EP1_HM_2022_2_gabarito (2)

Prévia do material em texto

Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
História da Matemática 
Exercícios Programados 1 (EP1) – Gabarito 
 
Prezado(a) Aluno(a): 
 Este é o gabarito do primeiro EP deste curso. Nele, você encontrará os padrões de respostas 
dos exercícios/problemas propostos. 
 Porém, recomendamos fortemente que este gabarito não seja conferido antes de que você 
tenha tentado resolver os exercícios, por conta própria e/ou em grupos de estudos, após a leitura do 
material disponibilizado semanalmente pelo Coordenador da disciplina. 
Este treinamento é importante para o aprendizado dos conteúdos e, principalmente, para a 
obtenção de sucesso nas Avaliações Presenciais (AP’s). 
Para cada Ep teremos um fórum de dúvidas. Participem! 
Desejamos a todos bons estudos e sucesso! 
Equipe de História da Matemática. 
 
Exercício 1 - Os dois autores dos textos complementares (Byers e D’Ambrosio) respondem à 
questão "por que estudar História da Matemática?", segundo suas concepções de Matemática e de 
História da Matemática. 
a) Com base nessas leituras, explicite o que pensam os autores a respeito. 
Solução: 
Ubiratan D’Ambrosio 
Para D’Ambrosio, o estudo da História da Matemática possibilita, sobretudo, o entendimento de que 
a Matemática é uma produção cutural. Ao destacar para quem e para que serve a História da 
Matemática, o professor cita algumas das principais razões para realizar o estudo. Segundo o pesquisador, o 
estudo da história da matemática serve para alunos, professores, pais e público em geral. Em seguida, ao 
justificar o “Para quê?” apresenta algumas das principais finalidades: 
 
1. para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos 
os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como 
tal diversificada nas suas origens e na sua evolução; 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
2. para mostrar que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de 
matemática desenvolvidas pela humanidade; 
 
3. para destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da Antiguidade 
mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século 
XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio; 
4. e desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se 
tornou indispensável em todo o mundo em consequência do desenvolvimento científico, 
tecnológico e econômico. 
 
Vitor Byers 
Para Byers não há dúvidade que a “matemática possui uma unidade inerente”, e que “a unidade 
matemática está na sua história”. Nesse sentido, segundo o autor, o estudo da História da 
Matemática permite “lançar luz” sobrea natureza do conhecimento matemático. 
Em vista das dificuldades associadas ao uso da história na aula de matemática estamos 
aparentemente diante de uma escolha. Deve-se admitir que - além do folclore, das 
curiosidades históricas adicionais e de algumas anedotas – a História da Matemática é 
inútil para o professor, ou adotar uma visão diferente do papel da história nos níveis 
pré-universitário da educação matemática. Tanto quanto entendo do assunto, a principal 
razão para estudar a História da Matemática é trazer alguma luz à natureza da própria 
matemática. 
 
 
b) Apresente o que você pensa a esse respeito. 
Solução : 
Sua opinião. Procure expressá-la tendo como referência os pensamentos dos autores citados ou de 
outros autores que julgue necessário, sempre citando as fontes de sua pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 2 – Na figura a seguir observa-se a representação de um número no sistema egípcio. Qual 
é esse número? 
 
Solução: 
Observe a seguir os símbolos utilizados pelo sistema de numeração egípcio. 
 
Consultando a figura, o número será: 
(10.000 + 10.000) + 1.000 + (100 + 100) + (10+10+10) + (1+1 + 1+ 1+1 + 1) = 21.236 
 
Exercício 3 – Como escreveríamos o número 3.568.327 no sistema egípcio? 
Solução: 
 
ou 
 
Consultando a figura, o número: 
(1.000.000 + 1.000.000 + 1.000.000) + 
(100.000 + 100.000 + 100.000 + 100.000 + 100.000) + 
(10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000) + 
(1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000) + 
(100 + 100 +100) + (10 + 10) + (1 + 1 + 1+ 1+1 + 1 + 1) = 3.568.327 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 4 – Aprendemos, através do papiro de Rhind ( ~ 1650 antes de Jesus Cristo – Rhind 
sobrenome do egiptólogo escocês Alexander Rhind que o encontrou em 1858), que os antigos 
egípicios expressavam todas as frações próprias como somas de frações unitárias distintas; isto é, 
frações da forma 1/n, n ∈ 𝕫+ \ {1}. As únicas excessões eram para as frações 2/3 e 3/4 que tinham 
símbolos próprios. Eles escreviam, por exemplo. 
!
!
 = !
!
 + !
!"
 
!
!
 = !
!
 + !
!!
 + !
!"#
 
Em 1880, o matemático inglês James Sylvester provou que qualquer fração própria a/b, com 
mdc(a,b) = 1, pode ser escrita como uma soma de grações unitárias distintas. Ele mostrou que: 
!
!
 = !
!
 + !"!!
!"
, 
onde 1/q é a maior fração unitária menor do que a/b e (aq – b)/bq é uma fração própria que, por sua 
vez, pode ser escrita como uma soma de frações unitárias distintas (caso ela não seja uma fração 
unitária). 
Expresse 19/20 como uma soma de frações unitárias distintas. 
 
Solução: 
Observe que mdc (19,20) = 1. Para decompor 
!"
!" 
 como uma soma de frações unitárias distintas, 
usaremos o algoritmo de Sylvester mais de uma vez. 
1ª decomposição: 
Pelo algoritmo, precisamos encontrar o menor inteiro q tal que 
19
20 >
1
𝑞 ⇒ 𝑞 = 2. 
Assim: 
!"
!"
= !
!
+ !" .!!!"
!" .!
= !
!
+ !" 
!"
= !
! 
 + !
!"
. 
 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
2ª decomposição: 
Agora usaremos o algoritmo de Sylvester para decompor 
!
!"
. Vejamos que: 
9
20 >
1
𝑞 ⇒ 𝑞 = 3. 
Logo: 
!
!"
= !
!
+ ! .!!!"
!" .!
= !
!
+ ! 
!"
. 
 
