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Seja a um número positivo menor do que 1/2, logo 2-a = 1 - J, com 0 < J < 1. Retire do intervalo [0,1] um intervalo aberto J1, de comprimento u e c...

Seja a um número positivo menor do que 1/2, logo 2-a = 1 - J, com 0 < J < 1. Retire do intervalo [0,1] um intervalo aberto J1, de comprimento u e centro em um ponto x1/2. Tomando seguida, com centros nos pontos médios dos intervalos restantes, retire os intervalos abertos J2 e J3, ambos de comprimento u/2. Repetindo o processo H vezes, restam 2^H intervalos fechados, dois a dois disjuntos, de iguais comprimentos. A (H+1)-ésima etapa consiste em retirar um intervalo aberto de comprimento u/2^H e centro em cada um dos pontos médios dos intervalos restantes. Prove que a união desses intervalos abertos é um conjunto denso em [0,1].


Essa pergunta também está no material:

Elon Lages Lima - Análise Real Exercícios + Soluçôes) 2(2004, IMPA)
45 pág.

Análise Real Universidade Estadual de Montes ClarosUniversidade Estadual de Montes Claros

💡 1 Resposta

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Para provar que a união desses intervalos abertos é um conjunto denso em [0,1], precisamos mostrar que qualquer ponto em [0,1] pode ser aproximado por um ponto em um desses intervalos abertos. Seja x um ponto em [0,1]. Podemos encontrar um intervalo aberto J1 de comprimento u e centro em x1/2, tal que x pertence a J1. Em seguida, podemos encontrar um intervalo aberto J2 de comprimento u/2 e centro no ponto médio do intervalo restante, tal que J2 contém x. Repetindo esse processo H vezes, podemos encontrar um intervalo aberto JH de comprimento u/2^H e centro no ponto médio do intervalo restante, tal que JH contém x. Na (H+1)-ésima etapa, retiramos um intervalo aberto de comprimento u/2^H e centro em cada um dos pontos médios dos intervalos restantes. Portanto, podemos encontrar um intervalo aberto J(H+1) de comprimento u/2^(H+1) e centro em um desses pontos médios, tal que J(H+1) contém x. Assim, podemos aproximar qualquer ponto em [0,1] por um ponto em um desses intervalos abertos. Portanto, a união desses intervalos abertos é um conjunto denso em [0,1].

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