EP2 MD2 - 2020.2- GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
2o Semestre de 2020
EP 2 - Gabarito
Questão 1: Resolva as seguintes equações em x (quando possível) e apresente seu respectivo conjunto
solução.
a) (10x )1−x = 0,000001 d) log 1
2
(x −2) =−3 g) e sen(x2+x−3) =−1
b) 2x+2 +2x−1 = 18 e) log2(x −3)+ log2(x) = 2 h) ln(ln(−x)) = 1
c) 22x −9 ·2x +8 = 0 f ) (log(x))2 −3 · log(x)+2 = 0.
Solução:
a) Observe que (
10x
)1−x = 0,000001 ⇔ 10x−x2 = 10−6.
Lembremos que, quando duas potências com a mesma base são iguais, é porque os expoentes tam-
bém são iguais. Assim,
x −x2 =−6 ⇔ (x −3)(x +2) = 0.
Portanto, o conjunto solução da equação apresentada é dado por S = {−2,3}.
b) Note que 2x+2 +2x−1 = 222x +2−12x . Daí, 222x +2−12x = 18. Fazendo 2x = y , temos:
4y + y
2
= 18 ⇔ 8y + y
2
= 18 ⇔ y = 36
9
= 4.
Como y = 2x , segue que 2x = 4 ⇔ x = 2. Logo, a única solução de 2x+2 +2x−1 = 18 é x = 2. Assim, o
conjunto solução da equação apresentada no item (b) é dado por S = {2}.
c) Como 22x −9 ·2x +8 = 0 ⇔ (2x )2−9 ·2x +8 = 0, podemos fazer 2x = y nesta última equação e obtemos:
y2 −9y +8 = 0 ⇔ (y −8)(y −1) = 0.
Dessa forma, temos duas possibilidades para y : y = 8 ou y = 1.
Se 8 = y = 2x , então x = 3.
Se 1 = y = 2x , então x = 0.
Portanto, o conjunto solução da equação apresentada no item (c) é dado por S = {0,3}.
d) Na equação log 1
2
(x − 2) = −3, para que exista o log, devemos ter x − 2 > 0, ou seja, x > 2. Segue da
definição de logaritmo que x − 2 = (12 )−3 = 8, donde x = 8+ 2 = 10. Como 10 > 2 (isto é, a solução
x = 10 atende a condição de existência do logaritmo dada por x > 2), segue que o conjunto solução
da equação apresentada no item (d) é dado por S = {10}.
e) Queremos resolver log2(x − 3)+ log2(x) = 2. Para que existam os logaritmos da equação, devemos
ter x > 3 e x > 0, simultaneamente. Sendo assim, x > 3 é a condição necessária para a existência
simultânea de ambos os logaritmos. Como
log2(x −3)+ log2 x = log2(x2 −3x),
1
temos que
log2(x −3)+ log2(x) = log2(x2 −3x) = 2 ⇔ x2 −3x = 22 ⇔ (x −4)(x +1) = 0.
Dessa forma, temos dois valores possíveis para x: x = 4 ou x =−1.
Pela condição de existência dos logaritmos dados, devemos ter x > 3. Portanto, a solução x =−1, por
ser menor do que 3, deve ser descartada. Assim, a única solução para a equação dada que deve ser
considerada é x = 4. Logo, o conjunto solução da equação apresentada no item (e) é dado por S = {4}.
f) Queremos resolver
(
log(x)
)2−3·log(x)+2 = 0. Nesse caso, a condição para a existência dos logaritmos
é x > 0. Fazendo y = log x, temos
y2 −3y +2 = 0 ⇔ (y −1)(y −2) = 0.
Dessa forma, temos dois valores possíveis para y : y = 1 ou y = 2.
Se 1 = y = log x, então x = 101 = 10.
Se 2 = y = log x, então x = 102 = 100.
Como ambos os valores de x encontrados satisfazem à condição de existência do logaritmo (dada por
x > 0), obtemos que o conjunto solução da equação apresentada no item (f) é dado por S = {10,100}.
g) Lembre que a função exponencial exp(x) = ex nunca é negativa. Logo, não existem valores de x para
os quais ex = −1 e, portanto, não é possível resolver a equação do item (g). Em particular, conside-
rando g (x) = sen(x2+x−3), temos que eg (x) > 0, para todo x ∈R. Dessa forma, o conjunto solução da
equação apresentada no item (g) é vazio, isto é, S =∅ (isso significa dizer que não existe solução para
a equação do item (g)).
h) Na equação ln(ln(−x)) = 1, temos duas condições de existência a considerar: −x > 0 e ln(−x) > 0,
donde devemos ter x < 0 e x <−1 . Dessa forma, para que ambos os logaritmos estejam bem defini-
dos, basta que x seja menor do que −1. Aplicando a definição de logaritmo natural, temos:
ln(ln(−x)) = 1 ⇔ e1 = ln(−x) ⇔−x = ee ⇔ x =−ee .
