Modelagem Matematica

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Modelagem 
Matemática
Keila Tatiana Boni
Renata Karoline Fernandes
Modelagem Matemática
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Boni, Keila Tatiana 
 
 ISBN 978-85-8482-200-3
 1. Matemática. 2. Modelos matemáticos. I. Fernandes, 
Renata Karoline. II. Título.
 CDD 511.8
Karoline Fernandes. – Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2015.
 216 p. : il.
B715m Modelagem matemática / Keila Tatiana Boni, Renata
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
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2015
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SumárioSumário
Unidade 1 | Modelagem Matemática como estratégia de ensino e 
aprendizagem de Matemática
Seção 1 - Pressupostos teóricos a respeito de Modelagem 
Matemática 
1.1 | Modelo matemático 
1.2 | Modelagem Matemática
Seção 2 - Procedimentos da atividade de Modelagem Matemática
2.1 | Etapas e subetapas do processo de Modelagem Matemática 
2.2 | Onde a Modelagem Matemática é utilizada? 
Seção 3 - A Modelagem Matemática na perspectiva educacional
3.1 | A Modelagem Matemática no contexto escolar
3.2 | Modelagem Matemática e Modelação Matemática: qual a diferença?
3.3 | Avaliação da aprendizagem
Seção 4 - Implicações da Modelagem Matemática no processo de 
aprendizagem 
4.1 | Importância da utilização da Modelagem Matemática na sala de aula
 4.1.1 | Aspecto relacionado à motivação a partir do estabelecimento de 
relações entre Matemática e vida real
 4.1.2 | Aspecto relacionado ao uso de computadores no ensino de Matemática
 4.1.3 | Aspecto relacionado ao trabalho cooperativo
 4.1.4 | Aspecto relacionado ao desenvolvimento do conhecimento crítico reflexivo
 4.1.5 | Aspecto relacionado à utilização de diferentes registros de representação
 4.1.6 | Aspecto relacionado à ocorrência de aprendizagem significativa
Unidade 2 | Modelos Matemáticos para o ensino de matemática: 
exemplos no Ensino Fundamental
Seção 1 - Modelagem Matemática no Ensino Fundamental
1.1 | A atividade de Modelagem Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental
Seção 2 - Modelo Matemático 1: “Cerca elétrica” 
2.1 | Modelo matemático: “cerca elétrica”
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Unidade 3 | Desenvolvimento de Modelos Matemáticos na educação básica
Seção 1 - A utilização da Modelagem Matemática em aulas da 
educação básica
1.1 | Atividades de Modelagem
Seção 2 - Atividade de modelagem e o conteúdo programático 
2.1 | Utilização de atividades de modelagem para contemplar os conteúdos 
programáticos
Seção 3 - Atividade de modelagem – a Ritalina
3.1 | A ritalina
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Unidade 4 | Desenvolvimento de Modelos Matemáticos na educação básica
Seção 1 - Utilização do software curve para auxiliar em atividades 
de modelagem
1.1 | Software curve
Seção 2 - Modelo de modelagem e o problema da água 
2.1 | Atividade de modelagem – A água
2.1 | A água e o abastecimento
 2.1.1 | Modelo 1: consumo médio anual de água nas residências
 2.1.2 | Obtenção do valor de estabilidade
Seção 3 - Continuação do modelo de modelagem e o problema da 
água – o modelo do crescimento populacional 
3.1 | Modelagem 2: crescimento populacional na cidade do interior do Paraná
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Seção 3 - Modelo Matemático 2: “Construção de casas” 
3.1 | “Construção de casas”
 3.1.1 | Como fazer uma planta baixa de uma casa?
 3.1.2 | Como o construtor de uma casa sabe o tamanho que se quer construir?
 3.1.3 | Quais devem ser as medidas do terreno e o local da construção da casa?
 3.1.4 | Área útil e área construída: o que são e quais suas relações?
 3.1.5 | Vendo o projeto da casa por outra perspectiva: construção de maquete
 3.1.6 | Quanto de pisos, tijolos e tinta vão precisar?
 3.1.7 | Tesoura do suporte ao telhado: o que é isso e como confeccioná-las?
 3.1.8 | Finalizando a casa: aonde vai a caixa d’água?
Seção 4 - Modelo Matemático 3: “Telefonia celular” 
4.1 | Modelo matemático: telefonia celular
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Apresentação
O que podemos perceber na atual educação, mais especificamente no ensino 
de Matemática, é que o modo, tradicional e desvinculado da realidade, que os 
educadores estão acostumados a proporcionar novos conhecimentos aos alunos, 
tem provocando neles aversão a essa disciplina, uma vez que, em geral, não 
conseguem atribuir sentido para aquilo que é trabalhado em sala de aula. 
Com o intuito de apresentar uma alternativa pedagógica potencial para enfrentar 
a situação relatada, apresentamos a obra “Modelagem Matemática”, destacando 
orientações de como utilizá-la no processo de ensino e de aprendizagem. 
Assim, a ideia principal que permeia este material é que a Modelagem 
Matemática auxilia no processo de ensinar e de aprender conceitos matemáticos 
a partir do reconhecimento de situações-problemas reais em que se pode aplicar 
tais conceitos, aproximando a teoria da prática, o que conduz o estudante a um 
estudo significativo daquilo que está sendo estudado e a perceber a importância e 
aplicabilidade da Matemática. 
Portanto, este material é de extrema importância para o futuro professor que 
objetiva, após sua formação, desenvolver uma prática pautada na aprendizagem 
significativa de seus alunos.
Bons estudos!
Unidade 1
MODELAGEM MATEMÁTICA 
COMO ESTRATÉGIA DE 
ENSINO E APRENDIZAGEM DE 
MATEMÁTICA
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade trazemos uma discussão a respeito da Modelagem 
Matemática, que se constitui como uma alternativa pedagógica em que se 
aborda, por meio de conhecimentos matemáticos, um problema real que 
pode ser matemático ou extramatemático.
Em pormenores, apresentamos nesta unidade os principais pressupostos 
teóricos a respeito de Modelagem Matemática, os procedimentos para 
desenvolver atividades nessa abordagem e destacamos seu papel no processo 
de ensino e de aprendizagem de objetos matemáticos em sala de aula.
Todas estas abordagens têm por objetivo proporcionar a você, futuro 
professor de Matemática, oportunidades de acesso às diversas possibilidades 
de integração de atividades de Modelagem Matemática à prática educativa, 
visando conduzi-lo a uma perspectiva otimista a respeito da utilização da 
Modelagem Matemática em sala de aula, como alternativa pedagógica que 
potencializa o processo de aprendizagem de objetos matemáticos a partir 
da constatação da aplicabilidade da Matemática em situações reais.
Keila Tatiana Boni
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Nesta seção esclarecemos os procedimentos de uma atividade de 
Modelagem Matemática que estabelece um elo entre situação-problema 
real e a situação final, que corresponde à resolução da problemática. 
Assim, nesta seção, apresentamos as etapas e subetapas que constituem 
os procedimentos da atividade de Modelagem Matemática.
Seção 2 | Procedimentos da atividade de Modelagem 
Matemática
Nesta seção, abordamos sobre a Modelagem Matemática no 
contexto escolar, diferenciando a Modelagem Matemática da Modelação 
Matemática. Destacamos,ainda, em que consiste avaliar, tanto os 
estudantes quanto a própria prática diante de uma atividade de Modelagem 
Matemática.
Nesta seção, após realizar uma abordagem sobre a Modelagem Matemática 
no contexto educacional, discutimos sobre as principais implicações dessa 
alternativa pedagógica no processo de aprendizagem, explicitando a 
importância de sua utilização na sala de aula em diversos aspectos. 
Seção 3 | A Modelagem Matemática na perspectiva 
educacional
Seção 4 | Implicações da Modelagem Matemática no 
processo de aprendizagem
Nesta primeira seção apresentamos uma caracterização da Modelagem 
Matemática, destacando o que é modelo, ponto-chave da atividade nessa 
perspectiva. Assim, nesta seção, fazemos uma abordagem sucinta, mas 
ao mesmo tempo essencial, sobre aspectos fundamentais da Modelagem 
Matemática, tendo em vista introduzir você, estudante, no estudo que 
será realizado nas próximas seções.
Seção 1 | Pressupostos teóricos a respeito de Modelagem 
Matemática 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Introdução à unidade
Diante de tantas dificuldades que o professor enfrenta com relação ao processo 
de ensino e de aprendizagem de Matemática na Educação Básica, podemos 
considerar a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica profícua 
para minimizar tais dificuldades. 
A criação de situações-problemas a partir da realidade e de temas de interesse 
dos alunos, tão potenciais matematicamente quanto aqueles rotineiramente 
apresentados pelo professor, contribuem para que o aluno se sinta mais motivado 
em aprender. Isso acontece porque durante uma atividade de Modelagem 
Matemática o aluno é o autor principal do processo de aprendizagem, envolvendo-
se em uma investigação que o permitirá atribuir sentido e conhecer a aplicabilidade 
e a importância de conceitos matemáticos estudados em sala de aula.
Nessa perspectiva, esta unidade vem trazer a você, caro estudante, 
esclarecimentos sobre a Modelagem Matemática como uma atividade que pode 
provocar melhorias na aprendizagem de conceitos matemáticos, partindo da 
evidenciação de que a Matemática pode ser útil, instigante e, ao mesmo tempo, 
agradável quando contextualizada com o real e o cotidiano. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Seção 1
Pressupostos teóricos a respeito de modelagem 
matemática
Introdução à seção
Se você parar para refletir sobre tudo o que já aprendeu (e vai aprender) no 
curso de Matemática, deve se questionar para que servem os conhecimentos de 
Cálculo, Geometria (descritiva e analítica) e Estruturas Algébricas. São possíveis de 
serem aplicados? Se sim, quando e como?
Você estudará, nesta primeira seção, os princípios da Modelagem Matemática, 
a qual não foi engendrada no âmbito da Educação Matemática, mas a partir da 
Matemática Aplicada. 
Nessa perspectiva, a Modelagem Matemática como estratégia de ensino e de 
aprendizagem de Matemática contribui para que conceitos matemáticos possam 
ser compreendidos a partir de resultados práticos, oriundos da aplicação de tais 
conceitos em situações reais. 
Apesar da abordagem que realizaremos nesse estudo remeter-se, sobretudo, 
a estratégias de ensino e de aprendizagem de Matemática, ressaltamos que a 
Modelagem Matemática é considerada como um método científico de pesquisa, 
sendo, deste modo, aplicada também em outras áreas, tais como a Astrofísica, a 
Química, as Ciências Biológicas etc. 
Diante desse contexto, já podemos constatar uma primeira justificativa para a 
importância da Modelagem Matemática no processo de ensino: ela pressupõe um 
trabalho multidisciplinar, quebrando barreiras impostas entre diversificadas áreas 
do conhecimento. 
Além disso, a Modelagem Matemática no processo de ensino e de aprendizagem 
contribui para que o estudante se envolva ludicamente com a Matemática a partir 
do seu potencial aplicável e se envolva, ao mesmo tempo, com a Matemática e 
tecnologias. Devido à sua essência unir teoria e prática, seja por meio da aplicação 
matemática, seja por meio da criação matemática, a Modelagem Matemática 
conduz o estudante ao desejo de entender a realidade que o cerca e a buscar 
meios para agir sobre esta realidade e transformá-la. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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1.1 Modelo matemático
De acordo com Biembengut e Hein (2013), a ideia de modelagem pode ser 
entendida, metaforicamente, como o objeto produzido por um escultor a partir da 
argila, pois, tendo em mãos o material necessário (argila) e fazendo uso de técnicas, 
intuição e muita criatividade, ele consegue construir um objeto, um modelo, que 
representa algo real ou imaginário. 
Do mesmo modo, podemos entender um modelo matemático como uma 
representação de algo, sendo este modelo uma imagem concebida da mente 
humana “no momento em que o espírito racional busca compreender e expressar 
de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo já conhecido, 
efetuando deduções” (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 11).
Partindo do exposto, podemos entender que os modelos são vastamente 
utilizados em diversas áreas, sendo que o que diferencia os modelos de cada 
situação é a finalidade para a qual foram construídos: de demonstrar algo (como 
uma maquete), para prever ou explicar um fenômeno, com um fim pedagógico 
(para ilustrar um conceito em estudo) etc. 
Se considerarmos o modelo como uma finalidade pedagógica, mais 
especificamente na disciplina de Matemática, podemos definir que um modelo 
matemático pode ser entendido como um conjunto de símbolos e de relações 
matemáticas, os quais visam traduzir, de algum modo, um determinado fenômeno 
ou problema relacionado a uma situação real (BIEMBENGUT; HEIN, 2013). 
 Almeida, Silva e Vertuan (2013) defendem que na Matemática os modelos 
não são usados apenas para representar algo (ou um conceito), mas para explicar 
situações (sejam estas matemáticas ou não) que se pretende analisar numa 
perspectiva matemática. Os mesmos autores afirmam, ainda, que é possível dizer:
Partindo do que foi abordado até aqui, reflita sobre algumas 
áreas em que podemos encontrar modelos com as finalidades já 
mencionadas. Além disso, pense outros tipos de finalidades que 
poderiam ser citadas com relação à construção de modelos.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Em suma, podemos considerar que um modelo matemático é uma 
representação simplificada da realidade ou de um fenômeno, o qual será analisado 
sob a perspectiva e concepção de quem investiga. Sendo assim, a construção de 
um modelo não está pautada simplesmente em si mesmo, mas tendo em vista 
fomentar uma solução para um problema relacionado a tal realidade ou fenômeno 
que o modelo representa. 
1.2 Modelagem Matemática
Agora que você já aprendeu o que é um modelo, vamos compreender o que é 
Modelagem Matemática.
Como você viu, um modelo é uma representação de algo real, de um 
fenômeno ou conceito. Relacionando com o que foi apresentado, podemos dizer, 
basicamente, que a Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção 
de um modelo.
De maneira geral, uma atividade de Modelagem Matemática pode ser descrita 
conforme apresenta o esquema a seguir:
[...] que um modelo matemático é um sistema conceitual, 
descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem 
ou uma estrutura matemática e que tem por finalidade 
descrever ou explicar o comportamento de outro sistema, 
podendo mesmo permitir a realização de previsões sobre este 
outro sistema (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 13).
SITUAÇÃO INICIAL
(Problemática)
SITUAÇÃO FINAL
(Solução para a 
problemática)
PROCEDIMENTOS
Figura 1.1 | Descrição de uma atividade de Modelagem Matemática
FONTE: Adaptado de: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 12).
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No esquema temos que a situação inicial é chamada de situação-problema e 
para solucioná-la utiliza-se um conjunto de procedimentos e conceitos, com os 
quais é possível produzir um modelo, por meio do qual se torna possível solucionar 
a problemática inicial. 
De maneira geral, “[...] pode-se dizer que matemática e realidade são dois 
conjuntos disjuntos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir” (BIEMBENGUT; 
HEIN, 2013). 
É possível percebermos que a Matemática (que corresponde aos 
procedimentos) e a realidade (que corresponde à situação-problema) estão 
intrinsecamente relacionadas e esta relação contribui potencialmente para que 
novos conhecimentos, sejam estes matemáticos ou não, sejam construídos, 
integrados ou, até mesmo, acionados. 
Apesar de considerarmos uma situação inicial como uma situação-problema, 
é essencial definirmos o que será considerado como problema em uma atividade 
de Modelagem Matemática.
Nesse estudo, o termo problema será compreendido como uma situação 
para a qual a pessoa que se envolve com este não possui esquemas a priori para 
solucioná-lo. Tendo em vista que um problema, para assim ser considerado, 
depende do sujeito e dos esquemas eficazes que possui para lidar com esse 
problema, assim, podemos concluir que não pode existir uma única maneira de 
solucioná-lo, como não necessariamente poderá haver uma única solução. 
Dessa forma, podemos afirmar que a construção de um modelo matemático 
depende dos conhecimentos matemáticos que o indivíduo possui. Se o indivíduo 
possui conhecimentos mais básicos, apenas estes poderão ser evocados ao lidar 
com uma situação-problema, assim como um indivíduo com conhecimentos mais 
avançados em Matemática elaborará modelos mais sofisticados e mais eficazes 
para lidar com situações-problemas mais complexas. Entretanto, é importante 
Você estudou que uma situação inicial na atividade de 
Modelagem Matemática se caracteriza como uma situação-
problema. O que define um problema? Será que algo que é um 
problema para você também é para outra pessoa?
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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ressaltar que a validade e a eficácia de modelos matemáticos não estão estritamente 
relacionadas ao nível de conhecimento do indivíduo, sendo que é por esse motivo 
que é possível propor atividades de Modelagem Matemática em diversos níveis de 
escolaridade, inclusive nos mais elementares, como nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, desde que estes alunos já tenham conhecimentos matemáticos 
básicos para lidar com situações-problemas de menor complexidade. 
Agora que já fizemos uma abordagem relacionando a Modelagem Matemática 
com os modelos, vamos definir em que consiste, de fato, a Modelagem Matemática. 
“Neste contexto, entendemos por Modelagem o processo de aproximar ou 
transformar problemas concretos do mundo real em modelos de problemas 
que simulem de forma ótima o objeto de estudo e assim poder resolvê-los para 
interpretar suas soluções de forma clara (CHUQUIPOMA, 2012, p. 7). 
Por meio da Modelagem Matemática objetiva-se propor soluções para situações-
problemas por intermédio de modelos matemáticos. Dessa forma, considera-
se o modelo matemático como “[...] o que 'dá forma' à solução do problema e 
a Modelagem Matemática é a ‘atividade’ de busca por essa solução” (ALMEIDA; 
SILVA; VERTUAN, 2013, p. 15). 
Bassanezi (2004) defende que a Matemática em si objetiva, fundamentalmente, 
extrair a parte essencial de uma situação-problema para, então, formalizá-la em 
um contexto abstrato, característico da Matemática, tornando possível reduzir o 
pensamento referente à situação-problema em uma linguagem mais precisa. A 
Matemática, nesse contexto, é responsável por sintetizar ideias concebidas em 
situações empíricas, sendo que estas, em geral, encontram-se camufladas dentre 
tantas variáveis menos importantes. 
Contudo, vale ressaltar que, apesar de mencionarmos que a atividade de 
Modelagem Matemática é engendrada a partir de situações e fenômenos reais, nem 
todas as situações ou fenômenos podem ser modelados. Um exemplo diz respeito às 
emoções e aos sentimentos humanos, como amor, ciúmes e saudade, os quais não 
são possíveis de serem descritos significativamente por meio de modelos matemáticos. 
Tendo como base os estudos de Bassanezi (2004), é essencial elencarmos 
alguns cuidados que precisam ser tomados ao se envolver com atividades de 
Modelagem Matemática:
Figura 1.2 | Cuidados com as atividade de modelagem matemática
Para que a Modelagem seja eficiente, é preciso esclarecer que os 
modelos que constituem uma atividade nessa perspectiva representam 
aproximações da realidade e não a realidade em si.
(continua)
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Fonte: Bassanezi (2004)
A excessiva utilização de simbolismo matemático pode prejudicar a 
compreensão da situação que representa. A linguagem matemática 
adotada precisa ser equilibrada e circunscrita à problemática e aos 
objetivos que se pretende atingir.
Pode haver situações para as quais não existe teoria que torna possível 
construir modelo matemático adequado. E, ainda que exista teoria, 
pode ser que essa não condiz ou não seja suficiente para obter os 
resultados almejados.
1. A Modelagem Matemática — arte que consiste na 
transformação de situações da realidade em problemas 
matemáticos com soluções interpretadas na linguagem 
do mundo real (BASSANEZI, 2004) — impõe ao aluno a 
posição de sujeito do processo cognitivo. Considerando o 
que você estudou até aqui sobre Modelagem Matemática, 
julgue os itens a seguir:
I- No processo de Modelagem Matemática, nem todo 
problema ou fenômeno, com dados provenientes de 
Acesse o link abaixo e leia o artigo “Por uma educação matemática 
crítica: a modelagem matemática como alternativa”, dos autores 
Lourdes Maria Werle Almeida e André Silva, e saiba mais sobre a 
Modelagem Matemática como estratégia de ensino e de aprendizagem 
em Matemática.
<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/
viewFile/2752/3304>. Acesso em: 15 maio 2015.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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2. A respeito da Modelagem Matemática, analise as 
afirmações a seguir, assinalando (V) para as afirmativas 
verdadeiras ou (F) para as afirmativas falsas. Em seguida, 
observe a sequência delas e escolha a alternativa correta.
( ) Na Modelagem Matemática parte-se de uma situação 
inicial (problemática) e, após alguns procedimentos, visa-
se chegar à situação final (a construção de um modelo).
( ) A aula expositiva e explicativa, na qual o aluno tem o 
papel de expectador e depositário de informações, é 
favorável ao desenvolvimento da tendência de Modelagem 
Matemática.
( ) Tanto a Modelagem na Matemática Aplicada quanto a 
Modelagem na Educação Matemática possuem diversas 
perspectivas e finalidades, mas com o objetivo comum de 
estudar, resolver e compreender um problema da realidade 
ou de outra área do conhecimento, utilizando, para isso, 
sobretudo, a Matemática. 
( ) A Modelagem Matemática é eficiente, pois os modelos 
que constituem uma atividade nessa perspectiva 
representam fielmente e totalmente a realidade. 
Assinale a sequência correta:
a) F – F – F – V. 
b) V – F – V – F. 
c) V – V – F – V. 
d) F – V – V – F.
situações reais, se adequa às ferramentas matemáticas ao 
alcance do saber e da aprendizagem do aluno.
II- Com a Modelagem pretende-se que o aluno aprenda 
Matemática problematizando contextos reais.
III- Uma condição imprescindível na Modelagem 
Matemática para que esta seja válida é a de um contexto 
matemático com alto grau de elaboração.
Assinale a alternativa em que constam apenas as afirmativas 
corretas:
a) I e II. 
b) II e III. 
c) I e III. 
d) I, II e III.
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19Seção 2
Procedimentos da atividade de modelagem 
matemática
Introdução à seção
Você já estudou na seção anterior que em uma atividade de Modelagem 
Matemática parte-se de uma situação inicial e real (problemática) e, mediante um 
conjunto de procedimentos, constrói-se um modelo matemático que possibilita 
“dar forma” à solução do problema abarcando tanto conceitos matemáticos 
quanto conceitos externos à Matemática. Mas, que procedimentos são esses? 
É no estudo desses procedimentos que nos inseriremos a partir de agora. 
2.1 Etapas e subetapas do processo de Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática de uma problemática oriunda de uma situação ou 
fenômeno real deve seguir uma sequência de etapas que, até então, denominados 
genericamente de procedimentos.
Antes de estudar sobre esses procedimentos, considerando 
o que foi mencionado sobre Modelagem Matemática até o 
momento, reflita: como é que podemos confrontar problemas 
do mundo real com modelos que possam interpretar tais 
problemas? Ao realizar essa reflexão, considere que a 
Modelagem Matemática também pode ser considerada como 
um método científico de pesquisa. 
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Os procedimentos que permitem que haja a interação entre Matemática e 
realidade podem ser agrupados em três etapas, subdivididas em seis subetapas.
Figura 1.3 | Etapas e subetapas dos procedimentos de Modelagem Matemática
FONTE: A autora (2015) 
INTEIRAÇÃO
MATEMATIZAÇÃO
MODELO 
MATEMÁTICO
Reconhecimento da 
situação-problema
Formulação do problema 
→ hipótese
Interpretação do modelo
Familiarização com o 
assunto a ser modelado → 
referencial teórico
Resolução do problema em 
termos do modelo
Validação do modelo → 
avaliação
Vamos entender cada uma dessas etapas e subetapas elencadas:
• Inteiração: esta etapa, como o próprio nome diz, corresponde ao ato de 
inteirar-se, de informar-se sobre algo. No contexto da Modelagem Matemática, a 
inteiração corresponde ao momento em que se começa a conhecer a situação-
problema em seus pormenores. Para conhecer a situação-problema existem duas 
maneiras de obter informações sobre ela: indireta ou diretamente. 
As informações são obtidas indiretamente quando se realiza estudos teóricos, 
a partir de artigos, livros, revistas especializadas etc. Já as informações diretas são 
obtidas por meio da experiência em campo (in loco), podendo ser esta experiência 
realizada pelo próprio indivíduo que se envolverá na atividade de Modelagem 
Matemática. Neste último caso, as informações podem ser oriundas de dados 
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experimentais obtidos por outrem, como especialistas da área. Além disso, os 
dados e informações podem ser de natureza qualitativa ou quantitativa.
Com relação às duas subetapas apresentadas – reconhecimento da situação-
problema e familiarização com o assunto a ser modelado – ambas podem ser 
compreendidas como concomitantes durante o processo de inteiração, pois 
estas subetapas estão relacionadas à compreensão da situação-problema. Nesse 
sentido, não podemos dizer que uma ocorre antes e a outra depois, ou que uma 
precisa terminar para que a outra comece, mas ambas estão relacionadas às 
diversas formas de inteiração com as informações e os dados que permitem a 
compreensão, cada vez mais clara, sobre a situação-problema. 
Essa etapa da inteiração é essencial, porque esse é o ponto de partida para a 
formulação do problema e do estabelecimento de metas a serem atingidas tendo 
em vista sua resolução. Afinal, a formulação de problemas depende da falta de 
compreensão clara sobre a situação: é quando não se conhece claramente a 
situação em estudo que diversos questionamentos sobre ela emergem. Entretanto, 
para que estes questionamentos sejam coerentes à situação, é necessário que 
algumas informações a respeito desta já tenham sido conhecidas. 
• Matematização: esta etapa, certamente, caracteriza-se como a mais 
desafiadora, pois será nesse momento que a situação-problema, apresentada, 
até então, em linguagem natural, será traduzida para a linguagem matemática. 
Caracterizamos esse momento como desafiante, pois, em geral, uma situação-
problema se apresenta em uma linguagem que muitas vezes pouco, ou em nada, 
se aproxima da linguagem matemática.
Além disso, esta etapa é desafiadora no sentido de que intuição, criatividade, 
experiência e conhecimento de técnicas e procedimentos matemáticos que sejam 
adequados para representar a situação-problema são elementos essenciais que o 
indivíduo precisa possuir. 
Considerando o que você estudou até o momento sobre 
Modelagem Matemática, comparando esta ao método científico, 
bem como analisando o que você acabou de estudar sobre a 
etapa de inteiração, reflita: será que esta etapa é apenas inicial no 
processo de atividade de Modelagem Matemática, ou a inteiração 
pode ser estendida durante o desenvolvimento da atividade?
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Esse momento de matematização é realizado “[...] a partir de formulação de 
hipóteses, seleção de variáveis e simplificações em relação às informações e ao 
problema definido na fase de inteiração” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 16). 
Para essa etapa destacamos duas subetapas: formulação do problema e 
resolução do problema em termos do modelo. O primeiro corresponde à tradução 
da situação-problema para uma linguagem matemática, por meio de expressões, 
equações, gráficos etc., que auxiliem no processo de busca da solução. 
Nesta subetapa é fundamental:
Quanto à subetapa resolução do problema em termos do modelo, esta 
corresponde à análise ou à própria resolução a partir das ferramentas matemáticas 
que se têm disponíveis. Nessa perspectiva, é perceptível que é indispensável um saber 
aguçado sobre as ferramentas matemáticas envolvidas, contudo, nesse processo, 
o computador pode ser uma ferramenta bastante potencial, principalmente para 
obter resultados aproximados, por meio de processos discretos. 
• Modelo Matemático: esta etapa refere-se à conclusão do modelo, momento 
em que ele é avaliado, tendo como foco evidenciar o nível de aproximação entre 
o modelo e a situação-problema que ele representa, corroborando, assim, o grau 
de confiabilidade em utilizá-lo. 
Nesse sentido, temos duas subetapas: a interpretação do modelo, que é quando 
se analisa as implicações da solução oriunda do modelo, e a validação do modelo, 
que é quando se retorna à situação-problema para avaliar quão significativa e 
relevante é a solução obtida por meio do modelo. 
Caso o modelo não atenda satisfatoriamente às expectativas que o geraram, 
retorna-se à etapa de matematização, ajustando-se as hipóteses, as variáveis, entre 
outros. 
Após a apresentação das etapas e subetapas de uma atividade de Modelagem 
Matemática, esperamos que você, estudante, tenha percebido que estas se 
• classificar as informações (relevantes e não relevantes), 
identificando fatos envolvidos;
• decidir quais os fatores a serem perseguidos, levantando 
hipóteses;
• selecionar variáveis relevantes e constantes envolvidas;
• selecionar símbolos apropriados para essas variáveis; e
• descrever essas relações em termos matemáticos 
(BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 14).
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
23
constituem como procedimentos necessários para tornar possível realizar tal 
atividade, porém, não necessariamente estas etapas precisam se apresentar 
linearmente, mas de maneira dinâmica, num processo de “idas e voltas”. 
Em resumo, podemos considerar que as etapas e subetapas apresentadas 
constituem-se por elementos que evidenciam as principais características da 
Modelagem Matemática, “[...] o início é uma situação-problema; os procedimentos 
de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; 
ocorre a investigação de um problema; conceitosmatemáticos são introduzidos 
ou aplicados; ocorre a análise da solução” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 17).
Voltando aos procedimentos de uma atividade de Modelagem Matemática, 
perceba que o procedimento final, que corresponde à validação do modelo, nos 
remete questionar: o que pode ser considerado como um bom modelo?
Como já foi mencionado, o bom modelo é aquele que responde satisfatoriamente 
à situação-problema que representa. Contudo, Bassanezi (2004) vai além, defende 
que o bom modelo é aquele que favorece a formulação de novos modelos. Afinal, 
por mais satisfatório que se apresente, precisamos ter bem claro que nenhum 
modelo é definitivo, podendo este ser melhorado ou, até mesmo, substituído. 
Esse ponto de vista do autor Bassanezi (2004, p. 31) é defendido por ele ao 
considerar os seguintes aspectos:
Além disso, para uma mesma situação-problema, um mesmo modelo pode 
ser eficiente para uma pessoa e para outra não. Isso acontece porque o modelo 
depende do contexto ao qual está inserido, por exemplo, para uma mesma 
situação-problema, o mesmo modelo pode ser considerado “bom” por um 
químico, no sentido de ser aplicável, mas não ser considerado da mesma forma 
para um matemático. 
• Os fatos conduzem constantemente a novas situações;
• Qualquer teoria é passível de modificações;
• As observações são acumuladas gradualmente de modo 
que novos fatos suscitam novos questionamentos;
• A própria evolução da Matemática fornece novas 
ferramentas para traduzir a realidade (Teoria do Caos, 
Teoria Fuzzy etc).
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
24
Acessando o link indicado a seguir você conhecerá a Modelagem 
Matemática segundo a perspectiva de outros autores diferentes dos 
que utilizamos nesse capítulo. São eles: Burak, Caldeira, Barbosa e, 
também, Biembengut, sendo que este é utilizado no presente estudo. 
<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/
viewFile/1642/1058>. Acesso em: 15 maio 2015.
2.2 Onde a Modelagem Matemática é utilizada?
Como você está cursando licenciatura, é claro que você já imagina que 
a utilização da Modelagem Matemática destina-se à sala de aula, porém, sua 
utilização não se restringe apenas à área educacional.
Como já foi explanado, a Modelagem Matemática pode ser, de certo modo, 
compreendida como um método científico, portanto, pode ser aplicada em 
diversos ramos.
Primeiramente, vamos esclarecer que, quando falamos sobre aplicação, nos 
referimos à utilização de conceitos matemáticos visando entender ou explicar 
fenômenos reais. E o elo entre matemática e realidade é a Modelagem Matemática. 
Começaremos abordando sobre a Modelagem Matemática como método científico. 
Segundo Bassanezi (2004, p. 33), alguns pontos justificam a importância da 
Modelagem Matemática ser utilizada como instrumento de pesquisa:
• Pode estimular novas ideias e técnicas experimentais.
• Pode dar informações em diferentes aspectos dos 
inicialmente previstos.
• Pode ser um método para se fazer interpolações, 
extrapolações e previsões.
• Pode sugerir prioridades de aplicações de recursos e 
pesquisas e eventuais tomadas de decisão.
• Pode preencher lacunas onde existem falta de dados 
experimentais.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
25
• Pode servir como recurso para melhor entendimento da 
realidade.
• Pode servir de linguagem universal para compreensão e 
entrosamento entre pesquisadores em diversas áreas do 
conhecimento.
Tendo discutido sobre a Modelagem Matemática como instrumento de 
pesquisa, as principais áreas de pesquisa em que tal abordagem é empregada são:
• Física Teórica. Essa área foi impulsionada pela matemática em diversos 
aspectos, sobretudo, devido ao desenvolvimento das Equações Diferenciais 
Ordinárias (EDOs) e da Teoria dos Campos Vetoriais. Este estudo é amplamente 
utilizado em conteúdos sobre Eletricidade, Hidrodinâmica, Elasticidade e 
Magnetismo. Tal integração da Matemática aos estudos da Física Teórica teve 
como ponto de partida o desenvolvimento da Teoria da Relatividade e da Teoria 
Quântica, quando se evidenciou que os conceitos intuitivos tradicionais não eram 
suficientes para descrever e buscar entender conceitos físicos fundamentais, tais 
como espaço, tempo e matéria. 
