EAE0522-2023-Aula04-nopauses

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EAE 0522: Teoria dos Jogos - Aula 04
Aplicações: Cournot, Bertrand,
Hotelling e Tragédia dos Comuns
Felipe Shalders
FEA-USP, Brasil
fshalders@usp.br
Março de 2023
Introdução
▶ Previamente:
▶ Estratégias mistas.
▶ Existência de EN.
▶ Nesta aula:
▶ primeira parte de aplicações em organização industrial e
economia polı́tica.
▶ Cournot e Bertrand, com algumas de suas variações.
▶ Tempo permitindo: Hotelling e Tragédia dos Comuns.
Cournot
Duopólio de Cournot
▶ Em equilı́brio competitivo: firmas tomas p como dado e
escolhem qi.
max
qi
p · qi − c(qi).
p vem de um leiloeiro Walrasiano.
Firmas são pequenas e incapazes de afetar p.
▶ Em Cournot, existem poucas firmas no mercado.
Duopólio de Cournot: o jogo
▶ I = {1, 2} (firmas).
▶ Uma estratégia é uma quantidade qi ∈ R+.
▶ πi(qi, q−i) lucro:
πi(qi, q−i) = P(Q)qi − c · qi
onde
Q = qi + q−i,
P(Q) = a − b ·Q, e
c > 0.
Duopólio de Cournot: definição de EN
Def.: Um equilı́brio de Nash do duopólio de Cournot é um par (q∗1, q
∗
2)
tal que
q∗1 ∈ arg maxq1
P(q1 + q∗2)q1 − c · q1
e
q∗2 ∈ arg maxq2
P(q∗1 + q2)q2 − c · q2.
Duopólio de Cournot: melhores respostas
▶ Lembrando que P(Q) = a − bQ, temos
q∗1 ∈ arg maxq1
P(q1 + q∗2)q1 − c · q1
q∗1 ∈ arg maxq1
[a − b(q1 + q∗2)]q1 − c · q1.
▶ FOC:
a − 2bq∗1 − bq
∗
2 − c = 0
q∗1 =
a − c − bq∗2
2b
=
a − c
2b
−
q∗2
2
▶ Analagomente,
q∗2 =
a − c − bq∗1
2b
=
a − c
2b
−
q∗1
2
Duopólio de Cournot: melhores respostas
▶ Temos duas equações, duas incógnitas:
q∗1 =
a − c
2b
−
q∗2
2
q∗2 =
a − c
2b
−
q∗1
2
.
▶ Substituindo,
q∗1 =
a − c
2b
−
1
2
[
a − c
2b
−
q∗1
2
]
=
a − c
4b
+
q∗1
4
⇒ q∗1 =
a − c
3b
.
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
▶ De forma análoga, chegamos a q∗2 e ao EN:
q∗1 =
a − c
3b
q∗2 =
a − c
3b
.
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
FOC:
q∗2(q1) =
a − c
2b
−
q1
2
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
FOC:
q∗2(q1) =
a − c
2b
−
q1
2
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
FOC:
q∗2(q1) =
a − c
2b
−
q1
2
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
FOC:
q∗1(q2) =
a − c
2b
−
q∗2
2
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
FOC:
q∗1 =
a − c
2b
−
q∗2
2
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
FOC:
q∗1 =
a − c
2b
−
q∗2
2
Duopólio de Cournot: o Equilı́brio de Nash
Equilı́brio de Nash:
q∗1 = q
∗
2 =
a − c
3b
Duopólio de Cournot: propriedades do EN
q∗1 =
a − c
3b
q∗2 =
a − c
3b
.
▶ A quantidade total produzida em EN é
Q∗ = q∗1 + q
∗
2 =
2(a − c)
3b
.
▶ Q∗ e q∗i
▶ sobem quando a sobe;
▶ caem quando c sobe;
▶ caem quando b sobe.
Duopólio de Cournot vs monopolista
q∗1 =
a − c
3b
, q∗2 =
a − c
3b
.
