Analise_para_Licenciatura_G_Avila_comple

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© 2001UTSRQPONMLKJIHGFEDCBAG e ra ld o S eve ro d e S o u za Á v i la
1 1 l ed iç ã o - 2 0 0 1
É p ro ib id a a re p ro d u çã o to ta l o u p a rc ia l
por quaisquer m e io s
sem a u to r i ia ç i io escrita da editora
E D IT O R A E D G A R D S L Ü C H E R L T D A .
R u a P ed ro so A lv a re n g a ,1245 -c j . 2 2
0 4 5 3 1 -0 1 2 - S ã o P a u lo , S P - B ra s i l
F a x : (O x x1 1)3 0 7 9 -2 7 0 7
e -m a i l : eblucher@uol.com.br
Impresso no Brasil P r in te d in B ra z i l
ISBN 85-212-029.5-4
EDITORA AFILIADA
,
PREFACIO
oYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp r e s e n t e l i v r o f o i e s c r i t o e s p e c i a l m e n t e p a r a a l u n o s d e l i ce n c i a t u r a e m
M a t e m á t i c a , p o r i s s o m e s m o d i f e r e d o s l i v r o s d e A n á l i s e d i r ec i o n a d o s a o s c u r s o s
d e b a c h a r e l a d o . D i f e r e n ó c o n t e ú d o , p o r n ã o i n c l u i r t ó p i c o sm a i s e s p e c i a l i z a d o s ,
c o m o a c o n t i n u i d a d e u n i f o r m e , a t e o r i a d a i n t e g r a l e a e q ü i c on t i n u i d a e l e , d e i n -
t e r e s s e m a i o r n o b a c h a r e l a d o e s e c u n d á r i o n a l i c e n c i a t u r a ;m a s d i f e r e t a m b é m
p o r i n c l u i r , n o c a p í t u l o 1 , u m a a p r e s e n t a ç ã o d e c e r t o s t ó p i co s s o b r e o s n ú m e r o s
r e a i s , r e l e v a n t e s n o s c u r s o s d e l i c e n c i a t u r a . U m a t e r c e i r ad i f e r e n ç a e s t á n a
m a n e i r a d e a p r e s e n t a ç ã o d o s v á r i o s a s s u n t o s , c o m a t e n ç ã o m ai o r a o d e s e n v o l v i -
m e n t o d a s i d é i a s e a s p e c t o s h i s t ó r i c o s d a d i s c i p l i n a .
O t e x t o n ã o i n c l u i u m t r a t a m e n t o d e d e r i v a d a s e i n t e g r a i s , m as p r e s s u p õ e
q u e o l e i t o r j á t e n h a f e i t o u m p r i m e i r o c u r s o d e C á l c u l o , o n d ee s s e s t ó p i c o s s ã o
t r a t a d o s . É p r e c i s o q u e o l e i t o r t e n h a u m b o m c o n h e c i m e n t o d e d e r i v a d a s ,i n -
t e g r a i s e s u a s t é c n i c a s . P o r i s s o m e s m o , n o s m o m e n t o s - o p o r tu n o s d o d e s e n r o l a r
d o c u r s o , o p r o f e s s o r e l e v e l e v a r s e u s a l u n o s a u m a r e v i s ã o s is t e m á t i c a d e s s e s
t ó p i c o s e l o C á l c u l o ; o u m e s m o , d e d i c a r v á r i a s s e m a n a s i n i c ia i s a e s s a r e v i s ã o .
N u m p r i m e i r o c u r s o d e C á l c u l o , a s a p r e s e n t a ç õ e s c o s t u m a m s er f e i t a s d e
m a n e i r a i n t u i t i v a e i n f o r m a l , c o m p o u c a o u n e n h u m a d e m o n s t ra ç ã o r i g o r o s a .
E s s e p r o c e d i m e n t o é s e g u i d o , e m p a r t e p o r r a z õ e s d i d á t i c a s ;m a s t a m b é m p o r
r a z õ e s l i g a d a s à p r ó p r i a n a t u r e z a d o s t ó p i c o s t r a t a d o s , c u j o d e s e n v o l v i m e nt o
h i s t ó r i c o o c o r r e u p r i m e i r o e l e m a n e i r a i n t u i t i v a e i n f o r m al , d e s d e o s é c u l o X V I I ·
a t é a p r o x i m a d a m e n t e 1 8 2 0 . A p a r t i r e l e e n t ã o , o s a v a n ç o s d a te o r i a e x i g i a m c o n -
c e i t u a ç õ e s p r e c i s a s d a s i d é i a s d e f u n ç ã o , c o n t i n u i d a d e , d er i v a d a , c o n v e r g ê n c i a ,
i n t e g r a l , e t c . É p r e c i s a m e n t e u m a a p r e s e n t a ç ã o l o g i c a m e n t e b e m o r g a n i z a d a
e l e t o e l o s e s s e s t ó p i c o s d o C á l c u l o q u e c o n s t i t u i u m p r i m e i ro c u r s o d e A n á l i s e .
P o r e s s a s r a z õ e s , u m e l o s o b j e t i v o s p r i n c i p a i s e l e u m c u r s o el e A n á l i s e
é a p r á t i c a e m d e m o n s t r a ç õ e s . E n u n c i a r e d e m o n s t r a r t e o r e m a s é u m a e l a s
o c u p a ç õ e s c e n t r a i s d e t o d o p r o f e s s o r o u e s t u d i o s o d a M a t e m át i c a , n ã o s e n d o a d -
m i s s i v e l q u e a l g u é m q u e p r e t e n d a e n s i n a r M a t e m á t i c a s i n t a -s e d e f i c i e n t e n e s s e
m i s t e r . D a í u m a d a s p r i n c i p a i s r a z õ e s e l e u m a d i s c i p l i n a d e An á l i s e n o s c u r s o s
e l e l i c e n c i a t u r a .
M a s , a l i a d a a e s s a t a r e f a d e p r a t i c a r a a r t e d e e n u n c i a r e d e m on s t r a r t e o -
r e m a s , o a l u n o d e l i c e n c i a t u r a t e m , n a d i s c i p l i n a d e A n á l i s e: a o p o r t u n i d a d e
d e s e f a m i l i a r i z a r c o m u m a d a s p a r t e s m a i s i m p o r t a n t e s d a M a te m á t i c a q u e s e
v e m d e s e n v o l v e n d o d e s d e o i n í c i o d o s é c u l o X I X . E p a r a f a c i l it a r a c o m p r e e n s ã o
d e s s e d e s e n v o l v i m e n t o , e d a r a o l e i t o r u m a v i s ã o m a i s a b r a n ge n t e e e n r i q u e c e -
c l o r a d e t o .c l a a M a t e m á t i c a , o p r e s e n t e t e x t o i n c o r p o r a v á ri a s n o t a s h i s t ó r i c a s
e c o m p l e m e n t a r e s a o f i n a l d e c a d a c a p í t u l o , c o m o j á f i z e m o s em o u t r o s l i v r o s
d e n o s s a a u t o r i a .
C o n v e r s a c o m oaluno
N in g u é m a p r e n d e M a te m á t i c a o u v in d o o p r o f e s s o r e m s a la d e a ula , p o r m a i s
o r g a n i z a d a s e c la r a s q u e s e ja m s u a s p r e le ç õ e s , p o r m a i s q u e se e n te n d a tu d o o
q u e e le e x p l i c a . I s s o a ju d a m u i t o , m a s é p r e c i s o e s tu d a r p o r co n ta p r ó p r i a l o g o
a p ó s a s a u la s , a n te s q u e o b e n e f í c i o d e la s d e s a p a r e ç a c o m o tem p o . P o r ta n to ,
v o c ê , l e i t o r , n ã o v a i a p r e n d e r M a te m á t i c a p o r q u e a s s i s t e a ula s , m a s p o r q u e
e s tu d a . E e s s e e s tu d o e x ig e m u i t a d i s c i p l i n a e c o n c e n t r a ç ã o; e s tu d a - s e s e n ta d o
à m e s a , c o m lá p i s e p a p e là m ã o , p r o n to s p a r a s e r e m u s a d o s a to d o m o m e n to .
V o c ê te m d e in te r r o m p e r a le i t u r a c o m f r e q ü ê n c ia , p a r a e n s a ia r a s u a p a r te :
f a z e r u m g r á f i c o o u d ia g r a m a , e s c r e v e r a l g u m a c o i s a o u s im p le s m e n te r a b i s c a r
u m a f i g u r a q u e a ju d e a s e g u i r o r a c i o c ín i o d o l i v r o , s u g e r i r ou te s ta r u r n a
id é ia ; e s c r e v e r u m a f ó rm u la , r e s o l v e r u m a e q u a ç ã o o u f a z e r um c á l c u lo q u e
v e r i f i q u e s e a lg u m a a f i rm a ç ã o d o l i v r o e s tá m e s m o c o r r e ta . Po r i s s o m e s m o ,
n ã o e s p e r e q u e oI h T O s e ja c o m p le to , s e m la c u n a s a s e r e m p r e e n c h id a s p e lo
l e i t o r ; d o c o n t r á r i o , e s s e le i t o r s e r á i n d u z id o a u m a s i t u a çã o p a s s i v a , q u a n d o
o m a is im p o r ta n te é d e s e n v o l v e r a s h a b i l i d a d e s p a r a o t r a b a lh o in d e p e n d e n te ;
d e s p e r t a n d o a c a p a c id a d e d e in i c i a t i v a i n d i v i d u a l e a c r i a ti v i d a d e . V o c ê e s ta r á
f a z e n d o p r o g r e s s o r e a lm e n te s i g n i f i c a t i v o q u a n d o s e n t i r qu e e s tá c o n s e g u in d o
a p r e n d e r s o z in h o , s e m a ju d a d o p r o f e s s o r ; q u a n d o s e n t i r q u ee s tá r e a lm e n te
" a p r e n d e n d o a a p r e n d e r " .
O s e x e r c í c i o s s ã o u m a d a s p a r te s m a i s im p o r ta n te s d o l i v r o . De n a d a
a d ia n ta e s tu d a r a te o r i a s e m a p l i c a r - s e n a r e s o lu ç ã o d o s e x er c í c i o s p r o p o s to s .
M u i t o s d e s s e s e x e r c í c i o s s ã o c o m p le m e n to s d a te o r i a e n ã o p od e m s e r n e g l i g e n -
c i a d o s , s o b p e n a d e g r a n d e p re ju í z o n o a p r e n d i z a d o . C o m o e m ou t r o s l i v r o s d e
n o s s a a u to r i a , a s l i s t a s d e e x e r c í c i o s s ã o s e m p r e s e g u id a s de r e s p o s ta s , s u g e s -
t õ e s e s o lu ç õ e s . M a s o le i t o r p r e c i s a s a b e r u s a r e s s e s r e c u r so s c o m p r o v e i t o , s ó
c o n s u l t a n d o - a s a p ó s r a z o á v e l e s f o r ç o p r ó p r i o . E n ã o e s p e r eq u e u m a s u g e s tã o
o u s o lu ç ã o s e ja c o m p le ta , à s v e z e s é a p e n a s u m a d i c a p a r a d a r in í c i o a o t r a b a lh o
in d e p e n d e n te d o le i t o r .
F i c a r e m o s m u i t o a g r a d e c id o s a to d o s o s le i t o r e s q u e s e d ig n ar e m e s c r e v e r -
n o s , a p o n ta n d o f a l h a s n o te x to o u f a z e n d o s u g e s tõ e s q u e p o s sa m m e lh o r á - l o e m
e d i ç õ e s f u tu r a s . P a r a i s s o p o d e m u t i l i z a r o e n d e r e ç o d a p r ó pr i a E d i t o r a .
. P o r f im , d e i x a m o s a q u i c o n s ig n a d o s n o s s o s a g r a d e c im e n to sa o n o s s o E d i t o r ,
D r . E d g a r d B lü c h e r , p e lo c o n t i n u a d o in te r e s s e e a p o io a o n o ss o t r a b a lh o .
Geraldo Ávila
Brasília, maio de 2001
Conteúdo
CAPÍTULO O: PRELIt\IINARES DE LÓGICA ,
Proposições e teoremas, l. Condição necessária e suficiente, 2. Dois princípios
de Lógica, 3. Contraposiçâo, 3. Uma aplicaçâo, '1. Demonstração por ab-
surdo, '1.
CAPÍTULO 1: NÚ~IEROS REA IS 6
Números racionais e representação decimal, 6. Números irracionais, 7 . .j2 é
número irracional, 8. Números reais, 8. Exercícios, 9. Respostas, sugestões
e soluções, 10. Noções sobre conjuntos, 11. Especificação de conjuntos, 1l.
