AULA 05 TEORIA DAS ESTRUTURAS II - 06

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Professora: Fernanda Fonseca Lima
MBA em Estruturas e Fundações - IPOG
Mestranda no PPGINDE (Linha de Pesquisa de Estruturas) - UFPA
Açailândia -MA
Outubro/2020
INTRODUÇÃO AO DESLOCAMENTOS EM 
ESTRUTURAS
SUMÁRIO
6.1. Introdução
6.2. Causas
6.3. Métodos de Análise
6.3.1. Método da Integração-Dupla
6.3.2. Método da Viga-Conjugada
6.3.3. Método do Trabalho Virtual (Princípio do Trabalho Virtual - PTV)
8.4. Treliças: Aplicação do PTV
8.5. Vigas e Pórticos: Aplicação do PTV
6. Deslocamentos em Estruturas
6.1. INTRODUÇÃO
a. Possíveis causas dos deslocamentos (FLECHAS E ROTAÇÕES) 
nas estruturas:
 Cargas
 Temperatura
 Erros de fabricação
 Erros de montagem
b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:
 Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de se 
evitar fissuras e fraturas (concreto, plástico, madeira, etc)
 Conforto: pequenas vibrações e deflexões
 Método das Forças: estruturas estaticamente indeterminadas
(fundamentos baseados no MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA)
a. Carregamento: peso próprio + sobrecarga + acidental
6.2. CAUSAS
b. Temperatura
1. Método da Integração-Dupla
2. Método da Viga-Conjugada
3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)
6.3. MÉTODOS DE ANÁLISE
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
7
6.3.1. Método da Integração-Dupla
a. Equações Básicas
Hipóteses:
• Euler-Bernoulli
• Lei de Hooke
• Pequenos deslocamentos e rotações 
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
8
(1)
M
d dx
EI
 
sendo M o momento atuante na seção, E o módulo de elasticidade do material e I 
o momento de inércia da seção.
Tem-se:
Mas,
dx
d 

(2)
Então:
 
2 2
3 / 2
2
1 M 1 d v dx
EI
1 dv dx
  
    
onde v é a deflexão da viga.
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
9
 
2 2
3 / 2
2
M d v dx
EI
1 dv dx

  
(3)
2
2
d v M
EIdx

2
2
d v
EI M
dx

Condições de contorno e continuidade Atenção !!!
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
10
b. Procedimento de Análise
1. Curva Elástica
 Desenhe a configuração deformada da viga (forma exagerada).
 Estabeleça as coordenadas x e v
 O(s) sistema(s) x(x´s) deve(m) ser paralelo(s) à viga indeformada
 No caso de cargas descontínuas, estabeleça coordenadas x´s válidas em cada 
região da viga entre as descontinuidades
 O eixo positivo da deflexão v normalmente é direcionado para cima
2. Avaliação da Função Momento
 Em cada região que existe uma coordenada x, defina a expressão do momento 
M como uma função de x
 Sempre assuma que M atua na direção positiva quando aplicar a equação de 
equilíbrio do momento
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
11
3. Deflexão e Rotação
 Aplique a equação , que requer duas integrações
 Para cada integração inclua uma constante de integração
 Essas constantes são avaliadas através das condições de bordo e continuidade
)x(Mdx/vdEI 22 
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
12
c. Aplicações
Problema 1: Para a viga mostrada abaixo, submetida a um momento M0 na sua 
extremidade, obtenha a curva elástica. 
Solução:
i. Curva elástica (desenho aproximado)
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
13
ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre) 
0M M
Aplique a equação
iii. Deflexão e rotação
)x(Mdx/vdEI 22 
22
0
0 0 1 1 22
M xd v dv
EI M EI M x C EIv C x C
dx 2dx
       
Condições de contorno:
1
2
x 0 : dv / dx 0 C 0
x 0 : v 0 C 0
   
   
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
14
Ou seja:
0M x
EI
 
2
0M xv
2EI

Problema 2: Para a viga mostrada a seguir, pede-se avaliar o deslocamento vertical 
do ponto C. 
A
B C
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
15
Solução:
i. Curva elástica (desenho aproximado) e definição do sistema de coordenadas
ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre) 
Trecho x1: 1 1
P
M x
2
 