3ª decomposição: 
7
60 >
1
q ⇒ q = 9. 
Logo: 
!
!"
= !
!
+ ! .!!!"
!" .!
= !
!
+ ! 
!"#
 = !
!
+ ! 
!"#
. 
Assim, temos que: 
19
20 = 
1
2+
9
20 = 
1
2+ 
1
3+ 
7
60 = 
1
2+ 
1
3+ 
1
9 + 
1
180 . 
 
Exercício 5 – Expressar 3/7 como uma soma de frações com numerador 1. 
Solução: 
Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 3/7. 
1. Inverto 3/7 obtendo 7/3;2. Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida ( como 2 < 7/3 < 3, o menor inteiro maior 
do que 7/3 é 3); 
3. 1/3 < 3/7 é a maior fração com numerador 1 menor que 3/7; 
4. Faço 3/7- 1/3 = 2/21; 
5. Repito o algoritmo para 2/21. 
(a) Inverto 2/21 obtendo 21/2; 
(b) 10 < 21/2 < 11, 0 maior inteiro é 11) 
(c) 1/11 < 2/21é a maior fração com numerador 1 menor que 2/21; 
(d) Faço 2/21 – 1/11 = 1/231, logo 2/21 = 1/11 + 1/231; 
(e) 3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231. 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 6 – Qual a maior fração? 58/87 ou 5/8? Resolva este problema escrevendo as duas frações 
como somas de frações unitárias e diga qual seria uma vantagem da representação egípcia em relação 
à nossa. 
Solução: 
Em primeiro lugar, o menor inteiro maior do que 87/58 é 2. Assim: 
87
58 < 2 ⇒ 
58
87 >
1
2 
 
Então, 
58
87− 
1
2 = 
29
174 = 
1
6 
Daí: 
58
87 = 
1
2+ 
1
6 
Agora, decomponhamos 5/8 como soma de frações simples. 
8
5 < 2 ⇒ 
5
8 < 
1
2 
Então, 
 
5
8− 
1
2 = 
1
8 ⇒
5
8 = 
1
2+
1
8 
Daí: 
58
87 = 
1
2+ 
1
6 
5
8 = 
1
2+ 
1
8 
 
Ora, como !
!
 = !
!
 e !
!
 < !
!
, segue-se que !"
!"
 > !
!
 . 
 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 7 – Multiplique, usando o método egípcio, 7 por 5. Ou seja, tome 5 vezes o número 7. 
Solução: 
Vimos que multiplicar 7 por 5 é tomar 5 vezes o número 7, e não tomar 7 vezes o número 5. Hoje, 
quando escrevemos 7 ⨯ 5, desaparece totalmente a assimetria existente ao escrevermos “multiplique 
7 por 5”. Isto não quer dizer que os egípicios não conhecessem a propriedade comutativa do produto, 
eles a utilizavam para simplificar cálculos. Mas o algoritimo que empregavam para multiplicar 
estava baseado na distinção entre multiplicando e multiplicador. 
Os egípcios procediam por duplicações sucessivas do multiplicando, por exemplo 7. 
∖1 7 
 2 14 
∖4 28 
Após fazer isso, marcavam com um símbolo, “ ∖” , os números da coluna da esquerda que somados 
dão 5, e somavam os números correspondentes na coluna da direita. No nosso caso, a resposta é 35. 
Este processo egípcio repousa sobre o resultado geral, bem conhecido, que todo número natural pode 
ser escrito como soma da potências de 2. Ou seja, se n ∊ ℕ, então existe k, número natural, tal que, 
𝑛 = 𝑎!2! = 𝑎!2! + 𝑎!2! + 𝑎!2! ⋯ 𝑎!2!
!
!
 
 
Exercício 8 – Multiplique, como os egípcios, 27 por 15, ou seja, tome 15 vezes o número 27. 
Solução: 
∖1 27 
∖2 54 
∖4 108 
∖8 216 
16 432 
1 + 2 + 4 + 8 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 27 + 54 + 108 + 216 = 405. 
Uma maneira mais rápida de resolve este problema, também usada peloas egípcios, é a seguinte: 
1 27 
∖10 270 
∖5 135 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Da segunda para terceira linha, os números de cada coluna foram divididos por 2, então: 
10 + 5 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 270 +135 = 405. 
 
 
Exercício 9 – Considere o seguinte problema do papiro de Ahmes, que apresenta como os egípcios 
efetuavam divisões, transformando-as no problema inverso da multiplicação . 
Divida 19 por 8, ou seja, por quanto se deve multiplicar 8 a fim de obter 19. 
Temos 
 1 8 
∖2 16 :2 
 2 :4 4 :8 onde 2 significa a fração unitária 1/2 
∖4 2 onde 4 significa a fração unitária 1/4 
∖8 1 onde 8 significa a fração unitária 1/8 
Ora, 19 = 16 + 2 + 1. 
Logo, considerando os valores correspondentes na tabela, tem-se que 19:8 é 2 + !
!
+ !
!
 = 2+ 4+ 8 
ou simplesmente 248. 
Agora é com você! Divida, como os egípcios, 27 por 15; ou seja, por quanto devo multiplicar 15 para 
obter 27? 
 