• Química Teórica. Esta área de pesquisa objetiva entender as propriedades 
das moléculas individuais em termos de elétrons e outras partículas. Durante o 
processo desse entendimento, além das Equações Diferencias Ordinárias que são 
utilizadas para modelar velocidade de reações químicas, também são utilizadas as 
matrizes para descrever a estrutura das moléculas, além da utilização de diversos 
outros conceitos matemáticos.
• Biomatemática. Também nessa área há uma grande aplicação de 
Equações Diferenciais Ordinárias ou Parciais, entre outros conceitos matemáticos. 
Contudo, na área biológica, a dificuldade de aplicação da Matemática é maior 
se comparada à Física e à Química Teórica. Tal dificuldade está pautada no fato 
de os fenômenos estudados em Biologia, em geral, apresentarem variáveis de 
comportamentos aleatórios e sensíveis a pequenas perturbações. É nesse contexto 
que outros estudos da Matemática Pura têm se destacado como aplicação na área 
biológica: para tratar sobre fenômenos aleatórios a Teoria Fuzzy, a Teoria do Caos, 
dentre outras, tem proporcionado valiosas contribuições. Concomitantemente ao 
progresso da área biológica, devido à matematização, a própria Matemática tem se 
desenvolvido diante da complexidade dos fenômenos biológicos.
Além das três áreas destacadas, podemos ainda considerar a aplicação de 
Modelagem Matemática nas Engenharias, na Ciência da Computação, nas Ciências 
Sociais, na Economia, entre tantas áreas que estão se iniciando ou já estão se 
desenvolvendo na utilização da Matemática. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
26
1. De acordo com estudos realizados nesta seção, a 
Modelagem Matemática de uma situação ou problema real 
deve seguir procedimentos que podem ser organizados 
em etapas e subetapas distintas. Considerando essa 
abordagem, analise a afirmativa:
“A partir de uma situação-problema a ser estudada, o 
momento em que se observa os fatos, compara com outros 
estudos e se faz deduções e analogias é considerado um 
momento de ”.
É correto afirmar que a palavra que completa a afirmativa 
acima é:
a) Matematização (formulação do problema – hipótese).
b) Matematização (resolução do problema em termos do 
modelo).
c) Modelo matemático (interpretação da solução).
d) Modelo matemático (validação do modelo – avaliação).
2. Você estudou nessa seção que a Modelagem Matemática 
pode ser utilizada em diversas áreas. Uma dessas áreas é a 
Economia. Veja a seguinte situação:
“(Ulbra 2012) Preocupados com o lucro da empresa VXY, 
os gestores contrataram um matemático para modelar o 
custo de produção de um dos seus produtos. O modelo 
criado pelo matemático segue a seguinte lei: C=15000-
250n+n², onde C representa o custo, em reais, para se 
produzirem n unidades do determinado produto”.
Veja que nessa situação o modelo utilizado para representar 
a situação-problema é uma equação de 2º grau, o que ilustra 
a possibilidade de aplicação de conceitos matemáticos na 
Economia. 
Considerando a situação descrita acima e seus 
conhecimentos matemáticos, responda: quantas unidades 
deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?
a) – 625. 
b) 125. 
c) 1245. 
d) 625. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
27
Seção 3
A modelagem matemática na perspectiva 
educacional
Introdução à seção
Após apresentar os primeiros pressupostos teóricos a respeito de Modelagem 
Matemática, bem como os procedimentos para realizar atividades com essa 
abordagem e o seu caráter de método científico, podendo, assim, ser aplicado em 
diversas áreas, vamos agora contemplar a aplicação da ModelagemMatemática 
como estratégia de ensino e de aprendizagem, ponto-chave dos nossos estudos. 
 3.1 A Modelagem Matemática no contexto escolar
Atividades de Modelagem Matemática, tal como caracterizamos nas seções 
anteriores, podem ser incluídas em aulas regulares de Matemática. Nesse contexto, 
a Modelagem Matemática se constitui como uma alternativa pedagógica, sendo 
que nesta alternativa objetivamos fazer uma abordagem matemática partindo de 
uma situação-problema que não necessariamente precisa ser matemática. 
Almeida, Silva e Vertuan (2013) defendem que características fundamentais 
podem ser evidenciadas em atividades conduzidas de acordo com a Modelagem 
Matemática nas aulas de Matemática. Estas características fundamentais podem 
ser observadas na figura a seguir:
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
28
CARACTERÍSTICAS
Envolve um conjunto 
de ações cognitivas do 
indivíduo

É direcionada 
para objetivos e metas 
estabelecidas e/ou reconhecidas 
pelo aluno
Envolve a representação 
e manipulação de objetos 
matemáticos
 
Figura 1.4 | Características fundamentais evidenciadas em atividades de Modelagem 
Matemática
FONTE: A autora (2015) 
Vamos entender essas características fundamentais: quando o aluno se envolve 
com uma situação real (situação-problema), o primeiro passo é identificar suas 
intenções e evidenciar suas limitações para desenvolver uma atividade envolvendo 
tal situação. Nesse momento, o aluno começa a colocar em prática ações 
cognitivas implícitas e explícitas. 
As ações cognitivas implícitas são aquelas manifestadas por meio de 
procedimentos, enquanto que as ações explícitas são manifestadas por meio de 
representações simbólicas. Tais ações são colocadas em ação devido à necessidade 
do aluno em apresentar e explicar a situação-problema que está sendo estudada e 
para qual se visa obter uma resposta. 
Diante da situação-problema, o primeiro passo do aluno é investigar essa 
situação para tentar compreendê-la. Nesse momento, o aluno começa a construir 
representações mentais da situação e estas são essenciais para auxiliar o aluno a 
compreender e atribuir significados para a situação-problema. Assim, identificamos 
duas ações cognitivas: representação mental e compreensão da situação.
A partir das informações sobre a situação-problema, o aluno buscará definir 
metas para a sua resolução e, nesse momento, a ação cognitiva que podemos 
destacar é a estruturação da situação.
Ao definir essas metas, o aluno já começa a compreender a situação-problema 
numa perspectiva matemática. Assim, podemos considerar que tal “[...] estruturação 
é mediada por conhecimentos e habilidades que levam à identificação de 
regularidades e relações até então desconhecidas” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 
2013, p. 18).
Perceba que este momento de estruturação, baseado em conhecimentos e 
habilidades matemáticas, corresponde à ação cognitiva que leva ao nome da etapa 
de Modelagem Matemática: matematização. Nesse momento, o aluno busca 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
29
associar as informações e compreensões que possui sobre a situação-problema 
aos conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos que conhece e que se 
mostram adequados para representar em linguagem matemática a situação-
problema. Sendo assim, essa ação cognitiva envolve a construção e resolução de 
um modelo matemático que represente a situação-problema. 
Para que tudo isso seja possível, é imprescindível que o aluno domine técnicas e 
procedimentos matemáticos e, além disso, seja capaz de coordenar representações 
diferentes referentes a um mesmo objeto matemático. Nesse momento, a ação 
cognitiva colocada em ação é denominada de síntese.
É evidente que não é uma tarefa fácil realizar essa coordenação entre 
representações, por isso destacamos o papel essencial de recursos tecnológicos, 
sobretudo, o uso de softwares. 
A próxima ação cognitiva é a interpretação e validação, que é caracterizada 
por um momento de comparações ente ideias e articulação entre conhecimentos 
diversos. Assim, é realizada uma análise da representação matemática (modelo) 
referente à situação-problema, não apenas quanto aos procedimentos matemáticos, 
mas, principalmente, com relação ao modelo apresentar-se adequado ou não para 
representar a situação-problema. 
O ponto culminante da atividade de Modelagem Matemática é a comunicação, 
ou seja, tendo passado por todas as etapas anteriormente descritas, é chegado o 
momento em que o aluno deverá comunicar os resultados obtidos a outros com o 
intuito de estabelecer uma argumentação de convencimento de que os resultados 
alcançados são consistentes e adequados. 
A figura a seguir ilustra as ações cognitivas dos alunos, as quais foram 
mencionadas e destacadas no texto que você acabou de estudar e, evidencia, 
ainda, por meio dessa ilustração, a relação destes com as diversificadas fases do 
desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática.
No decorrer dessa seção comentamos diversas vezes sobre 
“objeto matemático”. Você sabe o que é isso? Reflita sobre o que 
pode ser considerado como objeto matemático e, em seguida, 
realize uma pesquisa para descobrir exatamente o que significa 
e o que envolve.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
30
Figura 1.5 | Ações cognitivas dos alunos e sua relação com as fases de Modelagem 
Matemática
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 19).
Até agora falamos sobre as ações cognitivas do aluno durante 
atividade de Modelagem Matemática. Mas, afinal, qual a 
finalidade e importância da atividade de Modelagem Matemática 
no contexto escolar?
Há muito tempo que os conceitos matemáticos estudados em sala de aula 
perderam o sentido, pois são, em geral, ensinados de maneira mecânica, pautados 
em algoritmos, técnicas e procedimentos sem nenhuma conexão com a realidade. 
Nesse aspecto, a Modelagem Matemática pode contribuir para trazer à tona 
a motivação na aprendizagem de Matemática, uma vez que conduz o estudante 
a se envolver em uma proposta investigativa, tendo como ponto inicial situações 
fenomenológicas. 
Desse modo, o estudante passa a aprender Matemática de maneira mais 
próxima ao que ocorreu no processo histórico de construção dessa ciência: ao 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
31
invés de aprender Matemática da maneira tradicional, por exemplo, aprender 
um teorema na graduação seguindo o modelo “enunciado – demonstração – 
aplicação”, com a Modelagem Matemática essa aprendizagem ocorre ao contrário, 
como se estivesse “redescobrindo” a teoria. Nessa perspectiva, partindo-se de 
uma motivação, seja esta interna ou externa à Matemática, levanta-se e valida-se 
hipóteses e questionamentos para chegar ao enunciado. 
É nesse sentido que alternativas pedagógicas, tais como a Resolução de 
Problemas e a Modelagem Matemática, têm sido amplamente defendidas pelos 
envolvidos com a Educação Matemática. O principal intuito é promover um ensino 
de Matemática de maneira significativa a partir da realidade. 
Entretanto, ainda que tenhamos argumentos favoráveis com relação à utilização 
da Modelagem Matemática, ainda existem aqueles que impõem obstáculos para 
seu uso, sobretudo, em cursos regulares. Dentre tais obstáculos, estes podem 
ser classificados de acordo com três tipos, de acordo com Bassanezi (2004): 
instrucionais, para os estudantes e para os professores.
Vamos entender cada um desses obstáculos:
• Obstáculos instrucionais: já sabemos que todo curso regular possui um 
programa, o qual deve ser cumprido totalmente. Como já foi estudado sobre os 
procedimentos de atividade de Modelagem Matemática podemos entender que 
uma atividade nessa abordagem demanda muito tempo, o que pode acarretar no 
não cumprimento de todo o programa.
• Obstáculos para os estudantes: a utilização da Modelagem Matemática 
precisa ser bem orientada e,para isso, o professor precisa se sentir confiante e 
estar bem preparado para conduzir esse tipo de atividade. Caso contrário, como 
a utilização da Modelagem Matemática difere da rotina tradicional de estudos do 
estudante, esta pode se tornar responsável por gerar um sentimento apático às 
aulas. Nossos alunos estão acostumados a terem o professor como o centro do 
processo educativo, sendo ele o detentor e transmissor do conhecimento e os 
alunos apenas receptores e reprodutores do que lhes é transmitido.
Quando o aluno se vê como centro de todo o processo de ensino e de 
aprendizagem, sendo o principal responsável pela dinâmica desse processo e 
pelos resultados que serão obtidos, é inevitável que a aula ocorra mais lentamente. 
Além disso, as salas de aula, em geral, são compostas por alunos com formação 
heterogênea, o que dificulta o relacionamento entre conhecimentos teóricos (que são 
em níveis diferentes) e situação-problema prática e real. Ainda, por se tratar de turmas 
heterogêneas, algo comum que pode ocorrer é que a temática da situação-problema 
que engendrará a atividade de Modelagem Matemática não seja de interesse de uma 
parcela dos estudantes, provocando nestes o desinteresse pela atividade.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
32
• Obstáculos para os professores: muitos professores se sentem 
despreparados para desenvolver atividades de Modelagem Matemática em suas 
turmas. Essa insegurança é justificada, basicamente, por dois motivos: ou o 
professor não tem conhecimento sobre o que é e como desenvolver uma atividade 
na perspectiva da Modelagem Matemática, ou tem medo de se envolver em uma 
situação embaraçosa em que não conseguirá aplicar conhecimentos matemáticos 
em áreas que para ele são totalmente ou parcialmente desconhecidas. Ainda, 
relacionado ao obstáculo instrucional, o professor teme que o desenvolvimento 
de uma atividade de Modelagem Matemática demande muito tempo de suas aulas, 
prejudicando que ele consiga cumprir o programa do curso. 
Você deve estar se perguntando agora: tendo em vista a importância da 
Modelagem Matemática no âmbito escolar e ponderando os obstáculos 
mencionados, de que maneira seria possível utilizar a modelagem nos cursos 
regulares, contornando (ou até mesmo enfrentando) esses obstáculos?
Bassanezi (2004) defende que uma alternativa seria modificar o clássico 
processo de Modelagem Matemática: ter como ponto de partida momentos de 
sistematização do conteúdo, bem como propor analogias constantes entre o que 
foi estudado com outras situações-problemas. 
Ainda, de acordo com o autor, a Modelagem Matemática “no ensino é apenas uma 
estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente 
a um modelo bem-sucedido, mas caminhar seguindo etapas onde o conteúdo 
matemático vai sendo sistematizado e aplicado” (BASSANEZI, 2004, p. 38). 
Nesse contexto, a Modelagem Matemática passa a ser encarada como uma 
estratégia de ensino e de aprendizagem de Matemática, passando a receber o 
nome de Modelação Matemática. 
3.2 Modelagem Matemática e Modelação Matemática: qual a diferença?
Você estudou o que é a Modelagem Matemática. Mas, e Modelação Matemática, 
o que é isso?
A Modelação Matemática corresponde ao método que utiliza a essência da 
modelagem em cursos e programas regulares. Em outras palavras, a Modelação 
Matemática orienta-se por desenvolver o conteúdo previsto, partindo de um tema 
ou modelo matemático, constituindo-se como modelagem em educação. 
Uma diferença que já podemos apontar entre a Modelação e a Modelagem 
Matemática é que no primeiro a validação de um modelo não é considerada 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
33
como uma etapa prioritária, isso porque os modelos obtidos não é o foco, mas 
sim “o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural” 
(BASSANEZI, 2004, p. 38).
Nesse sentido, o mais importante não é o fenômeno modelo, mas é fazer uso 
deste para motivar o aprendizado de objetos matemáticos.
 Biembengut e Hein (2013, p. 18-19) apresentam alguns objetivos da Modelação 
Matemática como método de ensino e de aprendizagem de Matemática, desde o 
nível mais elementar até o mais avançado:
Os autores sugerem que, ao implementar a proposta de modelação matemática, 
cinco passos precisam, necessariamente, serem seguidos:
• Diagnóstico: é preciso fazer um levantamento entre os alunos, 
contemplando quantos serão envolvidos na atividade, o horário da disciplina, a 
realidade socioeconômica e os principais interesses dos alunos como forma de 
direcionar o melhor tema que poderá ser proposto, o nível de conhecimento 
matemático dos estudantes, a disponibilidade dos alunos para que seja possível 
realizar um trabalho extraclasse etc.
• Escolha do tema ou modelo matemático: ao desenvolver o conteúdo 
programático, parte-se de um tema para cada tópico do conteúdo ou do 
programa de determinado período letivo. Contudo, se um tema for abrangente e 
interessante, é possível utilizar um único tema para todo o período. Este tema pode 
ser escolhido pelo professor ou pelos alunos.
• Desenvolvimento do conteúdo programático: o desenvolvimento segue 
as mesmas etapas e subetapas do processo de modelagem que já foi mencionado: 
interação (reconhecimento da situação-problema e familiarização), matematização 
Os objetivos são:
• aproximar uma outra área do conhecimento da 
Matemática;
• enfatizar a importância da Matemática para a formação do 
aluno;
• despertar o interesse pela Matemática ante a aplicabilidade;
• melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;
• desenvolver a habilidade para resolver problemas; e
• estimular a criatividade.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
34
(formulação e resolução do problema) e modelo matemático (interpretação e validação). 
Vamos entender cada uma dessas etapas e subetapas, agora, na Modelação 
Matemática:
Figura 1.6 | Etapas e subetapas no processo de Modelação Matemática
se suscita
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
35
Finalizadas as etapas e subetapas elencadas, é possível formular novo modelo, 
caso o tema ainda continue sendo de interesse dos alunos. Para isso, elabora-se 
uma segunda questão e seguem-se novamente os passos descritos. 
Segundo Biembengut e Hein (2013), o principal objetivo de desenvolver 
atividades de Modelagem Matemática em sala de aula é conduzir os alunos à 
aprendizagem de criar modelos matemáticos e, consequentemente, aprimorar 
seus conhecimentos. Ainda de acordo com esses autores, o que se espera por 
meio da Modelagem Matemática é:
Contudo, o professor precisa ter cuidado com a maneira que irá integrar o 
trabalho com Modelagem Matemática ao programa regular. As atividades de 
Modelagem Matemática não podem simplesmente ser realizadas de maneira não 
diretiva, sem uma finalidade clara e sem planejamento. As atividades precisam ser 
realizadas, tendo em vista enriquecer a aprendizagem de conceitos estudados 
e, portanto, precisa ser muito bem planejado o tempo que o professor precisará 
disponibilizar para desenvolver atividades de Modelagem Matemática, que objetivos 
pretende atingir, qual o momento ideal para desenvolver tal abordagem (antes ou 
depois de trabalhar determinado conteúdo) etc. 
• incentivar a pesquisa;
• promover a habilidade em formular e resolver problemas;
• lidar com tema de interesse;
• aplicar o conteúdo matemático; e
• desenvolver a criatividade (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 
23).
FONTE: A autora (2015)
outras
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
36
Em suma, o que podemos entender por Modelação Matemática, diferenciando-a 
da Modelagem Matemática, é que, por meio desta última, podemos nos deparar 
com situações que dificultam o desenvolvimento de atividades na sala de aula 
como, por exemplo, o professor ter a obrigaçãode acompanhar constantemente 
o tema escolhido por cada aluno (ou cada grupo de alunos) e o fato de nem 
sempre as ferramentas matemáticas necessárias para determinada atividade 
estarem ao alcance do aluno e, até mesmo, do professor. Nesse sentido, para 
que seja possível desenvolver atividades de Modelagem nas aulas de Matemática, 
foi preciso realizar algumas adaptações para que a Modelagem pudesse ser 
considerada como metodologia de ensino e de aprendizagem, porém sem perder 
suas características próprias. É essa metodologia adaptada da Modelagem que 
chamamos de Modelação Matemática. 
Na Modelação Matemática, uma das opções disponíveis ao professor consiste 
em escolher modelos, fazendo sua recriação na sala de aula, junto aos alunos 
e de acordo com os conteúdos abordados. Tais modelos podem ser utilizados 
para melhorar a capacidade dos estudantes em aplicar conceitos matemáticos, 
mas nada impede que a Modelagem seja utilizada como processo para ensinar 
conceitos matemáticos.
Os autores Biembengut e Hein (2013) esclarecem que, para implementar 
um trabalho com Modelação Matemática em sala de aula, o professor precisa, 
primeiro, ter disposição e vontade de modificar sua prática e de aprender cada vez 
mais. Além disso, os autores esclarecem que não basta ler e estudar teorias sobre 
o assunto, pois a segurança em desenvolver este tipo de trabalho só é adquirida 
com a experiência. 
Algumas orientações para aqueles professores que se iniciarão na proposta de 
atividades de Modelação Matemática são:
Figura 1.7 | Orientações para as atividades de modelação matemática
Conhecer alguns modelos clássicos por meio da literatura a respeito da 
história da ciência ou da ciência contemporânea, adaptando-os para a 
sala de aula; ou
Apresentar cada um dos conteúdos do programa a partir de modelos 
matemáticos de outras áreas do conhecimento (Física, Química, 
Economia, dentre outras); ou
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
37
Aplicar trabalhos ou projetos realizados por outros colegas, por tempo 
curto, com uma única turma e de preferência aquela cujo conteúdo se 
tem melhor domínio; ou
Para os alunos, propor que busquem exemplos ou tentem criar seus 
próprios modelos, sempre a partir da realidade. 
FONTE: Biembengut e Hein (2003, p. 30).
Acesse o link indicado a seguir e leia o artigo “Modelagem Matemática 
na formação de professores: possibilidades e limitações” e saiba 
mais sobre as possibilidades e as limitações de professores e futuros 
professores em aprender Modelagem Matemática para utilizá-la 
como método de ensino.
<http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2009/anais/
pdf/2120_1094.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
Quanto à familiarização dos estudantes com atividades de Modelagem 
Matemática, Almeida, Silva e Vertuan (2013) conjecturam três diferentes “momentos”, 
considerando que essa familiarização deve ocorrer de modo gradativo:
• 1º momento: o professor coloca à disposição do aluno uma situação-
problema e diversas informações a respeito dela. Em seguida, os procedimentos 
de matematização (formulação de hipóteses, simplificação, tradução da linguagem 
natural para a linguagem matemática etc.), assim como a validação do modelo, 
são acompanhados constantemente pelo professor.
• 2º momento: o professor sugere uma situação-problema para seus alunos 
e estes, neste momento, em grupos, se mostrarão mais independentes do professor 
no que diz respeito à definição de procedimentos extramatemáticos e matemáticos 
que são adequados para a situação-problema. Estes procedimentos correspondem 
à formulação de hipóteses, obtenção e validação do modelo e sua utilização para 
descrever e responder à questão gerada a partir da situação-problema.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
38
• 3º momento: ainda em grupos, nesse momento, os alunos serão 
responsáveis pela condução de uma atividade de Modelagem Matemática, cabendo 
a eles todo o processo compreendido entre a identificação de uma situação-
problema até a análise e resposta à situação por meio de modelo matemático, 
cabendo aos alunos, ainda, a comunicação dos resultados da investigação para a 
comunidade escolar. 
Ainda que tenhamos apresentados esses três momentos, não defendemos que 
estes devem ser seguidos criteriosamente, mas são sugestões para desenvolver 
um trabalho gradativo de familiarização dos alunos com a Modelagem Matemática, 
momentos estes que se mostraram adequados em algumas experiências já 
realizadas (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013). 
Para iniciar uma atividade de Modelagem Matemática no âmbito escolar, 
não basta o professor se suprir de conhecimentos teóricos, pois a segurança 
em desenvolver esse trabalho é advinda, sobretudo, da experiência. Além disso, 
não basta apenas o professor receber formação para lidar com a Modelagem 
Matemática: o aluno, do mesmo modo, precisa ser formado gradativamente 
no sentido de adquirir habilidades para se envolver de forma cada vez mais 
independente com atividades de Modelagem Matemática. 
3.3 Avaliação da aprendizagem
Tendo estudado as diferenças entre Modelação e Modelagem Matemática, e 
sabendo que, ao desenvolver propostas nesse âmbito, em sala de aula, é preciso 
que o trabalho seja bem planejado e diretivo, faz-se necessário discutirmos sobre 
como realizar uma avaliação tendo em vista evidenciar se os objetivos traçados 
para a atividade de Modelagem Matemática foram alcançados.
 Lembrando que, além de avaliar a aprendizagem do aluno, é essencial que seja 
realizada uma avaliação da própria prática, afinal, muitas vezes a abordagem do 
professor pode dificultar o processo de aprendizagem, não cabendo a culpa pelo 
fracasso apenas ao aluno. 
Nesse sentido, dois aspectos precisam, necessariamente, ser contemplados no 
processo avaliativo: o trabalho do professor, o qual pode ser redirecionado por 
essa avaliação, e o nível de aprendizado do aluno. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Ao avaliar o nível de aprendizado dos alunos que se envolvem (ou se envolveram) 
com atividade de Modelagem Matemática, o professor precisa considerar dos 
aspectos: subjetivo e objetivo.
O aspecto subjetivo corresponde à avaliação pautada nas observações do 
professor. Nesse quesito, o professor precisa ficar atento para observar, registrar 
e avaliar tudo o que diz respeito ao empenho do aluno, tal como participação, 
assiduidade e cumprimento de tarefas propostas.
No aspecto objetivo, o professor pode contar com o auxílio de instrumentos, 
como provas escritas, exercícios, ente outros, considerando os seguintes critérios 
elencados por Biembengut e Hein (2013):
• Produção e conhecimento matemático: nesse critério contemplam-
se os conhecimentos matemáticos específicos que devem ser explicitados e 
manifestados, tais como expressão por meio de gráficos e interpretação destes, 
raciocínio lógico, operacionalização de problemas numéricos etc.
• Produção de um trabalho de modelagem em grupo: nesse critério 
contemplam-se os desempenhos manifestados pelos estudantes em relação ao 
grupo durante desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática: qualidade 
de questionamentos, obtenção de informações e dados sobre a situação-problema, 
exposição oral e escrita do trabalho etc.
• Extensão e aplicação do conhecimento: nesse critério contemplam-se as 
habilidades dos estudantes em sintetizar, compreender e expressar os resultados 
matemáticos obtidos, bem como analisar e interpretar de maneira crítica outros 
modelos utilizados. 
Perceba que o papel do professor em avaliar é bastante complexo, pois diversos 
fatores estão envolvidos e diversos critérios precisam ser contemplados. Além 
disso, é muito importante que esses critérios de avaliação sejam esclarecidos para 
o estudante antes de dar início ao processo avaliativo.
De que maneira você acredita que pode ser realizada a avaliação 
da aprendizagem do aluno durante e após o envolvimentocom 
atividade de Modelagem Matemática? E que maneiras você julga 
mais eficientes para esse fim?
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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1. De acordo com os estudos realizados nessa unidade, 
vimos que a Modelagem Matemática consiste na arte 
de transformar problemas da realidade em problemas 
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções 
na linguagem do mundo real. Além disso, vimos que 
a Modelagem Matemática pode ser entendida como 
um método científico de pesquisa, mas, também, pode 
ser entendida como uma estratégia de ensino e de 
aprendizagem. Quando considerada como estratégia de 
ensino e de aprendizagem, a modelagem é denominada 
modelação matemática. No que diz respeito à modelação 
matemática, assinale a opção correta:
a) A modelação matemática parte de problemas teóricos 
da própria Matemática e tenta modelá-los a partir de um 
conjunto de procedimentos.
b) A modelação matemática não considera que a validação 
do modelo é a etapa prioritária, mas considera que o mais 
importante é o processo utilizado, a análise crítica e sua 
inserção no contexto sociocultural.
c) A modelação matemática tem por objetivo levar 
o indivíduo a aplicar conceitos puros e abstratos da 
Matemática, não tendo como foco a preparação desse 
indivíduo para a vida real como cidadão competente 
para entender exemplos representativos de aplicações de 
conceitos matemáticos.
d) A modelação matemática tem por objetivo o 
desenvolvimento de novas técnicas e teorias matemáticas.
2. Sobre o uso da Modelagem Matemática na sala de aula, 
analise as afirmativas a seguir:
I- Os resultados na sala de aula podem ser muito ricos, no 
entanto, dependem de uma preparação do professor para 
evitar que ocorra uma prática não diretiva, sendo que essa 
preparação não depende apenas de um estudo teórico, 
mas de experiências. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
41
II- A avaliação na Modelagem Matemática deve atribuir um 
significado especial ao desempenho do aluno, ponderando 
não apenas os conhecimentos matemáticos apreendidos, 
mas a compreensão da importância do modelo matemático, 
sua assiduidade e participação durante a atividade e as 
observações do professor.
III- Para que o aluno possa se familiarizar com a atividade 
de Modelagem Matemática, a melhor opção é o professor 
propor um texto teórico para que o aluno aprenda o que 
é e como é desenvolvida uma atividade de Modelagem 
Matemática para, em seguida, deixá-lo escolher uma 
situação-problema, realizar todos os procedimentos de 
modelagem e validar esse modelo, sem ser necessária a 
mediação direta do professor. 
Estão corretas as afirmativas: 
a) I e II .
b) II e III.
c) I e III.
d) I, II e III.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Seção 4
Implicações da modelagem matemática no 
processo de aprendizagem
Introdução à seção
No decorrer dessa unidade já foram, de certo modo, explicitadas algumas 
implicações positivas sobre a utilização da Modelagem Matemática no processo 
de ensino e de aprendizagem. 
Vamos, agora, discutir mais especificamente as principais implicações da 
Modelagem Matemática na sala de aula.
4.1 Importância da utilização da Modelagem Matemática na sala de aula
Como já foi estudado, a Modelagem Matemática fomenta muitas contribuições 
em diversas áreas. Na perspectiva educacional, por meio da integração de 
modelos matemáticos, a Modelagem Matemática contribui para conduzir os 
alunos a investigarem o “porquê” e o “como” desses modelos e para compreender 
a relevância destes para a situação-problema proposta e para a apreensão de 
conceitos matemáticos. 
A atividade de Modelagem Matemática na sala de aula pode ter dois objetivos: 
didática ou conceitual. O primeiro objetivo (didática) refere-se à atividade de 
Modelagem Matemática, que tem por finalidade desencadear a aprendizagem de 
Matemática; enquanto que o segundo objetivo (conceitual) refere-se à atividade 
de Modelagem Matemática, que tem em vista introduzir ou sistematizar conceitos 
matemáticos. 
As atividades de Modelagem Matemática contribuem, entre tantos outros 
aspectos, no processo de ensino e de aprendizagem de conceitos matemáticos 
por meio de aplicações desses conceitos em situações-problemas reais, 
extramatemáticos, os quais podem ser observados e até vivenciados pelo aluno 
fora do ambiente escolar. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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44
Nesse sentido, as atividades de Modelagem Matemática proporcionam ao 
aluno, sobretudo da Educação Básica, diversos aspectos que o motivam a aprender 
Matemática. É sobre esses aspectos que abordaremos na sequência.
4.1.1 Aspecto relacionado à motivação a partir do estabelecimento de relações 
entre Matemática e vida real
Um dos fatores que certamente prejudica o processo de aprendizagem em 
Matemática e provoca nos estudantes um sentimento de aversão pela disciplina é 
a maneira como ela é ensinada: de maneira desvinculada da realidade. 
A Modelagem Matemática pode ser considerada como alternativa para 
minimizar tais problemas, uma vez que aproxima Matemática da realidade ao 
aplicar conceitos dessa área em situações-problemas advindas de fenômenos 
reais, sendo esses fenômenos pautados nos interesses dos alunos. Dessa forma, a 
compreensão de objetos matemáticos é facilitada, uma vez que o aluno se sente 
motivado em aprender, ao perceber que há aplicação da Matemática estudada na 
sala de aula em situações reais, inclusive em situações que envolvem outras áreas 
do conhecimento. 
Para exemplificar este aspecto, podemos considerar o caso em que o aluno 
consegue compreender o efeito de um medicamento no organismo, o qual “[...] 
vai diminuindo no decorrer do tempo e tende mesmo a desaparecer, no entanto, o 
aluno não associa esse fato ao conceito de uma função decrescente apresentada 
pelo professor” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 31).
4.1.2 Aspecto relacionado ao uso de computadores no ensino de Matemática
Sabemos que as tecnologias são essenciais nos dias de hoje e que estão cada 
vez mais presentes na vida cotidiana de todas as pessoas, inclusive e, sobretudo, 
na vida dos alunos da contemporaneidade. 
Durante uma atividade de Modelagem Matemática é possível se deparar com 
situações em que fica difícil analisar ou validar um modelo por meio de cálculos, 
procedimentos e representações realizados manualmente e, nesse sentido, as 
tecnologias, em especial os computadores, podem auxiliar nesse processo. Sendo 
assim, a tecnologia é uma integração importante e necessária na maioria das 
atividades de Modelagem Matemática. 
Atualmente, são inúmeros os softwares disponíveis e que possibilitam a 
construção de gráficos, a realização de cálculos e a observação da influência de 
parâmetros. Assim, essas tecnologias permitem que o aluno tenha melhor contato 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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45
visual e experimental sobre o comportamento de um modelo considerado em 
uma atividade de Modelagem Matemática. 
Dentre as justificativas para a integração de tecnologias nas atividades de 
Modelagem Matemática, destacamos na figura a seguir três justificativas:
Assim, em suma, podemos considerar que a integração de tecnologias na atividade 
de Modelagem Matemática possibilita interagir fatos reais com o conteúdo matemático 
estudado em sala de aula. Dessa forma, as tecnologias somadas às atividades de 
Modelagem Matemática potencializam a motivação do aluno em aprender, pois 
possibilitam explicitar uma ligação entre realidade e conhecimento teórico. 
4.1.3 Aspecto relacionado ao trabalho cooperativo
Para que seja possível haver aprendizagem em Matemática, além do 
estabelecimento de relações entre os objetos relativos a essa disciplina e refletir 
sobre a própria atividade matemática querealiza, é essencial que o aluno negocie 
Possibilita lidar com 
situações-problemas mais 
complexas e fazer uso 
de dados reais, ainda que 
estes sejam em grande 
quantidade ou assumam 
valores muito grandes.
