analise_estrutural vamos

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Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Deformações/deslocamentos/esforços internos em um elemento
infinitesimal
• Esforço axial
dx du
NN
εx =
σx
E , σx =
N
A ⇒ εx = NEA
du = εxdx =
N
EAdx
du =
N
EA
dx
• Flexão pura
dx
y
MM
dθ
εx =
σx
E
, σx = −MyI ⇒ εx = −
My
EI
εx = −κy, κ = dθdx ⇒ εx = −dθdxy ⇒ dθ = −
εx
y dx
dθ =
M
EI
dx
⊳ 1 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
• Torção uniforme
TT
dx
r
τ
R
dφγmax
γ = τ
G
⇒ γmax =
τmax
G
τmax =
TR
J ⇒ γmax = TRGJ
tanγmax ≈ γmax = Rdφdx ⇒ dφ =
γmax
R dx
dφ =
T
GJ
dx
• Cisalhamento
dx
dλγ
V V
γ = τ
G
, τ = V Q
Ib
≡ τ
med
= fV
A
tanγ ≈ γ = dλ
dx
⇒ dλ = γdx
dλ =
fV
GA
dx
⊳ 2 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
• Temperatura
dx
du
T
1
T
2
dx
T
1
T
2
dθ
h
du = αTmdx , Tm =
T1+T2
2
dθ =
α(T2 − T1)dx
h
Cálculo dos deslocamentos (translações e rotações)
pelo método da carga unitária
Prinćıpio dos trabalhos virtuais complementares:
carga unitária virtual × deslocamento incógnito =
=
l∫
0
(esforço seccional virtual × deslocamento incremental) dx
trabalho externo: 1×v => (1×u, 1×θ)
trabalho interno:
m∑
i=1
(
l∫
0
N∗du +
l∫
0
M ∗dθ +
l∫
0
T ∗dφ +
l∫
0
V ∗dλ
)
v =
m∑
i=1
(
l∫
0
N∗du +
l∫
0
M ∗dθ +
l∫
0
T ∗dφ +
l∫
0
V ∗dλ
)
v =
m∑
i=1
(
l∫
0
N∗N
EA
dx +
l∫
0
M∗M
EI
dx +
l∫
0
T ∗T
GJ
dx +
l∫
0
fV ∗V
GA
dx
)
⊳ 3 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Treliças planas isostáticas
carregamento real
A
B
P
1
P
2
C
D
E
F
v
B
u
Fl l l
h
carregamento virtual
1
1×v
B
=
ne∑
1
n
i
×
(
NL
EA
)
i
carga/esforços virtuais
deslocamentos reais
B
carregamento virtual
1
1×u
F
=
ne∑
1
n
i
×
(
NL
EA
)
i
carga/esforços virtuais
deslocamentos reais
F
⊳ 4 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada
na figura abaixo. Adote: A = 300 mm2, E = 200 GPa.
A
B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
20 kN 20 kN
20 kN 20 kN
carregamento real
A
B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
1 kN
carregamento virtual
1
3
kN 2
3
kN
Membro n (kN) N (kN) l (m) nNl ((kN)
2 ·m)
AB 1/3 20 3 20
BC 2/3 20 3 40
CD 2/3 20 3 40
DE -2
√
2/3 -20
√
2 3
√
2 80
√
2
FE -1/3 -20 3 20
EB -
√
2/3 0 3
√
2 0
BF 1/3 20 3 20
AF -
√
2/3 -20
√
2 3
√
2 40
√
2
CE 1 20 3 60
∑
= 200 + 120
√
2
1×v
C
=
∑
n
i
(
Nl
EA
)
i
= 200+120
√
2
300×10−6×200×106
v
C
= 6.1618×10
−3
m = 6.1618 mm ↓
⊳ 5 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Cálculo do deslocamento horizontal em B
A B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
1 N
1 N
carregamento virtual
1×u
B
= n
AB
(
Nl
EA
)
AB
, u
B
= 1×
20000×3
200×109×300×10−6
= 0.001 m = 1 mm →
⊲ Cálculo do deslocamento horizontal em C
A B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
1 N
carregamento virtual
1 N
1×u
C
= n
AB
(
Nl
EA
)
AB
+ n
BC
(
Nl
EA
)
BC
u
C
= 1× 20000×3
200×109×300×10−6
+ 1× 20000×3
200×109×300×10−6
= 0.002 m = 2 mm →
⊲ Cálculo do deslocamento horizontal em D
A B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
1 N
carregamento virtual
1 N
1×u
D
= n
AB
(
Nl
EA
)
AB
+ n
BC
(
Nl
EA
)
BC
+ n
CD
(
Nl
EA
)
CD
u
D
= 1× 20000×3
200×109×300×10−6
+ 1× 20000×3
200×109×300×10−6
+ 1× 20000×3
200×109×300×10−6
= 0.003 m = 3 mm →
⊳ 6 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Cálculo do deslocamento horizontal em F
A B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
1 kN
carregamento virtual
1 kN
1
3
kN 1
3
kN
Membro n (kN) N (kN) l (m) nNl ((kN)
2 ·m)
AB 2/3 20 3 40
BC 1/3 20 3 20
CD 1/3 20 3 20
DE -
√
2/3 -20
√
2 3
√
2 40
√
2
FE -2/3 -20 3 40
EB
√
2/3 0 3
√
2 0
BF -1/3 20 3 -20
AF
√
2/3 -20
√
2 3
√
2 -40
√
2
CE 0 20 3 0
∑
= 100
1×u
F
=
∑
n
i
(
Nl
EA
)
i
= 100
300×10−6×200×106
u
F
= 1.6667×10
−3
m = 1.6667 mm →
⊳ 7 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Cálculo do deslocamento horizontal em E
A B
F
C
E
D
3m 3m 3m
3m
1 kN
carregamento virtual
1 kN
1
3
kN 1
3
kN
Membro n (kN) N (kN) l (m) nNl ((kN)
2 ·m)
AB 2/3 20 3 40
BC 1/3 20 3 20
CD 1/3 20 3 20
DE -
√
2/3 -20
√
2 3
√
2 40
√
2
FE 1/3 -20 3 -20
EB
√
2/3 0 3
√
2 0
BF -1/3 20 3 -20
AF
√
2/3 -20
√
2 3
√
2 -40
√
2
CE 0 20 3 0
∑
= 40
1×u
E
=
∑
n
i
(
Nl
EA
)
i
= 40
300×10−6×200×106
u
E
= 6.6667×10
−4
m = 0.6667 mm →
⊳ 8 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
1
2
3
4
5
6
20 kN 20 kN
3m 3m 3m
3m
1 2 3
4 5
9
6
7
8
********************************************************************************
Treliça plana discretizada com 6 nós e 9 elementos sob cargas concentradas
********************************************************************************
dados gerais
número de nós : 6
número de elementos : 9
número de nós de contorno : 6
número de materiais diferentes: 1
número de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 3.000 0.000
3 3.000 3.000
4 6.000 0.000
5 6.000 3.000
6 9.000 0.000
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 2 4 1
3 4 6 1
4 2 3 1
5 4 5 1
6 1 3 1
7 3 5 1
8 5 6 1
9 2 5 1
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.3000D-03 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
⊳ 9 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
2 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
4 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
5 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
6 0 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
semi-largura de banda: 12
cargas nodais
no px py bz
2 0.00000D+00 -0.20000D+05 0.00000D+00
4 0.00000D+00 -0.20000D+05 0.00000D+00
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.300100E+01 -0.549509E-02
3 0.300167E+01 0.299550E+01