Trecho x2:
2 2 2 2
P 3P
M x (x 2a) Px 3Pa
2 2
     
A
B
C
P
vC
x1
x2
2a a
M2
2a
x2
P/2
3P/2
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
16
Aplique a equação
iii. Deflexão e Rotação
)x(Mdx/vdEI 22 
Trecho x1:
2
2 31 1
1 1 1 1 1 1 22
11
d v dvP P P
EI x EI x C EIv x C x C
2 dx 4 12dx
          
Trecho x2:
2
22 2
2 2 2 32
22
d v dv P
EI Px 3Pa EI x 3Pax C
dx 2dx
     
3 2
2 2 2 3 2 4
P 3
EIv x Pax C x C
6 2
   
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
17
Condições de contorno:
1 1Em x 0, v 0  20 0 0 C  
1 1Em x 2a, v 0 
3
1 2
P
0 (2a) C (2a) C
12
   
2 2Em x 2a, v 0 
3 2
3 4
P 3
0 (2a) Pa(2a) C (2a) C
6 2
   
1 2
1 2
dv (2a) dv (2a)
dx dx

2 2
1 3
P P
(2a) C (2a) 3Pa(2a) C
4 2
    
Solução do sistema:
2 2 3
1 2 3 4
1 10
C Pa ; C 0; C Pa e C 2Pa
3 3
    
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
18
Para o trecho x2 (v2):
Finalmente, fazendo x2 = 3a:
2 3
3 2
2 2 2 2
P 3 Pa 10 Pa Pa
v x x x 2
6EI 2 EI 3 EI EI
   
3
C
Pa
v
EI
 
6.3.2. Método da Viga-Conjugada
a. Considerações Iniciais
• Idealizado por Otto Mohr em 1860 
• Base do método: princípios da estática
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
19
1. Esforço Cortante  Rotação
2. Momento Fletor  Deslocamento
• Base do método: similaridade entre as equações
dV
w
dx
 
d M
dx EI


2
2
d M
w
dx
 
2
2
d y M
EIdx

Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
20
• Integrando... 
1. Esforço Cortante  Rotação
2. Momento Fletor  Deslocamento
V wdx 
M
dx
EI
 
    
 
M wdx dx  
   
M
y dxdx
EI
 
    
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
Teorema 1: A inclinação de um ponto na viga real é igual ao esforço cortante
no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente
Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é igual ao momento fletor 
no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente
Viga Real Viga-Conjugada
21
b. Viga Conjugada
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
pin pin
roller roller
fixed
fixed
free
free
hinge
hinge
hinge roller
internal pin
internal roller
Viga Real Viga Conjugada

D  0
V
M = 0

D = 0
V
M = 0
 = 0
D = 0
V = 0
M = 0

D
V
M 

D = 0
V
M = 0

D = 0
V
M = 0

D
V
M 
22
c. Condições de apoio (viga conjugada)
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
23
Viga Real Viga Conjugada
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
1. Viga-Conjugada
 Desenhe a viga-conjugada para a viga real
 A viga-conjugada deve ter o mesmo comprimento da viga real
 Se um apoio na viga real permite uma inclinação, o apoio correspondente 
na viga-conjugada deverá desenvolver um esforço cortante
 Se um apoio na viga real permite um deslocamento, o apoio correspondente 
na viga-conjugada deverá desenvolver um momento fletor
 A viga-conjugada é carregada com o diagrama M/EI da viga real
 Esse carregamento é assumido ser distribuído sobre a viga conjugada e é
direcionado para cima quando M/EI é positivo e é direcionado para baixo
quando M/EI é negativo
24
d. Procedimento de análise
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
25
2. Equilíbrio 
 Avalie as reações nos apoios da viga-conjugada
 Usando as equações de equilíbrio, avalie o esforço cortante (V’) ou o
momento fletor (M’) na viga conjugada onde a inclinação () ou o
deslocamento (D) deve ser determinado na viga real
 Se esses valores são positivos, a inclinação acontece no sentido contrário
ao do ponteiro do relógio e o deslocamento é para cima
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
26
e. Aplicações
Problema 1. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto B da viga metálica 
mostrada na figura abaixo. As reações já foram calculadas. 
Assuma: E = 29 (103) ksi e I = 800 in4. 
Solução:
i. Viga-Conjugada
A
B
15 ft15 ft
75 kft
5 k
5 k
15 ft 15 ft
B’ 
75/(EI)
A
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
27
ii. Equilíbrio da viga-conjugada
Diagrama de corpo-livre:
2
y B'
562.5 k ft
F 0 V 0EI

     
2 2
B B' 3 2 2 2 4 4 4 4
562.5 k ft 562.5 k ft
V
EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )
 
