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AULA 9 Fluxo Elétrico e Lei de Gauss O fluxo elétrico é representado pelo número de linhas de campo elétrico através de uma dada superfície. Considere um campo elétrico uniforme, conforme figura ao lado. As linhas de campo elétrico penetram em uma superfície retangular de área , a qual é perpendicular ao campo. O produto da magnitude do campo elétrico pela área , perpendicular ao campo, é chamado de fluxo elétrico : ( ⁄ ) Se a superfície não é perpendicular ao fluxo, o vetor normal à superfície possui um ângulo com o campo elétrico, assim, o fluxo através da área é: De forma mais geral, o campo elétrico pode variar em torno de uma superfície, assim, a definição de fluxo vale apenas para um pequeno elemento de área. Considere uma superfície qualquer dividida em pequenos elementos de área (veja figura ao lado). O fluxo elétrico através de é: Somando a contribuição de todos os elementos de área, temos o fluxo total através da superfície: ∑ ∫ Nós estamos interessados em avaliar o fluxo através de uma superfície fechada (por exemplo, uma esfera). O fluxo líquido (o que sai menos o que entra) através da superfície é proporcional ao número líquido de linhas de campo saindo da superfície. Se há mais linhas saindo do que entrando, o fluxo é positivo, caso contrário, o mesmo é negativo. Usando o símbolo ∮ para representar uma integral sobre uma superfície fechada, podemos calcular o fluxo líquido através desta superfície como: ∮ ∮ representa a componente do campo elétrico normal à superfície e representa uma superfície fechada (closed surface). LEI DE GAUSS Daqui em diante, chamaremos uma superfície fechada de superfície Gaussiana, e descreveremos a relação geral entre o fluxo elétrico líquido através desta superfície e a carga contida nela. Esta relação é conhecida como a Lei de Gauss e é de fundamental importância para o estudo do campo elétrico. Considere uma carga positiva localizada no centro de uma esfera de raio , conforme figura ao lado. Sabe-se da Lei de Coulomb que o campo elétrico em qualquer ponto da superfície da esfera é: e que as linhas de campo são radiais e, por isso, são perpendiculares à superfície da esfera em cada ponto. Assim, é paralelo ao vetor , que representa o elemento local de área . Assim: Desta forma, encontra-se o fluxo líquido através da superfície gaussiana, o qual é: ∮ ∮ Pois, por simetria, o campo elétrico é constante em toda a superfície e dado por ⁄ . Para uma superfície esférica, temos que: ∮ Que é a área da superfície de uma esfera. Assim, o fluxo líquido através desta superfície gaussiana é: ( ) Lembrando que ⁄ , podemos escrever a expressão acima da seguinte forma: Note que este resultado, que é independente do raio da esfera gaussiana, é proporcional à carga dentro da esfera. LEI DE GAUSS O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual à carga líquida dentro desta superfície, dividida por . Assim, ∮ Exemplo 1: Distribuição uniforme de cargas em uma esfera Uma esfera de raio possui uma distribuição uniforme de cargas com densidade e carga total igual a , conforme figura ao lado. a) Calcule o campo elétrico em um ponto fora da esfera; b) Calcule o campo elétrico em um ponto dentro da esfera. R-a) Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, seciona-se uma superfície gaussiana esférica de raio ( ) conforme figura (a). Da lei de Gauss, tem-se: ∮ ∮ ( ) ( ) R-b) Neste caso, seleciona-se uma superfície esférica gaussiana de raio ( ) (figura (b)). Seja o volume desta esfera menor igual a . Para aplicar a lei de Gauss, nesta situação, é importante reconhecer que a carga , dentro da superfície gaussiana de volume , é menor que a carga total da esfera . Para calcular a carga , usa-se o fato de que , em que é a densidade volumétrica de carga e é o volume dentro da esfera gaussiana. Assim: Como no item anterior, o campo elétrico é constante em qualquer ponto da superfície gaussiana e é normal a esta superfície. Desta forma, a lei de Gauss para a região em que é assim definida: ∮ ∮ ( ) Resolvendo para , temos: Como por definição Podemos, então, escrever a equação do campo elétrico como: ( ) Note que se . A figura ao lado mostra um gráfico de . Exemplo 2: Campo elétrico devido a uma fina casca esférica. Seja uma fina casca esférica de raio e carga total distribuída uniformemente sobre esta superfície (figura ao lado). Encontre o campo elétrico em um ponto dentro da casca esférica e em um ponto fora dela. R-a) Ponto dentro da esfera: O campo elétrico dentro da casca esférica é zero. Isto segue da lei de Gauss aplicada a uma superfície esférica de raio . Como a carga líquida dentro da esfera é zero, então, na região em que . R-b) Ponto fora da esfera: o cálculo do campo elétrico em um ponto fora da casca esférica é idêntico ao feito para a esfera sólida. Se a gente constrói uma superfície esférica gaussiana de raio , então a carga líquida interna a esta superfície é . Desta forma, o campo elétrico fora da casca é idêntico àquele de uma carga pontual no centro: ( ) Exemplo 3: Distribuição de carga cilindricamente simétrica. Encontre o campo elétrico a uma distância de uma linha uniformemente carregada com cargas positivas e de comprimento infinito. A caga por unidade de comprimento é . R – A simetria da distribuição de carga mostra que o campo é perpendicular à linha de carga e direcionado para fora (figura (a) ao lado). A figura (b) nos ajuda a visualizar a direção das linhas de campo elétrico. Nesta situação escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento que é coaxial à linha de carga. Para a superfície curva do cilindro, é constante e perpendicular à superfície em cada ponto. Ainda mais, o fluxo elétrico através das áreas de cima e de baixo do cilindro é zero porque é paralelo a estas superfícies. Como a carga total dentro da superfície gaussiana é: Então, aplicando a lei de Gauss e vendo que é paralelo a em qualquer parte da superfície cilíndrica, encontra-se que: ∮ ∮ Mas a área da superfície curva do cilindro é , então: ( ) Multiplicando em cima e embaixo por 2, temos:
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