, secções em L, tipicamente de aço (ver figura 1), podem ser 
constituídas através dois processos de fabrico diferentes: laminadas a quente ou enformadas 
a frio. 
 As cantoneiras laminadas são muito utilizadas em infraestruturas de redes como 
torres de distribuição elétrica e ou torres de telecomunicações. A utilização das cantoneiras 
neste tipo de estruturas deve-se à grande facilidade de ligar elementos em planos 
perpendiculares através do aparafusamento, resultando numa solução simples e barata. 
 Por outro lado, as cantoneiras enformadas a frio, com um processo de fabrico em que 
o aço em forma de rolo, com uma espessura muito baixa é estendido, cortado e dobrado para 
 
 
 2 
formar as cantoneiras. Nestas secções o canto da cantoneira não fica vincado para evitar 
tensões residuais demasiado elevadas. Este processo de fabrico permite obter cantoneiras 
mais esbeltas do que as laminares, com espessuras na ordem dos milimetros. Este tipo de 
cantoneiras tem sido usado de forma significativa em países anglo-saxónicos na construção 
em aço leve (LSF - Light Steel Framing). A construção em LSF tem-se tornado bastante 
competitiva em relação aos outros processos de construção pela elevada poupança de tempo 
em obra. Para consultar em maior detalhe este método construtivo e o dimensionamento de 
elementos estruturais em aço leve adaptado ao caso português, ver Silvestre et al. [1]. 
 Para além destas áreas, as cantoneiras têm sido bastante utilizadas em obras de reabilitação 
pela sua elevada esbelteza associada a boa resistência, baixo peso e facilidade de transporte e 
colocação, bem como pela capacidade para funcionar como elemento de ligação entre peças 
perpendiculares. Juntamente com as secções em C, as cantoneiras permitem a formação de uma 
estrutura de encaixe para os EIFS (Exterior Insulation Finishing System), cuja utilização é cada 
vez mais recorrente em obra. 
 Independentemente do processo de fabrico utilizado, a cantoneira obtida será sempre 
uma secção muito esbelta quando comparada com os restantes tipos de secçõesmetálicas. 
 Do ponto de vista do carregamento, as cantoneiras podem ser (i) concentricamente 
carregadas ou (ii) excentricamente carregadas. Dentro de cada uma destas áreas podemos ter 
cantoneiras de abas iguais ou cantoneiras de abas desiguais. Nesta dissertação será abordado 
o caso das cantoneiras de abas iguais concentricamente carregadas e revisto o caso das 
cantoneiras de abas iguais excentricamente carregadas. 
 As cantoneiras concentricamente carregadas são cantoneiras cuja força atua no 
centroide da secção. Uma vez que o centroide está fora da secção, como ilustrado na figura 
1, as cantoneiras são normalmente soldadas a uma chapa em cada extremidade, a qual é 
posteriormente carregada no centroide. Além disso, as cantoneiras podem exibir varias 
condições de apoio, como encastradas ou com apoios cilíndricas ou esféricos. 
 As cantoneiras concentricamente carregadas têm estado no centro das atenções do 
sector metálico pelos resultados experimentais contraditórios que se observavam. Verificou-
se que barras idênticas poderiam obter resultados de cargas últimas e deformações 
substancialmente diferentes. 
 Ao nível das cantoneiras excentricamente carregadas o efeito das imperfeições 
iniciais perde significado, pois a excentricidade é dominante. No caso das cantoneiras 
excentricamente carregadas existem três formas correntes de carregar excentricamente a 
 
 
 3 
cantoneira: (i) ligação soldada de uma chapa a uma aba, (ii) ligação aparafusada de uma 
chapa a uma aba e (iii) ligação de uma chapa soldada nas extremidades da barra. 
 A estas três condições de apoio estão associadas a rigidezes diferentes bem como 
tipos de excentricidades diferentes. Esta relação entre a rigidez associada a uma condição de 
apoio e a sua excentricidade são os principais problemas das cantoneiras excentricamente 
carregadas. Além disso, um problema adicional das cantoneiras excentricamente carregadas 
resultada da diferença de comportamento que se verifica quando a excentricidade é segundo 
o eixo de maior ou menor inércia. Assim, é necessário compreender o comportamento 
quando a excentricidade é apenas num eixo ou no outro para compreender a situação mais 
comum, em que a excentricidade se desenvolve nos dois eixos de inércia (ligação a uma aba). 
 Finalmente, refira-se a dificuldade que existe em quantificar a rigidez associada aos 
parafusos bem como o efeito da geometria da chapa de ligação, nas cantoneiras 
excentricamente carregadas. 
 
 
1.2 Objectivos e Metodologia 
 
 
Esta dissertação pretende continuar o trabalho iniciado no Instituto Superior Técnico 
relativamente ao comportamento mecânico e dimensionamento das cantoneiras de abas 
iguais concentricamente carregadas, bem como clarificar o comportamento das cantoneiras 
excentricamente carregadas. Estes estudos têm por objectivo desenvolver no futuro uma 
metodologia para o dimensionamento de cantoneiras conforme o tipo de carregamento. 
Os objectivos desta dissertação envolvem: (i) o estudo do comportamento mecânico 
da cantoneira de abas iguais concentricamente carregada e (ii) o seu dimensionamento. 
 Ao nível do comportamento mecânico pretende-se: 
i. Compreender o efeito das alterações da geometria da secção (relação b/t) 
em cantoneiras encastradasou com apoio cilíndrico ou esférico. 
ii. Analisar os comportamentos de estabilidade, resistência elástica e elasto-
plástica das cantoneiras com apoios esféricos. 
Em termos do dimensionamento da cantoneira pretende-se: 
 
 
 4 
i. Utilizar a metodologia proposta por Dinis e Camotim [2] para as 
cantoneiras encastradas e cilíndricas esbeltas, recalibrando o método de 
dimensionamento para cantoneiras compactas. 
ii. Formular uma metodologia para o dimensionamento de cantoneiras com 
apoios esféricos, para todo o espectro b/t, utilizando a metodologia 
proposta por Dinis e Camotim [2], e tendo por base os valores de 
resistência da análise numérica e experimental. 
iii. Agregar todas as fórmulas por forma a apresentar uma metodologia de 
dimensionamento global para cantoneiras concentricamente carregadas, 
com um índice de fiabilidade satisfatório. 
 
