RICARDO SILVEIRA - TEORIA DAS ESTRUTURAS I - APOSTILA

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS I 
Parte 3 
Notas de Aula – CIV208 
 
 Ricardo Azoubel da Mota Silveira 
 
Colaboração: A ndréa R egina D ias da Silva 
 
 
Departamento de Engenharia Civil 
 Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
2008 
SUMÁRIO 
1. Linhas de Influência 
1.1. Aplicações ..................................................................................................... 1 
1.2. Objetivos ........................................................................................................ 3 
1.3. Trem-Tipo ...................................................................................................... 4 
1.4. Definição ......................................................................................................... 6 
1.5. Vigas .............................................................................................................. 8 
1.6. Treliças ........................................................................................................ 12 
2. Deslocamentos em Estruturas 
2.1. Introdução .................................................................................................... 14 
2.2. Causas ......................................................................................................... 14 
2.3. Métodos de Análise ..................................................................................... 17 
2.4. Método da Integração Dupla ........................................................................ 17 
2.5. Método da Viga Conjugada .......................................................................... 23 
2.6. Método do Trabalho Virtual .......................................................................... 29 
2.7. Treliças: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual .................................... 33 
2.7. Vigas e Pórticos: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual ....................... 41 
Referências Bibliográficas ................................................................................. 59 
 
