AULA_05_e_06_ESTRUTURAS_DE_CONCRETO_ARMADO_I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
CAMPUS DE ALEGRETE
Estruturas de 
Concreto Armado I
Curso: Engenharia Civil
Professor: Telmo E. C. Deifeld
Aulas 05 e 06
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 2
FLEXÃO NORMAL (simples ou composta)
Ocorre quando o plano de carregamento ou da resultante é
perpendicular à linha neutra (LN), ou, em outras palavras, quando
o plano contém um dos eixos principais de inércia da seção.
FLEXÃO OBLÍQUA (simples ou composta)
Ocorre quando o plano de carregamento não é normal à LN, ou
quando o momento fletor tem uma componente normal ao plano
de simetria, ou ainda, quando não houver simetria na ST.
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 3
FLEXÃO SIMPLES
Ocorre quando não há esforço normal atuando na seção. A flexão
simples pode ser normal ou oblíqua.
FLEXÃO COMPOSTA
Ocorre quando há esforço normal atuando na seção, com ou sem
esforço cortante.
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 4
FLEXÃO PURA
É um caso particular da flexão (simples ou composta), em que
não há esforço cortante atuante.
FLEXÃO NÃO PURA
Ocorre quando há esforço cortante atuando na seção.
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 5
CLASSIFICAÇÃO DOS CONCRETOS
A ABNT NBR 8953:2015 e classifica os concretos estruturais em
três critérios:
- Massa Específica
- Grupos de Resistência
- Trabalhabilidade
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 6
CLASSIFICAÇÃO DOS CONCRETOS
- Massa Específica
Os concretos são classificados em normais, leves ou
pesado/denso em função de sua massa específica, classificação
que não ocorria em nenhuma outra norma.
Leves (CL) – aqueles com massa específica seca menor do
que 2000 kg/m3
Normais (C) – aqueles com massa específica seca entre 2000
kg/m3 e 2800 kg/m3
Pesados ou densos (CD) – aqueles com massa específica
seca maior do que 2800 kg/m3
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 7
CLASSIFICAÇÃO DOS CONCRETOS
- Grupos de Resistência
A Norma classifica os concretos em 3 grupos, sendo os grupos I e
II concretos estruturais e um grupo de concretos não estruturais
que seriam os fck 10 MPa e o 15 MPa.
Os concretos do Grupo I começam com o fck 20 MPa e vão até o
fck 50 MPa.
Os concretos do Grupo II são considerados de alto desempenho e
começam com fck 55 MPa e atingem até fck 100 MPa.
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 8
CLASSIFICAÇÃO DOS CONCRETOS
- Grupos de Resistência
ABNT NBR 8953:2015
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 9
CLASSIFICAÇÃO DOS CONCRETOS
- Trabalhabilidade
A Norma classifica os concretos pela sua trabalhabilidade, sendo criadas 5
classes de consistência no estado fresco:
ABNT NBR 8953:2015
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 10
CLASSIFICAÇÃO DOS CONCRETOS
- Trabalhabilidade
Em todas as classes há exemplos de aplicações típicas o que
facilita o entendimento e a especificação por parte dos
especificadores do concreto.
Com essa classificação (baseada nas Normas Europeias)
estimulamos o uso de concreto mais trabalháveis que agilizam a
descarga e a aplicação do concreto, facilita o bombeamento, e
evitam deficiências de adensamento do concreto e a decorrente
perda de resistência e desempenho da estrutura.
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 11
Quando um carregamento crescente é introduzido em uma viga
de concreto, conforme é mostrado na Figura abaixo, uma seção
qualquer sofre um giro crescente, definindo uma região
tracionada e outra comprimida na seção transversal da viga.
Viga de concreto sujeita a um carregamento
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 12
Ao adicionarmos armadura, teremos uma viga de concreto
armado. Neste caso o aço e o concreto localizados na região
tracionada, passam a experimentar um alongamento crescente,
proporcional ao giro da seção transversal.
No momento em que a fibra mais tracionada de concreto atinge o
valor limite de alongamento, ocorre a ruptura dessa fibra, e o
consequente o aparecimento de uma fissura.
Viga de concreto armado sujeita a um carregamento crescente 
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 13