 
1.3 Organização da Dissertação 
 
 A dissertação está organizada em 6 capítulos, os quais são apresentados 
resumidamente em seguida. 
 O Capítulo 1 é referente à introdução, onde se enquadra o trabalho desenvolvido no 
âmbito da dissertação, bem como de questões sobre as quais a dissertação incide. 
 No Capítulo 2 é feita a revisão da literatura para as cantoneiras concentricamente e 
excentricamente carregadas. No caso das cantoneiras concentricamente carregadas é 
apresentado o seu comportamento mecânico para as condições de apoio encastrado e 
cilíndrico, incluindo análise de estabilidade, efeito das imperfeições geométricas da 
cantoneira, resistência elástica, resistência elasto-plástica, efeito da tensão de cedência no 
comportamento pós-crítico e os métodos de dimensionamento existente. É apresentado um 
método de dimensionamento cuja metodologia é adotada para desenvolver/recalibrar o 
método de dimensionamento para outras condições de apoio. 
 Ao nível das cantoneiras excentricamente carregadas são apresentados os efeitos das 
imperfeições iniciais, das tensões residuais e o comportamento da cantoneira, ao nível de 
carregamentos últimos, para a condição de apoio aparafusada, ligação soldada de uma chapa 
a uma aba e/ ou ligação soldada de uma chapa nas extremidades. 
 No Capítulo 3 é recalibrado o método de dimensionamento proposto por Dinis e 
Camotim [2] (cantoneiras esbeltas encastradas e com apoio cilíndrico) para cantoneiras compactas. 
 
 
 5 
 No Capítulo 4 é feita a análise dos comportamentos de estabilidade e identificados os 
efeitos introduzidos pela geometria da secção, resistência elástica e elasto-plástica das 
cantoneiras de apoio esférico. É também apresentado um método de dimensionamento para 
cantoneiras compactas e esbeltas com apoio esférico, o que tem por base a metodologia 
apresentada por Dinis e Camotim [2]. 
 No Capítulo 5 é apresentado o método de dimensionamento global das cantoneiras 
concentricamente carregadas de uma forma agregada e simples. É apresentado também o 
índice de fiabilidade de acordo com AISC 2007 associado as várias propostas. 
 Por fim, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões que se afiguram pertinentes 
desta dissertação, bem como referidos alguns problemas em aberto no estudo do 
comportamento e dimensionamento das cantoneiras. 
 
 
 
 
 6 
2. Revisão da Literatura 
 
2.1 Introdução 
 
 A cantoneira corresponde ao elemento estrutural com a secção transversal de parede 
fina mais simples possível: 2 paredes. O facto de ser uma secção aberta, com as linhas 
médias dos elementos a cruzarem-se todas num ponto, leva a secção a ter uma constante de 
empenamento praticamente desprezável e uma rigidez de torção muito reduzida, formando 
elementos bastante sensíveis a fenómenos de instabilidade. 
 Por outro lado, o facto de os eixos principais de inércia da secção não serem coincidentes 
com os eixos geométricos e o centro de corte e de gravidade não serem coincidentes, tem 
consequências importantes no comportamento das cantoneiras (e.g. o comportamento é 
claramente diferente conforme o carregamento seja segundo um eixo de inércia ou outro). 
 Estes factores constituem as principais razões pelas quais um conjunto significativo 
de resultados experimentais realizados por diversos autores conduziram a resistências 
últimas significativamente diferentes para cantoneiras concentricamente carregadas. 
 O comportamento das cantoneiras excentricamente carregadas torna-se mais 
complexo, devido à dificuldade de avaliar a rigidez induzida pelo apoio, bem como pela 
combinação de excentricidades nos dois eixos de inércia. 
 Em seguida, apresenta-se o estado de arte das cantoneiras concentricamente e 
excentricamente carregadas. 
 
2.2 Compressão Concêntrica2.2.1 Estabilidade 
 
 Uma coluna de aço perfeita, quando sujeita a compressão pode instabilizar. No caso 
das cantoneiras concentricamente carregadas, os modos de instabilidade dominantes são o 
modo flexo-torsional para barras curtas-a-intermédias e o modo de flexão em torno da 
menor inércia, para barras longas. A tensão crítica associada ao modo de flexão em torno da 
menor inércia foi desenvolvida por Euler e é dada por: 
 
 
 
 7 
𝑓, 𝑒 =
𝜋2×𝐸×𝑏2
12(𝐾𝐿)2
 
em que E é o modo de elasticidade, b o comprimento da aba e L o comprimento da barra. 
 A tensão crítica do modo flexo - torsional desenvolvida por Timoshenko [3] para 
secções monosimétricas é dada por: 
 
𝐹𝑒𝑥𝑡 =
(𝜎𝑒𝑥 + 𝜎𝑒𝑡) ± √(𝜎𝑒𝑥 + 𝜎𝑒𝑡)2 − 4𝜎𝑒𝑥𝜎𝑒𝑡(1 −
𝑥02
𝑟02 + 𝑥02
)
2(1 −
𝑥02
𝑟02 + 𝑥02
)
 (2.2) 
onde 𝜎𝑒𝑥 e 𝜎𝑒𝑡 são as tensões de instabilidade no modo flexão na maior inércia e no modo 
torção respectivamente, 𝑥0 é a distancia do centroide ao centro de corte e 𝑟0 é o raio de 
giração polar, os demais: 
𝜎𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
𝐴(𝐾𝑥𝐿)2
 𝜎𝑒𝑡 =
(
𝜋2𝐸𝐼𝑤
(𝐾𝑡𝐿)2
+ 𝐺𝐽)
(𝐴(𝑟02 + 𝑥02)
 𝑟0
2 =
𝐼𝑝
𝐴
=
𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
𝐴
 (2.3; 2.4; 2.5) 
 
onde G é o módulo de distorção, A é a área, 𝐼𝑥 e 𝐼𝑦 são as inércias segundo x e segundo y, J 
é a constante de torção, 𝐼𝑤 é a constante de empenamento e 𝐾𝑡 𝑒 𝐾𝑥 são os factores de 
comprimento efectivo para a torção e flexão em torno do eixo x. 
 No caso da cantoneira, considerando a constante de empenamento 𝐼𝑤 nula e o canto 
da cantoneira reto obtêm-se a expressão da carga crítica torsional 𝜎𝑒𝑡: 
 
𝑟0
2 =
5
24
𝑏2 𝑥0
2 =
1
8
𝑏2 𝐽 =
2
3
𝑏𝑡3 𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 (2.7; 2.8; 2.9; 2.10) 
𝜎𝑒𝑡 =
(𝐺𝐽)
(𝐴(𝑟02 + 𝑥02)
=
𝐸
2(1 + 𝜈)
(
𝑡
𝑏
)2 (2.11) 
 
em que 𝜈 é o coeficiente de Poisson e t a espessura e b a largura da aba da cantoneira. 
 Segundo Rasmussen [4], a tensão da instabilidade local de uma cantoneira é 
exactamente a mesma que a de uma chapa rectangular com três bordas simplesmente 
apoiadas e um bordo livre. Considerou a equação característica para esta situação 
apresentada por Bulson[5]: 
𝑞𝑟4 sinh(𝑝) cos(𝑞) − 𝑝𝑠4 cosh(𝑝) sin(𝑞) = 0 (2.12) 
com: 
(2.1) 
 
 
 8 
𝑝 = [
𝜋2
𝜑
(√𝑘 +
1
𝜑
)]
1
2
 𝑞 = [
𝜋2
𝜑
(√𝑘 −
1
𝜑
)]
1
2
 (2.13; 2.14) 
 𝑟4 = (𝑝2 −
𝜈𝜋2
𝜑2
)
2
 𝑠4 = (𝑝2 +
𝜈𝜋2
𝜑2
)
2
 (2.15; 2.16) 
No grupo de equações a cima, o k é o coeficiente de instabilidade e o 𝜑 é o 
coeficiente de forma, dado por L/b, onde L é o comprimento da chapa e b é a largura da 
chapa rectangular. 
A equação dos co-senos e senos não tem solução fechada, mas para L→∞, temos 
que: 
𝑘 =
6(1 − 𝑣)
𝜋2
 (2.17) 
 