1. 1. LINHAS DE INFLUÊNCIALINHAS DE INFLUÊNCIA
a. Pontes em vigas
Teoria das Estruturas I 1
b. Pontes treliçadas
1.1. APLICAÇÕES
LINHAS DE INFLUÊNCIA
c. Pontes rolantes
d. Pontes rodoviária e ferroviária
Ponte rodoviária
Ponte ferroviária
Teoria das Estruturas I 2
Teoria das Estruturas I 3
1.2. OBJETIVOS
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Barreira
Lateral
Vigas
Principais
Veículo
Tipo
Faixa
Secundária
Faixa
Principal
15 tf15 tf
15 tf
0,5 tf/m2
0,5 tf/m2 0,5 tf/m2
6,63,1
12,8
3,1
Projeto
q = 3,57 tf/m
14,88 tf 14,88 tf 14,88 tf
1,5 m 1,5 m Anteprojeto
q = 3,57 tf/m
44,64 tf
Teoria das Estruturas I 4
1.3. TREM-TIPO
LINHAS DE INFLUÊNCIA
b a rre ira
la te ra l
2
0 ,5 tf/m 0 ,5 tf/m0 ,5 tf/m
1 5 tf
1 5 tf
1 5 tf
2 22
1 0
Projeto
q = 5 tf/m
12 tf 12 tf 12 tf
1,5 m 1,5 m Anteprojeto
q = 5 tf/m
36 tf
VP1 VP2 VP3
4 4
10 tf
10 tf
10 tf
0,5 tf/m 0,5 tf/m0,5 tf/m2 2 2
4 4
q = 2,48 tf/m
7 tf 7 tf 7 tf
1,5 m 1,5 m
q = 2,48 tf/m
21 tf
Projeto Anteprojeto
Teoria das Estruturas I 5
LINHAS DE INFLUÊNCIA
P = 1
Exemplo:
rótula
P = 1
A s B
--
+a
b
• Ms = a → P = 1 em A
• Ms = - b → P = 1 em B
Observações:
Fases de Solução do Problema:Fases de Solução do Problema:
Teoria das Estruturas I 6
Linha de influência de um efeito elástico em uma dada seção S é a representação
gráfica ou analítica do valor desse efeito, naquela seção S, produzido por uma carga
unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.
1.4. DEFINIÇÃO
LINHAS DE INFLUÊNCIA
� A seção e o efeito estudados são fixos, a posição da carga é que varia.
� Não confundir: linha de influência x diagrama solicitante.
� Efeitos elásticos: momento fletor, esforço cortante, reação de apoio e deformação
(flecha).
� Considerar válido o Princípio da Superposição dos Efeitos.
2a FASE: Dada a estrutura, o efeito elástico E e a seção S, obter a linha de influência.
1a FASE: Definida a classe da ponte e as plantas arquitetônicas, obter o trem-tipo.
3a FASE: Conhecidos o trem-tipo e a linha de influência, obter os efeitos devido a 
esse trem-tipo. Sejam os exemplos:
P1 P2 Pi Pn
η
2
η1 η i η n
LIEs
n
s i i
i 1
E P
=
= η∑ ( Princípio da superposição dos efeitos)
LIEs
η
q
a
b
dz
qdz
A
i
( Princípio da superposição dos efeitos)
b
s i
a
b
s i
a
b
s i
a
E (qdz) , ou seja,
E q dz
E qA, pois A dz
= η
= η ∴
= = η
∫
∫
∫
Teoria das Estruturas I 7
a. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS CONCENTRADAS
b. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS DISTRIBUÍDAS
LINHAS DE INFLUÊNCIA
c. CASO GERAL (superposição dos casos 1 e 2)
n
s i i
i 1
E P q A
=
= η +∑ ( Princípio da superposição dos efeitos)
q tf/m
P tf P tf P tf
1,5 m 1,5 m
q tf/m
Observações:
a. Viga Engastada-livre
s
P = 1
z
A
x
L
• Reações de apoio
• Esforços simples
L
Efeitos Elásticos 
Teoria das Estruturas I 8
►Os princípios estudados até aqui são válidos para estruturas isostáticas 
e hiperestáticas.
► É fácil verificar que as unidades das linhas de influência de momentos
fletores são unidades de comprimento, e que as linhas de influência de
esforços cortantes, normais e reações de apoio são adimensionais.esforços cortantes, normais e reações de apoio são adimensionais.
1.5. VIGAS
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Reações de Apoio
Representação Analítica Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
Representação Analítica
RA = + 1
MA = - z
Representação gráfica
LIRA
LIMA
A
+1+1 +
A
-
L
45o
L
• Esforços Simples
Representação Analítica Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
LIVS
LIMS
Vs = 
0, para z < x
+1,para z > x
A
x
s
-
45o
(L - x)
A
+1 +1+
x
s
Ms = 
0, para z ≤ x
- (z - x), para z > x
Teoria das Estruturas I 9
LINHAS DE INFLUÊNCIA
b. Viga Simplesmente Apoiada
s
P = 1
z
A
x
L
B
L
• Reações de apoio
• Esforços simples
Efeitos Elásticos 
• Reações de Apoio
Representação Analítica Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
B
RA = + (L - z)/L
RB = z/L
LIRA
LIRB
BA
+
1
BA
+
1
Teoria das Estruturas I 10
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Esforços Simples
Representação Analítica Representação gráfica
LIVSVs = 
-z/L (= - RB), para z < x
-+ (L - z)/L (= RA), para z > x
BA
1
1
s-
+
LIMS
-+ (L - z)/L (= RA), para z > x 1
sA B
x L - x
++
Ms = 
z/L (L - x) , para z ≤ x
(L - z) x/L , para z > x
• No estudo das L.I. de esforços simples, devemos sempre examinar
separadamente as possibilidades da carga unitária estar à esquerda ou à
