Equacao-da-Reta-e-da-CircunferenciaExercicios-Resolvidos

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PET Matemática - UFMG
Lista de Exerćıcios Resolvidos:
Equação da Reta e da Circunferência
1. Determine a equação da reta r que passe pelos pontos P = (1, 2) e
Q = (−3, 5) no plano cartesiano. Em seguida determine a equação da
reta s, que é perpendicular a r, e que passa pelo ponto M = (9, 5).
Resolução:
Primeiro calculamos o coeficiente angular mr da reta r.
mr =
y0 − y
x0 − x
=
5− 2
−3− 1
=
3
−4
= −3
4
.
Logo temos: y = −3
4
x + hr.
Desse modo, basta substituir o ponto P ou Q para encontrar o coefi-
ciente linear hr. Substituindo pelo ponto P , temos
2 = −3
4
× 1 + hr
hr =
11
4
.
Assim, a equação da reta r é
y = −3
4
x +
11
4
.
Para determinar a equação da reta s precisamos saber que as inclinações
m1 e m2 de duas retas perpendiculares possuem a seguinte relação:
m1 = −
1
m2
.
Aplicando essa propriedade às retas r e s, temos
ms = −
1
mr
⇒ ms = −
1
−3
4
⇒ ms =
4
3
.
1
Dessa forma, temos y = 4
3
x + hs. Para determinar hs substituimos o
ponto M na equação
5 =
4
3
× 9 + hs
hs = −7.
Assim, temos que a equação da reta s é:
y =
4
3
x− 7.
2. Marque no plano cartesiano os pontos A = (1, 2), B = (−3, 5) e C =
(2, 6) e utilize o coeficiente angular para determinar se os três pontos
são colineares.
Resolução:
Se três pontos forem colineares então os coeficientes angulares das
retas determinadas por cada par deles são iguais. Reciprocamente, se
pares distintos de pontos gerarem retas com mesmo coeficiente angu-
lar, então os três pontos são colineares. Mais ainda, sabemos que se
os coeficientes angulares distinguirem para pelo menos dois pares de
pontos, então os pontos não são colineares. Assim, tomemos m1 como
o coeficiente angular da reta que passa por A e B. Logo
m1 =
y0 − y
x0 − x
=
5− 2
−3− 1
=
3
−4
= −3
4
.
Tomemos agora o coeficiente angular m2, que pertence à reta que passa
B e C.
m2 =
6− 5
2− (−3)
=
1
5
.
Sendo assim, como os coeficientes angulares das retas que passam pelos
pontos A,B e B,C são diferentes, então esses não são colineares.
3. Determinar a equação de um ćırculo, sabendo que A = (−2, 1) e B =
(4, 3) são extremidades de um diâmetro.
Resolução:
O comprimento D do diâmetro é a distancia entre os pontos A e B,
que pode ser expressa pela fórmula
D =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2.
Substituindo os valores, temos
D =
√
(−2− 4)2 + (1− 3)2 ⇒ D =
√
40⇒ D = 2
√
10.
2
Sendo assim, o raio é
√
10.
O centro é o ponto médio das extremidades do diâmetro. Portanto
C =
(
−2 + 4
2
,
1 + 3
2
)
⇒ C = (1, 2).
Logo, a equação do ćırculo é
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 10.
4. Determinar a equação do ćırculo de centro em C = (−2, 3) e que passa
pelo ponto P = (−2, 0).
Resolução:
Uma circunferência de raio R e centro C = (−2, 3) é descrita pela
equação:
(x + 2)2 + (y − 3)2 = R2.
Substituindo o ponto P na equação temos:
(−2− (−2))2 + (3− 0)2 = R2
(0)2 + (−3)2 = R2
R2 = 9.
Portanto, a equação da circunferência é:
(x + 2)2 + (y − 3)2 = 9.
3