4 0.600200E+01 -0.616176E-02
5 0.600067E+01 0.299484E+01
6 0.900300E+01 0.000000E+00
deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.100000E-02 -0.549509E-02 0.000000E+00
3 0.166667E-02 -0.449509E-02 0.000000E+00
4 0.200000E-02 -0.616176E-02 0.000000E+00
5 0.666667E-03 -0.516176E-02 0.000000E+00
6 0.300000E-02 0.000000E+00 0.000000E+00
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 0.363798E-11 0.200000E+05 0.000000E+00
2 -0.514488E-11 -0.200000E+05 0.000000E+00
3 0.363798E-11 0.000000E+00 0.000000E+00
4 -0.109139E-10 -0.200000E+05 0.000000E+00
5 0.150690E-11 0.514488E-11 0.000000E+00
6 0.727596E-11 0.200000E+05 0.000000E+00
⊳ 10 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.80779E-27
força resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: 0.00000E+00
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 -0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
2 2 -0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
3 4 -0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
6 0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
4 2 -0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
3 0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
5 4 -0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
5 0.200000E+050.000000E+00 0.000000E+00
6 1 0.282843E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
3 -0.282843E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
7 3 0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
5 -0.200000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
8 5 0.282843E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
6 -0.282843E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
9 2 -0.727596E-11 0.000000E+00 0.000000E+00
5 0.727596E-11 0.000000E+00 0.000000E+00
⊳ 11 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
A treliça mostrada na figura abaixo possui A = 400 mm2 e E =
200 GPa. a) Determine o deslocamento vertical do nó C. b) Se ne-
nhuma carga atuar sobre a treliça, qual seria o deslocamento vertical
do nó C se o membro AB fosse 5 mm mais curto?
A
B
C
3
2
kN 3
2
kN
4m
3m
4m
4 kN
4 kN
carregamento real
A B
C
4m
3m
4m
1 kN
carregamento virtual
1
2
kN 1
2
kN
Membro n (kN) N (kN) l (m) nNl ((kN)
2 ·m)
AB 2/3 2 8 32/3
AC -5/6 5/2 5 -125/12
CB -5/6 -5/2 5 125/12
∑
= 32/3
1×v
C
=
∑
n
i
(
Nl
EA
)
i
= 32/3
400×10−6×200×106
v
C
= 1.3333×10
−4
m = 0.1333 mm
Parte b)
1×v
C
=
∑
n
i
∆l
i
1×v
C
= (2/3)(−5×10−3)
v
C
= −3.3333×10−3 m = −3.3333 mm ↑
carga + encurtamento da barra AB
v∗
C
= v(a)
C
+ v(b)
C
= 0.1333− 3.3333 = −3.20 mm ↑
⊳ 12 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
1
2
3
4m
3m
4m
4 kN
2
1
3
********************************************************************************
Treliça plana com 1 elemento mais curto discretizada com 3 nós e 3 elementos
********************************************************************************
dados gerais
número de nós : 3
número de elementos : 3
número de nós de contorno : 3
número de materiais diferentes: 1
número de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 8.000 0.000
3 4.000 3.000
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 1 3 1
3 2 3 1
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.4000D-03 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
2 0 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
semi-largura de banda: 9
⊳ 13 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
cargas nodais
no px py bz
3 0.40000D+04 0.00000D+00 0.00000D+00
cargas nos elementos
tipos de carga
1 - carga concentrada
2 - momento concentrado
3 - carga distribuida
4 - variaç~ao de temperatura
5 - deformaç~oes iniciais
6 - carga distribuida em elementos inclinados
7 - carga trapezoidal
elemento n. de cargas tipo
1 1 5
carregamento: 1 ===>>> deformacoes iniciais
excesso de comprimento:-0.005 curvatura inicial: 0.00
forças nodais equivalentes
elemento nó N Q Mz
1 1 -0.50000D+05 0.00000D+00 0.00000D+00
2 0.50000D+05 0.00000D+00 -0.00000D+00
cargas nodais equivalentes
no px py bz
1 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00
2 -0.50000D+05 0.00000D+00 0.00000D+00
3 0.40000D+04 0.00000D+00 0.00000D+00
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.799520E+01 0.000000E+00
3 0.399780E+01 0.300320E+01
deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
2 -0.480000E-02 0.000000E+00 0.000000E+00
3 -0.220469E-02 0.320000E-02 0.000000E+00
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 -0.400000E+04 -0.150000E+04 0.000000E+00
2 0.727596E-11 0.150000E+04 0.000000E+00
3 0.400000E+04 0.136424E-11 0.000000E+00
⊳ 14 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.18190E-11
força resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: 0.00000E+00
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 -0.200000E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.200000E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
2 1 -0.250000E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
3 0.250000E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
3 2 0.250000E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
3 -0.250000E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
⊳ 15 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Devido a irradiação de calor da parede, o membro AD é sujeito a um
aumento de temperatura de ∆t = +60o C. Determine o deslocamento
vertical do nó C da treliça mostrada na figura abaixo. Considere α =
1.08×10−5/oC e E = 200 GPa. O membro AC possui A = 900 mm2 e
os demais membros têm A = 1200 mm2.