Solução: 
Podemos proceder como segue: 
∖1 15 
∖1/2 72 
∖1/10 12 
∖2/10 3 
12 10 5 27 
Assim, 15 deve ser multiplicado por 12 5 10 para obtermos 27. 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 10: O “método da falsa posição” é uma forma muito antiga de resolver problemas. Suas 
origens perdem-se no tempo, tendo surgido, independentemente, em várias civilizações da 
Antiguidade como uma tentativa de resolver problemas ligados ao comércio, à cobrança de impostos, 
etc. Consideremos, por exemplo, o problema: 
“Uma quantidade e seu quarto adicionado torna-se 15. Qual é esta quantidade?” 
 
Simbolizando por x a quantidade desconhecida podemos encontrar a solução deste problema em 
termos algébricos resolvendo a seguinte equação linear: 
𝑥 + !
!
= 15 x = 12. 
Resolvendo esta equação pelo “método da falsa posição”, o escriba escolhia um valor para a 
quantidade que, por exemplo, “evitasse” a fração 1/4 (este tipo de escolha não é obrigatório). 
Assim, 4 seria a resposta. E, nesse caso, teria 4 + 4 ∙ (1/4) = 5. 
Entretanto, como o resultado esperado é 15, a posição inicial assumida para a incógnita (4) é falsa. 
Tendo em vista que o resultado obtido (5) precisa ser multiplicado por 3 para chegar à 15, na mesma 
proporção deve ser multiplicada a falsa posição 4, isto é, 
x = 3 ∙ 4 = 12. 
 
a) Resolva a equação !
!
+ !
!
= 35, usando o método da falsa posição. 
Solução: 
Assim como o escriba, vamos “evitar” as frações 1/3 e 1/2 simultaneamente. 
Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um múltiplo 
comum de 2 e 3, por exemplo: o m.m.c. (3,2) = 6 . 
Substituindo na equação a posição inicial (6) temos: 
6(1/3) + 6(1/2) = 2 + 3 = 5 (*) 
Como o resultado esperado é 35 o resultado que obtivemos em (*) deve ser multiplicado por 7 para 
obtermos 35. 
Sendo assim: x = 6 ∙ 7 = 42. 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
b) Por que o método da falsa posição não pode ser usado para resolver a equação 𝑥! + !
!
= 84? 
Apresente uma justificativa. 
Solução: 
Neste caso o método não pode ser utilizado, pois a equação possui um fator quadrático e, por este 
motivo, o valor procurado não será proporcional ao valor inicial. 
De outro modo. Considere as equações dos exemplos (a) e (b) reescritas na forma f(x) = k. 
No primeiro exemplo, f(x) = !
!
+ !
!
 é uma função linear, sendo k = 35. 
Note que para a posição inicial x0, tem-se f(x0) = 5. 
O que se quer então é o valor de xk tal que f(xk) = 35. 
Como f é linear, tem-se que: 
f(xk): xk :: f(x0): x0, 
isto é, os valores f(x) são proporcionais aos respectivos valores de x (f(x) = α.x), o que nos permite 
usar a “regra de três” para encontrar o valor desconhecido xk,que é a solução da equação f(xk) = 35. 
Entretanto, no exemplo b, a função f é dada pela expressão f(x) = 𝑥! + !
!
, que não é uma função 
linear. 
Em tal situação não temos a proporcionalidade que nos permite aplicar a regra da falsa posição. 
 
c) Para que tipo de equação, podemos aplicar o método da falsa posição? 
Solução: 
Como discutido no item anterior, podemos aplicar o método da falsa posição para equações lineares. 
 
Exercício 11 – Considere o seguinte problema do papiro de Ahmes: 
Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade? 
Resolva o problema usando o método da falsa posição. 
 
Solução: 
O problema equivale a resolver a equação 
𝑥 + 
𝑥
7 = 19 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de 7 é 1. 
Somando 7 a !
!
 de 7 obtemos 8. 
7+ 
1
7 ×7 = 8 
Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que 𝑥 + !
!
 = 19 
Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples: 
Quantidade Resultado 
7 8 
x 19 
Portanto, 
7
𝑥 = 
8
19 ⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 = 
133
8 . 
 
Exercício 12 – Resolva, usando o método da falsa posição, 
(a) O problema 26 do papiro de Ahmes: Uma quantidade e seu ¼ é igual a 15. Qual é a 
quantidade? 
(b) Problema 30 do papiro de Ahmes: Qual a quantidade de (2/3) +(1/10) são iguais a 10? 
Solução: 
(a) “Tome o 4 e então, se !
!
 dele é 1 o total é igual a 1”. Ahmes começa, neste caso, por dar uma 
estimativa para x, atribuindo o valor 4 de modo a “anular” a fração. Depois obtém 4 + 1 = 5. 
“Divida-se 15 por 5 resulta em 3”. Para encontrar o valor real tem que encontrar o número n que 
multiplicado pelo valor estimado de 15, ou seja, 5n = 15, n = !"
!
 = 3. 
“Multiplique-se 3 por 4 e obtém-se 12”. O resultado pretendido é o produto da multiplicação de n 
pela estimativa de x. Logo a quantidade pretendida é 12. 
 