Na medida em que o giro da seção aumenta, pois cresce o
carregamento, as fibras vizinhas vão passando pelo mesmo
processo, e a fissura inicial vai crescendo, caminhando em
direção à linha neutra da viga, a partir do bordo tracionado.
Na região comprimida o concreto experimenta, inicialmente,
baixos níveis de tensão normal, mantendo uma relação tensão-
deformação linear. A medida em que o carregamento aumenta, a
relação tensão-deformação deixa de ser linear, assumindo a
forma parabólica.
Distribuição de tensões na seção transversal
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 14
Esse comportamento da viga de concreto é subdividido em
diferentes fases, denominadas de estádios de flexão, que
apresentam comportamentos distintos do concreto tracionado e
comprimido, sendo denominados de estádios I, II e III.
Normalmente as peças de concreto se encontram nos estádios I e
II quando estão sob as ações de serviço.
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ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 15
ESTÁDIO I
O que caracteriza o estádio I é o fato da carga (P) ser de pequena
intensidade e a viga apresentar pequena deformação, de modo
que o concreto na seção (S1) não se encontra ainda fissurado,
significando que as tensões de tração no concreto (σct) são
inferiores à sua resistência à tração ftk.
Nessa situação, supõe-se que haja linearidade entre tensão e
deformação (Lei de Hooke) e as deformações especificas do aço e
do concreto são iguais (εs= εc) devido a aderência.
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 16
ESTÁDIO I
Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio I)
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 17
ESTÁDIO I
Pode-se calcular a rigidez do elemento nesse estádio,
considerando a seção homogeneizada e a contribuição do
concreto na resistência à tração.
Além disso, pode-se tomar o módulo de deformação do concreto
tangente na origem.
A homogeneização da seção consiste em considerar no lugar da
área de aço existente (As), uma área de concreto equivalente
(Aceq), ou seja, uma área fictícia de concreto que suporte a
mesma resultante (Rs) que atua na área de aço (As):
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 18
ESTÁDIO I
Aumentando gradativamente o valor da carga (P), haverá um
ponto em que a tensão de tração no concreto atingirá o valor
limite de sua resistência à tração (σct=fct) e a seção transversal
apresentará uma relação não mais linear entre tensão e
deformação para a região tracionada.
Nessa fase é calculado um parâmetro importante no estudo dos
estados limites de utilização: o momento de fissuração da
peça, que separa o estádio I do estádio II.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 19
ESTÁDIO I
Conhecido o momento de fissuração, é possível calcular a
armadura mínima, de modo que esta seja capaz de absorver, com
adequada segurança, as tensões causadas por um momento fletor
de mesma magnitude.
Portanto, o estádio I termina quando a seção fissura.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 20
ESTÁDIO II
Neste nível de carregamento, o concreto não mais resiste à tração
e a seção se encontra fissurada na região de tração.
A contribuição do concreto tracionado deve ser desprezada.
No entanto, a parte comprimida ainda mantém um diagrama
linear de tensões, permanecendo válida a lei de Hooke.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
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ESTRUTURASDE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 21
ESTÁDIO II
Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio II)
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 22
ESTÁDIO II
Para o cálculo da posição (x) da linha neutra no estádio II puro,
impõe-se o momento estático da seção homogeneizada, em
relação à linha neutra, igual a zero. Determina-se a profundidade
da linha neutra para vigas de seção retangular considerando-se:
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
O momento de inércia da seção no estádio
II puro, em relação à linha neutra, pode
ser obtido por:
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 23
ESTÁDIO II
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
   