    
  
B B'V 0.00349 rad   
25 ft5 ft
562.5/(EI)
VB’
MB’
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
28
3 3
B B' 3 2 2 2 4 4 4 4
14062.5 k ft 14062.5 k ft
M
EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )
 
D    
  
B B'M 0.0876 ft 1.05 inD     
 
2
B' B'
562.5 k ft
 M 0 M 025 ft
EI

    
DB = -14062.5/(EI)
B = -562.5/(EI)B
A
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
Problema 2: Determine a deflexão máxima da viga metálica mostrada na figura 
abaixo. As reações já foram calculadas. 
Assuma: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 
29
Solução:
i. Viga-Conjugada
A
9 m
8 kN
2 kN 6 kN
3 m
B
A’ B’
18/(EI)
9 m 3 m
Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
30
ii. Equilíbrio da viga-conjugada
Diagrama de corpo-livre:
Análise: A deflexão máxima da viga real ocorre no ponto onde a inclinação é
nula. Portanto, nesse mesmo ponto, o esforço cortante é nulo na viga conjugada.
Assim:
45/EI 63/EI
81/EI 27/EI
45/EI
V = 0
M’
18 2xx
=
EI EI9
 
 
 
y
45 1 2x
F 0 x 0 x 6.71 m (0 x 9 m) OK
EI 2 EI
 
           
 

Teoria das Estruturas I
DESLOCAMENTOS
31
Usando esse valor de x:
3 3
máx 6 4 4 3 4 46 2
201.2 kNm 201.2 kNm
M'
EI 60(10 ) mm (1 m (10 ) mm200(10 ) kN/m
0.0168 m 16.8 mm

D     
     
   
 
45 1 12(6.71)
 M 0 (6.71) 6.71 M' 06.71
EI 2 3EI
  
       
  

6.3.3. Método do Trabalho Virtual
(Método da Carga Unitária)
a. Considerações Iniciais
• Outros métodos: eficientes para vigas submetidas a carregamentos simples
• MÉTODOS ENERGÉTICOS: eficientes para vigas, treliças e pórticos sujeitos a 
carregamentos quaisquer
• Base dos métodos energéticos: PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
e iU =U
Em que:
Ue : trabalho externo realizado pelas forças que atuam na estrutura
Ui : trabalho interno (energia de deformação) armazenado quando a estrutura 
se deforma
b. Fundamentos
Trabalho Externo: Força P
e
1
U = P Δ
2
Trabalho Externo: Força P (aplicada primeiro) + Força F’ 
' ' '
e
1 1
U = P Δ+PΔ + F Δ
2 2
Trabalho Externo: Momento M
e
1
U = Mθ
2
Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’ 
' ' '
e
1 1
U = Mθ+Mθ + M θ
2 2
Trabalho Interno (Energia de Deformação): Força Axial S
 Material elástico linear
 Lei de Hooke: s = Ee
 Deformação: e = D/L
 Tensão: s = S/A
Deslocamento D:
AE
SL
D
Trabalho Interno:
2
i
1 S L
U = SΔ =
2 2AE
Hipóteses:
Trabalho Interno (Energia de Deformação): Flexão (Momento Fletor M)
Rotação d (elemento diferencial):
dx
EI
M
d 
Trabalho Interno:
i
1
dU Md
2
 

L 2
i
0
M
U = dx
2E I
c. Princípio da Conservação da Energia
Nesse caso:
D P
2
1
Ue
EI
LP
6
1
dx
EI2
)Px(
dx
EI2
M
U
32L
0
2L
0
2
i 

 
ie UU Como, :
2 3 31 1 P L 1 PL
PΔ = ∴Δ=
2 6 E I 3 E I
d. Princípio do Trabalho Virtual (PTV)
• Baseado no princípio da conservação de energia: Ue = Ui
• Foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717
• Conhecido também como o Método da Carga Unitária (MCU)
• Considere uma estrutura deformável submetida a uma série de cargas P que 
irão causar o aparecimento de forças internas u ao longo de toda a estrutura. 
Essas forças estão relacionadas por Equações de Equilíbrio
• Considere também que deslocamentos externos D irão acontecer nos locais de 
aplicação das cargas P e deslocamentos internos d irão ocorrer nos locais da 
forças internas u. Esses deslocamentos não precisam ser elásticos, não 
precisam ser relacionados com as cargas, e D e d estão relacionados por
Equações de Compatibilidade
• Princípio do Trabalho Virtual (PTV):
 
( TVE ) ( TVI )
P Δ = u δ
Considere: Cargas reais P1, P2 e P3 aplicadas na estrutura (deseja-se avaliar D)
Princípio do Trabalho Virtual (PTV):  1× Δ = u dL
(TVE) (TVI)
P1
P2
D P3
Considere agora a carga virtual P’ = 1 aplicada na direção de D
P’ = 1
A
Se a rotação  em um determinado ponto da estrutura é para ser determinada,
um momento fletor virtual de magnitude unitária (M’ = 1) é aplicado nesse
ponto. Como consequência da aplicação de M’ = 1 na estrutura, forças internas
u aparecerão no sistema. Assim, o PTV pode ser escrito como:
 θ1 θ = u dL×
Forças virtuais
Deslocamentos reais
6.4. TRELIÇA (Aplicação do PTV)
a. Efeito: Carregamento Externo
b. Efeito: Temperatura
c. Efeito: Erros de Fabricação e Montagem
a. Efeito: Carregamento Externo
Expressão Geral:
dLn1 D
 
 
 
n
NL
1× Δ =
AE
Em que:
D = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
1 = força externa virtual unitária aplicada na direção de D
n = forças internas normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
N = forças normais internas reais atuantes nas barras causadas pelas forças externas reais
L = comprimento da barra
A = área da seção transversal da barra
E = módulo de elasticidade
b. Efeito: Temperatura
Expressão Geral:
dLn1 D
 1× Δ = n α ΔT L
Em que:
D = deslocamento a ser avaliado causado pela mudança de temperatura
1 = força externa virtual unitária aplicada na direção de D
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
a = coeficiente de dilatação térmica (depende do material)
L = comprimento de uma barra
DT = variação de temperatura da barra
c. Efeito: Erros de Fabricação e Montagem
Expressão Geral:
dLn1 D
 1× Δ = n ΔL
D = deslocamento a ser avaliado causado pelo erro de fabricação e montagem
1 = força externa virtual unitária aplicada na direção de D
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
DL = diferença de comprimento da barra
(comprimento projetado – comprimento observado após a montagem/fabricação da peça)
Em que:
d. Procedimento de análise
1. Forças Normais Virtuais n
• Coloque a força unitária na junta e na direção do deslocamento que se deseja 
determinar
• Resolva a treliça para essa carga externa unitária atuante (MEN ou MS)
• Assuma as forças normais de tração como positivas 
2. Forças Normais Reais N
• Resolva a treliça para as forças externas reais atuantes (MEN ou MS)
• Assuma as forças normais de tração como positivas
3. Equação do Trabalho Virtual
• Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento desejado
• Mantenha o sinal de u e N obtidos nos passos anteriores
• No caso de atuar simultaneamente forças externas, temperatura e erros de 
fabricação: 
   
 
 
 
  
NL
1× Δ = n + n α ΔT L + n ΔL
AE
3. Equação do Trabalho Virtual
   
 
 
 
  
NL
1× Δ = n + n α ΔT L + n ΔL
AE
forças externas
temperatura
erros de fabricação/montagem
e. Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica 
mostrada na figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0.5 in2. 
A
10 ft
4 k
B
4 k
C
D
EF
10 ft 10 ft
10 ft
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)
- 4 k
+ 4 k + 4 k + 4 k
4 k4 k4 k4 k
+
 4
 k
+
 4
 k
0
+ 0.333 k + 0.667 k + 0.667 k
0.667 k1 k0.333 k
- 0.333 k
+
 0
.3
3
3
 k
+ 1 k
C
Solução:
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 k) posicionada na junta C e 
na direção do deslocamento vertical procurado) 
iii. Aplicação da equação do PTV:
NL
1 n
AE
 
 D   
 

Barra n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)
AB
BC
CD
DE
FE
EB
BF
AF
CE
0.333
0.667
0.667
-0.943
-0.333
-0.471
0.333
-0.471
1.000
4
4
4
-5.66
-4
0
4
-5.66
4
10
10
10
14.14
10
14.14
10
14.14
10
13.33
26.67
26.67
75.47
13.33
0
13.33
37.70
40
S 246.50
Assim:
v
2 2
C 2 3 2
nNL 246.50 k ×ft ( 246.50 k ×ft) ( 12 in /ft)
1k×Δ = = =
AE AE ( 0.5 in ) ( 29( 10 ) k /in )
vC
Δ =0.204 in
Problema 2: Considere para a treliça mostrada abaixo, cada barra com
E = 200 GPa e A = 400mm2. Pede-se:
a. Deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN for 
aplicada nesse mesmo ponto;
b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em C 
se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em projeto?
A
5 m
B
4 kN
C
4 m 4 m
3 m 5 m
Solução:
a. Deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN
for aplicada nesse mesmo ponto.
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado): 
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes):
iii. Aplicação da equação do PTV:
NL
1 n
AE
 
