Tubo de Pitot e Medidores de Vazão

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106
Unidade III
Unidade III
7 TUBO DE PITOT E MEDIDORES DE VAZÃO DE RESTRIÇÃO
7.1 Tubo de Pitot – princípio de funcionamento
O tubo de Pitot é um dispositivo empregado para medir a velocidade de fluidos em escoamento 
permanente e recebe esse nome em homenagem ao engenheiro francês Henri de Pitot, que projetou 
esse instrumento em 1732. Na figura a seguir, é mostrado um tipo de tubo de Pitot empregado para 
medida de velocidade de água em uma tubulação.
Tubo de Pitot
Figura 56 – Tubo de Pitot empregado em medidas de velocidade de água em tubulação
Para compreender o princípio de funcionamento do tubo de Pitot, é necessário relembrar os conceitos 
de pressões: estática, dinâmica e estagnação:
• Pressão estática é a pressão à qual a partícula do fluido está submetida. Como não há variação de 
pressão em uma direção perpendicular às linhas de correntes, é possível medir a pressão estática 
utilizando uma tomada de pressão instalada na parede de um conduto em uma região em que as 
linhas de corrente são retilíneas.
pestática = p
• Pressão dinâmica representa o aumento de pressão quando o fluido em movimento é parado.
p
v
din micaâ =
⋅ρ ²
2
sendo r a massa específica do fluido e v a velocidade.
107
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
• Pressão de estagnação é obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a 
velocidade zero por meio de um processo sem atrito. A pressão de estagnação (pestagnação) é 
definida como a soma da pressão estática com a pressão dinâmica, ou seja:
pestagnação = pestática + pdinâmica
p p
v
estagna oçã = + ρ
2
2
Com base na forma de tomada de pressão, existem dois principais tipos de tubo de Pitot:
• com as tomadas de pressão estática e pressão de estagnação separadas; e
• com as tomadas de pressão estática e de estagnação no próprio tubo. Esse tipo de tubo é mais 
empregado em medições de velocidade de gases.
Nas figuras a seguir, são mostrados esquemas desses dois tipos de tubo de Pitot, com detalhes sobre 
os pontos de tomada de pressão. Vale destacar que nessas configurações o tubo de Pitot é posicionado 
no sentido do escoamento de modo a perturbar o mínimo possível o escoamento local.
Escoamento
A
p1
p2
(pressão estática)
(pressão de estagnação)
Figura 57 – Tubo de Pitot com as tomadas de pressão estática e pressão de estagnação separadas. 
O ponto A corresponde ao ponto de estagnação, para o qual a velocidade do fluido é nula
108
Unidade III
Escoamento
Orifícios de tomada 
de pressão estática
(pressão estática)
(pressão de estagnação)
p1
p2
A
Figura 58 – Tubo de Pitot com as tomadas de pressão estática e de 
estagnação no próprio tubo. O ponto A corresponde ao 
ponto de estagnação, para o qual a velocidade do fluido é nula
Considerando o tubo de Pitot da figura a seguir, com tomada de pressão na parede da tubulação e 
conectado a um manômetro de tubo em U, ao aplicar a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2 (ao longo 
de uma linha de corrente), é possível relacionar a variação de velocidade com a variação de pressão. 
Dessa forma, tem‑se:
z
v
g
p
z
v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
+ + = + +
γ γ
em que:
• z1 e z2 são as posições em relação ao plano horizontal de referência;
• p1 e p2 correspondem, respectivamente, à pressão estática e à pressão de estagnação;
• v1 e v2 são, respectivamente, as velocidades no ponto 1 e no ponto de estagnação;
• g é a aceleração da gravidade; e
• g é o peso específico do fluido.
109
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
1 2Escoamento
Figura 59 – Tubo de Pitot com a tomada de pressão estática na 
parede da tubulação e conectado a um manômetro de tubo em U
Como z1 = z2 e v2 = 0 (ponto de estagnação), isolando a velocidade v1 na equação anterior tem‑se:
v g
p p p p
1
2 1 2 12 2= ⋅ − = ⋅ −( ) ( )
γ ρ
Ou seja:
v
p pestagna o est tica
1 2= ⋅
−( )çã á
ρ
Portanto, medindo‑se a pressão de estagnação e a pressão estática, é possível determinar a velocidade 
local do escoamento com um tubo de Pitot.
 Observação
O resultado para velocidade do fluido obtido por meio da equação de Bernoulli 
é análogo ao determinado por meio da expressão da pressão de estagnação.
A determinação precisa da velocidade requer que o tubo de Pitot esteja alinhado com a direção do 
escoamento. Além disso, para a medição da pressão estática, nenhuma energia cinética do fluido deve 
ser convertida em um aumento de pressão no ponto de medida.
110
Unidade III
Por exemplo, imperfeições nas perfurações dos pontos de tomada de pressão podem ocasionar 
leituras maiores ou menores do que o valor real da pressão estática (figura a seguir). Para que isso 
não ocorra, os furos de tomada de pressão estática deverão ser bem usinados para não apresentarem 
imperfeições.
(1)
p
v
p1 > p p1 = p p1 < p
(1)
(1)
Figura 60 – Perfurações de tomada de pressão estática inadequadas que podem provocar leituras incorretas
É importante destacar que a análise apresentada nesta seção aplica‑se somente a escoamentos 
incompressíveis (número de Mach Ma < 0,3). Para elevados valores de velocidade, os efeitos de 
compressibilidade se tornam relevantes e outros fenômenos devem ser considerados.
7.2 Aplicações do tubo de Pitot
Utilizados tanto em laboratórios quanto pela indústria, as principais vantagens de tubos de Pitot são:
• medições com boa precisão;
• não possuem partes móveis;
• simples de usar e instalar; e
• não apresentam perdas de carga considerável.
Os tubos de Pitot são empregados em carros de corrida e no exterior de aviões para determinar a 
velocidade do avião em relação ao ar. Além disso, para evitar imprecisões nessas medições, os tubos 
de Pitot de aviões possuem elementos de aquecimento, para evitar que o gelo obstrua os pontos de 
tomada de pressão.
111
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Figura 61 – Tubo de Pitot para medição da velocidade em aviões
Tubos de Pitot também são empregados para medição de fluxo de ar em tubulações e em dutos. Para 
líquidos, os tubos de Pitot são utilizados em medições de perfil de velocidade em tubulações e em canais 
abertos. Na figura a seguir, é mostrado o perfil da velocidade da água em uma tubulação de 40 mm de 
diâmetro, determinado com um tubo de Pitot.
20
15
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
10
5
0
–5
–10
–15
–20
Velocidade (m/s)
Po
siç
ão
 (m
m
)
Figura 62 – Perfil da velocidade da água em uma tubulação de 40 mm de diâmetro, determinado com um tubo de Pitot
Exemplo 1
O tubo de Pitot é um dispositivo empregado para determinar a velocidade de fluidos a partir da 
medição da diferença entre a pressão de estagnação e estática. Um tubo de Pitot é posicionado no 
centro de uma tubulação por onde escoa água. Sabe‑se que a pressão de estagnação produz uma 
112
Unidade III
coluna de 5,67 m de altura, enquanto a pressão estática apenas 4,72 m. Nessas condições, determine a 
velocidade do escoamento. Dados g = 10 m/s² e gágua = 10000 N/m³.
h1
h2
B
A
Figura 63 
Resolução
Dados:
h1 = 4,72 m
h2 = 5,67 m
gágua = 10000 N/m
3
Para determinação da velocidade do fluido, emprega‑se a equação:
v
p pestagana o est tica=
−
2 çã á
ρ
Multiplicando pela aceleração da gravidade, g, o numerado e o denominador, tem‑se:
v
p p g
g
g p
g
g pestagna o est tica estagna o est t=
−( )⋅
⋅
=
⋅
⋅
− ⋅2 2çã á çã á
ρ ρ
iica estagna o est tica
g
g p g p
ρ γ γ⋅




=
⋅
− ⋅




2 çã á
v g
p pestagna o est tica= −




2 çã á
γ γ
113
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Sabe‑se que:
p h h
p= ⋅ ⇒ =γ
γ
Assim:
p h h
p
est tica
est tica
á
á= ⋅ ⇒ =γ
γ1 1 e 
p h h
p
estagna o
estagna o
çã
çã= ⋅ ⇒ =γ
γ2 2
Dessa forma, a velocidade será obtida por meio da relação:
v g h h= −( )2 2 1
v
m
s
m= ⋅ −( ) = ⋅2 10 5 67 4 72 20 0 952 2 m/s m m, , ,
v
m
s
= 19
2
2
v = 4,36 m/s
Exemplo 2
Em uma indústria, um tubo de Pitot é inserido em uma tubulação com o objetivo de determinar 
a velocidade de escoamento do fluido. Nesse sistema, está instalado um tubo em U preenchido com 
mercúrio como fluido manométrico. Para o instante observado, a altura da coluna de mercúrioé de 50 
mm. Determine a velocidade de escoamento do fluido no interior da tubulação. Dados: g = 10 m/s², gHg 
= 136000 N/m³ e gfluido = 10000 N/m³.
(2)
(1)
a
h
Figura 64 
114
Unidade III
Resolução
Dados:
h = 50 mm = 0,05 m
gHg = 136000 N/m³
gfluido = 10000 N/m³
Em um tubo de Pitot, a velocidade do fluido pode ser determinada por meio da relação:
v
p pestagna o est tica=
−
2 çã á
ρ
Multiplicando pela aceleração da gravidade g, o numerador e o denominador, tem‑se:
v
p p g
g
g p g pestagna o est tica estagna o est tica=
−( )⋅
⋅
=
⋅ − ⋅
2 2
çã á çã á
ρ ρρ γ⋅




=
⋅ − ⋅




g
g p g pestagna o est tica
gua
2 çã á
á
v g
p pestagna o est tica
gua
=
−




2
çã á
áγ
 Observação
Em um tubo em U, a diferença de pressão pode ser obtida por meio da 
equação manométrica, considerando o princípio de Pascal e a Lei de Stevin, 
em ambos os ramos do tubo.
Nessa configuração, considerando a equação manométrica para o tubo em U, tem‑se:
p p h hestagna o est tica Hg guaçã á á−( ) = ⋅ − ⋅( )γ γ
p p hestagna o est tica Hg guaçã á á−( ) = −( )⋅γ γ
115
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Assim:
v g
p p
ghestagna o est tica
gua
Hg gua
gua
=
−




 =
−



2 2çã á
á
á
áγ
γ γ
γ 

v = ⋅ ⋅ −




2 10 0 05
136000 10000
10000
2
3 3
3 m/s m
 N/m N/m
 N/m
,
v m
s
m N
m
m
N
= ⋅ =1 126000
10000
12 62 3
3
, m /s2 2
v = 3,55 m/s
Exemplo 3
Em uma dada tubulação por onde escoa ar, foi inserido um tubo de Pitot. Sabendo que no sistema está 
instalado um tubo em U com mercúrio como fluido manométrico, determine a velocidade de escoamento 
do ar no interior da tubulação. Dados: g = 10 m/s², gHg = 136000 N/m³, gar = 13 N/m³ e h = 0,05 m.
(2)
(1)
a
h
Figura 65 
Resolução
Dados:
h = 0,05 m
g = 10 m/s²
gHg = 136000 N/m³
gar = 13 N/m³
116
Unidade III
Em um tubo de Pitot, a velocidade pode ser determinada por:
v g
p pestagna o est tica
ar
=
−



2 çã á
γ
Considerando a equação manométrica do tubo em U, tem‑se:
v gh Hg ar
ar
=
−



