Modelagem Matematica

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Modelagem 
Matemática
Keila Tatiana Boni
Renata Karoline Fernandes
Modelagem Matemática
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Boni, Keila Tatiana 
 
 ISBN 978-85-8482-200-3
 1. Matemática. 2. Modelos matemáticos. I. Fernandes, 
Renata Karoline. II. Título.
 CDD 511.8
Karoline Fernandes. – Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2015.
 216 p. : il.
B715m Modelagem matemática / Keila Tatiana Boni, Renata
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
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2015
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SumárioSumário
Unidade 1 | Modelagem Matemática como estratégia de ensino e 
aprendizagem de Matemática
Seção 1 - Pressupostos teóricos a respeito de Modelagem 
Matemática 
1.1 | Modelo matemático 
1.2 | Modelagem Matemática
Seção 2 - Procedimentos da atividade de Modelagem Matemática
2.1 | Etapas e subetapas do processo de Modelagem Matemática 
2.2 | Onde a Modelagem Matemática é utilizada? 
Seção 3 - A Modelagem Matemática na perspectiva educacional
3.1 | A Modelagem Matemática no contexto escolar
3.2 | Modelagem Matemática e Modelação Matemática: qual a diferença?
3.3 | Avaliação da aprendizagem
Seção 4 - Implicações da Modelagem Matemática no processo de 
aprendizagem 
4.1 | Importância da utilização da Modelagem Matemática na sala de aula
 4.1.1 | Aspecto relacionado à motivação a partir do estabelecimento de 
relações entre Matemática e vida real
 4.1.2 | Aspecto relacionado ao uso de computadores no ensino de Matemática
 4.1.3 | Aspecto relacionado ao trabalho cooperativo
 4.1.4 | Aspecto relacionado ao desenvolvimento do conhecimento crítico reflexivo
 4.1.5 | Aspecto relacionado à utilização de diferentes registros de representação
 4.1.6 | Aspecto relacionado à ocorrência de aprendizagem significativa
Unidade 2 | Modelos Matemáticos para o ensino de matemática: 
exemplos no Ensino Fundamental
Seção 1 - Modelagem Matemática no Ensino Fundamental
1.1 | A atividade de Modelagem Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental
Seção 2 - Modelo Matemático 1: “Cerca elétrica” 
2.1 | Modelo matemático: “cerca elétrica”
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Unidade 3 | Desenvolvimento de Modelos Matemáticos na educação básica
Seção 1 - A utilização da Modelagem Matemática em aulas da 
educação básica
1.1 | Atividades de Modelagem
Seção 2 - Atividade de modelagem e o conteúdo programático 
2.1 | Utilização de atividades de modelagem para contemplar os conteúdos 
programáticos
Seção 3 - Atividade de modelagem – a Ritalina
3.1 | A ritalina
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Unidade 4 | Desenvolvimento de Modelos Matemáticos na educação básica
Seção 1 - Utilização do software curve para auxiliar em atividades 
de modelagem
1.1 | Software curve
Seção 2 - Modelo de modelagem e o problema da água 
2.1 | Atividade de modelagem – A água
2.1 | A água e o abastecimento
 2.1.1 | Modelo 1: consumo médio anual de água nas residências
 2.1.2 | Obtenção do valor de estabilidade
Seção 3 - Continuação do modelo de modelagem e o problema da 
água – o modelo do crescimento populacional 
3.1 | Modelagem 2: crescimento populacional na cidade do interior do Paraná
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Seção 3 - Modelo Matemático 2: “Construção de casas” 
3.1 | “Construção de casas”
 3.1.1 | Como fazer uma planta baixa de uma casa?
 3.1.2 | Como o construtor de uma casa sabe o tamanho que se quer construir?
 3.1.3 | Quais devem ser as medidas do terreno e o local da construção da casa?
 3.1.4 | Área útil e área construída: o que são e quais suas relações?
 3.1.5 | Vendo o projeto da casa por outra perspectiva: construção de maquete
 3.1.6 | Quanto de pisos, tijolos e tinta vão precisar?
 3.1.7 | Tesoura do suporte ao telhado: o que é isso e como confeccioná-las?
 3.1.8 | Finalizando a casa: aonde vai a caixa d’água?
Seção 4 - Modelo Matemático 3: “Telefonia celular” 
4.1 | Modelo matemático: telefonia celular
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Apresentação
O que podemos perceber na atual educação, mais especificamente no ensino 
de Matemática, é que o modo, tradicional e desvinculado da realidade, que os 
educadores estão acostumados a proporcionar novos conhecimentos aos alunos, 
tem provocando neles aversão a essa disciplina, uma vez que, em geral, não 
conseguem atribuir sentido para aquilo que é trabalhado em sala de aula. 
Com o intuito de apresentar uma alternativa pedagógica potencial para enfrentar 
a situação relatada, apresentamos a obra “Modelagem Matemática”, destacando 
orientações de como utilizá-la no processo de ensino e de aprendizagem. 
Assim, a ideia principal que permeia este material é que a Modelagem 
Matemática auxilia no processo de ensinar e de aprender conceitos matemáticos 
a partir do reconhecimento de situações-problemas reais em que se pode aplicar 
tais conceitos, aproximando a teoria da prática, o que conduz o estudante a um 
estudo significativo daquilo que está sendo estudado e a perceber a importância e 
aplicabilidade da Matemática. 
Portanto, este material é de extrema importância para o futuro professor que 
objetiva, após sua formação, desenvolver uma prática pautada na aprendizagem 
significativa de seus alunos.
Bons estudos!
Unidade 1
MODELAGEM MATEMÁTICA 
COMO ESTRATÉGIA DE 
ENSINO E APRENDIZAGEM DE 
MATEMÁTICA
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade trazemos uma discussão a respeito da Modelagem 
Matemática, que se constitui como uma alternativa pedagógica em que se 
aborda, por meio de conhecimentos matemáticos, um problema real que 
pode ser matemático ou extramatemático.
Em pormenores, apresentamos nesta unidade os principais pressupostos 
teóricos a respeito de Modelagem Matemática, os procedimentos para 
desenvolver atividades nessa abordagem e destacamos seu papel no processo 
de ensino e de aprendizagem de objetos matemáticos em sala de aula.
Todas estas abordagens têm por objetivo proporcionar a você, futuro 
professor de Matemática, oportunidades de acesso às diversas possibilidades 
de integração de atividades de Modelagem Matemática à prática educativa, 
visando conduzi-lo a uma perspectiva otimista a respeito da utilização da 
Modelagem Matemática em sala de aula, como alternativa pedagógica que 
potencializa o processo de aprendizagem de objetos matemáticos a partir 
da constatação da aplicabilidade da Matemática em situações reais.
Keila Tatiana Boni
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Nesta seção esclarecemos os procedimentos de uma atividade de 
Modelagem Matemática que estabelece um elo entre situação-problema 
real e a situação final, que corresponde à resolução da problemática. 
Assim, nesta seção, apresentamos as etapas e subetapas que constituem 
os procedimentos da atividade de Modelagem Matemática.
Seção 2 | Procedimentos da atividade de Modelagem 
Matemática
Nesta seção, abordamos sobre a Modelagem Matemática no 
contexto escolar, diferenciando a Modelagem Matemática da Modelação 
Matemática. Destacamos,ainda, em que consiste avaliar, tanto os 
estudantes quanto a própria prática diante de uma atividade de Modelagem 
Matemática.
Nesta seção, após realizar uma abordagem sobre a Modelagem Matemática 
no contexto educacional, discutimos sobre as principais implicações dessa 
alternativa pedagógica no processo de aprendizagem, explicitando a 
importância de sua utilização na sala de aula em diversos aspectos. 
Seção 3 | A Modelagem Matemática na perspectiva 
educacional
Seção 4 | Implicações da Modelagem Matemática no 
processo de aprendizagem
Nesta primeira seção apresentamos uma caracterização da Modelagem 
Matemática, destacando o que é modelo, ponto-chave da atividade nessa 
perspectiva. Assim, nesta seção, fazemos uma abordagem sucinta, mas 
ao mesmo tempo essencial, sobre aspectos fundamentais da Modelagem 
Matemática, tendo em vista introduzir você, estudante, no estudo que 
será realizado nas próximas seções.
Seção 1 | Pressupostos teóricos a respeito de Modelagem 
Matemática 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Introdução à unidade
Diante de tantas dificuldades que o professor enfrenta com relação ao processo 
de ensino e de aprendizagem de Matemática na Educação Básica, podemos 
considerar a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica profícua 
para minimizar tais dificuldades. 
A criação de situações-problemas a partir da realidade e de temas de interesse 
dos alunos, tão potenciais matematicamente quanto aqueles rotineiramente 
apresentados pelo professor, contribuem para que o aluno se sinta mais motivado 
em aprender. Isso acontece porque durante uma atividade de Modelagem 
Matemática o aluno é o autor principal do processo de aprendizagem, envolvendo-
se em uma investigação que o permitirá atribuir sentido e conhecer a aplicabilidade 
e a importância de conceitos matemáticos estudados em sala de aula.