direita da seção em estudo.
• A L.I. de esforço cortante numa seção apresenta sempre uma
descontinuidade igual a 1 nessa seção, conforme verificado nos casos já
analisados.
Observações:
Teoria das Estruturas I 11
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Pontes rodoviárias e ferroviárias
Pontes rodoviárias e ferroviárias; pontes rolantes
Teoria das Estruturas I 12
1.6. TRELIÇAS
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Aplicações:
1. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada 
mostrada na figura a seguir.
2. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada
mostrada na figura abaixo.
Teoria das Estruturas I 13
3. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC da
ponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de
20 k e uma acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft.
LINHAS DE INFLUÊNCIA
2. DESLOCAMENTOS EM2. DESLOCAMENTOS EM
ESTRUTURAS
a. Possíveis causas dos deslocamentos (flechas e rotações) nas estruturas:
� Cargas
� Temperatura
� Erros de fabricação
� Erros de montagem
b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:
� Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de se evitar
fissuras e fraturas (concreto, plástico, madeira, etc).
� Conforto: pequenas vibrações e deflexões.
� Método das Forças: estruturas estaticamente indeterminadas (fundamentos
baseados no método do trabalhovirtual – método da carga unitária).
a. Carregamento: peso próprio + sobrecarga + acidental
Teoria das Estruturas I 14
2.1. INTRODUÇÃO
2.2. CAUSAS
DESLOCAMENTOS
Teoria das Estruturas I 15
b. Temperatura
Teoria das Estruturas I 16
DESLOCAMENTOS
1. Método da Integração-Dupla
2. Método da Viga-Conjugada
3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)
a. Equações Básicas
Hipóteses:
• Euler-Bernoulli
• Lei de Hooke
• Pequenos deslocamentos e rotações 
M
θ =
Tem-se:
(1)
M
d dx
EI
θ =
sendo M o momento atuante na seção, E o módulo de elasticidade do material e I 
o momento de inércia da seção.
Mas,
dx
dθ =
ρ
Teoria das Estruturas I 17
2.3. MÉTODOS DE ANÁLISE
2.3.1. Método da Integração-Dupla2.3.1. Método da Integração-Dupla
DESLOCAMENTOS
(2)
Então:
( )
2 2
3 / 22
1 M 1 d v dx
EI 1 dv dx
= ∴ =
ρ ρ  + 
onde v é a deflexão da viga.
( )
2 2
3 / 22
M d v dx
EI 1 dv dx
=
 + 
(3)
2
2
d v
EI M
dx
=
Condições de contorno e continuidade:
Teoria das Estruturas I 18
2
2
d v M
EIdx
=
DESLOCAMENTOS
b. Procedimento de Análise
1. Curva Elástica
2. Avaliação da Função Momento
� Em cada região que existe uma coordenada x, defina a expressão do
momento M como uma função de x.
� Sempre assuma que M atua na direção positiva quando aplicar a equação
de equilíbrio do momento.
3. Deflexão e Rotação
� Para cada integração inclua uma constante de integração.
� Essas constantes são avaliadas através das condições de bordo e continuidade.
Teoria das Estruturas I 19
� Desenhe a configuração deformada da viga (forma exagerada).
� Estabeleça as coordenadas x e v.
� O(s) sistema(s) x(x´s) deve(m) ser paralelo(s) à viga indeformada.
� No caso de cargas descontínuas, estabeleça coordenadas x´s válidas em cada 
região da viga entre as descontinuidades.região da viga entre as descontinuidades.
� O eixo positivo da deflexão v normalmente é direcionado para cima.
DESLOCAMENTOS
� Aplique a equação , que requer duas integrações.)x(Mdx/vdEI 22 =
c. Aplicações
Problema 1: Para a viga mostrada abaixo, submetida a um momento M0 na sua 
extremidade, obtenha a curva elástica. 
Solução:
i. Curva elástica (desenho aproximado)
ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre) 
0M M=
Aplique a equação
iii. Deflexão e Rotação
)x(Mdx/vdEI 22 =
22
0
0 0 1 1 22
M xd v dv
EI M EI M x C EIv C x C
dx 2dx
= ∴ = + ∴ = + +
Condições de contorno:
1
2
x 0 : dv / dx 0 C 0
x 0 : v 0 C 0
= = → =
= = → =
Teoria das Estruturas I 20
DESLOCAMENTOS
Ou seja:
0M x
EI
θ =
2
0M xv
2EI
=
Problema 2: Para a viga mostrada a seguir, pede-se avaliar o deslocamento vertical 
do ponto C. 
Solução:
i. Curva elástica (desenho aproximado) e definição do sistema de coordenadas:
ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre): 
Trecho x1: 1 1
P
M x
2
= −
Trecho x2: 2 2 2 2
P 3P
M x (x 2a) Px 3Pa
2 2
= − + − = −
Teoria das Estruturas I 21
DESLOCAMENTOS
A
B
C
P
vC
x1
x2
2a a
x2
M2
2a
x2
P/2
3P/2
A
B C
Aplique a equação
iii. Deflexão e rotação
)x(Mdx/vdEI 22 =
Trecho x1:
2
2 31 1
1 1 1 1 1 1 22
11
d v dvP P P