(b) Resolvamos este problema usando a regra da falsa posição. 
Se a resposta do problema fosse 30, teríamos que: !
!
 ×30+ !
!"
 ×30 = 23 
 O valor 30 foi escolhido para eliminar os denominadores, simplificando assim os cálculos. 
 Mas 2/3 + 1/10 da quantidade são iguais a 10. Assim, devemos multiplicar os dois membros de 
 cálculo acima por 10/23, e a quantidade será portanto, 
30 × !"
!"
= !""
!"
= 13+ 23 , onde 23 representa 1/23. 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 13 – Os egípcios, para calcular a área K de um quadrilátero qualquer usavam a fórmula
22
dbcaK +⋅+= , em que a, b, c e d representam as medidas dos lados consecutivos do quadrilátero. 
Discuta a validade da fórmula acima. Será que em alguma circunstância ela é verdadeira? 
Solução: 
A fórmula egípcia para calcular a área de um quadrilátero K é exata quando o quadrilátero for um 
retângulo. (Note que o quadrado está inclusivo neste caso.) Sendo assim, a=c e b=d e temos: 
k = !!
!
 . !! 
!
 = a . b ( “ base vezes altura “) 
 
Exercício 14 - Os egípcios assumiam que a área de um círculo é 
igual à área de um quadrado de lado igual a 8/9 do diâmetro. Ao usar 
a aproximação acima, os egípcios estavam utilizando um valor 
aproximado para o valor de π. Determine esse valor. 
Solução: 
Considere D o diâmetro do círculo. Considerando o valor da área do círculo dada pelo processo de 
aproximação egípcio tem-se: 
 
 
Exercício 15 - Usando o procedimento descrito no exercício anterior, os egípcios resolveram o 
seguinte problema: 
Problema 50 do Papiro de Rhind - Um campo circular tem 9 khet de diâmetro. Qual é a sua área? 
Solução: Tira 1/9 do seu diâmetro, isto é 1 khet. O resto é 8 khet. Multiplica 8 por 8; o que faz 64. 
Por isso, contém 64 setat de terra 1. 
 
Apresente uma explicação para a solução do problema acima. 
 
 
 
 
1 1 khet é a unidade de comprimento, enquanto que 1 setat é 1 khet ao quadrado (unidade de área). 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Solução: 
Observe que, para calcular a área do campo circular, o escriba está usando o processo de 
aproximação descrito no exercício anterior. 
Área do círculo = !
!
 𝐷 𝑥 !
!
 𝐷 
 Área do quadrado cujo lado é igual a !
!
 do diâmetro. 
De fato, 8 é !
!
 do diâmetro que mede 9 khet. 
Logo, a área é: 
8x8 = 64 khet2 onde 1 khet2 =1 setat. 
 
Exercício 16 – Resolva o Problema 9 de uma tábua do período Hitita (1.650 a 1.200 a.C.) 
Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 GAR abaixo 
do que deveria estar se estivesse perfeitamente direita. A que distância da parede está a sua parte de 
baixo? 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
 
Solução: 
Inicialmente devemos interpretar “perfeitamente direita” como perpendicular ao solo. 
A figura 1 representa à situação inicial e a figura 2 a situação em que o topo da trave deslocou 
verticalmente de 0,1 GAR. 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
 Figura 1 
 
 Figura 2 
 
Usando o Teorema de Pitágoras(*), tem-se que a parte de baixo está a 0,3 GAR da parede. 
(*) Não se sabe se os egípcios tinham o conhecimento e uma demonstração do Teorema de Pitágoras. 
Entretanto, eles tinham conhecimento da existência de alguns ternos pitagóricos: (3,4,5) era um deles. 
 
 
Exercício 17: Resolva o seguinte exercício presente no papiro de Rhind: 
Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética 
e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual a soma das duas menores. 
Solução: 
Seja a o termo central da progressão aritmética e r a sua razão: PA(a-2r, a-r, a, a+r, a+2r). 
Pelo enunciado, tem-se que: 
 
 a− 2r+ a− r+ a+ a+ r + a+ 2r = 100
!
!
a+ a+ r+ a+ 2r = 𝑎 − 2𝑟 + 𝑎 − 𝑟 => 
5𝑎 = 100
3𝑎 + 3𝑟 = 14𝑎 − 21𝑟 
24r = 11a = 220=> r = !!"
!"
 = !!
!
 . 
 
Logo as “partes” são: 20 – !!
!
 ; 20 - !!
!
 ; 20 ; 20 + !!
!
 ; 20 + !!
!
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Exercício 18 – Com base nas informações abaixo complete a tabela em nosso sistema decimal, 
representados, na base 60. 
 
Cuneiforme 
 
Leitura dos símbolos em nosso sistema 
 
Valor decimal 
 
1;15 = 1⨯ 60 + 15 7544;26;40 = 44⨯3600 + 26⨯60 + 40 160000 
 
Observação: Usaremos o símbolo “;” (ponto e vírgula) como separador dos “algarismos” tanto da 
parte inteira quanto para parte fracionária; e o símbolo “,” (vírgula) para separação entre a parte 
inteira e a parte fracionária. 
 
Cuneiforme 
 
Leitura dos símbolos em nosso sistema 
 
Valor decimal 
 1;40= 1 ⨯ 60 + 40 
 
16;43 =16 ⨯ 60 + 43 
 305470 
 
Solução: 
 
Cuneiforme 
 
Leitura dos símbolos em nosso sistema 
 
Valor decimal 
 
1;40= 1 ⨯ 60 + 40 
100 
 
16;43 =16 ⨯ 60 + 43 
1003 
 
1;24;51;10 = 1⨯216000 + 24⨯3600 + 
51⨯ 60 + 10 
 
305470 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Exercício 19 – Verifique, trabalhando no sistema sexagesimal dos babilônios, que o produto de 
37;28 por 19 é igual a 11;51;52. 
 
