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Profa. Maria Laura
MATERIAL COMPLEMENTAR
Estatística
1. Em um restaurante foi selecionada uma amostra de 15 indivíduos para avaliar o consumo 
de carne (g) em um almoço. Os dados obtidos foram: 
Calcule a média, a mediana e a moda de consumo de carne. 
Medidas de posição (média – moda – mediana)
Fonte: autoria própria
120 100 90 85 100
250 50 0 80 125
110 110 115 70 100
 Dados não agrupados
Média: Resposta: O consumo médio de carne em um almoço é 
de 100,33 g.
Mediana: 
1º passo: construir o rol: 0; 50; 70; 80; 85; 90; 100; 100; 100; 110; 110; 115; 120; 125; 250 
2º passo: se n é ímpar (n=15)
Resposta: O consumo mediano de carne em um almoço é 
de 100 g. 
Moda: Mo = 100
Resposta: O consumo modal de carne em um almoço é 
de 100 g.
Solução
2. Foi feita uma pesquisa em uma fábrica das diárias pagas aos operários. 
 Determine o valor da média, da mediana e da moda das diárias 
pagas aos operários.
Medidas de posição (média – moda – mediana)
Diária (R$)
xi
Nº de operários
fi
200 5
250 7
300 4
350 2
Total 18
Fonte: autoria própria
 Para dados agrupados sem intervalo de classe
Média: 
Resposta: 
A diária média paga aos operários 
é de R$ 258,33.
Moda:
Resposta: A diária modal paga aos operários é de R$ 250,00.
Solução
Fonte: autoria própria
Diária (R$)
xi
Nº de operários
fi
xi . fi
200 5 200.5 = 1000 
250 7 1750
300 4 1200
350 2 700
Total 18 4650
Mediana: se n é par (n = 18)
Resposta: A diária mediana paga aos operários é de R$ 250,00.
Resposta
Diária (R$)
xi
Nº de operários
fi
Fac
200 5 5ª
250 7 7 + 5 = 12ª
300 4 4 + 12 = 16ª
350 2 16 + 2 = 18ª
Total 18
Fonte: autoria própria
3. Certa repartição pública anotou e relacionou os tempos de inspeção que faz nas empresas, 
chegando à seguinte distribuição de frequência abaixo.
Determine a média, a mediana e a moda
do tempo de inspeção nessa repartição.
Medidas de posição (média – moda – mediana)
Tempo de inspeção
em minutos
Número de inspeções 
realizadas
10 |--- 20 3
20 |--- 30 6
30 |--- 40 15
40 |--- 50 36
50 |--- 60 19
Total 79
Fonte: autoria própria
 Para dados agrupados com intervalo de classe
Média: 
Resposta: 
O tempo médio de inspeção
é de 42,85 minutos.
Solução
Tempo de 
inspeção em
minutos
Número de 
inspeções 
realizadas
xi
Ponto Médio
xi.fi
10 |--- 20 3 15.3 = 45
20 |--- 30 6 25 150
30 |--- 40 15 35 525
40 |--- 50 36 45 1620
50 |--- 60 19 55 1045
Total 79 3385
15
2
30
2
2010


Fonte: autoria própria
Mediana: 
1º passo: localizar a classe mediana
2º passo: aplicar a fórmula
Resposta: O tempo mediano de inspeção é de 44,31 minutos.
Solução
Tempo de 
inspeção em
minutos
Número de 
inspeções 
realizadas
Fac
10 |--- 20 3 3ª
20 |--- 30 6 9ª
30 |--- 40 15 24ª
40 |--- 50 36 60ª
50 |--- 60 19 79ª
Total 79
classe mediana
Fonte: autoria própria
Moda: 
1º passo: localizar a classe modal
2º passo: aplicar a fórmula de Czuber
Resposta: O tempo modal de inspeção é de 45,53 minutos.
Solução
Tempo de 
inspeção em
minutos
Número de inspeções 
realizadas
10 |--- 20 3
20 |--- 30 6
30 |--- 40 15
40 |--- 50 36
50 |--- 60 19
Total 79
Fonte: autoria própria
classe modal
INTERVALO
4. A partir dos dados do exercício anterior, calcule a variância e o desvio-padrão.
Solução: (Média: )
Variância:
Desvio-padrão:
Medidas de dispersão absoluta (variância e desvio-padrão) 
Tempo de 
inspeção em
minutos
Número de 
inspeções 
realizadas
xi
Ponto Médio
xi.fi
10 |--- 20 3 15 45
(15 – 42,85)².3 = 
2.326,55 
20 |--- 30 6 25 150 1.911,33 
30 |--- 40 15 35 525 923,89 
40 |--- 50 36 45 1620 166,70 
50 |--- 60 19 55 1045 2.805,70 
Total 79 3385 8.134,18 
Fonte: autoria própria
Logo, a variância é 104,28 min² e o desvio-padrão é 10,21min.