Propriedades gerais, 12. Exercícios, 13. Sugestões e soluções, 14. Conjuntos
fin itos e infin itos, 14. Conjuntos enumeráveis, 15. A enumerabilidade do con-
junto Q, 15. Números irracionais, 16. A não enumerabilidade do conjunto R ,
16. Exercícios, 18. Respostas, sugestões e soluções, 18. G randezas incomen-
suráveis, 19. A medição de segmentos, 19. Segmentos incomensuráveis, 20. O
retângulo áureo, 22. U rna infin idade de retângulos áureos,23. D iv isão áurea,
23. Exercícios, 24. Sugestões, 24. A crise dos incomensuráveis e sua solução,
25. A teoria das proporções, 25. Desenvolv imento posteriorda Matemãtica,
26. Exercícios, 27. Sugestões e soluções, 28. Dedekind e os números reais, 29.
Cortes de Dedekind, 29. A relação de ordem , 30. Operações comnúmeros
reais, 31.0 teorema de Dedekind, 32. Supremo e ínfimo de um conjunto,
33: Exercícios, 35. Sugestões e soluções, 36. Desigualdadedo triângulo, 38.
Exercícios, 39. Sugestões e soluções, 39. Notas históricase complementares,
3D. O;; E lementos de Euclides, 3D. O conteúdo dos E lementos, 40. A Geo-
metria dedutiva, 4l. A s geometrias não-euclid ianas, 41. OsFundamentos da
Matemática, 43. Defin ição de corpo, 44.
CAPÍTULO 2: SEQÜÊNCIAS INFIN ITAS 45
Intervalos, 45. Seqüências infin itas, 45. Conceito de lim ite e primeiras
propriedades, 47. Defin ição de vizinhança, 48. Seqüênciaslim itadas, 51.
Operações com lim ites, 52. Exercícios, 54. Sugestões e soluções, 55.
Seqüências monótonas, 56. O número e, 57. Subseqíiências, 58. L im i-
tes infin itos, 59. Seqüências recorrentes, 6l. Exercícios, 62. Sugestões
e soluções, 64. Intervalos encaixados, 65. Pontos aderentes e teorema de
Bolzano- \Veierstrass, 66. C ritério de convergência de Cauchy, 67. Exercícios,
69. Sugestões e soluções, 70. Notas históricas e complementares, 71. A
não enumerabilidade dos números reais, 7 l. Cantor e os números reais, 7 l.
Bolzano e o teorema de Bolzano- W eierstrass, 73.
CAPÍTULO 3: SÉRIES INFINITAS 75
Primeiros exemplos, 75. O conceito de soma infinita, 76. Propriedades e
exemplos, 77. Série de termos positivos; 80. Exercícios, 81. Respostas, su-
gestões e soluções, 81. Teste de comparação, 82. lrracionalidade do número
e, 83. Exercícios, 86. Sugestões, 87. Teste da razão, 87. Exercícios, 88.
Sugestões, 89. O teste da integral, 89. Exercícios, 90. Sugestões, 90. Con-
vergência absoluta e condicional, 91. Séries alternadas e convergência condi-
cional, 92. Exercícios, 94. Notas históricas e complementares, 94. A origem
das séries infinitas, 94. A divergência da série harmônica,95. N icole Oresme
e a série de Swineshead, 96. Cauchy e as séries infinitas, 97.
CAPÍTULO 4: FUNÇÕES, LIM ITE E CONTINUIDADE 99
O conceito de função, 99. Term inologia e notação, 100. Vários tipos de
função, 102. Exercícios, 103. Sugestões e soluções, 104. L im ite e con-
tinuidade, primeiras definições, 105. As definições de limite e continuidade,
106. Propriedades do lim ite, 107. Exercícios, 111. Sugestões e soluções,
112. L im ites laterais e funções monótonas, 113. L im ites infinitos e lim ites
no infinito, 114. As descontinuidades de uma função, 117. Exercícios, 120.
Sugestões e soluções, 121. O teorema do valor intermediário, 122. Exercícios,
124. Sugestões, 125. Notas históricas e complementares, 125. O início do
rigor na Análise Matemática, 125. O teorema do valor intermediário, 128.
W eierstrass e os fundamentos da Análise, 129. Carl Friedrich Gauss (1777-
1855), 129.
CAPÍTULO 5: SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 131
Introdução, 131. Seqüências de funções, 132. Convergênciasimples e con-
vergência uniforme, 132. Exercícios, 135. Sugestões e soluções, 136. Con-
seqüências da convergência uniforme, 137. Séries de funções, 139. Exercícios,
141. Sugestões e soluções, 142. Séries de potências, 143. Raio de con-
vergência, 144. Propriedades das séries de potências, 145.Exercícios, 147.
Sugestões, 148. As funções trigonométricas, 148. Exercícios, 150. Suges-
tões, 150. Notas históricas e complementares, 150. As séries de potências,
150. Lagrange e as funções analíticas, 151. A convergência uniforme, 152. A
aritmetização da Análise, 152.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 153
C a p í t u l o O
PRELIMINARES DE LÓGICA 1
A s n o ç õ e s e l e m e n t a r e s d e L ó g i c a q u e e x p o r e m o s a s e g u i r s ã o i mp o r t a n t e s n a
l i n g u a g e m m a t e m á t i c a , p a r t i c u l a r m e n t e e m A n á l i s e . M a s n ã op e n s e o l e i t o r q u e
s e j a p r e c i s o f a z e r u m c u r s o d e L ó g i c a p a r a e s t u d a r M a t e m á t i ca . I s s o n ã o é , e m
a b s o l u t o , n e c e s s á r i o , n e m m e s m o p a r a q u e m f a z m e s t r a d o o u d ou t o r a d o . E m
v e r d a d e , a s n o ç õ e s d e L ó g i c a d a d a s a q u i c o s t u m a m s e r a p r c n d id u s u a t u r u l m c u t c ,
d u r a n t e o p r ó p r i o e s t u d o d a M a t e m á t i c a .
L ó g i c a e F u n d a m e n t o s d aM a t e m á t i c a s ã o d i s c i p l i n a s m i l i t o e s p c c i n l i z u d a s ,
q u e f o r m a m u m c a m p o d e e s t u d o s e l e g r a n d e i m p o r t â n c i a e m M a t em á t i c a e
E p i s t e m o l o g i a é . M a s , n o e s t u d o d e o u t r a s d i s c i p l i n a s m a t e má t i c a s - · A n á l i s e ,
e m p a r t i c u l a r - b a s t a m o s p o u c o s r u d i m e n t o s q u e d a r e m o s n e s te c a p í t u l o .
P r o p o s i ç õ e s e t e o r e m a sGFEDCBA
P r o p o s iç ã o s i g n i f i c a q u a l q u e r a f i r m a ç ã o , v e r d a d e i r a o u f a l s a , m a s q u ef a ç a s e n -
t i d o . P o r e x e m p l o , s ã o p r o p o s i ç õ e s a s t r ê s a f i r m a ç õ e s s e g u in t e s :
A ) T o d o n ú m e r o p r im o m a io r d o q u e2 é ím p a r .
B ) A so m a d o s â n g u lo s in te r n o s d e q u a lq u e r t r iâ n g u loé 1 8 00•
C ) T o d o n ú m e r o ím p a r é p r im o .
O b s e r v e q u e d e s s a s t r ê s p r o p o s i ç õ e s , a s d u a s p r i m e i r a s s ã o ve r d a d e i r a s , m a s a
t e r c e i r a é f a l s a , p o i s 9 , 1 5 , 2 1 , e t c . , s ã o n ú m e r o s í m p a r e s q u e n ã o s ã o p ri m o s .
U m te o r e m a é u m a p r o p o s i ç ã o v e r da d e i r a d o t i p o" P i m p l i c a Q", o n d e P e
Q t a m b é m s ã o p r o p o s i ç õ e s . E s c r e v e - s e , s i m b o l i c a m e n t e ," P => Q " , · q u e t a n t o
s e l ê " P i m p l i c a Q", c o m o " P a c a r r e t a Q", o u "Q é c o n s e q ü ê n c i a d e P " . P é
a h ip ó te s e e Q é a te s e d o t e o r e m a . P o r e x e m p l o , a p r o p o s i ç ã o A a c i m a é u m
t e o r e m a , q u e p o d e s e r e s c r i t o n a f o r m aD => E , o n d e D e E s ã o a s p r o p o s i ç õ e s :
D ) n é u m n ú m e r o p r im o m a io r d o q u e 2 .
l V e j a t a m b é m o a r t i g o d e G i l d a P a l i s e l a c i M a l t a , n a R P M 3 7 . P ar a o l e i t o r q u e a i n d a
n ã o s a b e , R P M s i g n i f i c a R e v is ta d o P r o fe s s o r d e M a te m á t ic a , u m a p u b l i c a ç ã o d a S B M ( S o -
c i e d a d e B r a s i l e i r a d e ' M a t e m á t i c a ) . E s s a r e v i s t a p o d e s e r as s i n a d a , e s e u s n ú m e r o s a t r a s a d o s
a d q u i r i d o s , e s c r e v e n d o p a r a a C a i x a P o s t a l6 6 2 8 1 , C E P 0 5 . . 1 2 8 - 9 9 9 S ã o P a u l o , S P .
2 V e j a , n o f i n a l d o c a p í t u l o 1 , a s n o t a s s o b r e F u n d a m e n t o s .
2GFEDCBAC a p í tu lo O : P r e l im in a r e s
E ) n é u m n ú m e r o ím p a r .
O u tr o e x e m p lo d e te o re m a :
S d f - [b /d _.. - a c a + c
e u a s r a ç o e s a e c s a o ujuais, e n ta o b = d = b + d .
E s s e m e sm o te o re m a p o d e ta m b é m se r e s c r i to a s s im :
a c a c a + c
- = - '* - = - = - - o
b d b d b + d
C h a m a -s e L e m a a u m te o re m a p re p a ra tó r io p a ra a d e m o n s t r a ç ã o d e o u t r o
te o re rn a . O o r o tâ r io é u m te o re m a q u e s e g u e c o m o c o n s e q ü ê n c ia n a tu ra l d e o u t r o .
M u i to s a u to re s u t i l i z a m a p a la v ra " p ro p o s iç ã o " p a ra d e s ig na r o s te o re m a s
d e u m a c e r ta te o r ia , r e s e r v a n d o a p a la v ra " te o re m a " p a ra a q ue le s . r e s u l ta d o s
q u e d e v e m se r r e s s a l ta d o s c o m o o s m a is im p o r ta n te s .
C o n d iç ã o n e c e s s á r ia e s u f ic ie n te
N u m te o re m a " P '* Q", d iz - s e q u e a h ip ó te s e P é u m a c o n d iç ã o s u f ic ie n te d e
Q ( s u f ic ie n te p a ra a v a l id a d e d eQ), o u q u e a te s e Q é c o n d iç ã o n e c e s s á r ia d e
P .. A s s im , c o m re f e rê n c ia à s p ro p o s iç õ e s a t r á s ,D é c o n d iç ã o s u f ic ie n te p a ra q u e
E s e ja v e rd a d e i r a , eE é c o n d iç ã o n e c e s s á r ia d eD; q u e r d iz e r ; v a le n d o D, te m
d e v a le r E, o u s e ja , é n e c e s s á r io v a le rE.
A r e c ip r o c a d e u m te o re m a P '* Q é a p ro p o s iç ã o Q '* P , q u e ta m b é m se
e s c re v e P {:= Q. A re c íp ro c a d e u m te o re m a p o d e o u n ã o s e r v e rd a d e i r a . P o r
e x e m p lo , a r e c íp r o c a d o te o re m a " to d o n ú m e ro p r im o m a io r d o qu e 2 é ím p a r "
é " to d o n ú m e ro ím p a r é p r im o m a io r d o q u e 2 " , I s to é f a ls o , p o isn e m to d o
n ú m e ro ím p a r é p r im o . C o m o e x e m p lo d e te o re m a c u ja r e c íp r o c aé v e rd a d e i r a
c o n s id e re o te o re m a d e P i tá g o ru s :
S e A B C é u m tr iâ n g u lo r e tâ n g u lo e m B , e n tã o A C2 = A B 2 + B C 2 .
S u a re c íp r o c a ta m b é m é v e rd a d e i r a , e a s s im s e e n u n c ia :
S e A B C é u m tr iâ n g u lo , c o m A C2 = A B2 + B C 2, e n tã o A B C é r e tâ n g u lo
e m B.
Q u a n d o a re c íp r o c a d e u m te o re m a é v e rd a d e i r a , e s c re v e m o s o te o re m a ,
ju n ta m e n te c o m su a re c íp r o c a , n a f o rm aP <=} Q. N e s te c a s o , q u a lq u e r u m a d a s
p ro p o s iç õ e s P e 9 é a o m e sm o te m p o n e c e s s á r ia e s u f ic ie n te p a ra a v a l id a d e d a
o u t r a .
O b s e r v e q u e P '* Q é o m e sm o q u e " v a leQ s e v a le r P " ; o u a in d a , " v a le P
s o m e n te s e v a le rQ " . P o r is s o é c o s tu m e e n u n c ia r u m te o re m a c o m su a re c íp r o c a ,
p <=} Q, d iz e n d o " P s e e s o m e n te s eQ". P ,* Q é a p a r te " P s o m e n te s eQ", e
Q '* P é a p a r te " v a le P s e v a le r Q " , p ro p o s iç ã o e s ta q u e ta m b é m c o s tu m a s e r
C ap ítu loZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO : P re lim ina res 3
e s c r i t a m a i s a b r e v i a d a m e n t e n a f o rm a"P s e Q". N o t e a i n d a q u e a p r o p o s i ç ã o
P Ç} Q s i g n i f i c a q u e P e Q s ã o p r o p o s i ç õ e s e q u i v a l e n t e s .