Permite que a maior parte dos 
esforços se concentre nas 
ações cognitivas associadas 
ao desenvolvimento da 
atividade de modelagem, 
considerando que a realização 
de cálculos, de aproximações 
e de representações gráficas 
são mediadas pelo uso do 
computador.
Possibilita lidar com as 
situações-problemas por meio 
de simulações numéricas ou 
gráficas, variando parâmetros 
nas representações gráficas e 
(ou) algébricas.
Figuras 1.9 | Justificativas para a utilização de tecnologias na Modelagem Matemática
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 32). 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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significados matemáticos com outras pessoas.
Se pensarmos nas ações de ensinar e aprender em sala de aula, podemos 
perceber que tais atos são constituídos por comunicação, interação e negociação 
de significados. Nesse sentido, “[...] aprender é uma experiência pessoal, mas que 
se dá em contextos sociais e cercados de relações interpessoais” (ALMEIDA; SILVA; 
VERTUAN, 2013, p. 32).
Para que sejam estabelecidas interações de qualidade, as atividades 
desenvolvidas pelos estudantes podem influenciar significativamente, e é nesse 
intuito que a Modelagem Matemática se constitui como uma atividade profícua 
para estabelecer relações. Afinal, a atividade desenvolvida nesse contexto permite 
e depende da interação entre alunos, entre aluno e professor e, até mesmo, 
entre aluno e sociedade, uma vez que é nela que as situações-problemas, que 
engendram a atividade de Modelagem Matemática, têm origem. 
Vale destacar que a aprendizagem nesse âmbito consiste, sobretudo, no fato 
de que durante atividade de Modelagem Matemática os alunos envolvidos buscam 
atingir um mesmo objetivo, muitas vezes alcançado por caminhos diferentes, os 
quais são discutidos entre eles, proporcionando melhor apreensão dos conceitos 
matemáticos envolvidos na atividade.
4.1.4 Aspecto relacionado ao desenvolvimento do conhecimento crítico 
reflexivo
O conhecimento crítico e reflexivo, para o qual a atividade de Modelagem 
Matemática proporciona fortes contribuições, conduz o estudante a ampliar e 
refinar sua visão de mundo, permitindo-o se “enxergar” em seu próprio contexto 
social (SKOVSMOSE, 2001). 
Na atividade de Modelagem Matemática em si, o conhecimento crítico e reflexivo 
contribui para a interpretação e a discussão de modelos matemáticos, ponderando 
suas características sociais concomitantemente aos conhecimentos matemáticos 
envolvidos. Considerando que esses modelos são oriundos de situações-problemas 
reais, podemos afirmar que, do mesmo modo, o conhecimento reflexivo traz 
contribuições para o aluno em sociedade, no sentido que o auxilia na tomada de 
decisões e em suas atitudes. 
 Assim, podemos afirmar que os modelos matemáticos de uma atividade de 
Modelagem Matemática não são neutros, pois carregam em si grande aporte social 
e, portanto, muito mais do que aprender conceitos matemáticos, o aluno reflete, 
reage e age criticamente sobre a situação-problema com a qual se envolve.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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47
4.1.5 Aspecto relacionado à utilização de diferentes registros de representação
Se você refletir sobre a aprendizagem de Matemática, perceberá que o 
conhecimento nessa disciplina só é possibilitado por meio de representações, que 
podem ser gráficas, tabulares, algébricas, em linguagem natural etc. 
Sendo assim, as representações estão associadas à compreensão, à atribuição 
de significados e ao conhecimento em Matemática, sendo que estes estão pautados 
na identificação das diferentes representações relacionadas a um mesmo objeto 
matemático. 
Ainda mais nos conceitos mais abstratos da Matemática, suas representações 
possibilitam ao aluno interagir com esses conceitos e conhecer suas principais 
características. 
Duval (2003) defende que as diversificadas representações de um mesmo 
objeto matemático são essenciais para a compreensão deste. Esses diferentes 
tipos de representações (figuras, gráficos, tabelas, linguagem natural, linguagem 
algébrica etc.) o autor denomina de “Registros de Representação Semiótica”. 
De acordo com Duval (2003), para que um sistema de signos seja considerado 
como registro de representação semiótica é preciso:
• Que a representação seja identificável, ou seja, deve ser possível reconhecer 
na representação aquilo que ela representa.
• Que o tratamento ocorra dentro de um mesmo sistema de registro. Por 
exemplo:
No exemplo acima, temos a simplificação de uma expressão aritmética que 
pode ser considerada como tratamento, pois as transformações ocorrem, desde 
o início até o fim, em um mesmo registro: no registro aritmético. 
• Que a conversão ocorra. A conversão implica a transformação de um 
registro de representação de um objeto matemático em outro, sendo, portanto, 
uma transformação externa ao registro inicial. Por exemplo:
{2+5-[7-(3-1)]}=
={2+5-[7-2]}=
={2+5-5}=
={7-5}=
=2.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
48
Figura 1.9 | Conversão entre registros de representação semiótica
FONTE: Adaptado de Vertuan (2007, p. 24)
Na figura acima temos a conversão entre registros de representação semiótica. 
A primeira conversão é da linguagem algébrica para a linguagem tabular, e a 
segunda conversão é da linguagem tabular para a gráfica, portanto, são registros 
diferentes, mas que se referem a um mesmo objeto matemático: função polinomial 
do terceiro grau. 
 Contudo, é à coordenação entre registros que Duval (2003) atribui a 
responsabilidade principal pela compreensão de objetos matemáticos, pois essa 
consiste em “[...] mobilizar, simultaneamente, dois ou mais registros associados a 
um mesmo objeto matemático, identificando características do objeto em cada um 
dos registros” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 35). Assim, é possível evidenciar 
características em um registro que não são evidenciados em outro, portanto, estes 
registros se complementam.
Nesse contexto, a Modelagem Matemática se apresenta como uma atividade 
potencial “[...] no que diz respeito à investigação sobre a compreensão de objetos 
matemáticos que se fazem presentes nas situações de modelagem a partir da 
coordenação entre os diferentes registros de representação associados aos 
objetos” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 35).
4.1.6 Aspecto relacionado à ocorrência de aprendizagem significativa
Ausubel (1980), em sua teoria sobre Aprendizagem Significativa, argumenta que 
uma nova aprendizagem só ocorre a partir daquilo que o aluno já sabe. Isso é o que o 
autor chama de “subsunçores”, mas que conhecemos como “conhecimentos prévios”.
Partindo desse pressuposto, o autor considera que, para o ensino conduzir o 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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aluno a uma aprendizagem significativa, é necessário cumprir as condições básicas:
• Organizar material didático potencialmente significativo.
• Os conhecimentos prévios dos alunos devem permitir a relação entre o 
que eles já sabem com os novos conhecimentos.
• O aluno precisa se apresentar predisposto positivamente para aprender de 
maneira significativa.
Essas condições básicas indicadas por Ausubel (1980) e elencadas acima são 
características presentes nas atividades de Modelagem Matemática. 
Tendo realizado os estudos desta seção, reflita e dê sua opinião: 
quais as implicações da modelagem matemática no processo de 
aprendizagem?
Acessando o link a seguir você lerá um artigo em que se discutem 
as possíveis relações entre a perspectiva sociocrítica da Modelagem 
Matemática (que apresentamos uma breve abordagem no item 
4.1.4.) e a aprendizagem significativa:
<http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID281/v17_n1_a2012.pdf>. Acesso em 15 maio 2015.
Já no próximo link, você conhecerá um pouco mais sobre as 
contribuições da Modelagem Matemática para a ocorrência de 
aprendizagem significativa:
<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/
viewFile/4689/3258>. Acesso em 15 maio 2015.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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1. Você acabou de estudar que as atividades de Modelagem 
Matemática proporcionam ao aluno, sobretudo da Educação 
Básica, diversos aspectos que o motivam a aprender 
Matemática. Dentre estes aspectos, comentamos sobre 
aquele que está relacionado à utilização de diferentes registros 
de representação. Sobre esse aspecto, é correto afirmar:
a) Na atividade de Modelagem Matemática é complexo 
dizer que um modelo é uma representação identificável, 
pois ele não permite reconhecer na representação aquilo 
que ele representa. 
b) A conversão na atividade de Modelagem Matemática 
só ocorre no momento em que diversos modelos são 
elaborados, visando identificar o mais adequado.
c) O tratamento na atividade de Modelagem Matemática 
consiste em reconhecer que modelos apresentados em 
registros diferentes fazem referência a um mesmo objeto 
matemático.
d) Devido ao caráter investigativo da atividade de 
Modelagem Matemática, é possível ocorrer a coordenação 
entre diferentes registros de representação, os quais fazem 
referência a um mesmo objeto matemático. 
2. Considerando os aspectos que motivam alunos a 
aprender Matemática a partir de atividades de Modelagem 
Matemática, considere as afirmativas a seguir:
I- Devido ao caráter de não neutralidade dos modelos, 
podemos afirmar que estes carregam em si grande aporte 
social. Sendo assim, em uma atividade de Modelagem 
Matemática, o aluno pode aprender conceitos matemáticos 
e, além disso, pode refletir, reagir e agir criticamente sobre 
a situação-problema com a qual se envolve.
II- Na atividade de Modelagem Matemática os alunos buscam 
atingir objetivos distintos, o que promove a discussão entre 
eles para negociar significados, caracterizando o aspecto 
de realização de trabalhos cooperativos.
III- Os recursos tecnológicos, quando integrados à atividade 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
51
de Modelagem Matemática, permitem e possibilitam o 
aumento (ou surgimento) de motivação no aluno em 
aprender, pois tais recursos possibilitam explicitar uma 
ligação entre realidade e conhecimento teórico.
Estão corretas as afirmativas:
a) I e II.
b) II e III.
c) I e III.
d) I, II e III.
Nesta unidade você aprendeu:
• O que é modelo matemático e em que consiste a 
Modelagem Matemática.
• Os procedimentos da atividade de Modelagem Matemática, 
conhecendo as etapas e subetapas desse processo.
• As principais aplicações da Modelagem Matemática em 
diversas áreas do conhecimento, mas, sobretudo, na área 
de Educação Matemática.
• Os principais pressupostos teóricos a respeito da 
Modelagem Matemática como alternativa pedagógica no 
cenário educacional.
• A diferença entre Modelagem Matemática e Modelação 
Matemática.
• Como avaliar o desempenho dos alunos em atividades 
de Modelagem Matemática e como deve ocorrer a 
familiarização, tanto do professor quanto do aluno, com 
esse tipo de atividade. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
52
• As implicações da Modelagem Matemática no processo 
de aprendizagem, a partir dos aspectos principais que 
contribuem para aprender Matemática a partir de atividades 
de Modelagem Matemática.
Esta unidade foi elaborada com a intenção de auxiliar na 
aprendizagem de conceitos muito importantes para você, futuro 
professor. 
Os conceitos trabalhados nessa unidade compõem o campo do 
conhecimento de Modelagem Matemática, muito importante não 
apenas para a Matemática, como para diversas outras áreas como 
Física, Química, Economia etc., uma vez que a Modelagem pode 
ser comparada ao método científico. Contudo, nesse estudo, após 
apresentar aspectos principais sobre a Modelagem Matemática, 
focamos nesta como atividade no contexto escolar e, portanto, 
os estudos realizados nessa unidade constituem como uma base 
para estudos sequentes.
No intuito de aprofundar sua aprendizagem, enfatizamos que 
é muito importante que você não apenas faça a leitura desse 
material, mas acesse os materiais sugeridos, resolva as atividades 
de aprendizagem que foram propostas e busque em outras 
fontes (inclusive na Biblioteca Digital) mais informações a respeito 
da temática dessa unidade. 
Além disso, não se esqueça de acessar o fórum. É por meio dele 
que você poderá sanar suas dúvidas. 
Bons estudos!
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
53
1. Considere as afirmativas a seguir: 
I- A Modelagem Matemática consiste em transformar 
problemas reais em problemas matemáticos e resolvê-los 
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.
II- O objetivo da Modelagem Matemática é ditar um 
modelo padrão de ensino da Matemática a ser seguido 
por todos os professores.
III- A Modelagem Matemática consiste em estudar 
problemas teóricos através de métodos matemáticos. 
Assinale a alternativa que indica(m) afirmativa(s) 
correta(s): 
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
2. A Modelagem Matemática pode ser entendida como a 
arte de transformar problemas da realidade em problemas 
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções 
na linguagem do mundo real. A esse respeito, analise as 
afirmativas a seguir, considerando as competências que 
o aluno precisa mobilizar na utilização desse recurso 
metodológico:
I- Selecionar variáveis que serão relevantes para o 
modelo a construir.
II- Formular o problema teórico na linguagem 
matemática.
III- Formular hipóteses explicativas do fenômeno em 
estudo. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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54
IV- Recorrer ao conhecimento matemático para a 
resolução do problema formulado e confrontar as 
conclusões teóricas com os dados empíricos existentes.
Assinale a alternativa que apresenta afirmativas corretas:
a) I, II e IV.
b) II, III e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
3. (Adaptado de UFSC/2010) De acordo com Bassanezi 
(2004), a Modelagem Matemática pode ser considerada 
tanto como um método científico de pesquisa quanto 
como uma estratégia de ensino e de aprendizagem. 
Identifique se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmativas 
abaixo com relação aos argumentos utilizados para 
justificar a inclusão da Modelagem Matemática como 
estratégia a ser usada para o ensino e a aprendizagem 
da Matemática no âmbito escolar:
( ) Desenvolve a habilidade para resolver problemas 
e estimula a criatividade dos alunos.
( ) Possibilita uma melhor compreensão e apreensão 
dos conceitos matemáticos.
( ) Ressalta a importância da Matemática na formação 
dos alunos para uma atuação crítica na sociedade, 
tornando-os capazes de reconhecer e entender 
situações que envolvam conceitos matemáticos.
( ) Aproxima a Matemática de outras áreas do 
conhecimento.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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55
4. (Adaptado de FEPESE/UFSC – 2007) A Modelagem 
Matemática, arte de expressar através de linguagem 
matemática situações-problemas de nosso dia a dia, 
tem estado presente desde os tempos mais primitivos. 
Atualmente, nas escolas brasileiras, tem-se este 
tema presente nas discussões do processo ensino-
aprendizagem da Matemática. Em relação a esse tema, 
assinale a alternativa correta. 
a) A Modelagem Matemática envolve sempre conteúdos 
avançados e, portanto, não deve ser usada no Ensino 
Fundamental. 
b) Em geral, o processo da Modelagem Matemática 
requer três etapas básicas: Inteiração, Matematização e 
Modelo Matemático. 
c) Ao demonstrar um teorema em sala de aula, estamos 
realizando o processo de Modelagem Matemática. 
d) O professor propõe o tema “Quadra de Esportes da Escola” 
paraseus alunos. Conduz os alunos até o local e solicita-lhes 
que identifiquem as figuras geométricas. Essa situação envolve 
todo o processo de Modelagem Matemática no ensino.
( ) É uma estratégia de aprendizagem, na qual o 
mais importante é chegar imediatamente a um modelo 
bem-sucedido.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA, de cima para baixo.
a) V – F – F – V – F. 
b) F – V – F – F – F.
c) V – V – V – V – F. 
d) V – F – V – V – V.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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5. (Adaptado de CONSULPLAN/ 2013) Acerca 
da Modelagem Matemática, importante recurso 
metodológico na sala de aula, marque V para as 
afirmativas verdadeiras e F para as falsas. 
( ) Cria modelos por hipóteses e aproximações 
simplificadoras para obter múltiplas respostas com suas 
respectivas justificativas. 
( ) Os temas de estudo para uma aula devem sempre 
ser decididos pelo professor, pois considera-se sua 
experiência e segurança. 
( ) Traduz a linguagem do mundo real para o mundo 
matemático. 
( ) Oferece uma maneira de colocar a aplicabilidade 
da Matemática em situações do cotidiano, tornando-a 
significativa. 
A sequência está correta em:
a) F - F - V - V. 
b) V - F - V - V. 
c) F - V - V - V. 
d) F - V - V - F. 
U1
57Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
Referências
ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessôa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. 
Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2013.
AUSUBEL, David P. Psicologia educacional. Trad. Eva Nick. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Interamericana, 1980.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem 
matemática: uma nova estratégia. 2.ed. São Paulo: Contexto, 2004.
BIEMBENGUT, Maria Sallet; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 5 
ed. São Paulo: Contexto, 2013.
CHUQUIPOMA, José Angel Dávalos. Modelagem matemática. São João del-Rei, 
MG: UFSJ, 2012. 
DUVAL, Raymond. Registros de representação semiótica e funcionamento 
cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. Aprendizagem 
em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003, 
p. 11-34. 
SKOVSMOSE, Ole. Educação matemática crítica: a questão da democracia. 
Campinas: Papirus, 2001. 
VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Um olhar sobre a modelagem matemática à luz 
da teoria dos registros de representação semiótica. 2007. 141 f. Dissertação 
(Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Centro de Ciências 
Exatas, Universidade Estadual de Londrina, Paraná. 2007. 
Unidade 2
MODELOS MATEMÁTICOS 
PARA O ENSINO DE 
MATEMÁTICA: EXEMPLOS NO 
ENSINO FUNDAMENTAL
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade trazemos uma abordagem a respeito da atividade 
de Modelagem Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, 
apresentando alguns aspectos relevantes sobre esse tipo de atividade na 
referida etapa escolar. 
Com esta unidade temos por objetivo conduzir você, estudante, a 
vislumbrar possibilidades de atividades de Modelagem Matemática para 
alunos dos anos finais do Ensino Fundamental, por meio de exemplos de 
atividades que serão descritas, as quais são fundamentadas em aspectos 
sobre Modelagem Matemática que já foram estudados na unidade anterior. 
Esperamos que por meio dos exemplos que serão elencados você possa 
ter algumas ideais sobre como conduzir atividades de modelagem e possa 
perceber a potencialidade desta abordagem no processo de ensino e de 
aprendizagem de Matemática. 
Keila Tatiana Boni
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Nesta primeira seção visamos explicitar a você a possibilidade de 
realização de atividades de Modelagem Matemática nos anos finais 
do Ensino Fundamental, bem como as implicações positivas dessa 
abordagem na referida etapa escolar.
Nesta seção damos início à apresentação de atividades de Modelagem 
Matemática que podem ser realizadas nos anos finais do Ensino 
Fundamental. Contudo, destacamos que tais atividades não se restringem 
a essa etapa escolar, mas podem ser adaptadas para outras etapas. Essa 
primeira atividade de Modelagem Matemática que exemplificamos refere-
se ao tema “cerca elétrica” de residências, por meio do qual envolvemos 
conceitos matemáticos, tais como sistema de equação linear, intersecção 
de retas e inequação linear. 
Seção 1 | Modelagem Matemática no Ensino Fundamental
Seção 2 | Modelo Matemático 1: “Cerca elétrica”
Nesta seção apresentamos mais um exemplo de atividade de 
Modelagem Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental, a 
qual é apresentada em diversas etapas, permitindo ao professor propor 
essa atividade em momentos diversos, de acordo com os objetivos 
de aprendizagem de cada momento do período letivo. A atividade 
apresentada contempla diversos conceitos matemáticos, dentre eles 
podemos destacar: porcentagem, unidades de medidas, produtos 
notáveis, operações com números inteiros e racionais na forma decimal 
e fracionária e elementos de Geometria plana e espacial. 
Nesta seção apresentamos outro exemplo de atividade de Modelagem 
Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental, com foco no ensino e 
na aprendizagem de funções por meio da problemática de escolha do melhor 
plano de telefonia móvel entre três empresas. Apesar de nos basearmos 
em uma atividade que foi desenvolvida no primeiro ano do Ensino Médio, 
podemos adaptá-la para ser trabalhada no 9º ano ao introduzir o estudo de 
funções afim, bem como para auxiliar no processo de aprendizagem desse 
conteúdo a partir da evidenciação de sua aplicabilidade.
Seção 3 | Modelo Matemático 2: “Construção de casas” 
Seção 4 | Modelo Matemático 3: “Telefonia celular”
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Introdução à unidade
Na presente unidade você terá a oportunidade de aprender um pouco mais sobre 
modelação para ensinar Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental por meio 
de três atividades de Modelagem Matemática que serão apresentadas, as quais estão 
envolvendo as temáticas “cerca elétrica”, “construção de casas” e “telefonia celular”.
Esperamos que os modelos que serão apresentados sirvam para nortear o seu 
futuro trabalho como professor da Educação Básica, encorajando-o a implementar 
a Modelagem Matemática como estratégia de ensino em sua futura prática docente. 
Vale destacar que, ainda que os exemplos apresentados estejam voltados para 
os anos finais do Ensino Fundamental, todos eles podem ser adaptados para outros 
níveis escolares. Além disso, mostramos apenas algumas situações, porém, no mesmo 
nível de ensino, outras abordagens partindo dos mesmos temas podem ser delineadas 
durante o desenvolvimento na sala de aula. Enfim, tudo depende da criatividade do 
professor e dos objetivos que se pretende atingir.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Seção 1
Modelagem Matemática no Ensino Fundamental
Introdução à seção
Questionamentos comuns dos alunos durante as aulas de Matemática 
certamente são: “por que estudar esse conteúdo? Para que vou usar esse conteúdo 
na minha vida?”.
Perguntas como estas são comum, sobretudo, em escolas em que o ensino da 
Matemática continua tradicional, em que o professor é o detentor e o transmissor 
do conhecimento, enquanto os alunos recebem todos esses conhecimentos 
de maneira pronta e acabada, as aceitam como verdades indiscutíveis e as 
reproduzem, sem compreenderem o significado do que estão “aprendendo”. A 
Matemática ensinada dessa maneira é totalmente descontextualizada e desconexa 
com a realidade, assim como os conteúdos são apresentados isoladamente, como 
se não tivessemrelação entre eles. 
Para que o aluno consiga atribuir sentido para o que está sendo estudado, ele 
precisa vivenciar a importância e aplicabilidade do que está sendo estudado. Tal 
experiência é possível de ser proporcionada pela Modelagem Matemática. 
Como já foi estudado na unidade anterior, a Modelagem Matemática, por seus 
procedimentos análogos ao método científico, permite ao aluno experimentar a 
importância da Matemática para representar e resolver uma situação-problema 
não matemática. Além disso, dessa maneira, o aluno deixa de ser o sujeito passivo, 
para se tornar ativo e responsável pela sua própria aprendizagem.
É nessa perspectiva que você estudará, nesta seção, a Modelagem Matemática 
como alternativa para o ensino e a aprendizagem da Matemática, porém, agora 
com foco nos anos finais do Ensino Fundamental.
1.1. A atividade de Modelagem Matemática nos anos finais do Ensino 
Fundamental
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Na unidade anterior você já estudou sobre como se constitui uma atividade de 
Modelagem Matemática no contexto educacional, sendo a abordagem realizada 
de maneira geral, contemplando desde o Ensino Fundamental (anos iniciais) até o 
Ensino Superior. Você vai estudar, agora, de maneira mais específica, a Modelagem 
Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, que compreende do 6º ao 9º 
ano (antigamente denominados de 5ª a 8ª série). 
Assim como já foi estudado, a Modelagem Matemática pode ser compreendida 
como “um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para 
tentar explicar matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser 
humano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões” (BURAK, 1992, p.62). 
Para explicar fenômenos cotidianos, o aluno é conduzido a indagar e a investigar, 
utilizando conhecimentos matemáticos e o fenômeno em questão, o que contribui 
para uma formação matemática mais crítica e reflexiva do aluno. 
Na sala de aula, uma atividade de Modelagem Matemática poderá ser realizada 
de três maneiras:
(1) Os alunos fazem a investigação a partir de um problema apresentado pelo 
professor, sendo este relatado devidamente, com dados quantitativos e qualitativos.
(2) Os alunos têm à disposição apenas o problema, mas a coleta de dados 
deverá ser realizada fora da sala de aula.
(3) São propostos projetos a partir de temas não matemáticos, temas estes que 
podem ser escolhidos pelo aluno ou pelo professor. Todos os procedimentos, 
desde a formulação do problema até a resolução da situação-problema ficam a 
cargo do aluno (BARBOSA, 2004).
Na tabela a seguir, apresentamos os três casos elencados:
Por meio do quadro apresentado você deve ter sentido a falta de algo muito 
importante que você estudou na unidade anterior: Barbosa (2004) não faz menção 
a Modelos Matemáticos. Isso porque Barbosa (2004) defende que uma atividade 
de Modelagem Matemática consiste 
CASO 1 CASO 2 CASO 3
Formulação do problema Professor Professor Professor/aluno
Simplificação Professor Professor/aluno Professor/aluno
Coleta de dados Professor Professor/aluno Professor/aluno
Solução Professor/aluno Professor/aluno Professor/aluno
Tabela 2.1 | Três casos para atividades de Modelagem Matemática
FONTE: Adaptado de: Barbosa (2004, p. 5).
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Quando nos referimos a modelos matemáticos, imaginamos funções ou 
equações, ainda mais porque na unidade anterior vimos uma vasta utilização do 
Cálculo Diferencial e Integral na Modelagem Matemática em diversas áreas (Física, 
Química, Biologia etc.). Em especial no Ensino Fundamental, modelo matemático 
pode ser tabela, gráfico, relações funcionais, figuras geométricas, entre tantos 
outros meios de representar a realidade. 
Para que você possa compreender melhor a ideia de modelo matemático que 
estamos adotando aqui, considere a planta baixa de uma residência, ou uma tabela 
de preços de um supermercado: ambos permitem que o sujeito tome decisões, 
portanto podemos considerá-los como modelos matemáticos. 
 Sendo assim, no Ensino Fundamental (mas não apenas nesse nível escolar), o 
mais importante durante uma atividade de Modelagem Matemática não é chegar 
a um modelo matemático final, mas é o processo percorrido para compreender 
o objeto em estudo e buscar respostas para a problemática levantada sobre ele, 
utilizando a Matemática. 
Além disso, como já vimos na unidade anterior, para que a aprendizagem de 
Matemática seja motivadora, atrativa e, consequentemente, significativa, ao propor 
uma atividade de Modelagem Matemática, o professor precisa ficar atento para 
desenvolver um tema que seja de interesse dos alunos e que, ao mesmo tempo, 
valorize o contexto social deles, ponderando suas relações com sua história, 
cultura e contextos social e político. 
Quanto às etapas e subetapas a serem seguidas para realização de uma atividade 
de Modelagem Matemática no Ensino Fundamental, são as mesmas apresentadas 
na unidade anterior, em Modelação Matemática. 
O que também permanece constante são os obstáculos enfrentados ao se 
iniciar uma proposta de Modelagem Matemática em sala de aula. Dentre estes 
obstáculos, destacamos a preocupação dos professores em conciliar conteúdos a 
[...] em escolher um tema e formular um problema a partir 
deste tema, de modo que a busca pela solução deste problema 
levará o aluno a levantar hipóteses, simplificá-las e coletar 
dados para resolver matematicamente o problema. É claro que 
em muitos casos, a resolução do problema acarretará em um 
Modelo Matemático, mas este é apenas uma consequência da 
Atividade de Modelagem Matemática desenvolvida (BARBOSA, 
2004, apud TORTOLA; REZENDE; SANTOS, 2009, p. 4).
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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serem trabalhados, os quais são apresentados ordenadamente no programa a ser 
cumprido no período letivo. 
 A Modelagem Matemática permite trabalhar com os conteúdos matemáticos 
de maneira menos estanque e compartimentada ao trabalhar conteúdos do 
programa sem seguir criteriosamente uma ordem, assim como conteúdos já 
estudados em anos anteriores e conteúdos programados para séries posteriores, 
além de um trabalho interdisciplinar. 
Diante do que foi apresentado até então, reflita: o que 
foi apresentado de novo para a atividade de Modelagem 
Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental que não 
havia sido apresentado na unidade anterior, quando fizemos uma 
abordagem mais geral? E será que essas mudanças são muito 
diferentes do que ocorre no Ensino Médio e no Ensino Superior?
Saiba mais sobre a Modelagem Matemática no Ensino Fundamental 
acessando os links a seguir:
<file:///C:/Users/Acer/Downloads/3.2_consideracoes_
matematica%20_marcelo_camara_e_paulo.pdf>. Acesso em 15 
maio 2015.
<http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/
viewFile/1303/488>. Acesso em 15 maio 2015.
<http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/
MESAS/MT004.pdf>. Acesso em 15 maio 2015.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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1. Sobre modelos matemáticos na atividade de Modelagem 
Matemática no Ensino Fundamental, considere as afirmativas 
a seguir:
I- Em muitos casos, após a escolha do tema e formulação 
da situação-problema, bem como após o processo de 
matematização, a resolução do problema certamente 
acarretará em um modelo matemático, pois este é primordial 
no processo de uma atividade de Modelagem Matemática.
II- Além de equações e de funções, qualquer outra forma de 
representação matemática, como relações funcionais, figuras 
geométricas, tabelas e gráficos podem ser consideradas 
como modelos matemáticos.
III- Em geral, uma representação em linguagem matemática 
que conduza o sujeito àtomada de decisão pode ser 
considerada como modelo matemático.
Estão corretas as afirmativas:
a) I e II.
b) II e III.
c) I e III.
d) I, II e III.
2. Considerando as abordagens realizadas a respeito de 
Modelagem Matemática no Ensino Fundamental, assinale V 
para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
( ) O essencial é o processo percorrido na busca de 
compreender o objeto em estudo e em respondê-lo, em 
detrimento de chegar a um modelo matemático final.
( ) A aprendizagem da Matemática precisa ser atrativa, 
motivadora e, principalmente, significativa. Para isso, é 
muito importante que o professor proponha atividades de 
Modelagem Matemática a partir de um tema escolhido por 
ele e que contemple o conteúdo sendo estudado naquele 
momento pela turma, atentando-se para não envolver 
conceitos já estudados em outros momentos.
( ) As etapas da atividade de Modelagem Matemática nesse 
contexto escolar são: inteiração, matematização e modelo, 
tal como na Modelação Matemática, ainda que a obtenção 
do modelo não seja o foco principal.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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( ) Ao desenvolver uma atividade de Modelagem Matemática, 
o professor precisa ter cuidado para não deixar de cumprir o 
programa ordenadamente, pois os conteúdos matemáticos 
não podem ser apresentados em outra ordem para evitar 
prejudicar a compreensão dos alunos. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA, 
de cima para baixo.
a) V – F – V – F. 
b) V – V – F – F.
c) F – F – V – V. 
d) F – V – F – V. 
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Seção 2
Modelo Matemático 1: “cerca elétrica”
Introdução à seção
Nesta segunda seção, assim como nas próximas seções desta unidade, você 
conhecerá alguns exemplos de atividades de Modelagem Matemática que podem 
ser desenvolvidas nos anos finais do Ensino Fundamental. 
As atividades que serão apresentadas já foram desenvolvidas em contexto de 
ensino e aprendizagem e foram desenvolvidas segundo as etapas de Modelagem 
Matemática que foram estudadas na primeira unidade deste material. 
2.1 Modelo matemático: “cerca elétrica”
Para a primeira atividade que será apresentada, descrevemos as fases da 
Modelagem Matemática, propomos uma solução para a situação investigada e 
apresentamos sucintamente algumas considerações a respeito dos conceitos 
matemáticos mais explícitos na atividade. 
Antes de dar início à apresentação de exemplos, aconselhamos que qualquer 
atividade de Modelagem Matemática seja iniciada com um “bate-papo” sobre o 
tema que será trabalhado, criando um clima mais descontraído e permitindo ao 
aluno explicitar suas experiências e compreensões a respeito do tema. 
Reflita sobre qual a importância de estabelecer um “bate-papo” 
sobre o tema que será abordado antes de dar início à atividade 
de Modelagem Matemática, destacando as implicações tanto 
para o professor quanto para o aluno.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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O primeiro exemplo de atividade de Modelagem Matemática que vamos 
apresentar é sobre “Cerca Elétrica”. Esta atividade foi desenvolvida por estudantes 
de um curso de Especialização na área de Educação Matemática e é apresentado 
por Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 75). 
Sobre a cerca elétrica, seu uso começou a ser mais amplamente difundido no 
Brasil a partir de 1990. No início, sua utilização era mais comum na divisão de áreas 
de pastagens e de lavouras, contudo, devido a questões de segurança, passou 
a ser bastante utilizada como meio de auxiliar na segurança de residências e de 
estabelecimentos comerciais e industriais. 
A partir dessa temática, o professor pode promover uma discussão em sala de 
aula sobre o aumento do índice de violência no país e na sua região, elencando 
os equipamentos de segurança disponíveis e discutindo sobre a eficácia das 
cercas elétricas. 
Após discussão, partindo da temática da instalação de cercas elétricas, os 
estudantes que participaram dessa atividade “[...] obtiveram a informação de que 
estão disponíveis duas opções de serviços para instalação de cercas elétricas 
residenciais” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 75). Veja no quadro a seguir:
Vale destacar que nesse exemplo estamos utilizando valores que já foram 
obtidos, mas o interessante é que, ao propor esta atividade, o professor solicite 
que os alunos pesquisem os valores. Destacamos, ainda, que a quantidade de 
alguns compostos de cada kit pode variar, por exemplo, contamos com apenas 
uma haste de aterramento, porém, pode haver variações na quantidade. 