2
γ γ
γ
Como o peso específico do mercúrio é bem maior do que o peso específico do ar (gHg >> gar), obtém‑se:
v gh Hg
ar
= 2
γ
γ
Assim:
v
m
s
m
N
m
m
N
= ⋅ ⋅ = ⋅2 10 0 05 136000
13
1 10461542
3
3 2 3
3
 m/s m
 N/m
 N/m
, ,
v
m
s
= 1046154
2
2,
v = 102,28 m/s
Além de dispositivos medidores de velocidade de fluidos, a equação de Bernoulli permite estudar o 
princípio de funcionamento de medidores de vazão que apresentam algum tipo de restrição no tubo. 
Nesses medidores, a diminuição do diâmetro causa uma variação de velocidade que pode ser quantificada 
por meio da variação de pressão utilizando‑se um manômetro. Nas seções a seguir, serão detalhados os 
principais medidores de vazão para escoamentos internos: tubo de Venturi e placa de orifício.
7.3 Tubo de Venturi
O tubo de Venturi (ou medidor de Venturi), assim chamado em homenagem ao físico italiano Giovanni 
Battista Venturi, é um instrumento empregado para medir a vazão volumétrica em condutos fechados. 
Na figura a seguir, é representado um tubo de Venturi clássico com a localização dos pontos de tomada 
de pressão. Esse medidor causa uma obstrução ao escoamento do fluido devido à existência de uma 
garganta, na qual a área de escoamento é mínima, o que permite determinar a vazão do escoamento.
117
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Garganta
Baixa pressãoAlta pressão
(1)
(2)
Figura 66 – Esquema de um tubo de Venturi clássico e localização dos pontos de tomada de pressão
O tubo de Venturi é classificado como um medidor de obstrução de Bernoulli devido ao fato de 
a vazão ser relacionada com o diferencial de pressão entre as seções 1 e 2 por meio da utilização 
da equação da continuidade e da equação de Bernoulli. Para esse instrumento as considerações de 
escoamento permanente e a ausência de perdas são válidas. Dessa forma, a equação de Bernoulli é:
z
p
g
v z
p
g
v1
1
1
2
2
2
2
21
2
1
2
+ + ⋅ = + + ⋅
γ γ
em que:
z1 e z2 → alturas do fluido nos pontos 1 e 2;
p1 e p2 → pressões do fluido nos pontos 1 e 2;
v1 e v2 → velocidades do fluido nos pontos 1 e 2;
g → aceleração da gravidade; e
g → peso específico do fluido.
Como z1 = z2, rearranjando a equação anterior, tem‑se:
( ) ( )v v
g
p p2
2
1
2
1 2
2
− = −
γ
Empregando a equação da continuidade para os pontos 1 e 2, obtém‑se:
v A v A
v A
A1 1 2 2
1 1
2
⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ v2
sendo que A1 e A2 são as áreas das regiões 1 e 2.
118
Unidade III
Substituindo o resultado da velocidade na equação de Bernoulli e isolando a velocidade v1, tem‑se:
v
g
p p
A
A
1
1 2
1
2
2
2
1
=
⋅ −




−
( )
γ
Desse modo, a vazão volumétrica (Q) do fluido pode ser determinada por:
Q = A1 . v1
Q A
g
p p
A
A
= ⋅
⋅ −




−
1
1 2
1
2
2
2
1
( )
γ
Como o peso específico corresponde ao produto entre a massa específica e a aceleração da gravidade 
(g = r.g), então a vazão fica:
Q A
p p
A
A
= ⋅
⋅ −




−
1
1 2
1
2
2
2
1
( )
ρ
Tubos de Venturi apresentam baixa perda de carga para o escoamento do fluido. Em contrapartida, o 
custo inicial desse dispositivo é alto em comparação com os demais medidores. Em geral, a construção 
de tubos de Venturi segue normas internacionais, com tolerâncias muito pequenas, para que as perdas 
sejam baixas. Na figura a seguir, é mostrado um tubo de Venturi utilizado em laboratório.
Figura 67 – Tubo de Venturi empregado em laboratório
119
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
7.4 Placa de orifício
A placa de orifício é uma placa fina, com um orifício concêntrico, que é inserida entre flanges de 
tubulações (figura a seguir). Sua geometria é simples, o que lhe confere um baixo custo inicial e perda 
de carga elevada, em comparação com os demais medidores de vazão.
Figura 68 – Placa de orifício utilizada para medições de vazão
Uma tomada de pressão é colocada antes da placa e outra após a placa, como indicado nos pontos 
(1) e (2) da figura a seguir. Analogamente ao tubo de Venturi, pode‑se aplicar a equação de Bernoulli e 
a equação da continuidade para se obter a vazão (Q) do fluido, o que resulta em:
Q A
p p
A
A
= ⋅
⋅ −




−
1
1 2
1
2
2
2
1
( )
ρ
Contudo, a vazão real do fluido será menor do que o valor obtido teoricamente com a expressão 
anterior, e, portanto, fatores de correção devem ser considerados. Entre esses fatores, vale destacar o 
coeficiente de contração (Cc), que corresponde à correção do diâmetro no ponto (2) de tomada de pressão.
120
Unidade III
(1) (2)
Figura 69 – Desenho esquemático de uma placa de orifício com os pontos de tomada de pressão
Considerando que D1 é o diâmetro no ponto (1) e D2 é o diâmetro no ponto (2), para a placa 
de orifícios este último diâmetro corresponde ao diâmetro da vena contracta e é menor do que o 
diâmetro do orifício D0. Para o tubo de Venturi D2 = D0; já para a placa de orifício, deve‑se considerar 
o coeficiente de contração.
 Observação
A vena contracta ocorre após a redução súbita do diâmetro na região 
do escoamento, o que ocasiona um estreitamento das linhas de corrente 
e um aumento de velocidade. Esse fenômeno foi descrito por Evangelista 
Torricelli em 1643.
De forma geral, a vazão pode ser determinada em uma placa de orifício por meio da seguinte 
expressão:
Q k A g
p p= ⋅ ⋅ ⋅ −0 1 22
( )
γ
em que:
A0 corresponde à área do orifício;
p1 e p2 são as pressões nos pontos 1 e 2; e
121
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
k é um coeficiente adimensional definido como:
k
C
C
D
D
D
C
=
−




1 0
1
4
sendo:
CD o coeficiente de vazão;
CC o coeficiente de contração;
D0 o diâmetro do orifício; e
D1 o diâmetro da tubulação.
O coeficiente k depende da razão entre (D0/D1) e do número de Reynolds de aproximação, ou seja, 
calculado com a velocidade de aproximação (v1). Experimentalmente, as placas de orifício seguem 
normas de construção, e o coeficiente k pode ser obtido por meio de diagramas semelhantes ao 
mostrado na figura a seguir.
0,78
0,74
0,70
0,66
0,62
1042 4 6 8 105 2 4 6 8 106
0,58
D0/D1 = 0,75 D1
D00,70
0,65
0,60
0,50
0,40
0,30
k
Re1
1 1= v D
υ
< 0,03D1 < 0,02D1
30º
Figura 70 – Coeficiente k em função do número de Reynolds para diferentes razões entre D0/D1
No quadro a seguir, são destacadas as principais características do tubo de Venturi e da placa 
de orifício.
122
Unidade III
Quadro 9 – Perda de carga e custo 
inicial dos principais medidores de vazão
Tipo de medidor de vazão Perda de carga Custo inicial
Tubo de Venturi Baixa Alto
Placa de orifício Alta Baixo
Exemplo 1
O tubo de Venturi é um medidor de restrição utilizado para determinar a vazão dos fluidos em 
condutos a partir da diferença de pressão causada pela existência de uma região de área mínima, 
chamada de garganta. Supondo o escoamento de água por uma seção reta de 64 cm² no cano e 32 cm² 
na garganta, e que a pressão é 55 kPa no cano e 41 kPa na garganta, qual é a vazão de água em m³/s? 
Considere: g = 10 m/s² e g água = 10000 N/m³.
Garganta
(1)
(2)
Figura 71 
Resolução
Dados:
A1 = 60 × 10
–4 m2
A2 = 32 × 10
–4 m2
∆P = 55 × 10–3 – 41 × 103 = 14 × 103 Pa
Com o tubo de Venturi, a vazão volumétrica (Q) do fluido pode ser determinada pela expressão:
Q A
g
p p
A
A
= ⋅
⋅ −