Nessa perspectiva, esta unidade vem trazer a você, caro estudante, 
esclarecimentos sobre a Modelagem Matemática como uma atividade que pode 
provocar melhorias na aprendizagem de conceitos matemáticos, partindo da 
evidenciação de que a Matemática pode ser útil, instigante e, ao mesmo tempo, 
agradável quando contextualizada com o real e o cotidiano. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Seção 1
Pressupostos teóricos a respeito de modelagem 
matemática
Introdução à seção
Se você parar para refletir sobre tudo o que já aprendeu (e vai aprender) no 
curso de Matemática, deve se questionar para que servem os conhecimentos de 
Cálculo, Geometria (descritiva e analítica) e Estruturas Algébricas. São possíveis de 
serem aplicados? Se sim, quando e como?
Você estudará, nesta primeira seção, os princípios da Modelagem Matemática, 
a qual não foi engendrada no âmbito da Educação Matemática, mas a partir da 
Matemática Aplicada. 
Nessa perspectiva, a Modelagem Matemática como estratégia de ensino e de 
aprendizagem de Matemática contribui para que conceitos matemáticos possam 
ser compreendidos a partir de resultados práticos, oriundos da aplicação de tais 
conceitos em situações reais. 
Apesar da abordagem que realizaremos nesse estudo remeter-se, sobretudo, 
a estratégias de ensino e de aprendizagem de Matemática, ressaltamos que a 
Modelagem Matemática é considerada como um método científico de pesquisa, 
sendo, deste modo, aplicada também em outras áreas, tais como a Astrofísica, a 
Química, as Ciências Biológicas etc. 
Diante desse contexto, já podemos constatar uma primeira justificativa para a 
importância da Modelagem Matemática no processo de ensino: ela pressupõe um 
trabalho multidisciplinar, quebrando barreiras impostas entre diversificadas áreas 
do conhecimento. 
Além disso, a Modelagem Matemática no processo de ensino e de aprendizagem 
contribui para que o estudante se envolva ludicamente com a Matemática a partir 
do seu potencial aplicável e se envolva, ao mesmo tempo, com a Matemática e 
tecnologias. Devido à sua essência unir teoria e prática, seja por meio da aplicação 
matemática, seja por meio da criação matemática, a Modelagem Matemática 
conduz o estudante ao desejo de entender a realidade que o cerca e a buscar 
meios para agir sobre esta realidade e transformá-la. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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1.1 Modelo matemático
De acordo com Biembengut e Hein (2013), a ideia de modelagem pode ser 
entendida, metaforicamente, como o objeto produzido por um escultor a partir da 
argila, pois, tendo em mãos o material necessário (argila) e fazendo uso de técnicas, 
intuição e muita criatividade, ele consegue construir um objeto, um modelo, que 
representa algo real ou imaginário. 
Do mesmo modo, podemos entender um modelo matemático como uma 
representação de algo, sendo este modelo uma imagem concebida da mente 
humana “no momento em que o espírito racional busca compreender e expressar 
de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo já conhecido, 
efetuando deduções” (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 11).
Partindo do exposto, podemos entender que os modelos são vastamente 
utilizados em diversas áreas, sendo que o que diferencia os modelos de cada 
situação é a finalidade para a qual foram construídos: de demonstrar algo (como 
uma maquete), para prever ou explicar um fenômeno, com um fim pedagógico 
(para ilustrar um conceito em estudo) etc. 
Se considerarmos o modelo como uma finalidade pedagógica, mais 
especificamente na disciplina de Matemática, podemos definir que um modelo 
matemático pode ser entendido como um conjunto de símbolos e de relações 
matemáticas, os quais visam traduzir, de algum modo, um determinado fenômeno 
ou problema relacionado a uma situação real (BIEMBENGUT; HEIN, 2013). 
 Almeida, Silva e Vertuan (2013) defendem que na Matemática os modelos 
não são usados apenas para representar algo (ou um conceito), mas para explicar 
situações (sejam estas matemáticas ou não) que se pretende analisar numa 
perspectiva matemática. Os mesmos autores afirmam, ainda, que é possível dizer:
Partindo do que foi abordado até aqui, reflita sobre algumas 
áreas em que podemos encontrar modelos com as finalidades já 
mencionadas. Além disso, pense outros tipos de finalidades que 
poderiam ser citadas com relação à construção de modelos.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Em suma, podemos considerar que um modelo matemático é uma 
representação simplificada da realidade ou de um fenômeno, o qual será analisado 
sob a perspectiva e concepção de quem investiga. Sendo assim, a construção de 
um modelo não está pautada simplesmente em si mesmo, mas tendo em vista 
fomentar uma solução para um problema relacionado a tal realidade ou fenômeno 
que o modelo representa. 
1.2 Modelagem Matemática
Agora que você já aprendeu o que é um modelo, vamos compreender o que é 
Modelagem Matemática.
Como você viu, um modelo é uma representação de algo real, de um 
fenômeno ou conceito. Relacionando com o que foi apresentado, podemos dizer, 
basicamente, que a Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção 
de um modelo.
De maneira geral, uma atividade de Modelagem Matemática pode ser descrita 
conforme apresenta o esquema a seguir:
[...] que um modelo matemático é um sistema conceitual, 
descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem 
ou uma estrutura matemática e que tem por finalidade 
descrever ou explicar o comportamento de outro sistema, 
podendo mesmo permitir a realização de previsões sobre este 
outro sistema (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 13).
SITUAÇÃO INICIAL
(Problemática)
SITUAÇÃO FINAL
(Solução para a 
problemática)
PROCEDIMENTOS
Figura 1.1 | Descrição de uma atividade de Modelagem Matemática
FONTE: Adaptado de: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 12).
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No esquema temos que a situação inicial é chamada de situação-problema e 
para solucioná-la utiliza-se um conjunto de procedimentos e conceitos, com os 
quais é possível produzir um modelo, por meio do qual se torna possível solucionar 
a problemática inicial. 
De maneira geral, “[...] pode-se dizer que matemática e realidade são dois 
conjuntos disjuntos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir” (BIEMBENGUT; 
HEIN, 2013). 
É possível percebermos que a Matemática (que corresponde aos 
procedimentos) e a realidade (que corresponde à situação-problema) estão 
intrinsecamente relacionadas e esta relação contribui potencialmente para que 
novos conhecimentos, sejam estes matemáticos ou não, sejam construídos, 
integrados ou, até mesmo, acionados. 
Apesar de considerarmos uma situação inicial como uma situação-problema, 
é essencial definirmos o que será considerado como problema em uma atividade 
de Modelagem Matemática.
Nesse estudo, o termo problema será compreendido como uma situação 
para a qual a pessoa que se envolve com este não possui esquemas a priori para 
solucioná-lo. Tendo em vista que um problema, para assim ser considerado, 
depende do sujeito e dos esquemas eficazes que possui para lidar com esse 
problema, assim, podemos concluir que não pode existir uma única maneira de 
solucioná-lo, como não necessariamente poderá haver uma única solução. 
Dessa forma, podemos afirmar que a construção de um modelo matemático 
depende dos conhecimentos matemáticos que o indivíduo possui. Se o indivíduo 
possui conhecimentos mais básicos, apenas estes poderão ser evocados ao lidar 
com uma situação-problema, assim como um indivíduo com conhecimentos mais 
avançados em Matemática elaborará modelos mais sofisticados e mais eficazes 
para lidar com situações-problemas mais complexas. Entretanto, é importante 
Você estudou que uma situação inicial na atividade de 
Modelagem Matemática se caracteriza como uma situação-
problema. O que define um problema? Será que algo que é um 
problema para você também é para outra pessoa?
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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ressaltar que a validade e a eficácia de modelos matemáticos não estão estritamente 
relacionadas ao nível de conhecimento do indivíduo, sendo que é por esse motivo 
que é possível propor atividades de Modelagem Matemática em diversos níveis de 
escolaridade, inclusive nos mais elementares, como nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, desde que estes alunos já tenham conhecimentos matemáticos 
básicos para lidar com situações-problemas de menor complexidade. 
Agora que já fizemos uma abordagem relacionando a Modelagem Matemática 
com os modelos, vamos definir em que consiste, de fato, a Modelagem Matemática. 
“Neste contexto, entendemos por Modelagem o processo de aproximar ou 
transformar problemas concretos do mundo real em modelos de problemas 
que simulem de forma ótima o objeto de estudo e assim poder resolvê-los para 
interpretar suas soluções de forma clara (CHUQUIPOMA, 2012, p. 7). 
Por meio da Modelagem Matemática objetiva-se propor soluções para situações-
problemas por intermédio de modelos matemáticos. Dessa forma, considera-
se o modelo matemático como “[...] o que 'dá forma' à solução do problema e 
a Modelagem Matemática é a ‘atividade’ de busca por essa solução” (ALMEIDA; 
SILVA; VERTUAN, 2013, p. 15). 
Bassanezi (2004) defende que a Matemática em si objetiva, fundamentalmente, 
extrair a parte essencial de uma situação-problema para, então, formalizá-la em 
um contexto abstrato, característico da Matemática, tornando possível reduzir o 
pensamento referente à situação-problema em uma linguagem mais precisa. A 
Matemática, nesse contexto, é responsável por sintetizar ideias concebidas em 
situações empíricas, sendo que estas, em geral, encontram-se camufladas dentre 
tantas variáveis menos importantes. 
Contudo, vale ressaltar que, apesar de mencionarmos que a atividade de 
Modelagem Matemática é engendrada a partir de situações e fenômenos reais, nem 
todas as situações ou fenômenos podem ser modelados. Um exemplo diz respeito às 
emoções e aos sentimentos humanos, como amor, ciúmes e saudade, os quais não 
são possíveis de serem descritos significativamente por meio de modelos matemáticos. 