N o c a s o d o t e o r e m a d e P i t á g o r a s , p o d e m o s j u n t a r o t e o r e m a e s ua r e c í p r o c a
n u m s ó e n u n c i a d o , d a s d i v e r s a s m a n e i r a s s e g u i n t e s :
A cond ição necessá r ia e su fic ien te pa ra que um tr iângu lo A B C se ja re tângu lo
em B é que A C2 = A B2 + B C2;
Se ja A B C u rn . tr iâ ngu lo . E n tão , A B C é re tânqu lo em BÇ} A C2 = A B2 +
B C2;
U m tr iângu lo A B C é re tângu lo e m B se e som en te se A C2 = A B2 + B C2.
D o i s p r i n c í p i o s d e L ó g i c a
A n e g a ç ã o d e u m a p r o p o s i ç ã o A s e r á d e n o t a d a p o r Ã. P o r e x e m p l o , a n e g a ç ã o
d a p r o p o s i ç ã o " t o d o n ú m e r o p r im o é ím p a r " t a n t o p o d e s e r " n e mto d o n ú m e r o
p r im o é ím p a r " , o u " e x i s t e u m n ú m e r o p r im o q u e n ã o é ím p a r " , o ua i n d a " e x i s t e
u m n ú m e r o p r im o p a r " .
E s t a s d u a s ú l t im a s f o rm a s s ã o p r e f e r í v e i s à p r im e i r a p o r s e re m a f i r m a t i v a s .
A n e g a ç ã o d a p r o p o s i ç ã o " t o d o h o m e m é m o r t a l " é " n e m to d o h o m e m é m o r t a l " ;
m a s , e m f o rm a a f i r m a t i v a , d e v e s e r " e x i s t e u m h o m e m im o r t a l ". C o m o v e r e m o s ,
o p o r t u n a m e n t e , e m n o s s o e s t u d o d e A n á l i s e , n e m s e m p r e é f á c il c o n s t r u i r . a
n e g a ç ã o d e u m a p r o p o s i ç ã o . ( V e j a , p o r e x e m p l o , o E x e r c . 1 8 d ap . 5 5 . )
O p r in c íp io da não con trad ição a f i r m a q u e u m a p r o p o s i ç ã o n ã o p o d e s e r
v e r d a d e i r a j u n t a m e n t e c o m s u a n e g a ç ã o . E m o u t r a s p a l a v r a s ,s e u m a p r o p o s i ç ã o
A f o r v e r d a d e i r a , s u a n e g a ç ã o à n ã o p o d e s e r v e r d a d e i r a .
O c h a m a d o p r in c íp io do te rce iro exc lu ído a f i r m a q u e q u a l q u e r p r o p o s i ç ã o A
é v e r d a d e i r a o u f a l s a . E m o u t r a s p a l a v r a s , o uA é v e r d a d e i r a , 0\1 Ã é v e r d a d e i r a ,
n ã o s e n d o p o s s í v e l u m a t e r c e i r a a l t e r n a t i v a .
C o n t r a p o s i ç ã o
O b s e r v e q u e u m te o r e m a "A = > B " n ã o é e q u i v a l e n t e n e m im p l i c a "Ã = > É " .
P o r e x e m p l o , o t e o r e m a " S ex é u m n ú m e r o r e a l , e n t ã o x < O = > x2 > O " é
v e r d a d e i r o , m a s n ã o im p l i c a n e m é e q u i v a l e n t e a"x 2 : O = > x2 :: ; O " . ·
T o d a v i a , é v e r d a d e ( c o m o p r o v a r e m o s l o g o a s e g u i r ) q u e"A = > B " é e -
q u i v a l e n t e a "É = > Ã " . E s t a ú l t im a p r o p o s i ç ã o é c h a m a d a acon trapos ição o u
p ropos ição con traposta à p r o p o s i ç ã o "A = > B " .
T e o r e m ~ . Se jam A e B duas p ropos ições, E n ii io , ( 1 1 = > B ) Ç} (É = > Ã ).
D em onstra ção . F a r e m o s p r im e i r o a d e m o n s t r a ç ã o n o s e n t i d o = > .P a r a i s s o ,
n o s s a h i p ó t e s e é q u e A = > B , i s t o é , q u e " s e A f o r v e r d a d e i r a , B t a m b é m é " ;
q u e r e m o s p r o v a r q u e " s eÉ f o r v e r d a d e i r a , Ã t a m b é m é " . E n t ã o , c o m e ç a m o s
supondo BVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAv e rd a d e i ra. O ra , s eà n ã o fo s se v e rda d e i ra , p e lo p r in c íp io d o te rc e i ro
e x c lu íd o ,AA se r ia v e rd a d e i ra ; e p e la h ip ó te s e d o te o re m a(A = > B), B se r ia
v e rd a d e i ra . M a s , p e lo p r in c íp io d a n ã o c o n tra d iç ã o , n ã o p o de m o s a c e i ta r is to
( v is to q u e e s ta m o s su p o n d oB v e rd a d e i ra ) . E n tã o , n ã o p o d e m o s ta m b é m a c e i ta r
q u e à n ã o se ja v e rd a d e i ra , d o n d e ,à é v e rd a d e i ra , o q u e c o n c lu i a d e m o n s t ra ç ã o
d e se ja d a d e q u eB = > Ã.
F in a lm e n te , te m o s d e p ro v a r a re c íp ro c a , is to é , a im p l ic a ç ão < = , v a le d iz e r ,
(B = > Ã) = > (A = > B). M a s is to d e c o r re d o q u e a c a b a m o s d e p ro v a r . D e fa to ,
t r o c a n d o A p o r B e B p o r à e m (A = > B) = > (B = > Ã) o b te m o s e x a ta m e n te (B
= > Ã) = > (A = > B).
U m a a p l ic a ç ã o
A c o n tra p o s iç ã o é f re q ü ê n te m e n te u sa d a e m d e m o n s t ra ç õ e s . Va m o s d a r u m
e x e m p lo d is s o , p r im e i ro p ro v a n d o , p o r d e m o n s t ra ç ã o d i re ta, q u e " o q u a d ra d o
d e u m n ú m e ro p a r ta m b é m é p a r " . D e fa to , n ú m e ro p a r é to d o n ú m e ro n d a
fo rm a n = 2k, o n d e k é u m in te i ro . E n tã o , n2 = 4k2 = 2(2k2), q u e é d a fo rm a
2k', o n d e k' é o in te i ro 2k2. I s to c o m p le ta a d e m o n s t ra ç ã o d o te o re m a .
C o n s id e re m o s a g o ra o te o re rn a : " s e o q u a d ra d o d e u m in te i ron f o r ím p a r ,
e n tã o n ta m b é m se rá ím p a r " . P o d e m o s p ro v a r e s te te o re m a d i re ta m e n te , m a s
is to é d e sn e c e s sá r io ; b a s ta o b se rv a r q u e e le é o c o n t ra p o s to d o te o re m a a n te r io r ,
já q u e a s p ro p o s iç õ e s" ii é p a r " e "n . é ím p a r " s ã o a n e g a ç ã o u m a d a o u tra .
D e m o n s tra ç ã o p o r a b su rd o
A s c h a m a d a s demonstrações por redução ao absurdo,o u s im p le sm e n te demons-
trações por absurdo,se g u e m u m ro te i ro p a re c id o c o m o d a s d e m o n s t ra ç õ e s p o r
c o n t ra p o s iç ã o . P a ra p ro v a r q u eA = > B c o m e ç a m o s su p o n d oA v e rd a d e i ra e
B f a ls a (e s ta ú l t im a é a c h a m a d a " h ip ó te s e d o ra c io c ín io p o r a bsu rd o " , u m a
su p o s iç ã o a p e n a s te m p o rá r ia , a té c h e g a rm o s a u m a c o n tra d içã o , u m a b su rd o .
S o m o s e n tã o fo rç a d o s a re m o v e r a h ip ó te se d o ra c io c ín io p o r ab su rd o e c o n c lu i r
q u e B é v e rd a d e i ra ) .
C o m o a p l ic a ç ã o , v a m o s d e m o n s t ra r o te o re m a m e n c io n a d o a trás , d e q u e
Num plano, por um ponto fora de uma reta não se pode traçar maisque uma
perpendicu lar à reta dada. V im o s q u e e s se te o re m a se e s c re v e n a fo rm aA = > B,
o n d e A e B sã o a s p ro p o s iç õ e s :
A: Num plano é dada uma reta r e um ponto Pf/. T.
B: No plano dado não existe mais que uma retas perpendicu lar a r, ta l que
P E s .
A n e g a ç ã o d eB é q u e e x is te m a is q u e u m a p e rp e n d ic u la r ; o ra , p a ra a f i rm a r
CapítuloHGFEDCBAO : Preliminares 5
i s t o , b a s t a s u p o r q u e e x i s t a m d u a s , a s s im :
B: No plano dado existem duas retas distintas,s e t, perpendiculares ar ,
tais queP E 8 e P E t.
V a m o s p r o v a r q u e e s s a p r o p o s i ç ã o n o s l e v a a u m a b s u r d o . C o m e fe i t o , s e j a m
Se T o s p o n t o s d e i n t e r s e ç ã o d es e t c o m a r e t a r ( f a ç a a f i g u r a ) , s e n d o q u e e s s e s
p o n t o s s ã o d i s t i n t o s , o u . 5 c t n ã o s e r i a m d i s t i n t a s . O r a , o sâ n g u l o s e m S e T
s ã o t o d o s r e t o s ; m a s i s t oé a b s u r d o , s e n ã o a s o m a d o s â n g u l o s d o t r i â n g u l o PST
s e r i a m a i o r d o q u e 1 8 0 ° . C o n c l u ím o s , p o i s , q u e a p r o p o s i ç ã oB é v e r d a d e i r a .
C a p í tu lo 1
N Ú M E R O S R E A IS baZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C o m o o p r im e i r o a l i c e r c e d e u m c u r s o d e A n á l i s eé o c o n ju n to d o s n ú m e ro s r e a is ,
é c o n v e n ie n te in i c ia rm o s n o s s o e s tu d o c o m a c o n s id e r a ç ã o d e alg u m a s q u e s tõ e s
s o b r e e s s e s n ú m e ro s . P o r ta n to , n e s te c a p í tu lo r e c o r d a r e m os in i c ia lm e n te c e r ta s
p r o p r ie d a d e s d o s n ú m e ro s r e a is ; e , a p a r t i r d a p . 1 9 , c o m e ç a nd o c o m o c o n c e i to
d e " g r a n d e z a s in c o m e n s u r á v e is " , e x p l i c a r e m o s c o m o R ic h a rd D e d e k in d f e z u m a
c o n s t r u ç ã o r ig o r o s a d o s n ú m e ro s r e a is , p r e s s u p o n d o o s r a c io n a is .
N ú m e r o s r a c io n a is e r e p r e se n ta ç ã o d e c im a l
C o m o d e c o s tu m e , d e n o ta r e m o s c o m N o c o n ju n to d o s n ú m e ro s n a tu r a i s ( i n -
te i r o s p o s i t i v o s } " , c o m Z o c o n ju n to d o s in te i r o s ( p o s i t i v os , n e g a t i v o s e o z e r o ) ,
c o m Q o c o n ju n to d o s n ú m e ro s r a c io n a is e c o mR o d o s n ú m e ro s r e a is .
C o m o o le i to r b e m s a b e , o s n ú m e ro s r a c io n a is c o s tu m a m s e r r e pr e s e n ta d o s
p o r f r a ç õ e s o r d in á r ia s , r e p r e s e n ta ç ã o e s s a q u eé ú n ic a s e to r n a rm o s a s f r a ç õ e s
e m fo rm a i r r e d u t í v e l e c o m d e n o m in a d o r e s p o s i t i v o s .
V a m o s c o n s id e r a r a c o n v e r s ã o d e f r a ç õ e s o r d in á r ia s e m d e c ima is , c o m v is ta s
a e n te n d e r q u a n d o a d e c im a l r e s u l ta s e r f i n i t a o u p e r ió d i c a .
C o m o s a b e m o s , a c o n v e r s ã o d e u r n a f r a ç ã o o r d in á r ia e m d e c im al s e f a z
d iv id in d o - s e o n u m e ra d o r p e lo d e n o m in a d o r . S e o d e n o m in a d or d a f r a ç ã o e m
fo rm a i r r e d u t í v e l s ó c o n t i v e r o s f a to r e s p r im o s d e 1 0 ( 2 e /o u5 ) , a d e c im a l r e s u l -
ta n te s e r á s e m p re f in i t a ; eé a s s im p o r q u e p o d e m o s in t r o d u z i r ' f a to r e s 2 e 5 n o
d e n o m in a d o r e m n ú m e ro s u f i c ie n te p a r a f a z e r e s s e d e n o m in a do r u m a p o tê n c ia
d e 1 0 . E x e m p lo s :
3
5
2 x 3 6
2 x 5 = 1 0 = 0 ,6 ;
4 1 4 1 4 1 x 5 2 0 5
2 0 = 22 X 5 = 22 X 5 2 = 1 0 0 = 2 ,0 5 ;
lE s s e s n ú m e ro s c h a m a m - s e " n a tu r a i s " ju s ta m e n te p o r s u r g i re m " n a tu r a lm e n te " e m n o s s a
e x p e r iê n c ia c o m o m u n d o f í s i c o , j á n o s p r im e i r o s a n o s d a in f ân c ia . D e s te p o n to d e v is ta ,
" z e r o " e s tá lo n g e d e s e r u m n ú m e ro n a tu r a l . A l i á s , l e v o u m u i to te m p o p a r a o s m a te m á t i c o s
c o n c e d e r e m a o z e r o o status d e n ú m e r o . N o e n ta n to , é f r e q ü e n te o a lu n o p e r g u n ta r : " P r o fe s so r ,
z e r o é n ú m e ro n a tu r a l? " I s to o c o r r e p o r q u e c e r to s a u to r e s in c lu e mo z e r o e n t r e o s n a tu r a i s .
N a d a ' d e e r r a d o n is s o , é a p e n a s u m a c o n v e n ç ã o , q u e o s a lg e b r is ta s p r in c ip a lm e n te p r e f e r e m
f a z e r , p o r s e r c o n v e n ie n te e m s e u t r a b a lh o . C o is a p a r e c id a ac o n te c e c o m a e x c lu s ã o d o n ú m e ro
1 c o m o n ú m e ro p r im o , s im p le s m e n te p o r q u e is s o é c o n v e n ie n tee m te o r ia d o s n ú m e ro s .
C a p í t u l oaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s n ú m e r o s r c a i s 7
6 3 6 3 6 3 x 5 2 _
- == -.-- == -.--. = 1 ,5 7 . ') .
4 0 2 3 x J 2 ·l X 5 3
V e m o s , p o r e s s e s e x e m p lo s , q u eu m a f r a ç ã o o r d i n á r i a e m f o r m a i r r e d u l ' í v e P
s e l r a u s j o r n u i e m . d e c i m a l j i n i u i s e s e u d en o m i n a d o r n i i o c on t é m o u t r o s f a t o r e s
p r i m o s a l é m d e 2 e 5 .
O q u e a c o n te c e s e o d e n o m in a d o r d e u m a f r a ç ã o i r r e d u t í v e l c o nt i v e r a l g u m
f a t~ r p r im o d i f e r e n te d e 2 e 5 ? C o n s id e r e m o s o e x e m p lo d a c o n ve r s ã o d e 5 /7
e m d e c im a l , i l u s t r a d a a b a i x o . N a p r im e i r a d i v i s ã o ( d e 5 0 p o r7 ) , o b te m o s o
r e s to 1 ; d e p o i s , n a s d i v i s õ e s s e g u in te s , v a m o s o b te n d o , s u ce s s i v a m e n te , o s r e s to s
3 , 2 , 6 , 4 e J. N o m o m e n to e m q u e o b te m o s o r e s to 5 , q u ej á o c o r r e u a n te s ,
s a b e m o s q u e o s a lg a r i s m o s d o q u o c ie n te v o l t a r ã o a s e r e p e t i r, r e s u l t a n d o n o
p e r í o d o 7 1 4 2 8 5 . E s s a r e p e t i ç ã o a c o n te c e r á c e r t a m e n te , p o is o s p o s s í v e i s r e s to s
d e q u a lq u e r d i v i s ã o p o r 7 s ã oO , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 . V e m o s ta m b é m q u e o p e r í o d o
te r á n o m á x im o s e i s a l g a r i s m o s .
5 ,0 0 0 0 0 0 0 0 1 \ . . . ! .7 _
1 0 O , 7 1 4 2 8 5 7 I . . .
3 0
2 0
GO
4 0
5 0
1 0
E s te ú l t im o e x e m p lo e o s a n te r i o r e s n o s p e rm i t e m c o n c lu i r q ue t o d a f r a ç ã o
i r r e d u t í v e l p / q , q u a n d o c o n v e r t i d a à f o r m a d e c i m a l , r e s u l t a n u m a d e c i m a l f i n i t a
o u p e r i á d i c a , o c o r r e n d o e s t e ú l t i m o c a s o s e o d e n o m i n a d o r q c o n t i v e r a l g u m
f a t o r p r i m o d i f e r e n t e d e 2 e 5 .
N ú m e r o s i r r a c i o n a i s
P o d e m o s c o n c e b e r n ú m e r o s c u ja r e p r e s e n ta ç ã o d e c im a l n ã o é ne m f i n i t a n e m
p e r i ó d i c a . E s s e s s ã o o s c h a m a d o sn ú m e r o s i r r a c i o n a i s . M a is a d ia n te f a l a r e m o s
s o b r e a c o n s t r u ç ã o r i g o r o s a d e s s e s n ú m e r o s . P o r e n q u a n to v am o s a p e n a s a d m i t i r
a e x i s t ê n c i a d e le s e e x a m in a r a l g u m a s c o n s e q ü ê n c ia s i n t e r es s a n te s .
É f á c i l p r o d u z i r n ú m e r o s i r r a c i o n a i s ; b a s ta i n v e n ta r u m a r e gr a d e f o rm a ç ã o
q u e n ã o p e rm i t a a p a r e c e r p e r í o d o . E x e m p lo s :
0 ,2 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 . . . ; 0 ,3 5 3 5 5 3 5 5 5 3 5 5 5 5 . . . ;
2 0 b s e r v e q u e a f r a ç ã o te m d e s e r c o n s id e r a d a n a s u a f o rm a i r r ed u t í v e l . P o r e x e m p lo .6 3 /4 0
p o d e s e r e s c r i t a n a . f o rm a r e d u t . í v c l1 8 ! J / 1 2 0 , e a g o r a o d e n o m in a d o r c o n té m o f a to r p r im o 3 .
8 Capítulo 1 : O s númerosr e a i s
O, 17 1177 111777 11117777 ...
U m e x e m p l o i m p o r t a n t e d e n ú m e r o i r r a c i o n a l é o c o n h e c i d o n ú me r o 11", d a d o
a q u i c o m s u a s p r i m e i r a s 3 0 c a s a s d e c i m a i s :
11" = 3,141592653589793238462643383279 ...
o f a t o d e n ã o v e r m o s p e r í o d o n a s a p r o x i m a ç õ e s d e11", p o r m a i s q u e a u m e n t e -
m o s e s s a s a p r o x i m a ç õ e s , n ã o p r o v a q u e11" s e j a i r r a c i o n a l , p o i s é c o n c e b í v e l q u e
o p e r í o d o t e n h a m i l h õ e s , b i l h õ e s , t r i l h õ e s d e a l g a r i s m o s - ou m a i s ! S a b e m o s
q u e 11" é i r r a c i o n a l p o r q u e i s t o p o d e s e rdemonstrado r i g o r o s a m e n t e , a s s i m c o m o
s e d e m o n s t r a q u e a s o m a d o s â n g u l o s d e q u a l q u e r t r i â n g u l o s é1 8 00•
V 2 é n ú m e r o i r r a c i o n a l
P a r e c e q u e o p r i m e i r o n ú m e r o i r r a c i o n a l a s e r d e s c o b e r t o f o iv '2 . E m g e r a l , é
d i f í c i l s a b e r s e u m d a d o n ú m e r o éi r r a c i o n a l o u n ã o , c o m o é o c a s o d o n ú m e r o 1 T ,
c u j a d e m o n s t r a ç ã o d e i r r a c i o n a l i d a d e n ã o é s i m p l e s . B e m m a is f á c i l é d e m o n s t r a r
q u e o n ú m e r o v '2 é i r r a c i o n a l . V a m o s f a z e r e s s a d e m o n s t r a ç ã or a c i o c i n a n d o p o r
a b s u r d o . S e v '2 f o s s e r a c i o n a l , h a v e r i a d o i s i n t e i r o s p o s i ti v o s p e q, t a i s q u e
v '2 = »t«, s e n d o p/q u m a f r a ç ã o i r r e d u t í v e l , i s t o é ,p e q p r i m o s e n t r e s i , o u
s e j a , e l e s , n ã o t ê m d i v i s o r c o m u m m a i o r d o q u e L E l e v a n d o e s s ai g u a l d a d e a o
q u a d r a d o , o b t e m o s 2= p 2 / q2, d o n d e '
( 1 . 1 )
I s s o m o s t r a q u e p 2 é p a r , d o n d e c o n c l u í m o s q u ep t a m b é m é p a r ( s e p f o s s e
í m p a r , p 2 s e r i a í m p a r ) , d i g a m o s p = 2r, c o m r i n t e i r o . S u b s t i t u i n d o n a E q .
(1.1), o b t e m o s :
4r2 = 2q2, o u q2 = 2r2.
D a q u i c o n c l u í m o s , c o m o n o c a s o d e p ,q u e o n ú m e r oq t a m b é m d e v e s e r p a r .
I s t o é a b s u r d o , p o i s e n t ã o p e q s ã o a m b o s d i v i s í v e i s p o r 2 ep/q n ã o é f r a ç ã o
i r r e d u t í v e l . O a b s u r d o a q u e c h e g a m o s é c o n s e q ü ê n c i a d a h i p ót e s e q u e f i z e m o s n o
i n í c i o , d e q u e v '2 f o s s e r a c i o n a l . S o m o s , a s s i m , f o r ç a d o s a af a s t a r e s s a h i p ó t e s e
e c o n c l u i r q u e v '2 é i r r a c i o n a l . '
1.1. O b s e r v a ç ã o . A d e m o n s t r a ç ã o q u e a c a b a m o s d e f a z e r é , n a v e r d ad e ,
a p e n a s a d e m o n s t r a ç ã o d e q u e n ã o e x i s t e n ú m e r o r a c i o n a l c u j oq u a d r a d o s e j a 2 .
A f i r m a r q u e v '2 é u m n ú m e r o i r r a c i o n a l s ó é p o s s í v e l n o p r e s s up o s t o d e q u e j á
e s t e j a m o s d e p o s s e d o s n ú m e r o s i r r a c i o n a i s , m a s i s t o r e q u e ra c o n s t r u ç ã o l ó g i c a
d e s s e s n ú m e r o s . V a m o s n o s o c u p a r d e s t e p r o b l e m a a p a r t i r d a p. 29.
N ú m e r o s r e a i s
Número 1'ealé t o d o n ú m e r o q u e é r a c i o n a l o u i r r a c i o n a l . O b s e r v e q u e o s n ú me r o s
C a p í t u l o 1 :ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO s n t im c r o s r e a i s 9
n a t u r a i s e o s n ú m e r o s i n t e i r o s s ã o c a s o s p a r t i c u l a r e s d e n ú me r o s r a c i o n a i s , d e
f o rm a q u e q u a n d o d i z e m o s q u e u m n ú m e r oé r a c i o n a l , f i c a a b e r t a a p o s s i b i l i d a d e
d e e l e s e r u m n ú m e r o i n t e i r o ( p o s i t i v o o u n e g a t i v o ) o u s im p l es m e n t e u m n ú m e r o
n a t u r a l .
A t o t a l i d a d e d o s n ú m e r o s r a c i o n a i s , j u n t a m e n t e c o m o s i r r a ci o n a i s é o
c h a m a d o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s r e .a · i s .
E x e r c í c i o s
1 . P r o v e q u e a d í z im n p e r i ó d i c a 0 ,2 3 2 : 3 2 3 . . . é i g u a l a 2 3 /0 0 .
R e d u z a à f o rm a d e f r a ç ã o o r d i n á r i a a s d í z im a s p e r i ó d i c a s d o s E x e r c s .2 a lO .
2 . 0 ,7 7 7 . . . 3. 1 ,6 6 6 . . . 4 . O , 1 7 0 1 7 0 .
5 . 1 ,2 7 2 7 . . . 6 . 0 ,3 4 3 3 4 3 . 7 . 0 ,2 7 0 2 7 0 . . .
8 . 2 1 ,4 5 4 5 . . . 9 . 3 ,0 2 0 2 . . . 1 0 . 5 ,2 1 2 1 . . .
1 1 . E s t a b e l e ç a a s e g u i n t e r e g r a : t o d a d i z im a p e r i ó d i c a s im p l e s ( " s im p l e s " q u e r d i z e r q u e o
período c o m e ç a logo após a vírgula.) é igual a urna [ m ç i i n o r d i r u i r i a , c u j o r n u n c r o d o r é
ifJlLal a tLTTl. p e r i o d o c cujo denominador é consliluido de t a n l o s 9 q u a n to s são os , a l g a /~ s r n o s
d o p e r í o d o . .
12. P r o v e que a d f z i r n a periódica 0,21507507 ... é i g u a l é'I:
2 1 .5 0 7 - 2 1
9 9 9 0 0
2 1 4 8 6
9 9 9 0
3 5 8 1
1 6 .~ .~.
R e d u z a à f o rm a d e f r a ç ã o o r d i n á r i a o s n úm e r o s d e c im a i s d o s E x e r c s , 1 3a 1 6 .
1 3 .0 ,3 7 7 . . . 1 4 . 0 ,2 0 5 O · ) . . . 1 .5 . 3 ,2 6 6 . . . 1 6 . 0 .0 0 0 2 7 2 7 . . .
