AULA_02_AN

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S o l u ç ã o	d e	e q u a ç õ e s
t r a n s c e n d e n t e s	e	p o l i n o m i a i s
A N Á L I S E
N U M É R I C A
Tópicos abordados:
Métodos numéricos para resolução de equações:
Método do intervalo (bissecção);
Método da falsa posição.
P R O F E S S O R
M E S S A L A
R E I S
Algoritmos dos métodos
1.
S o l u ç õ e s	d e	e q u a ç õ e s
Métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0;
Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a solução (ou soluções) c tal que f( c ) = 0; Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproximadamente essa solução real c;
R a í z e s	r e a i s – g r á f i c o
As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x.
x
y
2.
3.
M e t o d o	i t e r a t i	v o
na solução de equações
Dada a função contínua, f(x) num intervalo I determinar uma raiz α ∈ I da equação f(x)=0 com precisão escolhida. A partir de um valor inicial ou de um intervalo, iterações sucessivas são realizadas até que a diferença entre duas “candidatas” a raiz tenha diferença menor que a precisão determinada.
Equação f(x) = 0
Valor inicial xo e tolerância e;
Fórmula de recorrência que gera x1, x2,..xk;
Critério de parada (xi+1- xi  e);
f(xk)  0.
4.	T e o r e m a	d e	B o l z a n o
Considere um intervalo (a,b) do domínio da
função f(x).
Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no	intervalo (a,b);
Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b).
x
y
a
b
f(a)
f(b)
5.
M é t o d o	d e	b i s s e c ç ã o
O Método da Bisseção determina uma raiz x de uma função f(x) num intervalo [xa,xb]  R onde f(xa)*f(xb)<0. A ideia é diminuir o intervalo através de repetidas divisões ao
meio do intervalo [xa,xb] , de tal forma que o
valor de x	tenda ao valor de x , ou seja, que
a	raiz
a	b
c		xa		xb	e	que	f(c)	seja
aproximadamente nula dentro de uma certa
tolerância e.
y
xa
xb	x
a
f(x )
f(xb)
xm1
xm2
xm3
c
A N Á L I S E	G R Á F I C A
6.
E x e r c í c i o s
1. Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
SOLUÇÃO:
Equação: x2 – 3 = 0;
f(0) = -3 e f( 2) = 1. Existe uma raiz real em [0,2];
Xm = (0+2)/2 = 1
f(1) = -2
f(1).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,2]
Xm = (1+2)/2 = 1,5 (1,5 – 1 = 0,5 > 0,1)
	K	A	B	F(a)	F(b)	Xk 	F(Xk)
	0	1	2	-2	1	1,5	-0,75
	1	1,5	2	-0,75	1	1,75	0,0625
	2	1,5	1,75	-0,75	0,0625	1,625	-0,3594
	3	1,625	1,75	-0,3594	0,0625	1,6875	-0,1523
	4	1,6875	1,75	-0,1523	0,0625	1,7187	-0,046
	5	1,7187	1,75	-0,046	0,0625	1,7343	0,0077
							