EI x EI x C EIv x C x C
2 dx 4 12dx
= − ∴ = − + ∴ = − + +
Trecho x2:
2
22 2
2 2 2 32
22
d v dv P
EI Px 3Pa EI x 3Pax C
dx 2dx
= − ∴ = − +
3 2
2 2 2 3 2 4
P 3
EIv x Pax C x C
6 2
= − + +
Condições de contorno:
1 1Em x 0, v 0= = 20 0 0 C= + +∴
1 1Em x 2a, v 0= =
3
1 2
P
0 (2a) C (2a) C
12
= − + +∴
2 2Em x 2a, v 0= =
3 2
3 4
P 3
0 (2a) Pa(2a) C (2a) C
6 2
= − + +∴
1 2
1 2
dv (2a) dv (2a)
dx dx
= 2 21 3
P P
(2a) C (2a) 3Pa(2a) C
4 2
− + = − +∴
1 2
Solução do sistema:
2 2 3
1 2 3 4
1 10
C Pa ; C 0; C Pa e C 2Pa
3 3
= = = = −
Para o trecho x2 (v2):
Finalmente, fazendo x2 = 3a:
2 3
3 2
2 2 2 2
P 3 Pa 10 Pa Pa
v x x x 2
6EI 2 EI 3 EI EI
= − + −
3
C
Pa
v
EI
= −
Teoria das Estruturas I 22
DESLOCAMENTOS
a. Considerações Iniciais
• Idealizado por Otto Mohr em 1860.
• Base do método: princípios da estática.
1. Esforço Cortante <=> Rotação
2. Momento Fletor <=> Deslocamento
dV
w
dx
= −
d M
dx EI
θ
=
2. Momento Fletor <=> Deslocamento
2
2
d M
w
dx
= −
2
2
d y M
EIdx
=
• Integrando... 
1. Esforço Cortante <=> Rotação
V wdx= −∫
M dx
EI
 θ = −  
 ∫
2. Momento Fletor <=> Deslocamento
M wdx dx = −
  ∫ ∫
My dxdx
EI
 =   ∫ ∫
Teoria das Estruturas I 23
2.3.2. Método da Viga-Conjugada
• Base do método: similaridade entre as equações:
DESLOCAMENTOS
Viga Real Viga-Conjugada
b. Viga Conjugada
Teorema 1: A inclinação de um ponto na viga real é igual ao esforço cortante
no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.
Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é igual ao momento fletor 
no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.
c. Condições de apoio (viga conjugada)
Viga Real Viga Conjugada
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ
∆ = 0
V
M = 0
pin pin
roller roller
θ = 0
∆ = 0
V = 0
M = 0
θ
∆
V
M 
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ
∆
V
M 
fixed
fixed
free
free
hinge
hinge
hinge roller
internal pin
internal roller
Teoria das Estruturas I 24
DESLOCAMENTOS
Viga Real Viga Conjugada
1. Viga-Conjugada
� Desenhe a viga-conjugada para a viga real.
� A viga-conjugada deve ter o mesmo comprimento da viga real.
� Se um apoio na viga real permite uma inclinação, o apoio correspondente 
na viga-conjugada deverá desenvolver um esforço cortante. 
d. Procedimento de análise
na viga-conjugada deverá desenvolver um esforço cortante. 
� Se um apoio na viga real permite um deslocamento, o apoio correspondente 
na viga-conjugada deverá desenvolver um momento fletor.
� A viga-conjugada é carregada com o diagrama M/EI da viga real.
� Esse carregamento é assumido ser distribuído sobre a viga conjugada e é
direcionado para cima quando M/EI é positivo e é direcionado para baixo
quando M/EI é negativo.
2. Equilíbrio 
� Avalie as reações nos apoios da viga-conjugada.
� Se esses valores são positivos, a inclinação acontece no sentido contrário
ao do ponteiro do relógio e o deslocamento é para cima .
Teoria das Estruturas I 25
� Usando as equações de equilíbrio, avalie o esforço cortante (V’) ou o
momento fletor (M’) na viga conjugada onde a inclinação (θθθθ) ou o
deslocamento (∆∆∆∆) deve ser determinado na viga real.
DESLOCAMENTOS
e. Aplicações
Problema 1. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto B da viga metálica 
mostrada na figura abaixo. As reações já foram calculadas. 
Assuma: E = 29 (103) ksi e I = 800 in4. 
Solução:
i. Viga-Conjugada
ii. Equilíbrio da viga-conjugada
Diagrama de corpo-livre:
2
y B'
562.5 k ft
F 0 V 0
EI
⋅
+ ↓ = ∴ + =∑
2 2
B B' 3 2 2 2 4 4 4 4
562.5 k ft 562.5 k ft
V
EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )
⋅ ⋅
θ = = − =
⋅ ⋅ ⋅
B B'V 0.00349 radθ = = −
Teoria das Estruturas I 26
DESLOCAMENTOS
A
B75 kft
5 k
5 k
15 ft15 ft
15 ft 15 ft
B’ 
75/(EI)
25 ft5 ft
VB’
MB’
562.5/(EI)
A’
3 3
B B' 3 2 2 2 4 4 4 4
14062.5 k ft 14062.5 k ft
M
EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )
⋅ ⋅
∆ = = − =
⋅ ⋅ ⋅
B B'M 0.0876 ft 1.05 in∆ = = − = −
( )
2
B ' B '
562.5 k ft
 M 0 M 025 ft
EI
⋅
+ = ∴ + =∑
Problema 2: Determine a deflexão máxima da viga metálica mostrada na figura 
abaixo. As reações já foram calculadas. 
Assuma: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 
Solução:
i. Viga-Conjugada
Teoria das Estruturas I 27
DESLOCAMENTOS
∆B = -14062.5/(EI)
θB = -562.5/(EI)B
A
A
9 m
8 kN
3 m
B
9 m
2 kN 6 kN
3 m
A’ B’
18/(EI)
9 m 3 m
ii. Equilíbrio da viga-conjugada
Diagrama de corpo-livre:
y
45 1 2xF 0 x 0 x 6.71 m (0 x 9 m) OK
EI 2 EI
 + ↓ = ∴− + = ∴ = ≤ < 
 