Substituindo a expressão (2.17) na tensão de instabilidade local da chapa tem-se que: 
 
𝑓𝑐𝑟,𝑙 =
𝑘𝜋2𝐸
12(1 − 𝑣2)
(
𝑡
𝐵
)2 = 
6(1 − 𝑣)
𝜋2
× 𝜋2𝐸
12(1 − 𝑣2)
(
𝑡
𝐵
)2 =
𝑘𝐸
2(1 + 𝜈)
(
𝑡
𝐵
)2 (2.18) 
 
Sendo que, para o valor de k quando L→∞ obtém a mesma expressão que no modo 
global de torsão (2.11), ou seja, o valor da carga crítica de instabilidade local tende 
assintoticamente para o valor da carga crítica do modo global de instabilidade torsional. 
 
Figura 2: Coeficiente de instabilidade crítica Kcr vs coeficiente de forma 
 
Por sua vez, Dinis et al. [6], utilizando propriedades únicas da Teoria Generalizada 
das Vigas, mostraram que apenas são necessários quatro modos de deformação para 
descrever o comportamento de estabilidade de cantoneiras concentricamente carregadas. 
Esses modos são (i) local (ii) o global torsional (iii) global flexão com deslocamentos na maior (iv) 
 
 
 9 
global flexão com deslocamentos na menor inércia. Estes modos de deformação são apresentados 
em seguida, sendo que o número 2 corresponde ao iii) o 3 ao iv) o 4 ao ii) e o 5 e 6 ao i). 
 
Figura 3: Modos de deformação no GBTUL 
 
 Para além disso, consideraram que a instabilidade local está associada à existência 
de um ponto mínimo na curva Fcr – L e à formação de múltiplas semi-ondas. Este aspecto 
só é possível se existir flexão transversal na aba, caso contrário, se o comportamento for de 
corpo rígido conduz a uma curva Fcr – L sempre descendente associada à formação de uma 
única semi onda e a um modo global de instabilidade torsional. 
Para o efeito, os autores consideraram uma chapa simplesmente apoiada em três 
bordas e livre na outra, a qual é uniformemente comprimida para x=0 e x=L e com uma 
mola de rigidez S, para que a chapa tenha a rotação elástica restrita e dois modos de 
deformação: 1) Considerando uma rotação de corpo rígido da chapa em torno da mola 
(S=0). 2) Considerando uma rotação nula na borda s (eixo x), mas com flexão transversal. 
 
 
Figura 4:a) Chapa apoiada b) Comportamento corpo rígido c) Comportamento rotação nula na borda 
 
Os resultados obtidos são apresentados na figura 5 e mostram a variação do 
coeficiente de instabilidade da chapa Kcr em função do factor de forma para varias rigidez 
de S, representadas pelo factor adimensional α: 
α =
(1 − 𝜈2) × (12𝑆𝑏)
𝐸𝑡3
 (2.19) 
Modos de 
Deformação 
 
 
 10 
 
Figura 5: relação Kcr vs φ com vários níveis de rigidez na borda. 
 
 Analisando a figura verifica-se que, para α = 0, a curva é continuamente descendente, 
tendendo para o valor de 0,425. O modo de instabilidade apresenta uma única semi onda, 
independentemente do comprimento da chapa. 
Os autores concluíram também que: (i) a instabilidade local está associada a um ponto 
mínimo do valor característico na curva Ncr vs L e à geração de múltiplas semi-ondas. Este facto só 
é possível se a secção transversal tiver flexão transversal pois se estivesse apenas sujeita a rotação, 
obtinha-se um modo global puro de torção (ii) do ponto de vista mecânico, as deformações 
associadas aos modos de instabilidade das cantoneiras curtas devem ser vistos, como um modo 
global de torção e não de um modo local, como sugeriu Rasmussen [4]. 
Dinis et al.[7] estudaram o comportamento de estabilidade dos modos de instabilidade das 
cantoneiras, utilizando o programa GBTUL, com diversas condições de apoio. Na figura 6, as 
colunas F são colunas encastradas nas extremidades, as colunas PC são colunas com extremidades 
apoiadas em rótulas cilíndricas, as quais apenas permitem rotação em torno da menor inércia. 
 
 
Figura 6:a) Pcr vs L para barras F e PC b) % de participação dos Modos de Deformação ao longo de L. 
a) b) 
Colunas F 
Colunas PC 
 
 
 11 
 Da análise da figura conclui-se que: (i) independentemente do tipo de condição de 
apoio, a carga crítica é continuamente decrescente para todos os comprimentos, o que 
corresponde a uma instabilidade por uma única semi curva, (ii) as cargas críticas são 
idênticas para as colunas com as condições de apoio F e PC até determinado comprimento 
no plateau, sendo que as colunas F apenas se diferenciam pela extensão do plateau, iii) este 
plateau está associado ao modo flexo-torsional, como pode ser observado na figura b) com a 
evolução da participação dos modos de deformação P2 (flexão na maior inércia) e P4 
(torção) (iv) a maior extensão do plateau nas colunas encastradas deve-se ao facto de o modo puro 
de flexão em torno da menor inércia acontecer para barras com comprimentos maiores devido ao 
bloqueamento da flexão em torno da menor inércia (o que não acontece nas barras PC). 
 
2.2.2 Resistência Elástica 
 
 Dinis et al. [7] realizaram análises não lineares elásticas para estudar o 
comportamento de pós encurvadura das cantoneiras com imperfeições iniciais. 
 
Figura 7: Trajectórias de equilíbrio P vs rotação obtidos em análise elástica. Colunas F. 
 
 Foram consideradasimperfeições iniciais com a forma do modo crítico para barras 
com vários comprimentos que traduzem várias posições no plateau (com F1 a barra mais 
curta e F10 a mais longa). 
 Da análise dos resultados verificaram dois comportamentos distintos nas barras: i) 
comportamento estável (cantoneiras F1 a F7) ii) comportamento instável (cantoneiras F8-
F10). O comportamento estável é caracterizado pelo facto de a rotação verificada na barra 
ser sempre no mesmo sentido e de valor crescente. 
Colunas F 
 
 
 12 
 Por outro lado, para as barras mais longas verificou-se um comportamento instável, 
com rotações reversíveis. Para estas barras a deformação do modo flexo-torsional alterou-se 
de 1 para 3 semi ondas após o pico de carga. 
Outro aspecto importante analisado pelos autores está relacionado com as tensões 
normais atuantes nas barras encastradas, conforme se indica na figura 8. 
 
Figura 8:Tensões instaladas na secção de meio vão em coluna curta (F3) e coluna longa (F9). 
 