Solução: 
Em primeiro lugar, resolvemos o problema utilizando as propriedades comutativa e associativa do 
sistema de numeração sexagesimal. 
Temos que 
37;28 = 37 ⨯ 601 + 28 ⨯ 600. 
19 = 19 ⨯ 600. 
Então, 
37;28 ⨯ 19 = (37 ⨯ 601 + 28 ⨯ 600 ) ⨯ 19 ⨯ 600. 
(37 ⨯ 601 + 28 ⨯ 600) ⨯ (19 ⨯ 600) = 
= (28 ⨯ 600) ⨯ (19 ⨯ 600) + (37 ⨯ 601) ⨯ (19 ⨯ 600)= 
= (28 ⨯ 19 ) ⨯ 600 + (37 ⨯ 19) ⨯ 601 = 
= 532 ⨯ 600 + 703 ⨯ 601 = 
= (8 ⨯ 601 + 52) ⨯ 600 + (11 ⨯ 601 + 43) ⨯ 601= 
= 8 ⨯601 ⨯ 600 + 52 ⨯ 600 + 11 ⨯ 601 ⨯ 601 + 43 ⨯ 601. 
 
Agrupando em relação às potências decrescentes de 60, temos: 
37;28 ⨯ 19 = 11 ⨯ 602 + 51 ⨯ 601 + 52 ⨯ 600 = 11;51;52. 
 
Exatamente como no caso do sistema decimal, podemos dispor estes cálculos no seguinte algoritmo, 
que nos evita ter que utilizar explicitamente as propriedades associativa e comutativa do produto. Ele 
reduz o cálculo a uma operação mecânica sem complicações. 
 
602 601 600 
vão 11 vão 8 
 37 28 
 19 
11 51 52 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Obs: 28 x 19 = 532 = 8 x 60 + 52 (dá 52 e vão “8” grupos de 60) 
37 x 19 = 703 = 11 x 60 + 43 (dá 43 e vão “11” grupos de 602); 
Em 43 grupos de 60 temos que somar ainda “8” grupos de 60, resultando em 51 grupos de 60. 
 
Exercício 20 - Os números a seguir estão representados no sistema de numeração egípcio: 
 
 e 
a) Quais são esses números? 
Solução: 
143 e 1500. 
 
b) Determine as propriedades que você conhece a respeito do sistema de numeração egípcio. 
Solução: 
Trata-se de um sistema de numeração decimal e não-posicional. Os algarismos são 
representados por hieróglifos. 
 
c) Represente os números no sistema de numeração babilônico. 
Solução: 
143 = 2x 60 + 23 => 
 
1500 = 25 x 60 + 0 => 
O registro do número 1500 é ambíguo, podendo ser representado por 25 x 60 ou simplesmente 25. 
Para superar esta ambiguidade alguns escribas colocavam um “pontinho” para sinalizar a ausência de 
dígito em uma determinda ordem. 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
d) Determine as propriedades que você conhece a respeito do sistema de numeração babilônico. 
Solução: 
Trata-se de um sistema de numeração sexagesimal posicional. Para representar os dígitos utilizavam: 
 para indicar 10 unidades e para indicar uma unidade. 
 
 
Exercício 21 – Verifique os resultados das operações indicadas, usando o sistema sexagesimal dos 
babilônios, sem converter os números para a base 10. 
(a) 59;27 + 59;40 = 1;59;7. 
(b) 48;32 ⨯ 3 = 2;25; 36. 
(c) 48;32 ⨯ 3,2 = 2;27;13,4. 
(d) 2;1;1 – 1;2;2 = 58;59. 
(e) 23;18 : 3 = 7;46. 
(f) 1,30 : 3 = 0,30. 
Solução: 
(a) 
602 601 600 
vai 1 vai 1 
 59 27 
 59 40 
1 59 7 
Obs: 
40 + 27 = 67 = 1x60 +7 (isto é, vai “1” grupo de 60) 
59x60 +59x60 + “1”x60 (que foi) = 119x60 = (60+59)x60 = 1x602+59x60 (isto é vai “1”x602) 
Logo, obtém-se: 1x602+59x60 +7, isto é: 1;59;7 
 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
(b) 
602 601 600 
vão 2 vai 1 
 48 32 
 3 
2 25 36 
Obs: 
3x32 = 96 = 1x60 + 36 (isto é, 36 e vai “1” grupo de 60) 
[3x48]x60 = 144x60. Mas com o “1” grupo de 60 que foi, tem-se 145x60 = [2x60 +25] = 
2x602+25x60 (isto é, 25 e vão “2” grupos de 602) 
 
(c) 
602 601 600 60-1 
 48 32 
 3 2 
 1 37 4 
2 25 36 
2 27 13 4 
 
Obs: para simplificar omitiremos a potência 600 (600=1) 
(48x60 + 32) x (3+2x60-1) = (48x60 + 32) x (2x60-1) + (48x60 + 32) x (3) 
(48x60 + 32) x (2x60-1) 
(32) x (2x60-1) = 64 x 60-1 = (60+4) x 60-1 = 1 +4x 60-1 (isto é, 4 e vai um grupo de 600) 
(48x60) x (2x60-1) = 96... temos que somar ainda o “1” que foi ... = 97 = 1x60 + 37 
Este produto parcial dá 1x60 + 37 + 4x60-1 (I) 
(48x60 + 32) x (3) 
32x3 = 96 = 1x60 +36 (isto é, 36, e vai “1” grupo de 60) 
(48x60) x (3) = 144x60... temos que somar ainda o “1” grupo de 60 que foi ... = 145x60 = 
(2x60+25)x60 = 2x602+25x60 (isto é, 25, e vão “2” grupos de 602) 
Este produto parcial dá 2x602+25x60+36 (II) 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Para finalizar a propriedade distributiva precisamos fazer (I) + (II) 
1;37,4 +2;25;36 
602 601 600 60-1 
 vai 1 
 1 37 4 
2 25 36 
2 27 13 4 
 
 
 
 
(d) 
 