 D   
 

Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)
AB
AC
CB
0.667
-0.833
-0.833
2
2.5
-2.5
8
5
5
10.67
-10.41
10.41
S 10.67
Assim:
v
2 2
C -6 2 6 2
nNL 10.67 kN m (10.67 kN m)
1kN
AE AE 400(10 ) m (200(10 ) kN/m )
 
 D   
vC
0.133 mmD 
b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em C 
se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em projeto ?
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado):
ii. Note que apenas a barra AB é deformada (tem o tamanho diferente daquele de 
projeto):
m005.0LAB D
iii. Aplicação da Equação do PTV (no caso: erro de fabricação ou montagem)
  D  D1 n L
No caso:
vC
1 (0.667kN)( 0.005m) D  
D    
vC
0.00333 m 3.33 mm
Problema 3: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica 
mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a 
barra AD é submetida a um aumento da temperatura de DT = +120º F. 
Considere: E = 29 (103) ksi e a = 0.6 (10-5)/oF. A área da seção 
transversal (A) de todas as barras é indicada na figura. 
A
B
60 k
C
8 ft
D
80 k
6 ft
parede
2 in2
2 in2
2 in2
2 in2
1.5 in2
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado) 
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)
iii. Aplicação da equação do PTV (efeitos: forças externas + temperatura, barra AD)
 
 
 
 
 vC
NL
1× Δ = n + n α ΔT L
AE
3 3 3
5
(0.75)(120)(6)(12) (1)(80)(8)(12) ( 1.25)( 100)(10)(12)
2 2 1.529(10 ) 29(10 ) 29(10 )
(1) (120)(8)(12)0.6(10 )
 
   
          
   
in658.0
vC
D
temperatura, barra AD
6.5. VIGAS E PÓRTICOS (Aplicação do PTV)
a. Energia de Deformação Virtual (EDV): Momento Fletor
b. EDV: Força Axial (Esforço Normal) 
c. EDV: Esforço Cortante
d. EDV: Torção
e. EDV: Temperatura
Expressão Geral:
L
0
mM
1 m d dx
EI
 D    
Objetivo: avaliar o deslocamento D
a. Energia de Deformação Virtual: Momento Fletor
Cargas reais 
Cargas virtuais
Expressão Geral: dx
EI
mM
1
L
0
D
Em que:
D = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de D
m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pela força 
unitária externa virtual
M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças 
externas reais
E = módulo de elasticidade
I = momento de inércia da seção transversal da barra
L = comprimento da barra
Expressão Geral:
Objetivo: avaliar a rotação 
dx
EI
Mm
1
L
0


Em que:
 = rotação a ser avaliada causada pelas forças externas reais
1 = momento unitário virtual aplicado na viga ou pórtico na direção de 
m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pelo 
momento unitário virtual
M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças 
externas reais
E = módulo de elasticidade
I = momento de inércia da seção transversal da barra
L = comprimento da barra
Casos
Solução 1: Escolher coordenadas x’s para aquelas regiões que não apresentam
descontinuidade no carregamento e avaliar a integral para
cada região
 dx)EI/mM(
Solução 2: Forma TABULAR (Método TABULAR)
Os diagramas de momentos são avaliados (cargas reais e virtuais). Os
diagramas para m e M são comparados com aqueles da tabela e assim a
integral pode ser determinada através de fórmula apropriada dx)mM(
Cuidado !!!
Cargas reais Cargas virtuais
• Forças ou momentos concentrados atuantes
• Carga distribuídas descontínuas atuantes
L
0
mm' dx
mm'L
1
mm'L
2
 ' '1 2
1
m Lm m
2

2
mm'L
3
1
mm'L
2
1
mm'L
3
 ' '1 2
1
m Lm 2m
6

5
mm'L
12
 1 2
1
m' Lm m
2
  1 2
1
m' Lm 2m
6

 '1 1 21 6 m 2m m 
 '2 1 2m Lm 2m   
 1 2
1
m' L3m 5m
12

1
mm'L
2
1
mm'L
2
 
1
mm' L a
6

1
mm'L
6
 ' '1 2
1
m L2m m
6

1
mm'L
4
 '
1 1
1 6m m L b 
 
2m L a   
2
2
1 3a a
mm' 3 L
12 L L
 
  
 