Tendo como base os estudos de Bassanezi (2004), é essencial elencarmos 
alguns cuidados que precisam ser tomados ao se envolver com atividades de 
Modelagem Matemática:
Figura 1.2 | Cuidados com as atividade de modelagem matemática
Para que a Modelagem seja eficiente, é preciso esclarecer que os 
modelos que constituem uma atividade nessa perspectiva representam 
aproximações da realidade e não a realidade em si.
(continua)
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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Fonte: Bassanezi (2004)
A excessiva utilização de simbolismo matemático pode prejudicar a 
compreensão da situação que representa. A linguagem matemática 
adotada precisa ser equilibrada e circunscrita à problemática e aos 
objetivos que se pretende atingir.
Pode haver situações para as quais não existe teoria que torna possível 
construir modelo matemático adequado. E, ainda que exista teoria, 
pode ser que essa não condiz ou não seja suficiente para obter os 
resultados almejados.
1. A Modelagem Matemática — arte que consiste na 
transformação de situações da realidade em problemas 
matemáticos com soluções interpretadas na linguagem 
do mundo real (BASSANEZI, 2004) — impõe ao aluno a 
posição de sujeito do processo cognitivo. Considerando o 
que você estudou até aqui sobre Modelagem Matemática, 
julgue os itens a seguir:
I- No processo de Modelagem Matemática, nem todo 
problema ou fenômeno, com dados provenientes de 
Acesse o link abaixo e leia o artigo “Por uma educação matemática 
crítica: a modelagem matemática como alternativa”, dos autores 
Lourdes Maria Werle Almeida e André Silva, e saiba mais sobre a 
Modelagem Matemática como estratégia de ensino e de aprendizagem 
em Matemática.
<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/
viewFile/2752/3304>. Acesso em: 15 maio 2015.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
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2. A respeito da Modelagem Matemática, analise as 
afirmações a seguir, assinalando (V) para as afirmativas 
verdadeiras ou (F) para as afirmativas falsas. Em seguida, 
observe a sequência delas e escolha a alternativa correta.
( ) Na Modelagem Matemática parte-se de uma situação 
inicial (problemática) e, após alguns procedimentos, visa-
se chegar à situação final (a construção de um modelo).
( ) A aula expositiva e explicativa, na qual o aluno tem o 
papel de expectador e depositário de informações, é 
favorável ao desenvolvimento da tendência de Modelagem 
Matemática.
( ) Tanto a Modelagem na Matemática Aplicada quanto a 
Modelagem na Educação Matemática possuem diversas 
perspectivas e finalidades, mas com o objetivo comum de 
estudar, resolver e compreender um problema da realidade 
ou de outra área do conhecimento, utilizando, para isso, 
sobretudo, a Matemática. 
( ) A Modelagem Matemática é eficiente, pois os modelos 
que constituem uma atividade nessa perspectiva 
representam fielmente e totalmente a realidade. 
Assinale a sequência correta:
a) F – F – F – V. 
b) V – F – V – F. 
c) V – V – F – V. 
d) F – V – V – F.
situações reais, se adequa às ferramentas matemáticas ao 
alcance do saber e da aprendizagem do aluno.
II- Com a Modelagem pretende-se que o aluno aprenda 
Matemática problematizando contextos reais.
III- Uma condição imprescindível na Modelagem 
Matemática para que esta seja válida é a de um contexto 
matemático com alto grau de elaboração.
Assinale a alternativa em que constam apenas as afirmativas 
corretas:
a) I e II. 
b) II e III. 
c) I e III. 
d) I, II e III.
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19Seção 2
Procedimentos da atividade de modelagem 
matemática
Introdução à seção
Você já estudou na seção anterior que em uma atividade de Modelagem 
Matemática parte-se de uma situação inicial e real (problemática) e, mediante um 
conjunto de procedimentos, constrói-se um modelo matemático que possibilita 
“dar forma” à solução do problema abarcando tanto conceitos matemáticos 
quanto conceitos externos à Matemática. Mas, que procedimentos são esses? 
É no estudo desses procedimentos que nos inseriremos a partir de agora. 
2.1 Etapas e subetapas do processo de Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática de uma problemática oriunda de uma situação ou 
fenômeno real deve seguir uma sequência de etapas que, até então, denominados 
genericamente de procedimentos.
Antes de estudar sobre esses procedimentos, considerando 
o que foi mencionado sobre Modelagem Matemática até o 
momento, reflita: como é que podemos confrontar problemas 
do mundo real com modelos que possam interpretar tais 
problemas? Ao realizar essa reflexão, considere que a 
Modelagem Matemática também pode ser considerada como 
um método científico de pesquisa. 
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Os procedimentos que permitem que haja a interação entre Matemática e 
realidade podem ser agrupados em três etapas, subdivididas em seis subetapas.
Figura 1.3 | Etapas e subetapas dos procedimentos de Modelagem Matemática
FONTE: A autora (2015) 
INTEIRAÇÃO
MATEMATIZAÇÃO
MODELO 
MATEMÁTICO
Reconhecimento da 
situação-problema
Formulação do problema 
→ hipótese
Interpretação do modelo
Familiarização com o 
assunto a ser modelado → 
referencial teórico
Resolução do problema em 
termos do modelo
Validação do modelo → 
avaliação
Vamos entender cada uma dessas etapas e subetapas elencadas:
• Inteiração: esta etapa, como o próprio nome diz, corresponde ao ato de 
inteirar-se, de informar-se sobre algo. No contexto da Modelagem Matemática, a 
inteiração corresponde ao momento em que se começa a conhecer a situação-
problema em seus pormenores. Para conhecer a situação-problema existem duas 
maneiras de obter informações sobre ela: indireta ou diretamente. 
As informações são obtidas indiretamente quando se realiza estudos teóricos, 
a partir de artigos, livros, revistas especializadas etc. Já as informações diretas são 
obtidas por meio da experiência em campo (in loco), podendo ser esta experiência 
realizada pelo próprio indivíduo que se envolverá na atividade de Modelagem 
Matemática. Neste último caso, as informações podem ser oriundas de dados 
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experimentais obtidos por outrem, como especialistas da área. Além disso, os 
dados e informações podem ser de natureza qualitativa ou quantitativa.
Com relação às duas subetapas apresentadas – reconhecimento da situação-
problema e familiarização com o assunto a ser modelado – ambas podem ser 
compreendidas como concomitantes durante o processo de inteiração, pois 
estas subetapas estão relacionadas à compreensão da situação-problema. Nesse 
sentido, não podemos dizer que uma ocorre antes e a outra depois, ou que uma 
precisa terminar para que a outra comece, mas ambas estão relacionadas às 
diversas formas de inteiração com as informações e os dados que permitem a 
compreensão, cada vez mais clara, sobre a situação-problema. 
Essa etapa da inteiração é essencial, porque esse é o ponto de partida para a 
formulação do problema e do estabelecimento de metas a serem atingidas tendo 
em vista sua resolução. Afinal, a formulação de problemas depende da falta de 
compreensão clara sobre a situação: é quando não se conhece claramente a 
situação em estudo que diversos questionamentos sobre ela emergem. Entretanto, 
para que estes questionamentos sejam coerentes à situação, é necessário que 
algumas informações a respeito desta já tenham sido conhecidas. 
• Matematização: esta etapa, certamente, caracteriza-se como a mais 
desafiadora, pois será nesse momento que a situação-problema, apresentada, 
até então, em linguagem natural, será traduzida para a linguagem matemática. 
Caracterizamos esse momento como desafiante, pois, em geral, uma situação-
problema se apresenta em uma linguagem que muitas vezes pouco, ou em nada, 
se aproxima da linguagem matemática.
Além disso, esta etapa é desafiadora no sentido de que intuição, criatividade, 
experiência e conhecimento de técnicas e procedimentos matemáticos que sejam 
adequados para representar a situação-problema são elementos essenciais que o 
indivíduo precisa possuir. 
Considerando o que você estudou até o momento sobre 
Modelagem Matemática, comparando esta ao método científico, 
bem como analisando o que você acabou de estudar sobre a 
etapa de inteiração, reflita: será que esta etapa é apenas inicial no 
processo de atividade de Modelagem Matemática, ou a inteiração 
pode ser estendida durante o desenvolvimento da atividade?
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Esse momento de matematização é realizado “[...] a partir de formulação de 
hipóteses, seleção de variáveis e simplificações em relação às informações e ao 
problema definido na fase de inteiração” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 16). 
Para essa etapa destacamos duas subetapas: formulação do problema e 
resolução do problema em termos do modelo. O primeiro corresponde à tradução 
da situação-problema para uma linguagem matemática, por meio de expressões, 
equações, gráficos etc., que auxiliem no processo de busca da solução. 
Nesta subetapa é fundamental:
Quanto à subetapa resolução do problema em termos do modelo, esta 
corresponde à análise ou à própria resolução a partir das ferramentas matemáticas 
que se têm disponíveis. Nessa perspectiva, é perceptível que é indispensável um saber 
aguçado sobre as ferramentas matemáticas envolvidas, contudo, nesse processo, 
o computador pode ser uma ferramenta bastante potencial, principalmente para 
obter resultados aproximados, por meio de processos discretos. 
• Modelo Matemático: esta etapa refere-se à conclusão do modelo, momento 
em que ele é avaliado, tendo como foco evidenciar o nível de aproximação entre 
o modelo e a situação-problema que ele representa, corroborando, assim, o grau 
de confiabilidade em utilizá-lo. 