2
2
0
2
0
2
2 2
0
e s
e s e s
e s e s
X
b X A d X
X
b A X A d
A A d
X X
b b

 
 
   
  

  
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 24
ESTÁDIO II
Basicamente, o estádio II serve para a verificação da peça em
serviço.
Como exemplos, citam-se o estado limite de abertura de fissuras e
o estado limite de deformações excessivas.
Com a evolução do carregamento, as fissuras caminham no
sentido da borda comprimida, a linha neutra também e a tensão
na armadura cresce, podendo atingir o escoamento ou não.
O estádio II termina com o inicio da plastificação do concreto
comprimido.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 25
ESTÁDIO III
No estádio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o
concreto dessa região está na iminência da ruptura.
Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma parabólico-
retangular, também conhecido como diagrama parábola-retângulo.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 26
ESTÁDIO III
compressão igual a
0,85fcd, e um trecho
no qual a tensão varia
segundo uma parábola
do segundo grau.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
DIAGRAMAS DE TENSÃO
O diagrama parábola-retângulo é formado por um trecho
retangular, para deformação de compressão variando de eC2
(0,2% para fck ≤ 50 MPa) até eCU (0,35%), com tensão de
ec2
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 27
Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio III)
ESTÁDIO III
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
ec2
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 28
ESTÁDIO III
A Norma Brasileira permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe
com um diagrama retangular equivalente. A resultante de
compressão e o braço em relação à linha neutra devem ser
aproximadamente os mesmos para os dois diagramas..
Diagrama retangular
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
λ = 0,8, para fck ≤ 50 MPa
λ = 0,8 – (fck – 50)/400, para fck > 50 MPa
y = λx
c fcd ou 0,9c fcd
ec2
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 29
ESTÁDIO III
É no estádio III que é feito o dimensionamento, situação em que 
denomina “cálculo na ruptura” ou “cálculo no estádio III”.
ESTÁDIOS DE FISSURAÇÃO
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 30
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
a) As seções transversais planas permanecem planas após o
início da deformação até o estado limite último; as
deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua
distância até a LN da ST (Hipótese de Bernoulli );
b) Admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a
armadura;
c) As tensões de tração no concreto, normais à ST, são
desprezadas;
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 31
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
d) A ruína da ST, para qualquer tipo de flexão no ELU, fica
caracterizada por deformações específicas de cálculo do
concreto (ec), na fibra mais comprimida, e do aço (es),
próximas a borda mais tracionadas, em que uma delas ou
ambas atingem os valores últimos (máximos) das deformações
específicas destes materiais.
Os diversos casos possíveis de distribuição das
deformações do concreto e do aço na ST definem os
domínios de deformação.
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 32
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
e) Os encurtamentos últimos (máximos) do concreto no ELU, que
correspondem ao encurtamento específico de ruptura, valem:
— para concretos de classes até C50:
εc2 = 2,0 ‰ – nas seções inteiramente comprimidas; 
εcu = 3,5 ‰ – nas seções não inteiramente 
comprimidas (flexão)
— para concretos de classes C55 até C90:
εc2 = 2,0 ‰ + 0,085 ‰ ⋅(fck – 50)0,53 – compressão; 
εcu = 2,6 ‰ + 35 ‰ ⋅ [(90 – fck)/100]4 – flexão
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 33
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
e) O alongamento último (máximo) permitido para as armaduras
tracionadas é:
• esu=10,0.10-3 (10,0‰), para prevenir deformação plástica
excessiva.
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 34
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
g) A tensão nas armaduras pode ser obtida a partir dos
diagramas de tensão-deformação.
Diagrama simplificado tensão-deformação para aços de armaduras 
passivas com ou sem patamar de escoamento
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 35
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
h) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita
de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com base no
tensão-deformação simplificado do concreto.
Diagrama parábola-retângulo
λ = 0,8, para fck ≤ 50 MPa
λ = 0,8 – (fck – 50)/400, para fck > 50 MPa
c fcd ou 0,9c fcd
εc2
y = λx
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 36
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
h) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita
de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com base no
tensão-deformação simplificado do concreto.
Diagrama tensão-deformação simplificado do concreto
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 37
O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola de
20 grau, com vértice na fibra correspondente à deformação de ec2
e um trecho reto entre as deformações ec2 e ecu. É permitido
substituí-lo por um retângulo de altura y (profundidade da LN)
com as seguinte tensão:
c ck
c cd
c
f
f