Avaliação de
L
0
mm' dx
Procedimento de Análise
1. Momentos Virtuais m ou m
 Aplique a força unitária na viga ou pórtico na direção do deslocamento que se 
deseja determinar
(Caso se deseje determinar a rotação de um ponto, deve-se aplicar
um momento unitário nesse ponto)
 Estabeleça de forma apropriada as coordenadas x’s
(objetivo: evitar descontinuidade do carregamento)
 Resolva a viga ou pórtico para essa força ou momento unitário atuante
(obtenha os momentos internos m ou m) 
2. Momentos Reais M
 Usando as mesmas coordenadas x’s usadas para avaliar m ou m, calcule os 
momentos internos M causados pelas forças reais atuantes
 Assuma a mesma convenção de sinal da etapa anterior
3. Equação do Trabalho Virtual
 Aplique a equação do trabalho virtual para determinar 
o deslocamento ou a rotação desejada
 Mantenha o sinal de m (ou m) e M obtidos nos passos anteriores 
D dxEI
mM
1

 dx
EI
Mm
1
ou
Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga metálica mostrada 
abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4. 
A
B
12 kN/m
10 m
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
xm 
10 m
1 kN
A B
x
1 kN
x
v
ii. Avaliação do momento real M
2x6M A B
12 kN/m
10 m
x
x/2
12x
xV
iii. Aplicação da equação do PTV
dx
EI
mM
1
L
0
B D
  
10
2
B
0
1x 6x
1 dx 
EI
 
D  
 
D  
3 2 3
B
15 10 kN m
1 kN
EI
 
    
D  
BΔ =0.150 m=150 mm
3 3
B 6 2 6 4 12 4 4
15 10 kNm
200 10 kN / m 500(10 ) mm 10 m /mm
Problema 2: Determine a inclinação  no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 
Considere: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4.
A
B
3 kN
5 m 5 m
C
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
1
m 0 
2
m 1 
A
B C
1 kNm
x1 x2
5 m x2
x1
1 kNm v2
v1
ii. Avaliação do momento real M
1 1M 3x 
 2 2M 3 5 x  
A
B
3 kN
C
x1 x2
x1
x2
3 kN
V2
V1
3 kN
5 m
iii. Aplicação da equação do PTV
      
   
        

 
L
B
0
5 5
21
B 1 2
0 0
m M
1 dx
EI
3 5 x3x 10
1 dx dx
EI EI
2
B
112.5 kNm
EI

 
Observação: Método Tabular
1. Construção dos diagramas:
2. Da apropriada linha e coluna da tabela:
     
10
2 3
1 2
5
1 1
m Mdx m L 112.5 kN mM M 15 30 51
2 2
      
M (kNm)m (kNm)
x (m) x (m)
5 10
1
5 10
-15
-30
Assim:
 
2 2
B 6 2 12 4 46 4
112.5 kN m
 0.00938 rad1 kNm
200(10 ) kN/m (10 m /mm )60(10 ) mm


    
  
Que é o mesmo valor obtido anteriormente.
3 kN
5 m
B
1 kNm
x1 x2
L
0
mm' dx
mm'L
1
mm'L
2
 ' '1 2
1
m Lm m
2

2
mm'L
3
1
mm'L
2
1
mm'L
3
 ' '1 2
1
m Lm 2m
6

5
mm'L
12
 1 2
1
m' Lm m
2
  1 2
1
m' Lm 2m
6

 '1 1 21 6 m 2m m 
 '2 1 2m Lm 2m   
 1 2
1
m' L3m 5m
12

1
mm'L
2
1
mm'L
2
 
1
mm' L a
6

1
mm'L
6
 ' '1 2
1
m L2m m
6

1
mm'L
4
 '
1 1
1 6m m L b 
 
2m L a   
2
2
1 3a a
mm' 3 L
12 L L
 
  
 