 Apesar da linearidade das tensões, no caso das barras curtas (F3) verifica-se uma 
distribuição de tensões simétricas em torno do eixo da maior inércia (que cruza o canto da 
cantoneira, ponto B na figura, onde existe maior resistência). Este fenómeno está em linha 
com o efeito da alteração do centroide efectivo para uma posição mais próxima do canto. 
Esta distribuição simétrica de tensões já não é verificada para barras longas (F9), a qual não 
corresponde à distribuição simétrica e não linear sugerida por Rasmussen [4]. Esta diferença 
deve-se à ocorrência de deslocamentos na região do canto devido à flexão nos eixos de 
maior e menor inércia, os quais são maiores nas barras mais longas. Para confirmar este 
facto, foram realizados análises em que os deslocamentos do canto da cantoneira ficam 
bloqueados e obtiveram-se distribuições parabólicas de tensão para a secção a meio vão e a 
quarto de vão, confirmando os pressupostos. 
 
Figura 9: Tensões instaladas na secção de meio vão com o canto bloqueado continuamente colunas F a) Meio vão b) 
Quarto de vão. 
 
 
 
 13 
 No caso das barras com apoio cilíndrico, isto é, com a rotação em torno da menor 
inércia libertado, Dinis et al. [7] verificaram dois comportamentos distintos das barras. Para 
as mais curtas verificou-se um comportamento estável. Para barras intermédias verificou-se 
um comportamento instável, com rotações reversíveis, as quais apresentam três semi-curvas, 
tal como acontece no caso das barras F. Por fim, as barras longas apresentam um 
comportamento mais próximo da flexão em torno da menor inércia, com comportamento 
instável e com deslocamentos substanciais segundo o eixo de maior inércia. 
Na figura 10 apresentam-se as tensões normais verificadas nas barras PC3 e PC6, os 
quais exibem as distribuições das tensões assimétricas. A distribuição de tensões simétrica e 
parabólica foi verificada quando realizada as mesmas análises com o canto da cantoneira 
impedido de deslocar. 
 
Figura 10: Tensões instaladas na secção de meio vão em coluna curta (PC3) e coluna longa (PC6). 
 
 Segundo os autores, o deslocamento do centroide efectivo da secção, é responsável 
pelos deslocamentos segundo o eixo da maior inércia, os quais tem maior influência em 
barras de maior comprimento, podendo levar em algumas barras a interagir com o modo de 
instabilidade por flexão em torno do eixo da menor inércia. Esta sensibilidade aos 
deslocamentos de flexão está também relacionada com o impacto que as imperfeições 
iniciais podem ter na capacidade resistente das cantoneiras concentricamente carregadas. 
 
2.2.2.1 Imperfeições Iniciais 
 
 
 Para melhor compreender os fenómenos devidos às imperfeições iniciais, Mesacasa 
Jr.[8],[9] realizou análises numéricas com imperfeições iniciais apenas segundo o eixo de 
maior inércia. 
 As análises foram realizadas com barras com vários comprimentos associados a 
várias posições no plateau e no início da instabilidade por flexão em torno da menor inércia, 
 
 
 14 
sendo que L1 constitui uma barra curta e L6 e uma barra longa. As barras marcadas com TD 
são as barras com imperfeições iniciais que originam tracções no canto e as CD são com 
imperfeições iniciais que originam compressões no canto. 
 
 
Figura 11: Relação N vs dm com imperfeições iniciais nos dois sinais. 
 
 Observando os resultados obtidos, não se verificou deformações de rotações, sendo 
apenas deformações características do modo de flexão (no caso de barras longas). A 
distribuição de tensões permanece simétrica entre as duas abas, o que confirma a 
inexistencia das deformações de torção. 
 Verificou-se que a partir das barras com comprimento L4 a resistência pós-crítica 
diminui bruscamente, o que está associado à passagem do modo de instabilidade flexo-
torsional para flexão pura, o qual é mais visível nas barras L5 e L6. 
Num segundo caso estudo, os autores consideraram dois tipos de imperfeições 
iniciais, a aproximação em círculo e em quadrado, com o objectivo de compreender o efeito 
de um tipo de imperfeição inicial. Em ambos os casos, foram consideradas imperfeições 
combinando os modos: (i) flexo-torsionais e (ii) flexão na menor inércia. 
 
Figura 12: Relação das Imperfeições iniciais normalizadas Dm e dm. a) Aproximação em círculo b) Aproximação 
em quadrado. 
 
 Os resultados das trajectórias de equilíbrio elástico para as barras encastradas são 
apresentados em seguida. 
 
 
 
 15 
 
Figura 13: Trajectória de equilíbrio para colunas F. a) Relação P vs d. b) Relação P vs D. 
 
 Da análise dos resultados verificou-se que: i) nas colunas F, se as imperfeições 
iniciais tiverem uma forte componente de rotação, independentemente do valor do 
deslocamento no eixo de maior inércia, a barra apresenta comportamentos típicos do modo 
flexo-torsional. ii) Este comportamento é independente do sinal dos deslocamentos no eixo 
principal de inércia, levando a um padrão simétrico dos trajectórias de equilíbrio. 
 Por outro lado, para situações em que as imperfeições iniciais apenas tem 
deslocamentos no eixo de maior inércia, isto é, não tem rotações, a barra não desenvolve 
rotações com o carregamento, desenvolvendo apenas deslocamentos no eixo de maior 
inércia no sentido das imperfeições iniciais. Este desenvolvimento é tão mais significativo 
quanto maior for a imperfeição inicial nesse sentido. 
 Para o caso das barras com apoio cilíndrico os autores concluíram que o 
comportamento da barra é significativamente diferente das barras encastradas, devido à 
incapacidade da barra em contrariar os efeitos do centroide efectivo. 
 
 
 Analisando figura 14, verifica-se dois comportamentos distintos: 
 No primeiro caso, se as imperfeições iniciais tiverem deslocamentos no eixo de maior 
inércia suficientemente positivos, as imperfeições iniciais da barra são capazes de contrariar 
Figura 14: Trajetoria de equilíbrio em Colunas PC. a) Relação P vs d. b) Relação P vs D. 
a) 
b) 
 
 
 16 
a evolução do centroide efectivo, resultando num comportamento semelhante a um elemento 
com ductilidade. Com este comportamento é possível obter resistências ultimas 
significativamente superiores quando comparando com o segundo comportamento. 
 Neste caso, os deslocamentos verificados aproximam-se do modo de deslocamentos 
de flexão em torno do menor eixo de inércia, com significativos deslocamentos no eixo de 
maior inércia e com rotações reduzidas. 
 O segundo comportamento é caracterizado pela incapacidade dos deslocamentos 
positivos no eixo da maior inércia das imperfeições iniciais não serem suficientemente 
grandes para contrariar a evolução do centroide efectivo e exibe um comportamento sem 
qualquer ductilidade. Nesta situação, poderemos ter imperfeições iniciais no eixo da maior 
inércia positivas e as deformações de colapso da barra darem-se com sinal negativo. Se o 
sinal da imperfeição inicial for negativo, os efeitos do centroideefectivo são amplificados, 
levando a barra a uma capacidade resistente muito inferior quando comparadas com 
imperfeições que conseguem contrariar o centroide efectivo. Associado a este 
comportamento, quando analisando as rotações, verifica-se que para as imperfeições que não 
conseguem contrariar a evolução do centroide efectivo, se desenvolvem rotações 
significativas, levando a barra a ter um comportamento próximo do flexo-torsional. 
 