O interessante é que a atividade seja desenvolvida de maneira que se aproxime 
o máximo possível da realidade dos alunos e, por isso, aconselhamos que eles 
façam essa coleta das informações que constituirão os dados da atividade. 
 As informações que foram obtidas para esta atividade são:
Conteúdo Opção 1 (kit pronto) Opção 2 (kit a montar)
Central
R$ 370,00
R$ 180,00
Bateria R$ 60,00
Sirene R$ 25,00
Haste de aterramento R$ 35,00
Cerca (20 metros com 4 fios) --------------------------------
Valor do metro de cerca (4 fios) R$ 5,00 R$ 4,50
Quadro 2.1 | Preços de kits (pronto e a montar) para instalação de cercas elétricas residenciais
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 76).
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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A problemática levantada para a situação apresentada é: qual a opção mais 
vantajosa para um cliente que deseja instalar esse equipamento de segurança?
Para responder a esta questão, considerando as informações obtidas, vamos 
escrever em linguagem matemática alguns aspectos principais.
Assim, vamos chamar de l o comprimento da cerca, o qual está sendo 
considerado em metros. Esse comprimento é a variável independente. O que 
depende dessa variável independente é o preço que será pago pelos kits. Portanto, 
temos como variáveis dependentes o custo do kit 1 (C
1
) e o custo do kit 2 (C
2
), 
sendo ambos dados em reais (R$). 
Portanto, temos que o valor de cada kit depende do comprimento da cerca. 
Nestas condições, para ilustrar e comparar cada opção, observe as tabelas a seguir:
Tabela 2.2 | Custo (C
1
) da cerca usando a opção 1
Figura 2.1 | Informações obtidas para a realização da atividade.
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 76).
Fonte: Adaptado de: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 76).
OPÇÃO 1:
Valor do kit é R$ 370,00 e, para cada metro de cerca que excede 20 
metros, paga-se R$ 5,00.
OPÇÃO 2:
Valor do kit é R$ 300,00 e, para cada metro de cerca, paga-se R$ 4,50.
l (em m) C
1
1 a 20 370
21 370+5=370+1∙5
22 370+5+5=370+2∙5
23 370+5+5+5=370+3∙5
24 370+5+5+5+5=370+4∙5
25 370+5+5+5+5+5=370+5∙5
l 370+(l-20)∙5
... ...
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Tabela 2.3 | Custo (C
2
) da cerca usando a opção 2
Figura 2.2 | Representação gráfica dos modelos C
1
 (l) e C
2 
(l)1 
1 Para obtenção do gráfico, utilizamos o software gratuito de geometria dinâmica GeoGebra. 
Disponível em: <http://www.geogebra.im-uff.mat.br>.
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 76).
FONTE: A autora (2015)
l (em m) C
2
1 300+4,50=300+1∙4,50
2 300+4,50+4,50=300+2∙4,50
3 300+4,50+4,50+4,50=300+3∙4,50
4 300+4,50+4,50+4,50+4,50=300+4∙4,50
l 300+4,50+4,50+ +4,50=300+4,50∙l
... ...
...
Assim, cada opção de custo de cerca elétrica pode ser representada 
algebricamente por:
Essas representações algébricas é que podemos considerar como modelos.
Tais modelos podem ainda serem representados graficamente, conforme 
mostra a figura a seguir:
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
g
26 28 30
f
h
Modelos matemáticos para o ensino de matemática:exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Por meio do gráfico fica mais fácil analisar qual a opção mais vantajosa para a 
instalação de uma cerca elétrica residencial. 
Se você fizer o gráfico no Geogebra ou em outro software perceberá que existem 
dois pontos de interseção entre ambos os gráficos. Estes pontos representam o 
comprimento de cerca e o seu custo sendo iguais. 
Se descobrirmos os valores desses pontos, será possível discutir sobre as 
vantagens e desvantagens de cada opção. Para isso, vamos igualar ambas as 
opções, porém considerando que para a primeira opção temos dois casos.
Para o primeiro caso, temos que 0 < l ≤ 20, C
1
 (l) = 370 e C
2
 (l)=300 + 4,5l.
Assim, temos:
C
1
 (l)=C
2
 (l)
370=300+4,5l → l=15,56m
Portanto, para l=15,56m temos que o custo de ambas as opções é R$ 370,00.
Para o segundo caso, temos que l>20,C
1 
(l)=370+5(l-20) e C
2
 (l)=300+4,5l.
Assim, temos:
C
1
 (l)=C
2
 (l)
370+5(l-20)=300+4,5l
370+5l-100=300+4,5l
5l-4,5l=300-270
l=60m
Portanto, quando l=60m, o custo para ambas as opções é R$ 570,00.
Tendo em vista resolver a problemática inicial, com relação ao custo de 
instalação elétrica, podemos chegar às seguintes conclusões, de acordo com 
Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 81):
• “para 0 < l < 15,56m, a opção 2 é a mais vantajosa;
• para 15,56 < l < 60m, a opção 1 é mais vantajosa;
• para l > 60m, a opção 2 é mais vantajosa”.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Portanto, cabe ao cliente determinar quantos metros de cerca pretende instalar 
para se decidir por uma das duas opções apresentadas. 
Vamos, agora, analisar em que aspectos nós estamos, nesta atividade, 
contemplando cada uma das etapas e subetapas estudadas na unidade anterior. 
Tais informações são elencadas no quadro a seguir.
Situação inicial (problemática) Instalação de cerca elétrica
Inteiração
Coleta de dados em empresa da cidade
→ Na opção 1, o valor do kit é de R$370,00 e 
paga-se R$5,00 por metro de cerca que exceder 
20 metros.
→ Na opção 2, tem-se um valor fixo de R$300,00 
e cada metro de cerca custa R$4,50.
Definição do problema
→ Dentre os kits ofertados, qual a opção mais 
vantajosa para um cliente que deseja instalar 
cerca elétrica em sua residência?
Matematização e resolução
Definição de variáveis
→ Variável independente: l comprimento da 
cerca, em metros;
Variável dependente: C
1
 custo do kit 1, em reais
 C
2
 custo do kit 2, em reais
Construção das funções para os diferentes kits.
Representação gráfica das funções.
Determinação da intersecção das duas funções.
Modelo matemático da situação
C
1
 (l)= 370, se 0 < l ≤ 20
 370 + 5 . (l-20), se l > 20
C
2
 (l)=300+4,5∙l para l>0
Matemática utilizada na atividade
→ Sistema de equação linear.
→ Intersecção de retas.
→ Inequação linear.
Interpretação e validação
A intersecção entre as retas corresponde ao 
valor para o qual o preço dos dois kits é igual. A 
partir dessa informação cada usuário pode optar 
pela opção mais vantajosa do ponto de vista 
econômico.
Situação final
Em virtude do tamanho da cerca, o usuário pode 
escolher a melhor opção (econômica) para a 
instalação da cerca. 
{
{
Quadro 2.2 | Aspectos da atividade que caracterizam etapas e subetapas da Modelagem 
Matemática
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 81-82). 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Acesse o link: <http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Html/
comunicacaoCientifica.html> e selecione o artigo: “O uso do 
computador no estudo de funções no Ensino Médio”. Este artigo foi 
escrito por três autores, sendo dois deles os mesmos que escreveram 
o livro em que nos baseamos para descrever a atividade de Modelagem 
Matemática acima (Almeida e Silva). Neste artigo, a mesma atividade 
é apresentada, porém, com uma abordagem voltada para aplicação 
no Ensino Médio. Além disso, outras atividades também são descritas.
1. Se uma pessoa deseja instalar 450 metros de cerca elétrica 
em sua propriedade, podemos afirmar que:
I – O kit 1 é a opção mais econômica.
II – O kit 2 é a opção mais econômica.
III – O valor total do kit será R$ 2.325,00.
IV – O valor total do kit será R$ 2.020,00.
É correto afirmar que as afirmativas corretas são:
a) I e III.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e IV. 
Considerando a atividade de Modelagem Matemática a 
respeito da instalação de cerca elétrica residencial apresentada 
anteriormente e os modelos obtidos para descrever tal 
situação, resolva as questões a seguir:
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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2. Márcio e Pedro cercarão suas residências com cerca 
elétrica. Márcio precisará de 57 metros de cerca elétrica, 
enquanto que Pedro precisará de 61 metros. Considerando 
essas informações, assinale com V as afirmativas verdadeiras 
e com F as afirmativas falsas:
( ) Será mais vantajoso financeiramente Márcio comprar o kit 
2, o qual pagará R$ 555,00.
( ) Será mais vantajoso financeiramente Márcio comprar o kit 
1, o qual pagará R$ 555,00.
( ) Será mais vantajoso financeiramente Pedro comprar o kit 
2, o qual pagará R$ 574,50. 
( ) Será mais vantajoso financeiramente Pedro comprar o kit 
1, o qual pagará R$ 574,50. 
( ) Se Márcio comprar o kit 2 e Pedro comprar o kit 1, eles 
pagarão o mesmo valor pelas metragens de cerca que 
precisam. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA.
a) F – V – F – V – V. 
b) F – V – V – F – F.
c) V – F – F – V – V.
d) V – F – V – F – F.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Seção 3
Modelo matemático 2: “construção de casas”
Introdução à seção
Nesta seção, vamos conhecer mais uma atividade de Modelagem Matemática 
que pode ser proposta nos anos finais do Ensino Fundamental. 
Essa proposta é apresentada por Biembengut e Hein (2013, p. 52-69) e envolve 
diversos conceitos matemáticos, sobretudo geométricos.
Vale destacar que, assim como a atividade de Modelagem Matemática que 
apresentamos na seção anterior, esta pode ser adaptada para ser proposta em 
outros níveis de ensino. 
3.1 “Construção de casas”
Com certeza não é uma tarefa tão fácil projetar e construir uma casa. Decidir 
o formato, o tamanho e a fachada não são o suficiente, é preciso projetar uma 
casa considerando o conforto e, para isso, é preciso analisar os locais em que 
serão posicionadas portas e janelas de maneira a garantir luminosidade, ventilação 
e temperatura apropriadas, considerando, por exemplo, o posicionamento do sol 
na maior parte do ano e as condições climáticas da região. 
Podemos, assim, evidenciar que a elaboração do projeto de uma casa é uma 
etapa fundamental e essencial, pois é esta que orientará todo o trabalho do 
construtor. Para dar início a este projeto, o primeiro passo é esboçar a planta baixa. 
Você sabe o que é necessário para construir uma casa? O que 
o projetista precisa levar em consideração ao construir uma 
casa? Será que existe Matemática por trás de tudo isso?
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Biembengut e Hein (2013) defendem que antes de iniciar uma atividade de 
Modelagem Matemática com essa temática (construção de casa) é essencial que 
o professor faça um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos sobre 
o tema por meio de discussões em sala de aula. Para promover tais discussões, 
os autores sugerem questionamentos como: “O que é preciso para construir uma 
casa? Como o pedreiro sabe o tamanho e o modelo de uma casa? Onde construir? 
Em que terreno? Qual a forma do terreno?” (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 52). 
Diferentedo que fizemos na unidade anterior, ao apresentar um exemplo de 
atividade de Modelagem Matemática, em que detalhamos minuciosamente como 
desenvolver essa atividade e explicitamos os passos da Modelagem Matemática 
que foram contemplados, sobre essa nova temática (construção de casas) 
propomos diversas problemáticas que podem servir como engendradoras de uma 
ou mais atividades de Modelagem Matemática, sugerindo algumas orientações 
para desenvolver a atividade em sala de aula de acordo com cada proposta. 
3.1.1 Como fazer uma planta baixa de uma casa?
Tendo realizado as discussões sobre a temática em sala de aula, Biembengut e Hein 
(2013) orientam que o professor proponha aos seus alunos que façam um esboço da 
planta baixa de suas casas, da escola ou de outro ambiente conhecido por eles. Essa 
primeira proposta pode servir como meio do professor evidenciar conhecimentos 
sobre conceitos geométricos e sobre medidas manifestados pelos alunos. 
Com essa atividade, o professor já pode trabalhar com seus alunos alguns 
elementos fundamentais da Geometria, como retas paralelas, retas perpendiculares 
e classificação de ângulos.
Veja um exemplo de esboço de planta baixa de uma casa na figura a seguir:
Figura 2.3 | Esboço de planta baixa de uma casa
FONTE: Adaptada de: <http://www.donagiraffa.com/2012/12/plantas-de-casas-projetos-de-planta-baixa.html>. 
Acesso em: 15 maio 2015.
SALÃO
QUARTO QUARTO
SUITE
Ângulo reto
Área da casa = 72,32m2
Área externa = 33,40 m2
Área total = 108,72 m2
Paredes paralelas
COZINHA
VARANDA
BANHO BANHO
Paredes =
Segmentos 
de reta
Paredes 
perpendiculares
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Na imagem, destacamos elementos da Geometria que podem ser explorados 
enquanto os alunos constroem esboços da planta baixa. Dessa forma, os alunos já 
poderão ir aprendendo tais conceitos, como ferramentas necessárias e aplicáveis 
em situações reais. 
3.1.2 Como o construtor de uma casa sabe o tamanho que se quer construir? 
 Outro aspecto matemático importante que pode (e precisa) ser abordado 
ao introduzir uma atividade de Modelagem Matemática envolvendo a temática 
construção de casas é medidas, destacando que “As medidas são padrões 
específicos que relacionam cada objeto com outros de “estrutura” semelhantes” 
(BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 54). 
O professor pode começar essa abordagem perguntando sobre quais as unidades 
de medida que conhecem, não só de comprimento (medidas lineares), mas outras 
unidades também, como de capacidade, de superfície etc. Além disso, pode ser 
promovida uma discussão sobre como as pessoas mediam antigamente, quando os 
padrões de medida que conhecemos e utilizamos hoje não haviam sido estabelecidos, 
iniciando, assim, uma abordagem envolvendo a História da Matemática. 
Uma experiência interessante ao trabalhar com medidas é pedir para que os 
alunos encontrem as medidas de objetos que se encontram no interior da sala 
de aula, utilizando partes do corpo (pés, polegadas, palmos, passos etc.). Além 
disso, após medirem diversos objetos, o professor pode solicitar para os alunos 
construírem uma tabela constando o objeto e a unidade de medida (parte do 
corpo) mais apropriada para realizar tais medidas, conforme ilustra a tabela a seguir:
Tabela 2.4 | Exemplo de objetos e unidades de medida mais apropriadas para medi-los
FONTE: Biembengut e Hein (2013, p. 54).
Objetos Unidade de medida
Carteira Palmos
Lápis Polegar
Classe Passos
Em seguida, o professor pode incentivar os alunos a compararem as respostas 
e os tamanhos dos passos, das polegadas etc. entre eles, para que percebam a 
necessidade e a importância do estabelecimento de uma unidade padrão, no caso, 
o metro e seus múltiplos e submúltiplos. 
Feita essa constatação, o professor pode solicitar para que os alunos meçam 
objetos utilizando régua, trena e fita métrica. O essencial nesse momento é que 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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os alunos percebam que nem sempre é possível obter medidas inteiras, momento 
oportuno para explorar os múltiplos e submúltiplos do metro, bem como destacar 
o metro em representação decimal. 
Ao envolver o conceito de medidas na atividade de Modelagem Matemática, o 
professor pode aproveitar para abordar outro conceito muito importante: escala. 
Assim, o aluno terá a oportunidade de compreender como é possível construir 
uma casa de maneira que ela seja semelhante à sua planta.
No conceito de escala, temos que uma medida da planta, que em geral é dada 
em centímetros, equivale a uma medida em outra unidade (em metros, por exemplo) 
no real. Para ilustrar o que acabamos de mencionar, observe a figura a seguir:
Ainda falando sobre medidas, como é possível construir uma casa 
de acordo com a planta desta, uma vez que possui dimensões 
extremamente diferentes? Que conceito matemático pode ser 
abordado com relação a esse questionamento?
Figura 2.4 | Planta baixa de uma casa em que são apresentadas algumas medidas
FONTE: Disponpivel em: <http://bloguedorenato.blogspot.com.br/2012/12/projetosdecasas.html>. Acesso em: 15 
maio 2015.
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Em geral, em uma planta, teremos medidas expressas em centímetros. Porém, 
para que seja possível construir uma casa semelhante à sua planta, é necessário 
utilizar medidas proporcionais. Vamos ver alguns exemplos:
• 1 centímetro da planta pode corresponder a 1 metro da casa. Dessa forma, 
podemos escrever que 1:100 (1 está para 100 ou escala de 1 por 100).
• 5 centímetros da planta pode corresponder a 1 metro da casa. Dessa forma, 
podemos escrever que 5:100 (5 está para 100 ou escala de 5 por 100).
Ao abordar sobre proporcionalidade, o professor pode colocar em discussão outros 
casos e situações em que a proporcionalidade se faz presente e é bastante utilizada, 
como em imagens de fotografias, em revistas ou, até mesmo, na televisão. Além 
disso, é preciso que o aluno perceba que há proporcionalidade em diversas situações 
cotidianas. Por exemplo, ao comprar produtos quaisquer o aluno pode pensar: “se um 
produto custa tanto, quer dizer que cinco produtos custam cinco vezes esse tanto”. 
3.1.3 Quais devem ser as medidas do terreno e o local da construção da casa? 
Com certeza uma casa não pode ser construída em qualquer lugar. Existem 
normas para que seja feita essa construção. Além disso, a planta da casa precisa 
deixar muito bem explícita quais as medidas que cada cômodo da casa irá ocupar 
do terreno. Em outras palavras, é preciso conhecer qual a área que será ocupada 
por cada cômodo da casa que será construída. 
Vamos ver um exemplo, o qual é proposto por Biembengut e Hein (2013). 
Vamos supor o terreno e a planta de uma casa com formas retangulares, com 
medidas iguais a 12 metros por 25 metros e 8 metros por 10 metros. 
Veja na figura o terreno e a planta da casa a que nos referimos.
Figura 2.5 | Planta do terreno e da casa em formas retangulares
Fonte: Biembengut e Hein (2013, p. 56).
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Na figura, temos que a casa é o retângulo de lados a e b, enquanto que o 
terreno é o retângulo de lados c e d. Assim, temos que a=8, b=10,c=12 e d=25.
Logo, as áreas são:
• Área do terreno: 12m x 25m=300 m².
• Área da casa: 8m x 10m=80 m².
Por meio dessa atividade, a etapa de matematização pode ser contemplada a 
partir desse conceito de medida de superfície plana, em que é possível abordar 
sobre números racionais na forma fracionária. 
Além de envolver a medida de área do terreno e da casa, pode-se envolver o 
cálculo de área de cômodos dessa casa. 
Conhecer esses tamanhos, bem como os tamanhos dos móveis e objetos que se 
pretende inserir nessesambientes é muito importante durante o planejamento da planta. 
Também, é muito importante determinar as melhores localizações para portas 
e janelas. Por exemplo, no caso da porta, quando aberta, pode ocupar muito 
espaço, por isso o melhor local é sempre no canto. Esse fato pode ser motivo para 
levantar discussões em sala de aula. 
3.1.4 Área útil e área construída: o que são e quais suas relações?
Ao construir uma residência, podemos ouvir os termos “área útil” e “área 
construída". Mas o que será que significa isso?
Para melhor compreensão, vamos partir da situação apresentada anteriormente, 
quando determinamos as medidas de áreas da casa e do terreno em que esta será 
construída. Nessa situação, deixamos de considerar algo muito importante: e a 
espessura das paredes? Esta medida está inclusa na área calculada, ou não?
Na atividade, pode ser proposto ao aluno que ele analise o seguinte caso: “[...] 
uma planta baixa de forma retangular, supondo que as medidas internas sejam 7 
m e 8 m, respectivamente, e a espessura da parede seja 0,15 m” (BIEMBENGUT; 
HEIN, 2013, p. 57). 
Veja essa situação na figura a seguir:
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Pela figura, podemos chegar à conclusão que: “Área total = área útil (interna) + 
área ocupada pelas paredes + área ocupada pelas colunas” (BIEMBENGUT; HEIN, 
2013, p. 57). 
Mas como representar tudo isso numericamente? 
Tomando como base a figura apresentada acima, temos:
[8+2∙(0,15)]∙[7+2∙(0,15)]=(7∙8)+2∙[7∙(0,15)+8∙(0,15)]+4∙(0,152)
Ainda, o esboço pode ser a forma de algum outro ambiente, em que variando 
somente as medidas teremos:
8m= a
7m=b
0,15m=c
Se substituirmos essas correspondências na expressão numérica que 
apresentamos acima, vamos obter uma expressão algébrica que corresponde a 
um produto entre polinômios.
(a+2c)∙(b+2c)=(ab)+2∙(bc+ac)+4∙(c2)
Entretanto, como estamos generalizando um terreno retangular, é possível que 
este apresente medidas que formam um quadrado. No caso, teríamos a=b e a 
expressão ficaria:
(a+2c)∙(a+2c)=(a2 )+2∙(ac+ac)+4∙(c2)
Ou, ainda:
(a+2c)2=a²+4ac+4c²
Figura 2.6 | Esboço de planta baixa de forma retangular com destaque da espessura das paredes
FONTE: Adaptado de: Biembengut e Hein (2013, p. 57).
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Dessa forma, estamos trabalhando produtos notáveis. Portanto, essa etapa da 
atividade de Modelagem Matemática que propomos poderia ser desenvolvida com 
alunos a partir do 8º ano (7ª série). 
Para avaliar a compreensão dos alunos envolvidos nessa atividade de Modelagem 
Matemática, o professor pode solicitar para que eles construam uma planta baixa 
contendo as especificações exigidas. Nesse momento, “[...] enquanto desenham, 
verifique se os conceitos geométricos, as medidas lineares e as operações com 
números racionais já estão incorporados, retomando o que for necessário. A planta 
baixa elaborada pelo aluno pode ser considerada um modelo!” (BIEMBENGUT; 
HEIN, 2013, p. 58).
3.1.5 Vendo o projeto da casa por outra perspectiva: construção de maquete
Até agora envolvemos apenas a planta baixa de uma casa, porém muitos outros 
aspectos precisam ser considerados na construção de uma casa, como o telhado, 
o acabamento, os alicerces etc. Assim, vamos envolver, agora, na atividade de 
Modelagem Matemática, a construção de maquete, que facilitará a visualização e 
a consideração dos aspectos que mencionamos. 
A maquete pode ser considerada como um modelo, pois é uma representação 
da casa que se pretende construir. Por meio desse modelo, além de obtermos a 
visualização da casa que se pretende construir, é possível efetuar cálculos para 
determinar a quantidade e o custo do material que será necessário na construção. 
Para desenvolver essa etapa da atividade de Modelagem Matemática, o professor 
pode deixar seus alunos (em grupos) livres para escolher os materiais que irão 
utilizar, incentivando a criatividade deles e tornando a construção da maquete mais 
agradável. Contudo, é muito importante que o professor oriente seus alunos sobre 
a necessidade de uma base firme para a construção da maquete, sendo essa base 
é a planta baixa já construída. 
Ainda, Biembengut e Hein (2013, p. 59) aconselham ao professor que:
Neste momento você pode propor também que façam uma 
pesquisa sobre os tipos de material disponíveis para construção 
civil, entrevistas com profissionais na área, pesquisa em revistas 
especializadas e, se possível, visita a algumas obras, desde que 
haja consentimento por parte do profissional responsável. 
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Já mencionamos que é muito importante que, ao construir a maquete, o aluno 
seja orientado a construir uma base firme, sendo esta base a própria planta baixa. 
Porém, para utilizá-la, faz-se necessário ampliá-la. Mas como saber que escala usar?
Ao levantar esse questionamento, é muito importante que os alunos percebam 
que a escala que deverá ser utilizada depende do material que será utilizado, 
sobretudo, é necessário conhecer a espessura do material. 
A título de exemplo, vamos supor que o material que será utilizado sejam placas 
de isopor com seis milímetros de espessura. Vamos supor ainda que:
• A espessura da parede de uma casa seja 15 cm.
• A espessura da parede da maquete, em centímetros, seja 0,6 cm.
Nesse momento, o professor já pode explorar o conteúdo de unidades de medida 
linear: o metro e seus múltiplos e submúltiplos, bem como as transformações 
entre estes.
Com a situação hipotética que propomos, podemos representar que:
Assim, por meio de uma regra de três, podemos obter qual a escala a ser 
utilizada:
Logo, a escala a ser utilizada será 4:100 (4 está para 100 ou escala de 4 por 100).
Tendo disponível essa escala, facilita fazer e montar as paredes da maquete. 
Feito a montagem, é possível realizar uma abordagem sobre sólidos geométricos, 
uma vez que a maquete da casa apresentará um formato de prisma. 
3.1.6 Quanto de pisos, tijolos e tinta vão precisar?
Até esse momento, na atividade de Modelagem Matemática, já foi possível 
construir a planta da casa e sua estrutura por meio da maquete. Mas e o acabamento? 
Tabela 2.5 | Proporção entre tamanho real e reduzido
Fonte: A autora (2015).
Tamanho real
Tamanho reduzido 
proporcional
100 cm X
15 cm (parede) 0,6 cm
x= =4
100 . 0,6
15
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E a quantidade de tijolos para “levantar” essa casa? Também é possível tratar desses 
assuntos na atividade de maneira a explorar importantes conceitos matemáticos. 
Vamos supor a seguinte frente de uma casa:
Para essa casa, vamos considerar as seguintes medidas:
Área da parede = área total – área da porta – área da janela
= (3 m)x(6 m)-(1 m)x(1,5 m)-(2,5 m)x(1 m)
=18 m² - 1,5 m² - 2,5 m² = 14 m²
Área da face do tijolo = (5 cm)x(20 cm)=100cm²
ou
(0,05 m)x(0,20 m)=0,0100 m²
Calculando área da parede ÷ área do tijolo = total de tijolos
Portanto,
15 m² ÷ 0,0100 m² = 1500 tijolos
Por procedimentos análogos, os alunos poderão obter a quantidade de pisos, 
de telhas e de azulejos necessários para a construção da casa projetada. Além 
Figura 2.7 | Modelo de frente de uma casa
FONTE: Disponível em: <http://postmania.org/icones-e-desenhos-selecionados-do-dia-para-estudantes-e-
professores/>. Acesso em: 15 maio 2015.
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disso, o professor pode questionar os alunos e encorajá-los a pesquisar como que 
estes materiais são vendidos. Por exemplo, os pisos e azulejos são vendidos em m² 
e em caixas (com 1 m² ou um poucomais). 
Ao calcular a quantidade de telhas necessárias na construção da casa, o 
professor pode questionar os alunos sobre a estrutura triangular para as telhas, 
solicitando que estes pesquisem sobre o assunto. 
3.1.7 Tesoura do suporte ao telhado: o que é isso e como confeccioná-las?
As tesouras suporte ao telhado dependem muito do tipo de telha que será utilizado. 
As tesouras são armações, que dependem do tamanho da casa e do tipo de 
telha: paulistinha, francesa etc. “Experimentalmente, o caimento das tesouras deve 
ser de 20%, ou seja, a cada metro da horizontal corresponderá 20 cm do suporte 
vertical” (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 64).
Biembengut e Hein (2013, p. 64) apresentam o exemplo de uma casa que “[...] 
tem 8 m de largura, a metade tem 4 m. Logo, o suporte vertical deverá ter 80 cm”.
 Você já observou como é construída a estrutura de telhados 
de uma casa? Em geral, essas estruturas são triangulares. Por 
que elas têm esse formato?
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Figura 2.8 | Tesoura suporte ao telhado.
FONTE: Biembengut e Hein (2013, p. 64).
Considerando a situação e sua representação pelo esquema acima, temos:
Assim, podemos afirmar que o ângulo de inclinação corresponde ao arco da 
tangente (arctg) de 0,20:
tg-1 (0,20) ≅ 11,3°
Como se trata dos anos finais do Ensino Fundamental, o professor pode explorar 
nesse momento, além dos ângulos, propriedades, semelhanças, congruência e, 
ainda, relações métricas no triângulo retângulo (BIEMBENGUT; HEIN, 2013).
3.1.8 Finalizando a casa: aonde vai a caixa d’água?
Sabemos que em muitas regiões do país a falta de chuva vem acarretando cada 
vez mais no racionamento da água. Portanto, é essencial que uma casa possua um 
reservatório de água (uma caixa d’água) para os casos em que esta estiver restrita. 
Tais reservatórios, geralmente, têm a forma de prismas ou cilindros, 
confeccionados com material resistente, porém, leve, permitindo serem alocados 
sobre a laje de casas. Porém, é necessário que a caixa d’água seja colocada em um 
local alto, pois assim proporcionará uma água com maior pressão nas torneiras e 
nos chuveiros. 
Mas, não apenas em casas de laje é possível possuir caixas d’água. Quando uma 
casa é de forro de madeira ou de PVC, ou não possui forro, a caixa d’água pode ser 
colocada em um local externo, desde que esteja, no mínimo, na mesma altura da casa. 
Partindo-se do formato da caixa d’água, o professor pode trabalhar o conceito 
de volume com seus alunos.
Supondo uma caixa d’água no formato de um cubo, ou seja, com todas as 
dimensões com mesma medida, e que estas medidas sejam de 1 metro, temos que:
20% = = = =tg (tangente de a)
20
100
80 cm
400 cm
c.o (cateto oposto de a)
c.a (cateto adjacente de a)
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Volume = largura x comprimento x altura
ou
Volume = área da base x altura
Assim, na situação que foi suposta temos que o volume = (1 m) x (1 m) x (1 m) 
= 1 m³ (um metro cúbico). 
É muito importante que neste momento fique claro para o aluno o que são 
medidas de volume, capacidade e massa, envolvendo, ainda, noções de potenciação. 
Também é de extrema importância que os alunos vivenciem situações em 
que possam explorar e compreender as relações entre medidas, bem como as 
transformações de uma em outra. 
Ainda, para determinar o local ideal para colocar uma caixa d’água, é possível 
integrar conceitos da Física na atividade de Modelagem Matemática. Uma boa 
proposta é começar diferenciando peso de massa.
Finalizando, você pôde ver que a atividade de Modelagem Matemática que 
propomos nessa seção é capaz de abranger diversos conteúdos matemáticos e 
que para desenvolvê-la integralmente demanda-se muito tempo. Portanto, ela 
pode ser realizada no decorrer do período letivo, sempre em concordância com 
os objetivos que se pretende atingir em determinados momentos, como também 
apenas partes dessa atividade podem ser realizadas. 
O projeto da casa que propomos, desde a planta baixa até a construção da 
maquete, pode ser considerado como modelo matemático e, por meio dele, “[...] 
podemos fazer um orçamento, uma estimativa do quanto custará para fazer a casa 
(materiais, mão de obra, impostos etc.), bem como do tempo que pode levar para 
construí-la” (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 67).
Além de tudo que já foi mencionado, muitos outros aspectos ainda podem ser 
explorados, como a unidade de medida em que cada material é comercializado, 
quantidade de produtos e seus preços, como os profissionais da construção 
cobram etc., o que nos permite evidenciar a riqueza da atividade apresentada. 
No final, o professor pode solicitar para que os alunos façam o orçamento de 
uma construção envolvendo todos os aspectos que elencamos, sendo para isso 
necessário realizar diversos cálculos em que será necessário colocar em prática 
diversos conceitos (se não todos) que foram abordados. Essa é uma ótima maneira 
do professor avaliar se a atividade de Modelagem Matemática proposta atingiu os 
objetivos por ele traçados. 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Acessando os links a seguir, você terá maiores informações sobre 
o tema “construção de casas” para atividade de Modelagem 
Matemática no Ensino Fundamental:
<http://www.urisaoluiz.com.br/anaisdocoloquio/divulgacao-final/
trabalhos/Margarete%20Catarina%20Mendes%20Matte%202.pdf>
<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96512/Adriana_
Timbola_de_Rocco.pdf?sequence=1>. Acesso em: 15 maio 2015. 
<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/
Modelagem_Tesouras_Web/modelagem_tesouras.htm>. Acesso 
em: 15 maio 2015.
1. Ao propor a atividade de Modelagem Matemática com 
a temática “construção de casa”, mencionamos sobre a 
questão da caixa d’água, quando vimos como determinar o 
volume de uma caixa d’água no formato de um cubo. Mas, 
se a caixa d’água tiver a forma de um cilindro? Sobre essa 
questão considere as afirmativas a seguir:
I- Devido ao local em que será alocada a caixa d’água, não é 
possível obter uma caixa d’água no formato cilíndrico, apenas 
na forma de prisma.
II- Para determinar o volume de uma caixa d’água cilíndrica 
podemos calcular a área da base x altura, ou seja, V=πr²∙h.
III- Para determinar o volume de uma caixa d’água cilíndrica 
podemos calcular a área da base x altura, ou seja, V=2πr∙h.
Assinale a alternativa que apresenta apenas alternativa(s) 
correta(s):
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
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Considerando que a área total desse cômodo seja de 
96,39 m², é correto afirmar que a espessura da parede é de 
aproximadamente:
a) 0,05 metros.
b) 0,10 metros.
c) 0,15 metros.
d) 0,20 metros.