Avaliação de
L
0
mm' dx
Problema 3: Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. 
Considere:E = 29(103) ksi e I = 800 in4. 
A
B
80 kft
C D
6 k
10 ft 10 ft 15 ft
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
1 k
0.75 k 1.75 k
x1x2x3
1 1m 1x 
1 k
v1 x1
1 k
2 2m 0.75x 15 
x2
1.75 k
x2 +15
v2
3 3m 0.75x 
v3
0.75 k
x3
ii. Avaliação do momento real M
6 k
1 k 7 k
x1x2x3
80 kft
1M 0
x1
V1
2 2M 7x
x2
V2
7 k
3 3M 80 1x 
x3 V3
80 kft
1 k
iii. Aplicação da equação do PTV
         
 D        
10 10 10L
3 31 2 2
D 1 2 3
0 0 0 0
0.75x 80 1x1x 0 0.75x 15 7xmM
1 dx dx dx dx
EI EI EI EI

D      
3
D
0 3500 2750 6250 k ft
EI EI EI EI
 
   

D   
D  
33 3 3
D 3 2 4
D
6250 k ft 12 in / ft
29 10 k/in 800 in
0.466 in
A
B
80 kft
C D
6 k
10 ft 10 ft 10 ft
Problema 4. Determine a rotação  no ponto C do pórtico metálico a seguir. 
Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. 
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
Barra BC
Barra AB
ii. Avaliação do momento real M
1 1M 2.5x 
2M 7.5
iii. Aplicação da equação do PTV
           
    

   
  
3L 2
1
C 1 2
0 0 0
C
2
C
2.5xm M 1 7.51
1 dx dx dx
EI EI EI
11.25 15
1
EI EI
26.25 KN m
1
EI
     

 
  
2
C 6 2 6 4 12 4 4
26.25 KN m
200 10 KN / m 16 10 mm 10 m /mm
Cθ =0.00875 rad
Problema 5: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico 
mostrado abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. 
A
B
4 k/ft
C
8 ft
10 ft
x1
x2
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
1 1m 1x
2 2m 1.25x
1 k
8 ft
10 ft
x2
x1
1 k
1.25 k
1.25 k1.25 k
1 k1 k
n2
v2
n1
v1
1.25 k
ii. Avaliação do momento real M
2
1 1 1M 40x 2x 
2 2M 25x
8 ft
5 ft
x2
25 k25 k
N2
V2
N1
V1
40 k
4x1
40 k
40 k
25 k
25 k
A
B
4 k/ft
C8 ft
10 ft
x1
x2
iii. Aplicação da equação do PTV
     
 D  

 D   

 
h
h
L
C
0
10 82
1 1 1 2 2
C 1 2
0 0
mM
1 dx
EI
1x 40x 2x 1.25x 25x
1 dx dx
EI EI
D   
hC
8333.3 5333.3
EI EI
h
3
C
13666.6 k×ft
Δ =
E I
2. Das apropriadas linhas e colunas da tabela
       
2 3
5 1
mMdx = 10 200 10 + 10 200 8
12 3
=8333.3+5333.3 =13666.6 k ×ft
Que é o mesmo valor obtido anteriormente. Assim:
       

   
   
h
h
3
C 2 43 2 2 2 4 4 4
C
13666.7 k×ft
Δ =
29 10 k /in 12 in /ft 600 in ft / 12 in
Δ =0.113 ft =1.36 in
Observação: Método Tabular
1. Construção dos diagramas
Força Virtual
10 kft
10 kft
10 ft
8 ft
Força Real
10 ft
8 ft
200 kft
200 kft
L
0
mm' dx
mm'L
1
mm'L
2
 ' '1 2
1
m Lm m
2

2
mm'L
3
1
mm'L
2
1
mm'L
3
 ' '1 2
1
m Lm 2m
6

5
mm'L
12
 1 2
1
m' Lm m
2
  1 2
1
m' Lm 2m
6

 '1 1 21 6 m 2m m 
 '2 1 2m Lm 2m   
 1 2
1
m' L3m 5m
12

1
mm'L
2
1
mm'L
2
 
1
mm' L a
6

1
mm'L
6
 ' '1 2
1
m L2m m
6

1
mm'L
4
 '
1 1
1 6m m L b 
 
2m L a   
2
2
1 3a a
mm' 3 L
12 L L
 
  
 
Avaliação de
L
0
mm' dx
b. Energia de Deformação Virtual: Força Axial (Esforço Normal) 
a
nNL
U =
AE
Em que:
n = forças normais virtuais internas atuantes nas barras causadas pela força 
externa virtual unitária 
N = forças normais internas atuantes nas barras causadas pelas forças reais
L = comprimento da barra
A = área da seção transversal da barra
E = módulo de elasticidade do material
c. Energia de Deformação Virtual: Esforço Cortante
 