Nesse sentido, temos duas subetapas: a interpretação do modelo, que é quando 
se analisa as implicações da solução oriunda do modelo, e a validação do modelo, 
que é quando se retorna à situação-problema para avaliar quão significativa e 
relevante é a solução obtida por meio do modelo. 
Caso o modelo não atenda satisfatoriamente às expectativas que o geraram, 
retorna-se à etapa de matematização, ajustando-se as hipóteses, as variáveis, entre 
outros. 
Após a apresentação das etapas e subetapas de uma atividade de Modelagem 
Matemática, esperamos que você, estudante, tenha percebido que estas se 
• classificar as informações (relevantes e não relevantes), 
identificando fatos envolvidos;
• decidir quais os fatores a serem perseguidos, levantando 
hipóteses;
• selecionar variáveis relevantes e constantes envolvidas;
• selecionar símbolos apropriados para essas variáveis; e
• descrever essas relações em termos matemáticos 
(BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 14).
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
23
constituem como procedimentos necessários para tornar possível realizar tal 
atividade, porém, não necessariamente estas etapas precisam se apresentar 
linearmente, mas de maneira dinâmica, num processo de “idas e voltas”. 
Em resumo, podemos considerar que as etapas e subetapas apresentadas 
constituem-se por elementos que evidenciam as principais características da 
Modelagem Matemática, “[...] o início é uma situação-problema; os procedimentos 
de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; 
ocorre a investigação de um problema; conceitosmatemáticos são introduzidos 
ou aplicados; ocorre a análise da solução” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 17).
Voltando aos procedimentos de uma atividade de Modelagem Matemática, 
perceba que o procedimento final, que corresponde à validação do modelo, nos 
remete questionar: o que pode ser considerado como um bom modelo?
Como já foi mencionado, o bom modelo é aquele que responde satisfatoriamente 
à situação-problema que representa. Contudo, Bassanezi (2004) vai além, defende 
que o bom modelo é aquele que favorece a formulação de novos modelos. Afinal, 
por mais satisfatório que se apresente, precisamos ter bem claro que nenhum 
modelo é definitivo, podendo este ser melhorado ou, até mesmo, substituído. 
Esse ponto de vista do autor Bassanezi (2004, p. 31) é defendido por ele ao 
considerar os seguintes aspectos:
Além disso, para uma mesma situação-problema, um mesmo modelo pode 
ser eficiente para uma pessoa e para outra não. Isso acontece porque o modelo 
depende do contexto ao qual está inserido, por exemplo, para uma mesma 
situação-problema, o mesmo modelo pode ser considerado “bom” por um 
químico, no sentido de ser aplicável, mas não ser considerado da mesma forma 
para um matemático. 
• Os fatos conduzem constantemente a novas situações;
• Qualquer teoria é passível de modificações;
• As observações são acumuladas gradualmente de modo 
que novos fatos suscitam novos questionamentos;
• A própria evolução da Matemática fornece novas 
ferramentas para traduzir a realidade (Teoria do Caos, 
Teoria Fuzzy etc).
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
24
Acessando o link indicado a seguir você conhecerá a Modelagem 
Matemática segundo a perspectiva de outros autores diferentes dos 
que utilizamos nesse capítulo. São eles: Burak, Caldeira, Barbosa e, 
também, Biembengut, sendo que este é utilizado no presente estudo. 
<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/
viewFile/1642/1058>. Acesso em: 15 maio 2015.
2.2 Onde a Modelagem Matemática é utilizada?
Como você está cursando licenciatura, é claro que você já imagina que 
a utilização da Modelagem Matemática destina-se à sala de aula, porém, sua 
utilização não se restringe apenas à área educacional.
Como já foi explanado, a Modelagem Matemática pode ser, de certo modo, 
compreendida como um método científico, portanto, pode ser aplicada em 
diversos ramos.
Primeiramente, vamos esclarecer que, quando falamos sobre aplicação, nos 
referimos à utilização de conceitos matemáticos visando entender ou explicar 
fenômenos reais. E o elo entre matemática e realidade é a Modelagem Matemática. 
Começaremos abordando sobre a Modelagem Matemática como método científico. 
Segundo Bassanezi (2004, p. 33), alguns pontos justificam a importância da 
Modelagem Matemática ser utilizada como instrumento de pesquisa:
• Pode estimular novas ideias e técnicas experimentais.
• Pode dar informações em diferentes aspectos dos 
inicialmente previstos.
• Pode ser um método para se fazer interpolações, 
extrapolações e previsões.
• Pode sugerir prioridades de aplicações de recursos e 
pesquisas e eventuais tomadas de decisão.
• Pode preencher lacunas onde existem falta de dados 
experimentais.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
25
• Pode servir como recurso para melhor entendimento da 
realidade.
• Pode servir de linguagem universal para compreensão e 
entrosamento entre pesquisadores em diversas áreas do 
conhecimento.
Tendo discutido sobre a Modelagem Matemática como instrumento de 
pesquisa, as principais áreas de pesquisa em que tal abordagem é empregada são:
• Física Teórica. Essa área foi impulsionada pela matemática em diversos 
aspectos, sobretudo, devido ao desenvolvimento das Equações Diferenciais 
Ordinárias (EDOs) e da Teoria dos Campos Vetoriais. Este estudo é amplamente 
utilizado em conteúdos sobre Eletricidade, Hidrodinâmica, Elasticidade e 
Magnetismo. Tal integração da Matemática aos estudos da Física Teórica teve 
como ponto de partida o desenvolvimento da Teoria da Relatividade e da Teoria 
Quântica, quando se evidenciou que os conceitos intuitivos tradicionais não eram 
suficientes para descrever e buscar entender conceitos físicos fundamentais, tais 
como espaço, tempo e matéria. 
• Química Teórica. Esta área de pesquisa objetiva entender as propriedades 
das moléculas individuais em termos de elétrons e outras partículas. Durante o 
processo desse entendimento, além das Equações Diferencias Ordinárias que são 
utilizadas para modelar velocidade de reações químicas, também são utilizadas as 
matrizes para descrever a estrutura das moléculas, além da utilização de diversos 
outros conceitos matemáticos.
• Biomatemática. Também nessa área há uma grande aplicação de 
Equações Diferenciais Ordinárias ou Parciais, entre outros conceitos matemáticos. 
Contudo, na área biológica, a dificuldade de aplicação da Matemática é maior 
se comparada à Física e à Química Teórica. Tal dificuldade está pautada no fato 
de os fenômenos estudados em Biologia, em geral, apresentarem variáveis de 
comportamentos aleatórios e sensíveis a pequenas perturbações. É nesse contexto 
que outros estudos da Matemática Pura têm se destacado como aplicação na área 
biológica: para tratar sobre fenômenos aleatórios a Teoria Fuzzy, a Teoria do Caos, 
dentre outras, tem proporcionado valiosas contribuições. Concomitantemente ao 
progresso da área biológica, devido à matematização, a própria Matemática tem se 
desenvolvido diante da complexidade dos fenômenos biológicos.
Além das três áreas destacadas, podemos ainda considerar a aplicação de 
Modelagem Matemática nas Engenharias, na Ciência da Computação, nas Ciências 
Sociais, na Economia, entre tantas áreas que estão se iniciando ou já estão se 
desenvolvendo na utilização da Matemática. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
26
1. De acordo com estudos realizados nesta seção, a 
Modelagem Matemática de uma situação ou problema real 
deve seguir procedimentos que podem ser organizados 
em etapas e subetapas distintas. Considerando essa 
abordagem, analise a afirmativa:
“A partir de uma situação-problema a ser estudada, o 
momento em que se observa os fatos, compara com outros 
estudos e se faz deduções e analogias é considerado um 
momento de ”.
É correto afirmar que a palavra que completa a afirmativa 
acima é:
a) Matematização (formulação do problema – hipótese).
b) Matematização (resolução do problema em termos do 
modelo).
c) Modelo matemático (interpretação da solução).
d) Modelo matemático (validação do modelo – avaliação).
2. Você estudou nessa seção que a Modelagem Matemática 
pode ser utilizada em diversas áreas. Uma dessas áreas é a 
Economia. Veja a seguinte situação:
“(Ulbra 2012) Preocupados com o lucro da empresa VXY, 
os gestores contrataram um matemático para modelar o 
custo de produção de um dos seus produtos. O modelo 
criado pelo matemático segue a seguinte lei: C=15000-
250n+n², onde C representa o custo, em reais, para se 
produzirem n unidades do determinado produto”.
Veja que nessa situação o modelo utilizado para representar 
a situação-problema é uma equação de 2º grau, o que ilustra 
a possibilidade de aplicação de conceitos matemáticos na 
Economia. 
Considerando a situação descrita acima e seus 
conhecimentos matemáticos, responda: quantas unidades 
deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?
a) – 625. 
b) 125. 
c) 1245. 
d) 625. 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
27
Seção 3
A modelagem matemática na perspectiva 
educacional
Introdução à seção
Após apresentar os primeiros pressupostos teóricos a respeito de Modelagem 
Matemática, bem como os procedimentos para realizar atividades com essa 
abordagem e o seu caráter de método científico, podendo, assim, ser aplicado em 
diversas áreas, vamos agora contemplar a aplicação da ModelagemMatemática 
como estratégia de ensino e de aprendizagem, ponto-chave dos nossos estudos. 