A
B
CD
1.8m
2.
4m
300 kN
400 kN
carregamento real
400 kN
600 kN
300 kN
A
B
C
D
1.8m
2.
4m
1 kN
carregamento virtual
3
4
kN
3
4
kN
1 kN
Membro n (kN) N (kN) l (m) A (mm2)
AB 0 0 1.8 1200
AC -1.25 -500 3 900
AD 1 400 2.4 1200
CD 0.75 600 1.8 1200
BC 0 400 2.4 1200
1×v
C
= −1.25× −500×3
900×10−6×200×106 + 1.0×
400×2.4
1200×10−6×200×106+
+ 0.75× 600×1.8
1200×10−6×200×106 + 1.0× 1.08×10
−5×60×2.4
︸ ︷︷ ︸
α∆t l
v
C
= 0.019347 m = 19.347 mm ↓
⊳ 16 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
1
4
32
1.8m
2.
4m
300 kN
400 kN
2
4
1 35
******************************************************************************************
Treliça plana com 1 elemento sujeito a temperatura discretizada com 4 nós e 5 elementos
******************************************************************************************
dados gerais
número de nós : 4
número de elementos : 5
número de nós de contorno : 4
número de materiais diferentes: 2
número de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 0.000 2.400
3 1.800 2.400
4 1.800 0.000
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 2 3 1
3 3 4 1
4 1 4 1
5 1 3 2
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.1200D-02 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
2 0.2000D+12 0.9000D-03 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
⊳ 17 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
2 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
4 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
semi-largura de banda: 12
cargas nodais
nó px py bz
3 0.30000D+06 0.00000D+00 0.00000D+00
4 0.00000D+00 -0.40000D+06 0.00000D+00
cargas nos elementos
tipos de carga
1 - carga concentrada
2 - momento concentrado
3 - carga distribuida
4 - variaç~ao de temperatura
5 - deformaç~oes iniciais
6 - carga distribuida em elementos inclinados
7 - carga trapezoidal
elemento n. de cargas tipo
1 1 4
carregamento: 1 ===>>> variaç~ao de temperatura
t_int: 60.00 t_ext: 60.00 alfa: 0.11D-04 h: 1.00
forças nodais equivalentes
elemento nó N Q Mz
1 1 0.15552D+06 0.00000D+00 0.00000D+00
2 -0.15552D+06 0.00000D+00 -0.00000D+00
cargas nodais equivalentes
nó px py bz
1 0.00000D+00 -0.15552D+06 0.00000D+00
2 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00
3 0.30000D+06 0.00000D+00 0.00000D+00
4 0.00000D+00 -0.40000D+06 0.00000D+00
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 -0.555520E-02
2 0.000000E+00 0.240000E+01
3 0.180450E+010.238065E+01
4 0.180000E+01 -0.233469E-01
⊳ 18 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 -0.555520E-02 0.000000E+00
2 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
3 0.450000E-02 -0.193469E-01 0.000000E+00
4 0.000000E+00 -0.233469E-01 0.000000E+00
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 0.300000E+06 0.582077E-10 0.000000E+00
2 -0.600000E+06 0.400000E+06 0.000000E+00
3 0.300000E+06 -0.174623E-09 0.000000E+00
4 0.000000E+00 -0.400000E+06 0.000000E+00
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.00000E+00
força resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: 0.00000E+00
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 -0.400000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.400000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
2 2 -0.600000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
3 0.600000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
3 3 -0.400000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.400000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
4 1 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
5 1 0.500000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
3 -0.500000E+06 0.000000E+00 0.000000E+00
⊳ 19 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
A treliça mostrada na figura abaixo está sujeita as cargas P e 2P
aplicadas no nó A. Todos os membros da treliça possuem a mesma
rigidez axial EA. Determine o deslocamento relativo entre os nós A e
D.
l
l
C
D
BA
P
2P
P
P
3P
carregamento real
N
CD
= 0 ⇒ u
D
= 0
l
l
C D
BA
1
1
carregamento virtual
Membro n N l nNl
AB −1/
√
2 P l −P l/
√
2
AC −1/
√
2 −2P l 2P l/
√
2
BD −1/
√
2 P l −P l/
√
2
CD −1/
√
2 0 l 0
BC 1 −
√
2P
√
2l −2P l
∑
= −2P l
u
AD
=
∑
n
i
(Nl
EA
)
i
= −2PL
EA
⊳ 20 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Aplicação do PTV à vigas e pórticos 2D
v
A
θ
A
q ⇐ carregamento real
l
1kN ⇐ carregamento virtual
M(x)
1kN.m ⇐ carregamento virtual
m(x)
m(x)
κ = M
EI
⇒ dθ = M
EI
dx
Deslocamentos: 1×v
A
=
l∫
0
m
M
EI
dx
︸ ︷︷ ︸
dθ
Rotações: 1×θ
A
=
l∫
0
m
M
EI
dx
︸ ︷︷ ︸
dθ
carga/esforços virtuais
translações/rotações reais
carga/esforços virtuais
rotações reais
⊳ 21 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga de aço mostrada
na Figura abaixo. Considere E = 200 GPa e I = 5×10−4 m4.