 
 

L
s
0
νV
U = K dx
GA
Em que:
v = forças cisalhantes virtuais internas atuantes nas barras, expressas como 
funções de x, causadas pela força externa virtual unitária 
V = forças cisalhantes internas atuantes nas barras, expressas como funções 
de x, causadas pelas forças reais
K = fator dependente da forma da seção transversal
(K = 1.2 : seção transversal retangular)
(K = 10/9 : seção transversal circular)
(K = 1.0 : seção transversal I, perfil I)
A = área da seção transversal da barra
G = módulo de elasticidade transversal do material
d. Energia de Deformação Virtual: Torção
t
tTL
U =
GJ
Em que:
t = momentos de torção virtuais internos atuantes nas barras causados pela 
força externa virtual unitária 
T = momentos de torção internos atuantes nas barras, causados pelas forças 
reais
L = comprimento da barra
J = momento de inércia polar da seção transversal
(J = pc4/2, onde c é o raio da seção transversal)
G = módulo de elasticidade transversal do material
e. Energia de Deformação Virtual: Temperatura
Efeito: Variação uniforme de temperatura DT
 TempU = n α ΔT L
Efeito: Diferença de temperatura ao longo da seção transversal do perfil
(
L
m
Temp
0
αΔT
U = m dx)
c
c
dxT
d m
Da

dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dx
dx
dx
c
c
M
DTm
DTm
1 2
m
T T
T
2


Rotação 
positiva
d
Em que:
m = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa 
unitária
a = coeficiente de dilatação térmica
DTm = diferença entre a temperatura média e a temperatura 
do topo ou base da seção da viga
c = metade da altura da seção
L = comprimento da barra
Efeito: Diferença de temperatura ao longo da seção transversal do perfil

L
m
Temp
0
αΔT
U = m dx
c
Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico
mostrado abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4,
e A = 80 in2 para ambos os membros.
A
B
4 k/ft
C
8 ft
10 ft
x1
x2
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
1 1m 1x
2 2m 1.25x
1 k
8 ft
10 ft
x2
x1
1 k
1.25 k
1.25 k1.25 k
1 k1 k
n2
v2
n1
v1
1.25 k
ii. Avaliação do momento real M
2
1 1 1M 40x 2x 
2 2M 25x
8 ft
5 ft
x2
25 k25 k
N2
V2
N1
V1
40 k
4x1
40 k
40 k
25 k
25 k
iii. Aplicação da equação do PTV
 Deformação de Flexão:
 Deformação Axial:
 Deformação Cisalhante:
 
   

   
  

2 3 3 3 3
b 3 2 4
mM 13666.6 k ft 12 in / ft
U dx 1.357 in k
EI 29 10 k / in 600 in
   
 
   
 a 2 3 2 2 3 2
nNL 1.25k 25k 120 in 1 k 0 96 in
U 0.001616 in k
AE 80 in 29 10 k / in 80 in 29 10 k / in
    
      

 
   
2
3 2 2
540 k ft 12 in / ft
0.00675 in k
12 10 k / in 80 in

  
  
        
    
   
10 8L
1
s 1 2
0 0 0
1.2 1 40 4xV 1.2 1.25 25
U K dx dx dx
GA GA GA
hC
1 k 1.357 in k 0.001616 in k 0.00675 in k D      
hC
1.37 inD 
Problema 2: A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas
temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e
a da base é 160º F, determine o deslocamento vertical no meio da viga
devido a esse gradiente de temperatura. Considere: a = 6.5(10-6)/oF.
80º F
160º F
10 ft
10 in
Solução:
ii. Aplicação da equação do PTV
 Temperatura média no centro da viga:
o o
o
m
160 +80
T = =120 F
2
i. Avaliação do momento virtual m
1
m x
2

1/2 lb 1/2 lb
1 lb
5 ft 5 ft
x x x
1/2 lb
v
80º F
160º F
10 ft
10 in
Assim:
F4080120T 0oom D
   
aD
 D  
  
 D     
    


v
v
L
m
C
0
60 in 6 o o
C
0
T
1 lb m dx
c
x 6.5 10 F 40 F
1 lb 2 dx
2 5 in v
C 0.0936 inD 
80º F
160º F
10 ft
10 in
c
dxT
d m
Da

dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dx
dx
dx
c
c
M
DTm
DTm
1 2
m
T T
T
2


Rotação 
positiva
d