 3.1 A Modelagem Matemática no contexto escolar
Atividades de Modelagem Matemática, tal como caracterizamos nas seções 
anteriores, podem ser incluídas em aulas regulares de Matemática. Nesse contexto, 
a Modelagem Matemática se constitui como uma alternativa pedagógica, sendo 
que nesta alternativa objetivamos fazer uma abordagem matemática partindo de 
uma situação-problema que não necessariamente precisa ser matemática. 
Almeida, Silva e Vertuan (2013) defendem que características fundamentais 
podem ser evidenciadas em atividades conduzidas de acordo com a Modelagem 
Matemática nas aulas de Matemática. Estas características fundamentais podem 
ser observadas na figura a seguir:
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
28
CARACTERÍSTICAS
Envolve um conjunto 
de ações cognitivas do 
indivíduo

É direcionada 
para objetivos e metas 
estabelecidas e/ou reconhecidas 
pelo aluno
Envolve a representação 
e manipulação de objetos 
matemáticos
 
Figura 1.4 | Características fundamentais evidenciadas em atividades de Modelagem 
Matemática
FONTE: A autora (2015) 
Vamos entender essas características fundamentais: quando o aluno se envolve 
com uma situação real (situação-problema), o primeiro passo é identificar suas 
intenções e evidenciar suas limitações para desenvolver uma atividade envolvendo 
tal situação. Nesse momento, o aluno começa a colocar em prática ações 
cognitivas implícitas e explícitas. 
As ações cognitivas implícitas são aquelas manifestadas por meio de 
procedimentos, enquanto que as ações explícitas são manifestadas por meio de 
representações simbólicas. Tais ações são colocadas em ação devido à necessidade 
do aluno em apresentar e explicar a situação-problema que está sendo estudada e 
para qual se visa obter uma resposta. 
Diante da situação-problema, o primeiro passo do aluno é investigar essa 
situação para tentar compreendê-la. Nesse momento, o aluno começa a construir 
representações mentais da situação e estas são essenciais para auxiliar o aluno a 
compreender e atribuir significados para a situação-problema. Assim, identificamos 
duas ações cognitivas: representação mental e compreensão da situação.
A partir das informações sobre a situação-problema, o aluno buscará definir 
metas para a sua resolução e, nesse momento, a ação cognitiva que podemos 
destacar é a estruturação da situação.
Ao definir essas metas, o aluno já começa a compreender a situação-problema 
numa perspectiva matemática. Assim, podemos considerar que tal “[...] estruturação 
é mediada por conhecimentos e habilidades que levam à identificação de 
regularidades e relações até então desconhecidas” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 
2013, p. 18).
Perceba que este momento de estruturação, baseado em conhecimentos e 
habilidades matemáticas, corresponde à ação cognitiva que leva ao nome da etapa 
de Modelagem Matemática: matematização. Nesse momento, o aluno busca 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
29
associar as informações e compreensões que possui sobre a situação-problema 
aos conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos que conhece e que se 
mostram adequados para representar em linguagem matemática a situação-
problema. Sendo assim, essa ação cognitiva envolve a construção e resolução de 
um modelo matemático que represente a situação-problema. 
Para que tudo isso seja possível, é imprescindível que o aluno domine técnicas e 
procedimentos matemáticos e, além disso, seja capaz de coordenar representações 
diferentes referentes a um mesmo objeto matemático. Nesse momento, a ação 
cognitiva colocada em ação é denominada de síntese.
É evidente que não é uma tarefa fácil realizar essa coordenação entre 
representações, por isso destacamos o papel essencial de recursos tecnológicos, 
sobretudo, o uso de softwares. 
A próxima ação cognitiva é a interpretação e validação, que é caracterizada 
por um momento de comparações ente ideias e articulação entre conhecimentos 
diversos. Assim, é realizada uma análise da representação matemática (modelo) 
referente à situação-problema, não apenas quanto aos procedimentos matemáticos, 
mas, principalmente, com relação ao modelo apresentar-se adequado ou não para 
representar a situação-problema. 
O ponto culminante da atividade de Modelagem Matemática é a comunicação, 
ou seja, tendo passado por todas as etapas anteriormente descritas, é chegado o 
momento em que o aluno deverá comunicar os resultados obtidos a outros com o 
intuito de estabelecer uma argumentação de convencimento de que os resultados 
alcançados são consistentes e adequados. 
A figura a seguir ilustra as ações cognitivas dos alunos, as quais foram 
mencionadas e destacadas no texto que você acabou de estudar e, evidencia, 
ainda, por meio dessa ilustração, a relação destes com as diversificadas fases do 
desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática.
No decorrer dessa seção comentamos diversas vezes sobre 
“objeto matemático”. Você sabe o que é isso? Reflita sobre o que 
pode ser considerado como objeto matemático e, em seguida, 
realize uma pesquisa para descobrir exatamente o que significa 
e o que envolve.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
30
Figura 1.5 | Ações cognitivas dos alunos e sua relação com as fases de Modelagem 
Matemática
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 19).
Até agora falamos sobre as ações cognitivas do aluno durante 
atividade de Modelagem Matemática. Mas, afinal, qual a 
finalidade e importância da atividade de Modelagem Matemática 
no contexto escolar?
Há muito tempo que os conceitos matemáticos estudados em sala de aula 
perderam o sentido, pois são, em geral, ensinados de maneira mecânica, pautados 
em algoritmos, técnicas e procedimentos sem nenhuma conexão com a realidade. 
Nesse aspecto, a Modelagem Matemática pode contribuir para trazer à tona 
a motivação na aprendizagem de Matemática, uma vez que conduz o estudante 
a se envolver em uma proposta investigativa, tendo como ponto inicial situações 
fenomenológicas. 
Desse modo, o estudante passa a aprender Matemática de maneira mais 
próxima ao que ocorreu no processo histórico de construção dessa ciência: ao 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
31
invés de aprender Matemática da maneira tradicional, por exemplo, aprender 
um teorema na graduação seguindo o modelo “enunciado – demonstração – 
aplicação”, com a Modelagem Matemática essa aprendizagem ocorre ao contrário, 
como se estivesse “redescobrindo” a teoria. Nessa perspectiva, partindo-se de 
uma motivação, seja esta interna ou externa à Matemática, levanta-se e valida-se 
hipóteses e questionamentos para chegar ao enunciado. 
É nesse sentido que alternativas pedagógicas, tais como a Resolução de 
Problemas e a Modelagem Matemática, têm sido amplamente defendidas pelos 
envolvidos com a Educação Matemática. O principal intuito é promover um ensino 
de Matemática de maneira significativa a partir da realidade. 
Entretanto, ainda que tenhamos argumentos favoráveis com relação à utilização 
da Modelagem Matemática, ainda existem aqueles que impõem obstáculos para 
seu uso, sobretudo, em cursos regulares. Dentre tais obstáculos, estes podem 
ser classificados de acordo com três tipos, de acordo com Bassanezi (2004): 
instrucionais, para os estudantes e para os professores.
Vamos entender cada um desses obstáculos:
• Obstáculos instrucionais: já sabemos que todo curso regular possui um 
programa, o qual deve ser cumprido totalmente. Como já foi estudado sobre os 
procedimentos de atividade de Modelagem Matemática podemos entender que 
uma atividade nessa abordagem demanda muito tempo, o que pode acarretar no 
não cumprimento de todo o programa.
• Obstáculos para os estudantes: a utilização da Modelagem Matemática 
precisa ser bem orientada e,para isso, o professor precisa se sentir confiante e 
estar bem preparado para conduzir esse tipo de atividade. Caso contrário, como 
a utilização da Modelagem Matemática difere da rotina tradicional de estudos do 
estudante, esta pode se tornar responsável por gerar um sentimento apático às 
aulas. Nossos alunos estão acostumados a terem o professor como o centro do 
processo educativo, sendo ele o detentor e transmissor do conhecimento e os 
alunos apenas receptores e reprodutores do que lhes é transmitido.
Quando o aluno se vê como centro de todo o processo de ensino e de 
aprendizagem, sendo o principal responsável pela dinâmica desse processo e 
pelos resultados que serão obtidos, é inevitável que a aula ocorra mais lentamente. 
Além disso, as salas de aula, em geral, são compostas por alunos com formação 
heterogênea, o que dificulta o relacionamento entre conhecimentos teóricos (que são 
em níveis diferentes) e situação-problema prática e real. Ainda, por se tratar de turmas 
heterogêneas, algo comum que pode ocorrer é que a temática da situação-problema 
que engendrará a atividade de Modelagem Matemática não seja de interesse de uma 
parcela dos estudantes, provocando nestes o desinteresse pela atividade.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
32
• Obstáculos para os professores: muitos professores se sentem 
despreparados para desenvolver atividades de Modelagem Matemática em suas 
turmas. Essa insegurança é justificada, basicamente, por dois motivos: ou o 
professor não tem conhecimento sobre o que é e como desenvolver uma atividade 
na perspectiva da Modelagem Matemática, ou tem medo de se envolver em uma 
situação embaraçosa em que não conseguirá aplicar conhecimentos matemáticos 
em áreas que para ele são totalmente ou parcialmente desconhecidas. Ainda, 
relacionado ao obstáculo instrucional, o professor teme que o desenvolvimento 
de uma atividade de Modelagem Matemática demande muito tempo de suas aulas, 
prejudicando que ele consiga cumprir o programa do curso. 
Você deve estar se perguntando agora: tendo em vista a importância da 
Modelagem Matemática no âmbito escolar e ponderando os obstáculos 
mencionados, de que maneira seria possível utilizar a modelagem nos cursos 
regulares, contornando (ou até mesmo enfrentando) esses obstáculos?