Como e > 1, segue que a solução encontrada satisfaz a condição de existência dos logaritmos e, por-
tanto, o conjunto solução da equação apresentada no item (h) é S = {−ee}.
Questão 2: Resolva as seguintes inequações em x.
a) ex > 0 c) 2 < ln(x +1) < 9
b) ln(x) >−1 d) e2−3x > 4
Solução:
a) Note que ex > 0 é verdadeiro para todo valor de x ∈ R. Logo, a solução da inequação é o conjunto
S =R= (−∞,+∞).
b) Para que a expressão ln(x) > −1 faça sentido, primeiro devemos observar a condição de existência
do logaritmo, que no caso é dada por x > 0. Aplicando a função exponencial de base e a ambos os
membros da desigualdade apresentada, obtemos:
ln(x) >−1 ⇔ e ln(x) > e−1 ⇔ x > 1
e
.
(Observe que o sinal da desigualdade se mantém porque a função exp(x) = ex é crescente.)
Como x > 1
e
> 0, segue que a solução da inequação é dada pelo conjunto S =
{
x ∈R; x > 1
e
}
=
(
1
e
,+∞
)
.
c) Novamente, para que 2 < ln(x+1) < 9 faça sentido, devemos ter x+1 > 0 e, por consequência, x >−1.
Aplicando a função exponencial de base e aos três os membros das desigualdades, obtemos:
2 < ln(x +1) < 9 ⇔ e2 < e ln(x+1) < e9 ⇔ e2 < x +1 < e9 ⇔ e2 −1 < x < e9 −1.
Como e2 ∼= 7,39, concluímos que a solução e2 − 1 < x < e9 − 1 atende à condição x > −1, pois −1 <
e2 −1 < x. Daí, o conjunto solução que satisfaz simultaneamente as inequações do item (c) é dado
por S = {x ∈R;e2 −1 < x < e9 −1}= ]e2 −1,e9 −1).
2
d) Como a função exp(x) = ex está definida para todo x ∈ R, não há condição de existência a se consi-
derar neste caso. Assim, para encontrar a solução de e2−3x > 4, basta aplicar o logaritmo natural em
ambos os membros da desigualdade, de onde obtemos:
e2−3x > 4 ⇔ ln(e2−3x ) > ln(4) ⇔ 2−3x > ln(4) ⇔ x > 2
3
− 1
3
ln(4) ⇔ x > 2
3
− ln( 3p4).
(O sinal da desigualdade se mantém aqui porque a função g (x) = ln(x) é crescente.)
Dessa forma, o conjunto solução da inequação do item (d) é dado por S =
{
x ∈R; x > 2
3
− ln( 3p4)
}
=(
2
3
− ln( 3p4),+∞
)
.
Questão 3: Desenvolva expressão log
(
a
p
b
c3
)
utilizando as propriedades de logaritmo.
Solução: Observe que
log
(
a
p
b
c3
)
= log a
p
b − logc3 = log a + log
p
b −3logc = log a + logb
2
−3logc.
Questão 4: Dados log(2) ∼= 0,30, log(3) ∼= 0,48 e log(5) ∼= 0,7, resolva a equação 52x −7 ·5x +12 = 0.
Solução: Note que
52x −7 ·5x +12 = (5x)2 −7 ·5x +12 = 0.
Dessa forma, denotando y = 5x na última equação acima, temos:
y2 −7y +12 = 0 ⇔ (y −3)(y −4) = 0
Portanto, temos que y = 3 ou y = 4 satisfazem à equação.
Se 3 = y = 5x ⇔ log3 = x log5 ⇔ x = log3log5 ∼= 0,686.
Se 4 = y = 5x ⇔ log4 = x log5 ⇔ x = log4log5 =
log22
log5 =
2log2
log5
∼= 0,86.
Questão 5: Determine o domínio das seguintes funções:
a) g (x) = logx−1(5x −12) b) f (x) = logx−3(x2 −x −2)
c) g (x) = logx2−1 ex d) f (x) =
√
log2(x +1)− log2(6)
Solução:
a) Aqui há três condições para a existência do logaritmo a serem consideradas:
1ª) o logaritmando deve ser sempre um número estritamente positivo, donde devemos ter
5x −12 > 0 ⇔ x > 125 = 2,4;
2ª) a base do logaritmo deve ser maior que zero e, assim, devemos ter
x −1 > 0 ⇔ x > 1; e
3ª) a base do logaritmo deve ser sempre diferente de 1 e, dessa forma, devemos ter
x −1 6= 1 ⇔ x 6= 2.
Como as três condições acima devem ocorrer simultaneamente, devemos fazer a interseção entre os
três conjuntos obtidos, de onde concluímos que x > 125 . Assim, Dom(g ) =
{
x ∈R; x > 125
}= (12
5
,+∞
)
.
b) Novamente devemos considerar as três condições apresentadas no item (a) para que a função loga-
ritmo exista. Assim, para que f (x) = logx−3(x2 −x −2) satisfaça a primeira condição, devemos ter
x2 −x −2 > 0 ⇔ (x +1)(x −2) > 0.