v
B
10 m
12 kN/m
A B
12x kN
x/2
x
V
M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M − 12x×x2 = 0
M = −6x2
600 KN.m
M
1 kN 1 kN
x
V
M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M − 1×x = 0
M = −x
10 KN.m
m
1×v
B
=
10∫
0
(−x)(−6x2)
EI dx
v
B
= 1
EI
10∫
0
6x3dx = 3x
4
2EI
∣
∣
∣
10
0
v
B
= 3×10
4
2×200×106×5×10−4 = 0.15 m = 150 mm ↓
⊳ 22 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Determine o deslocamento vertical do pontoD da viga de aço mostrada
na Figura abaixo. Considere E = 200 GPa e I = 3×10−4 m4.
3 m 3 m 4.5 m
5 kN 35 kN
30 kN
120 kN.m
v
D
A
B
C
D
120 kN.m 105 kN.m
M
1 kN
3/4 kN 7/4 kN
m
9/4 kN.m
9/2 kN.m
DCL Trecho AB
120 kN.m
5 kN
x
V
M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ +M − 120 + 5×x = 0
M = 120− 5x
3/4 kN
V
M
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ +M + 34×x = 0
M = −34x
DCL Trecho BC
105 kN.m
35 kN
x
V
M
{
x
+
∑
M=0 ⇒+M−105+35×x = 0
M = 105− 35x
3/4 kN
9/4 kN.m
V
M
x
{
x
+
∑
M=0 ⇒+M+ 9
4
+ 3
4
×x = 0
M = −94 − 34x
⊳ 23 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
1×v
D
=
3∫
0
(−34x)(120−5x)
EI dx +
3∫
0
(−94−34x)(105−35x)
EI dx
v
D
= 1EI
3∫
0
(−90x + 154 x2)dx + 1EI
3∫
0
(−9454 + 1054 x2)dx
v
D
=
(−45x2+54x3)
EI
∣
∣
∣
3
0
+
(−9454 x+354 x3)
EI
∣
∣
∣
3
0
= −3375
4EI
v
D
= − 3375
4×200×106×3×10−4 = −0.0141 m = −14.0625 mm ↑
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
3 m 3 m 4.5 m
30 kN
120 kN.m
1
2
3 41 2 3
***********************************************************************************************
Viga contı́nua com balanço discretizada com 3 elementos e 4 nós
***********************************************************************************************
dados gerais
numero de nos : 4
numero de elementos : 3
numero de nos de contorno : 2
numero de materiais diferentes: 1
numero de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 3.000 0.000
3 6.000 0.000
4 10.500 0.000
conetividade dos elementos
elemento nos material
1 1 2 1
2 2 3 1
3 3 4 1
⊳ 24 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.4000D-01 0.3000D-03 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
condicoes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restricoes deslocamentos prescritos ctes elasticas
no u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
semi-largura de banda: 6
cargas nodais
no px py bz
1 0.00000D+00 0.00000D+00 -0.12000D+06
2 0.00000D+00 -0.30000D+05 0.00000D+00
***********************************************************************************************
resultados da analise
deslocamentos nodais
nodo u v rz
1 0.000000D+00 0.000000D+00 -0.512500D-02
2 0.000000D+00 -0.675000D-02 0.500000D-03
3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.312500D-02
4 0.000000D+00 0.140625D-01 0.312500D-02
reacoes nodais
nodo px py mz
1 0.000000D+00 -0.500000D+04 -0.120000D+06
2 0.000000D+00 -0.300000D+05 -0.291038D-10
3 0.000000D+00 0.350000D+05 0.145519D-10
4 0.000000D+00 0.000000D+00 -0.291038D-10
verificacao do equilibrio
forca resultante em x : 0.00000E+00
forca resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: -0.10186E-09
esforcos nos elementos
elemento no N Qy Mz
1 1 0.000000E+00 -0.500000E+04 -0.120000E+06
2 0.000000E+00 0.500000E+04 0.105000E+06
2 2 0.000000E+00 -0.350000E+05 -0.105000E+06
3 0.000000E+00 0.350000E+05 0.582077E-10
3 3 0.000000E+00 0.000000E+00 -0.436557E-10
4 0.000000E+00 0.000000E+00 -0.291038E-10
***********************************************************************************************
⊳ 25 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Determine o deslocamento horizontal do ponto C do pórtico mostrado
na figura abaixo. Considere E = 200 GPa, I = 2.25×10−4 m4 e
A = 3×10−2 m2.