2. Supondo que um grupo de alunos tenha construído a 
planta baixa de uma suíte conforme mostra a figura a seguir:
Figura 2.9 | Esboço de planta baixa de uma suíte
FONTE: A autora (2015) 
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Seção 4
Modelo matemático 3: “telefonia celular”
Introdução à seção
Com a intenção de evidenciar a aplicabilidade de conteúdos matemáticos, 
apresentamos mais um exemplo de atividade de Modelagem Matemática que 
pode ser desenvolvido nos anos finais do Ensino Fundamental, partindo de um 
tema real que pode ser de interesse dos alunos. 
O tema que será tratado nesse exemplo de atividade é “Telefonia Celular” 
e foi uma atividade desenvolvida com uma turma do 1º ano do Ensino Médio, 
porém que pode ser desenvolvida em turmas de 9º ano quandoestes estiverem 
aprendendo funções. 
4.1 Modelo matemático: telefonia celular
A atividade que será apresentada foi originada por Camelo (2013). De acordo 
com a autora, as etapas de Modelagem Matemática contempladas foram:
• 1ª etapa: Escolha do tema: os próprios alunos sugeriram alguns temas, de 
acordo com suas experiências e contextos, porém, para que fosse possível 
atender ao conteúdo programático em foco, a professora participou 
ativamente da escolha do tema, tendo como objetivo trabalhar o conteúdo 
de função afim.
• 2ª etapa: Pesquisa exploratória: as informações obtidas por meio de 
pesquisas foram compartilhadas socialmente, sendo que tais pesquisas 
envolveram “Perfil dos consumidores de telefonia celular, operadoras que 
atuam na região, tipos de plano e serviços oferecidos e tarifas de planos pós 
e pré-pagos” (CAMELO, 2013, p. 28).
• 3ª etapa: Levantamento dos problemas: foram consideradas informações 
de três operadoras, denominadas de Operadora A, Operadora B e Operadora 
C. Sobre estas, os principais questionamentos levantados foram: 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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• Diante de tantas opções qual a vantagem e/ou desvantagem 
de optar por determinado plano?
• Como calcular e/ou conferir se a fatura do celular está 
correta?
• Qual operadora tem melhor e/ou maior cobertura em 
nossa região?
• Quais as vantagens do serviço pós-pago?
• Como optar por um plano pós-pago mais adequado ao 
perfil do usuário se as operadoras apresentam tabelas com 
categorias diferentes? (CAMELO, 2013, p. 29). 
Dentre tantas opções, com o auxílio da professora, a turma formulou o seguinte 
problema: “Como optar por um plano pós-pago mais adequado ao perfil do usuário se 
as operadoras apresentam tabelas com categorias diferentes?” (CAMELO, 2013, p. 29).
• 4ª etapa: Resolução dos problemas: a autora destaca que na realização 
da atividade proposta algumas variáveis foram desprezadas por serem 
consideradas irrelevantes para a problemática em questão, variáveis 
como acesso à internet e vantagens adicionais. Esse é o momento dos 
alunos levantarem e testarem suas hipóteses, utilizando as ferramentas 
matemáticas que possuem para tentar solucionar o problema proposto.
Para ajudar nesse processo, na atividade realizada, a professora construiu 
junto aos alunos uma tabela para organizar e sistematizar as informações que 
eles já possuíam. Em seguida, elencamos alguns questionamentos realizados pela 
professora com o intuito de orientar os alunos a refletirem sobre o problema, a 
analisarem os dados apresentados na tabela e a estabelecer relações entre essas 
informações e seus conhecimentos sobre função afim.
Figura 2.9 | Tabelas de planos e valores
FONTE: Camelo (2013, p. 30).
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A seguir, conheceremos alguns questionamentos realizados pela professora 
(CAMELO, 2013), destacando o objetivo de estudo a que se refere cada 
questionamento e algumas observações para realização da atividade proposta:
A) Conceito de correspondência
Questionamento: “Como é feito o cálculo do valor a ser pago de uma fatura de 
telefonia celular em planos pós-pagos?”.
Observações: o objetivo é que os alunos percebam a correspondência que 
existe entre o valor a ser pago e a quantidade extra de minutos que são utilizados. 
Perguntas adicionais podem ser feitas de maneira a conduzir os alunos a essa 
percepção e compreensão. Por exemplo: “Cada quantidade de minutos extra 
fixada tem um único valor correspondente a ser pago?”.
Nesse momento, é importante que os alunos registrem as informações que vão 
obtendo.
B) Relação de dependência entre quantidades
Questionamento: “Em qual dos perfis de usuários pesquisados você se encaixa? 
Dentro desse perfil, de acordo com os dados da operadora de sua preferência, 
qual o valor mensal a ser pago se você utilizar 10 min extras? E 30 min extras? E 
50 min? Qual o modelo matemático que relaciona o valor mensal a ser pago e os 
minutos extras usados?”.
Observações: o professor pode orientar os alunos a construírem uma tabela 
descrevendo os valores obtidos. É essencial que o aluno perceba que o valor a ser 
pago é dado em função de um valor fixo, que é a franquia, mais o valor do minuto 
extra, multiplicado pela quantidade de minutos extras utilizados.
Também, para realizar esse processo, é importante que os alunos deixem 
estipulado um perfil de usuário e operadora de preferência. 
Aqui também o professor pode realizar questionamentos adicionais visando 
auxiliar o aluno a perceber dependências existentes e variâncias envolvidas na 
situação, culminando na percepção de que o modelo matemático adequado para 
a situação é uma função, chegando a representar algebricamente essa função. 
Para melhor compreensão, vamos tomar a Operadora A como exemplo:
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Tabela 2.6 | Tabela para obtenção de modelo matemático para a Operadora A, escolhendo 
o plano de 60 min
FONTE: A autora (2015). 
Minutos extras Valor a ser pago
10 49,90+10∙0,87=R$58,60
30 49,90+30∙0,87=R$76,00
50 49,90+50∙0,87=R$93,40
N 49,90+n∙0,87=P(n)
... ...
C) Representação algébrica da função
Questionamento: “De acordo com os dados obtidos nas pesquisas, para um 
usuário cujo perfil é de 60 min: 1) qual é a operadora mais vantajosa para um usuário 
que utilize 65 min por mês? E para 75 min por mês? E para 95 min por mês?”.
Observações: espera-se que nesse momento o aluno utilize representação 
algébrica para responder tais questionamentos. Além disso, é importante que o 
aluno analise o caso de cada perfil de usuário para cada operadora. Por exemplo: 
as respostas dos itens 1 e 2 é a Operadora A, enquanto que para o item 3 é a 
Operadora B.
D) Conceito e representação de função
Questionamento: “A partir de quantos minutos utilizados, para um usuário cujo 
perfil é de 60 min, a Operadora B é mais vantajosa que a Operadora A?”.
Observações: o ponto-chave desse momento é levar o aluno a perceber a 
importância do conceito de função para encontrar resposta eficiente e eficaz para 
a situação. 
Para que os alunos cheguem a esse ponto, é essencial que o professor os 
conduza por meio de questionamentos adicionais que os levem a escrever 
funções que modelam a situação de cada uma das operadoras. Uma boa pedida é 
a construção gráfica por meio de software, conforme ilustra a figura a seguir.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Figura 2.9 | Gráfico do custo para as operadoras A e B2
FONTE: Camelo (2013, p. 35).
E) Valor numérico da função
Questionamento: “De acordo com os dados obtidos nas pesquisas, qual é a 
operadora mais vantajosa para um usuário que utilize 100 min por mês? Qual a 
operadora mais vantajosa para um usuário que utilize 120 min por mês? E 130 
min? E 140 min?”.
Observações: temos mais um caso particular. Aqui os alunos podem se remeter 
à resolução do item C, percebendo que a resposta para o primeiro questionamento 
é a Operadora C e para os questionamentos 2, 3 e 4 é a Operadora B.
F) Função definida por mais de uma sentença
Questionamento: “A partir de quantos minutos utilizados, para um usuário cujo 
perfil é de 100 min, a Operadora B é mais vantajosa que a Operadora C?”.
Observações: Apesar dos alunos já terem respondido ao questionamento 
parecido, esse acaba se constituindo como um desafio, pois, agora, para esse 
perfil de usuário, as operadoras oferecem pacotes de minutos diferentes. O desafio 
consiste em que a Operadora B será dada por duas sentenças.
Por esse motivo, talvez essa parte seja interessante de ser proposta apenas no 1º 
ano do Ensino Médio, mas nada impede que a problemática seja levantada de maneira 
2 Para obtençãodo gráfico, utilizamos o software gratuito de geometria dinâmica GeoGebra, 
disponível em: <http://www.geogebra.im-uff.mat.br>. 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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a levar os alunos a refletirem e buscarem estratégias para solucionar tal problema. 
Aqui perguntas adicionais poderão ser realizadas, assim como a construção de 
gráficos podem facilitar a visualização.
Por meio do gráfico, o aluno poderá perceber a função que representa o custo 
da Operadora B, a qual se apresenta diferente das funções vistas na construção 
gráfica anterior. É importante que a partir do gráfico o professor questione os 
alunos sobre o significado do ponto de intersecção entre as retas. 
• 5ª etapa: Análise crítica dos resultados encontrados: esse é o momento 
que podemos considerar como de validação, em que os alunos analisarão 
de maneira crítica os resultados que foram obtidos até então. 
Para melhor compreensão, vamos continuar com o processo de apresentação 
de questionamentos durante atividade de Modelagem Matemática:
Questionamento: “Como optar por um plano pós-pago mais adequado ao 
perfil do usuário se as operadoras apresentam tabelas com categorias diferentes?”.
Observações: o que se espera nesse momento final da atividade de Modelagem 
Matemática é que o aluno saiba identificar que aspectos e que elementos precisa 
ponderar para resolver a situação-problema, bem como qual modelo matemático é 
o mais adequado para aplicar como ferramenta de resolução desse problema. Para 
conseguir resolver o problema, é essencial que o aluno compreenda conceitualmente 
os aspectos envolvidos, estabelecendo relações entre teoria e prática. 
Deixemos bem claro que é bem provável que a maioria dos alunos não 
conseguirá responder imediatamente com êxito os questionamentos elencados, 
Figura 2.10 | Gráfico do custo para as Operadoras B e C
FONTE: Camelo (2013, p. 37).
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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nem tampouco conseguirá obter exatamente e rapidamente resultados exatos 
para o problema formulado. Contudo, é todo o processo de formulação de 
estratégias na tentativa de resolução que deve ser valorizado pelo professor. A 
partir da valorização dessas estratégias, da ajuda dos demais alunos envolvidos na 
atividade, bem como a partir da condução do professor é que o aluno conseguirá 
gradativamente atingir resultados cada vez mais satisfatórios. 
Encerrando essa seção, com a apresentação de mais uma atividade de 
Modelagem Matemática, fica evidente que o desenvolvimento de uma atividade 
nesse âmbito não é uma tarefa fácil, porém é uma tarefa potencial para facilitar 
a aprendizagem com compreensão por parte do aluno, conduzindo-o cada vez 
mais a uma aprendizagem significativa. 
Considerando a atividade de Modelagem Matemática 
apresentada reflita: que conceitos matemáticos podem 
ser trabalhados em sala de aula? Você acha que a atividade 
proposta é melhor para introduzir esses conceitos ou para 
fixá-los após a abordagem deles?
Conheça outros exemplos de atividades de Modelagem Matemática 
que podem ser desenvolvidos nos anos finais do Ensino 
Fundamental acessando os links sugeridos: 
<http://alexandria.ppgect.ufsc.br/files/2012/03/rosane.pdf>
<http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22005/RenatoIcassatiMota.
pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.revistas.ufg.br/index.php/ritref/article/
viewFile/26414/15839>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/
handle/123456789/243/2011_00085_JUSSARA_CANAZZA_DE_
MACEDO.pdf?sequence=1>. Acesso em 15 maio 2015.
<http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/RE/RE_
Jovano_Rudson.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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100
1. No item B, quando tratamos sobre a relação de 
dependência entre quantidades, apresentamos o modelo 
matemático que representa o preço total a ser pago na 
Operadora A, escolhendo o plano de 60 min, quando 
excedemos minutos extras.
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, 
os modelos matemáticos para a Operadora B e para a 
Operadora C, considerando o plano de 400 min:
a) P(x)=135+0,59x e P(x)=155+0,99x. 
b) P(x)=0,59+135x e P(x)=155+0,99x.
c) P(x)=135+0,59x e P(x)=0,99+155x.
d) P(x)=0,59+0135x e P(x)=0,99+155x.
2. Uma pessoa que optou pelo plano de 220 min da 
Operadora B e que excedeu 65 min extras em um mês, 
pagará uma fatura total no valor de:
a) R$ 139,43.
b) R$ 140,72.
c) R$ 143,35.
d) R$ 145,20.
Nesta unidade você aprendeu:
• Que atividades de Modelagem Matemática podem 
ser utilizadas para o desenvolvimento de conteúdos 
programáticos nos anos finais do Ensino Fundamental.
• Que atividades de Modelagem Matemática, ainda que 
direcionadas para determinada etapa escolar, podem, em 
geral, ser adaptadas para desenvolvimento em outros níveis 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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101
de escolaridade.
• Que a atividade de Modelagem Matemática vai muito além 
de apenas apreender conceitos matemáticos, mas contribui 
para que o aluno tome decisões, além de permitir a ele 
refletir crítica e analiticamente a respeito de situações.
• Que um modelo matemático utilizado para descrever e 
representar uma situação real pode ser uma equação, uma 
função, um gráfico, uma tabela etc.
• Que o trabalho do professor em orientar e conduzir os alunos 
durante envolvimento e desenvolvimento de uma atividade 
de Modelagem Matemática é essencial para garantir o 
sucesso da atividade, atingindo os objetivos traçados.
• Que uma atividade de Modelagem Matemática pode ser 
desenvolvida durante todo o período letivo ou em apenas 
poucos momentos. Tudo depende dos objetivos que o 
professor pretende atingir, de sua criatividade e do tema ser 
interessante o bastante para os alunos.
Esta unidade foi elaborada com o intuito de orientar você, 
futuro professor, na condução de atividades de Modelagem 
Matemática na sala de aula, sendo que, nesta unidade, 
focalizamos na apresentação de atividades para os anos finais 
do Ensino Fundamental.
Além disso, a intenção desse material é explicitar a você a 
importância da Modelagem Matemática como alternativa 
pedagógica para tornar a aprendizagem de Matemática mais 
prazerosa e significativa. 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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102
Visando aprofundar sua aprendizagem, enfatizamos que é 
muito importante que você não apenas faça a leitura desse 
material, mas acesse os materiais sugeridos, resolva as 
atividades de aprendizagem que foram propostas e busque em 
outras fontes (inclusive na Biblioteca Digital) mais informações 
a respeito do que foi abordado nessa unidade. Sobretudo, 
acesse os links sugeridos no último “Para saber mais” e conheça 
outras atividades de Modelagem Matemática, além de realizar 
pesquisas para conhecer outras propostas de atividades. 
Afinal, assim como para o aluno, para o professor o processo 
de habituação com a Modelagem Matemática não acontece de 
imediato, mas a partir de seus conhecimentos sobre o assunto 
e, sobretudo, a partir de suas experiências de envolvimento 
com atividades nessa abordagem. 
Não se esqueça de acessar o fórum. É por meio dele que você 
poderá sanar suas dúvidas. 
Bons estudos!
1. Uma corrida de táxi tem um custo fixo de R$ 2,40 
mais um custo que depende dos quilômetros rodados 
no valor de R$ 0,80. 
Sobre essa situação, analise as afirmativas a seguir:
I- O modelo matemático que representa essa situação é 
f(x)=2,4+0,8x.
II- O modelo matemático que representa essa situação 
é f(x)=0,8+2,4x.
III- O modelo matemático que representa essa situação 
também pode ser f(x)=0,3+x.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensinofundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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103
IV- O preço pago por uma corrida de 12,5 Km será R$ 
12,40.
V- Uma pessoa que pagou R$ 16,16 fez uma corrida de 
17 km.
Estão corretas as afirmativas:
a) I e IV.
b) II, III e V.
c) I, III e V.
d) II e IV.
2. “Marta trabalha num restaurante. O seu chefe pediu-
lhe que organizasse mesas para um jantar com 14 
pessoas. Marta começou a colocar as mesas quadradas 
e reparou que em uma mesa poderiam sentar 4 pessoas.
a) Seguindo a mesma regra, [...] quantas pessoas poderiam 
se sentar se Marta juntasse 20 mesas?” (PAULA; BONI; 
PIRES, 2014, p. 5).
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, 
o modelo matemático que representa essa situação e a 
resposta para a pergunta acima:
Se juntasse duas mesas, poderiam sentar seis pessoas. 
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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104
a) 2n+2 e 42 pessoas.
b) 2n-2 e 38 pessoas.
c) 3n+3 e 63 pessoas.
d) 3n-3 e 57 pessoas.
3. “Considere os três primeiros termos da sequência:
[...] como poderíamos criar uma regra que permitisse 
saber qualquer figura dessa sequência?” (BONI et al, 
2014, p. 6).
Uma regra que permita saber qualquer figura da sequência 
acima corresponde a um modelo matemático. Nessas 
condições, é correto afirmar que o modelo matemático 
que representa a situação acima é:
a) 3n+2. 
b) 3n-2. 
c) 2n+3. 
d) 2n-3.
 Figura 1 Figura 2 Figura 3
4. Considerando a situação apresentada na quarta seção 
dessa unidade, considere as afirmativas a seguir. 
Para ajudar, vamos lembrar as informações utilizadas:
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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5. “Uma sala de aula é ocupada por estudantes, pelo 
professor e por objetos que fazem parte do ambiente 
escolar, como cadeiras, carteiras e armários. Para que 
você permaneça em um ambiente mais agradável, existe 
uma lei que determina que em uma sala de aula cada 
estudante tem direito a uma área de 1 metro quadrado 
I- Um usuário que optou pelo plano de 100 min da 
Operadora A e que excedeu 35 min pagaria mais barato 
se optasse pelo plano de 200 min da operado C.
II- Um usuário que optou pelo plano de 400 min da 
Operadora A e que excedeu 30 min pagaria mais barato 
se optasse pelo plano de 200 min da operado C.
III- Um usuário que optou pelo plano de 110 min da 
Operadora B e que excedeu 15 min pagaria mais barato 
se optasse pelo plano de 100 min da operado C.
Assinale a alternativa que apresenta afirmativa(s) 
correta(s):
a) I. 
b) II.
c) III.
d) I e III.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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106
(m²)” (TORTOLA, 2012, p. 91).
Considere que a figura a seguir representa uma sala de aula:
Considerando a situação apresentada, julgue as 
afirmativas a seguir como V (verdadeira) ou F (falsa):
( ) Um modelo matemático que representa a área total 
da figura acima é:
A
total
=A
(retângulo maior)
+A
(retângulo menor)
A
total
=(12∙5)+[(12-3,5-3,5)∙3]
( ) Um modelo matemático que representa a área total 
da figura acima é:
A
total
=A
(retângulo maior)
-2∙A
(retângulos menores)
A
total
 (12∙8)-2∙(3,5∙3)
( ) Um modelo matemático que representa a área total 
da figura acima é:
A
total
=A
(retângulo maior)
+2∙A
(retângulos menores)
A
total 
[(12-3,5-3,5)∙8]+2∙(3,5∙5)
( ) Se considerarmos que a sala toda pode ser preenchida 
apenas com alunos, temos que essa sala pode ser 
ocupada por 75 alunos.
( ) Se considerarmos que a sala toda pode ser preenchida 
apenas com alunos, temos que essa sala pode ser 
ocupada por 82 alunos.
Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental Modelos matemáticos para o ensino de matemática: exemplos no ensino fundamental
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Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA.
a) V – V – F – V – F. 
b) V – F – F – F – V.
c) F – V – V – F – V. 
d) V – V – V – V – F. 
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Referências
ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessôa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. 
Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2013.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem matemática: O que é? Por quê? Como? 
Veritati, n. 4, p. 73-80, 2004.
BIEMBENGUT, Maria Sallet; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 5 
ed. São Paulo: Contexto, 2013.
BONI, Keila Tatiana. et al. Níveis de generalidade manifestados por estudantes dos 
anos iniciais do ensino fundamental em uma tarefa de padrões. In: ENCONTRO 
PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2014, Campo Mourão. Anais... 
Campo Mourão: EPREM, 2014. p. 13. 
BURAK, Dionísio. Modelagem matemática: ações e interações no processo 
ensino-aprendizagem. Tese (Doutorado em Psicologia Educacional). Faculdade de 
Educação, UNICAMP. Campinas, 1992.
CAMELO, Soraya Martins. Estudo de função afim através da modelagem 
matemática. Trabalho de Conclusão de Curso (Mestrado Profissional em 
Matemática – PROFMAT). Universidade Federal de Campina Grande. Campina 
Grande, 2013. 
PAULA, Heloísa de Jesus; BONI, Keila Tatiana; PIRES, Magna Natalia Marin. O 
pensamento algébrico e a tarefa de padrões: relato de uma experiência nos anos 
iniciais do Ensino Fundamental. In: ENCONTRO PARANAENSE DE EDUCAÇÃO 
MATEMÁTICA, 2014, Campo Mourão. Anais... Campo Mourão: EPREM, 2014. p. 12.
TORTOLA, Emerson; REZENDE, Veridiana; SANTOS, Talita Secorun. Modelagem 
Matemática no ensino fundamental: o custo da construção da quadra esportiva 
de uma escola por alunos de 5ª série (6º ano). In: ENCONTRO DE PRODUÇÃO 
CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA, 2009, Campo Mourão. Anais... Campo Mourão: 
FECILCAM/NUPEM, 2009.
TORTOLA, Emerson. Os usos da linguagem em atividades de modelagem 
matemática nos anos iniciais do ensino fundamental. 2012. 168 f. Dissertação 
(Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade 
Estadual de Londrina, Londrina, 2012. 
Unidade 3
DESENVOLVIMENTO DE 
MODELOS MATEMÁTICOS NA 
EDUCAÇÃO BÁSICA
Objetivos de aprendizagem: 
Essa unidade tem por objetivo proporcionar a você, futuro professor de 
matemática, um contato maior com atividades de Modelagem Matemática 
que podem ser desenvolvidas em aulas de matemática para a Educação Básica.
Ao longo dessa unidade você será convidado a refletir a respeito da 
utilização dessa metodologia, bem como a importância de proporcionar 
aos estudantes momentos desafiadores, nos quais os estudantes assumem 
um papel ativo no processo de aprendizagem.
Ao final dessa unidade, espera-se que você tenha compreendido a 
respeito de algumas formas de elaboração de um Modelo Matemático 
para descrever determinadas situações, bem como formas de utilizar esse 
conhecimento na sala de aula.
Renata Karoline Fernandes
Na unidade 1, você terá a oportunidade de aprofundar seu 
conhecimento a respeito das etapas do desenvolvimento de um modelo, 
por meio da Modelagem Matemática, bem como será convidado a refletir 
a respeito de argumentos para a inclusão da Modelagem Matemática no 
currículo escolar. Nessa unidade, você terá contato com uma atividade 
de Modelagem Matemática que pode ser desenvolvida ao longo da 
Educação Básica.
Nessa unidade realizaremos uma discussão a respeito da utilização de 
atividades de Modelagem Matemática com a intenção de ensinar ou então 
fixar um conteúdo programático específico. As atividades de modelagem 
podem ou não ser desenvolvidas tendo em mente o desenvolvimento de 
um conteúdo matemático específico, pois, se a proposta for direcionada, 
é possível ensinar o conceito esperado, mas caso a atividade de 
modelagem seja definida, por exemplo,pelos próprios estudantes, não 
é possível, a princípio, definir qual será a matemática necessária. Nessa 
seção, você terá contato com atividades de modelagem que podem 
guiar a aprendizagem de um conteúdo específico.
A terceira seção dessa unidade é dedicada para a apresentação de uma 
atividade de modelagem que foi totalmente definida pelos estudantes, 
visto que foram eles que definiram o tema a ser estudado, elaboraram um 
problema, chegaram a um Modelo Matemático que descrevia a situação 
e resolveram o problema definido.
Seção 1 | A utilização da Modelagem Matemática em aulas 
da educação básica
Seção 2 | Atividade de modelagem e o conteúdo 
programático
Seção 3 | Atividade de modelagem – a Ritalina
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
113
Introdução à unidade
A Modelagem Matemática, quando vista como um método científico, pode ser 
considerada um processo que associa a teoria com a prática, auxiliando na preparação 
dos estudantes para assumirem um papel na sociedade.
Por meio da Modelagem Matemática na Educação Básica, é possível estimular 
os estudantes a desenvolverem novas ideias, experimentar conjecturas, analisar 
informações, tomar decisões, bem como utilizarem uma linguagem aproximada da 
que pesquisadores de diversas áreas do conhecimento utilizam.
Já quando encaramos a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino 
e de aprendizagem, ocorre uma facilitação para que haja a combinação de aspectos 
lúdicos da matemática e seu potencial de aplicações.
A Modelagem Matemática consiste em transformar situações da realidade em 
problemas matemáticos que podem ser manipulados, interpretados em linguagem 
matemática e linguagem natural.
Tanto a Modelagem Matemática como método científico quanto a Modelagem 
Matemática como estratégia de ensino aliam a teoria à prática, com a intenção de analisar 
situações reais do dia a dia, para poder realizar previsões e tomar decisões necessárias.
Quando nos referimos a modelos matemáticos, estamos nos referindo a um 
conjunto de símbolos e relações matemáticas que são empregados de alguma forma 
para representar a situação ou o objeto estudado.
Os modelos consistem em sistemas artificiais para representar uma porção da 
realidade que se pretende compreender e deve ser elaborado tendo em mente os 
aspectos essenciais a serem estudados. Nessa unidade você terá contato com alguns 
modelos matemáticos.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
114
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
115
Seção 1
A utilização da Modelagem Matemática em 
aulas da Educação Básica
Introdução à seção 
A modelagem é uma tendência educacional que vem ganhando destaque, 
pois incentiva que estudantes busquem por meios próprios descrever, estudar e 
analisar situações.
Na primeira seção dessa unidade, os futuros professores são convidados a 
refletir a respeito da utilização da modelagem em aulas de Matemática na Educação 
Básica, bem como suas vantagens e desafios.
1.1 Atividades de Modelagem
A Modelagem Matemática tem se mostrado uma alternativa para a construção 
de um novo ambiente para o processo de ensino e de aprendizagem da 
Matemática, pois por meio dela é possível que o estudante assuma um papel mais 
ativo em sua aprendizagem, visto que é o estudante que, de forma geral, se propõe 
a desenvolver um modelo que descreva uma situação real de seu cotidiano, uma 
situação que lhe desperte o interesse.
De acordo com Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática é uma alternativa 
para despertar o interesse dos estudantes com relação à matemática e com a 
utilização dela em sala de aula, é possível ampliar o conhecimento e auxiliar na 
estruturação e no modo como eles pensam e agem. O mesmo autor afirma 
que com atividades de modelagem o professor deixa de apresentar o caráter de 
detentor e transmissor do conhecimento e assume um papel de condução, pois 
conduz as atividades, numa posição de participante delas.
Bassanezi (2002) apresenta alguns argumentos para a inclusão da modelagem 
no currículo, sendo eles:
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
116
• Argumento formativo – a Modelagem Matemática deve ser incluída nos 
currículos e utilizada nas aulas de matemática da Educação Básica, pois 
por meio dela é possível enfatizar aplicações matemáticas e resoluções de 
problemas, que podem auxiliar no desenvolvimento de capacidades em 
geral e atitudes dos estudantes.
• Argumento de competência crítica – por meio da elaboração, 
desenvolvimento e análise de modelos matemáticos, seguindo as etapas 
da Modelagem Matemática, os estudantes são preparados para analisar 
criticamente as situações de seu cotidiano.
• Argumento de utilidade – a aplicação da Modelagem Matemática auxilia no 
preparo do estudante para perceber que a matemática pode ser utilizada 
como ferramenta para resolver diversos problemas. Frequentemente, 
os estudantes questionam os professores a respeito da aplicação dos 
conteúdos matemáticos que aprendem, por meio da modelagem esse tipo 
de questão deixa de existir, pois eles aprendem os conceitos matemáticos 
já inseridos em contextos de aplicação.
• Argumento intrínseco – considera que a inclusão de modelagem ajuda o 
estudante a perceber a matemática de várias formas, pois, para a elaboração 
de um modelo, frequentemente, o estudante se vê utilizando diferentes 
formas de representação, seja por meio de gráficos, tabelas e/ou equações.
• Argumento de aprendizagem – ao aplicar os processos da modelagem, 
o estudante compreende melhor os argumentos matemáticos, guarda os 
conceitos e os resultados e valoriza a própria matemática.
• Argumento de alternativa epistemológica – a modelagem também se 
encaixa nos processos da etnomatemática, atuando como uma metodologia 
alternativa mais adequada às diversas realidades socioculturais.
Agora que você já leu a respeito dos argumentos apresentados 
por Blum (1995) para a introdução da Modelagem Matemática nos 
currículos, reflita a respeito deles e verifique se você concorda ou 
discorda.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
117
Existem também alguns obstáculos que dificultam a introdução da Modelagem 
Matemática na Educação Básica. Um dos obstáculos é o obstáculo institucional, 
pois a modelagem pode ser um processo mais demorado, visto que depende 
do tempo dos estudantes, e este processo pode atrapalhar o cumprimento do 
programa curricular da escola.
Esse obstáculo deve nos levar a uma reflexão a respeito do que é mais válido, 
o cumprimento total do programa de conteúdos escolares sem levar em conta o 
efetivo processo de aprendizagem dos estudantes, ou então o não cumprimento 
total do programa e o que isso pode acarretar no desenvolvimento escolar dos 
estudantes. Pense a respeito disso.
Outro obstáculo é o próprio comportamento dos estudantes, que, em geral, 
estão acostumados com a aula tradicional e, por isso, podem se tornar apáticos ao 
desenvolvimento dos processos da modelagem. Esse obstáculo deve ser superado 
pelo professor, pois ele deve assumir a postura de incentivador, auxiliando os 
estudantes a trilharem novos caminhos e a realizarem descobertas.
Algumas vezes os próprios professores podem se tornar um obstáculo para a 
realização de atividades de modelagem em sala de aula, pois alguns não se sentem 
confortáveis para conduzir esse tipo de atividade, seja por não se sentirem preparados, 
por nunca terem desenvolvido uma atividade de modelagem, por falta de conhecimento 
a respeito dos processos, ou por medo de se encontrarem em situações embaraçosas 
quanto às aplicações da matemática em áreas que desconhecem.
É natural sentir medo de algo que não conhecemos, por isso as unidades 
3 e 4 têm, também, como objetivo que você tenha contato com atividades de 
modelagem, para que assim se sinta mais confortável para desenvolver com seus 
futuros estudantes processos de modelagem em sala de aula.
As atividades de modelagemem geral seguem algumas etapas e, de acordo 
com Bassanezi (2002), essas etapas são:
• Experimentação: nessa etapa ocorre a obtenção dos dados que serão 
utilizados para o desenvolvimento do Modelo Matemático que representará 
a situação em questão. Essa etapa, em geral, é laboratorial.
A etapa de experimentação em que os dados são obtidos, quando se trata da 
elaboração de modelos matemáticos em aulas da Educação Básica, geralmente 
acontece por meio da observação da situação que será analisada, ou, então, por 
meio do estudo em livros, artigos e outros a respeito dela. Vejamos as próximas 
etapas:
• Abstração: é o processo que deve levar à formulação do(s) Modelo(s) 
Matemático(s). Nesta fase, procura-se estabelecer: quais são as variáveis 
envolvidas na situação; problematização ou formulação dos problemas 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
118
teóricos numa linguagem própria da área em que se está trabalhando; 
formulação hipóteses e simplificação.
• Resolução: nessa etapa o Modelo Matemático será constituído, ou seja, após 
a compreensão da situação, substitui-se a linguagem natural empregada 
nas hipóteses por uma linguagem matemática coerente. É uma atividade 
própria do matemático, podendo ser completamente desvinculada de 
realidade modelada.
• Validação: é o processo de aceitação ou não do modelo desenvolvido. 
Nesta etapa, os modelos, junto às hipóteses às quais lhe são atribuídas, 
devem ser testados em confronto com os dados empíricos, comparando 
suas soluções e previsões com os valores obtidos no sistema real (de forma 
laboratorial, por meio de pesquisas, ou por meio de observações).
• Modificação: nem sempre essa etapa é necessária se no momento de 
validação o modelo foi aceito, ou seja, é uma reformulação dos modelos 
quando alguns fatores ligados ao problema original provocam sua rejeição. 
Figura 3.1 | Fluxograma – etapas de desenvolvimento de atividades de modelagem
Fonte: Adaptado de: Bassanezi (2002)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
119
Essas etapas não são únicas, existem outros autores que apresentam diferentes 
etapas para a realização de atividades de modelagem. Vejamos um fluxograma 
que relaciona as etapas de atividades de modelagem apresentadas anteriormente.
Como dito anteriormente, outros autores apresentam outras etapas para o 
processo de obtenção de um Modelo Matemático que descreva situações reais, 
vejamos as etapas descritas por Biembengut e Hein (2000).
1ª etapa – Interação com o assunto: nessa etapa acontece o reconhecimento 
da situação do problema, ou seja, uma pesquisa a respeito do tema, por exemplo, 
se o interesse é estudar os efeitos do contato constante com substâncias que 
podem provocar câncer, antes de procurar desenvolver um Modelo Matemático 
para essa situação, é preciso conhecer a respeito das substâncias.
