5 09 EXE Análise de vigas e pórticos

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Análise de vigas e pórticos
• Determinar as reações de apoio de um pórtico hiperestático pelo método dos esforços
Objetivos da Aula
Exercício
• Determinar as reações de apoio do pórtico abaixo. Dados: 𝐸𝐼 = 50000𝑘𝑁𝑚2. Considerar apenas 
deslocamentos em função do momento fletor.
Exercício
• Hiperestáticos: 2
• Sistema principal:
o Vínculos eliminados: rotação em 1 e deslocamento horizontal em 4
Exercício
• Caso 0:
Exercício
• Caso 0:
• Diagrama de corpo livre (DCL)
Exercício
• Caso 0:
• Cálculo das reações de apoio
• σ𝐹𝑥 = 0
𝐻10 + 2 ∗ 7 = 0
𝐻10 = −14𝑘𝑁
• σ𝑀1 = 0
𝑉40 ∗ 2 − 2 ∗ 7 ∗ ൗ
7
2 = 0
𝑉40 = 24,5𝑘𝑁
• σ𝐹𝑦 = 0
𝑉10 + 24,5 = 0
𝑉10 = −24,5𝑘𝑁
Convenção de sinais
Exercício
• Caso 0:
• Cálculo do momento fletor  Referência: parte interna do pórtico
• Barra 1-2
𝑀 𝑥 = 14𝑥
𝑀 0 = 0,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 5 = 70𝑘𝑁𝑚
• Barra 3-4
𝑀 𝑥` = 2 ∗ 𝑥` ∗ ൗ𝑥` 2 = 𝑥`
2
𝑀 0 = 0,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 7 = 49𝑘𝑁𝑚
• Barra 2-3
Variação linear entre 70kNm e 49kNm
70 − 49 = 21𝑘𝑁𝑚
𝐻10 = −14𝑘𝑁
𝑉10 = −24,5𝑘𝑁
𝑉40 = 24,5𝑘𝑁
Exercício
• Caso 0:
• Diagrama de momento fletor
𝐻10 = −14𝑘𝑁
𝑉10 = −24,5𝑘𝑁
𝑉40 = 24,5𝑘𝑁
Exercício
• Caso 1:
Exercício
• Caso 1:
• Diagrama de corpo livre (DCL)
Exercício
• Caso 1:
• Cálculo das reações de apoio
• σ𝐹𝑥 = 0
𝐻11 = 0,0𝑘𝑁
• σ𝑀1 = 0
1 + 𝑉41 ∗ 2 = 0
𝑉41 = −0,50𝑘𝑁
• σ𝐹𝑦 = 0
𝑉11 − 0,50 = 0
𝑉11 = 0,50𝑘𝑁
Convenção de sinais
Exercício
• Caso 1:
• Cálculo do momento fletor  Referência: parte interna do pórtico
• Barra 1-2
𝑀 𝑥 = −1,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 0 = −1,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 5 = −1,0𝑘𝑁𝑚
• Barra 3-4
𝑀 𝑥` = 0
𝑀 0 = 0,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 7 = 0,0𝑘𝑁𝑚
• Barra 2-3
Variação linear entre -1,0kNm e 0,0kNm
𝐻11 = 0,0𝑘𝑁
𝑉11 = 0,50𝑘𝑁
𝑉41 = −0,50𝑘𝑁
Exercício
• Caso 1:
• Diagrama de momento fletor
𝐻11 = 0,0𝑘𝑁
𝑉11 = 0,50𝑘𝑁
𝑉41 = −0,50𝑘𝑁
Exercício