1 7 . P r o v e q u e v '3 é i r r a c i o n a l .
1 8 . P r o v e q u e . j P é i r r a c i o n a l . o n d e p > 1 é u m n ú m e r o p r im o q u a l q u e r .
1 9 . P r o v e q u e , s ep e q f o r e m n ú m e r o s p r im o s d i s t i n t o s , e n t ã o. , f i J q é i r r a c i o n a l .
2 0 . P r o v e q u e , s ep i , ••• , p c f o r e m n ú m e r o s p r im o s d i s t i n t o s , e n t ã o ~ é i r r a c i o n a l .
2 1 . S e a e b s ã o n ú m e r o s i r r a c i o n a i s , é v e r d a d e q u e ( a + b ) / 2 é i r r a c i o n a l ? P r o v e a v e r a c i d a d e
d e s s a a f i r m a ç ã o o u d ê u m c o n t r a - e x e m p l o , m o s t r a n d o q u e e l aé f a l s a .
2 2 . P r o v e q u e a s o m a o u a d i f e r e n ç a e n t r e u m n ú m e r o r a c i o n a l e um n ú m e r o i r r a c i o n a l é
u m n ú m e r o i r r a c i o n a l . M o s t r e , c o m u m c o n t r a - e x e m p l o , q u e o pr o d u t o d e d o i s n ú m e r o s
i r r a c i o n a i s p o d e s e r r a c i o n a l .
2 3 . P r o v e q u e o p r o d u t o d e u m n ú m e r o i r r a c i o n a l p o r u m n ú m e r o ra c i o n a l d i f e r e n t e d e z e r oé
u m n ú m e r o i r r a c i o n a l .
2 4 . P r o v e q u e s e . ; . f o r u m n ú m e r o i r r a c i o n a l e n t ã o l / r t a m b é m o s e r á .
2 5 . P r o v ~ q u e s ex e y f o r e m n Í lm e r o s i r r a c i o n a i s t a i s q u ex 2 - y 2 s e j a r a c i o n a l n ã o - n u l o , e n t ã o
x + y e . r - y s e r ã o a m b o s i r r a c i o n a i s . E x e m p l o : v '3 + J 2 e v '3 - J 2 .
r - - x - r - r - r - r - r - :
26. Prove que, sep i , •.• , pr forem n ú m e r o s p r im o s distintos, então J p ~ l . . . p ~ , .é irracional se
a l g u m d o s e x p o e n t e s S I . . . , s ; f o r ím p a r . .
10 CapítulogfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s números re a is
2 7 . P ro v e q u e um núm e roN é q u ad rad o p e r fe i to se e som en te se to d o s o s fa to re s p r im o s d eN
com pa re cem emN com ex p o en te s p a re s .
2 8 . P ro v e q u e um núm e ro q u e n ão se ja q u ad rad o p e r fe i to , tam pou co te rá ra iz q u ad rad a
ra c io n a l.
R esp o s ta s , su g es tõ e s e so lu çõ es
L S e ja x = 0 ,2 3 2 3 2 3 ... E n tão ,
100x = 2 3 ,2 3 2 3 ... , d o n d e 100x = 2 3 + x, d o n d e 99x = 2 3 , d o n d e x = 2 3 /9 9 .
3 . 1 + 6 /9 = 5 /3 .
9 .3 + 2 /9 9 .
1 1 . S e ja x = O ,ala2 ar ala2 ... ar·.· um a d íz im a p e r ió d ic a s im p le s , c u jo p e r ío d o p o ssu i o sr
a lg a r ism o s a i, a2, ,a r · M u lt ip l ic an d o am bo s o s m em b ro s d a ig u a ld ad e p o r 1 0r , o b tem o s :
Isso es tab e le ce a reg ra fo rm u lad a , p o is l .O " - 1é um núm e ro fo rm ad o d er a lg a r ism o s 9 :
se r = 3 , io ' - 1 = 9 9 9 ; se r = 4 , 1 0r - 1 = 9 9 9 9 e tc .
12. x = 0 ,2 1 5 0 7 5 0 7 . .. d o n d e 100x = 2 1 + 0 ,5 0 7 5 0 7 ... , d o n d e
100x = 2 1 5 0 7 = 2 1 x 9 9 9 + 5 0 7 = 2 1 (1 0 0 0 - I } + 5 0 7 = 2 1 5 0 7 - 2 1
+ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 '
d n d = 2 1 5 0 7 - 2 1 = 2 1 4 8 6
o e x 9 9 9 0 0 9 9 9 0 0 ·
D iv id in d o n um e rad o r e d en om in ad o r p o r 6 , o b tem o s , f in a lm ente , x = 1 3
6
5
6
8
5
1
0 .
1 5 . S e ja x = 3 ,2 6 6 ... E n tão , lO x= 3 2 + 2 /3 = 9 8 /3 , d o n d e x = 9 8 /3 0 = 4 9 /1 5 .
1 8 . A re so lu ção d es te e x e rc íc io e d o ex e rc íc io an te r io r u t i liz a o m esm o ra c io c ín io d o te x to n o
caso d e , /2 . S e .;p fo sse ra c io n a l, te r iam o s .;p.= m/n, com m e n p r im o s en tre s i . E n tão ,
p = m2/n2, d o n d e ln2 = 1J11.2, Isso m os t ru que -,n2 é divisível por p; logo, m tam b ém
é d iv is ív e l p o r p, o u se ja , m = rp, com r in te iro . D aq u i e d e m2 = pn2 seg u e -se q u e
r2p2 = pn2, d o n d e n2 = pr2, s ig n if ic an d o q u e n tam bém é d iv is ív e l p o r p . M as is toé
ab su rd o , sen ãoTI! e n se r iam am bo s d iv is ív e is p o r p em/n n ão se r ia f ra ção ir re d u tív e l . O
ab su rd o a q u e ch eg am o sé co n seq ü ên c ia d a h ip ó te se in ic ia l d e q u e..JP fo sse ra c io n a l. S om o s
ass im fo rç ad o s a a fa s ta r e s ta h ip ó te se e co n c lu ir q u e,fP é ir ra c io n a l.
2 1 . A f irm ação fa lsa . B as ta tom a r a= 1 0 + ,/2 e b = - ,/2 , q u e são n úm e ro s ir ra c io n a is . N o
en tan to , (a + b)/2 = 5 .• q u e é ra c io n a l.
2 2 . S e jam a um núm e ro ra c io n a l eC< um núm e ro ir ra c io n a l. S ex = a + C< fo sse ra c io n a l, e n tão
C< = x - a se r ia ra c io n a l (p o r se r a d ife ren ça d e d o is ra c io n a is ) , o q ue é ab su rd o . A ss im ,
co n c lu ím o s q u ea + C< é ir ra c io n a l. P ro v e , d o m esm o m odo , q u ea - Q e C< - a são ir ra c io n a is .
2 3 . S e jam C< i r ra c io n a l e a # O rac io n a l. S e x = ac< fo sse ra c io n a l, o m esm o se r ia v e rd ad e d e
Q = x/a, o q u e é ab su rd o .
C a p í tu locbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s n ú m e r o s r e a is 1 1
2 5 . L em b ram o s q u e ( x + y ) ( x - y ) = X2 - y 2 S e u m d o s U k f a to r e s , d ig am o s ,x + y , f o s s e
r a c io n a l , e n tã o x - y ta m b ém O s e r ia , p o is x - y = ( x2 - y 2 ) / ( x + y ) . E n tã o , x e y ta m b ém
se r ia m ra c io n a is , p o is
x = ( x + y ) + ( x - y )
2
( x + y ) - ( x - y )
e y = .
. 2
o l e i to r d e v e re p e t i r o r a c io c ín io s u p o n d o z -y r a c io n a l .
2 6 . S u g e s tã o : S u p o n h a q u e o s e x p o e n te sS I , . . . S ( s e ja m ím p a re s e o s d em a is s ã o p a re s . P e lo
e x e r c íc io a n te r io r , ~ é i r r a c io n a l .
N o ç õ e s s o b re c o n ju n to s
C o le ta m o s a q u i a s n o ç õ e s b á s ic a s d e c o n ju n to s q u e s e rã o u t i li z a d a s em n o s s o
e s tu d o . V á r ia s d e la s , c e r ta m e n te , já s ã o d o c o n h e c im e n to d ole i to r . T o d o s o s
c o n ju n to s s o b c o n s id e r a ç ã o s e rã o c o n ju n to s d e n ú m e ro s r e a is , i s to é , s u b c o n ju n io s
d e R .
A n o ta ç ã o " x E I l " s ig n i f i c a q u e x é u m e lem e n to d e A e s e lê ":I: p e r te n c e a
A " . A n e g a ç ã o d is to é " x t i - A . Q u a n d o to d o e le m e n to d eA é tam b ém e lem e n to
d e B , d iz em o s q u e A é u m s u b c o n ju n to d e B , o u q u e " A e s tá in c lu s o em B " ,
e a n o ta ç ã o é " A C B " . O b s e r v e q u e p o d em o s te r s im u l ta n e am e n te A C B e
B C A , i s to s ig n i f i c a n d o ig u a ld a d e d e c o n ju n to s , q u e s e e s c r e v e " A= B " . D iz - s e
q u e A é u m s u b c o t i ju n io p r ó p r io d e B s e A C B , p o rém A = 1 = B , i s to é , e x is te
a lg u m e lem e n to d e B q u e n ã o e s tá emA .
D a d o s d o is c o n ju n to s I l e B , d e f in e - s e au n iã o A U B c o m o o c o n ju n to d e
to d o s o s e le m e n to s f in e e s tã o em p e lo m e n o s u m d o s c o n ju n to sli r n , C O lH O
i l u s t r a o d ia g r am a d a F ig . l . l a ; ai n te r s e ç ã o A n B é d e f in id a c o m o o c o n ju n to
d e to d o s o s e le m e n to s q u e e s tã o emA e em B s im u l ta n e am e n te (F ig . 1 . I b ) .
P o d e a c o n te c e r q u e A e B n ã o te n h am e lem e n to s c o m u n s , em c u jo c a s o
A n B n ã o te r ia s ig n i f i c a d o . E x c e ç õ e s c o m o e s s a s ã o e v i ta d a s c o m ain t r o d u ç ã o
d o c o n ju n to v a z io , i n d ic a d o c o m o s ím b o lo 4>; e le é o c o n ju n to q u e n ã o tem
e lem e n to a lg u m .
E s p e c i f i c a ç ã o d e c o n ju n to s
U m c o n ju n to p o d e s e r d e f in id o p e la s im p le s l i s ta g em d e s e u s ele m e n to s e n t r e
c h a v e s o u p e la e s p e c i f i c a ç â o d e u m a p ro p r ie d a d e q u e c a ra c ter i z e s e u s e le m e n to s .
A s s im ,
A = { 1 ,3 , 5 , 7 }é o c o n ju n to d o s q u a t r o n ú m e ro s ím p a re s d e 1 a 7 ;
1 2CBAC a p í t u l o 1 : O s n ú m e r o s r e a i s
(ai
é O c o n j u n t o d o s n ú m e r o s i n t e i r o s ;
(b)
F i g . 1 .1
é o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s r e a i s o n d e o t r i n ô m iox
2
- 4 x + 3 > O é p o s i t i v o , q u e
é o m e sm o q u e o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s q u e j a z e m f o r a d o i n ~ e r v a lo d a s r a í z e s ,
o u s e j a ,
A = { x E R ; x < l } U { x E _ R ; x > 3 } .
F r e q ü ê n t e m e n te , u m c o n j u n t o p o d e s e r d e s c r i t o d e d i f e r e n t es m a n e i r a s . P o r
e x e m p l o , o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s ím p a r e s p o s i t i v o s p o d e s e r de s c r i t o c o m o
{ l , 3 , 5 , 7 , . . . } , o u { 2 n + 1 : n = 0 ,1 ,2 ,3 . · . . } 0 ~ { 2 n - 1 : n E N }
Q u a n d o l i d a m o s c o m s u b c o n j u n t o s d e u m m e sm o c o n j u n t o X , e n t en d e - s e
p o r c o m p l e m e n t a r d e u m c o n j u n t o A , i n d i c a d o p e l o s ím b o l o A C o u X - A ,
c o m o s e n d o o c o n j u n t o d o s e l e m e n to s d e X q u e n ã o e s t ã o e mA, c o m o i l u s t r a o
d i a g r a m a d a F i g . 1 .2 a , i s t o é ,
A
C = X - A = { x E X : x f i A } .
É c l a r o q u e X " = 4> e 4>c = X . O c o m p l e m e n t a ' r r e l a t i v o d e u m c o n j u n t o A e m
r e l a ç ã o a o u t r o c o n j u n t o B, i l u s t r a d o n o d i a g r a m a d a F i g . 1 .2 b , é d e f i n i d o p o r
B - A = { x E B : x r f . A } .
D e i x a m o s p a r a o s e x e r c í c i o s a t a r e f a d e p r o v a r q u eB - A
B C C =} A - C C A - B .