Com o reconhecimento da situação do problema por meio da realização de 
pesquisas, o estudante se torna familiarizado com o assunto a ser modelado.
2ª etapa – Matematização: no sentido atribuído para a palavra matematizar na 
educação matemática realística, matematizar se refere à matemática como uma atividade 
humana que envolve a resolução de problemas, é um processo que se inicia na realidade.
A etapa da matematização é a mais complexa e desafiadora no processo de 
modelagem, pois é nessa fase que ocorre a formulação do problema e a resolução 
desse problema em termos de modelo, ou seja, a situação problema que era 
descrita por meio da linguagem escrita passa a ser representada na linguagem 
matemática por meio de um modelo que conduza a uma solução.
3ª etapa – Modelo Matemático: essa etapa é voltada para a validação do 
modelo obtido, para isso o indivíduo envolvido na modelagem deve interpretar 
as soluções obtidas e por meio delas concluir se o modelo é ou não adequado à 
situação que está analisando.
1. Os fluxogramas são diagramas que têm o objetivo de 
representar fluxos dinâmicos de materiais e operações, 
tendo sempre um início, um sentido de leitura e um 
fim, sendo que as setas são utilizadas para indicar o 
sentido. Realize uma leitura do fluxograma apresentado 
anteriormente e escreva um pequeno texto explicando o 
que ele está representando.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
120
Nesse saiba mais você é convidado a aprofundar seu conhecimento 
a respeito das etapas de elaboração de um Modelo Matemático, para 
isso, estude os materiais dos links a seguir:
<http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0103-
636X2012000300008&script=sci_arttext>. Acesso em: 15 maio 2015. 
<https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=
web&cd=9&ved=0CEUQFjAI&url=http%3A%2F%2Fwww.sbembrasil.
org.br%2Ffiles%2Fix_enem%2FMinicurso%2FTrabalhos%2FMC74390
627520T.doc&ei=cfC_VMWvKZHjsASS0IKQDw&usg=AFQjCNFilTpC
MhriNS_NKDt4KH_bLYnPhA&sig2=pJXJIPvklTcCf0fvd7AibQ&bvm=
bv.83829542,d.aWw&cad=rja> Acesso em 15 maio 2015.
Como estamos vendo ao longo das unidades, um dos principais objetivos das 
atividades de modelagem é a elaboração de modelos matemáticos que descrevam 
as situações que queremos estudar. Blun (1995) apresenta algumas classificações 
para os modelos, sendo elas:
• Modelo Linear: por meio da utilização de modelos lineares é possível 
descrever grande parte das atividades do cotidiano das pessoas, como 
gastos com compras em uma padaria; quanto uma pessoa deve pagar pelo 
combustível que colocou em seu automóvel; a variação do investimento 
em uma poupança; e o crescimento populacional quando se conhecem 
as suas variáveis. Nesse tipo de modelo, uma variável depende diretamente 
de outra. Geralmente, são modelos lineares desenvolvidos em aulas da 
Educação Básica.
• Modelo Não linear: um exemplo de modelo matemático não linear é o modelo 
que é utilizado para descrever a curva característica de água no solo que 
caracteriza a armazenagem de água através de relação entre a umidade e o 
potencial matricial do solo. Esse tipo de modelo geralmente é obtido por meio 
da utilização de conceitos que não estão no currículo da Educação Básica.
• Modelo Dinâmico – exemplos de modelos dinâmicos são os fenômenos 
térmicos, condução, radiação e convenção.
• Modelo Educacional – são os modelos que podem ser tratados facilmente 
em sala de aula com os estudantes, sendo de modo geral simples e de 
fácil compreensão, são geralmente lineares e de preferência emergem de 
situações do cotidiano dos estudantes.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
121
• Modelo Estocástico ou determinístico – o modelo estocástico ou 
determinístico faculta a análise dos efeitos individuais dos diversos, exemplos 
deste modelo são elementos base envolvidos no modelo de gestão, ou 
seja, dos parâmetros de entrada das técnicas de otimização e do Modelo 
Matemático de simulação do comportamento do aquífero costeiro.
Agora que já conhecemos os diferentes tipos de modelos matemáticos, 
podemos nos voltar à Modelagem Matemática como um favorável ambiente de 
ensino e de aprendizagem, que, de acordo com Barbosa, pode se configurar por 
meio de três níveis de possibilidades sem limites claros que ilustram a materialização 
da modelagem na sala de aula da Educação Básica:
Em sala de aula, os estudantes podem se envolver em atividades de modelagem 
de qualquer um dos níveis, mas se eles nunca tiveram contato com esse tipo de 
atividade, é adequado iniciar pelo primeiro nível.
A partir de agora, vejamos um exemplo de atividade de Modelagem Matemática 
que pode ser desenvolvida em aulas de matemática da Educação Básica. A atividade 
Nível 1: trata-se da problematização de algum episódio real: a 
partir das informações qualitativas e quantitativas apresentadas 
no texto da situação, o aluno desenvolve a investigação do 
problema proposto.
- O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, 
com as informações necessárias à sua resolução e o problema 
formulado, cabendo aos alunos o processo de resolução.
Nível 2: trata-se da apresentaçãode um problema aplicado: os 
dados são coletados pelos próprios alunos durante o processo 
de investigação.
- O professor traz para a sala um problema de outra área 
da realidade, cabendo aos alunos a coleta das informações 
necessárias à sua resolução.
Nível 3: tema gerador: os alunos coletam informações 
qualitativas e quantitativas, formulam e solucionam o 
problema.
-9 A partir de temas não matemáticos, os alunos formulam 
e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela 
coleta de informações e simplificação das situações-problema 
(BARBOSA, 2001, p. 2).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
122
que segue seria uma atividade característica do nível 1. Nela, evidenciaremos as 
etapas seguidas do desenvolvimento de uma atividade de modelagem.
ATIVIDADE DE MODELAGEM DO CÉSIO-137
A atividade que segue foi desenvolvida após o professor apresentar o tema que 
deveria ser estudado, ou seja, o acidente ocorrido com o Césio-137 na cidade de 
Goiânia, capital de Goiás.
Após a apresentação do tema, os estudantes devem realizar uma pesquisa a 
respeito do assunto, para que eles se familiarizem e obtenham os dados necessários 
para escreverem um modelo.
Vale destacar que o professor pode definir uma questão a ser respondida pelos 
estudantes, ou então deixar que eles próprios definam o que querem investigar a 
respeito do assunto.
Na atividade apresentada, a questão que deveria ser respondida é: Desenvolva 
um Modelo Matemático para descrever a quantidade de Césio presente em cada 
instante na cidade de Goiânia e faça uma estimativa de como estará a situação da 
cidade daqui a 12 anos.
Perceba que, para que seja possível obter a resposta para a pergunta, os 
estudantes devem pesquisar sobre a relação da cidade de Goiânia com o Césio-137. 
Vejamos algumas informações relevantes sobre tal situação:
Acidente com Césio-137 na cidade de Goiânia
O maior acidente radiológico com Césio-137 do mundo aconteceu na cidade 
de Goiânia e teve início no dia 13 de setembro de 1987. Houve centenas de vítimas, 
que foram contaminadas por meio da radiação emitida por uma única cápsula que 
continha Césio-137.
A tragédia se iniciou quando dois catadores de lixo, ao vasculharem instalações 
antigas do Instituto Goiano de Radiografia, se depararam com um aparelho 
de radiografia abandonado. Os homens removeram a máquina e levaram tal 
equipamento para a casa deles, com a intenção de vender as partes de metal e de 
chumbo do aparelho.
Ao retirarem as peças que poderiam ser vendidas, deixaram o que não lhes 
interessava em um ferro-velho.
O dono desse ferro-velho desmontou o resto da máquina e, por não ter 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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123
conhecimento a respeito do assunto, expôs ao ambiente 19,26g de cloreto de 
Césio-137 (CsCl), que é um pó branco similar ao sal de cozinha, mas que, no 
entanto, brilha no escuro com uma coloração azulada.
Devido a esse brilho azulado, o dono do ferro-velho decidiu mostrar aos seus 
familiares a substância encontrada, bem como para seus amigos e vizinhos. 
Algumas dessas pessoas quiseram levar amostras para casa, o que contribuiu para 
que muitas pessoas tivessem contato com a substância.
Após algumas horas de contato com ela, vítimas começaram a apresentar os 
primeiros sintomas de contaminação, que eram vômito, náusea, diarreia e tontura. 
A grande quantidade de pessoas que procuraram os hospitais chamou a atenção, 
mas levou alguns dias até que descobriram a possibilidade de se tratar de uma 
síndrome aguda de radiação.
No dia 29 de setembro de 1987, verificaram índices de radiação na cidade. Com 
a intenção de estancar a contaminação, a Secretaria de Saúde do estado realizou 
uma triagem dos suspeitos de contaminação, separou todas as roupas das pessoas 
expostas ao material radioativo, mas, mesmo com os cuidados prestados, muitas 
pessoas vieram a óbito.
A descontaminação dos locais atingidos rendeu cerca de 6000 toneladas de 
lixo, pois tudo que teve contato com as pessoas contaminadas e com o Césio-137 
teve de ser descartado. Esse material está confinado na cidade de Abadias de 
Goiás, onde deve ficar por aproximadamente 180 anos.
Segundo a Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN), cada elemento 
radioativo se transmuta a uma velocidade que lhe é característica.
A meia-vida é o tempo necessário para que a sua atividade seja reduzida à 
metade da atividade inicial. Alguns elementos possuem meia-vida de milionésimos 
de segundos, outros, de bilhões de anos (CNEM, 2006).
A meia-vida do Césio-137 é de aproximadamente 30 anos.
A partir destas informações, a atividade de Modelagem Matemática se propõe a 
estudar como se comporta a concentração do Césio-137 na cidade de Goiânia no 
decorrer do tempo, tendo em mente o problema Desenvolva um Modelo Matemático 
para descrever a quantidade de Césio presente em cada instante na cidade de Goiânia 
e faça uma estimativa de como estará a situação da cidade daqui a 12 anos.
Geralmente, uma atividade de modelagem é desenvolvida em pequenos 
grupos, para que haja interação, troca de ideias e informações.
Após a pesquisa realizada a respeito do Césio-137 e com a intenção de estudar 
o seu comportamento na cidade, os estudantes devem conseguir perceber quais 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
124
são as variáveis envolvidas na situação, ou seja, o tempo em anos e a quantidade 
em gramas de Césio-137.
Como a quantidade de Césio-137 depende do tempo que se passou desde o 
contato com o ambiente, podemos afirmar que a variável tempo (t) é independente 
e a variável quantidade de Césio-137(Q) é a variável dependente. 
Para deduzir um Modelo Matemático, é preciso que os estudantes utilizem as 
informações que possuem, ou seja, que a meia-vida do Césio-137 é de 30 anos, 
ou seja, se hoje a quantidade dele é de, por exemplo, 12g, daqui a 30 anos sua 
quantidade será de 6g.
Uma forma de organizar os dados, com a intenção de analisar como eles se 
comportam, é por meio da construção de um quadro. Vejamos como ela ficaria.
A partir da dica construímos o seguinte quadro para podermos analisar os dados.
Perceba que os valores obtidos para a quantidade de Césio-137 foram obtidos 
por meio da divisão da quantidade anterior e que esse quadro varia de 30 em 30 
anos.
Só a elaboração do quadro não responde ao problema, bem como não 
representa Modelo Matemático. A partir desse momento, inicia o processo de 
verificar semelhanças, ou seja, relacionar a quantidade de césio-137 com a 
quantidade inicial. Vejamos:
1) Inicialmente, a quantidade de césio-137 era de 19,26g.
2) Ao passar 30 anos (o tempo da meia-vida), a quantidade diminuiu pela metade.
Ano t Quantidade de césio-137 Quantidade de tempo 
passado desde a data de 
1987 (anos)
1987 0 19,26 0
2017 1 9,63 30
2047 2 4,815 60
2077 3 2,4075 90
2107 4 1,20375 120
2137 5 0,601875 150
2167 6 0.30093 180
2197 7 0.1504 210
2227 8 0.075 240
2257 9 0.0375 270
Quadro 3.1 – Decaimento da quantidade de césio. 
Fonte: A autora (2015) 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
125
Quais foram as descobertas que você chegou ao fazer a reflexão sugerida? 
Se sua resposta é que esse modelo é válido apenas para os anos que podem ser 
escritos como n = 1987 + 30b, como b pertencente ao conjunto dos números 
naturais, você está correto! 
Com o modelo , conseguimos descrever o decaimento do 
Césio-137 na cidade de Goiânia de 30 em 30 anos, substituindo t por 1 caso tenham 
se passado 30 anos, por 2 caso tenham se passado 60 anos, 3 caso tenham se 
passado 90 anos, e assim por diante. 
3) Ao passar 60 anos (duas vezes o tempo de meia vida), a quantidade restante 
é a quarta parte da quantidade inicial (a quantidade inicial foi dividida por 4).
4) Ao passar 90 anos (três vezes o tempo de meia-vida), a quantidade restante é 
um oitavo da quantidade inicial (a quantidade inicial foi dividida por 8).
Se continuarmos com a sequência, é possível perceber que a quantidaderestante de Césio-137 é dividida por potências de meio. Com base na análise das 
informações, percebe-se que o decaimento pela metade do Césio-137 a cada 30 
anos pode ser representado pela seguinte expressão:
 , como Q
0
 = 19,26, então temos:
Até o momento, o modelo obtido para descrever a situação 
analisada é 
Realize a validação desse modelo com os dados apresentados no 
quadro. Após a validação, reflita a respeito de validade do modelo e 
se com ele é possível responder à quantidade de Césio-137 daqui a 
12 anos.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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126
Mas o modelo apresentado tem dois problemas:
• Só conseguimos saber a quantidade de Césio-137 em um período de 30 em 
30 anos, não conseguimos saber a quantidade da substância, por exemplo, 
depois de 40 anos da data do acidente.
• É necessário saber quanto tempo se passou desde o ano do acidente para 
podermos dividir este valor por 30 e descobrir por qual valor devemos 
substituir a variável t.
Esses problemas verificados no modelo só foram descobertos no momento da 
validação, por isso esta etapa é muito importante nas atividades de modelagem. 
Como visto na validação, nosso modelo precisa de modificações, as quais 
serão apresentadas na sequência.
Para resolvermos o problema de não conseguirmos descobrir a quantidade de 
Césio-137 em anos que não podem ser escritos como n = 1987 + 30b, podemos 
dividir o t, que representa, inicialmente, um período de 30 anos, por 30 para que 
possamos saber a quantidade de Césio-137 depois de qualquer quantidade de 
anos passados desde o ano de 1987.
Sendo assim, chegamos a um novo modelo, que é:
Mesmo com a utilização da fórmula anterior, ainda seria necessário descobrir 
quantos anos se passaram desde o ano do acidente até o ano em que queremos 
saber a quantidade de Césio-137.
Para que não seja necessário saber a quantidade de anos passados desde 1987 
e, assim, tornar uma situação contínua para saber a quantidade de Césio-137 
ainda existente, é possível escrever a variável t = d – 1987, deste modo, apenas 
fornecendo conseguiríamos saber a quantidade. 
Sendo assim, o novo modelo obtido para calcular a quantidade existente de 
Césio-137 para qualquer ano após o acidente dado por:
Onde a quantidade de Césio-137 varia de acordo com o tempo passado desde 
a data do acidente.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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127
2. Considerando a atividade de modelagem a respeito 
do Césio-137 apresentada anteriormente e o modelo 
obtido, assinale a alternativa que apresenta a quantidade 
da substância que terá daqui 12 anos na cidade de Goiânia, 
levando em consideração que estamos no ano de 2015.
a) 7,99 g.
b) 7,86 g.
c) 7,72 g.
d) 7,64 g.
e) 7,55 g.
Perceba que a modelagem realizada envolve apenas conceitos da Educação Básica, 
frações, potências e funções. O modelo obtido não é o único, em uma situação de sala 
de aula cada grupo poderia ter desenvolvido um modelo diferente.
O papel do professor ao longo do desenvolvimento de atividades de modelagem 
está em auxiliar os estudantes a aprenderem uma nova matemática, ou então atribuir 
significado para a matemática que já possuem.
Depois de elaborado um modelo que seja válido para a situação em estudo, o professor 
pode incentivar os estudantes a irem ao quadro expor suas descobertas e o que utilizaram 
para chegar a elas. 
 Cabe lembrar que a atividade de modelagem apresentada tinha uma pergunta a ser 
respondida, mas na Modelagem Matemática também tem a opção de que o professor 
proponha apenas uma situação e os estudantes busquem questões para investigar 
e modelar a respeito dela, ou então, que o professor não proponha nem ao menos a 
situação, que sejam os estudantes que desenvolvam modelos matemáticos a respeito de 
uma situação que eles mesmos escolham.
Vamos aprofundar mais nosso conhecimento a respeito de Modelagem Matemática 
no próximo Saiba Mais.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
128
Para saber mais a respeito da utilização da modelagem em aulas da 
Educação Básica, estude os materiais disponíveis nos links a seguir.
<ftp://ftp.cefetes.br/cursos/EngenhariaEletrica/Hans/Pos_EPT/Wan/
MODELAGEM%20MATEM%C1TICA%20E%20OS%20FUTUROS%20
PROFESSORES%20anped2002.pdf>. Acesso em 15 maio 2015.
<http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/10/MC86136755572.pdf>
<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_
teses/MATEMATICA/Artigo_Barbosa.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/
modulo_VI/pdf/30%20anos%20de%20modelagem.pdf>
<http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/
material/142008-11-01-16-07-09.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015. 
Na próxima seção dessa unidade, você terá contato com outra atividade de 
modelagem. Vale relembrar que a intenção dessa unidade é que você conheça 
algumas atividades de modelagem, para que se inspire e possa promover momentos 
envolvendo a Modelagem Matemática em suas futuras aulas de Matemática para 
a Educação Básica. 
A atividade de modelagem apresentada nessa seção é uma 
atividade que poderia ser desenvolvida por estudantes da 
Educação Básica em diferentes níveis, pois o professor poderia 
ter o interesse de desenvolver o conceito de funções com os 
estudantes do Ensino Médio, como poderia também lidar o 
estudo de relações com estudantes do Ensino Fundamental II.
Perceba que essa atividade é mais direcionada do que a atividade de 
modelagem apresentada na seção anterior, pois com a aplicação 
dessa atividade, possivelmente o professor regente da turma tinha 
a intenção de desenvolver um conteúdo programático.
Reflita a respeito de como você conduziria a aula com estudantes 
do 1º ano do Ensino Médio a partir do desenvolvimento da 
atividade apresentada nessa seção.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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129
Seção 2
Atividade de modelagem e o conteúdo 
programático
Introdução à seção 
A modelagem matemática pode ser utilizada como instrumento para a 
construção do conhecimento de diversos conteúdos, porém, é comum em 
atividades de modelagem os estudantes utilizarem diferentes conteúdos, de 
acordo com a situação que estão descrevendo.
Nesta seção, o futuro professor de Matemática é convidado a refletir a respeito 
da associação entre as atividades de modelagem e o conteúdo programático que 
o professor deve seguir ao longo dos anos e das etapas da Educação Básica. 
2.1 Utilização de atividades de modelagem para contemplar os conteúdos 
programáticos
Em uma atividade de Modelagem Matemática, o professor pode não ter um 
objetivo específico que queira trabalhar, aproveitando, assim, os conteúdos que 
emergirem ao longo do processo de desenvolvimento do Modelo Matemático que 
descreve a situação de interesse, mas também pode ter a intenção de reforçar ou 
de ensinar um conteúdo determinado.
No caso da atividade de modelagem apresentada na seção anterior, o professor 
poderia utilizá-la para o estudo de funções. Cabe lembrar que a atividade do 
Césio-137 em uma situação de sala de aula deveria ser desenvolvida pelos próprios 
estudantes, não é comum o professor levar uma atividade de modelagem pronta, 
que já resultou em um Modelo Matemático e apresentá-la para os estudantes.
Quando o professor faz uso da Modelagem Matemática para o desenvolvimento 
de um conteúdo matemático específico, ele deve auxiliar para que esse conteúdo 
flua durante o processo de modelagem. Vejamos uma figura que ilustra o 
desenvolvimento de um conteúdo no processo de modelagem.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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130
Figura 3.2 | O desenvolvimento de um conteúdo por meio do processo de modelagem
Fonte: Biembengut e Hein (2000 apud JÚNIOR, 2005, p. 38).
Por meio da figura, é possível perceber que o tema escolhido pelo professor 
deve favorecer o levantamento e a formulação de questões que se relacionem ao 
conteúdo programático de interesse. Após a aplicação e utilização do conteúdo 
de interessepara resolver a questão envolvida na atividade de modelagem, o 
professor pode apresentar novos exemplos que tenham alguma similaridade com 
a atividade que foi desenvolvida.
Com a utilização da Modelagem Matemática ocorre uma inversão da ordem 
tradicional das aulas de matemática, que é definição/exemplos/exercícios/
aplicações, pois as atividades iniciam com aplicações e problemas, assim, os 
estudantes têm oportunidade de conhecer novos ambientes de aprendizagem. 
Vejamos uma atividade que foi utilizada em uma aula da disciplina de Modelagem 
Matemática do curso de licenciatura em Matemática. Essa atividade pode ser 
aplicada em aulas da Educação Básica. 
Aprenda mais a respeito da Modelagem Matemática para 
desenvolver um conteúdo programático e também na formação de 
professores, estudando os materiais disponíveis nos links a seguir.
<http://www.bdtd.ufscar.br/htdocs/tedeSimplificado//tde_busca/
arquivo.php?codArquivo=2880>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2014/produto_
Laercio%20Nogueira.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/TCC/soraya.pdf>. Acesso 
em: 15 maio 2015.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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131
O procedimento seguido pela professora regente foi de entregar a seguinte 
atividade aos estudantes, que estavam organizados em grupos de 3 pessoas.
ATIVIDADE DE MODELAGEM – A REGRA DO GUARDA RODOVIÁRIO
Os guardas rodoviários utilizam uma regra para calcular a distância de frenagem 
de um veículo desde o momento em que o freio é acionado até o momento em 
que este se encontra parado. A regra é composta por:
I- Eleva-se ao quadrado a velocidade do veículo no momento da frenagem.
II- O resultado obtido é dividido por 100.
III- Após realizar a divisão, o resultado obtido é o valor da distância em que o 
veículo vai para depois de acionado o freio.
MATEMATIZANDO COM OS DADOS
Complete o quadro a seguir, relacionando a velocidade (V) e a distância que o 
móvel deve ser freiado (D), utilizando o método apresentado anteriormente.
Observando o quadro anterior, defina um modelo que relaciona a velocidade 
do veículo com a distância que ele percorre desde o acionamento dos freios até o 
momento em que o carro para totalmente.
 O quadro a seguir, divulgado na “Revista Quatro Rodas”, fornece os resultados 
encontrados para a mesma situação descrita anteriormente, no lançamento de 
um carro. Analise esse quadro e utilize-o para validar o modelo encontrado, pois 
as medidas apresentadas neles são reais.
Antes de prosseguirmos com o estudo dessa atividade de modelagem, o que 
você acha de realizar essa atividade? Vamos à nossa atividade de aprendizagem.
V(Km/h) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 V
D(m)
V 40 60 80 100 120
D 8,2 18,1 31,8 50,3 71,6
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
132
1. A atividade de modelagem que estamos desenvolvendo 
está relacionada à velocidade de um automóvel com a 
distância que ele percorre desde o acionamento dos freios 
até o momento que ele para totalmente, por meio de uma 
fórmula desenvolvida por guardas rodoviários. Complete 
o quadro acima e assinale a alternativa que apresenta a 
distância percorrida até parar por um automóvel que estava 
a 50 quilômetros por hora.
a) 21 metros. 
b) 22 metros.
c) 23 metros.
d) 24 metros.
e) 25 metros.
Para resolver a atividade de aprendizagem 1, como solicitado, você teve que 
preencher o quadro apresentado na atividade que estamos modelando e ao fazer isso 
seguindo a regra dos rodoviários, provavelmente você obteve os seguintes resultados:
O problema ligado à essa situação é o desenvolvimento de um modelo que 
relacione a velocidade do automóvel com a distância que ele anda até o momento 
de parar totalmente. Para estabelecer esse modelo, devemos escrever em linguagem 
matemática as indicações escritas em linguagem natural dos rodoviários, ou seja:
I- Eleva-se ao quadrado a velocidade do veículo no momento da frenagem.
II- O resultado obtido é dividido por 100.
III- Após realizar a divisão, o resultado obtido é o valor da distância em que o veículo 
vai para depois de acionado o freio.
Traduzindo as informações para a linguagem matemática, obtemos como modelo:
V(Km/h) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 V
D(m) 0 1 4 9 16 25 36 49 64 D(m) = v2
 100
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
133
Após a elaboração do Modelo Matemático vem uma etapa muito importante, 
que é a validação, ou seja, verificar se o modelo corresponde à realidade da 
situação analisada.
Para a validação desse modelo, podemos utilizar o quadro com os dados 
obtidos por meio dele com o quadro com as informações reais advindas da Revista 
Quatro Rodas. Vejamos esses quadros.
Perceba que os valores obtidos pelo Modelo Matemático não estão coerentes 
com os valores reais do segundo quadro, sendo assim, o modelo precisa de certa 
modificação.
Analisando os valores que estão presentes nos dois quadros (40km/h, 60km/h, 
80km/h), é possível perceber que os valores obtidos por meio dos modelos são 
praticamente o dobro dos valores reais, sendo assim, se dividirmos por 2 o nosso modelo, 
chegaremos a um movo modelo que é mais condizente com a realidade, assim:
V(Km/h) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 V
D(m) 0 1 4 9 16 25 36 49 64 D(m) = v2
 100
V 40 60 80 100 120
D 8,2 18,1 31,8 50,3 71,6
Quadro 3.2 | Valores obtidos com a utilização do modelo.
Quadro 3.3 – Valores da Revista Quatro Rodas
Fonte: da autora (2015) 
Fonte: da autora (2015) 
Nós percebemos que é necessário realizar uma adequação no 
modelo desenvolvido, pois o que temos até o momento não é 
adequado à situação que estamos estudando. Pense a respeito do 
que poderia ser feito para que o Modelo Matemático passasse a 
descrever coerentemente a situação.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
134
Perceba que esse novo modelo não apresenta exatamente os valores reais, mas 
sim valores muito próximos aos da realidade, deste modo, podemos afirmar que 
esse modelo é válido para a nossa situação. A notação D
2
 (m), tendo o 2 como 
índice, foi utilizada apenas para diferenciar o primeiro modelo do segundo modelo.
Antes de prosseguirmos com o estudo, vamos refletir a respeito de uma questão 
muito importante relacionada com essa atividade de modelagem.
2. Utilizando o Modelo Matemático elaborado na atividade 
de modelagem, é correto afirmar que um automóvel está 
em qual velocidade, aproximadamente, sabendo que ele 
percorreu a distância de 60 metros desde o acionamento 
dos freios até a parada total do automóvel?
a) 99 km/h.
b) 109 km/h.
c) 119 km/h.
d) 129 km/h.
e) 139 km/h.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
135
Vamos aprender mais a respeito da utilização da Modelagem Matemática para 
desenvolver um conteúdo programático.
Na próxima seção você conhecerá uma atividade de modelagem que foi 
desenvolvida pela autora da unidade, junto à professora doutora Karina Alessandra 
Pessoa da Silva, em uma situação de aula.
Estude mais a respeito da utilização da utilização de atividades de 
modelagem com os links a seguir.
<https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/
handle/10183/37104/000819637.pdf?sequence=1>. Acesso em: 15 
maio 2015.
<http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/
MC92894607687T.doc>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.uesb.br/mat/semat/seemat2/index_arquivos/p3.pdf>
<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/
handle/10183/31675/000784065.pdf?...1>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/
artigo/1-2008-09-04-18-05-46.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<file:///C:/Users/Renata%20Karoline/Downloads/000380369-
Texto+Completo-0.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
136
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
137
Seção 3
Atividade de modelagem – a Ritalina
Introdução à seção 
A seção 3 desta unidade é destinada para a reflexão a respeito dasetapas de 
uma atividade de modelagem. Por meio de uma atividade já resolvida, podemos 
inferir a importância das etapas de modelagem, bem como da necessidade de 
cada uma delas.
A atividade que será apresentada nesta seção evidencia aprendizagens 
matemáticas em diferentes níveis, visto que poderia ser desenvolvida na Educação 
Básica, bem como no Ensino Superior.
3.1 A ritalina
A atividade de modelagem que será apresentada na terceira seção dessa unidade 
é o resultado de uma atividade proposta em uma aula de Modelagem Matemática.
Na atividade apresentada na seção 1 dessa unidade, a professora propôs uma 
questão para responder e, a partir dessa questão, os estudantes realizaram pesquisas 
para se familiarizar com a situação e então desenvolveram e validaram um Modelo 
Matemático que descrevesse a situação do césio-137 na cidade de Goiânia.
Na segunda atividade de Modelagem Matemática, apresentada na seção 2 
dessa unidade, podemos perceber que ela é uma atividade mais direcionada, 
pois o professor regente tem por intenção o desenvolvimento de um conteúdo 
programático por meio da realização da atividade de modelagem.
Já nessa seção teremos contato com uma atividade de modelagem que foi 
proposta pela professora doutora, citada anteriormente em uma de suas aulas. 
A proposta é que os estudantes desenvolvessem um Modelo Matemático que 
descrevesse uma situação de interesse.
Perceba que essa forma de apresentar uma atividade de modelagem é muito 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
138
mais aberta que as demais, pois a professora em questão não tinha interesse em 
trabalhar um conteúdo específico, muito pelo contrário, o interesse era aproveitar 
toda a matemática que emergisse ao longo da realização dos diferentes trabalhos 
desenvolvidos na turma.
De acordo com os três níveis para as atividades de modelagem relatados por 
Barbosa (2001), a proposta que segue pertence ao terceiro nível, ou seja, de um 
tema gerador, pois foram os estudantes que coletaram informações qualitativas 
e quantitativas a respeito do tema que lhes chamou a atenção, bem como 
formularam e solucionaram um problema.
Como característica desse nível, será possível perceber que a partir de um tema 
não matemático, que é a utilização do medicamento conhecido como Ritalina, foi 
possível formular e resolver um problema.
Essa atividade foi apresentada no XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação 
Matemática, que foi realizado na cidade de Campo Mourão - PR.
Após a realização da proposta para a atividade de modelagem, inicia-se um 
processo de reflexão para escolher um tema que fosse de interesse e que pudesse 
gerar um Modelo Matemático que descrevesse a situação. A partir de agora, 
começaremos a analisar a atividade de modelagem.
Vejamos o artigo adaptado na sequência, intercalando o conteúdo do próprio 
artigo com as nossas inferências. 
Uma experiência com modelagem matemática por meio do estudo da 
Ritalina no organismo
A Modelagem Matemática é uma parte da matemática que tem grande 
aplicação prática, pode auxiliar no desenvolvimento do pensamento matemático 
e do pensamento crítico dos estudantes. Além desse tipo de contribuição, a 
Para ter contato com o trabalho publicado na integra, acesse o link a 
seguir:
<http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/
RELATOS/autores/REA050.PDF>. Acesso em: 15 maio 2015.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
139
modelagem pode trazer, aos estudantes, discussões sociais.
A modelagem que segue apresentará uma situação do cotidiano, que está cada 
vez mais próxima da prática dos professores, ou seja, a utilização de medicamentos 
para auxiliar na aprendizagem de estudantes com TDAH.
A atividade de modelagem nos auxiliará a compreender essa situação por meio 
da utilização de dados matemáticos e, através da interpretação e da análise de 
dados, tomar decisões.
A atividade a respeito da Ritalina é um artigo apresentado em um evento da 
área de matemática (FERNANDES; SILVA, 2014) e nessa seção realizaremos 
apontamentos e você terá contato com um trabalho da área de modelagem 
publicado e, assim, compreenderá mais a respeito das etapas da modelagem. 
Como falaremos a respeito da ingestão da Ritalina, que vem sendo o remédio 
mais utilizado para auxiliar na concentração de estudantes com Déficit de Atenção 
e Hiperatividade, vamos parar um momento, para que você possa refletir a respeito. 
Quando se inicia uma atividade de modelagem, comumente os conteúdos que 
serão aplicados e que nos auxiliarão na compreensão da situação analisada são 
desconhecidos, pois é a necessidade de resolver problemas que indica qual é o 
conceito ou conteúdo mais adequado. 
A característica de não saber a priori os conteúdos utilizados para resolver a situação 
analisada é uma das características essenciais da Modelagem Matemática, pois o seu 
objetivo é que os estudantes vão em busca dos conteúdos matemáticos necessários 
ao longo da atividade. Cabe destacar que nem sempre os estudantes sabem todos os 
conteúdos que vão utilizar e, quando isso acontece, o professor regente pode auxiliar, 
bem como os estudantes podem, por meios próprios, buscar soluções.