Bassanezi (2004) defende que uma alternativa seria modificar o clássico 
processo de Modelagem Matemática: ter como ponto de partida momentos de 
sistematização do conteúdo, bem como propor analogias constantes entre o que 
foi estudado com outras situações-problemas. 
Ainda, de acordo com o autor, a Modelagem Matemática “no ensino é apenas uma 
estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente 
a um modelo bem-sucedido, mas caminhar seguindo etapas onde o conteúdo 
matemático vai sendo sistematizado e aplicado” (BASSANEZI, 2004, p. 38). 
Nesse contexto, a Modelagem Matemática passa a ser encarada como uma 
estratégia de ensino e de aprendizagem de Matemática, passando a receber o 
nome de Modelação Matemática. 
3.2 Modelagem Matemática e Modelação Matemática: qual a diferença?
Você estudou o que é a Modelagem Matemática. Mas, e Modelação Matemática, 
o que é isso?
A Modelação Matemática corresponde ao método que utiliza a essência da 
modelagem em cursos e programas regulares. Em outras palavras, a Modelação 
Matemática orienta-se por desenvolver o conteúdo previsto, partindo de um tema 
ou modelo matemático, constituindo-se como modelagem em educação. 
Uma diferença que já podemos apontar entre a Modelação e a Modelagem 
Matemática é que no primeiro a validação de um modelo não é considerada 
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
33
como uma etapa prioritária, isso porque os modelos obtidos não é o foco, mas 
sim “o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural” 
(BASSANEZI, 2004, p. 38).
Nesse sentido, o mais importante não é o fenômeno modelo, mas é fazer uso 
deste para motivar o aprendizado de objetos matemáticos.
 Biembengut e Hein (2013, p. 18-19) apresentam alguns objetivos da Modelação 
Matemática como método de ensino e de aprendizagem de Matemática, desde o 
nível mais elementar até o mais avançado:
Os autores sugerem que, ao implementar a proposta de modelação matemática, 
cinco passos precisam, necessariamente, serem seguidos:
• Diagnóstico: é preciso fazer um levantamento entre os alunos, 
contemplando quantos serão envolvidos na atividade, o horário da disciplina, a 
realidade socioeconômica e os principais interesses dos alunos como forma de 
direcionar o melhor tema que poderá ser proposto, o nível de conhecimento 
matemático dos estudantes, a disponibilidade dos alunos para que seja possível 
realizar um trabalho extraclasse etc.
• Escolha do tema ou modelo matemático: ao desenvolver o conteúdo 
programático, parte-se de um tema para cada tópico do conteúdo ou do 
programa de determinado período letivo. Contudo, se um tema for abrangente e 
interessante, é possível utilizar um único tema para todo o período. Este tema pode 
ser escolhido pelo professor ou pelos alunos.
• Desenvolvimento do conteúdo programático: o desenvolvimento segue 
as mesmas etapas e subetapas do processo de modelagem que já foi mencionado: 
interação (reconhecimento da situação-problema e familiarização), matematização 
Os objetivos são:
• aproximar uma outra área do conhecimento da 
Matemática;
• enfatizar a importância da Matemática para a formação do 
aluno;
• despertar o interesse pela Matemática ante a aplicabilidade;
• melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;
• desenvolver a habilidade para resolver problemas; e
• estimular a criatividade.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
34
(formulação e resolução do problema) e modelo matemático (interpretação e validação). 
Vamos entender cada uma dessas etapas e subetapas, agora, na Modelação 
Matemática:
Figura 1.6 | Etapas e subetapas no processo de Modelação Matemática
se suscita
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
35
Finalizadas as etapas e subetapas elencadas, é possível formular novo modelo, 
caso o tema ainda continue sendo de interesse dos alunos. Para isso, elabora-se 
uma segunda questão e seguem-se novamente os passos descritos. 
Segundo Biembengut e Hein (2013), o principal objetivo de desenvolver 
atividades de Modelagem Matemática em sala de aula é conduzir os alunos à 
aprendizagem de criar modelos matemáticos e, consequentemente, aprimorar 
seus conhecimentos. Ainda de acordo com esses autores, o que se espera por 
meio da Modelagem Matemática é:
Contudo, o professor precisa ter cuidado com a maneira que irá integrar o 
trabalho com Modelagem Matemática ao programa regular. As atividades de 
Modelagem Matemática não podem simplesmente ser realizadas de maneira não 
diretiva, sem uma finalidade clara e sem planejamento. As atividades precisam ser 
realizadas, tendo em vista enriquecer a aprendizagem de conceitos estudados 
e, portanto, precisa ser muito bem planejado o tempo que o professor precisará 
disponibilizar para desenvolver atividades de Modelagem Matemática, que objetivos 
pretende atingir, qual o momento ideal para desenvolver tal abordagem (antes ou 
depois de trabalhar determinado conteúdo) etc. 
• incentivar a pesquisa;
• promover a habilidade em formular e resolver problemas;
• lidar com tema de interesse;
• aplicar o conteúdo matemático; e
• desenvolver a criatividade (BIEMBENGUT; HEIN, 2013, p. 
23).
FONTE: A autora (2015)
outras
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
36
Em suma, o que podemos entender por Modelação Matemática, diferenciando-a 
da Modelagem Matemática, é que, por meio desta última, podemos nos deparar 
com situações que dificultam o desenvolvimento de atividades na sala de aula 
como, por exemplo, o professor ter a obrigaçãode acompanhar constantemente 
o tema escolhido por cada aluno (ou cada grupo de alunos) e o fato de nem 
sempre as ferramentas matemáticas necessárias para determinada atividade 
estarem ao alcance do aluno e, até mesmo, do professor. Nesse sentido, para 
que seja possível desenvolver atividades de Modelagem nas aulas de Matemática, 
foi preciso realizar algumas adaptações para que a Modelagem pudesse ser 
considerada como metodologia de ensino e de aprendizagem, porém sem perder 
suas características próprias. É essa metodologia adaptada da Modelagem que 
chamamos de Modelação Matemática. 
Na Modelação Matemática, uma das opções disponíveis ao professor consiste 
em escolher modelos, fazendo sua recriação na sala de aula, junto aos alunos 
e de acordo com os conteúdos abordados. Tais modelos podem ser utilizados 
para melhorar a capacidade dos estudantes em aplicar conceitos matemáticos, 
mas nada impede que a Modelagem seja utilizada como processo para ensinar 
conceitos matemáticos.
Os autores Biembengut e Hein (2013) esclarecem que, para implementar 
um trabalho com Modelação Matemática em sala de aula, o professor precisa, 
primeiro, ter disposição e vontade de modificar sua prática e de aprender cada vez 
mais. Além disso, os autores esclarecem que não basta ler e estudar teorias sobre 
o assunto, pois a segurança em desenvolver este tipo de trabalho só é adquirida 
com a experiência. 
Algumas orientações para aqueles professores que se iniciarão na proposta de 
atividades de Modelação Matemática são:
Figura 1.7 | Orientações para as atividades de modelação matemática
Conhecer alguns modelos clássicos por meio da literatura a respeito da 
história da ciência ou da ciência contemporânea, adaptando-os para a 
sala de aula; ou
Apresentar cada um dos conteúdos do programa a partir de modelos 
matemáticos de outras áreas do conhecimento (Física, Química, 
Economia, dentre outras); ou
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
37
Aplicar trabalhos ou projetos realizados por outros colegas, por tempo 
curto, com uma única turma e de preferência aquela cujo conteúdo se 
tem melhor domínio; ou
Para os alunos, propor que busquem exemplos ou tentem criar seus 
próprios modelos, sempre a partir da realidade. 
FONTE: Biembengut e Hein (2003, p. 30).
Acesse o link indicado a seguir e leia o artigo “Modelagem Matemática 
na formação de professores: possibilidades e limitações” e saiba 
mais sobre as possibilidades e as limitações de professores e futuros 
professores em aprender Modelagem Matemática para utilizá-la 
como método de ensino.
<http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2009/anais/
pdf/2120_1094.pdf>. Acesso em: 15 maio 2015.
Quanto à familiarização dos estudantes com atividades de Modelagem 
Matemática, Almeida, Silva e Vertuan (2013) conjecturam três diferentes “momentos”, 
considerando que essa familiarização deve ocorrer de modo gradativo:
• 1º momento: o professor coloca à disposição do aluno uma situação-
problema e diversas informações a respeito dela. Em seguida, os procedimentos 
de matematização (formulação de hipóteses, simplificação, tradução da linguagem 
natural para a linguagem matemática etc.), assim como a validação do modelo, 
são acompanhados constantemente pelo professor.
• 2º momento: o professor sugere uma situação-problema para seus alunos 
e estes, neste momento, em grupos, se mostrarão mais independentes do professor 
no que diz respeito à definição de procedimentos extramatemáticos e matemáticos 
que são adequados para a situação-problema. Estes procedimentos correspondem 
à formulação de hipóteses, obtenção e validação do modelo e sua utilização para 
descrever e responder à questão gerada a partir da situação-problema.
Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de matemática
U1
38
• 3º momento: ainda em grupos, nesse momento, os alunos serão 
responsáveis pela condução de uma atividade de Modelagem Matemática, cabendo 
a eles todo o processo compreendido entre a identificação de uma situação-
problema até a análise e resposta à situação por meio de modelo matemático, 
cabendo aos alunos, ainda, a comunicação dos resultados da investigação para a 
comunidade escolar. 
