AP3_GA1_GABARITO_2022_2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Geometria Anaĺıtica I - 2022-2
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Considere o ponto P = (−1, 3), o vetor −→v = (1, 2) e a reta r que passa por P e é perpendicular à
−→v para responder as questões 1, 2 e 3:
Questão 1 [0,5 pt]: Determine a equação cartesiana da reta r.
Questão 2 [1,0 pt]: Determine as equações paramétricas das retas s1 e s2 que são paralelas à reta
r e distam
√
5 da reta r.
Questão 3 [1,0 pt]: Faça um esboço contendo as retas r, s1 e s2. Não se esqueça de usar um
sistema de coordenadas cartesianas para realizar o esboço e faça o esboço preferencialmente com
régua para que seja utilizada uma unidade de medida correta.
Resolução:
(1) Se −→v = (1, 2) é perpendicular à reta r, então esta reta possui equação cartesiana da seguinte
forma:
x + 2y = k,
para algum k real. Como P ∈ r, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação acima
para encontrar o valor de k:
−1 + 2(3) = k ⇐⇒ k = 5.
Portanto, a equação cartesiana da reta r é x + 2y = 5.
(2) Primeiramente, notemos que, se r é perpendicular ao vetor −→v = (1, 2), então r paralela ao vetor
(2, −1).
Como s1 e s2 são retas paralelas à reta r, então s1 e s2 são paralelas ao vetor (2, −1) e perpendiculares
ao vetor (1, 2). Logo, a equação cartesiana de s1 e s2 possui a seguinte forma:
x + 2y = c,
para c real. Como a distância de r e s1 (também a distância de r até s2) é
√
5, então:
d(r, s1) =
√
5 ⇐⇒ |c − 5|√
5
=
√
5 ⇐⇒ c = 10 ou c = 0.
Portanto, as equações cartesianas de s1 e s2 são x + 2y = 10 e x + 2y = 0.
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas de s1 e s2. Para isso, basta encontrar um ponto
que pertença à s1 e um ponto que pertença à s2, dado que é conhecido que o vetor (2, −1) paralelo
às duas retas.
Geometria Anaĺıtica I AP3 2/2022
Fazendo x = 0 na equação de s1, obtemos y = 5. Sendo assim, s1 :
{
x = 2t
y = −t + 5 , t ∈ R .
Fazendo x = 0 na equação de s2, obtemos y = 0. Sendo assim, s2 :
{
x = 2t
y = −t , t ∈ R .
(3) O esboço pedido pode ser encontrado na figura abaixo:
Questão 4 [2,5 pts]: Considere o paralelogramo ABDC tal que seus vértices possuem as seguintes
coordenadas: A = (−3, −1), B = (−2, 2) e C é o ponto de interseção das retas
r : −2x + 5y = 1 e s :
{
x = t + 1
y = 3t − 2 , t ∈ R.
Determine a área de ABDC e encontre o vértice D.
Resolução:
Primeiramente vamos encontrar o ponto C, que é dado pela interseção de r e s. Para isso, como
temos equações paramétricas de S e cartesiana de r, basta substituir as equações s em r da seguinte
forma:
−2(t + 1) + 5(3t − 2) = 1 ⇒ t = 1.
Logo C = (1 + 1, 3(1) − 2) = (2, 1).
Como A = (−3, −1), B = (−2, 2) e C = (2, 1), temos −→AB = (1, 3) e −→AC = (5, 2) que serão
utilizados para calcular a área do paralelogramo ABDC como se segue:
Area (ABDC) =
∣∣∣∣∣det
(
1 3
5 2
)∣∣∣∣∣ = |2 − 15| = 13.
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Para encontrar o vértice D, precisamos notar que
D = B + −−→BD = B + −−→AC = (−2, 2) + (5, 2) = (3, 4).
Considere a cônica C : 4x2 − 9y2 − 16x + 36y − 56 = 0 para responder às questões 5, 6, 7 e 8.
Questão 5 [1,0 pt] Classifique a cônica C.
Questão 6 [1,5 pt] Determine os principais elementos da cônica C, ou seja, centro, vértices focais,
vértices não-focais, focos, reta focal, reta não focal, asśıntotas e diretriz, caso existam.
Questão 7 [1,5 pt] Faça um esboço da cônica C contendo todos os elementos encontrados. O
esboço deve ser feito em um sistema de coordenação cartesianas e preferencialmente com régua para
que seja utilizada uma unidade de medida correta.
Questão 8 [1,0 pt] Parametrize a cônica C.
Resolução:
(5) Completando os quadrados da equação dada, obtemos:
4x2 − 9y2 − 16x + 36y − 56 = 0
⇐⇒ 4(x2 − 4x + 4) − 9(y2 − 4y + 4) = 56 + 16 − 36
⇐⇒ 4(x − 2)2 − 9(y − 2)2 = 36
⇐⇒ (x − 2)
2
9 −
(y − 2)2
4 = 1
Sendo assim, a cônica C é uma hipérbole.
(6) A hipérbole C possui os seguintes elementos principais:
• a = 3, b = 2 e c =
√
a2 + b2 =
√
13;
• centro: C = (2, 2);
• reta focal: y = 2;
• reta não-focal: x = 2;
• vértices focais: (2 ± 3, 2) ⇐⇒ A1 = (−1, 2) e A2 = (5, 2);
• vértices não-focais: (2, 2 ± 2) ⇐⇒ B1 = (2, 0) e B2 = (2, 4);
• focos: (2 ±
√
13, 2) ⇐⇒ F1 = (2 −
√
13, 2) e F2 = (2 +
√
13, 2);
• asśıntotas: −2x + 3y = 2 e 2x + 3y = 10
(7) Os elementos acima podem ser encontrados na figura a seguir:
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(8) P :
{
x = 2 + 3 cosh t
y = 2 + 2 sinh t , t ∈ R, é uma parametrização de C.
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