602 601 600 
2 1 1 
1 2 2 
 
 
Obs.: Usaremos aqui a técnica do “pedir emprestado”... neste caso, quando pedimos “1” emprestado 
d ordem seguinte “vem 60”. Como de 1 não podemos tirar 2, precisaremos emprestado. Observe 
602 601 600 
2 0 61 
1 2 2 
 59 
 
602 601 600 
1 60 61 
1 2 2 
 58 59 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
602 601 600 
1 60 61 
1 2 2 
0 58 59 
 
2;1;1 – 1;2;2 = 2;0;61 – 1;2;2 = 1;60;61 – 1;2;2 = 0;58;59 
 
(e) 23;18 : 3 = 7;46 
602 601 600 
 23 18 : 3 
 2 18 7x60 
 120+18 
 138 46 
 0 
 7x60+46 
 
Obs.: (23x60 +18x600) : 3 = (21x60 +2x60 +18) : 3 = 7x60 + (2x60 +18):3 = 7x60 + (138):3 = 
7x60 + 46x600 
 
(f) 
601 600 60-1 
 1 30 : 3 
 1 30 0, 30 
 1x60+30 
= 90 
 
 0 
 600 60-1 
 
Obs.: 
 
1,30 : 3 = 1 + 30
60
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
: 3 = 90
60
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
: 3 =
90 :3( )
60
 = 30
60
 = 0,30 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroRua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Exercício 22 – Trabalhando no sistema sexagesimal, 
(a) Ache o inverso multiplicativo de 45. 
(b) Divida 30 por 45. 
 
Solução: 
(a) Observe que 
1
45 = 
4
45 ⨯ 4 = 
4
180 = 
4 
60 ⨯ 3 = 
4 ⨯ 20
60 ⨯ 3 ⨯ 20 = 
4
60 ⨯ 
20
60 
Mas 
4
60 ⨯
20
60 = 
80
60! = 
60
60! + 
20
60! = 
1
60+
20
60! 
Assim, no sistema sexagesimal, 
1
45 = 0,1; 20 
(b) Temos que 
30 ÷ 45 = 30 ⨯ !
!"
= 30 ⨯ !
!"
+ !"
!"!
= !"
!"
+ !""
!"!
= !"
!"
+ !"
!"
= !"
!"
 . 
Logo, 
30
45 = 
40
60 
 
que é representado no sistema sexagesimal por 0,40. 
 
 
Exercício 23 – Escreva, no sistema de base 60, o número representado em nossa base decimal por 
234,572. 
Solução: 
Em primeiro lugar, observe que 
234,572 = 234 + 0,572. 
Assim, acharemos as representações sexagesimais de 234 e de 0,572, respectivamente, e as 
somaremos. 
A maior potência de 60 menor do que 234 é 60. Assim, dividindo 234 por 60 obtemos: 
234 = 3 ⨯ 60 + 54. 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Para acharmos a representação sexagesimal de 0,572 procedemos da seguinte maneira. 
Devemos determinar coeficientes a – 1 , a – 2, a – 3, ... , tais que 
0,572 = !!!
!"
+ !!!
!"!
+ !!!
!"!
+⋯ 
Multiplicando ambos os membros por 60 temos. 
60 ⨯ 0,572 = 60 ⨯ ( 𝑎!! + 
!!!
!"
+ !!!
!"!
+⋯) 
Assim, 
34,320 = 𝑎!! + 
!!!
!"
+ !!!
!"!
+⋯ ⇒ 𝑎!! = 34 
E, portanto, 
0,320 = !!!
!"
+ !!!
!"!
+⋯ . 
Então, multiplicando ambos os membros de por 60,temos 
19,20 = a – 2 + 
!!!
!"
+⋯ ⇒ 𝑎!! = 19 
Repetindo o procedimento seguido até agora, temos: 
0,20 = !!!
!"
+⋯ ⇒ 60 ⨯ 0,20 = 60 ⨯ (!!!
!"
+⋯ ) ⇒ 12 = 𝑎!! 
Como neste ultimo passo não obtivemos uma parte “decimal”, vemos que o processo foi concluído e 
podemos dizer que o desenvolvimento sexagesimal de 234,572 é 3;54,34;19;12. 
 
Exercício 24 – Por que há mais frações com representações finitas na base 60 do que na base 10? 
Esta talvez seja uma das razões pelas quais os astrônomos, desde os gregos, como Ptolomeu, até 
Kepler e Copérnico preferiam a base 60. 
Solução: 
Em uma base k qualquer, uma fração !
!
 tem representação finita se, e somente se, b é um produto de 
potências de fatores primos de k. Assim, na base 10, as frações com representação finita têm 
denominadores da forma 2s5t, com s e t = 0,1,2,3,4, ... . Por outro lado, na base 60, as frações com 
representação finita são exatamente aquelas cujos denominadores são da forma 2s3t5v, com s, t e v = 
0,1,2,3,4, . ... . Dado N ∊ ℕ, existem mais números naturais menores ou iguais a N da forma 2s3t5v do 
que na forma 2s5t. Isso explica a ração de haver mais frações com representações finitas na base 60 
do que na base 10. 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Exercício 25 – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 60). 
Para representar os seus “algarismos” da base 60 usavam uma representação decimal: 
 
 para um para dez 
 
 
Assim, o “algarismo” 25 era representado por 
No entanto, em alguns registros, não usavam nenhum símbolo para separar a parte inteira da parte 
fracionária do número. O numeral (1) (24) (51) (10) registrado na parte central do tablete babilônico 
YBC 7289 (figura abaixo), por exemplo, representa um valor aproximado para a 2 na base 60. 
 
a) Determine a representação decimal de (1) (24) (51) (10) (*). 
Solução: 
2 ≈ 1 + !"
!" 
+ !"
!"!
 + !"
!"!
≈ 1+ !" ! !"##!!"! !"!!"
!"#.!!!
 = 1+ !"#$%
!"#.!!!
 ≈ 1 + 0,41421296296... ≈ 1, 41421296296... 
 
b) Qual a relação que existe entre os três numerais indicados na figura? Tente decifrar o enigma. 
(*) Sugestão: como , temos que (1) corresponde a parte inteira do numeral 
(1) (24) (51) (10) (representação do valor aproximado de na base 60). 
 
