Determine L para que a função dada seja contínua em R. (a) f (x) = { sen(x² + 2)− sen(x + 2) / x, se x ≠ 0; L, se x = 0 }

Para que a função \( f(x) \) seja contínua em \( R \), precisamos garantir que o limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 0 seja igual a \( f(0) = L \). Vamos calcular o limite: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x^2 + 2) - \sen(x + 2)}{x} \] Usando a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \): 1. Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada do numerador: \( \cos(x^2 + 2) \cdot 2x - \cos(x + 2) \) - Derivada do denominador: \( 1 \) 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \cos(x^2 + 2) - \cos(x + 2)}{1} \] Substituindo \( x = 0 \): \[ = 2(0) \cos(0^2 + 2) - \cos(0 + 2) = 0 - \cos(2) \] Portanto, o limite é \( -\cos(2) \). Para que a função seja contínua em \( x = 0 \), devemos ter: \[ L = -\cos(2) \] Assim, o valor de \( L \) que torna a função contínua em \( R \) é \( L = -\cos(2) \).