0,9
0,9 c ckc cd
c
f
f



Zonas comprimidas de largura constante, ou
crescente no sentido das fibras mais
comprimidas, a partir da LN.
Zonas comprimidas de largura decrescente no
sentido das fibras mais comprimidas, a partir
da LN.
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
c
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 38
Zonas comprimidas de largura
constante, ou crescente no
sentido das fibras mais
comprimidas, a partir da LN.
Zonas comprimidas de largura
decrescente no sentido das fibras
mais comprimidas, a partir da LN.
HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
Alguns tipos de seção e respectivas tensões, para diagrama retangular
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 39
NOMENCLATURA
 bw - Largura da alma de uma viga
 c - Cobrimento da armadura em relação à face do elemento
 d - Altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal
tracionada até a fibra mais comprimida de concreto;
 d’ - Distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida até
a fibra mais comprimida de concreto;
 e - Excentricidade de cálculo oriunda dos esforços solicitantes MSd e NSd
 f - Resistência
 h – Altura total da seção transversal
 s - Espaçamento das barras da armadura
 w - Abertura de fissura
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 40
NOMENCLATURA
 x - Altura da linha neutra: distância da borda mais comprimida do concreto até o
ponto em que as tensões e as deformações são nulas (distância da linha neutra ao
ponto de maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida).
 y - Altura da linha neutra convencional: altura do diagrama retangular de
tensões de compressão no concreto na seção transversalde uma peça fletida. É uma
idealização que simplifica o equacionamento do problema e conduz a resultados bem
próximos daqueles que são obtidos pelo diagrama parábola-retângulo.
 z - Braço de alavanca: distância entre o ponto de aplicação da resultante das
tensões normais de compressão no concreto até o da resultante das tensões normais
de tração do aço (distância entre o centro de gravidade da armadura de tração e o
centro de gravidade da região comprimida do concreto)
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 41
NOMENCLATURA
 A - Área da seção cheia
 Ac - Área da seção transversal de concreto
 As - Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração
 As´ - Área da seção da armadura da armadura longitudinal de compressão
 Ic - Momento de inércia da seção de concreto
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 42
NOMENCLATURA
 M – Momento fletor
 M1d - Momento fletor de 1a ordem de cálculo
 M2d - Momento fletor de 2a ordem de cálculo
 MRd - Momento fletor resistente de cálculo
 MSd - Momento fletor solicitante de cálculo
 Nd - Força normal de cálculo
 NRd - Força normal resistente de cálculo
 NSd - Força normal solicitante de cálculo
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 43
NOMENCLATURA
 R - Reação de apoio
 Rd - Esforço resistente de cálculo
 Sd - Esforço solicitante de cálculo
 T – Temperatura
 Vd - Força cortante de cálculo
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 44
NOMENCLATURA
 c - Coeficiente de ponderação da resistência do concreto
 f - Coeficiente de ponderação das ações 
 m - Coeficiente de ponderação das resistências 
 p - Coeficiente de ponderação das cargas oriundas da protensão
 s - Coeficiente de ponderação da resistência do aço
 ε - Deformação específica
 εc - Deformação específica do concreto
 εp - Deformação específica da armadura ativa
 εs - Deformação específica do aço da armadura passiva
 θ - Rotação
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 45
NOMENCLATURA
 λ - Índice de esbeltez
 n - Coeficiente de Poisson
 ρ - Taxa geométrica de armadura longitudinal de tração
 ρc - Massa específica do concreto
 ρmín - Taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas e pilares
 ρs - Taxa geométrica de armadura aderente passiva
TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 46
NOMENCLATURA
 σc - Tensão à compressão no concreto
 σct - Tensão à tração no concreto
 σRd - Tensões normais resistentes de cálculo
 σs - Tensão normal no aço de armadura passiva
 σSd - Tensões normais solicitantes de cálculo
 tRd - Tensões de cisalhamento resistentes de cálculo
 tSd - Tensão de cisalhamento solicitante de cálculo
 twd - Tensão de cisalhamento de cálculo, por força cortante
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TIPOS DE FLEXÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 47
NOMENCLATURA
 f - Diâmetro das barras da armadura
 fl - Diâmetro das barras de armadura longitudinal de peça estrutural
 fn - Diâmetro equivalente de um feixe de barras
 ft - Diâmetro das barras de armadura transversal
 j - Coeficiente de fluência
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 48
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA
São situações em que pelo menos um dos materiais − o aço ou o
concreto − atinge o seu limite de deformação:
 alongamento último do aço (εcu = 1,0%)
 encurtamento último do concreto (εcu na flexão e εc2 na
compressão simples).
O primeiro caso é denominado ruína por deformação plástica
excessiva do aço, e o segundo, ruína por ruptura do
concreto.
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 49
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA
 encurtamento último do concreto (εcu na flexão e εc2 na
compressão simples).
— para concretos de classes até C50:
εc2 = 2,0 ‰;
