Tema 08 - O Problema Geral da Interpolação - Interpolação Polinomial

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Sistemas Numéricos
Computacionais
Tema 08 - O Problema Geral da 
Interpolação - Interpolação 
Polinomial
REFORÇANDO A 
APRENDIZAGEM
PONTOS PRINCIPAIS
O Problema Geral da Interpolação -
Interpolação Polinomial
Introdução
Interpolação polinomial é um caso particular do problema 
geral de interpolação, no qual a família de funções é 
constituída de polinômios. 
A escolha de polinômios como funções interpolantes é 
natural por diversos motivos, entre eles: se p é um polinômio 
de grau n, o valor p(x) para um x real é calculado através 
de n+1 operações de multiplicação e n+1 operações de 
adição. 
O Problema Geral da Interpolação -
Interpolação Polinomial
Introdução
Dado um polinômio p de grau n da forma
• 𝑝 𝑥 = σ𝑘=0
𝑛 𝑎𝑘𝑥
𝑘
• é possível reescrevê-lo como a sequência de operações 
dada por
• 𝑎0 + 𝑥(𝑎1 + 𝑥(𝑎2 + 𝑥(. . . +𝑥(𝑎𝑛−1 + 𝑥𝑎𝑛−1). . . ))).
O Problema Geral da Interpolação -
Interpolação Polinomial
Introdução
Dado um polinômio p de grau n da forma
• 𝑝 𝑥 = σ𝑘=0
𝑛 𝑎𝑘𝑥
𝑘
é possível reescrevê-lo como a sequência de operações dada 
por
𝑎0 + 𝑥(𝑎1 + 𝑥(𝑎2 + 𝑥(. . . +𝑥(𝑎𝑛−1 + 𝑥𝑎𝑛−1). . . ))).
O Problema Geral da Interpolação -
Interpolação Polinomial
Introdução
Teorema de Weierstrass. Seja f uma função contínua 
definida no intervalo fechado [a,b] e seja δ um 
número positivo. Então existe um polinômio p, tal 
que para todo x ϵ [a,b],
|f(x) – p(x) |< δ.
O Problema Geral da Interpolação -
Interpolação Polinomial
Exemplo
O Problema Geral da Interpolação -
Interpolação Polinomial
Exemplo
• No Octave, podemos encontrar o polinômio interpolador e 
esboçar seu gráfico com os seguintes comandos:
• -->xi = [0 1 2 3]’; 
-->yi = [1 6 5 -8]’; 
-->A = [xi.^0 xi.^1 xi.^2 xi.^3]; 
-->a = A\yi; 
-->p = poly(a,’x’,’c’) 
p = 
3 
1 + 6x - x 
-->xx = linspace(-0.5,3.25); 
-->plot(xi,yi,’ro’,xx,horner(p,xx),’b-’);xgrid