Concreto Armado II: Estudo de Vigas e Pilares

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CONCRETO 
ARMADO II
Profª Layra Mendonça
Mestre em Ciências e Tecnologias Espaciais 
Engenheira Civil e Licenciada em Matemática
Especialização em Engenharia Diagnóstica
Atuação na área da Educação e em Engenharia Diagnóstica
Tópicos
Força Cortante em vigas de concreto armado
Estudo dos pilares em uma edificação
Ancoragem das armaduras
Sistemas estruturais
Atividade em sala de aula
1000 pontos
Avaliação
1000 pontos
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Pré e Pós Aula
Relembrando
Compressão e Tração
Força cortante
Força cortante
- Ação da força cortante é 
máxima nas extremidades
da viga
Força cortante
ARMADURAS TRANSVERSAIS E ESTRIBOS
- Resistir aos esforços cortantes e de cisalhamento
- Proporcionam segurança diante dos diferentes tipos de 
ruptura
- Mantém a fissuração do elemento estrutural dentro dos 
limites permitidos (NBR 6118:2014)
Força cortante
— Armaduras transversais ou estribos
— O concreto resiste bem a compressão, mas 
não a tração (armaduras principais)
— Cisalhamento máximo na extremidade
— Fissuras com orientação em 45º
— Os estribos diminuem a 
possibilidade de fissuras
e 
Força cortante
A importância dos estribos
Ensaio de Flexão
Rompimento da viga por cisalhamento
Ensaio de Flexão
— A viga é colocada sobre um apoio
— Aplica-se uma carga pontual
— Aumenta-se a carga gradualmente, 
as fissuras devido a flexão surgem no 
meio da viga e as de cisalhamento
nas extemidades
Força Cortante
Situações de colapso da viga devido ao cisalhamento
a) Escoamento da armadura (armadura não suporta)
b) Esmagamento do concreto (concreto não suporta)
c) Falha na ancoragem (comprimentos mínimos que precisam ser atendidos)
Força Cortante
Analogia da Treliça de Ritter-Morsch
A treliça formada pela analogia de uma viga bi-apoiada de seção retangular após
a fissuração é composta pelo banzo superior (cordão de concreto comprimido),
banzo inferior (armadura longitudinal de tração), diagonais comprimidas (bielas
de concreto entre as fissuras) e as diagonais tracionadas (armaduras transversais
de cisalhamento).
Força Cortante
Analogia da Treliça de Ritter-Morsch
APOIO
NÓ
BANZO SUPERIOR
BANZO INFERIOR
MONTANTE
DIAGONAL
Força Cortante
Limitações da Analogia da Treliça de Ritter-Morsch
— Fissuras apresentam inclinação inferior a 45º
— Banzps não paralelos
— A treliça é hiperestática - engastamento das bielas no banzo comprimido
— Correções para utlização do modelo (normativa) 
CÁLCULO
Armadura
Transversal
Estadios de Tensão
— Os estádios de tensão se referem a critérios
relativos à seção, não à viga como um todo. Portanto,
dependendo dos esforços atuantes em cada seção de
uma viga (consideradas infinitas), teremos infinitos
estádios de tensão e infinitos domínios de
deformação.
Estadios de Tensão
— É importante tratar sobre os materiais participantes da
seção, uma vez que cada um se comporta de maneira
particular e são suas propriedades que modificam o
funcionamento das estruturas. Ao mesmo tempo, cada
mudança no comportamento das tensões nos materiais e,
consequentemente, as deformações das vigas influenciadas
pelas tensões, alteram o comportamento da estrutura tanto
em seu estado íntegro quanto ao colapso.
Estadios de Tensão
— Considerando uma viga que está sendo ensaiada
— Forças (P) serão crescentes de zero até a força que causará
a ruptura (força última)
ARMADURA 
PRINCIPAL
ARMADURA 
CONSTRUTIVA
MÍNIMO
Estadio I
No Estádio I, a carga aplicada na peça solicita um esforço de tração
menor que a resistência à tração do próprio concreto (sem
armadura), que é algo em torno de 10% da resistência à
compressão.
O grande problema de se trabalhar nesse estádio é a necessidade
de se fazer peças com dimensões exageradas, tornando inviável a
produção de edificações.
Estadio I
Tensão de Cisalhamento 𝜏
𝜏 =
𝑉. 𝑄
𝑏𝑤 . 𝐼
𝑉 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
𝑄 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑦
𝑏𝑤 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎
𝐼 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎
Tensão de Cisalhamento Máxima 𝜏0
𝜏0 =
𝑉
𝑏𝑤 . 𝑧
𝑧 = 𝑏𝑟𝑎ç𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑎𝑣𝑎𝑛𝑐𝑎 ൗ𝐼 𝑄0
Estadio II
No Estádio II, a carga aplicada passa a ser o suficiente para gerar
fissuras na região tracionada do concreto, nesse momento a
armadura passa a ser necessária, resistindo à tração que o
concreto não resiste.