Solução: 
Observe que o número 30 encontra-se próximo ao lado do quadrado. Por outro lado, sabemos que a 
medida da diagonal do quadrado é dada por: 
d = 𝑙 2, onde l é a medida do lado do quadrado. 
Assim, se fizermos o produto de (30) por 1;24;51;10, quer dizer, 
 
 
2 1,41421356...=
2
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 30 x 1+ !"
!"
+ !"
!"!
+ !"
!"!
 = 30 +!"#
!"
+ !"#$
!"!
+ !""
!"!
 = 42 + !" ! !"!!"
!"!
+ ! ! !"
!"!
 = 42 + !"
!"
+ !"
!"!
 
que é representado na base 60 por 42;25;35. 
Observe que este é o número que aparece logo abaixo da diagonal, isto é, esse é o valor da 
medida da diagonal. 
Portanto, podemos concluir pelo tablete que os babilônios já tinham conhecimento do 
Teorema de Pitágoras. 
 
Exercício 26: O método babilônio de extrair raízes quadradas é eventualmente chamado de “método 
de Herão”, devido a Herão de Alexandria (século I d.C.) que o incluiu em sua obra denominada 
“Métrica”. Essencialmente, ele é o seguinte: 
Seja 𝑥!o maior inteiro menor do que 𝑅, onde 𝑅 ∈ 𝑍!, não é um número quadrado. Para n = 2, 3, ..., 
use a fórmula de recorrência 𝑥!!! =
!
!
𝑥! +
!
!!
. 
Então 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!,… é uma sequência de aproximações cada vez melhores para 𝑅. 
Através do método acima obtenha uma sequência de quatro termos 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! para 5. 
Obs.: Escreva os termos 𝑥!, 𝑥!, 𝑥! sob a forma de fração e depois dividindo o numerador pelo 
denominador avalie os valores das aproximações desses termos. 
Solução: 
Como queremos calcular 5 temos R = 5 e o maior inteiro menor do que 5 é x1 = 2. 
Utilizando a fórmula de recorrência temos: 
𝑥! =
!
!
𝑥! +
!
!!
 = !
!
2+ !
!
 = !
!
 ≈ 2,25. 
𝑥! =
!
!
𝑥! +
!
!!
 = !
!
!
!
 + !!
!
 = !
!
!
!
 + !"
!
 = !
!
!"!!"
!"
= !"!
!"
 ≈ 2,23611111... 
𝑥! =
!
!
𝑥! +
!
!!
 = !
!
!"!
!"
 + !!"!
!"
 = !
!
!"!
!"
 + !"#
!"!
 = !
!
!"#!$!!"#!$
!!"#$
= !"#$"
!"#$%
 
 ≈ 2,2360679779158040027605244996549. 
Note que a cada termo obtemos uma aproximação mais aprimorada. 
Observe e compare com o valor de 5 fornecido pela calculadora do Windows 
2,2360679774997896964091736687313 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Exercício 27:Observe a figura abaixo (imagem de um tablete babilônio), onde aparecem um círculo, 
os registros dos números 3 e 9, fora do círculo, e do número 45, no interior do círculo. 
 
Os números 3, 45 e 9 estão relacionados a algumas “medidas” do círculo. Lembre-se que os 
babilônios utilizavam o sistema sexagesimal (base 60). Assim, 3 pode representar o próprio número 
3, ou 3x60, ou 3/60, etc. Com base nessas informações, determine: 
a) A medida do perímetro do círculo, em unidade de comprimento; 
b) A medida da área do círculo, em unidadede área. 
OBS: Para resolver o exercício use o fato de que os babilônios calculavam a área do círculo pela fórmula 
𝐴 = !
!
!"
, onde C representa o perímetro do círculo. 
 
Solução: 
O número 3 representa o comprimento do círculo e o número 9 o quadrado deste comprimento. 
Usando a “fórmula”, a área do círculo, tem-se que: 𝐴 = !
!
!"
= !
!"
= !"
!"
 ... Heureca! Heureca! Heureca! 
O número 45 representa o valor da área do círculo. Assim se o comprimento do círculo é 3 cm, a área 
seria (45/60) cm2. Como a representação do sistema babilônio é ambígua, eles colocavam apenas o 
numeral 45. 
Se o escriba utilizasse um ponto “sexagesimal” – digamos * (assim como nós usamos o nosso ponto 
decimal), ele poderia ser mais preciso em seu registro: 
 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Exercícico 28 – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do quadrado 
ABCD. 
 
 
Responda: 
a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis? 
Solução: 
Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno impresso ou o texto 
complementar. 
b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis? 
c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em relação 
ao menor. 
Solução de b) e c) : 
Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso: 
!"
!"
 = !
!
 isto é, AF = 2 AC. 
 
Exercício 29 - Com respeito aos paradoxos de Zenão, faça uma pesquisa e responda os seguintes 
itens: 
a) Apresente um enunciado para os paradoxos: de Aquiles e a tartaruga; da Dicotomia; da Flecha; do 
Estádio. 
 