5. A tabela abaixo resume a descrição estatística de três empresas no que diz respeito à taxa 
de crescimento anual.
Baseando-se nesses dados, qual empresa apresenta o crescimento mais homogêneo?
Medidas de dispersão relativa (coeficiente de variação)
EMPRESA A B C
Crescimento anual médio 2,2% 2,3% 1,8%
Desvio-padrão do crescimento médio 0,5% 0,6% 0,4%
Fonte: autoria própria
 Para esta questão, você precisa analisar a empresa com crescimento mais homogêneo, o 
que significa identificar a empresa com menor dispersão entre uma medida de posição 
(crescimento anual médio) e a medida de dispersão (desvio-padrão do crescimento médio), 
então, obter o coeficiente de variação.
 Portanto, a empresa C apresenta crescimento 
mais homogêneo.
Solução
6. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma 
única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
 Solução: São eventos simples, pois nada impede que saia a ficha verde ou amarela, 
portanto, é a soma de dois eventos simples.
 P(verde ou amarela) = 
Teoria elementar das probabilidades
7. Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e 
pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dos Deputados é de 40%. 
Caso seja aprovado na Câmara dos Deputados, a probabilidade de ser aprovado no 
Senado é 80%. Qual a probabilidade desse projeto ser transformado em lei?
 Solução: trata-se de eventos independentes, é a probabilidade de um evento ocorrer não 
interfere no outro evento.
 P(projeto transformado em lei) = 
Teoria elementar das probabilidades
8. Numa caixa com 8 lâmpadas, 3 são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas 
sem reposição.
Calcule: a) A probabilidade de ambas serem boas. 
b) A probabilidade de ambas serem defeituosas. 
 Solução: trata-se de eventos dependentes, é a probabilidade de um evento ocorrer, dado 
que outro evento já tenha ocorrido.
a) A probabilidade de ambas serem boas. 
 P(ambas boas) = 
b) A probabilidade de ambas serem defeituosas. 
P(ambas com defeito) = 
Teoria elementar das probabilidades
9. Em um concurso realizado para trabalhar em uma determinada empresa de exportação, 
10% dos candidatos foram aprovados. Se escolhermos aleatoriamente dez candidatos 
desse concurso, qual a probabilidade de que exatamente dois deles tenham sido 
aprovados?
Solução: 
p = 0,10 (10% aprovados) q = 1 – 0,10 = 0,90 (90% reprovados) n = 10 k = 2
Distribuição binomial
10. Uma amostra de 15 peças é extraída com reposição de um lote que contém 10% de peças 
defeituosas. Calcule a probabilidade de que o lote não contenha peça defeituosa.
Solução: 
n = 15 k = 0 p = 0,10 com defeito q = 1 – 0,10 = 0,90 sem defeito
Distribuição binomial
11. Uma grande loja sabe que o nº de dias entre enviar uma fatura mensal e receber o 
pagamento de seus clientes é aproximadamente uma distribuição normal com média de 18 
dias e desvio-padrão de 4 dias.
a) Encontre a probabilidade de que uma fatura não seja paga até 21 dias depois.
b) Encontre a porcentagem de faturas que são pagas em menos de 12 dias. 
c) Em 200 faturas, quantas se esperariam que fossem pagas entre 16 e 20 dias?
Distribuição normal
Você precisará da tabela da curva normal para resolver esse problema.
a) Encontre a probabilidade de que uma fatura não seja 
paga até 21 dias depois. 
A variável x transformada em z:
P(X > 21) = P (Z > 0,75) = 0,5000 – 0,2734 = 0,2266 = 22,66%
Solução
18
0
Fonte: autoria própria
21
0,75
z .00 .01 .02 .03 .04 .05
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734
b) Encontre a porcentagem de faturas que são pagas em menos de 12 dias. 
A variável x transformada em z:
P(X < 12) = P (Z < -1,50) = 0,5000 – 0,4332 = 0,0668 = 6,68%
Solução
18
0
Fonte: autoria própria
12
-1,50
z .00 .01 .02 .03 .04 .05
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.42651.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394
c) Em 200 faturas, quantas se esperariam que fossem pagas entre 16 e 20 dias?
A variável x transformada em z:
P(16 < X < 20) = P(-0,50<Z<0,50) = 0,1915+0,1915 = 0,3830=38,30% 
200.0,3830 = 76,6 ou 77 faturas
Solução
18
0
Fonte: autoria própria
16
-0,50
20
0,50
z .00 .01 .02 .03 .04 .05
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088
 BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
 CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.
 LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2015.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!