2.4 m
3
m
6
0
k
N
/
m
A
B
C
112.5 kN
180 kN
112.5 kN
1 kN
5/4 kN
1 kN
5/4 kN
270 kN.m
270 kN.m
3 kN.m
3 kN.m
⊳ 26 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
6
0
k
N
/
m
60x kN
112.5 kN
180 kN
M
V
N
x
x
/2
{
x
+
∑
M=0 =⇒ +M + 60x×x2 − 180×x = 0
M = 180x− 30x2
5/4 kN
1 kN
M
V
N
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ +M − 1×x = 0
M = x
112.5 kN
x
V
M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + 112.5×x = 0
M = 112.5x
5/4 kN
V
M
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + 5
4
×x = 0
M = 54x
1×u
C
=
3∫
0
(x)(180x−30x2)
EI dx+
2.4∫
0
(5
4
x)(112.5x)
EI dx+
3∫
0
(5
4
)(112.5)
EA dx
u
C
= 1
EI
3∫
0
(180x2 − 30x3)dx+ 1
EI
2.4∫
0
140.625x2dx+ 1
EA
3∫
0
140.625dx
u
C
= 60x
3−7.5x4
EI
∣
∣
∣
3
0
+ 46.875x
3
EI
∣
∣
∣
2.4
0
+ 140.625x
EA
∣
∣
3
0
u
C
= 1012.5
EI
+ 648
EI
+ 421.875
EA
u
C
= 1660.5200×106×2.25×10−4 +
421.875
200×106×3×10−2 = 0.03697 m = 36.97 mm →
⊳ 27 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
2.4 m
3
m
6
0
k
N
/
m
1
2
3
1
2
******************************************************************************************
Pórtico plano discretizado com 2 elementos e 3 nós
******************************************************************************************
dados gerais
número de nós : 3
número de elementos : 2
número de nós de contorno : 2
número de materiais diferentes: 1
número de elementos com
descontinuidades: 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 0.000 3.000
3 2.400 3.000
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 2 3 1
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.3000D-01 0.2250D-03 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
⊳ 28 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
semi-largura de banda: 6
cargas nos elementos
tipos de carga
1 - carga concentrada
2 - momento concentrado
3 - carga distribuida
4 - variaç~ao de temperatura
5 - deformaç~oes iniciais
6 - carga distribuida em elementos inclinados
7 - carga trapezoidal
elemento n. de cargas tipo
1 1 3
carregamento: 1 ===>>> carga distribuida
qy: -0.6000D+05 posiç~ao inicial: 0.0000D+00 posiç~ao final: 0.3000D+01
forças nodais equivalentes
elemento nó N Q Mz
1 1 0.00000D+00 0.90000D+05 0.45000D+05
2 0.00000D+00 0.90000D+05 -0.45000D+05
cargas nodais equivalentes
nó px py bz
1 0.00000D+00 0.00000D+00 -0.45000D+05
2 0.90000D+05 0.00000D+00 0.45000D+05
3 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.369703E-01 0.300006E+01
3 0.243697E+01 0.300000E+01
deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 0.000000E+00 -0.168234E-01
2 0.369703E-01 0.562500E-04 -0.482344E-02
3 0.369703E-01 0.000000E+00 0.237656E-02
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 -0.180000E+06 -0.112500E+06 0.291038E-10
2 -0.112632E-07 0.145519E-10 -0.116415E-09
3 0.000000E+00 0.112500E+06 0.000000E+00
⊳ 29 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.00000E+00
força resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: -0.29104E-09
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 -0.112500E+06 0.180000E+06 0.291038E-10
2 0.112500E+06 0.112632E-07 0.270000E+06
2 2 0.000000E+00 -0.112500E+06 -0.270000E+06
3 0.000000E+00 0.112500E+06 0.000000E+00
Determine a rotação relativa entre as seções A e B da viga em balanço,
mostrada na figura abaixo, submetida a uma carga P em sua extremi-
dade livre. Adote EI constante.
P
A
B
carregamento real
l/2 l/2
carregamento virtual
l/2 l/2A B
11
P
x
V
M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M − P ×x = 0
M = −Px
trecho AB
1M
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M − 1 = 0
M = −1
trecho AB
θ
BA
=
l/2∫
0
(−1)(−PxEI )dx =
l/2∫
0
Px
EIdx =
Px2
2EI
∣
∣
∣
l/2
0
θ
BA
= P l
2
8EI
⊳ 30 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Efeito da Temperatura
v
A
θ
Al ∆l
T
1
T
2
T
2
> T
1
∆l = αT
m
l
c
c
h
T
1
T
2
T
m
∆T
∆T δx
dθ
T
m
=
T
1
+T
2
2
∆T =
T
2
−T
1
2
dθ = δx
c
δx = α∆Tdx
dθ = α∆Tdxc
dθ =
α(T
2
−T
1
)dx
h
a b
b
l
a
l
1 kN
m
ab
l
Deslocamentos: 1×v
A
=
l∫
0
m
α∆T
c
dx
︸ ︷︷ ︸
dθ
carga/esforços virtuais
translações/rotações reais
Deslocamentos: 1×v
A
=
l∫
0
m
α(T2−T1)
h
dx
︸ ︷︷ ︸
dθ
carga/esforços virtuais
translações/rotações reais
⊳ 31 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
a b
1
l
1
l
1 kN.m
m
a
l
b
l
Rotações: 1×θ
A
=
l∫
0
m
α∆T
c
dx
︸ ︷︷ ︸
dθ
carga/esforços virtuais
rotações reais
Rotações: 1×θ
A
=
l∫
0
m
α(T2−T1)
h
dx
︸ ︷︷ ︸
dθ
carga/esforços virtuais
rotações reais
T
1
T
2
T
2
−T
1
h
δx
dθ
dθ = δx
h
δx = α(T
2
− T
1
)dx
dθ =
α(T
2
−T
1
)dx
h
⊳ 32 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Se a temperatura na superf́ıcie de topo da viga mostrada na figura
abaixo é 25o C e na superf́ıcie de baixo 70o C, determine o deslocamento
vertical no centro da viga resultante deste gradiente de temperatura.
Considere α = 11.7×10−6/oC e c = 125 mm.
3 m ∆l
25o C
70o CvC
1 N
1/2 N 1/2 N
3/4 N.m
1/2 N
V
M
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ +M − 12×x = 0
M = 12x
1×v
C
= 2
1500∫
0
(12x)(11.7×10
−6×22.5)
125
dx
v
C
= 2
1500∫
0
1.053×10−6xdx
v
C
= 1.053×10−6x2
∣
∣
1500
0
v
C
= 2.3693 mm ↓
⊳ 33 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Determine o deslocamento horizontal do ponto C do pórtico sujeito à
variação térmica mostrada na figura abaixo.
Considere α = 11.5×10−6/oC e h = 250 mm.