∑
Usando esse valor de x:
( )
45 1 12(6.71) M 0 (6.71) 6.71 M ' 06.71
EI 2 3EI
  + = ∴ − + − =    
∑
Teoria das Estruturas I 28
DESLOCAMENTOS
81/EI 27/EI 18 2xx
=
EI EI9
 
 
 
45/EI 63/EI 45/EI
V = 0
M’
3 3
máx 6 4 4 3 4 46 2
201.2 kNm 201.2 kNm
M'
EI 60(10 ) mm (1 m (10 ) mm200(10 ) kN/m
0.0168m 16.8 mm
−
∆ = = − = =
     
= − = −
Análise: A deflexão máxima da viga real ocorre no ponto onde a inclinação é
nula. Portanto, nesse mesmo ponto, o esforço cortante é nulo na viga conjugada.
Assim:
a. Considerações Iniciais
• Métodos anteriores: eficientes para vigas submetidas a carregamentos simples.
• Métodos energéticos: eficientes para vigas, treliças e pórticos sujeitos a 
carregamentos quaisquer.
• Base dos métodos energéticos: Princípio da Conservação de Energia• Base dos métodos energéticos: Princípio da Conservação de Energia
e iU U=
onde:
Ue : trabalho realizado pelas forças que atuam na estrutura.
Ui : trabalho interno (energia de deformação) armazenado quando a estrutura 
se deforma.
b. Fundamentos
Trabalho Externo: Força P
∆= P
2
1
Ue
Trabalho Externo: Força P (aplicada primeiro) + Força P’ 
Teoria das Estruturas I 29
2.3.3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)
DESLOCAMENTOS
'''
e F
2
1
PP
2
1
U ∆+∆+∆=
Trabalho Externo: Momento M
Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’ 
θ= M
2
1
Ue
Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’ 
'''
e M2
1
MM
2
1
U θ+θ+θ=
Trabalho Interno (Energia de Deformação): Força Axial S
� Material elástico linear
� Lei de Hooke: σ = Eε
� Deformação: ε = ∆/L
� Tensão: σ = S/A
Hipóteses:
Deslocamento ∆:
AE
SL
=∆
Trabalho Interno:
AE2
LS
S
2
1
U
2
i =∆=
Teoria das Estruturas I 30
DESLOCAMENTOS
Trabalho Interno (Energia de Deformação): Flexão (Momento Fletor M)
Rotação dθ (elemento diferencial):
dx
EI
M
d =θ
Trabalho Interno:Trabalho Interno:
dx
EI2
M
U
L
0
2
i ∫=
c. Princípio da Conservação da Energia
Nesse caso:
∆= P
2
1
Ue ∆= P2
Ue
EI
LP
6
1
dx
EI2
)Px(
dx
EI2
M
U
32L
0
2L
0
2
i =
−
== ∫∫
ie UU =Como, :
2 3 31 1 P L 1 PL
P
2 6 E I 3 E I
∆ = ∴ ∆ =
Teoria das Estruturas I 31
DESLOCAMENTOS
i
1
dU Md
2
= θ
d. Princípio do Trabalho Virtual (PTV)
)TVCI()TVCE(
uP δ=∆ ∑∑
Princípio do Trabalho Virtual (PTV): 1 u dL
(TVCE) (TVCI)
× ∆ =∑
Teoria das Estruturas I 32
• Baseado no princípio da conservação de energia: Ue = Ui .
• Foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717.
• Conhecido também como o Método da Carga Unitária.
• Considere uma estrutura deformável submetida a uma série de cargas P que irão
causar o aparecimento de forças internas u ao longo de toda a estrutura. Essas
forças estão relacionadas por Equações de Equilíbrio.
• Considere também que deslocamentos externos ∆∆∆∆ irão acontecer nos locais de
aplicação das cargas P e deslocamentos internos δδδδ irão ocorrer nos locais da
forças internas u. Esses deslocamentos não precisam ser elásticos, podem não
ser relacionados com as cargas, e ∆∆∆∆ e δδδδ estão relacionados por Equações de
Compatibilidade.
• Princípio do Trabalho Virtual (PTV):
Considere: Cargas reais P1, P2 e P3 aplicadas na estrutura (deseja-se avaliar ∆∆∆∆).∆
Considere agora a carga virtual P’ = 1 aplicada na direção de ∆∆∆∆Considere agora a carga virtual P’ = 1 aplicada na direção de ∆∆∆∆..
DESLOCAMENTOS
P1
P2
P3
∆
P’ = 1
A
a. Efeito: Carregamento externo
onde:
Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×
nNL
1
AE
× ∆ =∑
onde:
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
N = forças normais reais atuantes nas barras causadas pelas forças externas reais
L = comprimento de uma barra
A = área da seção transversal de uma barra
E = módulo de elasticidade
Teoria das Estruturas I 33
dLu1 ∑=θ×
Forças virtuais
dLu1
θ∑=θ×
Deslocamentos reais
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
Se a rotação θ em um determinado ponto da estrutura é para ser determinada,
um momento fletor virtual de magnitude unitária (M’ = 1) é aplicado nesse
ponto. Como conseqüência da aplicação de M’ = 1 na estrutura, forças internas
u
θθθθ
aparecerão no sistema. Assim, o PTV pode ser escrito como:
2.4. TRELIÇAS: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual
DESLOCAMENTOS
b. Efeito: Temperatura
Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×
onde:
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pela mudança de temperatura
α = coeficiente de dilatação térmica (depende do material)
L = comprimento de uma barra
∆T = variação de temperatura da barra
c. Efeito: Erros de fabricação e montagem
Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×
Ln1 ∆=∆× ∑
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelo erro de fabricação e montagem
∆L = diferença de comprimento da barra (comprimento projetado – comprimento
observado após a montagem ou fabricação da peça)
onde:
Teoria das Estruturas I 34
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
DESLOCAMENTOS
LTn1 ∆α=∆× ∑
d. Procedimento de análise
1. Forças Normais Virtuais n
• Coloque a força unitária na junta e na direção do deslocamento que se deseja 
determinar.
• Resolva a treliça para essa carga unitária atuante (método das juntas ou seções).
• Assuma as forças normais de tração como positivas. • Assuma as forças normais de tração como positivas. 
2. Forças Normais Reais N
• Resolva a treliça para as forças externas reais atuantes (método das juntas ou 
seções).
• Assuma as forças normais de tração como positivas.
3. Equação do Trabalho Virtual
LnLTn
AE
NL
n1 ∆+∆α+=∆× ∑∑∑
Teoria das Estruturas I 35
• Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento
desejado.
• Mantenha o sinal de u e N obtidos nos passos anteriores.
• No caso de atuar simultaneamente forças externas, temperatura e erros de
fabricação:
DESLOCAMENTOS
e. Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica 
mostrada na figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0.5 in2. 
Solução:
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado) 
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)
Teoria das Estruturas I 36
DESLOCAMENTOS
B C D
EF
10 ft
A
10 ft
4 k
B
4 k
C D
10 ft 10 ft
+ 0.333 k + 0.667 k + 0.667 k
0.667 k1 k0.333 k
- 0.333 k
+
 0
.3
3
3
 k
+ 1 k
C
- 4 k
+ 4 k + 4 k + 4 k
4 k4 k4 k4 k
+
 4
 k
+
 4
 k
0
iii. Aplicação da equação do PTV:
∑=∆× AE
NL
n1
Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)
AB
BC
CD
DE
FE
EB
0.333
0.667
0.667
-0.943
-0.333
-0.471
4
4
4
-5.66
-4
0
10
10
10
14.14
10
14.14
13.33
26.67
26.67
75.47
13.33
0EB
BF
AF
CE
-0.471
0.333
-0.471
1.000
0
4
-5.66
4
14.14
10
14.14
10
0
13.33
37.70
40
Σ 246.50
Assim:
Teoria das Estruturas I 37
Problema 2: Considere para a treliça mostrada abaixo, cada barra com E = 200 GPa
e A = 400 mm2. Pede-se:
a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN
for aplicada nesse mesmo ponto.
b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em
C se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em
projeto?
DESLOCAMENTOS
A
5 m
B
4 kN
C
4 m 4 m
3 m 5 m
v
2 2
C 2 3 2
nNL 246.50 k ft (246.50 k ft)(12 in/ft)
1k
AE AE (0.5 in )(29(10 ) k/in )
⋅ ⋅
⋅ ∆ = = =∑ vC 0.204 in∴∆ =
Solução:
a.
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado):
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes):
iii. Aplicação da equação do PTV:
∑=∆× AE
NL
n1
Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)
AB
AC
CB
0.667
-0.833
-0.833
2
2.5
-2.5
8
5
5
10.67
-10.41
10.41
Σ 10.67Σ 10.67
Assim:
Teoria das Estruturas I 38
DESLOCAMENTOS
v
2 2
C -6 2 6 2
nNL 10.67 kN m (10.67 kN m)
1kN
AE AE 400(10 ) m (200(10 ) kN/m )
⋅ ⋅
⋅ ∆ = = =∑
vC
0.133 mm∆ =
b.
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado):
ii. Noteque apenas a barra AB é deformada (tem o tamanho diferente daquele de 
projeto):
iii. Aplicação da equação do PTV (no caso: erro de fabricação ou montagem):
1 n L× ∆ = ∆∑
No caso:
vC
1 (0.667kN)( 0.005m)× ∆ = −
vC
0.00333 m 3.33 mm∆ = − = −
Teoria das Estruturas I 39
DESLOCAMENTOS
m005.0LAB −=∆
Problema 3: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica
mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a
barra AD é submetida a um aumento da temperatura de ∆T = +120º F.
Considere: E = 29 (103) ksi e α = 0.6 (10-5)/oF. A seção A de todas as
barras é indicada na figura.
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado):
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes):
Teoria das Estruturas I 40
DESLOCAMENTOS
6 ft
A
B
60 k
C
8 ft
D
80 k
6 ft
parede
2 in2
2 in2
2 in2
2 in2
1.5 in2
iii. Aplicação da equação do PTV (efeitos: forças externas + temperatura, barra AD):
vC
NL
1 n n T L
AE
× ∆ = + α ∆ =∑ ∑
3 3 3
5
(0.75)(120)(6)(12) (1)(80)(8)(12) ( 1.25)( 100)(10)(12)
2 2 1.529(10 ) 29(10 ) 29(10 )
(1) (120)(8)(12)0.6(10 )−
− −
= + + +
          