εcu = 3,5 ‰
— para concretos de classes C55 até C90:
εc2 = 2,0 ‰ + 0,085 ‰ ⋅(fck – 50)0,53
εcu = 2,6 ‰ + 35 ‰ ⋅ [(90 – fck)/100]4
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 50
Ruína por Deformação Plástica Excessiva
Considerando-se uma seção com armadura dupla:
Seção retangular com armadura dupla, Vista lateral da peça e 
diagrama com os limites das deformações
Nesse diagrama, a linha tracejada à esquerda corresponde ao alongamento máximo de
1% − limite do aço −, e a linha tracejada à direita, ao encurtamento máximo do
concreto na flexão: εcu. A linha cheia corresponde à deformação nula, ou seja, separa
as deformações de alongamento e as de encurtamento.
EncurtamentoAlongamento
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 51
Diagrama Único da NBR 6118:2014
Domínios de deformação na ruína P/ fck ≤ 50 Mpa→
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 52
Diagrama Único da NBR6118
Alongamento de 1% – Reta a
ZERO
Reta a
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 53
Ruína por Deformação Plástica Excessiva
a) Reta a
A linha correspondente ao alongamento constante e igual a 1% é
denominada reta a.
Ela pode ser decorrente de tração simples, se as áreas de
armadura As e A’s forem iguais, ou de uma tração excêntrica em
que a diferença entre As e A’s seja tal que garanta o alongamento
uniforme da seção.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 54
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 1
ZERO
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 55
Ruína por Deformação Plástica Excessiva
b) Domínio 1
Para diagramas de deformação em que ainda se tenha tração em
toda a seção, mas não-uniforme, com εs = 1% na armadura As e
deformações na borda superior variando entre 1% e zero, tem-se
os diagramas de deformação num intervalo denominado domínio
1.
Neste caso a posição x da linha neutra varia entre −∞ e zero.
O domínio 1 corresponde a tração excêntrica.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 56
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 2
ZERO
55
56
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 57
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 2
ZERO
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 58
Ruína por Deformação Plástica Excessiva
c) Domínio 2
O domínio 2 corresponde a alongamento εs = 1% e compressão
na borda superior, com εc variando entre zero e εcu.
Neste caso a linha neutra já se encontra dentro da seção,
correspondendo a flexão simples ou a flexão composta, com força
normal de tração ou de compressão.
O domínio 2 é o último caso em que a ruína ocorre com
deformação plástica excessiva da armadura.
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 59
Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão
De agora em diante, serão considerados os casos em que a ruína
ocorre por ruptura do concreto comprimido.
Como já foi visto, denomina-se flexão a qualquer estado de
solicitações normais em que se tenha a linha neutra dentro da
seção.
Na flexão, a ruptura ocorre com deformação específica de ecu na
borda comprimida.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 60
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 3
ZERO
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 61
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 3
ZERO
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURASDE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 62
a) Domínio 3
No domínio 3, há deformação εcu na borda comprimida e εs varia
entre 1% e εyd, ou seja, o concreto encontra-se na ruptura e o
aço tracionado em escoamento.
Nessas condições, a seção é denominada subarmada. Tanto o
concreto como o aço trabalham com suas resistências de cálculo.
Portanto, há o aproveitamento máximo dos dois materiais.
A ruína ocorre com aviso, pois a peça apresenta deslocamentos
visíveis e intensa fissuração.
Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 63
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 4
Domínio 4 (εyd > εs > 0)
ZERO
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 64
b) Domínio 4
No domínio 4, permanece a deformação εcu na borda
comprimida e εs varia entre εyd e zero, ou seja, o concreto
encontra-se na ruptura, mas o aço tracionado não atinge o
escoamento. Portanto, ele é mal aproveitado.
Neste caso, a seção é denominada superarmada.
A ruína ocorre sem aviso, pois os deslocamentos são pequenos e
há pouca fissuração.
Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 65
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 4a
ZERO
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 66
Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão
c) Domínio 4a
No domínio 4a, as duas armaduras são comprimidas. A ruína
ainda ocorre com εcu na borda comprimida. A deformação na
armadura As é muito pequena, e portanto essa armadura é
muito mal aproveitada.
A linha neutra encontra-se entre d e h.
Esta situação só é possível na flexocompressão.
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 67
Diagrama Único da NBR6118
Domínios de deformação na ruína
Domínio 5
ZERO
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 68
Ruína de Seção Inteiramente Comprimida
a) Domínio 5
No domínio 5 tem-se a seção inteiramente comprimida (x > h),
com εc constante e igual a ec2 na linha distante
da borda mais comprimida.
Na borda mais comprimida, εc varia de εcu à εc2.
O domínio 5 só é possível na compressão excêntrica.
2cu c
cu
h
e e
e