A ingestão da Ritalina tem aumentado dia a dia e é 
frequentemente receitada para o tratamento de Déficit 
de Atenção e Hiperatividade. O que você pensa a respeito 
desse aumento? Você já ouviu falar de Déficit de Atenção e 
Hiperatividade? Qual postura é adequada a professores que 
têm em suas turmas estudantes com Déficit de Atenção e 
Hiperatividade? 
Reflita a respeito dessas questões.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
140
Outra vantagem associada à utilização da modelagem em todos os períodos 
da Educação Básica é exatamente a incerteza da utilização de conteúdos 
determinados, ou seja, o estudante deve buscar os conteúdos que são necessários 
e é comum que, para chegar a uma resolução, o estudante interaja com mais de 
um conteúdo matemático. 
Você perceberá na atividade a respeito da Ritalina que em cada uma das etapas 
da modelagem utilizaram-se conteúdos diferentes e até mesmo as tentativas que 
não conduziram à solução esperada proporcionaram reflexões e aprendizagens.
Na sequência, iniciaremos o processo de modelagem. Ao longo do texto, você 
será convidado a refletir sobre cada uma das etapas desenvolvidas, a validação dos 
modelos matemáticos encontrados e a possível interpretação dos resultados. 
Sobre o tema: Ritalina, a droga da obediência 
Nós vimos que, para iniciar o processo de modelagem, é necessário um 
movimento de pesquisa, um movimento que conduz à compreensão do tema 
que será modelado, para, pelo menos, ter alguns dos dados que serão utilizados. 
A pesquisa inicial tem por intenção compreender os fatores envolvidos no 
consumo do medicamento denominado Ritalina, quais são as variáveis envolvidas, 
se todos os organismos expostos ao medicamento reagem igualmente, se a 
dosagem do mesmo depende do peso ou da idade de quem vai consumi-lo. 
A partir desse momento, apresentaremos algumas informações a respeito 
desse medicamento, para que você possa compreender melhor o contexto dessa 
modelagem.
De acordo com Fernandes e Silva (2014, p. 2):
O composto de Cloridrato de metilfenidato, conhecido como 
Ritalina é um medicamento que atua diretamente no sistema 
nervoso central, que frequentemente é receitado para o 
tratamento de Déficit de Atenção e Hiperatividade (TDAH). 
Acredita-se que de 14% a 18% dos adolescentes apresentam 
diagnóstico de TDAH em idade escolar e, ao receitar este 
medicamento tem-se o objetivo de reduzir o comportamento 
impulsivo e facilitar a concentração em atividades curtas e 
prolongadas (ITABORAHY, 2009).
O tratamento com Ritalina não é indicado em todos os casos 
de TDAH e deve ser considerado somente após levantamento 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
141
A dosagem desse medicamento é determinada de acordo com a idade do 
indivíduo que o consumirá,sendo essa:
• 5 a 10 miligramas se for prescrito a uma criança.
• 10 a 20 miligramas se for prescrito a um adolescente.
• Acima de 20 miligramas se for prescrito a um adulto.
Essa quantidade pode sofrer alterações dependendo do grau e das características 
apresentadas do TDAH.
De acordo com Fernandes e Silva (2014), a modelagem que estudaremos 
destina-se a investigar sobre o tempo em que o medicamento Ritalina permanece 
no organismo de um indivíduo de idade entre 12 e 17 anos, e justifica-se pela 
quantidade crescente de estudantes que consomem o medicamento e que estão 
na Educação Básica. Além disso, verificou-se que existem pesquisas que indicam 
que a exposição prolongada a esse medicamento pode causar dependência. 
As autoras Fernandes e Silva (2014) definiram que, por meio dos processos 
de modelagem e seguindo as etapas dessa tendência, investigariam a respeito 
da quantidade em miligramas que permanece no organismo de adolescentes 
medicados com 20 mg de Ritalina com o passar do tempo.
Uma informação importante que foi obtida no primeiro processo de pesquisa 
a respeito do tema, primeira etapa da modelagem, é que a meia-vida da Ritalina 
é de duas horas, ou seja, a quantidade desse composto no organismo se reduz a 
metade a cada duas horas que passa desde sua ingestão. 
Aspectos envolvidos na modelagem com o tema Ritalina
Uma etapa importante da modelagem é a determinação das hipóteses, ou seja, 
aquilo que acreditamos que pode ocorrer na situação.
detalhado da história e avaliação do paciente. A decisão de 
prescrever este medicamento deve depender da gravidade 
dos sintomas e de sua adequação à idade, não considerando 
somente a presença de uma ou mais características incomuns 
de comportamento.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
142
Antes de prosseguir e verificar quais foram as hipóteses 
estabelecidas pelas autoras da modelagem (FERNANDES; 
SILVA, 2014), pense a respeito do tema e estabeleça as suas 
hipóteses.
Assim que as estabelecerem, verifique se são as mesmas que 
as autoras estabeleceram, ou se são diferentes.
Se forem diferentes, reflita a respeito dos motivos pelos quais 
elas utilizaram tais hipóteses.
As hipóteses de uma atividade de modelagem são muito importantes, pois elas 
auxiliam no traçar das estratégias e na escolha pelos caminhos que serão utilizados.
Para que fosse possível compreender a respeito da quantidade de Ritalina no 
organismo de estudantes com o passar do tempo, as autoras da modelagem 
(FERNANDES; SILVA, 2014) estabeleceram as seguintes hipóteses:
• o adolescente que é medicado com Ritalina para auxiliar no desenvolvimento 
de sua concentração utiliza 20mg deste medicamento;
• a quantidade de vezes que o adolescente ingere do medicamento depende 
da receita médica, mas a modelagem considerará que ele a ingere três 
vezes ao dia, ou seja, de oito em oito horas. 
A justificativa para a primeira hipótese se dá porque, como vimos anteriormente, 
a quantidade em miligramas pode variar de acordo com a necessidade, porém a 
quantidade mais comum a ser indicada para um adolescente é de 20 mg. 
Após a etapa de estabelecer as hipóteses, é importante para a modelagem a 
definição das variáveis envolvidas.
Na pesquisa inicial você verificou que a meia vida da Ritalina é de duas horas, 
mas será que isso vai ser importante para o desenvolvimento dessa atividade de 
modelagem? 
Vamos pensar um pouco a respeito disso. Como seria possível identificar as 
variáveis envolvidas em um problema de modelagem?
Especificamente a respeito da atividade de modelagem a respeito da Ritalina, você é 
capaz de determinar as variáveis envolvidas? Pare um momento para pensar a respeito.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
143
Com as informações apresentadas até o momento, você foi capaz de delimitar as 
variáveis? Se sim, parabéns, mas se não foi, tudo bem, vamos pensar juntos.
O problema envolve a quantidade, em miligramas, de Ritalina do organismo dos 
adolescentes, essa é uma das nossas variáveis. A outra variável é o tempo, pois a 
quantidade de Ritalina do organismo depende do tempo que se passou desde que o 
adolescente ingeriu o último comprimido de 20 mg. Assim, de acordo com as autoras 
Fernandes e Silva (2014):
• A variável dependente dessa situação - Q: quantidade de Ritalina que é medida 
em miligramas no organismo do adolescente que é medicado com essa droga.
• A variável independente dessa situação - t: tempo medido em horas desde o 
momento em que o adolescente ingeriu a Ritalina.
As autoras identificaram que apenas com essas duas variáveis seria difícil de 
compreender a situação apresentada, por isso utilizaram variáveis auxiliares: “Variável 
Auxiliar - n: quantidade de períodos de duas horas após a ingestão do primeiro 
comprimido de Ritalina; a: resto da divisão de t por 4, com t∈N” (FERNANDES; SILVA, 
2014, p. 6).
Até esse momento, foram apresentadas etapas importantes da modelagem, que é 
a determinação das hipóteses e reflexão a respeito das variáveis envolvidas. Após essas 
etapas, inicia-se o processo de esforço para descrever a situação por meio da utilização 
de argumentos matemáticos, movimento que pode gerar um Modelo Matemático que 
descreve a situação. 
Assim como apresentado no artigo original, nós apresentaremos a modelagem em 
duas etapas. A primeira é composta de esforços que não conduziram a um modelo que 
pode ser utilizado para descrever a situação de nosso interesse.
Mas se não chegou ao modelo correto, porque vamos estudá-la? Talvez você tenha 
se feito essa pergunta, que realmente é coerente. A resposta para ela está associada à 
importância de valorizar o caminho percorrido para a obtenção das respostas matemáticas.
É importante que você, como futuro professor, lembre-se de que o importante não 
Pense a respeito das informações apresentadas até o momento 
e indique quais são as variáveis envolvidas na situação.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
144
é só o produto final, ou seja, só a resposta, mas sim todo o pensamento e raciocínio 
envolvido para chegar à resposta. Você perceberá que, mesmo esse primeiro momento 
não conduzindo ao modelo adequado, muitos conteúdos matemáticos foram 
empregados e reflexões frutíferas foram realizadas.
Aqui surge uma questão muito importante para você como futuro professor: mesmo que 
os estudantes não consigam chegar a um Modelo Matemático para a situação de interesse, 
o professor deve valorizar as descobertas que eles fizeram até o ponto em que chegaram.
Vejamos a partir de agora a primeira tentativa de descrever a situação por meio de 
um Modelo Matemático. 
Para poder compreender a situação da Ritalina de interesse, as autoras optaram por 
organizar os dados que conheciam a respeito em um quadro, e por meio da comparação 
de informações estabelecerem generalizações. 
A organização dos dados de modo que os estudantes possam analisá-los é muito 
importante. Perceba que em uma aula para a Educação Básica a organização dos dados 
por meio de um quadro, para que os estudantes realizem a leitura dos dados, analisem 
eles e tomem decisões já é um aspecto importante, pois proporciona a eles momentos 
de matematização e de organização de suas ideias matemáticas.
Tempo desde a 
ingestão da Ritalina
Quantidade em mg de Ritalina 
no tempo n
Concentração de Ritalina em 
miligrama no organismo dos 
estudantes
0 Q
0
1 Q
1
2 Q
2
3 Q
3
4 Q
4
5 Q
5
6 Q
6
7 Q
7
8 Q
8
16 Q
16
n Q
n
Quadro 3.4 | Primeira tentativa de criar um Modelo Matemático – situação Ritalina no 
organismo dos estudantes 
Fonte: Adaptado de: Fernandes e Silva (2014, p. 5)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
145
De acordo com Fernandes e Silva (2014, p. 6):
Por meio do quadro verificando os aspectos invariantes de 
nossa situação, podemos chegar que no tempo n (quantidade 
de períodos de duas horas após a ingestão do primeiro 
comprimido de Ritalina) a quantidade deste medicamentono 
organismo do adolescente pode ser descrita de acordo com o 
seguinte modelo: 
Organizando e evidenciando os termos semelhantes temos:
mas ainda pudemos perceber que
é a soma de uma Progressão Geométrica (P.G) finita de razão 
(1/2)4 ou ainda (1/16) e, utilizamos a fórmula da soma da PG,
Substituindo na expressão de Q
n
, ficamos com: 
Assim, o Modelo Matemático obtido na primeira tentativa foi:
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
146
Ao realizar uma atividade de modelagem, é necessário que os estudantes não 
percam de vista o objetivo que os move. Na modelagem que estamos estudando, 
o interesse é verificar a quantidade, em miligramas, de Ritalina no organismo de 
adolescentes que consomem essa medicação.
O modelo obtido para atingir esse objetivo foi: 
Mas como o n representa a quantidade de duas horas que passaram desde a 
ingestão do medicamento, é preciso tornar esse modelo contínuo, ou seja, torná-
lo um modelo que pode ser utilizado para diferentes períodos de tempo, inclusive 
os que não são múltiplos de 2.
Para que isso aconteça, podemos dividir o tempo por dois, realizando uma 
mudança de variável, obtendo assim:
Você viu nas unidades anteriores que não devemos chegar em um modelo que 
pode descrever uma situação e não realizar sua validação. O modelo apresentado 
até o momento ainda não foi validado.
Como você pode perceber no momento de validação do modelo, esse não é válido, 
pois os valores resultantes para os testes estão em torno de 21,34mg, sendo este um 
1. Em atividades de Modelagem Matemática, uma etapa 
muito importante é a validação do Modelo Matemático 
obtido. Uma forma de fazer isso é apoiando-se nos dados 
coletados. Faça a validação do modelo 
Q(t)=21,34-21,34.(1/16)(t/2) 
para a situação em questão e escreva um pequeno texto 
explicando suas conclusões.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
147
n
Quantidade em mg de Ritalina 
no tempo n
Modelo Matemático que descreve 
a quantidade em miligramas no 
organismo do adolescente
0 Q
0
4 Q
1
8 Q
2
12 Q
3
valor aproximado apenas para os momentos em que o adolescente ingere o remédio.
O momento de validação pode gerar ou não um momento de modificação. 
Como na validação, vimos que o modelo não era adequado, iniciou-se um 
momento muito importante de modificação. Para corrigir esse modelo é preciso 
um processo de reflexão, guiado pela pergunta "o que deu errado?" Como 
podemos arrumar isso?
Vejamos a segunda tentativa de modelagem (FERNANDES; SILVA, 2014).
O modelo matemático da situação da Ritalina no organismo
Na primeira tentativa de estabelecer um Modelo Matemático que descrevesse a 
quantidade em miligramas de Ritalina no organismo de um adolescente, as autoras 
Fernandes e Silva (2014) apresentaram uma expressão que se aproxima deste valor 
no instante em que o adolescente toma um comprimido de 20mg do remédio, 
mas como sempre sobra um pouco do composto no organismo, é de se imaginar 
que este valor vai aumentar um pouco a cada vez que tomar o remédio. 
Com a atividade de aprendizagem anterior, você realizou a validação desse 
modelo e pode perceber que ele não representa bem a situação estudada para todos 
os valores. Esse fato fortalece a necessidade de obter um modelo e validado, para só 
depois da validação afirmar que o modelo pode descrever o problema de interesse.
Vejamos agora a segunda tentativa de modelar a quantidade de Ritalina no 
organismo de adolescentes. 
A primeira parte da análise se refere aos momentos em que o adolescente 
ingere o remédio, como verificamos no quadro a seguir.
Quadro 3.5 | Estudo da concentração de Ritalina no organismo do adolescente ao ingerir 
o comprimido
(continua)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
148
16 Q
4
n Q
5
Fonte: Adaptado de: Fernandes e Silva (2014, p. 7)
Com a análise dos dados do quadro anterior é possível perceber que, nos 
momentos em que o adolescente ingere a Ritalina, observas-se uma soma de 
termos de uma progressão geométrica finita.
A expressão obtida é válida apenas para os valores de n múltiplos do número 
quatro, ou seja, dos momentos em que o adolescente ingere o medicamento, 
mas como a intenção é verificar a quantidade desse remédio em qualquer período 
de tempo, a modelagem deve continuar, para chegarmos em um modelo mais 
adequado para a situação. 
Vejamos a citação a seguir:
Como podemos verificar no tempo n, com n múltiplo de 
quatro, é a soma de P.G finita com a
1
=1/16 e q=1/16 e, 
realizando essa soma temos:
Substituindo novamente na expressão inicial:
(FERNANDES; SILVA, 2014, p. 8).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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149
Com essa informação, as autoras confeccionaram outro quadro, voltando 
as atenções para os valores que não são múltiplos de quatro. Vale lembrar que 
os valores que não são múltiplos de quatro representam as horas em que os 
adolescentes não ingeriram o remédio. Vamos analisar o quadro a seguir.
No caso de determinar a quantidade aproximada de Ritalina 
no organismo depois de tomada certa quantidade c de 
comprimidos, é possível também realizar outra mudança de 
variável, tornando a expressão da seguinte maneira, em que c 
representa a quantidade de comprimidos que o adolescente 
já tomou:
Q(c)=20+20[0.067-0.067(0.0625)8c]=20+1,34-1,34(0.0625)c
Lembrando que essas duas expressões são válidas para o 
momento em que o adolescente tomar o Ritalina (FERNANDES, 
SILVA, 2014, p. 8).
n≠4k, com k ∈ N
Valores que não são 
múltiplos de quatro
Quantidade de 
Ritalina no tempo 
n
Modelo Matemático para compreender a 
concentração de Ritalina no organismo
Quadro 3.6 | Estudo da concentração de Ritalina no organismo para diversos tempos
Fonte: Adaptado de: Fernandes e Silva (2014, p. 9)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
150
Verifique que, com a mudança de variável, as autoras obtiveram o seguinte 
modelo para descrever a concentração de Ritalina nos organismos:
Após a determinação desse modelo, é importante lembrarmos que só podemos 
determinar se ele é adequado ou não para a situação que estamos analisando após 
realizar a verificação dele, como sabemos que t=8k com k∈N, obtemos:
Possivelmente, se os estudantes da Educação Básica fossem realizar essa 
atividade, utilizariam uma notação diferente para representar o resto da divisão 
por 4, ou então chegariam a um modelo mais simples do que o apresentado 
anteriormente, mas isso não traria problema para o processo de modelagem, 
pois você pode perceber que muita matemática foi empregada até conseguirmos 
definir um modelo.
Como você faria para validar esse modelo? Pense a respeito, leve 
em consideração as informações que você conhece e realize 
esse processo tão importante para as atividades de modelagem.
Para saber mais a respeito do conteúdo apresentado anteriormente, 
acesse:
<http://www.mat.ufmg.br/~elaine/AlgebraA/aula03_2010.pdf>
<http://www.eumed.net/libros-gratis/2009a/499/CLASSES%20
DE%20EQUIVALENCIA.htm>
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
151
Quais são as considerações que você pode tirar a respeito da situação da 
Ritalina no organismo dos estudantes? Será que a quantidade desse composto 
no organismo, após parar de consumi-lo, é suficientemente grande para causar 
dependência? Pense a respeito.
Você percebeu a quantidade de conceitos que foram utilizados para realizar 
a primeira e a segunda tentativa de modelagem? Para desenvolver um Modelo 
Matemático que descrevesse de maneira satisfatória a situação, foram aplicados 
os conceitos de: funções; funções do tipo exponencial, comumente ensinados no 
Ensino Médio e a ideia de resto de divisão, a notação modular algébrica (presente 
no Ensino Superior).
Vamos aprender mais a respeito da utilização de modelos matemáticos para a 
aprendizagem de conteúdos nos nosso Saiba Mais.
Aprenda mais a respeito da utilização de atividades de Modelagem 
Matemática para o ensino e aprendizagem de conceitosmatemáticos. 
<http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/artigo_
CNNECIM.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/
arquivos/975-4.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/dissertacoes_2013/
2. Utilize o modelo desenvolvido para descrever a 
quantidade, em miligramas, de Ritalina no organismo e 
assinale a quantidade dessa substância no organismo após 
20 horas da ingestão.
a) 1 mg.
b) 0,950 mg.
c) 0,825 mg.
d) 0,775 mg.
e) 0,625 mg.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
152
Neuber%20Ferreira.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S1806-
58212009000300010&script=sci_arttext>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/
artigo/1-2010-04-03-16-12-38.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://meriva.pucrs.br:8080/dspace/
bitstream/10923/2970/1/000446488-Texto%2BCompleto-0.pdf>. 
Acesso em: 15 maio 2015.
Deve ficar bem claro a você, futuro professor, que faz parte do seu papel discutir 
com os estudantes as atividades de modelagem, auxiliando na boa compreensão 
dos conceitos matemáticos desenvolvidos, para que, assim, a atividade não acabe 
se perdendo.
Os conteúdos dessa unidade chegam ao fim, mas agora é a sua vez de praticar.
O Fique Ligado a seguir vai te ajudar a relembrar coisas que aprendemos ao 
longo dessa unidade.
Nessa unidade, você aprendeu:
• As atividade de modelagem podem ser utilizadas para o 
desenvolvimento de conteúdos programáticos.
• Uma atividade de modelagem pode ter o tema proposto 
pelos estudantes.
• Em uma atividade de modelagem, o professor pode auxiliar 
os estudantes na aprendizagem de novos conteúdos, 
pois geralmente os estudantes não sabem a princípio a 
matemática que utilizarão.
• Um Modelo Matemático pode ser utilizado para descrever e 
analisar uma situação real.
• A Modelagem Matemática pode auxiliar no desenvolvimento 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
153
de capacidades necessárias nos estudantes, como a reflexão 
crítica a respeito de situações, a análise de dados e a tomada 
de decisões.
Além disso, tenho certeza que você aprendeu muitas outras 
coisas. Uma atividade de aprendizagem que pode ser produtiva 
é realizar um texto resumo, escrevendo suas aprendizagens.
Outra sugestão é que você escolha uma situação de seu interesse 
e realize uma atividade de modelagem, seguindo os passos 
apresentados e elabore um Modelo Matemático que descreva tal 
situação.
Na próxima unidade deste material, daremos continuidade às 
atividades de Modelagem Matemática, mas com o enfoque 
voltado para o Ensino Superior.
Convite importante
Para finalizar essa unidade, tenho um convite importantepara 
você participar do fórum de aprendizagem.
No fórum de aprendizagem dessa disciplina você terá a 
oportunidade de dividir sua aprendizagem e refletir a respeito da 
opinião de outras pessoas.
Bons estudos e boas participações.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
154
Esta unidade foi elaborada com a intenção de auxiliar na 
aprendizagem de conceitos muito importantes para você como 
futuro professor. 
Os conceitos trabalhados nessa unidade são a base do que 
chamamos de Cálculo Moderno e dão base para estudos sequentes, 
por exemplo, o cálculo de integrais, que são utilizados para o cálculo 
da área e de volumes, bem como diversas outras aplicações. 
É muito importante para aprofundar sua aprendizagem que faça 
as leituras sugeridas, resolva as atividades de aprendizagem, 
participe do fórum e também, se possível, vá a uma biblioteca e 
estude os materiais que compõem a bibliografia dessa unidade.
Para aprender conceitos matemáticos, o treino é muito importante, 
então faça as atividades de aprendizagem da unidade com 
bastante atenção. Bons estudos.
1. Na atividade do Césio-137 chegamos a um modelo 
que descreve a quantidade de Césio presente na cidade 
de Goiânia. Utilizando o modelo que representa essa 
situação, é correto afirmar que a quantidade de Césio-137 
no ano de 2100 será de aproximadamente:
a) 2,50 g.
b) 1,41 g.
c) 1,22 g.
d) 1,10 g.
e) 1,01 g.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
155
2. Utilizando o modelo desenvolvido para descrever a 
situação do Césio-137, assinale a alternativa que indica o 
ano aproximado em que a quantidade dessa substância 
será de 3,1 g?
a) 2106.
b) 2096.
c) 2086.
d) 2076.
e) 2066.
2. Utilizando o modelo desenvolvido para descrever a 
situação do Césio-137, assinale a alternativa que indica o 
ano aproximado em que a quantidade dessa substância 
será de 3,1 g?
a) 2106.
b) 2096.
c) 2086.
d) 2076.
e) 2066.
3. Com as informações prestadas por guardas 
rodoviários e com adequações feitas a partir de dados 
reais, foi possível desenvolver um Modelo Matemático 
que descreve a distância percorrida por um automóvel 
desde o momento em que os freios são acionados até 
o momento em que ele para totalmente, em relação 
à velocidade que ele está. Com base nesse modelo, 
é correto afirmar que um veículo que está a 135km/h 
locomove-se quantos metros desde o acionamento dos 
freios até sua parada total?
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U3
156
a) 87,125 m.
b) 88,125 m.
c) 89,125 m.
d) 90,125 m.
e) 91,125 m.
4. Utilizando o mesmo Modelo Matemático que descreve 
a distância percorrida com relação à velocidade que um 
automóvel leva para parar totalmente, é correto afirmar 
que, se um carro percorreu aproximadamente 38 metros, 
sua velocidade no momento de acionamento dos freios 
era de:
a) 87 km/h.
b) 92 km/h.
c) 93 km/h.
d) 97 km/h.
e) 99 km/h.
5. Se um automóvel percorre uma distância de 50 metros 
desde o acionamento dos freios até o momento em 
que se encontra totalmente parado, de acordo com o 
Modelo Matemático desenvolvido, é correto afirmar que 
sua velocidade estava por volta de:
a) 80km/h.
b) 90 km/h.
c) 100km/h.
d) 110 km/h.
e) 120 km/h.
U3
157Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
Referências
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São 
Paulo: Editora Contexto, 2002.
BARBOSA, J. C. Modelagem matemática e os professores: a questão da 
formação, Rio Claro, n. 15, p. 5-23, 2001, 
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: 
Editora Contexto, 2000
BLUM, W. Applications and modelling in mathematics teaching and mathematics 
education – some important aspects of practice and of research. In: SLOVER, C. et 
al. Advances and perspectives in the teaching of mathematical modeling and 
applications. Yorklyn: Water Street Mathematics, 1995.
FERNANDES, R. K; SILVA, K. A. P. Uma experiência com modelagem matemática 
por meio do estudo da Ritalina no organismo. EPREM, 2014.
JUNIOR MACHADO, Arthur Gonçalves. Modelagem matemática no ensino-
aprendizagem e resultados, Belém, 2005.
Unidade 4
DESENVOLVIMENTO DE 
MODELOS MATEMÁTICOS NA 
EDUCAÇÃO BÁSICA
Objetivos de aprendizagem
Essa unidade é muito importante para o estudo da modelagem, pois tem 
como objetivo que você conheça a aplicação de modelos matemáticos 
estudados nas unidades anteriores.
A Modelagem Matemática é uma disciplina muito importante para o 
estudante do Ensino Superior, porque, ao lidar com uma situação para 
modelar, o estudante tem a possibilidade de, por meio das etapas da própria 
modelagem, ter que analisar variáveis e as interferências de cada uma para a 
situação, tomar decisões baseadas nas análises realizadas, verificar a validade 
do Modelo Matemático desenvolvido, bem como utilizar o modelo, caso 
esse seja adequado, para poder descrever a situação de interesse.
O principal objetivo dessa unidade é auxiliá-lo na compreensão das 
etapas da modelagem, bem como algumas possibilidades voltadas ao 
Ensino Superior.
Renata Karoline Fernandes
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
160
Algumas atividades de modelagem podem ser facilitadas quando 
conseguimosobservar alguns pontos da situação envolvida, pois 
podemos decidir qual tipo de função descreve a situação que estamos 
estudando de modo mais satisfatório. Nessa seção, aprenderemos a 
respeito da utilização do software curve para realizar a representação de 
pontos de funções.
Apenas com o modelo desenvolvido na seção anterior não é possível 
analisar o problema apresentado para a atividade de modelagem, por esse 
motivo, na terceira seção dessa unidade, continuamos a atividade iniciada 
na seção anterior, com o objetivo de conseguir desenvolver modelos que 
possam ser utilizados para compreender a situação envolvida.
A seção 2 dessa unidade é dedicada ao início da apresentação e análise 
de um Modelo Matemático desenvolvido por meio de uma atividade de 
modelagem que envolve conceitos específicos da disciplina. Por meio do 
estudo dessa seção é possível um contato mais direto com atividades de 
modelagem voltadas para o Ensino Superior.
Seção 1 | Utilização do software curve para auxiliar em 
atividades de modelagem
Seção 3 | Continuação do modelo de modelagem e o 
problema da água – o modelo do crescimento populacional
Seção 2 | Modelo de modelagem e o problema da água
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
161
Introdução à unidade
A Modelagem Matemática tem um papel importante na Educação Matemática e se 
fortaleceu no Brasil a partir dos anos de 1990.
As atividades de Modelagem Matemática exploram o imaginário dos estudantes, 
bem como auxiliam no desenvolvimento da capacidade de estabelecer estratégias, 
avaliá-las, segui-las, bem como avaliar se a estratégia adotada é a adequada ou deve 
ser mudada.
Com relação às atividades de modelagem de nível 1, as que os professores 
propõem a situação a qual poderá gerar uma atividade de modelagem, requerem um 
cuidado minucioso dos professores, pois eles devem conhecer o cotidiano de seus 
estudantes, pois uma situação que não faz parte da vida dos estudantes pode não ser 
tão interessante, ou então, não despertar a vontade dos estudantes em se envolverem 
com a tarefa.
Diversas pesquisas das últimas décadas vêm apresentando as atividades de 
Modelagem Matemática que podem motivar os estudantes e também os professores, 
pois o conteúdo matemático deixa de ser abstrato e passa a ser mais concreto, o 
estudante deixa de ser um agente passivo do seu processo de aprendizagem e passa a 
ser um cidadão crítico e ativo com relação à sua aprendizagem.
A modelagem se tornou uma alternativa didática também para o Ensino Superior, 
visto que as características presentes nas atividades de Modelagem Matemática são 
necessárias para a formação principalmente dos futuros professores de Matemática.
Nessa unidade, você aprenderá a respeito da utilização de modelos matemáticos 
que envolvem conceitos matemáticos do Ensino Superior, bem como uma ferramenta 
que pode auxiliar no processo de tomada de decisões.
Tenha bons estudos.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
162
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
163
Seção 1
Utilização do software curve para auxiliar em 
atividades de modelagem
Introdução à seção
Algumas atividades de modelagem podem apresentar valores e poderemos ter 
dificuldade em descrever por meio de uma função. Às vezes, o nosso objetivo não 
é chegar na função que descreve uma situação, mas aplicá-la.
Tendo em mente esses aspectos, nesta seção você é convidado a conhecer o 
software curve, que poderá ser útil para as atividades de modelagem.
1.1 Software curve
Aprenderemos nessa seção a utilizar o software curve, se poderá lhe auxiliar na 
compreensão e no comportamento de determinadas situações.
A versão que utilizaremos nessa seção é a CurveExpert Basic.
Para que você possa saber mais a respeito do CurveExpert, bem 
como aprofundar seu conhecimento a respeito da aplicação dele em 
atividades de modelagem, acesse o link:
<http://www.curveexpert.net/download/>. Acesso em: 15 maio 
2015.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
164
Em quais aspectos uma representação gráfica pode auxiliar na 
compreensão de determinadas situações? Pense a respeito.
O software CurveExpert pode ser baixado em seu computador gratuitamente 
em sua versão básica e apresenta uma grande vantagem para o trabalho 
com modelagem, pois possibilita a obtenção de gráficos que apresentam o 
comportamento de pontos utilizados na elaboração de um modelo específico.
Além da representação gráfica, é possível, com a utilização do CurveExpert, a 
equação do modelo, os coeficientes, a matriz de variância, os resíduos, entre outros.
A janela principal do CurveExpert apresenta uma janela de dados, gráfico de 
classificação, barra de ferramentas, menu e barra de status, vejamos essa janela na 
figura a seguir:
Figura 4.1 | Janela principal do CurveExpert
Fonte: CurveExpert (2015).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
165
Os valores que são apresentados foram inseridos de forma aleatória e servirão 
apenas como ilustração. Perceba que no canto esquerdo inferior da figura estão 
apresentados os pontos, bem como uma representação gráfica que foi ajustada 
utilizando uma função do 2º grau, uma função quadrática.
Perceba que a função apresentada não toca todos os pontos, mas é um ajuste, 
ou seja, passa pelos pontos ou o mais próximo possível deles.
A área de visualização do gráfico mostra a representação dos pontos inseridos e 
por meio dele podemos tomar a decisão de qual é o tipo de curva que se adéqua 
melhor aos pontos.
Se clicarmos na miniatura do gráfico, o programa gera uma área de visualização 
em que podemos verificar algumas informações a respeito da função e dos pontos 
apresentados na planilha. Isso nos ajuda a optar por uma curva que apresenta a 
melhor estimativa dos parâmetros para os determinados pontos.
Vamos analisar as imagens a seguir, mantendo os mesmos valores, para tomarmos 
a decisão de qual função melhor representa esses dados.
Figura 4.2 | Regressão quadrática
Fonte: CurveExpert (2015).
Para obter o gráfico maior, clicou-se com o botão esquerdo sobre o gráfico 
menor, mas para obter os valores dos parâmetros utilizados para realizar a regressão 
por meio de uma função quadrática, é preciso clicar com o botão direito sobre o 
gráfico maior e, na sequência, clicar em Information, como vemos na figura a seguir.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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166
Figura 4.3 | Informações a respeito das regressões
Fonte: CurveExpert (2015).
Com o programa CurveExpert, é possível escolher o tipo de função que nós 
queremos. Vejamos nas figuras a seguir a representação dos mesmos dados por 
meio de outras funções sem ser a quadrática, apresentada anteriormente.
Figura 4.4 | Representação gráfica por meio de uma aproximação linear
Fonte: CurveExpert (2015).
A representação apresentada na figura anterior mostra a utilização de uma função 
afim que melhor se aproxima aos dados. Perceba que a função descrita é do tipo y 
= ax + b, e os valores e a e b são expressos ao lado.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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167
Figura 4.5 | Representação dos dados por meio de uma função do tipo exponencial
Fonte: CurveExpert (2015).
Por meio dessas figuras, é possível perceber que determinado tipo de função 
descreve melhor os dados apresentados do que outros tipos de função. A utilização 
desse programa pode auxiliar na tomada de decisão com relação ao tipo de Modelo 
Matemático que queremos desenvolver em determinada atividade de modelagem.
Para poder alterar o tipo de função que será utilizada para representar os dados, 
é preciso clicar em Apply Fit e escolher a mais adequada, como podemos ver na 
figura a seguir.
Figura 4.6 | Tipos de funções.
Fonte: CurveExpert (2015).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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168
Vamos utilizar o software na próxima atividade de aprendizagem.