B n AC e q u e
P r o p r i e d a d e s g e r a i s
D a r e m o s a s e g u i r u m a s é r i e d e i g u a l d a d e s e n t r e c o n j u n t o s , a sq u a i s s ã o d e m o n s -
t r a d a s p r o v a n d o , e m c a d a c a s o , q u e o p r im e i r o m e m b r o e s t á c o nt i d o n o s e g u n d o
e q u e o s e g u n d o e s t á c o n t i d o n o p r im e i r o :
A u B = B U A ; A n B = B n A ; A U ( B U C ) = ( A U B ) U C ;
CapítuloUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s números rcais 1 3
(a) (b)
F ig . 1 .2
A n (B nC) = (A n B) nC; A U (B n C) = (A U B) n (A U C);
A n (B U C ) = ( ; 1 n B) U ( ;1 n C).
A s c h a m a d a s leis de De Morgan, n o c a s o d e d o i s c o n ju n to s A e B , a f i r n } a m
q u e
o u s e ja , o complementar da uniãoé a interseção dos complementares e o com-
plementar da interseção é a 1Lnião dos complementares.
3 . P r o v e q u e AU(BUC) = (AUB)UC.
4 . P r o v e q u e A n (B n C ) = (A nB) n C .
5 . P r o v e q u e AU(BnC) = (AUE)n(AUC).
6 . P r o v e q u e An (E U C ) = (An B) U (AnC).
E x e r c í c i o s
1. P r o v e q u e A U E = E u A, A U A = A e q u e A nA = A.
2 . P r o v e q u e A n E = B n A.
7 . P r o v e q u e A C E ç ; A n E = A. F a ç a u m d ia g r a m a i1 u s t r a t i v o .
8 . P r o v e q u e E - A = E n AC• F a ç a u m d ia g r a m a i l u s t r a t i v o .
9 . P r o v e a s le i s d e D e M o r g a n :
1 0 . P r o v e q u e (A - E) n (B - A) = eP. F a ç a u m d ia g r a m a i l u s t r a t i v o .
11. D a c lo s d o i s c o n ju n to s A e E, p r o v ~ , \ u e A = (A - E) u (A n E).
1 4HGFEDCBAC a p í t u l o 1 : O s n ú m e r o s re a is
S u g e s tõ e s e so lu ç õ e s
1 . P a ra m o s tra r q u e o p r im e iro m em b ro e s tá c o n t id o n o seg u n d o, se ja x E A U B . E n tã o , o u
x E A , o u x E B , o u am b o s . S ex E A , en tã o x E B L i A ; e tam b ém , sex E B , x tem d e
e s ta r em B U A . F ic a a ss im p ro v a d o q u eA U B C B U A . D o m esm o m o d o p ro v a -se q u e
B u A C A u B . C o n c lu ím o s en tã o q u eA u B = B U A .
3 . S e ja x E A U ( B U C ) . S e x E A , en tã o x E A u B , lo g o , x E ( A u B ) U C ; e se x E B U C ,
h á d u a s p o ss ib i l id a d e s a c o n s id e ra r :x E B o u x E C . x E B im p l ic a x E A U B , lo g o ,
x E ( A u B ) u C ; e x E C tam b ém im p l ic a x E ( A U B ) u C . F ic a a ss im p ro v a d o q u e
A U ( B U C ) C ( A U B ) U C . A d em o n s tra ç ã o d e q u e( A U B ) U C C A U ( B U C ) é
in te i ram en te a n á lo g a .
8 . x E B - A * > x E B e x r i . A ç ,} x E B e x E A C * > x E B n A C • I s to s ig n i f ic a q u e
x E B - A * > x E B n A
c
, o u se ja , B - A = B n A c .
9 . x E ( A u B ) " * > x r i . A u B ç ,} x r i . A e x r i . B * > x E A C e x E ~ B c * > x E A C n B C •
C o n ju n to s f in i to s e in f in i to s
O es tu d o s is tem á t ic o d o s c o n ju n to s , q u e a c ab o u le v a n d o a u m ate o r ia a x io m á t ic a
d e sse c am p o d e e s tu d o s , c o m eço u c o m G eo rg C an to r (1 8 4 5 -1 9 1 8) , p o r v o l ta d e
1 8 7 2 . N e ssa ép o c a , C an to r e s ta v a in ic ia n d o su a c a r re i ra p rof is s io n a l e se o c u -
p a v a d o e s tu d o d a re p re se n ta ç ã o d e fu n ç õ e s p o r m e io d e sé r ie str ig o n o m é tr ic a s . \
I s to fe z c o m q u e e le in v e s t ig a sse o s c o n ju n to s d e p o n to s d e d esc o n t in u id a d e d e .
ta is fu n ç õ e s , o s m a is s im p le s d o s q u a is sã o c o n ju n to s c o m ap en a s u m n ú m e ro .
f in i to d e p o n to s . M a s o ap a re c im en to d e c o n ju n to s c a d a v e z ' ma is c o m p l ic a - '
d o s a c a b o u le v a n d o C an to r a in v e s t ig a r c o n ju n to s in f in i to sem su a g en e ra l id a d e .
N e sse .e s tu d o e le in tro d u z iu u m co n c e i to s im p le s , q u e lo g o se re v e la r ia d a m a io r
im p o r tâ n c ia - o c o n c e i to d ee q u i v a l ê n c i a d e c o n j u n t o s .
S eg u n d o C an to r , d o is c o n ju n to s sã oe q u i v a l e n t e s , o u têm a m esm a c a r d i n a l i -
d a d e , o u a m esm a p o t ê n c i a , q u an d o é p o ss ív e l e s ta b e le c e r u m a co r re sp o n d ên c ia
q u e le v e e lem en to s d is t in to s d e u m co n ju n to em e lem en to s d ist in to s d o o u tro , to -
d o s o s e lem en to s d e u m e d o o u tro c o n ju n to se n d o o b je to d e ssa co r re sp o n d ên c ia .
E m te rm o s p re c iso s , a c o r re sp o n d ên c ia d e q u e e s tam o s fa la n do c h am a -se b i j e ç ã o .
(V e ja a d e f in iç ã o d e b i je ç ã o n a p . 1 0 2 .) E sc re v e rem o sA • . . . . •B p a ra in d ic a r q u e
e x is te u m a b i je ç ã o en treA e B . .
O b se rv e q u e é e ssa n o ç ão d e eq u iv a lê n c ia q u e d á o r ig em ao co n ce i to a b s tra to
d e n ú m e ro n a tu ra l . D e fa to , o q u e fa z u m a c r ia n ç a d e q u a tro o u cin c o an o s e le
id a d e c o n s ta ta r q u e n u m a ce s ta h á trê s la ra n ja s , n o u tra trê sm açã s , e n o u tra
a in d a trê s o v o s? E la c h eg a a e ssa s c o n c lu sõ e s - m esm o sem p e rce b e r - p o r
c o n s ta ta r q u e é p o ss ív e l " c a sa r " o s e lem en to s d e q u a lq u e r u ma d e ssa s c e s ta s
c o m o s e lem en to s d e q u a lq u e r o u tra d e m an e ira b iu n ív o c a .É e ssa ab s tra ç ã o d o s
e lem en to s c o n c re to s d o s c o n ju n to s e q u iv a le n te s e le d i fe ren te s o b je to s q u e n o s
le v a a fo rm a r a n o ç ão d e n ú m e ro n a tu ra l , u m fe n ô m en o q u e o c o r re m u ito c e e lo
em n o ssa s v id a s .
CapítuloZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s n ú m e r o s reais 15
A s s im , d e n o ta n d o c o m Fn o c o n ju n to d o s p r im e i r o s n ú m e r o s n a tu r a i s , F" =
{ l , 2 , 3 , . . . n}, é p r e c i s a m e n te o f a t o d e u m c o n ju n to A s e r e q u i p o te n te a Fn
q u e n o s f a z d i z e r q u e A t e m n e le m e n to s , o u te m o m e s m o n ú m e r o d e e le m e n to s
q u e F". D a í d e f i n i rm o s : u m c o n ju n to . f i s e d i z [inilo q u a n d o e x i s t e u m n ú m e r o
n a tu r a l n t a l q u e A s e j a e q u ip o te n te a o c o n ju n to Fn.
U m c o n ju n to s e d i z infinito q u a n d o n ã o f o r f i n it o .
N o c a s o d e c o n ju n to s f i n i t o s , s e r e m e q u i v a l e n te s c o r r e s p o nd e a te r e m o
m e s m o n ú m e r o d e e le m e n to s , d e s o r t e q u e o c o n c e i t o d e c a r d i n al i d a d e é o r e -
c u r s o n a tu r a l p a r a e s te n d e r , a c o n j u n to s i n f i n i t o s , o c o n c ei t o d e " n ú m e r o d e
e le m e n to s d e u m c o n ju n to " .
D i z - s e q u e d o i s c o n j u n to s q u a i s q u e r A e IJ t ê m a m e s m a cardinalidade, o u
o m e s m o número de elementos, s e e l e s f o r e m e q u ip o te n te s . C o m o s e v ê , e s s a
d e f i n i ç ã o , n o c a s o d e c o n ju n to s f i n i t o s , n ã o t r a z n a d a d e n o vo ; m a s e s te n d e , p a r a
c o n j u n to s i n f i n i t o s , a n o ç ã o d e " n ú m e r o d e e le m e n to s d e u m c on ju n to " . T a i s
n ú m e r o s s ã o o s c h a m a d o s números transfinitos.
C o n ju n to s e n u m e r á v e i s
O p r im e i r o c o n j u n to i n f i n i t o c o m q u e n o s f a m i l i a r i z a m o s é o co n ju n to -N d o s
n ú m e r o s n a tu r a i s . C h a m a - s e conjunto enumerál'el a to d o c o n ju n to e q u i v a l e n te
·a N .
U m d o s p r im e i r o s f a t o s s u r p r e e n d e n te s q u e s u r g e n a c o n s i d e ra ç ã o d e c o n ju n -
t o s i n f i n i t o s d i z r e s p e i t o à p o s s i b i l i d a d e d e h a v e r e q u i v a l ê n c i a e n t r e u m c o n ju n to
e u m s e u s u b c o n ju n to p r ó p r i o . P o r e x e m p lo , a c o r r e s p o n d ê n c ia n I-> 2n, q u e
a o 1 f a z c o r r e s p o n d e r 2 , a o 2 f a z c o r r e s p o n d e r 4 , a o 3 f a z c o r r es p o n d e r 6 , e t c . ,
e s t a b e l e c e e q u i v a l ê n c i a e n t r e o c o n ju n to e l o s n ú m e r o s n a tur a i s e o c o n ju n to e l o s
n ú m e r o s p a r e s p o s i t i v o s . V e j a : o c o n j u n to e l o s n ú m e r o s p a r e s p o s i t i v o s é u m
s u b c o n ju n to p r ó p r i o d o c o n ju n to N ; n o e n ta n to , t e m a m e s m a c ar d i n a l i e l a d e q u e
N , o u s e j a , o m e s m o n ú m e r o d e e le m e n to s . E s te f e n ô m e n o é u m a p ec u l i a r i d a d e
d o s c o n ju n to s i n f i n i t o s e e m n a e la c o n t r a d i z o q u e já s a b e m o ss o b r e c o n j u n to s
f i n i t o s . '
A e n u m e r a b i l i d a d e d o c o n ju n to Q
S e é s u r p r e e n d e n te q u e o c o n ju n to N s e ja e q u i v a l e n te a v á r i o sd e s e u s s u b c o n -
j u n to s p r ó p r i o s , m a i s s u r p r e e n d e n te é q u e o c o n ju n toQ d o s n ú m e r o s r a c i o n a i s
t a m b é m s e ja e q u i v a l e n te a N , i s t o é , s e j a e n u m e r á v e l .
D e a c o r d o c o m o E x e r c . 4 a d i a n te , p a r a p r o v a r i s s o é s u f i c i e n te t r a b a l h a r
c o m o c o n ju n to Q+ d o s r a c i o n a i s p o s i t i v o s . C o m e ç a m o s r e u n i n d o a s f r a ç õ e s
e m g r u p o s , c a d a g r u p o c o n te n d o a q u e la s q u es ã o i r r e d u t í v e i s e c u j a s o m a d o
16 CapítulocbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s números r e a is
n u m e ra d o r c o m o d e n o m in a d o r s e ja c o n s ta n te . P o r e x em p lo ,
1 2 3 4 5 6
6' 5 ' 4' 3' 2 ' 1
é o g ru p o d a s f r a ç õ e s c o m n u m e ra d o r e d e n o m in a d o r s o m a n d o 7 , en q u a n to
135
7 ' 5 ' 3'
7
1
é o g ru p o c o r r e s p o n d e n te à s o m a 8 . O b s e r v e q u e c a d a g ru p o d e s s e s te m u m
n ú m e ro f in i to d e e le m e n to s . B a s ta e n tã o e s c r e v e r to d o s o s g ru p o s , u m a p ó s
o u t r o , n a o rd em c re s c e n te d a s s o m a s c o r r e s p o n d e n te s , e e n u me ra r a s f r a ç õ e s n a
o rd em em q u e a p a re c em . É c la r o q u e to d o s o s n ú m e ro s r a c io n a is a p a re c e rã o
n e s s a l i s ta :
1 2 1 3 1 2 3 4 1 5
i ' 2' i ' 3 ' i ' 4' 3' 2 ' i ' "5' i ' · · ·
N ú m e ro s i r r a c io n a is
O p r im e i r o n ú m e ro i r r a c io n a l c o m q u e n o s f am i l ia r i z a m o s , a in d a n o e n s in o f u n -
d am e n ta l , é o n ú m e ro 7 r , r a z ã o d o c o m p r im e n to d e u m a c i r c u n f e r ê n c ia p e lo s e u
d iâ m e t r o - " .M a s , c o m o a d em o n s t r a ç ã o d a i r r a c io n a l id a d e d es s e n ú m e ro e s tá f o r a
d o a lc a n c e d a M a tem á t ic a d o e n s in o f u n d am e n ta l e m é d io ,o a lun o é a p e n a s
in f o rm a d o d e q u e a e x p a n s ã o d e c im a l d e s s e n ú m e roé in n n iÚ l . e n ã o p e r ió d ic a .