▶ Um monopolista resolveria:
max
qM
(
a − bqM
)
qM − c · qM
0 =a − b2qM∗ − c
qM∗ =
a − c
2b
▶ Comparando com o EN:
▶ qM∗ > q∗i ;
▶ mas qM∗ < Q∗.
Duopólio de Cournot vs monopolista
Q∗ = q∗1 + q
∗
2 =
2
3
(a − c)
b
qM∗ =
1
2
(a − c)
b
▶ Em EN:
P∗ = P(Q∗) =a − b
2
3
a − c
b
=a −
2
3
a − c
1
=
1
3
(a + 2c) .
▶ Em monopólio:
PM = P
(
qM∗
)
=a − b
1
2
a − c
b
=
1
2
(a + c) .
Duopólio de Cournot vs monopolista
▶ Em EN:
P∗ =
1
3
(a + 2c) .
▶ Em monopólio:
PM =
1
2
(a + c) .
▶ Como P(Q) é decrescente em Q, P∗ < PM.
▶ Nos dois casos, preço sobe com a e c.
Duopólio de Cournot vs monopolista
▶ Em EN:
P∗ =
a + 2c
3
, q∗i =
a − c
3b
π∗i =πi(q
∗
i , q
∗
−i) = (P
∗
− c)q∗i =
(a − c)2
9b
▶ Em monopólio:
PM =
a + c
2
, qM∗ =
a − c
2b
πM =(PM − c)qM∗ =
(a − c)2
4b2
▶ Note que π∗1 + π
∗
2 < π
M.
Duopólio de Cournot vs monopolista: Conclusão
▶ Em EN, uma firma produz menos do que produziria se fosse
monopolista.
▶ Conjuntamente, produzem mais do que um monopolista
produziria.
▶ Preço em EN é menor do que o do monopolista.
▶ Lucro agregado de duopólio é inferior ao do monopolista.
Duopólio de Cournot vs concorrência perfeita
▶ Em EN, Q∗ < QM∗ e P∗ > PM.
▶ Como fica a comparação do duopólio vs concorrência perfeita?
▶ Lembrando que P(Q) = a − bQ, qual é o preço de concorrência?
▶ Em concorrência perfeita, existe um preço PC tal que
oferta=demanda.
▶ Demanda é dada por P(Q). E oferta?
▶ Firma i oferta qi de forma a maximizar
PCqi − c · qi.
▶ Problema só tem solução se PC = c.
Duopólio de Cournot vs concorrência perfeita:
Conclusão.
▶ Firma i oferta qi de forma a maximizar
PCqi − c · qi.
▶ Problema só tem solução se PC = c.
▶ O lucro de duopólio é positivo, o de concorrência perfeita é zero.
Duopólio de Cournot: Conclusão
▶ Lembrando que P∗ = a+2c3 , temos
PC = c < P∗.
▶ Segue que QC > Q∗.
▶ Ou seja,
▶ Monopolista produz menos que a quantidade agregada em
Cournot,
que é menor do que a quantidade de equilı́brio competitivo.
qM∗ < 2q∗i < Q
C.
▶ Monopolista cobra mais do que firmas em Cournot,
que cobram mais do que o preço competitivo.
PM∗ > P∗ > PC.
▶ Monopolista lucra mais que o lucro agregado em Cournot,
que é maior do que o lucro agregado de equilı́brio
competitivo.
πM∗ > 2π∗i > π
C.
Duopólio de Cournot: Variações
▶ Duopólio ou oligopólio?
▶ Custos marginais diferentes.
▶ EN em estratégias mistas?
EN em estratégias mistas no
duopólio de Cournot?
Doupólio de Cournot e estratégias mistas
Questão do Teste 01, 2022:
▶ Considere um duopólio de Cournot: duas firmas, A e B,
competem em um mercado. Firma A escolhe qA e firma B escolhe
qB.
▶ A oferta agregada é dada por Q = qA + qB. A demanda agregada
é dada por
P(Q) = 15 − 3Q.
▶ Firmas maximizam receita, isto é, a firma i maximiza P(Q) · qi
tomando q−i como dada.
Doupólio de Cournot e estratégias mistas
a) Ache a função melhor resposta da firma A.
b) Ache um Equilı́brio de Nash em estratégias puras deste jogo.
Existe outro?
c) Suponha que a firma B utilize uma estratégia mista: com
probabilidade p ∈ (0, 1), B escolhe produzir q∗B; com
probabilidade complementar, produz q∗∗B , com q
∗∗
B ∈ (q
∗
B, 5). Ache a
melhor resposta da firma A.
Oligopólio de Cournot (N > 2)
Oligopólio de Cournot: o jogo
▶ I = {1, 2, · · · ,N} (firmas).
▶ Qi = [0,∞) (estratégia é uma quantidade qi ∈ R+).
▶ πi(qi, q−i) lucro:
πi(qi,Q−i) = P(Q)qi − c · qi
onde
Q = qi +Q−i,
Q−i =
∑
j,i
q j,
P(Q) = a − b ·Q, e
c > 0.
Oligopólio de Cournot: melhor resposta
▶ Firma i resolve:
max
qi
(a − b(Q−i + qi))qi − c · qi
⇒a − c − bQ−i − 2bqi = 0
qi =
a − c − bQ−i
2b
▶ Somando em i,
Q =
N(a − c)
2b
−
(N − 1)Q
2
Q
N + 1
2
=
N(a − c)
2b
Q =
(a − c)
b
N
N + 1
Oligopólio de Cournot: preço de equilı́brio
Q =
(a − c)
b
N
N + 1
▶ Note que
▶ Quando N = 2, o resultado coincide com o achado
anteriormente.
▶ O preço será dado por
P(Q) = a − bQ = a − (a − c)
N
N + 1
= a
1
N + 1
+ c
N
N + 1
.
Quando N→∞,
lim
N→∞
P(Q) = c.
Oligopólio de Cournot: observação (1)
Q =
(a − c)
b
N
N + 1
qi =
a − c − bQ−i
2b
▶ Este é um jogo simétrico entre as firmas.
▶ Nem todo equilı́brio de um jogo simétrico é simétrico.
▶ Neste caso, o único EN é simétrico.
2bqi =a − c − bQ−i
bqi =a − c − bQ
Oligopólio de Cournot: observação (2)
bqi =a − c − bQ
bq =a − c − bNq
q =
a − c
b(N + 1)
▶ O único EN em estratégias puras é simétrico.
▶ E em estratégias mistas?
max
qi
E
[(
a − b(qi + q−i)
)
qi − c · qi
]
max
qi
E
[
aqi − bq2i + −bq−iqi − c · qi
]
max
qi
aqi − bq2i + −bE
[
q−i
]
qi − c · qi
▶ A melhor resposta de i vai ser degenerada.
⇒ Não há EN em estratégias mistas.
Conclusão
▶ Oligopólio de Cournot:
▶ ”Competição em quantidades”.
▶ Para dado N, equilı́brio está entre monopólio e competição
perfeita.
▶ O equilı́brio se aproxima da competição perfeita a medida
que N aumenta.
Cournot com custos assimétricos
Duopólio de Cournot: caso assimétrico
▶ Demanda P(Q) = a − bQ.
▶ Firma 1 tem custo c1;
▶ Firma 2 tem custo c2 > c1.
▶ Como essa mudança afeta o equilı́brio?
Duopólio de Cournot: caso assimétrico
▶ Vamos manter hipóteses que garantem quantidades positivaspara ambas firmas.
▶ Melhor resposta da firma 1:
max
q1
[
(a − b(q1 + q2) − c1
]
q1
a − 2bq1 − bq2 − c1 = 0
q1 =
a − c1 − bq2
2b
▶ E análogo para a firma 2.
▶ Lista 02.
Bertrand
Bertrand
▶ Em Cournot, competição em quantidades.
▶ Em Bertrand, competição em preços.
→ Produtos homogêneos.
→ (Duas) firmas escolhem simultaneamente seus preços.
→ Aquela com o menor preço leva o mercado inteiro.
Bertrand
▶ O lado da demanda é representado por
Q(p) = a − p.
▶ A demanda da firma 1 é
q1(p1, p2) =

a − p1, se p1 < p2,
1
2 (a − p1), se p1 = p2,
0, se p1 > p2
.
▶ Assumindo CMg constantes (c > 0), temos
π1(p1, p2) =

(a − p1)(p1 − c), se p1 < p2,
1
2 (a − p1)(p1 − c), se p1 = p2,
0, se p1 > p2
.
Bertrand
▶ O lado da demanda é representado por
Q(p) = a − p.
▶ Vamos implicitamente assumir que pi ≤ a.
▶ Se uma firma fosse monopolista, iria resolver
max
p≤a
(a − p)(p − c) ≡ max
p≤a
ap − p2 − ca + pc
⇒a − 2pM + c = 0
pM =
a + c
2
.
Bertrand: Melhor resposta
π1(p1, p2) =

(a − p1)(p1 − c), se p1 < p2
1
2 (a − p1)(p1 − c), se p1 = p2,
0, se p1 > p2
▶ Suponha que firma 2 escolha p2.
▶ Qual é a melhor resposta da firma 1?
▶ Depende: como p2 se relaciona com c e com pM = a+c2 .
▶ Suponha por exemplo que c = 1, pM = 5.
▶ Para preços muito altos (p2 > pM), BR1(p2) = pM.
▶ Para preços muito baixos (p2 < c),
Bertrand: Melhor resposta
▶ E preços intermediários? Suponha p2 = 3.
Bertrand: Melhor resposta
▶ E preços intermediários? Suponha p2 = 3.
Bertrand: Melhor resposta
▶ E preços intermediários? Suponha p2 = 3.
Em azul, o lucro da firma 1 como função de p1.
Bertrand: Melhor resposta
▶ Quando p2 = 3, a firma 1 quer cobrar o maior preço possı́vel,
desde que este seja estritamente menor que 3.
p1 = max{p : p < 3}.
▶ Isto não é possı́vel (o máximo não existe).
▶ Em outras palavras, a melhor resposta não está definida.
▶ Isto ocorre para todo p2 ∈ (c, pM].
▶ Isto não ocorre para p2 = c.
Bertrand: Melhor resposta
▶ Se p2 > pM, então BR1(p2) = pM.
▶ Se p2 ∈ (c, pM], então BR1(p2) = ∅.
▶ Se p2 ∈ [0, c), então BR1(p2) = {p1 : p1 > p2} = (p2, a].
▶ Se p2 = c,
▶ e p1 < p2, então...
▶ e p1 = p2, então...
▶ e p1 > p2, então...
Bertrand: Equilı́brio de Nash
1. Se p2 > pM, então BR1(p2) = pM.
2. Se p2 ∈ (c, pM], então BR1(p2) = ∅.
3. Se p2 ∈ [0, c), então BR1(p2) = {p1 : p1 > p2} = (p2, a].
4. Se p2 = c, então BR1(p2) = [c, a].
- A melhor resposta da firma 2 é idêntica.
- Quais são os EN?
1. Se p2 > pM, então p1 = pM mas p2 < BR2(pM)
2. Não podemos ter p2 ∈ (c, pM].
3. Se p2 < c, então π2 < 0.
4. p1 = p2 = c: EN.
Bertrand: Propriedades do Equilı́brio de Nash
▶ O único Equilı́brio de Nash do jogo acima é p1 = p2 = c.
▶ Em equilı́brio, todas as firmas tem lucro zero.
▶ Resultado contrasta com Cournot: firmas tinham lucro positivo
→ 0 quando N→∞.
▶ Preços competitivos: basta N = 2, ou até mesmo N = 1 (mercados
contestáveis).
Bertrand: Comparação com Cournot
▶ Imagine um duopólio de Cournot em que q1 = qM.
▶ Firma 2 pode produzir um pouco q2 > 0, e ter lucros positivos.
▶ Daı́ firma 1 decide reduzir um pouco q1.
▶ Daı́ firma 2 decide aumentar um pouco q2 · · · .
▶ O processo converge para o EN com lucros positivos.
Bertrand: Comparação com Cournot
▶ Imagine um duopólio de Bertrand em que p1 > c.
▶ Firma 2 pode cobrar um pouco menos p2 < p1, e tomar todo o
mercado.
→ Estratégia chamada de undercutting.
▶ Jogo de tudo ou nada.
▶ Um jogo descontı́nuo.
Bertrand: Discussão
▶ Bertrand é um jogo descontı́nuo.
▶ Em particular, a melhor resposta é vazia para várias situações de
interesse.
▶ Existem várias alterações possı́veis do jogo:
▶ Impor que as firmas joguem números inteiros;
▶ Custos convexos;
▶ Custos assimétricos;
▶ Capacity constraints;
▶ Jogos com custos fixos e livre entrada;
▶ Produtos diferenciados;
▶ Search costs.
Bertrand: Discussão (2)
▶ Em equilı́brio, as firmas jogam p1 = p2 = c.
▶ Estas são estratégias dominadas.
▶ EN é um conceito que pode ser fraco.
Hotteling
Hotteling: introdução
▶ Até agora, vimos dois modelos de produtos homogêneos.
▶ No modelo de Hotelling, abstraı́mos do ”preço” e estudamos
diferenciação de produtos.
▶ Pode ser usado tanto em IO quanto em Economia Polı́tica.
Hotteling: modelo
▶ Dois polı́ticos, 1 e 2.
▶ Um contı́nuo de polı́ticas: x ∈ [0, 1].
▶ Cada polı́tico escolhe uma polı́tica: x1 e x2.
▶ Ganha a eleição o polı́tico que tiver mais votos.
payoff =

1 se ganha
0.5 se empata
0 se perde
.
Hotteling: eleitores
▶ Um contı́nuo de polı́ticas: x ∈ [0, 1].
▶ Um contı́nuo de eleitores distribuı́dos uniformemente em [0, 1].
▶ Um eleitor em x decide votar no candidato mais próximo:
x vota em i se |x − xi| < |x − x j|
Hotteling: payoffs
▶ Suponha que os candidatos escolham x1 ≤ x2.
Hotteling: payoffs
▶ Suponha que os candidatos escolham x1 ≤ x2.
Hotteling: payoffs
▶ Suponha que os candidatos escolham x1 ≤ x2.
Hotteling: payoffs
▶ Todos eleitores à esquerda de x1 vão votar no candidato 1.
Hotteling: payoffs
▶ Alguns eleitores à direita de x1 vão votar no candidato 1.
Hotteling: payoffs
▶ Alguns eleitores à direita de x1 vão votar no candidato 1.
Hotteling: payoffs
▶ Alguns eleitores à direita de x1 vão votar no candidato 1.
Hotteling: payoffs
▶ Os outros eleitores votam no candidato 2.
Hotteling: payoffs
▶ Suponha que x1 < x2.
▶ O payoff de 1 será
u1(x1, x2) =

1 se x1+x22 > 0.5
0.5 se x1+x22 = 0.5
0 se x1+x22 < 0.5
.
Hotteling: Equilı́brio de Nash
▶ Suponha que x1 = 0.2, x2 = 0.6.
▶ Candidato 1 recebe votos até 0.4 = 0.2+0.62 .
▶ Candidato 2 ganha a eleição.
▶ O que 1 poderia fazer para aumentar seu payoff?
Hotteling: Equilı́brio de Nash
▶ Isto pode ser um EN?
Hotelling: Equilı́brio de Nash
Prop.: Não existe Equilı́brio de Nash com x1 , x2.
Prova:
▶ Se os jogadores empatam, então se mover mais ao centro gera
vitória com certeza.
Ex.: x1 = 0.2, x2 = 0.8. 1 não está jogando sua BR, pois tem payoff
0.5 e poderia ter payoff 1 se jogasse x′1 = 0.3.
▶ Se um jogador ganha e o outro perde, então o perdedor poderia
jogar o mesmo x do ganhador e empatar.
Ex.: x1 = 0.2, x2 = 0.6. 1 não está jogando sua BR, pois tem payoff
0 e poderia ter payoff 0.5 se jogasse x′1 = 0.6.
Hotteling: Equilı́brio de Nash
▶ Suponha que x1 = x2 = 0.6.
▶ Candidatos empatam.
▶ O que 1 poderia fazer para aumentar seu payoff?
Hotelling: Equilı́brio de Nash
Prop.: Não existe Equilı́brio de Nash com x1 = x2 > 0.5.
Também não existe Equilı́brio de Nash com x1 = x2 < 0.5.
Prova:
▶ Ambos candidatos tem incentivos a desviarem para x = 0.5
Hotelling: Equilı́brio de Nash
Prop.: O perfil x1 = x2 = 0.5 é um Equilı́brio de Nash.
Prova:
▶ Os candidatos empatam e tem payoff 0.5.
▶ Mover para qualquer lado leva à derrota.
Hotelling: discussão
▶ Competição por eleitores faz com que candidatos evitem
extremos.
▶ Em equilı́brio, não há diferenciação entre as polı́ticas propostas.
▶ Resultado é robusto a diferentes distribuições dos eleitores.
▶ Mas quando temos 3 ou mais candidatos, o resultado não vale
mais.
▶ Extensões:
▶ Mais de 2 candidatos;
▶ Custo fixo de se candidatar e livre entrada de candidatos;
▶ Voto facultativo;
▶ Colégio eleitoral.
Tragédia dos comuns
Tragédia dos comuns: introdução
▶ Um bem público pode ser usado por vários agentes.
▶ Cada agente gera uma externalidade no outro agente.
▶ Equilı́brio ineficiente: externalidades não são levadas em conta
na maximização individual.
→ Parecido com dilema dos prisioneiros.
Tragédia dos comuns: modelo
▶ Um bem público: campo.
▶ Cada agente: fazendeiro.
▶ Ações: decidir a intensidade de uso do pasto.
▶ Externalidade: uma vaca adicional pode ser do interesse de um
fazendeiro, mas gera uma redução da qualidade do pasto.
Tragédia dos comuns: modelo
▶ N fazendeiros.▶ Fazendeiro i escolhe quantidade de vacas qi.
▶ Externalidade: qualidade do pasto é dada por
K = 10 −
N∑
i=1
qi.
▶ Utilidade do fazendeiro i é
ui(qi, q−i) = Kqi = (10 − qi − q−i)qi
Tragédia dos comuns: melhor resposta e EN
ui(qi, q−i) = Kqi = (10 − qi − q−i)qi
⇒qi =
10 − q−i
2
▶ Em um equilı́brio simétrico,
q =10 −Nq
q =
10
N + 1
Q =10
N
N + 1
K =10 − 10
N
N + 1
= 10
1
N + 1
ui =Kq = 10
1
N + 1
10
1
N + 1
=
100
(N + 1)2
Tragédia dos comuns: melhor resposta e EN
▶ Em um equilı́brio simétrico,
ui =Kq = 10
1
N + 1
10
1
N + 1
=
100
(N + 1)2
▶ Qual é a alocação Pareto eficiente (simétrica)?
max
q
(10 −Nq)q
⇒10 − 2Nq = 0
q =
10
2N
▶ Neste caso,
uPEi =
(
10 −N
10
2N
) 10
2N
=(10 − 5)
10
2N
=
25
N
=
100
4N
>
100
(N + 1)2
= uNEi
Conclusão
▶ Oligopólio de Bertrand:
▶ ”Competição em preços”.
▶ Undercutting + descontinuidade = preços competitivos.
▶ Hotelling:
▶ Candidatos competem por eleitores.
▶ Incentivos para que se movam ao meio.
Não há diferenciação.
▶ Tragédia dos comuns:
▶ Cada agente gera uma externalidade negativa.
▶ Sobre-uso dos recursos comuns.