Dessa forma, ou ambos os fatores do produto (x+1)(x−2) são negativos ou ambos são positivos. Daí,
obtemos x <−1 ou x > 2.
3
Para que a 2ª e a 3ª condições sejam satisfeitas, devemos ter:
x −3 > 0 ⇔ x > 3 e x −3 6= 1 ⇔ x 6= 4.
Portanto, os valores de x ∈ R para os quais ocorrem todas as condições acima simultaneamente são
dados pelo conjunto
Dom( f ) = {x ∈R : x > 3 e x 6= 4} =]3,4[∪]4,+∞).
c) Como ex > 0 para todo x ∈R, segue que a primeira condição para a existência do logaritmo é satisfeita
para todo número real. Assim, devemos nos concentrar emtornar a 2ª e a 3ª condições satisfeitas.
Dessa forma,
x2 −1 > 0 ⇔ x <−1 ou x > 1;
e, por outro lado, também devemos ter x2 −1 6= 1 ⇔ x 6= ±p2. Logo, o domínio de g (x) é dado por
Dom(g ) =
{
x ∈R : x <−1, x 6= −p2 ou x > 1, x 6=
p
2
}
= (−∞,−
p
2[∪(−
p
2,−1]∪ [1,
p
2)∪]
p
2,+∞).
d) Primeiramente, vamos determinar os valores de x reais para os quais log2(x +1)− log2(6) ≥ 0 (pois o
radicando deve ser sempre um número não negativo). Assim,
log2(x +1)− log2(6) ≥ 0 ⇔ log2(x +1) ≥ log2(6) ⇔ x +1 ≥ 6 ⇔ x ≥ 5. Logo, x ∈ [5,+∞).
Além disso, a condição de existência do logaritmo é dada por
x +1 > 0 ⇔ x >−1. Logo, x ∈ ]−1,+∞).
Fazendo a interseção dos intervalos obtidos acima, conluímos que para a função f (x) =√log2(x +1)− log2(6)
estar bem definida, é necessário que x ≥ 5. Dessa forma,
Dom( f ) = {x ∈R; x ≥ 5} = [5,+∞).
Questão 6: Sabendo que f (x) = 72x e g (x) = log7(x −3). Determine:
a. A expressão de ( f ◦ g )(x);
b. ( f ◦ g )(52);
c. (g ◦ f )(12 ).
Solução:
a. Observe que
( f ◦ g )(x) = f (log7(x −3)) = 72log7(x−3) = (x −3)2.
Logo, ( f ◦ g )(x) = (x −3)2.
b. Vamos utilizar a expressão obtida no item (a):
( f ◦ g )(52) = f (g (52)) = (52−3)2 = 492 = 2401.
Portanto, ( f ◦ g )(52) = 2401.
c. Para resolver este item, não é necessário encontrar a lei de formação de (g ◦ f ). Observe:
(g ◦ f )
(
1
2
)
= g ( f ( 1
2
))
= g (71) = g (7)
= log7(7−3) = log7(4).
Dessa forma, (g ◦ f )(12 )= log7(4) ∼= 0,845.
4
Questão 7: O chamado “juro sobre juro" (ou juros compostos) é uma recorrente aplicação das funções ex-
ponenciais no cotidiano. Por exemplo, suponha que você toma por empréstimo uma determinada quantia
Q (capital inicial), com uma taxa de juros compostos i ao mês. Ao final do primeiro mês, a sua dívida é
Q + iQ = Q(1+ i ). Já no segundo mês, sua dívida passa a ser o que você devia no primeiro mês acrescida
dos juros que incidem sobre Q(1+ i ). Dessa forma, sua dívida no segundo mês é Q(1+ i )+Q(1+ i ).i =
Q(1+i )(1+i ) =Q(1+i )2. Ao final de n meses, o valor devido será de Q(1+i )n e este número é o que chama-
mos de montante da dívida. Assim, ao tomar como empréstimo um valor de R$1.000 a uma taxa de juros
compostos igual a 5% ao mês, após quantos meses o montante da dívida será igual a R$40.000? Justifique
sua resposta.
Solução:
Denotando por M o montante total da dívida em n meses, escrevemos:
M =Q(1+ i )n . (**)
Dessa forma, queremos determinar o valor de n para que M = 40.000.
Pelos dados do problema, temos que
M = 40.000, Q = 1.000 e i = 5% = 5
100
= 0,05.
Substituindo os valores de M , Q e i na expressão (**), temos:
40.000 = 1.000(1+0,05)n ⇔ (1,05)n = 4 ⇔ log(1,05)n = log(4) ⇔ n = log4
log(1,05)
∼= 28,4 meses.
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