U m p o u c o m a is ta r d e , a in d a n o e n s in o f u n d am e n ta l , o a lu n o t r av a c o n h e c i -
m e n to c o m o s ra d ic a is ; e , n o v am e n te , é a p e n a s in f o rm a d o d e q ue n ú m e ro s c o m o
,;2, V3, e tc . , s ã o n ú m e ro s i r r a c io n a is ( e m b o ra e s te ja p e r f e i ta m e n te a o s e u a l -
c a n c e e n te n d e r a d em o n s t r a ç ã o d e i r r a c io n a l id a d e d e, ;2 q u e f i z em o s a t r á s , b em
c o m o o u t r a s d em o n s t r a ç õ e s d a d a s n o s e x e r c íc io s ) .
E s s e " a p re n d iz a d o " d o s n ú m e ro s i r r a c io n a is p o d e d e ix a r n o alu n o a im -
p r e s s ã o d e q u e n ú m e ro s i r r a c io n a is s ã o o7 r e a lg u n s r a d ic a is ; e e le ta lv e z a té
f o rm e a id é ia d e q u e o c o n ju n to d e s s e s n ú m e ro s s e ja b em re d u z id o , n o m á x im o
e n u m e rá v e l . M a s is to n ã o é v e rd a d e ; t r a ta - s e d e u m c o n ju n to in f in i to e n ã o
e n u m e rá v e l (E x e r c . 7 a d ia n te ) , f a to e s te q u e s e g u e c o m o c o n se q ü ê n c ia d a n ã o
e n u m e ra b i l i d a d e d o c o n ju r i . to d o s n ú m e ro s r e a is , q u e p ro v arem o s a s e g u i r .
~ A n ã o e n u m e ra b i l i d a d e d o c o n ju n to R
V im o s , u m p o u c o a t r á s , q u e o c o n ju n to Q é e n u m e rá v e l . I s to p o de r ia a té s u g e r i r
q u e to d o s o s c o n ju n to s in f in i to s f o s s em e n u m e rá v e is , .c o m od e f a to s e a c r e d i ta v a
f o s s e v e rd a d e . E m 1 8 7 4 C a n to r s u r p r e e n d e u o m u n d o m a tem á t ico c o m u m a d e
s u a s p r im e i r a s d e s c o b e r ta s im p o r ta n te s s o b re c o n ju n to s , ad e q u e o c o n ju n to
d o s n ú m e ro s r e a is n ã o é e n u m e rá v e l , o u s e ja , te m c a rd in a l id ad e d i f e r e n te d a d o
c o n ju n to N d o s n ú m e ro s n a tu r a is .
CapítuloXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s números reais 1 7
P a r a p r o v a r i s s o t r a b a lh a r e m o s c o m o s n ú m e r o s d o in te r v a lo(O , 1 ) , q u e te m a
m e sm a c a r d in a l i d a d e d a r e ta to d a (E x e r c . 8 a d ia n te ) . U s a r e mo s a r e p r e s e n ta ç ã o
d e c im a l . O b s e r v a m o s q u e a lg u n s n ú m e r o s tê m m a is d e u m a r e p r es e n ta ç ã o , c o m o
0 ,4 e 0 ,3 9 9 9 . . . P a r a q u e i s to n ã o a c o n te ç a , a d o ta r e m o s , p a r ac a d a n ú m e r o , s u a
r e p r e s e n ta ç ã o d e c im a l i n f i n i t a . A s s im ,
0 ,4 3 7 = 0,436000 ...; 0 ,0 5 2 = 0,051900 ...; e tc .
E c o m e s s e p r o c e d im e n to c a d a n u m e r o te r á u m a ú n i c a r e p r e s e n ta ç ã o d e c im a l
i n f i n i t a .
S u p o n h a m o s q u e f o s s e p o s s í v e l e s ta b e le c e r u m a c o r r e s p o n d ên c ia b iu n í v o c a
d o s n ú m e r o s d o in te r v a lo (O , 1 ) c o m o s n ú m e r o s n a tu r a i s . I s t oé o m e sm o q u e
s u p o r q u e o s n ú m e r o s d e s s e in te r v a lo s e ja m o s e le m e n to s d e u ma s e q ü ê n c ia
X l : X2, X3,'" E s c r i t o s e m s u a s r e p r e s e n ta ç õ e s d e c im a i s , e s s e s n ú m e r o s s er i a m ,
d ig a m o s ,
Xl = 0 , a l l a l 2 a 1 3 · · · aln ...
. X2 = 0 , a 2 1 a 2 2 ~ 2 3 a2n· ..
X3 =0 , a3ta32a33 a3n .. ,
. . . . . . . . . : . . . . ... . . ~.. . . . . . . .
3 A r e g r a n ã o p o d e p r o d u z i r u m n ú m e r o q u e s ó c o n te n h a z e r o s . a p ar t i r d e u m a c e r ta c a s a
d e c im a l , p o i s ta l n ú m e r o s e r i a c o n v e r t i d o n o u t r o c o m a lg a r i s m o s 9 a p a r t i r d e s s a m e sma c a s a ,
o q u a l p o d e r i a c o in c id i r c o m a lg u m n ú m e r o d a l i s t a .
1 8 C a p í t u l oihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s n ú m e r o s r e a i s
~ s- j
1 . C onstru a um a b ijeção en tre o con jun toN e o con jun to dos núm ero s ím pa res pos it iv o s .
2 . C onstru a um a b ijeção en tre o con jun toN e o con jun to dos núm ero s quad rados pe rfe ito s .
3 . C onstru a u rnab ijeçâo en tre o con jun to N C seu subcon jun to {n, n + 1 , n -I- 2 , ... } .
4 . S e jam A um con jun to f in ito e B um con jun to enum eráve l. M ostre que o con jun toA U B é
enum eráve l.
& supondo que A e B se jam do is con ju n to s in f in ito s enum eráve is , m ostre queA U B é enu -
m eráve l. P ro ve , em segu ida , que a un ião f in ita de con jun to s enum eráve is é enum eráve l.
6 . P ro ve que se um con jun to in f in ito não enum eráve lA é a un ião de do is ou tro sB e C , en tão
pe lo m enos um destes não é enum eráve l.
7 . P ro ve que o con jun to dos núm ero s irrac io na is nãoé enum eráve l.
8 . C onstru a um a b ijeção do in te rv a lo (0 ,1 ) na re ta(-0 0 , + 00 ).
9 . M ostre que todo con jun to in f in ito possu i um subcon jun to enum eráve l.
1 0 . D av id H ilb e rt (1 862 -1943 ) ce rta vez obse rvou que um ho tel com um núm ero in f in ito de
quartos sem p re pode aco rnodn r mais hóspedes, atém esm o uma infinidade deles, 1I1eSInO
que os qua rto s do ho te l já es te jam todos ocupados. M ostre como faze r isso .
R espostas , su~ estões e so l~ es
1 . n >-+ 2 n + 1 , n - O , 1 ,23 , ....
4 . S uponham os que os e lem en to s deA e B já es te jam enum erados, de so rte que
A .= { c i , ... a r} e B = {b,: tn, b 3 , " ' } :
Is to suge re à b ijeçã~ ' f : N' >-+ A U B, ass im de f in id a :
f ( j ) = a j , j = I , . . . , 7 · ; f ( j ) = b j - r , j = r + l , r + 2 , . . .
5 . S uponha p r im e iro que os con jun to sA e B se jam d is ju n to s . Em segu ida , reso lv a tam bém o
caso em que e les tenham in te rseção não vaz ia .' N o caso de vá r io s con jun to s A " A 2 , . · . , A n ,
rac io c in e in du tiv am en te , ob se rv ando queA , U A 2 U A 3 = ( A , U A 2 ) U A 3 ) , e tc .
7 . S e fo sse f in ito ou enum eráve l, tam bém ser ia enum eráve l o con jun to dos núm ero s rea is . P o r
quê?
8 . U m a poss ib i l id ade éy = tg (-rrx - 'I r/2 ) . F aça O g rá f ico pa ra se ce rti f ica r . A che ou tra so lu ção .
F aça o g rá f ico de y = - 1 / x e ve ja que esta fu n ção tem o com po rtam en to dese jado na
o r ig em , m as não em x = 1 . F aça o g rá f ico dey = 1 /(1 - x ) e ve ja que esta tem o
com po rtam en to dese jado emx = 1 , m as não na o r ig em . E a so rna das duas, reso lv e? Ser ia
y = ( 2 x - 1 ) / x ( 1 - x ) . E stude o g rá f ico des ta fu n ção .
9 . E sco lh a um e lem en to qua lque r do con jun to e deno te -o x ,. E sco lh a ou tro e lem en to e deno te -
o X2. E sco lha ou tro d ife ren te deXl e de X2 e deno te -o X3, e ass im po r d ian te . O p ro cesso
con tin ua in de f in id am en te po rque o con jun to dado é in f in ito, d e fo rm a que , pa ra todo in te iro
pos it iv o n , se rá sem p re poss ív e l en con tra r um e lem en to do con jun to , d ife ren te de z i , X2,
X n , que se rá deno tado x n+ I.
10 . S e chega r um hóspede novo , co lo que -o no qua rto núm ero 1 , tran s fe r in do o ' h ó spede que
estava neste qua rto pa ra o qua rto 2 , o do qua rto 2 pa ra o qua rto3 , e ass im po r d ian te .
E se chega rem n hóspedes? Se chega rem in f in ito s hóspedes, tam bém não há p rob lem a ,
m ude o hóspede do qua rton pa ra o qua rto 2n; ass im f ica rão vagos os in f in ito s qua rto s de
núm ero s ím pa res , pa ra ab r ig a r o s in f in ito s hóspedes que estão chegando . .
CapítuloZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s números r e a i s 1 9
G r a n d e z a s i n c o m e n s u r á v e i s
H is t o r i c a m e n te , a p r im e i r a e v i d ê n c i a d a n e c e s s i d a d e d o s n úm e r o s i r r a c i o n a i s
o c o r r e c o m a id é i a d e " i n c o m e n s u r a b i l i d a d e " , q u e e x p l i c a r em o s l o g o a d i a n t e .
C o m e c e m o s l e m b r a n d o q u e n a G r é c i a a n t i g a , o s ú n i c o s n ú m e r o sr e c o n h e c i d o s
c o m o ta i s e r a m o s n ú m e r o s n a t u r a i s 2 , 3 , 4 , e t c . O p r ó p r i o 1 n ã oe r a c o n s i d e r a d o
n ú m e r o , m a s a " u n i d a d e " , a p a r t i r d a q u a l s e f o r r n a v a r r r o s n úm e r o s . A s " f r a ç õ e s
s ó a p a r e c i a m in d i r e t a m e n te , n af o rm a d e r a z ã o d e d u a s g r a n d e z a s , c o m o , p o r
e x e m p lo , q u a n d o d i z e m o s q u e o v o l u m e d e u m a e s f e r a e s t á p a r a o v o l u m e d o
c i l i n d r o r e t o q u e a c i r c u n s c r e v e c o m o"2 e s t á p a r a 3.
O s n ú m e r o s q u e h o j e c h a m a m o s d e " i r r a c i o n a i s " t a m b é m n ã o e x is t i a m n a
M a te m á t i c a g r e g a . A s s im c o m o a s f r a ç õ e s , e l e s i r i a m a p a r e c er i n d i r e t a m e n te ,
t a m b é m c o m o r a z õ e s d e g r a n d e z a s d a m e s m a e s p é c i e , c o m o c o m p rim e n to s , á r e a s
o u v o l u m e s ; e , a o q u e p a r e c e , f o r a m d e s c o b e r t o s n o s é c u l oV a .C . N ã o s a b e m o s
s e e s s a d e s c o b e r t a f o i f e i t a p o r u m a r g u m e n to p u r a m e n te n u m ér i c o , c o m o o d a
d e m o n s t r a ç ã o d a p . 8 ; p o d e s e r q u e o s g r e g o s t e n h a m u t i l i z a d oa l g u m a c o n s -
t r u ç ã o g e o m é t r i c a , c o m o aq u e v a m o s d e s c r e v e r a d i a n t e , e n v o l v e n d o ad i a g o n a l
e o l a d o d e u m q u a d r a d o . \
A m e d i ç ã o d e s e g m e n to s
P a r a b e m e n te n d e r e s s a q u e s t ã o , c o m e c e m o s l e m b r a n d o o p r o b le m a d e c o m p a r a r
g r a n d e z a s d a m e s m a e s p é c i e , c o m o d o i s s e g m e n to s d e r e t a , d u as á r e a s o u d o i s
v o l u m e s . P o r e x e m p lo , n o c a s o d e d o i s s e g m e n to s r e t i l í n e o sAB e CD, d i z e r
q u e a r a z ã o AB IC D é o n ú m e r o r a c i o n a l tnl n , s i g n i f i c a q u e e x i s t e u m te r c e i r o
s e g m e n to E F t a l q u e A B s e j a m v e z e s E F e C D n v e z e s e s s e m e s m o s e g m e n to
EF. N a F ig . 1 .3 i l u s t r a m o s e s s a s i t u a ç ã o c o mm = 8 e n = 5 .