2.4 m
3
m
A
B
C
30oC
70oC
30oC 70oC
1 kN
5/4 kN
1 kN
5/4 kN
carregamento virtual
m n
3 kN.m
3 kN.m
1 kN
5
/
4
k
N
5/4 kN
1 kN
M
V
N
x



x
+
∑
M=0 =⇒ +M − 1×x = 0
M = x
+↑
∑
F
y
=0 =⇒ +N − 5/4 = 0
N = 5/4
⊳ 34 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
5/4 kN
1 kN
V M
N
x



x
+
∑
M=0 =⇒ −M + 54×x = 0
M = 5
4
x
+→
∑
F
x
=0 =⇒ −N + 1 = 0
N = 1
T2 − T1 = 70oC− 30oC = 40oC
Tm =
T2+T1
2 =
70oC+30oC
2 = 50
oC
1×u
C
=
3∫
0
m
AB
α(T2−T1)
h dx +
3∫
0
n
AB
αTmdx+
+
2.4∫
0
m
BC
α(T2−T1)
h dx +
2.4∫
0
n
BC
αTmdx
u
C
=
3000∫
0
x× 11.5×10
−6×40
250
dx +
3000∫
0
5
4
×11.5×10−6×50dx+
+
2400∫
0
5
4
x× 11.5×10
−6×40
250
dx +
2400∫
0
1×11.5×10−6×50dx
u
C
= 18.4403 mm →
⊳ 35 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
2.4 m
3
m
1
2
3
1
2
30o C 70o C
temperatura internatemperatura externa
******************************************************************************************
Pórtico plano discretizado com 2 elementos e 3 nós sujeito a temperatura
******************************************************************************************
dados gerais
número de nós : 3
número de elementos : 2
número de nós de contorno : 2
número de materiais diferentes: 1
número de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 0.000 3.000
3 2.400 3.000
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 2 3 1
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.1000D+01 0.1000D+01 0.1000D+01 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
⊳ 36 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
semi-largura de banda: 6
cargas nos elementos
tipos de carga
1 - carga concentrada
2 - momento concentrado
3 - carga distribuida
4 - variaç~ao de temperatura
5 - deformaç~oes iniciais
6 - carga distribuida em elementos inclinados
7 - carga trapezoidal
elemento n. de cargas tipo
1 1 4
2 1 4
carregamento: 1 ===>>> variaç~ao de temperatura
t_int: 70.00 t_ext: 30.00 alfa: 0.12D-04 h: 0.25
forças nodais equivalentes
elemento nó N Q Mz
1 1 0.57500D-03 0.00000D+00 0.18400D-02
2 -0.57500D-03 0.00000D+00 -0.18400D-02
carregamento: 1 ===>>> variaç~ao de temperatura
t_int: 70.00 t_ext: 30.00 alfa: 0.12D-04 h: 0.25
forças nodais equivalentes
elemento nó N Q Mz
2 2 0.57500D-03 0.00000D+00 0.18400D-02
3 -0.57500D-03 0.00000D+00 -0.18400D-02
cargas nodais equivalentes
nó px py bz
1 0.00000D+00 0.00000D+00 -0.18400D-02
2 -0.57500D-03 0.57500D-03 0.00000D+00
3 0.57500D-03 0.00000D+00 0.18400D-02
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.170602E-01 0.300172E+01
3 0.241844E+01 0.300000E+01deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 0.000000E+00 -0.844675E-02
2 0.170602E-01 0.172500E-02 -0.292675E-02
3 0.184402E-01 0.000000E+00 0.148925E-02
⊳ 37 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 0.216840E-17 0.184314E-17 0.000000E+00
2 -0.303577E-17 0.108420E-18 -0.650521E-18
3 0.867362E-18 -0.195156E-17 -0.650521E-18
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.00000E+00
força resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: 0.43368E-18
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 0.184314E-17 -0.216840E-17 0.000000E+00
2 -0.184314E-17 0.216840E-17 -0.563785E-17
2 2 -0.867362E-18 0.195156E-17 0.498733E-17
3 0.867362E-18 -0.195156E-17 -0.650521E-18
⊳ 38 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Deslocamentos prescritos nos apoios - recalque nos apoios
Sejam (u
A
, v
A
, θ
A
) deslocamentos prescritos no apoio A da viga em
balanço mostrada na figura abaixo. Determine o deslocamento vertical
v
B
da extremidade livre.
u
A
v
A
θ
A
A B
v
B
l l
1 kN
m
1 kN
l kN.m
−1×v
B
+ 0×u
A
+ 1×v
A
+ l×θ
A
=
l∫
0
m
M
EI
dx
︸ ︷︷ ︸
= 0
+
l∫
0
n
N
EA
dx
︸ ︷︷ ︸
= 0
v
B
= v
A
+ lθ
A
θ
A
<< 1, senθ
A
≈ θ
A
v
B
−v
A
l
θ
A
senθ
A
=
v
B
−v
A
l ⇒ θA ≈
v
B
−v
A
l
v
B
= v
A
+ lθ
A
⊳ 39 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Apoios elásticos
Calcule a rotação em B do pórtico mostrado na figura abaixo. Con-
sidere E = 200×10
9
Nm−2, I = 8×10
−5
m4, A = 2.4×10
−2
e k = 2×10
6
Nm−1.