Ainda que tenhamos apresentados esses três momentos, não defendemos que 
estes devem ser seguidos criteriosamente, mas são sugestões para desenvolver 
um trabalho gradativo de familiarização dos alunos com a Modelagem Matemática, 
momentos estes que se mostraram adequados em algumas experiências já 
realizadas (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013). 
Para iniciar uma atividade de Modelagem Matemática no âmbito escolar, 
não basta o professor se suprir de conhecimentos teóricos, pois a segurança 
em desenvolver esse trabalho é advinda, sobretudo, da experiência. Além disso, 
não basta apenas o professor receber formação para lidar com a Modelagem 
Matemática: o aluno, do mesmo modo, precisa ser formado gradativamente 
no sentido de adquirir habilidades para se envolver de forma cada vez mais 
independente com atividades de Modelagem Matemática. 
3.3 Avaliação da aprendizagem
Tendo estudado as diferenças entre Modelação e Modelagem Matemática, e 
sabendo que, ao desenvolver propostas nesse âmbito, em sala de aula, é preciso 
que o trabalho seja bem planejado e diretivo, faz-se necessário discutirmos sobre 
como realizar uma avaliação tendo em vista evidenciar se os objetivos traçados 
para a atividade de Modelagem Matemática foram alcançados.
 Lembrando que, além de avaliar a aprendizagem do aluno, é essencial que seja 
realizada uma avaliação da própria prática, afinal, muitas vezes a abordagem do 
professor pode dificultar o processo de aprendizagem, não cabendo a culpa pelo 
fracasso apenas ao aluno. 
Nesse sentido, dois aspectos precisam, necessariamente, ser contemplados no 
processo avaliativo: o trabalho do professor, o qual pode ser redirecionado por 
essa avaliação, e o nível de aprendizado do aluno. 
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Ao avaliar o nível de aprendizado dos alunos que se envolvem (ou se envolveram) 
com atividade de Modelagem Matemática, o professor precisa considerar dos 
aspectos: subjetivo e objetivo.
O aspecto subjetivo corresponde à avaliação pautada nas observações do 
professor. Nesse quesito, o professor precisa ficar atento para observar, registrar 
e avaliar tudo o que diz respeito ao empenho do aluno, tal como participação, 
assiduidade e cumprimento de tarefas propostas.
No aspecto objetivo, o professor pode contar com o auxílio de instrumentos, 
como provas escritas, exercícios, ente outros, considerando os seguintes critérios 
elencados por Biembengut e Hein (2013):
• Produção e conhecimento matemático: nesse critério contemplam-
se os conhecimentos matemáticos específicos que devem ser explicitados e 
manifestados, tais como expressão por meio de gráficos e interpretação destes, 
raciocínio lógico, operacionalização de problemas numéricos etc.
• Produção de um trabalho de modelagem em grupo: nesse critério 
contemplam-se os desempenhos manifestados pelos estudantes em relação ao 
grupo durante desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática: qualidade 
de questionamentos, obtenção de informações e dados sobre a situação-problema, 
exposição oral e escrita do trabalho etc.
• Extensão e aplicação do conhecimento: nesse critério contemplam-se as 
habilidades dos estudantes em sintetizar, compreender e expressar os resultados 
matemáticos obtidos, bem como analisar e interpretar de maneira crítica outros 
modelos utilizados. 
Perceba que o papel do professor em avaliar é bastante complexo, pois diversos 
fatores estão envolvidos e diversos critérios precisam ser contemplados. Além 
disso, é muito importante que esses critérios de avaliação sejam esclarecidos para 
o estudante antes de dar início ao processo avaliativo.
De que maneira você acredita que pode ser realizada a avaliação 
da aprendizagem do aluno durante e após o envolvimentocom 
atividade de Modelagem Matemática? E que maneiras você julga 
mais eficientes para esse fim?
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1. De acordo com os estudos realizados nessa unidade, 
vimos que a Modelagem Matemática consiste na arte 
de transformar problemas da realidade em problemas 
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções 
na linguagem do mundo real. Além disso, vimos que 
a Modelagem Matemática pode ser entendida como 
um método científico de pesquisa, mas, também, pode 
ser entendida como uma estratégia de ensino e de 
aprendizagem. Quando considerada como estratégia de 
ensino e de aprendizagem, a modelagem é denominada 
modelação matemática. No que diz respeito à modelação 
matemática, assinale a opção correta:
a) A modelação matemática parte de problemas teóricos 
da própria Matemática e tenta modelá-los a partir de um 
conjunto de procedimentos.
b) A modelação matemática não considera que a validação 
do modelo é a etapa prioritária, mas considera que o mais 
importante é o processo utilizado, a análise crítica e sua 
inserção no contexto sociocultural.
c) A modelação matemática tem por objetivo levar 
o indivíduo a aplicar conceitos puros e abstratos da 
Matemática, não tendo como foco a preparação desse 
indivíduo para a vida real como cidadão competente 
para entender exemplos representativos de aplicações de 
conceitos matemáticos.
d) A modelação matemática tem por objetivo o 
desenvolvimento de novas técnicas e teorias matemáticas.
2. Sobre o uso da Modelagem Matemática na sala de aula, 
analise as afirmativas a seguir:
I- Os resultados na sala de aula podem ser muito ricos, no 
entanto, dependem de uma preparação do professor para 
evitar que ocorra uma prática não diretiva, sendo que essa 
preparação não depende apenas de um estudo teórico, 
mas de experiências. 
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II- A avaliação na Modelagem Matemática deve atribuir um 
significado especial ao desempenho do aluno, ponderando 
não apenas os conhecimentos matemáticos apreendidos, 
mas a compreensão da importância do modelo matemático, 
sua assiduidade e participação durante a atividade e as 
observações do professor.
III- Para que o aluno possa se familiarizar com a atividade 
de Modelagem Matemática, a melhor opção é o professor 
propor um texto teórico para que o aluno aprenda o que 
é e como é desenvolvida uma atividade de Modelagem 
Matemática para, em seguida, deixá-lo escolher uma 
situação-problema, realizar todos os procedimentos de 
modelagem e validar esse modelo, sem ser necessária a 
mediação direta do professor. 
Estão corretas as afirmativas: 
a) I e II .
b) II e III.
c) I e III.
d) I, II e III.
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Seção 4
Implicações da modelagem matemática no 
processo de aprendizagem
Introdução à seção
No decorrer dessa unidade já foram, de certo modo, explicitadas algumas 
implicações positivas sobre a utilização da Modelagem Matemática no processo 
de ensino e de aprendizagem. 
Vamos, agora, discutir mais especificamente as principais implicações da 
Modelagem Matemática na sala de aula.
4.1 Importância da utilização da Modelagem Matemática na sala de aula
Como já foi estudado, a Modelagem Matemática fomenta muitas contribuições 
em diversas áreas. Na perspectiva educacional, por meio da integração de 
modelos matemáticos, a Modelagem Matemática contribui para conduzir os 
alunos a investigarem o “porquê” e o “como” desses modelos e para compreender 
a relevância destes para a situação-problema proposta e para a apreensão de 
conceitos matemáticos. 
A atividade de Modelagem Matemática na sala de aula pode ter dois objetivos: 
didática ou conceitual. O primeiro objetivo (didática) refere-se à atividade de 
Modelagem Matemática, que tem por finalidade desencadear a aprendizagem de 
Matemática; enquanto que o segundo objetivo (conceitual) refere-se à atividade 
de Modelagem Matemática, que tem em vista introduzir ou sistematizar conceitos 
matemáticos. 
As atividades de Modelagem Matemática contribuem, entre tantos outros 
aspectos, no processo de ensino e de aprendizagem de conceitos matemáticos 
por meio de aplicações desses conceitos em situações-problemas reais, 
extramatemáticos, os quais podem ser observados e até vivenciados pelo aluno 
fora do ambiente escolar. 
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Nesse sentido, as atividades de Modelagem Matemática proporcionam ao 
aluno, sobretudo da Educação Básica, diversos aspectos que o motivam a aprender 
Matemática. É sobre esses aspectos que abordaremos na sequência.
4.1.1 Aspecto relacionado à motivação a partir do estabelecimento de relações 
entre Matemática e vida real
Um dos fatores que certamente prejudica o processo de aprendizagem em 
Matemática e provoca nos estudantes um sentimento de aversão pela disciplina é 
a maneira como ela é ensinada: de maneira desvinculada da realidade. 
A Modelagem Matemática pode ser considerada como alternativa para 
minimizar tais problemas, uma vez que aproxima Matemática da realidade ao 
aplicar conceitos dessa área em situações-problemas advindas de fenômenos 
reais, sendo esses fenômenos pautados nos interesses dos alunos. Dessa forma, a 
compreensão de objetos matemáticos é facilitada, uma vez que o aluno se sente 
motivado em aprender, ao perceber que há aplicação da Matemática estudada na 
sala de aula em situações reais, inclusive em situações que envolvem outras áreas 
do conhecimento. 
Para exemplificar este aspecto, podemos considerar o caso em que o aluno 
consegue compreender o efeito de um medicamento no organismo, o qual “[...] 
vai diminuindo no decorrer do tempo e tende mesmo a desaparecer, no entanto, o 
aluno não associa esse fato ao conceito de uma função decrescente apresentada 
pelo professor” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 31).