→ P/ fck ≤ 50 Mpa
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 69
Encurtamento de ec2 – Reta b
ZERO
Reta b
Diagrama Único da NBR6118
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 70
Ruína de Seção Inteiramente Comprimida
a) Reta b
Na reta b tem-se deformação uniforme de compressão, com 
encurtamento igual a eC2 (0,2% para fck ≤ 50 MPa).
Neste caso, x tende para +∞.
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 71
Diagrama Único da NBR 6118
Para todos os domínios de deformação, com exceção das retas a
e b, a posição da linha neutra pode ser determinada por relações
de triângulos.
Verifica-se, nesta figura, que da reta a para os domínios 1 e 2,
o diagrama de deformações gira em torno do ponto A, o qual
corresponde à ruína por deformação plástica excessiva da
armadura As.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 72
Nos domínios 3, 4 e 4a, o diagrama de deformações gira em
torno do ponto B, relativo à ruptura do concreto com
εcu=0,35%(1) na borda comprimida.
Finalmente, verifica-se que do domínio 5 e para a reta b, o
diagrama gira em torno do ponto C
O ponto C correspondente à deformação de εc2 e está distante
3/7*h (1) da borda mais comprimida para os casos em que fck ≤
50 MPa.
(1) - Valor válido para os casos em que fck ≤ 50 MPa
Diagrama Único da NBR 6118
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 73
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
Reta a
ZERO
ec =-10 o/oo ec2 ecu
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 74
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
ZERO
-10 o/oo <ec < 0
Domínio 1
ec2 ecu
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 75
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
ZERO
Domínio 2
ec2 ecu
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 76
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
ZERO
Domínio 3
ec2 ecu
75
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 77
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
ZERO
Domínio 4 e 4a
ec2 ecu
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 78
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
ZERO
Domínio 5
ec2 ecu
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 79
Diagrama Único da NBR6118 AÇO
CONCRETO
Reta b
ZERO
ec2 ecu
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 80
Diagrama Único da NBR6118
AÇO
CONCRETO
Reta A
D1
D2
D3
D4
D4a
D5
Reta B
Reta A
D1
D2
D2
D3
D4
D4a
D5
Reta B
ec2 ecu
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 81
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES
HIPÓTESES
No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço
cortante podem ser considerados separadamente. Portanto, será
considerado somente o momento fletor, ou seja, flexão pura.
Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto
que as envolve, ou seja, a deformação específica de cada barra da
armadura é igual à do concreto adjacente.
A resistência do concreto à tração é desprezada, ou seja, na
região do concreto sujeita à deformação de alongamento, a
tensão no concreto é considerada nula.
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 82
HIPÓTESES
Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-
se a validade da hipótese de manutenção da forma plana da
seção transversal até o estado limite último, desde que a
relação abaixo seja mantida:
→ distância entre as seções de momento fletor nulo
→ altura útil da seção
Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações
específicas longitudinais em cada ponto da seção transversal são
proporcionais à distância até a linha neutra.
0 2
l
d