2.2.3 Resistência Elasto-Plástica 
 
2.2.3.1 Imperfeições iniciais 
 
Mesacasa Jr [8] realizou também análises numéricas com imperfeições iniciais de 
flexão na ordem L/1000 e imperfeições iniciais de rotação na ordem de 0,64t, em que t é a 
espessura da secção, por forma a poder comparar com os resultados obtidos por Popovic et 
al. [10] , Young [11], Chodraui et al. [12]. Os principais resultados são apresentados em 
seguida, em que L3 corresponde a uma barra no plateau relativo a instabilidade flexo-
torsional e L6 a uma barra com instabilidade por flexão em torno da menor inércia. 
 
 
 
 17 
 
Figura 15: Trajectória de equilíbrio em colunas curtas. a) N vs d. b) N vs β. 
 
 
Figura 16: Trajectória de equilíbrio em colunas longas. a) N vs d. b) N vs β. 
 
 Na figura 15 é apresentado o comportamento verificado para uma barra curta. O autor 
verificou que independentemente do sinal da imperfeição inicial no eixo de maior inércia, o 
comportamento da barra é semelhante, tanto ao nível dos deslocamentos no eixo da maior 
inércia como ao nível das rotações. Em ambos os casos, o modo flexo-torsional é dominante. 
 Por outro lado, na figura 16 é apresentado o comportamento de uma barra longa, cujo 
modo de instabilidade teórico é de flexão em torno da menor inércia. O autor verificou que, 
nesta situação o sinal da excentricidade desempenha um papel fundamental, observando-se 
dois comportamentos distintos. Enquanto, para imperfeições iniciais negativas a barra exibe 
deslocamentos e rotações que se aproximam do comportamento de flexão em torno da 
menor inércia, no caso das imperfeições iniciais positivas a barra exibe deslocamentos e 
rotações que se aproximam do modo flexo-torsional. Esta diferença de comportamento 
origina também capacidades resistentes significativamente diferentes. 
 Mesacasa Jr et al. [9] avaliaram o efeito das imperfeições iniciais na erosão da 
capacidade última das cantoneiras concentricamente carregadas com comportamento elasto-
plástico. Para tal os autores consideraram barras com vários níveis de fy/fcr (onde fy é a 
tensão de cedência e fcr a tensão crítica) e as imperfeições iniciais mais gravosas 
identificadas nas análises elásticas. 
 Relativamente as barras encastradas (F), os autores concluem que a instabilidade só 
ocorre no campo elasto-plástico se o rácio fy/fcr for suficientemente reduzido. Para rácios 
fy/fcr superiores a barra mantém um comportamento elástico até ao pico de carga, o que 
 
 
 18 
significa que não há vantagem em aumentar o valor de fy para fy/fcr superiores a dois e 
meio. 
 Relativamente as barras com apoios cilindrcos (PC), os autores verificaram que os 
deslocamentos no eixo da maior inércia desempenham um papel importante na sensibilidade 
da barra às imperfeições iniciais e à erosão do pico de carga. Este facto é mais significativo 
nas barras PC do que nas F. 
 
2.2.4 Dimensionamento 
 
 O dimensionamento das cantoneiras de abas iguais pode ser feito no quadro de dois 
métodos diferentes, o Método da Largura Efectiva e o Método da Resistência Directa. O 
Método da Largura Efectiva contabiliza o efeito das tensões não uniformes, que se 
desenvolvem nas secções quando as tensões instaladas se aproximam das tensões críticas. 
identificando as zonas da secção onde as tensões instaladas são menores e eliminando 
parcialmente essas zonas, substituindo as tensões não uniformes, por tensões uniformes 
numa área de secção menor, contabilizando dessa forma os fenómenos associados à 
instabilidade. Este método é o mais utilizado nos regulamentos de vários países. 
 O Método da Resistência Directa é um método de dimensionamento que determina a 
capacidade resistente das barras com base nas cargas críticas dos vários modos de 
instabilidade dominantes (local, distorcional, global), incluindo a possibilidade de a 
interação entre eles. É um método desenvolvido sobretudo por Hancook e Schafer e que 
permite resultados precisos com relativa facilidade. 
 No que diz respeito a regulamentos devem mensionar-se os americanos, australianos 
e brasileiros. Nesta dissertação não foi considerado o Eurocódigo. Dentro dos regulamentos 
Americanos destacam-se dois exemplos distintos, o AISI 2007 [13] e o ANSI/TIA/EIA – 
222 – G 2006 [14]. Este regulamento tem a sua relevância devido ao facto de a utilização 
das cantoneiras constituir o tipo de secção de eleição em qualquer estrutura de antena ou de 
torres de transmissão. 
 O AISI 2007 partilha o dimensionamento pelo método da secção efectiva com os 
regulamentos australianos (AS/NZS 4600:2005 [15]) e Brasileiros (ABNT NBR 14762:2010 
[16]) em que a força resistente é dada por: 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 = 𝜒 × 𝐴𝑒𝑓𝑓 × 𝐹𝑦 (2.20) 
 O factor de redução da força resistente é dado por: 
 
 
 19 
𝜒 = {
0,658⋋0
2
, ⋋0
2< 1,5
0,877
⋋0
2 , ⋋0
2≥ 1,5
 𝑐𝑜𝑚 ⋋0= √
𝐹𝑦
𝐹𝑐𝑟, 0
 (2.21) 
 
em que Fcr,0 é a força crítica global, considerando a secção dos perfis monossimétricos, 
traduz-se ou na força crítica de flexão em torno da menor inércia ou na força crítica flexo 
torsional. Estas formulações são apenas válidas para secções esbeltas. 
 O regulamento americano e o australiano propõem ainda, no caso particular das 
cantoneiras a consideração de uma excentricidade de L/1000 e assim considerar uma 
componente de flexão, utilizando a equação tipo viga-coluna: 
 
𝑃
𝑁𝑐,𝑅𝑑
+
𝐶𝑚𝑥𝑀𝑥
𝑀𝑏𝑥𝜒
+
𝐶𝑚𝑦𝑀𝑦
𝑀𝑏𝑦𝜒
≤ 1 (2.22) 
 
 O AISI 2007 tal como o regulamento brasileiro apresenta a opção de determinar a 
resistência de compressão de colunas a partir do Método da Resistência Directa, mas as 
cantoneiras não figuram no conjunto de secções para o qual este metodo se aplica. 
 Por exemplo, no caso do regulamento brasileiro, a resistência de uma coluna 
associada a colapsos locais é dada pela expressão: 
 
𝑁𝑐,𝑟𝑙 = {
𝑁𝑐,𝑟𝑒 𝑠𝑒 ⋋𝑙< 0,776
(1 −
0,15
⋋𝑙
0,8) ×
𝑁𝑐,𝑅𝑒
⋋𝑙
0,8 𝑠𝑒 ⋋𝑙≥ 0,776 
 𝑐𝑜𝑚 ⋋𝑙= √
𝑁𝑐,𝑟𝑒
𝑁𝑙
 (2.23) 
 