+   
temperatura, barra AD
in658.0
vC
=∆
temperatura, barra AD
Expressão Geral: dx
EI
mM
1
L
0
∫=∆×
Objetivo: avaliar o deslocamento ∆
onde:
1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de ∆
m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pela força 
unitária externa virtual
Teoria das Estruturas I 41
a. Energia de Deformação Virtual: Momento Fletor
2.5. VIGAS E PÓRTICOS: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual
DESLOCAMENTOS
Cargas reais 
Cargas virtuais
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças 
externas reais
E = módulo de elasticidade
I = momento de inércia da seção transversal da barra
L = comprimento da barra
Expressão Geral:
Objetivo: avaliar o deslocamento θ
dx
EI
Mm
1
L
0
∫ θ=θ×
onde:
1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de θ
m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pelo 
momento unitária externo virtualmomento unitária externo virtual
θ = rotação a ser avaliada causada pelas forças externas reais
M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças 
externas reais
E = módulo de elasticidade
I = momento de inércia da seção transversal da barra
L = comprimento da barra
Teoria das Estruturas I 42
DESLOCAMENTOS
Solução 1: Escolher coordenadas x`s para aquelas regiões que não apresentam
descontinuidade no carregamento e avaliar a integral para
cada região.
∫ dx)EI/mM(
Avaliação de
L
0
mm' dx∫
Teoria das Estruturas I 43
L
0
mm' dx∫
mm'L
1
mm'L
2
( )' '1 2
1
m Lm m
2
+
2
mm'L
3
1
mm'L
2
1
mm'L
3
( )' '1 2
1
m Lm 2m
6
+
5
mm'L
12
( )1 2
1
m' Lm m
2
+ ( )1 2
1
m' Lm 2m
6
+
( )'1 1 21 6 m 2m m ++
( )'2 1 2m Lm 2m + + 
( )1 2
1
m' L3m 5m
12
+
1
mm'L
2
1
mm'L
2
( )
1
mm' L a
6
+
1
mm'L
6
( )' '1 2
1
m L2m m
6
+
1
mm'L
4
( )'
1 1
1 6m m L b ++
( )
2m L a + + 
2
2
1 3a a
mm' 3 L
12 L L
 
+ − 
 
DESLOCAMENTOS
Casos
Cargas reais Cargas virtuais
• Forças ou momentos concentrados atuantes
• Carga distribuídas descontínuas atuantes
Solução 2: Forma TABULAR (Método TABULAR)
Os diagramas de momentos são avaliados (cargas reais e virtuais). Os
diagramas para m e M são comparados com aqueles da tabela e assim a
integral pode ser determinada através de fórmula apropriada.∫ dx)mM(
Procedimento de Análise
1. Momentos Virtuais m ou mθ
� Aplique a força unitária na viga ou pórtico na direção do deslocamento que se
deseja determinar.
� Caso se deseje determinar a rotação de um ponto, deve-se aplicar um momento
unitário nesse ponto.
� Estabeleça de forma apropriada as coordenadas x`s (objetivo: evitar� Estabeleça de forma apropriada as coordenadas x`s (objetivo: evitar
descontinuidade do carregamento).
� Resolva a viga ou pórtico para essa força ou momento unitário atuante (obtenha os
momentos internos m ou mθ).
2. Momentos Reais M
� Usando as mesmas coordenadas x`s usadas para avaliar m ou mθ, calcule os
momentos internos M causados pelas forças reais atuantes.
� Assuma a mesma convenção de sinal da etapa anterior.
3. Equação do Trabalho Virtual
� Aplique a equação do trabalho virtual para determinar. 
� O deslocamento ou a rotação desejada.
� Mantenha o sinal de m (ou mθθθθ) e M obtidos nos passos anteriores. 
∑∫=∆× dxEI
mM
1 ∑∫ θ=θ× dxEI
Mm
1ou
AplicaçõesAplicações
Problema 1: Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 
Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4. 
Teoria das Estruturas I 44
DESLOCAMENTOS
A
B
12 kN/m
10 m
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
ii. Avaliação do momento real M
iii. Aplicação da equação do PTV
dx
EI
mM
1
L
0
B ∫=∆×
( )( )
10
2
B
0
1x 6x1 dx 
EI
− −×∆ = ∴∫
( )3 2 3
B
15 10 kN m
1 kN 
EI
×∆ =
( )
( ) ( ) ( )
3 3
B 6 2 6 4 12 4 4
15 10 kNm
0.150 m 150 mm
200 10 kN/m 500(10 ) mm 10 m /mm−
∆ = = =
Problema 2: Determine a inclinação θ no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 
Considere: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 
Teoria das Estruturas I 45
DESLOCAMENTOS
xm −=
10 m
1 kN
A B
x
1 kN
xv
2x6M −=A B
12 kN/m
10 m
x
x/2
12x
xV
A
B
3 kN
5 m 5 m
C
Solução:
i. Avaliação do momento virtual mθθθθ
ii. Avaliação do momento real M
iii. Aplicação da equação do PTV
( )( ) ( ) ( )5 10L 21
B 1 2
0 0 5
3 5 x3x 1m M 0
1 dx dx dx
EI EI EI
θ
 − +−  × θ = = +∫ ∫ ∫
2
B
112.5 kNm
EI
−
θ =
Observação: Método Tabular
1. Construção dos diagramas:
Teoria das Estruturas I 46
DESLOCAMENTOS
1
m 0θ =
2
m 1θ =
A
B C
1 kNm
x1 x2
5 m x2
x1
1 kNm v2
v1
1 1M 3x= −
( )2 2M 3 5 x= − +
A
B
3 kN
C
x1 x2
x1
x2
3 kN
V2
V1
3 kN
x2
M (kNm)m (kNm)
x (m) x (m)
5 10
1
5 10
-15-15
-30
B
B
2. Da apropriada linha e coluna da tabela:
( ) ( )( )( )
10
2 3
1 2
5
1 1
m Mdx m L 112.5 kN mM M 15 30 51
2 2θ
= = = −+ − −∫
Assim:
( )
2 2
B 6 2 12 4 46 4
112.5 kN m
 0.00938 rad1 kNm
200(10 ) kN/m (10 m /mm )60(10 ) mm −
−
× θ = = −
  