Trabalhando com esse estádio conseguimos produzir peças mais
viáveis, já que podemos aproveitar a região comprimida da peça
utilizando concreto e a região tracionada utilizando o aço.
SURGIMENTO DE FISSURAS DEVIDO A FLEXÃO
Estadio III
No Estádio III, a carga aplicada beira o limite de resistência da peça,
gerando fissuras não apenas na região tracionada da peça, mas
também fissuras de cisalhamento.
Neste estádio, normalmente, há a necessidade da aplicação de
armadura dupla na região tracionada, bem como a utilização de
armadura transversal (estribos) para resistir às forças de cisalhamento.
PROPAGAÇÃO DAS FISSURAS ATÉ A RUPTURA
A VIGA ENCONTRA-SE QUASE QUE INTEIRA NO ESTÁDIO II ATÉ O 
MOMENTO DA RUPTURA (ESTADO ÚLTIMO)
Estadio III
Tensão de cisalhamento máxima no estado limite último 𝜏𝑤𝑑
𝜏0𝑑 =
𝑉𝑑
𝑏𝑤 . 𝑧
𝑉𝑑 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 (𝑘𝑁)
𝑑 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (𝑐𝑚)
𝑏𝑤 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑐𝑚)
Referência para verificação do concreto ao cisalhamento
𝜏0𝑑 = 1,10. 𝜏𝑤𝑑
CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO
DO CONCRETO
Estadio III
Neste estádio atingimos uma relação custo-benefício muito melhor
que no estádio anterior, já que passamos a conseguir produzir
peças menores, mais leves e mais eficientes para uma mesma
carga. Este estádio também propicia economia na fundação, já que,
com uma estrutura mais leve, podemos ter também fundações
mais baratas.
Cálculo da 
Armadura
Transversal Mínima
.
Taxa geométrica de estribos 𝜌𝑠𝑤 -NBR6118:2014
𝐴𝑠𝑤 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ( Τ𝑐𝑚
2 𝑚)
𝑏𝑤 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑐𝑚)
𝑠 = 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
𝑓𝑦𝑘 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 ( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
Cálculo do espaçamento 𝜌𝑠𝑤 -NBR6118:2014
𝐴𝑠𝑤 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ( Τ𝑐𝑚
2 𝑚)
𝑏𝑤 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑐𝑚)
𝑠 = 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
𝑓𝑦𝑘 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 ( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
POR METRO LINEAR (100cm=1m)
QUANTIDADE DE AÇO
VALOR OBTIDO POR ENSAIO/USA-SE A 
RESISTÊNCIA A COMPRESSÃO
Taxa geométrica de estribos 𝜌𝑠𝑤 -NBR6118:2014
𝐴𝑠𝑤 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ( Τ𝑐𝑚
2 𝑚)
𝑏𝑤 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑐𝑚)
𝑠 = 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
𝑓𝑦𝑘 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 ( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
POR METRO LINEAR (s=100cm=1m)
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 =
20. 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑘
OBJETIVO: QUANTO DE ESTRIBO É NECESSÁRIO 
PARA A VIGA EM UM METRO
Taxa geométrica de estribos 𝜌𝑠𝑤 -NBR6118:2014
𝐴𝑠𝑤 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ( Τ𝑐𝑚
2 𝑚)
𝑏𝑤 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑐𝑚)
𝑠 = 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
𝑓𝑦𝑘 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 ( Τ𝑘𝑁 𝑐𝑚
2)
POR METRO LINEAR(s=100cm=1m)
𝐴𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 =
20. 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑘
OBJETIVO: QUANTO DE ESTRIBO É NECESSÁRIO 
PARA A VIGA EM UM METRO
COMO OS ESTRIBOS SÃO BARRAS 
DOBRADAS (DUAS PERNAS) DIVIDIR 
𝑨𝒔𝒘,𝒎𝒊𝒏 por 2.
Cálculo do espaçamento máximo e mínimo entre 
os estribos
— Os estribos deverão ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo
as barras da armadura longitudinal de tração e ancorados na face oposta.
— Ramo horizontal em face tracionada
— O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm
— O diâmetro da barra ≤ Τ𝑏𝑤 10
— Quando a barra for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm
— O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do 
elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, 
garantindo um bom adensamento da massa.
Cálculo do espaçamento máximo e mínimo entre 
os estribos
— No caso de estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser 
reduzido para 4,2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão 
dessa armadura.
Cálculo do espaçamento máximo e mínimo entre 
os estribos
Onde fck é a resistência característica do concreto a compressão.
Cálculo do espaçamento máximo e mínimo entre 
os estribos
Cálculo do espaçamento máximo e mínimo entre 
os estribos
ATIVIDADES