 O método de dimensionamento apresentado pelo ANISI/TIA/EIA – 222 - G não se 
enquadra completamente em nenhum dos dois tipos de dimensionamento, utilizando 
propriedades características de cada um. De facto, a resistência da barra é dada por: 
 
𝑃 = 0,85 × 𝐴𝑔 × 𝑓𝑑 (2.24) 
 
em que Ag é a área bruta da secção e fd a tensão máxima permitida na secção. A 
determinação de fd depende da esbelteza reduzida de flexão em torno da menor inércia, 
como se indica na expressão seguinte: 
 
 
 
 20 
𝑓𝑑 = {
0,658⋋𝑒
2
× 𝑓𝑦
´ 𝑠𝑒 ⋋𝑒≤ 1,5
(
0,877
⋋𝑒
2 ) × 𝑓𝑦
´ 𝑠𝑒 ⋋𝑒> 1,5
 𝑐𝑜𝑚 ⋋𝑒= √
𝑓𝑦
´
𝑓𝑐𝑟,𝑒
 
 
em que Fcr,e é a carga de Euler. e F´y depende da geometria da secção com: 
 
𝑓𝑦
´ =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓𝑦 𝑠𝑒 
𝑏
𝑡
< 0,47 × √
𝐸
𝑓𝑦
[
 
 
 
1,677 − 0,677 ×
(
 
𝑏
𝑡
0,47 × √
𝐸
𝑓𝑦)
 
]
 
 
 
× 𝐹𝑦 𝑠𝑒 0,47 × √
𝐸
𝑓𝑦
<
𝑏
𝑡
< 0,85 × √
𝐸
𝑓𝑦
0,0332𝜋2 ×
𝐸
𝑏2
𝑡2
 𝑠𝑒 
𝑏
𝑡
> 0,85 × √
𝐸
𝑓𝑦
 
 (2.26) 
 
 De seguida são referidos alguns métodos de dimensionamento propostos por vários 
autores nos últimos anos para cantoneiras comprimidas, sendo que o método proposto porRasmussen baseado no conceito da largura efectiva e os restantes são dimensionamentos de 
resistência directa. 
 
2.2.4.1 Rasmussen (2003) 
 
 Rasmussen [4] desenvolveu vários métodos de dimensionamento de cantoneiras 
concentricamente carregadas. Os resultados da curva de dimensionamento são depois 
comparados com os resultados dos ensaios experimentais realizados por Wilhoite et al.[17] e 
Popovic et al.[10]. De todos os métodos de dimensionamento apresentados apenas o 
denominado “P9” é apresentado, pois foi o que melhores resultados apresentou. 
 Este método faz o dimensionamento através de uma equação tipo viga coluna, com a 
consideração de uma excentricidade e0, que é a resultante da diferença entre o centroide e o 
centroide efectivo, o qual foi determinado através de uma solução de Stowell [18]. 
 Segundo o autor, a resistência última P é determinada através da equação: 
 
𝑃
𝑃𝑛
+
𝐶𝑚𝑦𝑀𝑦
𝑀𝑛𝑦𝜒𝑦
≤ 1 (2.27) 
 (2.25) 
 
 
 21 
com Cmy =1 para momento constante e 𝜒𝑦 = (1 – P/Pe), onde Pe é a carga de Euler na 
menor inércia. 
 A força axial resistente Pn é obtida pela combinação das seguintes equações: 
 
𝑃𝑛 = 𝜒 × 𝐴𝑒𝑓𝑓 × 𝑓𝑦 (2.28) 
𝜒 = {
0,658⋋0
2
, ⋋𝑒
2< 1,5
0,877
⋋𝑒2
, ⋋𝑒
2≥ 1,5
 𝑐𝑜𝑚 ⋋𝑐= √
𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟, 𝑒
 (2.29) 
 
com Fcr,e a corresponder à força crítica de Euler. O momento resistente é calculado com 
base na secção efectiva 
𝑀𝑛𝑦 = 𝑊𝑒 × 𝑓𝑦 (2.30) 
 
com We a representar o módulo elástico da secção efectiva em relação à fibra que atinge 
primeiro a tensão de cedência. O momento fletor actuante é determinado a partir da equação: 
 
𝑀𝑦 = 𝑃 × 𝑒0 (2.31) 
𝑒0 = {
0, ⋋𝑙< 1,22
5
(16√2)
(⋋𝑙− 1,22)
(⋋𝑙− 0,22)
, ⋋𝑙≥ 1,22
 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 ⋋𝑙= √
𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟,𝑙
 (2.32) 
 
com Fcr,l referente à força crítica associado ao modo de instabilidade local. 
 
2.2.4.2 Young (2004) 
 
 Quando comparados os resultados experimentais realizados pelo próprio autor com 
as curvas de dimensionamento considerando apenas o modo de flexão em torno da menor 
inércia e desprezando o modo flexo torsional, do regulamento AISI e AS/NZS, Young [11] 
verificou que, para barras curtas, a curva de dimensionamento era conservativa e, para barras 
médias-a-longas, a curva torna-se contra a segurança. 
 Nesse sentido, o autor propôs alterações às expressões da resistência global por forma 
a ajustar aos resultados experimentais realizados pelo autor com cantoneiras encastradas. O 
factor de redução de resistnência considerado foi: 
 
 
 22 
𝜒 = {
0,5⋋𝑐
2
, ⋋𝑐≤ 1,4
0,5
⋋𝑐
2 , ⋋𝑐> 1,4
 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 ⋋𝑐= √
𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟,𝑒
 (2.33) 
 
onde Fcr,e é a força crítica de flexão em torno da menor inércia. 
 A nova curva de dimensionamento é apresentada na figura 17 bem como os 
resultados de uma série de ensaios experimentais realizados pelo autor. 
 
 
Figura 17: Curva de dimensionamento P vs Le/ry proposta por Young. 
 