• Caso 2:
Exercício
• Caso 2:
• Diagrama de corpo livre (DCL)
Exercício
• Caso 2:
• Cálculo das reações de apoio
• σ𝐹𝑥 = 0
𝐻12 + 1 = 0
𝐻12 = −1,0𝑘𝑁
• σ𝑀1 = 0
𝑉42 ∗ 2 = 0
𝑉42 = 0,0𝑘𝑁
• σ𝐹𝑦 = 0
𝑉12 + 0 = 0
𝑉12 = 0,0𝑘𝑁
Convenção de sinais
Exercício
• Caso 2:
• Cálculo do momento fletor  Referência: parte interna do pórtico
• Barra 1-2
𝑀 𝑥 = 1 ∗ 𝑥
𝑀 0 = 0,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 5 = 5,0𝑘𝑁𝑚
• Barra 3-4
𝑀 𝑥` = 1 ∗ 𝑥
𝑀 0 = 0,0𝑘𝑁𝑚
𝑀 7 = 7,0𝑘𝑁𝑚
• Barra 2-3
Variação linear entre 5,0kNm e 7,0kNm
7 − 5 = 2,0𝑘𝑁𝑚
𝐻12 = −1,0𝑘𝑁
𝑉12 = 0,00𝑘𝑁
𝑉42 = 0,00𝑘𝑁
Exercício
• Caso 2:
• Diagrama de momento fletor
𝐻12 = −1,0𝑘𝑁
𝑉12 = 0,00𝑘𝑁
𝑉42 = 0,00𝑘𝑁
Tabela de integração
Fonte: Notas de aula Princípios Básicos da Mecânica das Estruturas – Paccola (2020)
Exercício
• Cálculo dos termos de carga
𝛿10 =
1
50000
∗ −5 ∗
1
2
∗ 70 ∗ 1 − 2 2 ∗
1
6
∗ 49 + 2 ∗ 70 ∗ 1
𝛿10 = −5,2819 ∗ 10
−3𝑟𝑎𝑑
𝑀0 𝑀1
Exercício
• Cálculo dos termos de carga
𝛿20
=
1
50000
∗ ቆ5 ∗
1
3
∗ 70 ∗ 5 + 2 2 ∗
1
3
∗ 70 ∗ 5 + 2 2 ∗
1
6
∗ 70 ∗ 7 + 2 2 ∗
1
6
∗ 49 ∗ 5
𝑀0 𝑀2
Exercício
• Cálculo dos coeficientes de flexibilidade
𝛿11 =
1
50000
5 ∗ 1 ∗ 1 + 2 2 ∗
1
3
∗ 1 ∗ 1
𝛿11 = 1,1886 ∗ 10
−4𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿21 =
1
50000
−5 ∗
1
2
∗ 1 ∗ 5 − 2 2 ∗
1
6
∗ 2 ∗ 5 + 7 ∗ 1
𝛿21 = −4,1028 ∗ 10
−4𝑚/𝑘𝑁𝑚
𝛿22
=
1
50000
5 ∗
1
3
∗ 5 ∗ 5 + 2 2 ∗
1
6
∗ 5 ∗ 2 ∗ 5 + 7 + 7 ∗ 5 + 2 ∗ 7 + 7 ∗
1
3
∗ 7 ∗ 7
𝛿22 = 5,1753 ∗ 10
−3𝑚/𝑘𝑁
𝑀1 𝑀2
Exercício
• Compatibilidade
−5,2819 ∗ 10−3
4,3668 ∗ 10−2
+
1,1886 ∗ 10−4 −4,1028 ∗ 10−4
−4,1028 ∗ 10−4 5,1753 ∗ 10−3
𝑀1
𝐻4
=
0
0
𝑀1
𝐻4
=
21,0814𝑘𝑁𝑚
−6,7665𝑘𝑁
Exercício
• Outras reações
𝐻1
𝑉1
𝑉4
=
−14
−24,5
24,5
+
0
0,5
−0,5
−1
0
0
21,0814
−6,7665
𝐻1
𝑉1
𝑉4
=
−7,2335𝑘𝑁
−13,9593𝑘𝑁
13,9593𝑘𝑁
Exercício
• Esforços
Normal Cortante Momento fletor
• Cálculo das reações de apoio de um pórtico hiperestático pelo método dos deslocamentos
Fechamento da Aula
Créditos
• Conteudista: Lucas de Barros Serra
• Designer Instrucional: Simone Anjerosa de Almeida Camargo 
• Analista EaD: