Inequacao-LogaritmicaResolucao-ExercAcios-Propostos

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PET Matemática - UFMG
Resolução da Lista de Exerćıcios Propostos:
Inequação Logaŕıtmica
1. Resolva, em R, as seguintes inequações:
Resolução:
a) log 1
2
(x− 4) ≥ 2
log 1
2
(x− 4) ≥ 2
x− 4 ≤
(
1
2
)2
⇒ x ≤ 17
4
.
Condição de existência implica que
• x− 4 > 0⇒ x > 4.
Logo, o conjunto solução é
S =
{
x ∈ R | 4 < x ≤ 17
4
}
.
b) log3 (3x− 6) < log3 x
log3 (3x− 6) < log3 x
3log3 (3x−6) < 3log3 x
3x− 6 < x
x < 3.
Condição de existência
• 3x− 6 > 0⇒ x > 2;
• x > 0.
1
Obtemos que o conjunto solução é dado por
S = {x ∈ R | 2 < x < 3} .
c) 1 ≤ log8 (x2 + 1)
log8 8 ≤ log8
(x
2
+ 1
)
8 ≤ x
2
+ 1
16 ≤ x + 2
x ≥ 14.
A condição de existência diz que x > −2. Logo, o conjunto
solução é
S = {x ∈ R | x ≥ 14} .
2. Para quais valores de k a função f(x) = [log(k)]x2 + x+ 1
4
admite dois
zeros reais distintos?
Resolução:
Precisamos que o discriminante seja maior que 0.
∆ > 0
b2 − 4 · a · c > 0
(1)2 − 4 · [log(k)] ·
(
1
4
)
> 0
1− log(k) > 0
1 > log(k)
log(k) < 1
log10 k < log10 10
k < 10.
Analisando a condição de existência, temos que k > 0, e a solução
é
S = {k ∈ R | 0 < k < 10} .
2
3. Sejam f(x) = 1
3
log9 (19− 2x) e g(x) = log27 (x− 8). Para quais valores
reais de x temos f(x) ≤ g(x)?
Resolução:
Basta resolver a seguinte inequação
f(x) ≤ g(x)
1
3
log9 (19− 2x) ≤ log27 (x− 8)
1
3
· log3 (19− 2x)
log3 9
=
log3 (x− 8)
log3 27
1
3
· log3 (19− 2x)
2
=
log3 (x− 8)
3
1
3
· log3 (19− 2x)
2
=
1
3
· log3 (x− 8)
log3 (19− 2x)
2
= log3 (x− 8)
log3 (19− 2x) = 2 · log3 (x− 8)
log3 (19− 2x) ≤ log3 (x− 8)2
19− 2x ≤ (x− 8)2
x2 − 14x + 45 ≥ 0.
A solução dessa inequação do segundo grau é x ≤ 5 ou x ≥ 9. A
condição de existêcia implica que
• 19− 2x > 0 ⇒ x < 19
2
;
• x− 8 > 0 ⇒ x > 8.
Dessa forma, a solução é
S =
{
x ∈ R | 9 ≤ x < 19
2
}
.
4. Determine o domı́nio de cada função:
Resolução:
a) f(x) = log5 [log0,6 (x− 3)]
Precisamos que
3
• x− 3 > 0⇒ x > 3
e que
• log0,6 (x− 3) > 0
log0,6 (x− 3) > log0,6 (1)
x− 3 < 1
x < 4.
Para que todas as condições sejam satisfeitas, temos o se-
guinte domı́nio:
Dom(f) = {x ∈ R | 3 < x < 4} .
b) g(x) =
√
log9 (5x + 1)
Pela condição de existência do logaritmo,
• 5x + 1 > 0⇒ x > −1/5.
Para que g(x) ∈ R,
• log9 (5x + 1) ≥ 0,
por estar dentro da raiz quadrada. Então,
log9 (5x + 1) ≥ log9 (1)
5x + 1 ≥ 1
x ≥ 0.
Conclúımos que
Dom(g) = {x ∈ R | x ≥ 0} .
c) h(x) =
√
log[log0,7 (x + 3)]
Temos 3 condições, são elas:
• x + 3 > 0⇒ x > −3;
• log0,7 (x + 3) > 0
log0,7 (x + 3) > log0,7 1
x + 3 < 1
x < −2;
4
• log
[
log0,7 (x + 3)
]
≥ 0
log
[
log0,7 (x + 3)
]
≥ log 1
log10
[
log0,7 (x + 3)
]
≥ log10 1
log0,7 (x + 3) ≥ 1
log0,7 (x + 3) ≥ log0,7 (0, 7)
x + 3 ≤ 0, 7
x + 3 ≤ 7
10
10x + 30 ≤ 7
x ≤ −23
10
.
Com isso, conclúımos que
Dom(h) =
{
x ∈ R | −3 < x ≤ −23
10
}
.
5
GABARITO
1. a) S =
{
x ∈ R | 4 < x ≤ 17
4
}
b) S = {x ∈ R | 2 < x < 3}
c) S = {x ∈ R | x ≥ 14}
2. S = {k ∈ R | 0 < k < 10}
3. S =
{
x ∈ R | 9 ≤ x < 19
2
}
4. a) Dom(f) = {x ∈ R | 3 < x < 4}
b) Dom(g) = {x ∈ R | x ≥ 0}
c) Dom(h) =
{
x ∈ R | −3 < x ≤ −23
10
}
6