2.2.4.3 Chodraui (2006) 
 
 O método de dimensionamento proposto por Chodraui [12] apresentou um bom 
desempenho para vários ensaios experimentais fornecendo resultados ligeiramente conservativos. 
 Este método de dimensionamento é baseado no Método da Resistência Directa e ao 
contrário dos métodos de dimensionamento apresentados anteriormente considera dois 
modos globais de instabilidade, flexão em torno da menor inércia e o flexo-torsional, sendo 
a carga crítica global o menor dos dois valores. 
 O método de dimensionamento envolve três passos: (i) determinar a carga crítica 
global mínima, (ii) determinar a carga crítica local e (iii) fazer a interação entre ambas. 
Assim: 
 
 
 Pp (Proposta) 
 
Pf (curva de flexão) 
 
 
 23 
𝑓𝑐,𝑟𝑒 = {
0,658⋋0
2
× 𝑓𝑦, ⋋𝑒
2< 1,5
0,877
⋋𝑒2
× 𝑓𝑦, ⋋𝑒
2≥ 1,5
 𝑐𝑜𝑚 ⋋0= √
𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟, 0
 (2.34) 
 
em que Fcr,0 é a menor das cargas críticas globais. A tensão de dimensionamento f,r é dada 
por: 
𝑓𝑟 = {
𝑓𝑐,𝑟𝑒 , ⋋𝑙≤ 0,776
(1 −
0,15
⋋𝑙
0,8) ×
𝑓𝑐,𝑟𝑒
⋋𝑙
0,8 , ⋋𝑙> 0,776
 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 ⋋𝑙= √
𝑓𝑐, 𝑟𝑒
𝑓𝑙
 (2.36) 
 
2.2.4.4 Silvestre et al. (2013) 
 
 Silvestre et al. [19] apresentaram um novo método de dimensionamento das 
cantoneiras concentricamente carregadas, com base no Método da Resistência Directa, e 
efetuaram análises do desempenho de outros métodos de dimensionamento. Os autores 
apresentam dois métodos de dimensionamento diferentes para às barras encastradas e barras 
apoiadas em cilindros em que a flexão em torno da menor inércia está libertada. Estas 
condições de apoio são referentes às barras PC, enquanto as encastradas as barras F. 
 O método envolve os seguintes passos: (i) determinar a tensão associada à curva de 
resistência global proposta por Young, (ii) fazer a interação com uma curva local 
reduzida/modificada e por fim, (iii) conforme a condição de apoio obter a tensão de 
dimensionamento fr. Seguidamente apresentam-se as expressões envolvidas. 
𝑓𝑐,𝑟𝑒 = {
0,5⋋0
2
𝑓𝑦, ⋋0≤ 1,4
0,5
⋋0
2 𝑓𝑦, ⋋0> 1,4
 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 ⋋0= √
𝑓𝑦
𝑓𝑐𝑟,𝑒
 (2.36) 
onde Fcr,e é carga de Euler. 
⋋𝑙= √
𝑓𝑐, 𝑟𝑒
𝑓𝑙
 (2.37) 
 Conforme a condição de apoio temos: 
 Coluna encastrada: 
 
𝑓𝑟 = {
𝑓𝑐,𝑟𝑒, ⋋𝑙≤ 0,776
(1 −
0,15
⋋𝑙
0,8) ×
𝑓𝑐,𝑟𝑒
⋋𝑙
0,8 , ⋋𝑙> 0,776
 (2.38) 
 
 
 24 
 Coluna com apoio cilíndrico: 
𝑓𝑟 = {
𝑓𝑐,𝑟𝑒, ⋋𝑙≤ 0,71
(1 − 0,25
𝑓𝑙
𝑓𝑐𝑟,𝑒
) × 𝑓𝑙 , ⋋𝑙> 0,71
 (2.39) 
 
2.2.4.5 Dinis e Camotim (2014) 
 
 Os métodos de dimensionamento anteriormente descritos não traduzem o verdadeiro 
comportamento mecânico da cantoneira, pois consideram a curva local do Método da 
Resistência Directa (MRD) e/ou alterações na curva global para melhorar os resultados. Para 
utrapassar estas limitações, Dinis e Camotim [2] desenvolveram um método de 
dimensionamento racional com as seguintes características: 
(i) Uma vez que as cantoneiras comprimidas de comprimento intermédio colapsam 
(sobretudo) em modos que combinam flexão (menor inércia) ou flexão-torção, as 
curvas envolvidas devem ser (i1) a atual curva global do MRD e (i2) as curvas de 
resistência flexo-torsionais. 
(ii) Devem ser desenvolvidas várias curvas de resistência flexo-torcionais para 
cantoneiras comprimidas, de forma a capturar a erosão progressiva da resistência 
pós-crítica à medida que aumenta o seu comprimento no plateau. 
(iii) Os efeitos do centroide efectivo não devem ser considerados no caso das colunas 
encastradas mas tem de ser considerados no caso dos apoios cilíndricos. Este efeito 
tem de incluir o efeito resultante do aumento do comprimento da cantoneira. 
 A identificação das curvas de resistência flexo-torsionais foi efetuada seguindo os 
passos que se descrevem seguidamente: 
 
fu / fy 
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 
 
L 
5.0 (a) 
ft 0,0 
0,2 
0,4 
0,8 
1,0 
1,2 
0,6 
- 70x1,2 
- 50x1,2 
- 50x2,6 
 
Figura 18: fu/fy vs λft. 
 
 
 25 
 Foram considerados curvas de resistência do “tipo Winter” para cantoneiras forçadas 
a colapsar num modo de deformação flexo-torsional (canto da cantoneira bloqueado no eixo 
da maior inércia). Devido à dispersão de resultados obtidos (figura 18), foi considerado um 
parâmetro adimensional ∆ para ajustar as curvas de resistência à influência da flexão em 
torno da maior inércia na capacidade resistente da cantoneira. 
 
∆=
𝑓𝑏𝑡 − 𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡
× 100 (2.40) 
 
com 𝑓𝑏𝑡 a corresponder à tensão crítica de torção e 𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡 a tensão crítica flexo – torsional,as 
quais são determinadas através das seguintes expressões analíticas: 
 
𝑓𝑏𝑡 = 𝐺
𝑡2
𝑏2
+ 𝜋2
𝐸𝑡2
12(
𝐿
2)
2
 (2.41) 
𝑓𝑐𝑟𝑓𝑡 =
4
5
(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓 −√(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑡)2 − 2,5𝑓𝑏𝑡𝑓𝑏𝑓) (2.42) 
 
onde fbf =
2 
E b
2
/(6 (L/2)
2
) corresponde à tensão crítica da cantoneira associada à flexão em 
torno do eixo de maior inércia. Estas expressões foram deduzidas especificamente para cantoneiras 
de abas iguais (dimensão b, espessura t, comprimento L), de aço (E, G=E/(2 (1+𝜈2))), submetidas 
a compressão uniforme. 
 A expressão adaptada foi: 
 
 





























ab,,
aa
ab,,
ft
y
crft
y
crft
y
fty
nft
 se
f
f
b 
f
f
 f
 sef
f
225050
225050
1
1
1
 
, com 
crft
y
ft f
f
 (2.43) 
 
em que a e b são variáveis adimensionais que dependem de ∆ e cujas expressões se indicam 
em (2.46) e (2.47). Por forma a considerar os efeitos de interação substitui-se a tensão de 
cedência fy por fc,re. No caso cilíndrico, para ter em conta o efeito do centroide efectivo, foi 
considerado um parâmetro β que multiplica a equação (2.43). 
 A identificação de uma expressão para o parâmetro  fez-se com base no conceito de 
"factor de redução elástico", o qual tem em conta o facto de que tanto a resistência pós-
 
 
 26 
crítica, como os efeitos da alteração do centro de gravidade efectivo da secção, variarem com o 
comprimento da coluna. A identificação envolve as seguintes etapas:
 