4 m
4 m
100 kNm
k
A
B
C
100 kNm
25 kN
25 kN
carregamento real
100 kNm
M
25 kN
V M
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + 25×x = 0
M = 25x
1 kNm
0.25 kN
0.25 kN
carregamento virtual
1 kNm
m
0.25 kN
V M
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + 0.25×x = 0
M = 0.25x
1×θ
B
=
4∫
0
mM
EI
dx+
4∫
0
n N
EA
dx+ f
v
×δ
m
θ
B
= 1
EI
4∫
0
(0.25x)(25x)dx+ 1
EA
4∫
0
(0.25)(25)dx+ 0.25×25
k
θ
B
= 4003EI +
25
EA +
6.25
k = 1.146×10
−2
rad y
⊳ 40 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
4 m
4 m
100 kNm
k
1
2
3
1
2
******************************************************************************************
Pórtico plano discretizado com 2 elementos e 3 nós com 1 apoio elástico
******************************************************************************************
dados gerais
número de nós : 3
número de elementos : 2
número de nós de contorno : 2
número de materiais diferentes: 1
número de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 0.000 4.000
3 4.000 4.000
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 2 3 1
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.2400D-01 0.8000D-04 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 0 0 0 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.2000D+07 0.0000D+00
⊳ 41 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
semi-largura de banda: 6
cargas nodais
nó px py bz
2 0.00000D+00 0.00000D+00 -0.10000D+06
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.458542E-01 0.400002E+01
3 0.404585E+01 0.398750E+01
deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 0.000000E+00 -0.114635E-01
2 0.458542E-01 0.208333E-04 -0.114635E-01
3 0.458542E-01 -0.125000E-01 0.103646E-02
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 0.568980E-08 -0.250000E+05 0.000000E+00
2 0.176078E-08 0.000000E+00 -0.100000E+06
3 -0.745058E-08 0.250000E+05 -0.109139E-10
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.00000E+00
força resultante em y : 0.00000E+00
momento resultante em z: 0.90949E-10
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 -0.250000E+05 -0.568980E-08 0.000000E+00
2 0.250000E+05 0.568980E-08 -0.227010E-07
2 2 0.745058E-08 -0.250000E+05 -0.100000E+06
3 -0.745058E-08 0.250000E+05 -0.109139E-10
⊳ 42 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Estruturas estáticamente indeterminadas
Determine a rotação emB da viga mostrada na figura abaixo utilizando
o PTV.
l/2 l/2
P
V
A
V
B
M
A
θ
B
M
l
1 kN
m
1 kN
l kN.m
v
B
1×v
B
=
l/2∫
0
mMEIdx +
l∫
l/2
mMEIdx = 0
1 kN
VV
V
B
MM
xx
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + V
B
×x = 0
M = V
B
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M − 1×x = 0
M = −x
V
B
V M
P
l/2
x
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + V
B
×x− P ×(x− l2) = 0
M = V
B
x− P (x− l
2
)
⊳ 43 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
0 =
l/2∫
0
(−x)
(V
B
x
EI
)
dx +
l∫
l/2
(−x)
(V
B
x−P (x− l2 )
EI
)
dx
0 =
l/2∫
0
−V
B
x2dx +
l∫
l/2
(−V
B
x2 + Px2 − 1
2
P lx)dx
0 = −V
B
x3
3
∣
∣
∣
l/2
0
+ (−V
B
x3
3 +
Px3
3 − P lx
2
4 )
∣
∣
∣
l
l/2
V
B
= 5
16
P
M
CB
= 516Px, MAC = −1116Px + 12P l
1 kN.m1 kN.m
m = 1
1×θ
B
=
l/2∫
0
mMEIdx +
l∫
l/2
mMEIdx
θ
B
=
l/2∫
0
mMEIdx +
l∫
l/2
mMEIdx
θ
B
= 1
EI
l/2∫
0
(1)( 5
16
Px)dx+ 1
EI
l∫
l/2
(1)(−11
16
Px + 1
2
P l)dx
θ
B
= 1EI
[
5
32Px
2
∣
∣
l/2
0
+ (−1132Px2 + 12P lx)
∣
∣
l
l/2
]
θ
B
= 1
32
P l
2
EI
⊳ 44 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
⊲ Efeito da temperatura - viga biengastada
l
T
1
T
2
T
2
> T
1
EAαT
m
EAαT
m
EI
α(T
2
−T
1
)
h
EI
α(T
2
−T
1
)
h
T
m
=
T
1
+T
2
2
Esforço axial
T
m
T
m
l δ
P δ = αT
m
l
P = EA
l
δ = EA
l
αT
m
l = EAαT
m
Esforço de flexão
T
1
T
2
l
T
2
> T
1
θ
A
θ
B |θ
A
| = |θ
B
|
l1
l
1
l
1 N.m
1
m
x 1
l
V M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ −M + 1
l
×x = 0
M = x
l
1×θ
A
=
l∫
0
(
x
l
)α(T2−T1)
h
dx
θ
A
=
α(T2−T1)
hl
x2
2
∣
∣
∣
l
0
=
α(T2−T1)l
2h
⊳ 45 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Linha elástica
l
M
0
M
0
x
M
0
M
{
x
+
∑
M=0 =⇒ M +M
0
= 0
M = −M
0
EIκ = −M0
EIθ = −M0x + C1
EIv = −M0 x
2
2 + C1x + C2
(x = 0, v = 0) ⇒ C2 = 0
(x = l, v = 0) ⇒ C1 =
M0l
2
x = 0 ⇒ θ = C1
EI
=
M0l
2EI
(θ = θ
A
) ⇒ M0l2EI =
α(T2−T1)l
2h
M0 = EI
α(T2−T1)
h
⊳ 46 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Use o PTV para calcular o esforço axial da barra BC.
A
B
C
D
P
90o 90o
45o 45o
L
1×u
C
=
∑
n
i
( Nl
EA
)
i
= 0
∑
n
i
N
i
l
i
= 0
A
B
C
D
90o 90o
45o 45o
L
1 N
carregamento virtual
Membro n (N) N (N) l (m) nNl (N
2·m)
AB
√
2
2
-N l -
√
2
2
Nl
BC
√
2
2 -N l -
√
2
2 Nl
BD -1
√
2N
√
2l -2Nl
AD
√
2
2
√
2
2 P −N l 12Pl −
√
2
2 Nl
CD
√
2
2
√
2
2 P −N l 12Pl −
√
2
2 Nl
∑
= Pl − 2(1 +
√
2)Nl = 0
N
BC
=
P
2(1 +
√
2)
(compressão)
⊳ 47 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Use o PTV para calcular o deslocamento vertical do nó D. Adote
E = 200×10
9
GPa, A = 3×10
−5
m2, l = 1 m e P = 20 kN.