d
0l
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 83
DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO
Permite-se substituir o diagrama parábola-retângulo pelo
retangular, com altura
y =  x
λ = 0,8, para fck ≤ 50 MPa
λ = 0,8 – (fck – 50)/400, para fck > 50 MPa
c fcd ou 0,9c fcd
εc2
y = λx
e tensão
σcd = c fcd
ou
σcd = c fck/c
exceto nos casos em que a seção diminuir a partir da linha neutra
no sentido da borda mais comprimida.
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 84
DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO
83
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 85
DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO
Nos casos em que a seção diminuir a partir da linha neutra no
sentido da borda mais comprimida
σcd = 0,9 c fcd
ou
σcd = 0,9 c fck/c
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 86
DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO
Alguns tipos de seção e respectivas tensões, para diagrama retangular
Diagrama de tensões
σcd = 0,9 c fcdσcd = c fcd
σcd = c fcd ou σcd = 0,9 c fcd 
εc2
εcu
y =  x 
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 87
Define-se o coeficiente bx como sendo a razão entre a distância
entreo CG da armadura e a fibra mais comprimida (d) e a posição
da linha neura (x)
Desta forma, a profundidade da linha neutra pode ser expressa
em função de bx , tido por
x
x
d
b 
DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO
 
cu
x
cu s
eb
e e


FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 88
DOMÍNIOS POSSÍVEIS
Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição
da linha neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4),
já que para x < 0 (domínio 1) a seção está toda tracionada, e
para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda comprimida.
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 89
DOMÍNIO 2
No domínio 2, a ruína se dá por deformação plástica excessiva do
aço, com a deformação máxima de 10‰; portanto, σsd=fyd.
‰
A deformação no concreto varia de 0 até εcu.
Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e,
portanto, é mal aproveitado.
A profundidade da linha neutra é expressa por
 23
cu
x
cu s
eb
e e


 10yde 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 90
DOMÍNIO 2
Para os casos em que fck ≤ 50 MPa
A profundidade da linha neutra varia de 0 até 0,259 d
(0<βx<0,259), pois:
Em que βx23 expressa o valor de βx no limite entre os domínios 2 e
3.
   23
3,5
0,259
3,5 10
cu
x
cu s
eb
e e
  