Que é o mesmo valor obtido anteriormente.
200(10 ) kN/m (10 m /mm )60(10 ) mm  
Problema 3: Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. 
Considere: E = 29(103) ksi e I = 800 in4. 
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
Teoria das Estruturas I 47
DESLOCAMENTOS
A
B
80 kft
C D
6 k
10 ft 10 ft 10 ft
1 k
0.75 k 1.75 k
x1x2x3
1 k
1 1m 1x= −
2 2m 0.75x 15= −
3 3m 0.75x= −
1 k
v1 x1
x2
1.75 k
x2 +15
v2
v3
0.75 k
x3
ii. Avaliação do momento real M
iii. Aplicação da equação do PTV
( )( ) ( )( ) ( )( )15 10 10L 3 31 2 2
D 1 2 3
0 0 0 0
0.75x 80 1x1x 0 0.75x 15 7xmM
1 dx dx dx dx
EI EI EI EI
−− −
× ∆ = = + +∫ ∫ ∫ ∫
3
D
0 3500 2750 6250 k ft
EI EI EI EI
⋅
∆ = − − = −
( )
( ) ( )
33 3 3
D 3 2 4
6250 k ft 12 in / ft
0.466 in
29 10 k/in 800 in
⋅
∆ = − = −
Teoria das Estruturas I 48
DESLOCAMENTOS
1M 0=
6 k
1 k 7 k
x1x2x3
80 kft
x1
V1
2 2M 7x=
3 3M 80 1x= −
x1
x2
x3
1
V2
V3
80 kft
7 k
1 k
Problema 4. Determine a rotação θ no ponto C do pórtico metálico a seguir. 
Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. 
Solução:
i. Avaliação do momento virtual mθθθθ
Barra BC
Barra AB
Teoria das Estruturas I 49
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
M 2.5x= −
2M 7.5=
1 1M 2.5x= −
iii. Aplicação da equação do PTV
( ) ( ) ( ) ( )3L 2 21
C 1 2
0 0 0
2.5xm M 11.25 15 26.25 KN m1 7.511 dx dx dx
EI EI EI EI EI EI
θ − ⋅−× θ = = + = + =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2
C 6 2 6 4 12 4 4
26.25 KN m
0.00875 rad
200 10 KN/m 16 10 mm 10 m /mm−
⋅
θ = =
  
Problema 5: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico 
mostrado abaixo.Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. 
Teoria das Estruturas I 50
DESLOCAMENTOS
B
4 k/ft
C
8 ft
x2
A
4 k/ft
10 ft
x1
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
ii. Avaliação do momento real M
Teoria das Estruturas I 51
DESLOCAMENTOS
2 2m 1.25x=
1 k
8 ft
x2
1 k
n2
v2
1 1m 1x=
8 ft
10 ft
x1
1.25 k
1.25 k1.25 k
1 k1 k
n1
v1
2
1 1 1M 40x 2x= −
2 2M 25x=
8 ft
x2
N2
V2
N1
V1
40 k
25 k
25 k
5 ft
25 k25 k
N1
40 k
4x1
40 k
1.25 k
iii. Aplicação da equação do PTV
( )( ) ( )( )
h
10 8L 2
1 1 1 2 2
C 1 2
0 0 0
1x 40x 2x 1.25x 25xmM
1 dx dx dx
EI EI EI
−
× ∆ = = +∫ ∫ ∫
h
3
C
8333.3 5333.3 13666.6 k ft
EI EI EI
⋅
∆ = + =
Observação: Método TabularObservação: Método Tabular
1. Construção dos diagramas:
Força Virtual Força Real
2. Das apropriadas linhas e colunas da tabela:
( )( )( ) ( )( )( ) 2 35 1mMdx 10 200 10 10 200 8 8333.3 5333.3 13666.6 k ft
12 3
= + = + = ⋅∫
Que é o mesmo valor obtido anteriormente. Assim:
( ) ( )( ) ( )( )h
3
C 2 43 2 2 2 4 4 4
13666.7 k ft
0.113 ft 1.36 in
29 10 k / in 12 in / ft 600 in ft / 12 in
⋅
∆ = = =
   