Solução: 
a) Existem diversos enunciados equivalentes aos paradoxos de Zenão citados. Você, em sua 
pesquisa, poderá ter encontrado outro texto similar ao que aqui destacamos. O que interessa é a 
essênciado paradoxo. 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
Paradoxo de Aquiles 
|-----------------------------|-----------------------|--------------|----------|------------ 
 A B C D E 
 Se a tartaruga está em B e Aquiles em A, Aquiles nunca pega a tartaruga, pois no momento 
em que Aquiles chega no ponto B a tartaruga estará em algum ponto C adiante, e quando Aquiles 
chega em C a tartaruga estará em algum ponto D adiante, e assim por diante ad infinitum: a 
tartaruga estará sempre na frente! 
 
Paradoxo da Dicotomia 
Um corpo para mover-se do ponto A ao ponto B ele naturalmente precisa passar primeiro pelo 
ponto intermediário entre A e B. Mas para chegar à metade de AB, ele precisa antes passar pela 
metade da metade e assim ao infinito, de modo que ele jamais chegará a sair do lugar, pois entre ele 
e qualquer passo que ele der há infinitos passos a serem vencidos antes. 
 
Paradoxo da Flecha 
Considere uma flecha e assegure razoavelmente que a flecha deve estar num certo ponto num 
dado instante: como ela não pode estar em dois lugares no mesmo instante, não pode se mover nesse 
instante, se, por outro lado, está em repouso nesse instante, então, como o argumento se aplica para 
outros instantes, ela não pode se mover de jeito nenhum. 
 
Paradoxo do Estádio ou dos Bastões em Movimento 
 Suponha três linhas paralelas de pontos, como na figura 1 (como se fossem três filas com 
uma mesma quantidade de atletas perfilados em linha reta e igualmente espaçados). Uma delas (B) 
fica imóvel, enquanto as linhas A e C se movem em direções opostas com velocidades iguais, 
atingindo as posições mostradas na figura 2. O movimento da linha C em relação ao da linha A será 
o dobro do seu movimento em relação à linha B, ou, em outras palavras, qualquer ponto da linha C 
passou por dois pontos da linha A, contra um em relação à B. Não existe, portanto, o intervalo de 
tempo que corresponda à passagem de um ponto para o próximo, atendo-se às linhas A e C. 
 
 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
A ** * * ß A * * * * 
B ** * * B * * * * 
C ** * * C * * * * à 
 Figura 1 Figura 2 
 
b) O que Zenão pretendia ao enunciar os paradoxos de Aquiles e da Dicotomia? 
Solução: 
O que Zenão pretendia ao enunciar os paradoxos de Aquiles e da Dicotomia? 
Com esses dois paradoxos Zenão pretendia demonstrar que se o tempo e o espaço são divisíveis ad 
infinitum, o movimento é impossível. Entretanto, como tanto Aquiles ultrapassa a Tartaruga, como 
conseguimos desenhar um segmento de reta AB, pode-se concluir que o uso das quantidades 
infinitamente pequenas é que são responsáveis pelas conclusões absurdas dos paradoxos citados. 
 
c) O que Zenão pretendia ao enunciar os paradoxos do Estádio e da Flecha? 
Solução: 
O que Zenão pretendia ao enunciar os paradoxos do Estádio e da Flecha? 
Nesses dois paradoxos, Zenão adota a hipótese de que o tempo e o espaço não são infinitamente 
divisíveis, isto é, existe uma menor unidade indivisível de tempo (instante)e de espaço (um ponto). 
Do mesmo modo conclui que o movimento é impossível. Entretanto, como sabe-se que tanto a 
flecha, como as filas A e B se movem, pode-se concluir que o uso dos elementos indivisíveis é que 
são responsáveis pelas conclusões absurdas dos paradoxos citados. 
 
 
Exercício 30 - Na figura a seguir podemos observar alguns exemplos de números figurados: 
 
Os números figurados formam uma sequência de números naturais. Por exemplo, os números 
quadrados formam a sequência Q1 = 12, Q2 = 22, Q3 = 32, Q4 = 42, Q5 = 52, ..., Qn = n2, .... Quer 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
dizer, Qn = n2 , n ∊ ℕ (n > 0), é o termo geral da sequência de números quadrados (veja segunda 
linha da tabela acima). 
a) Determine uma expressão em função de n do termo geral da sequência de números 
pentagonais Pn. 
b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece destacada no 
triângulo de Pascal da figura a seguir trata-se de uma sequência de números figurados. 
Determine o centésimo elemento desta sequência. 
 
c) Use a figura abaixo, para determinar a soma dos “n” números ímpares iniciais, isto é: 
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = ? 
 
 
 
 
 
 
 
(*) Neste item você deve encontrar e exibir uma expressão sintética que fornece o resultado da 
soma Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) em função de “n” e mostrar como usamos a figura para 
chegar ao resultado. 
 
 
 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.bre-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
Observe na figura acima que: P2 = 3T1 + 2, P3 = 3T2 + 3, P4 = 3T3 + 4, ..., 
𝑃! = 3𝑇!!! + 𝑛 = 
3(𝑛 − 1)𝑛
2 + 𝑛 =
3𝑛! − 𝑛
2 
b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece destacada no 
triângulo de Pascal da figura é a sequência de números triangulares 
𝑇! = 1+ 2+⋯+ 𝑛 = 
!(!!!)
!
. 
Logo 𝑇!"" =
!""(!""!!)
!
 = 5050 
 
c) Observe que: 
1 = 12 
1 + 3 = 22 
1 + 3 + 5 = 32 
1 + 3 + 5 + 7 = 42 
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2 
 
 
 
 
Um abraço fraterno! 
Prof. Wanderley Rezende.