A partir das figuras apresentadas sobrea representação dos dados 
inseridos aleatoriamente, qual dos tipos de função você acredita 
ser mais adequada? Reflita a respeito e justifique sua opinião.
1. É possível realizar ajustes quando conhecemos 
determinados pontos e a partir desses pontos apresentar 
a lei de formação de funções que melhor os expressam. 
Observando os pontos e o gráfico apresentado na figura a 
seguir, é correto afirmar que a função que melhor se ajusta 
a ele é:
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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169
a) Função do primeiro grau.
b) Função do segundo grau.
c) Função do terceiro grau.
d) Função do quarto grau.
e) Função exponencial.
2. Uma empresa organizou os dados relativos ao lucro que 
tiveram durante um ano e obtiveram o seguinte quadro:
Utilizando o programa CurveExpert, a empresa percebeu 
que uma função polinomial do décimo grau seria adequada 
para representar tais pontos. Sabendo dessas informações, 
assinale a alternativa que apresenta o gráfico da função do 
décimo grau que descreve o lucro da empresa em questão.
Mês do ano Lucro (em unidade de milhar)
Janeiro 5
Fevereiro 2
Março 7
Abril 4
Maio 3
Junho 8
Julho 9
Agosto 4
Setembro 7
Outubro 9
Novembro 10
Dezembro 11
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a)
b)
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c)
d)
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172
e)
O software CurveExpress é composto por ferramentas que podem auxiliar no 
desenvolvimento de atividades de modelagem, pois nos auxilia a conseguir modelos 
que descrevem situações de nossos interesses, ajudando na tomada de decisões. 
Vamos aprender mais a respeito do CurveExpert na próximo Saiba Mais.
Para aprender mais a respeito do software, acesse os links:
<http://docs.curveexpert.net/curveexpert/basic/_static/
CurveExpertBasic.pdf>
<http://norbas86.blogspot.com.br/>
<http://if.ufmt.br/eenci/artigos/Artigo_ID151/v6_n2_a2011.pdf>
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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173
O software que estamos estudando pode nos auxiliar em atividades de 
modelagem, bem como pode ser de grande ajuda para o estudo de funções.
Agora que você já conhece esse poderoso software educacional, vamos analisar 
o desenvolvimento de um Modelo Matemático voltado para desenvolvido para o 
Ensino Superior.
Você acha que a utilização do software CurveExpert poderia 
ser útil para ensinar conceitos relacionados com funções? 
Como você utilizaria esse software para ensinar, por exemplo, 
a diferença em contra domínio e imagem de uma função? 
Reflita a respeito.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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174
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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175
Seção 2
Modelo de modelagem e o problema da água
Introdução à seção
Um dos objetivos da modelagem é analisar dados, escrever funções que podem 
descrever determinadas situações e por meio dessas funções ou relações tomar 
decisões e fazer previsões para o futuro.
Nesta seção, você é convidado a conhecer mais uma atividade de modelagem, 
que foi desenvolvida seguindo os passos da modelagem, e a refletir a respeito dos 
benefícios que esse tipo de atividade pode trazer para a sala de aula.
2.1 Atividade de modelagem – A água
Nesta seção, você é convidado a estudar um Modelo Matemático voltado para 
o estudo do abastecimento de água de uma cidade do interior do Paraná.
A atividade que segue é uma adaptação do trabalho final da disciplina de 
Modelagem Matemática do curso de licenciatura em Matemática realizado no ano 
de 2011.
Esse modelo seria um correspondente às atividades de modelagem do nível 
3, pois os estudantes tiveram como desafio a realização de uma atividade de 
modelagem e, sendo assim, eles tiveram que escolher um tema de interesse, 
verificar hipóteses, se familiarizar com a situação, utilizar teorias e a matemática 
necessária para desenvolver um Modelo Matemático que fosse capaz de descrever 
a situação estudada.
Cabe aqui o agradecimento aos estudantes envolvidos nessa atividade de 
modelagem (Elder, Karina, Osmar e Renata), sendo uma das estudantes envolvidas 
a autora dessa unidade.
Num primeiro momento, os estudantes pensaram em algumas ideias de situações 
do cotidiano, as quais poderiam descrever por meio de um Modelo Matemático. 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
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176
Após refletir a respeito das ideias, optou-se por estudar o abastecimento de água 
na cidade na qual os estudantes residiam. 
Tendo em mente a situação que estudariam, iniciou-se o primeiro momento 
da modelagem, ou seja, uma pesquisa a respeito do tema, uma familiarização com 
a situação. Vejamos algumas informações importantes para a compreensão do 
modelo da atividade de modelagem desenvolvida.
2.1 A água e o abastecimento
A água é um elemento primordial para a vida. A superfície terrestre é ocupada 
por aproximadamente 75% de massa de água, sendo ela distribuída por mares e 
oceanos (97%), calotas polares (2%) e para consumo humano (1%). 
A água própria para o consumo está dividida em rios, lagos, cursos de água, 
subsolo até 800 metros. Esta pequena quantidade de água disponível para 
consumo demonstra a necessidade de utilizar, de forma sustentável, as reservas 
de água doce ainda existente, que têm sofrido nos últimos 50 anos uma redução 
quantitativa de aproximadamente 62%.
O abastecimento de água feito na cidade, onde será realizada essa atividade de 
modelagem, é feita por meio de um sistema de abastecimento que retira a água da 
natureza. Essa água retirada passa por um tratamento e depois é transportada até 
aglomerados que distribuem a água para as pessoas.
Frequentemente, a empresa responsável pela distribuição de água tem que 
realizar investimentos para aumentar a distribuição da água, visto que, com o passar 
do tempo, a cidade vem aumentando e a quantidade de pessoas que moram nela 
e utilizam a água tem crescido.
Tendo em mente que com o crescimento da quantidade de residências na 
cidade, será necessário realizar novos investimentos para que todas as casas 
recebam água potável, essa atividade de modelagem se dedica a estudar o seguinte 
problema: Quando a cidade que estamos estudando atingir qual quantidade 
de residências, será necessário realizar novos investimentos para aumentar a 
capacidade de distribuição de água?
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
177
Agora que você já pensou a respeito das variáveis envolvidas, podemos continuar 
com a apresentação dessa atividade de modelagem. Para resolvermos este problema, 
inicialmente, é preciso desenvolver um modelo que descreva o comportamento 
do consumo médio anual por residência, para poder utilizar esse modelo e prever 
em qual ano o consumo médio será igual ou maior à capacidade de produção e 
distribuição da água no atual sistema na cidade em que ocorreu o estudo.
Sabendo o que precisamos fazer, é necessário definir as hipóteses que 
levaremos em consideração nesse primeiro momento. Assim:
• A produção máxima atual de água é de 6664074,785 litros. 
• O modelo que desenvolveremos segue os padrões adotados pela empresa 
responsável pela distribuição de água na cidade estudada, e por isso 
dividiremos este valor por 5, para descobrir o consumo por residência. O 
valor obtido é de 1332814,957.
A divisão por 5 vem da hipótese de que a quantidade média de pessoas por 
residência é de 5 cinco pessoas.
Agora será iniciada a apresentação do primeiro modelo desenvolvido e que 
será utilizado para realizar a compreensão da situação. Esse modelo descreve o 
consumo médio anual de água.
2.1.1 Modelo 1: consumo médio anual de água nas residências
Para o desenvolvimento desse modelo, consideramos as seguintes hipóteses:
Hipóteses - consideraremos que:
É muito importante ser capaz de verificar quais são as variáveis 
envolvidas em uma atividade de modelagem, por isso, treine 
essa capacidade por meio dessa atividade.
Reflita a respeito de quaissão as variáveis envolvidas na 
situação que queremos descrever e analisar por meio do 
Modelo Matemático.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
178
• A quantidade de residências na cidade de Londrina é o número populacional 
dividido por 5.
• O consumo no período analisado determina uma sequência (C
n
) monótona 
crescente e também limitada.
Vamos aprender mais a respeito das sequências monótonas crescentes 
e decrescentes limitadas, estudando os links desse Saiba Mais.
<http://livros01.livrosgratis.com.br/cp049579.pdf>
<http://www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/CC1727_
enem2010.pdf>
<http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/
handle/123456789/472/2011_00364_FABIO_BARBOSA_DE_
OLIVEIRA.pdf?sequence=1>
<http://gradmat.ufabc.edu.br/livros/Temas%20&%20Modelos-%20
o%20livro.pdf>
Tendo em mente nossas hipóteses e conhecendo mais agora a respeito das 
sequências monótonas crescentes e limitadas, podemos delimitar as variáveis 
envolvidas.
Variáveis:
 t
n
 = Variável auxiliar
 t = Tempo 
C
n
 = Média do consumo de água anual por residência.
Na sequência, veremos um quadro que apresenta os valores reais do consumo 
médio mensal das residências da cidade que faz parte desse estudo. 
Ano Consumo (médio mensal – m3)
2005 1222070,41
2006 1246169,37
2007 1263511,15
2008 1275036,80
2009 1285578,52
Quadro 4.1 | Consumo mensal (Média)
(continua)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
179
Esses valores serão utilizados para a obtenção do modelo que descreve o 
consumo médio nas residências.
2.1.2 Obtenção do valor de estabilidade
Com base no quadro anterior, consideramos que o consumo nesse período 
determina uma sequência (C
n
) monótona crescente e também limitada, sendo 
essa uma das nossas hipóteses para a situação. 
Como a sequência monótona, crescente e limitada pode-se afirmar que essa 
sequência é convergente. Em outras palavras, o limite desta sequência existe, ou seja:
Podemos afirmar que C* é o ponto de estabilidade o consumo de água, que é 
o mesmo valor do limite dessa função. 
Para determinar o valor de C*, utilizaremos o Método de Ford-Walford, mas 
para que você possa compreender bem a respeito desse modelo, vamos ao nosso 
Saiba Mais.
Fonte: Diretoria de Meio Ambiente e Ação Social – da empresa responsável pela distribuição da água na cidade (2011)
2010 1300192,20
2011 1310886,96
<https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source
=web&cd=28&ved=0CEMQFjAHOBQ&url=http%3A%2F%2Fwww.
researchgate.net%2Fprofile%2FRodney_Bassanezi%2Fpublication%
2F256007243_Ensino_-_aprendizagem_com_Modelagem_matemtica
%2Flinks%2F0046352163725accb1000000.pdf&ei=4V_GVLKyJ8f7sAS
W0ILgBg&usg=AFQjCNF_7HLiHr->3kAkpxMEOxGGSqz7qjA&sig2=5f15
bHP0h7iVX46pfUqMOw&bvm=bv.84349003,d.cWc&cad=rja
<https://www.puc-campinas.edu.br/websist/portal/pesquisa/ic/
pic2009/resumos/2009824_2116_207354466_res530.pdf>
<http://www.periodicos.unifra.br/index.php/VIDYA/article/
view/22/210>
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
180
Tendo conhecimento a respeito do método de Ford-Walford e utilizando os valores 
do quadro anterior, foram calculados os valores apresentados no quadro a seguir:
C
n
C
n+1
1222070,41 1246169,37
1246169,37 1263511,15
1263511,15 1275036,80
1275036,80 1285578,52
1285578,52 1300192,20
1300192,20 1310886,96
Quadro 4.2 | Sequência C
n
 e C
n+1
Fonte: A autora (2011).
1. O Método de Ford-Walford é comumente utilizado para 
encontrar o valor de lim
n→∞ Cn= C* quando Cn representa 
uma sequência monótona limitada crescente. Para praticar 
a aplicação desse método, utilize-o para preencher os 
valores do quadro apresentado anteriormente, ou seja:
Após, verifique se os valores são iguais ao do quadro 
anterior.
C
n
C
n+1
1222070,41
1246169,37
1263511,15
1275036,80
1285578,52
1300192,20
Agora, é necessário determinar uma função que se ajuste a estes pontos C
n
 e C
n+1
, 
apresentados no quadro 2. Para isso será utilizado o Método dos Mínimos Quadrados, 
ou seja, queremos determinar uma reta C
n+1 
a+bC
n
 que se ajuste a esses pontos.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
181
Vamos considerar C
n+1 
= y e C
n
 = x, essa mudança de notação auxilia na 
compreensão das operações que seguem e “economiza” notação, deixando mais 
claro o que será apresentado. 
Com isso, pelos Métodos dos Mínimos Quadrados, temos:
Realizando as substituições:
Utilizando os valores obtidos com a aplicação do método dos mínimos 
quadrados e substituindo-os em 
Vamos aprofundar nosso conhecimento a respeito do Método dos 
Mínimos Quadrados, estudando os links a seguir.
<http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt5.pdf>. Acesso em: 15 
maio 2015.
<http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/quadrados_minimos.pdf>. 
Acesso em: 15 maio 2015.
<http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/
interpolacao/teoria/4_Metodo_dos_quadrados_minimos.pdf>. 
Acesso em: 15 maio 2015.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
182
obtemos o seguinte sistema de equações: 
Resolvendo este sistema, obtemos a=217076 e b= 0,84015496.
Com isso, podemos representar C
n+1,
 por:
C
n+1
=217076,146+0,84015496 C
n
Como estamos interessados no valor de C*, podemos inferir que 
 , podemos supor que 
Realizando a substituição em C
n+1
=217076,146+0,84015496 C
n
, obtemos
C
n+1
=217076,146+0,84015496 C
n
C
n
-0,84015496 C
n
=217076,146
0.15984504C
n
=217076,146
217076,146
0.15984504
C
n
= = 1358041,175
Assim, obtemos o valor de estabilidade C*=1358041,175
Sabendo o valor de estabilidade da sequência monótona limitada e crescente 
C
n
, é possível construir um quadro que expressa a diferença entre o consumo e o 
ponto de estabilidade durante os anos. 
n Ano C*-C
n
1 2005 135970,765
2 2006 111871,805
3 2007 94530,025
4 2008 83004,325
5 2009 72461,655
6 2010 57848,875
7 2011 47154,215
Quadro 4.3 | C*- C
n
 
Fonte: A autora (2011).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
183
Você notou que C*-C
n
 diminui conforme o tempo aumenta? 
O que será que vai acontecer com esse valor com o passar 
de muitos e muitos anos? Qual conceito matemático pode 
utilizar para representar essa situação? 
Reflita a respeito dessas questões antes de prosseguir seus 
estudos.
Se você apresentou como resposta para a última questão feita no “Questão 
para reflexão”, que podemos expressar essa situação por meio da utilização de 
limites, você está correto, assim, podemos supor que , visto 
que 
Com isso, vamos procurar uma função na forma:
Perceba que agora será utilizado um ajuste exponencial aos pontos dados. 
Novamente, com a intenção de diminuir a quantidade de notações utilizadas, 
consideremos C
n
 - C* = y. Assim, temos y = aebx.
Aplicando logaritmo em ambos os lado da igualdade, obtemos: 
ln(y) = ln (aebx) = ln(a) + ln (ebx) = ln(a) + bx, ou ainda
y=k+bx, 
Com y=ln(y) e k=ln(a), temos:
Realizando os cálculos necessários, obtemos:
~
~
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
184
Com isso, obtemos o sistema a seguir.
Resolvendo-o pelo método da adição, encontramos os seguintes valores:
b= -0,167510830044 e k= 11,97825824. Como k=ln(a), temos que 
a=159254,406754. Logo:
ou ainda, com relação ao ano de 2004, podemos escrever:
Com a aplicação de todos esses métodos e com a realização desses cálculos, 
chegamos a um modelo que descreve o crescimento do consumo de água na 
cidade estudada.
Agora se inicia uma etapa de grande importância, que é a validação do modelo, 
e, para isso, apresentaremos um quadro comparando os valores reais, com os 
valores obtidos por meio da aplicação do modelo obtido.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
185
De acordo com o quadro acima, podemos afirmar que o modelo desenvolvido é 
válido para o cálculo do consumo mensal médio para a cidade envolvida no estudo, 
pois a diferença entre o valor observado e o valorestimado é relativamente pequena.
Não devemos esquecer que, para resolvermos nosso problema, precisamos 
descobrir quando o consumo de água na cidade será maior igual ao máximo de 
produção de água, pois quando isso acontecer precisará de novos investimentos 
para ampliar o sistema.
Sabemos que a média máxima de produção é de 6664074,785, mas como o 
modelo descreve o consumo por família, precisamos utilizar este valor dividido por 
5, onde teremos a média de 1332814,957.
Sendo assim, como:
Segue que
Ano C(t) Observado C(t) estimado |C
obs
- C
est
 |
2005 1222070,41 1223683,84 1613,43
2006 1246169,37 1244688,62 1480,75
2007 1263511,15 1262409,61 1101,54
2008 1275036,80 1277360,19 2323.39
2009 1285578,52 1289973,47 4394,95
2010 1300192,20 1300614,85 422,65
2011 1310886,96 1309592,60 1294,36
Quadro 4.4 | Validação do modelo
Fonte: A autora (2011).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
186
Sendo assim, daqui a, aproximadamente, 11 anos, deverão ocorrer novos 
investimentos na ampliação do sistema de água da cidade envolvida no estudo.
Utilizando o modelo que descreve essa situação de maneira contínua temos:
Logo, t= 2004+10,999999991, ou seja, aproximadamente, t ≅ 2015.
2. O Modelo Matemático desenvolvido pode auxiliar no 
estudo a respeito da situação apresentada, ou seja, o 
estudo a respeito da distribuição de água em uma cidade 
do interior do Paraná. O modelo desenvolvido e validado é 
dado por 
C
n
=1358041,175-159254,406754e-0,167510830044(t-2004). 
Tendo em mente as características desse modelo, é correto 
afirmar que o gráfico que se adéqua à situação é expresso 
em qual das alternativas abaixo?
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
187
a)
b)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
188
c)
d)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
189
e)
Com a resposta de parte do nosso problema resolvido, encerramos aqui essa 
seção. Na terceira seção dessa unidade veremos a segunda modelagem relacionada 
ao nosso problema.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
190
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
191
Seção 3
Continuação do modelo de modelagem e o 
problema da água – o modelo do crescimento 
populacional
Introdução à seção
Começamos essa seção relembrando que o objetivo da atividade de modelagem 
que estamos desenvolvendo é compreender a relação existente entre a quantidade de 
residências de uma determinada cidade com o aumento no fornecimento de água.
Cabe destacar também que essa atividade não pode ser generalizada, ou seja, 
acreditar que os resultados obtidos nessa atividade de modelagem poderão ser 
utilizados para outra cidade, pois cada uma tem um sistema de distribuição de 
água distinta, bem como tem um crescimento ou decrescimento populacional 
diferenciado.
Iniciaremos, agora, um segundo momento da atividade de modelagem.
3.1 Modelagem 2: crescimento populacional na cidade do interior do Paraná
Para o desenvolvimento desse Modelo Matemático que descreve o crescimento 
populacional da cidade envolvida no estudo, consideraremos as seguintes hipóteses: 
Hipóteses - Consideraremos que:
• O crescimento populacional é limitado.
• O crescimento populacional determina uma sequência monótona 
crescente.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
192
Antes de prosseguir o estudo do desenvolvimento do modelo 
apresentado, reflita a respeito de quais são as variáveis 
envolvidas nessa situação.
Agora que você já refletiu a respeito, podemos apresentar as variáveis que foram 
consideradas nessa situação.
• N(t): População em função do tempo (t).
• L: limite populacional.
Com o auxilio do software Curve, apresentaremos a representação gráfica de uma 
reta que passe próximo aos pontos, para que possamos desenvolver uma função que 
descreva o comportamento dessa situação. Vejamos o quadro a seguir.
Com a utilização do software Curve e utilizando os pontos apresentados no quadro 
anterior, foi possível realizar a seguinte representação:
t Ano População
0 2004 480822
1 2005 486493
2 2006 492168
3 2007 497833
4 2008 500800
5 2009 503760
6 2010 506701
7 2011 509680
Quadro 4.5 | Crescimento populacional da cidade estudada
Fonte: IBGE (2011).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
193
Com o auxílio da representação gráfica, podemos iniciar o processo de obtenção 
do Modelo Matemático que descreve tal situação.
Para melhor compreender os processos empregados na sequência, vamos ao 
nosso Saiba Mais.
Agora que você já aprendeu mais a respeito do modelo de Verhulst, podemos 
voltar à obtenção do modelo que descreve a situação de interesse.
Utilizando o modelo de Verhulst 
Figura 4.7 | Representação gráfica dos dados da situação
Fonte: software Curve (2011).
No modelo que iremos estudar, aplicaremos o modelo de Verhulst. 
Vamos aprender a respeito desse modelo, estudando os links a seguir.
<http://www.geocities.ws/espmath/monizabe.pdf>. Acesso em: 15 
maio 2015.
<http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/notasdeaula/roteiros/aula06.
pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
<http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/397.
pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
194
em que β é a taxa de natalidade e N(0) = 480822 = N
0
 (condição inicial).
Vamos resolver a EDO não linear.
Usamos o método de separação de variáveis para escrever:
Usamos a decomposição em frações parciais, obtemos:
Integrando ambos os lados da igualdade, obtemos:
Resolvendo a integral, segue que:
Como N(0) = N
0
 , temos que 
Substituindo esta constante:
Aplicando a função exponencial de ambos os lados, segue:
Após realizar esses cálculos e explicitando N=Nt , finalmente, obtemos: 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
195
Agora, resta-nos determinar os valores de L e β.
Com base no quadro anterior, consideraremos que o número de habitantes nesse 
período determina uma sequência (Nn) monótona, crescente e limitada.
Logo, podemos determinar o ponto de estabilidade dessa sequência, ou seja, N* 
tal que 
Para determiná-lo, vamos usar o método de Ford-Walford, o mesmo utilizado 
no modelo anterior e, assim, tomemos como base o quadro 5 e construiremos o 
seguinte quadro: 
Vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para obter um ajuste da forma. 
N
(n+1)
=a+bN
n
Consideraremos N
n+1
 = y e N
n
=x
Como vamos operar com somatórias, que tal aprender mais a respeito delas?
t N
n
N
(n+1)
0 480822 486493
1 486493 492168
2 492168 497833
3 497833 500800
4 500800 503760
5 503760 506701
6 506701 509680
7 509680
Quadro 4.6 | Representação da sequência N
n
 e N
(n+1)
Fonte: A autora (2011).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
196
Vamos relembrar os conceitos de somatório, estudando os materiais 
disponíveis nos links:
<http://wwmat.mat.fc.ul.pt/aninf/2003_2/aninf2/notas/somatorios/>
<http://www.pucrs.br/famat/augusto/calcIII/Series>. Acesso em: 15 
maio 2015. Acesso em: 15 maio 2015.
Agora, podemos realizar alguns cálculos para obter os valores esperados: 
Portanto, o sistema que se formou é:
Resolvendo esse sistema, obtemos:
a= 720038293 e b= 0,86300
Logo, temos o seguinte ajuste: N
(n+1)
=720038293+0,86300 N
n
 , obtemos 
N
n
=52557,5=N*=L, logo, temos N*=N
n
=L.
Obtemos:
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
197
Em seguida, vamos estimar o valor do parâmetro β , para isso construímos o 
quadro a seguir, por meio da expressão:
Vamos usar o método dos mínimos quadrados para ou seja, 
Após realizar alguns cálculos, obtemos:
tn N(t
n
)
 
β(t
n
)
0 480822 ----
1 486493 0,147221852
2 492168 0,315716004
3 497833 0,512978511
4 500800 0,63203308
5 503760 0,76516356
6 506701 0,915797112
Quadro 4.7 | Obtenção do valor do parâmetro
Fonte: A autora (2011).
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educaçãobásica
U4
198
Assim, temos o seguinte sistema:
Resolvendo-o, obtemos:
Logo,
Substituindo em N(t), chegamos a:
Ou ainda, podemos relacionar este modelo com os anos, da maneira como 
segue.
Com a obtenção desse modelo, podemos partir para a validação dele. Para 
isso, utilizaremos os valores reais coletados, com os valores obtidos por meio da 
aplicação do modelo apresentado.
1. A etapa de validação de um modelo é muito importante, 
pois é nela que verificamos se o modelo descreve 
adequadamente ou não a situação de interesse. Utilizando 
o modelo desenvolvido, complete o quadro a seguir e 
realize a validação do modelo desenvolvido.
t Ano N(t) observado N(t) estimado |N(t)
obs
- N(t)
est
 |
0 2004 480822
(continua)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
199
Como você pode perceber por meio da análise das diferenças dos valores 
observados e estimados, é possível concluir que o modelo é aceitável, pois os valores 
obtidos como resultado de |N(t)
obs
- N(t)
est
 | são consideravelmente pequenos.
Agora, por meio da utilização dos dois modelos, é possível se voltar para o 
problema que gerou o desenvolvimento e elaboração dos dois modelos, ou seja, 
quando a cidade que estamos estudando atingir qual quantidade de residências, 
será necessário realizar novos investimentos para aumentar a capacidade de 
distribuição de água?
Para resolver o problema, precisamos descobrir o valor populacional no ano 
de 2015.
1 2005 486493
2 2006 492168
3 2007 497833
4 2008 500800
5 2009 503760
6 2010 506701
2. A resposta da situação de modelagem que estamos 
estudando está relacionada à utilização do Modelo 
Matemático que foi desenvolvido. Assinale a alternativa 
que apresenta o valor obtido por meio da aplicação desse 
modelo, ou seja, o valor aproximado de N(2015).
a) 559164.
b) 541742.
c) 539871.
d) 524751. 
e) 516667.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
200
Para chegar à solução final do estudo é necessário lembrar que o valor obtido na 
atividade de aprendizagem deve ser dividido por 5.
Resposta para o problema: A empresa que realiza o fornecimento de água 
da cidade estudada terá que realizar novos investimentos para aumentar a 
capacidade de distribuição de água, quando quantidade de residências atingirem, 
aproximadamente, 10334.
Com o término dessa atividade de modelagem chegamos ao fim dessa seção. 
Espero que você tenha aproveitado e aprendido novos conceitos relativos à 
Modelagem Matemática, bem como a aplicação dessa disciplina em atividades 
voltadas ao Ensino Superior. 
Essa atividade de modelagem é voltada para o Ensino Superior 
e a princípio os envolvidos não sabiam qual matemática que 
seria necessária para resolver o problema. 
Reflita a respeito de como o professor poderia auxiliar os 
estudantes se eles tivessem se deparado com a necessidade 
de utilizar conceitos que eles não sabiam.
Nessa unidade, você aprendeu:
• O programa CurveExpert pode ser utilizado para realizar 
interpolação.
• Podem existir dados que não podem ser representados 
fielmente por meio de uma função, mas pode existir uma 
função que representa de forma adequada esses valores.
• Com a utilização de programas que realizam interpolação é 
possível realizar de forma mais fácil atividades matemáticas, 
por exemplo, atividades de modelagem.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
201
• A disciplina de modelagem pode ser utilizada no Ensino 
Superior para a interpretação de situações mais complexas e 
que envolvam a utilização de modelos.
• Quando lidamos com sequências monótonas crescentes 
limitadas, podemos encontrar o valor que as limitam, ou seja, 
o limite quando a quantidade de termos da sequência tende 
ao infinito.
• Existem tipos de modelos matemáticos diferentes para 
descrever situações com diversas características.
Esses tópicos são apenas algumas das coisas que você deve 
ter aprendido na quarta unidade, mas tenho certeza que você 
aprendeu muito mais.
Uma forma de organizar o pensamento e suas aprendizagens é 
escrevendo um texto a respeito de tudo o que você aprendeu. O 
que você acha de realizar essa atividade? 
Outra atividade que pode ser interessante é a elaboração de um 
plano de aula que utilize os conceitos de modelagem.
Tem também uma forma para que você possa dividir seu 
conhecimento e discutir a respeito de suas descobertas e para 
isso tenho um convite a você.
Convite importante
Para finalizar essa unidade, tenho um convite importante. O 
convite é para participar do fórum de aprendizagem.
No fórum de aprendizagem dessa disciplina você terá a 
oportunidade de dividir sua aprendizagem e refletir a respeito da 
opinião de outras pessoas.
Bons estudos e boas participações.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
202
A última unidade desse material teve a intenção proporcionar 
a você, futuro professor de matemática, contato com uma 
ferramenta que pode ser utilizada em atividades de modelagem, 
bem como em diversos outros tipos de atividades, o software 
CurveExpert.
Além disso, você teve contato com uma atividade de modelagem 
voltada para o Ensino Superior, aprendendo mais a respeito dos 
modelos estudados nas unidades anteriores.
Essa unidade é rica em conceitos muito importantes para a 
modelagem, alguns podem parecer um pouco difíceis ou 
confusos, mas com a utilização de uma calculadora científica e 
com a substituição adequada dos valores, é resolver e analisar as 
situações de interesse.
Para que você aproveite ao máximo o material dessa unidade, 
é importante que faça as leituras sugeridas, estude os materiais 
que apresentam exemplos resolvidos e estude passo a passo cada 
uma das etapas, para que assim você compreenda os conceitos 
envolvidos.
Para aprofundar seu conhecimento a respeito dos assuntos tratados 
nessa unidade, que tal resolver as atividades de aprendizagem? 
Bons estudos.
1. Atividades de modelagem podem ser úteis para que 
os estudantes desenvolvam capacidades importantes, 
como a tomada de decisões, análise de situações e 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
203
desenvolvimento do senso crítico, mas também podem 
promover a aprendizagem de conteúdos. 
Em uma atividade de modelagem, desenvolvida com 
estudantes do 1º ano do Ensino Médio, a professora 
apresentou os seguintes dados:
Solicitou aos estudantes para que analisassem os dados e 
realizassem uma atividade de modelagem, desenvolvendo 
um modelo que descrevesse o comportamento desses 
pontos. Ao determinar um Modelo Matemático que 
descrevesse tal situação, chegaram à seguinte expressão 
y=3.2x-1. Com a intenção de compreender melhor tal 
expressão, os estudantes utilizaram o programa CurveExpert 
para representar os dados. Conhecendo as propriedades 
das funções do tipo exponencial, assinale a alternativa que 
apresenta a representação obtida pelos estudantes.
Quilometragem Preço pago (R$)
1 3
2 6
3 12
4 24
5 48
6 96
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
204
a)
b)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
205
c)
d)
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
206
e)
2. Na atividade de modelagem apresentada nessa unidade 
foi obtido o seguinte Modelo Matemático 
Aplicando esse modelo, é correto afirmar que o valor 
aproximado quando t = 2030 é: 
a) 512789.
b) 524645.
c) 475189.
d) 478495.
e)3145879.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
207
e utilizando o programa CurveExpert, é correto afirmar que 
a função que melhor descreve o comportamento desse 
modelo é:
a) Função Linear.
3. Sabendo que o modelo validado obtido em uma atividade 
de modelagem é dado por 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
208
b) Função quadrática.
c) Função polinomial do quarto grau.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
209
d) Função logarítmica.
e) Função polinomial do terceirograu.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
210
4. Ao lidarem com uma atividade de modelagem a respeito 
do crescimento bacteriano em condições específicas, os 
estudantes de licenciatura em Matemática validaram o 
Modelo Matemático
como sendo um modelo adequado para a situação. Sabendo 
que t representa o tempo desde o começo do estudo, é 
correto afirmar que no tempo igual a 9 unidades de tempo, 
a quantidade de bactérias será de aproximadamente:
a) 47581 bactérias.
b) 54784 bactérias.
c) 94751 bactérias.
d) 47518 bactérias.
e) 89521 bactérias.
5. Em atividades de Modelagem Matemática, é importante 
conhecer valores reais, para que por meio desses valores 
seja possível realizar estudos e assim, elaborar um modelo 
adequado aos dados. Vejamos um quadro que apresenta 
dados relacionados ao nascimento de crianças na 
maternidade XXXX.
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
211
Mês do ano de 2014 Quantidade de Nascimento
Janeiro 35
Fevereiro 40
Março 32
Abril 38
Maio 42
Junho 50
Julho 33
Agosto 48
Setembro 42
Outubro 51
Novembro 55
Dezembro 36
Com a utilização do software CurveExpert foi possível 
representar os dados da seguinte forma: 
Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
U4
212
Faça um estudo e desenvolva um modelo que seja 
adequado para representar tal situação, utilizando os 
conhecimentos adquiridos ao longo desse material. 
Para isso, utilize os modelos e os conteúdos que achar 
necessário.
Depois fazer essa atividade de modelagem, você chegará 
a um modelo que pode ser descrito por uma função de 
qual tipo?
a) Função polinomial do sexto grau.
b) Função polinomial do sétimo grau.
c) Função polinomial do oitavo grau.
d) Função polinomial do nono grau.
e) Função polinomial do décimo grau.
U4
213Desenvolvimento de modelos matemáticos na educação básica
Referências
BARBOSA, J. C. Modelagem na educação matemática: contribuições para o 
debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais... Rio 
Janeiro: ANPED, 2001. 1 CD-ROM.
BARBOSA, J. C. A prática dos alunos no ambiente de modelagem matemática: 
o esboço de um framework. Modelagem Matemática na Educação Matemática 
Brasileira: pesquisas e práticas educacionais, Recife, v. 3, 2007. 
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma 
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. 
IBGE. Anuário Estatístico 95. Rio de Janeiro: IBGE, 2011.
U
N
O
PA
R
M
O
D
ELA
G
EM
 M
ATEM
ÁTIC
A
Modelagem 
Matemática