(i) Efetuar análises elásticas de pós-encurvadura de colunas F geometricamente idênticos 
a colunas PC (mesma relação fbt/fcrft e imperfeições geométricas iniciais com a forma 
do modo crítico e amplitude L/1000). Registar a evolução, à medida que as cargas aplicadas 
P aumentam, da tensão normal (longitudinal) máxima na secção de meio vão (fmax). A 
figura 19(a) representa as curvas P vs. fmax para as colunas F e PC com =0,16. 
(ii) Considerar que, para uma dada tensão fmax, a diferença entre as cargas aplicadas das 
colunas F e PC (Pf e Ppc) decorre da alteração do centro de gravidade efectivo da 
secção  a razão Ppc /PF fornece uma boa aproximação para o parâmetro β, i.e., β Ppc /Pf. 
(iii) Relacionar fmax com a esbelteza da coluna através da expressão ft=(fmax /fcrft)
0,5
, o que 
equivale a assumir que β corresponde à redução que resulta da alteração do centro de 
gravidade efectivo da secção numa “análise elástica limite”. Deste modo, torna-se 
possível desenvolver curvas β(ft), uma por cada valor de  . 
(iv) Através de um “processo de ajuste de curva por tentativa-erro”, procurar expressões de 
“tipo Winter” relacionando β com ft, tendo por base a expressão: 








 PC colunas para 1
)(
68.0
 F colunas para1
fte
dc
β

 
 
 (2.44) 
onde a dependência de β em termos do comprimento da cantoneira é tida em conta 
através dos parâmetros c e d, os quais são também expressos em termos da razão 
percentual  . A Figura 19(b) apresenta (iv1) as curvas β vs. ft para f=0,0; 0,16; 0,84; 
2,41, e (iv2) os valores de β ajustados (para 0.0). 
 
F 
PC 
ft 
 
(a) 
P (kN) Elástico –  f =0,16 
0 2 4 6 
0 400 800 
 fmax 
 (MPa) 
PF 
 
PPC 
 = 
PPC 
PF 
200 
 
150 
 
100 
 
 50 
 
 0 
 
 
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 
 (=0,84) 
 
 (=0,16) 
Colunas PC 
 (f =0) 
 
(b) 
0.0 
0.2 
0.4 
0.8 
1.0 1,2 
1,0 
 
0,8 
 
0,6 
 
0,4 
 
0,2 
 
0,0 
 (=2,41) 
 (=0,0) 
0.6 
-  =0,16 
-  =0,84 
-  =2,41 
 -  
 
ft 
 
 
Figura 19: a) P Elástico vs λft para colunas F e PC b) curva de β. 
 
 
 27 
 Assim, o dimensionamento de colunas encastradas (F) e com apoios cilíndricos (PC) 
pode ser efectuado a partir das seguintes expressões: 
 
 






























ab,,
ab,,
fte
ne
crft
ne
crft
ne
ftene
nfte
 se
f
f
b 
f
f
 f
 sef
f
225050
225050
1
1
1
aa
β
β
 
(2.45) 
com fte=(fne /fcrft)
0,5 e 








5.00.9700.001
5.00.4000.2500.0320.001
ff
ff
2
f
3
f
if
if
a (2.46) 








072480
070.1500.014
.if.
.if
b
f
ff
 (2.47) 








 PC colunas para1
)(
68.0
F colunas para1
fte
dc
β

 (2.48) 









5.00.5650.001
050.248000.2000020
0.21.012.80.011300.0
2
23
ff
fff
ffff
if
.if..
if
c (2.49) 









5.00.9770.001
050.271200.0940080
0.20.2515.20.041380.0
2
23
ff
fff
ffff
if
.if..
if
d (2.50) 
 Os autores, compararam o método de dimensionamento (fnfte) com os resultados de ensaios 
experimentais e numéricos (fu), tendo obtido muito boas estimativas, como pode ser observado na 
figura 20 e na tabela 1, onde se apresentam os valores da média, desvio padrão, máximo e mínimo 
obtidos. 
 
fu / fnf te 
(a1) 
fu / fnf te 
 
(a2) 
0.0 
1.0 
1.5 
0.5 
0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 
 
0.0 
1.0 
1.5 
0.5 
0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 
fte
 
fte
 
Colunas F – Experimentais Colunas F – Númericos 
 
 
 
 
 28 
 
fu / fnf te 
(b1) 
fu / fnf te 
 
(b2) 
0.0 
1.0 
1.5 
0.5 
0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 
 
0.0 
1.0 
1.5 
0.5 
0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 
fte
 
fte
 
Colunas PC – Experimentais Colunas PC– Númericos 
 
 
Figura 20:Resultados fu/fnfte vs λfte para (a) Colunas F (b) Colunas PC: (1) Resultados experimentais (2) 
Resultados Numéricos. 
 
Tabela 1: Resultados MRD – Colunas F e MRD – Colunas PC 
 
 MRD-F MRD-PC 
 Exp Num Exp + Num Exp Num Exp + Num 
Média 1.00 1.02 1.02 1.13 1.10 1.10 
D. Padrão 0.12 0.12 0.12 0.25 0.09 0.13 
Max 1.37 1.35 1.37 1.78 1.37 1.78 
Min 0.80 0.80 0.80 0.81 0.92 0.81 
 
 
 
2.3 Compressão Excêntrica 
 
 
Geralmente, as cantoneiras excentricamente carregadas são ligadas de uma das 
seguintes formas: (i) ligações aparafusadas a uma aba, (ii) ligações em que uma chapa é 
soldada a uma aba e (iii) ligações em que uma chapa é soldada à extremidade da cantoneira. 
Estas três condições de apoio distintas refletem a complexidade mecânica das cantoneiras 
excentricamente carregadas. A cada tipo de ligação, a rigidez de torsão da barra varia e esta 
variação depende de factores como por exemplo a rigidez induzida pelo(s) parafuso(s), ou 
pela configuração da chapa de ligação ou pelo cordão de soldadura. Para além do problema 
da ligação, a cantoneira tem os eixos de inércia não coincidentes com os eixos geométricos. 
Este aspecto é importante pois, conforme já exposto no caso das cantoneiras 
concentricamente carregadas, o comportamento das cantoneiras é diferente conforme a 
posição das imperfeições/ excentricidades nos eixos de inércia. Uma vez que o 
 
 
 29 
aparafusamento da cantoneira corresponde tipicamente a uma excentricidade nos dois eixos 
de inércia, a análise através dos eixos geométricos não distingue os fenómenos físicos 
relacionados com o comportamento quando a excentricidade é no eixo da maior inércia ou 
no eixo da menor inércia. 
 Ao contrário das cantoneiras de abas iguais concentricamente carregadas, 
relativamente às cantoneiras excentricamente carregadas não se pode considerar que existem 
verdadeiramente cargas críticas de instabilidade, porque a excentricidade atua desde o início 
do carregamento. Este facto conduz à inexistencia de um verdadeiro comportamento de 
bifurcação, o qual só existe em barras concentricamente carregadas, isto é, barras sem 
imperfeições iniciais e ou excentricidades. 
 
2.3.1 Resistência Elástica 
 
 
 Considerando o empenamento restringido, Ray[20] deduziu uma solução aproximada 
das equações diferenciais de equilíbrio para a condição