4.1.2 Aspecto relacionado ao uso de computadores no ensino de Matemática
Sabemos que as tecnologias são essenciais nos dias de hoje e que estão cada 
vez mais presentes na vida cotidiana de todas as pessoas, inclusive e, sobretudo, 
na vida dos alunos da contemporaneidade. 
Durante uma atividade de Modelagem Matemática é possível se deparar com 
situações em que fica difícil analisar ou validar um modelo por meio de cálculos, 
procedimentos e representações realizados manualmente e, nesse sentido, as 
tecnologias, em especial os computadores, podem auxiliar nesse processo. Sendo 
assim, a tecnologia é uma integração importante e necessária na maioria das 
atividades de Modelagem Matemática. 
Atualmente, são inúmeros os softwares disponíveis e que possibilitam a 
construção de gráficos, a realização de cálculos e a observação da influência de 
parâmetros. Assim, essas tecnologias permitem que o aluno tenha melhor contato 
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visual e experimental sobre o comportamento de um modelo considerado em 
uma atividade de Modelagem Matemática. 
Dentre as justificativas para a integração de tecnologias nas atividades de 
Modelagem Matemática, destacamos na figura a seguir três justificativas:
Assim, em suma, podemos considerar que a integração de tecnologias na atividade 
de Modelagem Matemática possibilita interagir fatos reais com o conteúdo matemático 
estudado em sala de aula. Dessa forma, as tecnologias somadas às atividades de 
Modelagem Matemática potencializam a motivação do aluno em aprender, pois 
possibilitam explicitar uma ligação entre realidade e conhecimento teórico. 
4.1.3 Aspecto relacionado ao trabalho cooperativo
Para que seja possível haver aprendizagem em Matemática, além do 
estabelecimento de relações entre os objetos relativos a essa disciplina e refletir 
sobre a própria atividade matemática querealiza, é essencial que o aluno negocie 
Possibilita lidar com 
situações-problemas mais 
complexas e fazer uso 
de dados reais, ainda que 
estes sejam em grande 
quantidade ou assumam 
valores muito grandes.
Permite que a maior parte dos 
esforços se concentre nas 
ações cognitivas associadas 
ao desenvolvimento da 
atividade de modelagem, 
considerando que a realização 
de cálculos, de aproximações 
e de representações gráficas 
são mediadas pelo uso do 
computador.
Possibilita lidar com as 
situações-problemas por meio 
de simulações numéricas ou 
gráficas, variando parâmetros 
nas representações gráficas e 
(ou) algébricas.
Figuras 1.9 | Justificativas para a utilização de tecnologias na Modelagem Matemática
FONTE: Almeida, Silva e Vertuan (2013, p. 32). 
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significados matemáticos com outras pessoas.
Se pensarmos nas ações de ensinar e aprender em sala de aula, podemos 
perceber que tais atos são constituídos por comunicação, interação e negociação 
de significados. Nesse sentido, “[...] aprender é uma experiência pessoal, mas que 
se dá em contextos sociais e cercados de relações interpessoais” (ALMEIDA; SILVA; 
VERTUAN, 2013, p. 32).
Para que sejam estabelecidas interações de qualidade, as atividades 
desenvolvidas pelos estudantes podem influenciar significativamente, e é nesse 
intuito que a Modelagem Matemática se constitui como uma atividade profícua 
para estabelecer relações. Afinal, a atividade desenvolvida nesse contexto permite 
e depende da interação entre alunos, entre aluno e professor e, até mesmo, 
entre aluno e sociedade, uma vez que é nela que as situações-problemas, que 
engendram a atividade de Modelagem Matemática, têm origem. 
Vale destacar que a aprendizagem nesse âmbito consiste, sobretudo, no fato 
de que durante atividade de Modelagem Matemática os alunos envolvidos buscam 
atingir um mesmo objetivo, muitas vezes alcançado por caminhos diferentes, os 
quais são discutidos entre eles, proporcionando melhor apreensão dos conceitos 
matemáticos envolvidos na atividade.
4.1.4 Aspecto relacionado ao desenvolvimento do conhecimento crítico 
reflexivo
O conhecimento crítico e reflexivo, para o qual a atividade de Modelagem 
Matemática proporciona fortes contribuições, conduz o estudante a ampliar e 
refinar sua visão de mundo, permitindo-o se “enxergar” em seu próprio contexto 
social (SKOVSMOSE, 2001). 
Na atividade de Modelagem Matemática em si, o conhecimento crítico e reflexivo 
contribui para a interpretação e a discussão de modelos matemáticos, ponderando 
suas características sociais concomitantemente aos conhecimentos matemáticos 
envolvidos. Considerando que esses modelos são oriundos de situações-problemas 
reais, podemos afirmar que, do mesmo modo, o conhecimento reflexivo traz 
contribuições para o aluno em sociedade, no sentido que o auxilia na tomada de 
decisões e em suas atitudes. 
 Assim, podemos afirmar que os modelos matemáticos de uma atividade de 
Modelagem Matemática não são neutros, pois carregam em si grande aporte social 
e, portanto, muito mais do que aprender conceitos matemáticos, o aluno reflete, 
reage e age criticamente sobre a situação-problema com a qual se envolve.
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4.1.5 Aspecto relacionado à utilização de diferentes registros de representação
Se você refletir sobre a aprendizagem de Matemática, perceberá que o 
conhecimento nessa disciplina só é possibilitado por meio de representações, que 
podem ser gráficas, tabulares, algébricas, em linguagem natural etc. 
Sendo assim, as representações estão associadas à compreensão, à atribuição 
de significados e ao conhecimento em Matemática, sendo que estes estão pautados 
na identificação das diferentes representações relacionadas a um mesmo objeto 
matemático. 
Ainda mais nos conceitos mais abstratos da Matemática, suas representações 
possibilitam ao aluno interagir com esses conceitos e conhecer suas principais 
características. 
Duval (2003) defende que as diversificadas representações de um mesmo 
objeto matemático são essenciais para a compreensão deste. Esses diferentes 
tipos de representações (figuras, gráficos, tabelas, linguagem natural, linguagem 
algébrica etc.) o autor denomina de “Registros de Representação Semiótica”. 
De acordo com Duval (2003), para que um sistema de signos seja considerado 
como registro de representação semiótica é preciso:
• Que a representação seja identificável, ou seja, deve ser possível reconhecer 
na representação aquilo que ela representa.
• Que o tratamento ocorra dentro de um mesmo sistema de registro. Por 
exemplo:
No exemplo acima, temos a simplificação de uma expressão aritmética que 
pode ser considerada como tratamento, pois as transformações ocorrem, desde 
o início até o fim, em um mesmo registro: no registro aritmético. 
• Que a conversão ocorra. A conversão implica a transformação de um 
registro de representação de um objeto matemático em outro, sendo, portanto, 
uma transformação externa ao registro inicial. Por exemplo:
{2+5-[7-(3-1)]}=
={2+5-[7-2]}=
={2+5-5}=
={7-5}=
=2.
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Figura 1.9 | Conversão entre registros de representação semiótica
FONTE: Adaptado de Vertuan (2007, p. 24)
Na figura acima temos a conversão entre registros de representação semiótica. 
A primeira conversão é da linguagem algébrica para a linguagem tabular, e a 
segunda conversão é da linguagem tabular para a gráfica, portanto, são registros 
diferentes, mas que se referem a um mesmo objeto matemático: função polinomial 
do terceiro grau. 
 Contudo, é à coordenação entre registros que Duval (2003) atribui a 
responsabilidade principal pela compreensão de objetos matemáticos, pois essa 
consiste em “[...] mobilizar, simultaneamente, dois ou mais registros associados a 
um mesmo objeto matemático, identificando características do objeto em cada um 
dos registros” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 35). Assim, é possível evidenciar 
características em um registro que não são evidenciados em outro, portanto, estes 
registros se complementam.
Nesse contexto, a Modelagem Matemática se apresenta como uma atividade 
potencial “[...] no que diz respeito à investigação sobre a compreensão de objetos 
matemáticos que se fazem presentes nas situações de modelagem a partir da 
coordenação entre os diferentes registros de representação associados aos 
objetos” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2013, p. 35).
4.1.6 Aspecto relacionado à ocorrência de aprendizagem significativa
Ausubel (1980), em sua teoria sobre Aprendizagem Significativa, argumenta que 
uma nova aprendizagem só ocorre a partir daquilo que o aluno já sabe. Isso é o que o 
autor chama de “subsunçores”, mas que conhecemos como “conhecimentos prévios”.
Partindo desse pressuposto, o autor considera que, para o ensino conduzir o 
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aluno a uma aprendizagem significativa, é necessário cumprir as condições básicas:
• Organizar material didático potencialmente significativo.
• Os conhecimentos prévios dos alunos devem permitir a relação entre o 
que eles já sabem com os novos conhecimentos.
• O aluno precisa se apresentar predisposto positivamente para aprender de 
maneira significativa.
Essas condições básicas indicadas por Ausubel (1980) e elencadas acima são 
características presentes nas atividades de Modelagem Matemática. 
Tendo realizado os estudos desta seção, reflita e dê sua opinião: 
quais as implicações da modelagem matemática no processo de 
aprendizagem?
Acessando o link a seguir você lerá um artigo em que se discutem 
as possíveis relações entre a perspectiva sociocrítica da Modelagem 
Matemática (que apresentamos uma breve abordagem no item 
4.1.4.) e a aprendizagem significativa:
<http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID281/v17_n1_a2012.