 
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 91
DOMÍNIO 2
Deformações no Domínio 2
   23
3,5
0,259
3,5 10
c
x
c s
eb
e e
  
 
ZERO
Para os casos em que fck ≤ 50 MPa
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 92
DOMÍNIO 3
No domínio 3, a ruína se dá por ruptura do concreto com
deformação máxima εc = εcu e, na armadura tracionada, a
deformação varia de εyd até 10‰, ou seja, o aço está em
escoamento, com tensão σs = fyd.
É a situação ideal de projeto, pois há o aproveitamento pleno dos
dois materiais. A ruína é dúctil, pois ela ocorre com aviso,
havendo fissuração aparente e flechas significativas. Diz-se que as
seção é subarmada.
 34
; ydcux yd
cu s s
f
E
eb e
e e
 

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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 93
DOMÍNIO 3
A posição da linha neutra varia de 0,259 d até βx34 (0,259 < βx <
βx34).
   34
3,5
; 
3,5
ydc
x yd
c s syd
f
E
eb e
e e e
  
 
Para os casos em que fck ≤ 50 MPa
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 94
DOMÍNIO 3
Deformações no Domínio 3
   34
3,5
; 
3,5
ydc
x yd
c s syd
f
E
eb e
e e e
  
 
ZERO
Para os casos em que fck ≤ 50 MPa
93
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 95
DOMÍNIO 4
Assim como no domínio 3, o concreto encontra-se na ruptura,
com εc=εcu. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de εyd e,
portanto, ele está mal aproveitado.
O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica,
além de perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e
sem escoamento do aço. É uma ruptura brusca, ou seja, ocorre
sem aviso.
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 96
DOMÍNIO 4
Deformações no Domínio 4
ZERO
Para os casos em que fck ≤ 50 MPa
95
96
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 97
DOMÍNIO 4
Quando as peças de concreto são dimensionadas nesse domínio,
diz-se que elas são superarmadas, devendo ser evitadas; para
isso pode-se usar uma das alternativas:
 Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo
da espessura da parede em que a viga é embutida;
 Fixar x como xlim34, ou seja, βx = βx34, e adotar armadura dupla;
 Outra solução é aumentar a resistência do concreto (fck).
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 98
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Para o dimensionamento de peças na flexão simples com
armadura dupla, considera-se que as barras que constituem a
armadura estão agrupadas, concentradas no centro de gravidade
dessas barras.
Resistências e deformações na seção
εcu
y =  x 
Rcd
Rcd
R’sd
Rsd
σcd 
97
98
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 99
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
0cd sd sdR R R  
As equações de equilíbrio de forças e de momentos são, 
respectivamente: 
  0
2d f k cd sd sd
y
M M R d R d d R           
 
0
0
x
As
F
M




Rcd
R’sd
Rsd
y =  x 
Rcd
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 100
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
sd s sdR A
As forças resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) 
são dadas por:
sd s sdR A  
cd cd c cdR b y b x f       
0cd sd sdR R R  
  0
2d f k cd sd sd
y
M M R d R d d R           
 
As equações de equilíbrio de forças e de momentos são, 
respectivamente: 
0,9cd cd c cdR b y b x f       
OBS: Nos casos em que a seção
diminuir a partir da linha neutra no
sentido da borda mais comprimida
Rcd
99
100
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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 101
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
O que resulta, para o caso de armadura dupla e seção T verdadeira
E para o caso de seção retangular com armadura simples: 
 
 
 
2
0 
1
2
 +
2
c w x cd s s s s c cd f w f
d c w x cd x s
f
c cd f w f
b d f A A f b b h
M b d f A d d
h
f b b h d
  b   
  b b 

               
                 
 
 
      
 
2
0 
1
2
c x cd s s
d c w x cd x
b d f A
M b d f
  b 
  b b
       
          
 
x
x
d
b 
cd c cdR b x f   
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - AULA 05 102
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Para os casos em que fck ≤ 50 MPa
101
102