A l!
I
AB 8
=-
CD 5
I I
C {) F. F
F ig . 1 .3
N o te b e m q u e AB e C D s ã o s e g m e n to s , n ã o n ú m e r o s . É p o r i s s o q u e " r a z ã o "
n ã o é o m e s m o q u e " f r a ç ã o " . O s g r e g o s n ã o u s a v a m " f r a ç õ e s " , a p e n a s" r a z õ e s " .
E n ã o e s c r e v i a m A B 1C D p a r a i n d i c a r a r a z ã o d e d o i s s e g m e n to s . M e s m o n o s
d i a s d e h o j e c o s t u m a - s e e s c r e v e rAB : C D = m : n, e d i z e r "AB e s t á p a r a CD
a s s im c o m o m " e s t á p a r a n". Q u a n d o i n d i c a m o s a r a z ã o c o mAB 1C D, e m v e z
d e AB : C D, n ã o d e v e m o s c o n f u n d i - I a c o m f r a ç ã o .
2 0 C a p ítu loZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s n ú m e ro s re a is
N o te m p o d e P i tá g o r a s ( 5 8 0 - 5 0 0 a .C . a p r o x im a d a m e n te ) - e m e sm o d u r a n te
b o a p a r te d o s é c u lo V a .C . - , p e n s a v a - s e q u e d a d o s d o i s s e g m e nto s q u a i s q u e r ,
A B e CD, s e r i a s e m p r e p o s s í v e l e n c o n t r a r u m te r c e i r o s e g m e n toEF c o n t i d o
u m n ú m e r o in te i r o d e v e z e s e mA B e o u t r o n ú m e r o in te i r o d e v e z e s e m CD ,
s i t u a ç ã o e s ta q u e d e s c r e v e m o s d i z e n d o q u eE F é u m su b m ú ltip lo c o m u m d e A B
e C D . U m a s im p le s r e f l e x ã o r e v e la q u e e s s a é u m a id é ia m u i to r a z o á ve l ; a f i n a l ,
s e EF n ã o s e r v e , p o d e m o s im a g in a r u m s e g m e n to m e n o r , o u t r o m e n o r ain d a , e
a s s im p o r d ia n te . N o s s a in tu i ç ã o g e o m é t r i c a p a r e c e d i z e r - no s q u e h á d e e x i s t i r
u m c e r to s e g m e n to E F , t a l v e z m u i to p e q u e n o , m a s s a t i s f a z e n d o a o s p r o p ó s i t o s
d e s e ja d o s . N a F ig . 1 .4 i l u s t r a m o s u m a s i t u a ç ã o c o m s e g m e n toE F b e m m e n o r
q u e o d a F ig . 1 .3 . O le i t o r d e v e i r m u i t o a lé m , im a g in a n d o u m s eg m e n to EF t ã o
p e q u e n o q u e n e m s e p o s s a m a is d e s e n h a r , p a r a s e c o n v e n c e r , p ela s u a in tu i ç ã o
g e o m é t r i c a , d a p o s s ib i l i d a d e d e s e m p r e e n c o n t r a r u m s u b m ú lt i p l o c o m u m d e
A B e CD.
A B
I IIII1 I II I I I I I I I I I I I I I I I 1I I I I I
c ()
AB 29
- - - -
CD 26
~
1
I I I I II I J I I I I I I I I I I I 1I I I I I I I
,F i g . lA
D o i s s e g m e n to s n e s s a s c o n d i ç õ e s s ã o d i t o sc o m e n su rá v e is, j u s ta m e n te p o r
s e r p o s s í v e l m e d i - I o s a o m e sm o te m p o . c o m a m e sm a u n id a d eE F. E n t r e ta n to ,
n ã o é v e r d a d e q u e d o i s s e g m e n to s q u a i s q u e r s e ja m s e m p r e c o m en s u r á v e i s . E m
o u t r a s p a la v r a s , e x i s te m s e g m e n to s A B e CD s e m u n id a d e c o m u m E F , o s
c h a m a d o s s e g m e n to s in c o m e n su rá v e is. E s s e é u m f a to q u e c o n t r a r i a n o s s a in -
t u i ç ã o g e o m é t r i c a , e p o r i s s o m e sm o a d e s c o b e r ta d e g r a n d e z as in c o m e n s u r á v e i s
~ a a n t i g ü id a d e f o i m o t i v o d e m u i ta s u r p r e s a p a r a to d o s o s m a te m á t i c o s d a q u e la '( \
~o~ ~t
, ,~'
S e g m e n to s in c o m e n s u r á v e i s \ç . 1 \ / \ n! /'., I 'r) ,J ' f
, '-<. O lj"-' ( ;,.'f , vV (,,\7\ a :
F o r a m o s p r ó p r i o s p i t a g ó r i c o s q u e d e s c o b r i r a m q u e o la d o eVa d ia g o n a l d e u m
q u a d r a d o s ã o g r a n d e z a s in c o m e n s u r á v e i s . I s s o a c o n te c e u p ro v a v e lm e n te e n t r e
4 5 0 e '4 0 0 a .C . V a m o s d e s c r e v e r , a s e g u i r , u m a r g u m e n to g e o m ét r i c o q u e d e m o n s -
t r a e s s e f a to .
A F ig . 1 .5 i l u s t r a u m q u a d r a d o c u ja d ia g o n a l é d e n o ta d a p o ró = A B e c u jo
la d o é , \ = AC. S u p o n h a m o s q u e ó e À s e ja m c o m e n s u r á v e i s . E n tã o e x i s t i r á u m
te r c e i r o s e g m e n to (J' q u e s e ja u m s u b m ú l t i p l o c o m u m d eó e '\ . F a z e m o s a g o r a
a s e g u in te c o n s t r u ç ã o : t r a ç a m o s o a r c o CD c o m c e n t r o e m A e o s e g m e n to
CapítuloXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s nú m e r o s reais 2 1
c
·F ig . 1 .5
F
ED t a n g e n te a e s s e a r c o e mD, d e s o r t e q u e AD ~ AC. E n tã o , n o s t r i â n g u l o s
r e t â n g u lo s AGE e ADE, o s c a te t o s AG e AD s ã o i g u a i s , e c o m o a h ip o te n u s a
AE é c o m u m , c o n c l u ím o s q u e s ã o ta m b é m ig u a i s o s c a te t o sCE e DE (= BD).
P o r t a n to ,
ó = AB = AD + BD = À + BD,
,\= BC = BE + Ec:' = BE + BD,
o u s e j a ,
C o m o o s e g m e n to (T é s u b m ú l t i p l o c o m u m d e { j e À, c o n c l u ím o s , p o r ( 1 .1 ) ,
q u e (T t a m b é m é s u b m ú l t i p l o d e B D. D a q u i e d e ( 1 .2 ) s e g u e - s e q u e(T t a m b é m
é s u b in ú l t i p l o d e B E. P r o v a m o s a s s im q u e , s e h o u v e r u m s e g m e n to(T q u e
s e j a s u b m ú l t i p l o c o m u m d e ó = AB e À = AC, e n tã o o m e sm o s e g m e n to (T
s e r á s u b m ú l t i p l o c o m u m d e B E e B D, s e g m e n to s e s s e s q u e s ã o a d ia g o n a l
e o l a d o d o q u a d r a d o B D E F. O r a , a m e sm a c o n s t r u ç ã o g e o m é t r i c a q u e n o s
p e rm i t i u p a s s a r d o q u a d r a d o o r i g i n a l a o q u a d r a d o B D EF p o d e s e r r e p e t i d a c o m
e s te ú l t im o p a r a c h e g a rm o s a ' u m q u a d r a d o m e n o r a i n d a ; e a s s im p o r d i a n te ,
i n d e f i n i d a m e n te ; e e s s e s q u a d r a d o s v ã o - s e to r n a n d o a r b i t ra r i a m e n te p e q u e n o s ,
p o i s , c o m o é f á c i l v e r , a s d im e n s õ e s d e c a d a q u a d r a d o d im in u e m e m m a is d a
m e ta d e q u a n d o p a s s a m o s d e u m d e le s a s e u s u c e s s o r . l 2 .e s s a m an e i r .§ , . p r o y a r n .g ; ; ·
q u e o s e g m e n to (T d e v e r á s e r s l I b m l Í l t i p l o c o m u m d o la d o e d a d ia g o n a l d e 1 1 m
q t l a d r a d o tã o p e q u e n o q u a n to d e s e j e m o s . 9 p e éa b s u r d o . S o m o s , p o i s , l e v a d o s a>
r e j e i t a r a s u p o s i ç ã o i n i c i a l d e c o m e n s u r a b i l i d a d e d eAC e AB. C o n c lu ím o s , p o i s ,
q u e o lado e a diagonal de qualquer quadrado são grandezas incomensuráveis,
( 1 . l )
: \ ~
. : . - I
( 1 .2 )
2 2CBAC a p í t u l o 1 : O s n ú m e r o s r e a is
c o m o q u e r ía m o s p r o v a r .
o r e tâ n g u lo á u r e o
H á v á r io s o u t r o s m o d o s d e e s ta b e le c e r a e x is tê n c ia d e s e g m e nto s in c o m e n -
s u r á v e is , u m d o s q u a is b a s e a d o n o " r e tâ n g u lo á u r e o " , q u e d isc u t i r e m o s a s e g u i r .
B F c
F ig . I .6
o.
a b
a+~
a
A f )F.
C h am a - s e r e t â n g u l o á u r e o a q u a lq u e r r e tâ n g u lo A B C D (F ig . 1 .6 ) c o m
a s e g u in te p r o p r ie d a d e : s e d e le s u p r im i rm o s u m q u a d r a d o . c om o A B F E , o
r e tâ n g u lo r e s ta n te , C DE F , s e r á s em e lh a n te a o r e tâ n g u lo o r ig in a l . S ea + b e a
s ã o o s c o m p r im e n to s d o s la d o s d o r e tâ n g u lo o r ig in a l , a d e f ini ç ã o -d e r e tâ n g u lo
á u r e o t r a d u z - s e n a s e g u in te r e la ç ã o :
a + b a
a b
( 1 .3 )
o r e tâ n g u lo á u r e o te m s id o c o n s id e r a d o , d e s d e a a n t ig ü id a d e gr e g a , c o m o o
re tâ n g u lo m a is b em p ro p o r c io n a d o e d e m a io r v a lo r e s té t i c o ;e te m s id o u t i l i z a d o
p o r v á r io s a r q u i te to s e p in to r e s em s u a s o b r a s d e a r te .
A r a z ã o < /J = a t b é c h am a d a r a z ã o á u r e a . À s v e z e s , o in v e r s o d e s s e n ú m e ro ,
' P = l / < /J = b ] a , é c h am a d o n ú m e r o á u r e o . D iv id in d o n u m e ra d o r e d e n o m in a d o r
d a p r im e i r a f r a ç ã o em (1 .3 ) p o rb, o b te m o s a e q u a ç ã o d o 22 g r a u < /J 2 - < /J - 1 = O
p a r a d e te rm in a r < /J . C o m o já s a b em o s q u e e s te n ú m e ro é p o s i t i v o , s e u v a lo r é a
r a iz p o s i t i v a d a e q u a ç ã o a n te r io r , i s to é ,< /J = ( J 5 + 1 ) /2 ~ 1 ,6 1 8 . O n ú m e ro
á u r e o , p o r s u a v e z , r e s u l ta s e r' P = ( J 5 - 1 ) /2 ~ 0 ,6 1 8 . O b s e r v e q u e< /J = ' ' P + 1 ,
d e s o r te q u e < /J e ' P t ê m a m e sm a p a r te d e c im a l . N o te ta m b ém q u e< /J = 1 / ' P . -
A e x p r e s s ã o n u m é r ic a d e< /J j á p r o v a q u e e s te n ú m e ro é i r r a c io n a l . N o e n ta n to ,
p o d em o s p r o v a r , g e o m e t r i c a m e n te , c o m o n o c a s o d o la d o e d ia go n a l d e u m
q u a d r a d o , q u e o s la d o s d e u m re tâ n g u lo á u r e o s ã o in c o m e n s u r áv e is . (V e ja o
E x e r c . - 2 a d ia n te . )
CapítuloYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 : O s números r e a i s 2 3
F i g . 1 .7
a b