Membro n (N) N (N) l (m) nNl (N
2·m)
AB − 1
2(1+
√
2)
- P
2(1+
√
2)
l 1
4(3+2
√
2)
Pl
BC − 1
2(1+
√
2)
- P
2(1+
√
2)
l 1
4(3+2
√
2)
Pl
BD
√
2
2(1+
√
2)
√
2P
2(1+
√
2)
√
2l
√
2
2(3+2
√
2)
Pl
AD 12
P
2 l
1
4Pl
CD 12
P
2 l
1
4Pl
∑
= (4+3
√
2)
2(3+2
√
2)
Pl
v
D
= 1EA
(4+3
√
2)
2(3+2
√
2)
P l
v
D
= (4+3
√
2)
2(3+2
√
2)
× 20000×1
200×109×3×10−5
= 2.3570×10
−3
m
v
D
= 2.3570 mm
⊳ 48 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Use o PTV para calcular o deslocamento vertical do nó B. Adote
E = 200×10
9
GPa, A = 3×10
−5
m2, l = 1 m e P = 20 kN.
A
B
C
D
1N
90o 90o
45o 45o
L
1×u
C
=
∑
n
i
( n̄lEA)i = 0
∑
n
i
n̄i
l
i
= 0
A
B
C
D
90o 90o
45o 45o
L
1 N
carregamento virtual
Membro n (N) n̄ (N) l (m) nNl (N
2
m)
AB
√
2
2 n̄− 1√2 l
√
2
2 (n̄− 1√2)l
BC
√
2
2 n̄− 1√2 l
√
2
2 (n̄− 1√2)l
BD -1 -
√
2n̄
√
2l 2n̄l
AD
√
2
2 n̄ l
√
2
2 n̄l
CD
√
2
2
n̄ l
√
2
2
n̄l
∑
=
√
2n̄− 1 + 2n̄+
√
2n̄ = 0
n̄ =
1
2(1 +
√
2)
(tração)
⊳ 49 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Membro n̄ (N) N (N) l (m) n̄Nl (N
2
m)
AB −12 - P2(1+√2) l
1
4(1+
√
2)
Pl
BC −12 - P2(1+√2) l
1
4(1+
√
2)
Pl
BD −
√
2
2(1+
√
2)
√
2P
2(1+
√
2)
√
2l −
√
2
2(3+2
√
2)
Pl
AD 1
2(1+
√
2)
P
2 l
1
4(1+
√
2)
Pl
CD 1
2(1+
√
2)
P
2
l 1
4(1+
√
2)
Pl
∑
= (4+3
√
2)
(14+10
√
2)
Pl
v
B
= 1
EA
(4+3
√
2)
(14+10
√
2)
P l
v
B
= (4+3
√
2)
(14+10
√
2)
× 20000×1
200×109×3×10−5
= 9.7631×10
−4
m
v
B
= 0.97631 mm
⊳ 50 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
Análise numérica usando o método dos elementos finitos
1
2
3
4
1 2
34
5
P
90o 90o
45o 45o
L
******************************************************************************************
Treliça plana hiperestática discretizada com 4 nós e 5 elementos
******************************************************************************************
dados gerais
número de nós : 4
número de elementos : 5
número de nós de contorno : 4
número de materiais diferentes: 1
número de elementos com
descontinuidades : 0
Euler-Bernoulli beam theory
coordenadas nodais
no x y
1 0.000 0.000
2 0.707 0.707
3 1.414 0.000
4 0.707 -0.707
conectividade dos elementos
elemento nós material
1 1 2 1
2 2 3 1
3 3 4 1
4 1 4 1
5 2 4 1
propriedades do material
mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h
1 0.2000D+12 0.3000D-04 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
⊳ 51 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
condiç~oes de contorno
estado 1:prescrito
0:livre
restriç~oes deslocamentos prescritos ctes elásticas
nó u v rz u v rz kx ky kz
1 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
2 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
3 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
4 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00
semi-largura de banda: 12
cargas nodais
nó px py bz
4 0.00000D+00 -0.20000D+05 0.00000D+00
*************************************************************************************
resultados da análise
configuraç~ao deformada
nodo x y
1 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.707100E+00 0.706124E+00
3 0.141420E+01 0.000000E+00
4 0.707100E+00 -0.709457E+00
deslocamentos nodais
nó u v rz
1 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
2 0.000000E+00 -0.976301E-03 0.000000E+00
3 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.000000E+00 -0.235700E-02 0.000000E+00
reaç~oes nodais
nó px py mz
1 -0.414214E+04 0.100000E+05 0.000000E+00
2 0.000000E+00 -0.909495E-12 0.000000E+00
3 0.414214E+04 0.100000E+05 0.000000E+00
4 0.000000E+00 -0.200000E+05 0.000000E+00
verificaç~ao do equilı́brio
força resultante em x : 0.00000E+00
força resultante em y : -0.36380E-11
momento resultante em z: 0.00000E+00
⊳ 52 ⊲
Mecânica dos Sólidos 3 Análise Estrutural Prinćıpio dos trabalhos virtuais
esforços nos elementos
elemento nó N Qy Mz
1 1 0.414214E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
2 -0.414214E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
2 2 0.414214E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
3 -0.414214E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
3 3 -0.100000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.100000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
4 1 -0.100000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.100000E+05 0.000000E+00 0.000000E+00
5 2 -0.585786E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
4 0.585786E+04 0.000000E+00 0.000000E+00
⊳ 53 ⊲