   
Teoria das Estruturas I 52
DESLOCAMENTOS
10 kft
10 kft
10 ft
8 ft
10 ft
8 ft
200 kft
200 kft
∑= AE
nNL
Ua
onde:
n = forças normais virtuais internas atuantes nas barras causadas pela força 
externa virtual unitária 
N = forças normais internas atuantes nas barras causadas pelas forças reais
L = comprimento da barra
A = área da seção transversal da barra
E = módulo de elasticidade do material
dx
GA
V
KU
L
0
s ∑∫ 



 ν
=
onde:
n = forças cisalhantes virtuais internas atuantes nas barras, expressas como 
funções de x, causadas pela força externa virtual unitária 
V = forças cisalhantes internas atuantes nas barras, pressas como funções de 
x, causadas pelas forças reaisx, causadas pelas forças reais
K = fator dependente da forma da seção transversal
(K = 1.2 : seção transversal retangular)
(K = 10/9 : seção transversal circular)
(K = 1.0 : seção transversal I, perfil I)
A = área da seção transversal da barra
G = módulo de elasticidade transversal do material
Teoria das Estruturas I 53
b. Energia de Deformação Virtual: Força Axial (Esforço Normal) 
c. Energia de Deformação Virtual: Esforço Cortante
DESLOCAMENTOS
∑= GJ
TLt
Ut
onde:
t = momentos de torção virtuais internos atuantes nas barras causados pela 
força externa virtual unitária 
T = momentos de torção internos atuantes nas barras, causados pelas forças 
reais
L = comprimento da barra
J = momento de inércia polar da seção transversal
(J = πc4/2, onde c é o raio da seção transversal)
G = módulo de elasticidade transversal do material
Efeito: Diferença de temperatura ao longo da seção transversal do perfil
Teoria das Estruturas I 54
d. Energia de Deformação Virtual: Torção
d. Energia de Deformação Virtual: Temperatura
Efeito: Variação uniforme de temperatura ∆T
DESLOCAMENTOS
LTnUTemp ∆α=∑
T
L
∆α
dx
c
T
mU
L
0
m
Temp ∑∫
∆α
=
c
dxT
d m
∆α
=θ
dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dx
δx
δx
c
c
M
∆Tm
∆Tm
1 2
m
T T
T
2
+
=
Rotação 
positiva
dθ
onde:
m = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa 
unitária
α = coeficiente de dilatação térmica
∆Tm = diferença entre a temperatura média e a temperatura do topo ou base 
da seção da viga
c = metade da altura da seçãoc = metade da altura da seção
L = comprimento da barra
Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico
mostrado abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4,
e A = 80 in2 para ambos os membros.
Teoria das Estruturas I 55
DESLOCAMENTOS
B
4 k/ft
C
8 ft
x2
A
4 k/ft
10 ft
x1
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
ii. Avaliação do momento real M
Teoria das Estruturas I 56
DESLOCAMENTOS
2 2m 1.25x=
1 k
8 ft
x2
1 k
n2
v2
1 1m 1x=
8 ft
10 ft
x1
1.25 k
1.25 k1.25 k
1 k1 k
n1
v1
1.25 k
2
1 1 1M 40x 2x= −
2 2M 25x=
8 ft
x2
N2
V2
N1
V1
40 k
25 k
25 k
5 ft
25 k25 k
N1
40 k
4x1
40 k
iii. Aplicação da equação do PTV
� Deformação de Flexão:
( )
( ) ( )
2 3 3 3 3
b 3 2 4
mM 13666.6 k ft 12 in / ft
U dx 1.357 in k
EI 29 10 k / in 600 in
⋅
= = = ⋅
  ∫
� Deformação Axial:
� Deformação Cisalhante:
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )a 2 3 2 2 3 2
nNL 1.25k 25k 120 in 1 k 0 96 in
U 0.001616 in k
AE 80 in 29 10 k / in 80 in 29 10 k / in
= = + = ⋅
      
∑
( )
( ) ( )
2
3 2 2
540 k ft 12 in / ft
0.00675 in k
12 10 k / in 80 in
⋅
= = ⋅
  
( ) ( ) ( )( )10 8L 1
s 1 2
0 0 0
1.2 1 40 4xV 1.2 1.25 25
U K dx dx dx
GA GA GA
−υ − − 
= = + = 
 ∫ ∫ ∫
hC
1 k 1.357 in k 0.001616 in k 0.00675 in k× ∆ = ⋅ + ⋅ + ⋅
hC
1.37 in∆ =
Problema 2: A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas
temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e
a da base é 160º F, determine o deslocamento vertical no meio da viga
devido a esse gradiente de temperatura. Considere: α = 6.5(10-6)/oF.
Teoria das Estruturas I 57
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
80º F
160º F
10 ft
10 in
1
m x
2
=
1/2 lb 1/2 lb
1 lb
5 ft 5 ft
x x x
1/2 lb
v
ii. Aplicação da equação do PTV
� Temperatura média no centro da viga:
F120
2
80160
T o
oo
m =
+
=
Assim:
F4080120T 0oom =−=∆
( ) ( ) ( )
v
60 inL 6 o o
m
C
0 0
1 2 6.5 10 F 40 Fm T
1 lb dx 2 dx
c 5 in
−α∆
× ∆ = =∫ ∫
vC
0.0936 in∆ =
Teoria das Estruturas I 58
DESLOCAMENTOS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Teoria das Estruturas I 59
 
 
Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008. 
Soriano, H.L., Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007. 
Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto 
Alegre, 1994. 
Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 2, 12ª edição, Editora Globo, Porto 
Alegre, 1994.