	K	A	B	F(a)	F(b)	Xk 	F(Xk)
	0	1	2	-1	2	1,5	-0,25
	1	1,5	2	-0,25	1	1,75	0,3125
	2	1,5	1,75	-0,25	0,3125	1,625	0,0156
	3	1,5	1,625	-0,25	0,0156	1,5625	-0,1211
	4	1,5625	1,625	-0,1211	0,0156	1,5937	-0,0538
	5	1,5937	1,625	-0,0538	0,0156	1,6093	-0,0194
	6	1,6093	1,625	-0,0194	0,0156	1,6171	-0,0020
6.
E x e r c í c i o s
1. Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
CONTINUAÇÃO:
f(1,5) = -0,75
f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2]
Xm = (1,5+2)/2 = 1,75 (1,75 – 1,5 = 0,25>0,1);
f(1,75) = 0,0625
f(1,5).f(1,75)< 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;1,75]
Xm = (1,5+1,75)/2 = 1,625 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,1);
f(1,625) = -0,360
f(1,625).f(1,75)< 0. Raiz está no intervalo [1,625;1,75]
Xm = (1,625+1,75)/2 = 1,6875 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,01);
6.
E x e r c í c i o s
1. Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
CONTINUAÇÃO:
f(1,6875) = -0,1523
f(1,69).f(1,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,69;1,75]
Xm = (1,69+1,75)/2 = 1,72 (1,72 – 1,69 = 0,03 < 0,1);
Raiz aproximada é 1,72.
6.
E x e r c í c i o s
= 𝑒𝑥 − 3𝑥 localizada no intervalo [0; 1], com erro de 0,01 .
2. Determine a raiz da função 𝑓 𝑥
SOLUÇÃO:
f(0) = 1 e f(1) = -0,28172. Assim, f(0). f(1) < 0
Xm = (0 + 1)/2 = 0,5
f(0,5) = 0,14872
f(0,5).f(1) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;1]
Xm = (0,5+1)/2 = 0,75 (0,75 – 0,5 = 0,25 > 0,01);
f(0,75) = - 0,13300
f(0,5).f(0,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;0,75]
Xm = (0,5+0,75)/2 = 0,625 (0,75 – 0,625 = 0,125 > 0,01);
f(0,625) = -0,00675.
6.
E x e r c í c i o s
= 𝑒𝑥 − 3𝑥 localizada no intervalo [0; 1], com erro de 0,01 .
2. Determine a raiz da função 𝑓 𝑥
CONTINUAÇÃO :
f(0,5).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5;0,625]
xm = (0,5 + 0,625)/2 = 0,5625 (0,625 – 0,5625 = 0,0625 >0,01)
f(0,5625) = 0,06755
f(0,5625).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5625;0,625]
xm = (0,5625+0,625)/2 = 0,59375 (0,59375 – 0,5625 = 0,03125 > 0,01);
f(0,59375) =	0,02952
f(0,59375).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,59375;0,625]
Xm = (0,59375+0,625)/2 = 0,61 (0,61 – 0,60 = 0,01)
6.
E x e r c í c i o s
Início (ALGORITMO BISSEÇÃO)
Faça
xm = (xa + xb)/2
Se f(xa).f(xm) < 0 então xb	xm
Senão xa	xm
Fim se
Até que f(xm) < tolerância Fim
7.	M é t o d o	d a	f a l s a
A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir da reta secante que une os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) do intervalo analisado;
O ponto em que essa reta secante intercepta o eixo das abscissas corresponde à estimativa do zero da função;
Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até que a tolerância seja verificada.
x
p o s i ç ã o
(das cordas)
y
a
b
f(a)
f(b)
raiz
estimativa
A N Á L I S E	G R Á F I C A
8.	F ó r m u l a
d e	R e c o r r ê n c i a
Equação da reta:
Na interseção y = 0
b  a
y  f (b) 	f (b)  f (a) .(x  b)
x  a. f (b)  b. f (a)
f (b)  f (a)
b  a
0  f (b) 	f (b)  f (a) .(x  b)
x  a. f (b)  b. f (a)
f (b)  f (a)
8.	F ó r m u l a
d e	R e c o r r ê n c i a
	K	a	b	F(a)	F(b)	xk	F(xk)
	0	1	2	-2	1	1,6667	-0,2223
	1	1,6667	2	-0,2223	1	1,7273	-0,0164
	2	1,7273	2	-0,0164	1		
							
							
							
							
x  a. f (b)  b. f (a)
f (b)  f (a)
8.	F ó r m u l a
d e	R e c o r r ê n c i a
	K	a	b	F(a)	F(b)	xk	F(xk)
	0	1	2	-1	1	1,5	-0,25
	1	1,5	2	-0,25	1	1,6	-0,04
	2	1,6	2	-0,04	1	1,6153	-0,0061
	3	1,6153	2	-0,0061	1	1,6176	-0,0009
x  a. f (b)  b. f (a)
f (b)  f (a)
9.	F ó r m u l a
	K	a	b	F(a)	F(b)	xk	F(xk)
	0	1	2	-1	1	1,5	-0,25
	1	1,5	2	-0,25	1	1,6	-0,04
	2	1,6	2	-0,04	1	1,6153	-0,0061
	3	1,6153	2	-0,0061	1	1,6176	-0,0009
9.
E x e r c í c i o s
Início (ALGORITMO FALSA POSIÇÃO)
Faça
Se f(a).f(xe) < 0 então b	xe
Senão a	xe
Fim se
Até que f(xe) < tolerância Fim
𝑥𝑒 =
𝑎. 𝑓(𝑏) − 𝑏. 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
9.
E x e r c í c i o s