−
1
1 2
1
2
2
2
1
( )
γ
123
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Q Q= ×
⋅ ⋅ ×
×
×




−
⇒ =−
−
−
64 10
2 10
14 10
10000
64 10
32 10
1
64
4
4
2
³
 44 10
2 14
4 1
4× ⋅
−
−
Portanto, a vazão é:
Q = 20 × 10–3 m3 / s
Exemplo 2
Considere a configuração da figura a seguir. Nesse sistema, escoa água (g = 10000 N/m³; υ = 10‑6 m²/s), e 
foram instalados uma placa de orifício e um manômetro diferencial de pressão, cujo fluido manométrico 
possui peso específico de 30000 N/m³. Sabendo que o manômetro indica um desnível de 5 cm, o diâmetro 
da tubulação é de 10 cm e o diâmetro do orifício é de 5 cm, determinar a vazão da água.
D1
(1) (2)
h
D0
Figura 72 
Resolução
Dados:
gágua = 10000 N/m³
υágua= 10
‑6 m²/s
gm = 30000 N/m³
h = 5 cm
D1 = 10 cm
D0 = 5 cm
124
Unidade III
O valor de k pode ser obtido por meio da figura 70. Contudo, como a velocidade v1 não é 
conhecida, a princípio, não é possível determinar exatamente o valor do número de Reynolds (Re). 
Porém, como a partir de certo valor de Re o valor de k torna‑se constante, então se deve adotar um 
valor inicial, verificar sua consistência e, posteriormente, determinar seu valor exato. Dessa forma, 
a razão entre os diâmetros é:
D
D
0
1
2
2
5 10
10 10
0 5= ×
×
=
−
− ,
1º passo: considerando que o número de Reynolds seja Re = 7 x 104, para esse valor de razão, tem‑se 
k ≈ 0 624, .
Dessa forma, a vazão pode ser obtida por:
Q k A g
p p= ⋅ ⋅ ⋅ −0 1 22
( )
γ
A área do orifício (A0) é:
A
D
A m0
0
2 2
2
0
3 2
4
5 10
4
196 10= ⋅ =
⋅ ×( )
⇒ = ×
−
−π π ,
A diferença de pressão (p1 – p2) pode ser obtida por meio da equação manométrica aplicada ao tubo 
em U:
( ) ( ) ( ) ( )p p h p pm gua1 2
4 4 2
1 2
33 10 10 5 10 10− = − ⋅ = × − ⋅ × ⇒ − =−γ γá Pa 
Assim:
Q Q= ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ×− −0 624 196 10 2 10 10
10
173 103
3
4
3, , , m /s3
2º passo: o valor obtido deve ser verificado. Para isso, a velocidade de aproximação deve ser calculada 
por meio da expressão:
v
Q
D
v m s1
1
2
3
2 2
1
4 4 173 10
10 10
0 220= = ⋅ ×
×( )
⇒ =
−
−π π
,
, / 
125
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Então, o número de Reynolds de aproximação é:
Re
,
Re ,= ⋅ = ⋅ × ⇒ = ×
−
−
v D1 1
2
6
40 220 10 10
10
2 20 10
υ
 
Esse valor é menor do que aquele adotado (Re = 7 x 104). Portanto, deve ser feita uma correção no 
valor. Para Re = 2,20 x 104 e (D0/D1) = 0,5, a constante k é 0,63. Dessa forma:
Q Q= ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ×− −0 63 196 10 2 10 10
10
175 103
3
4
3, , , m /s3
Novamente, o valor encontrado deve ser verificado:
Velocidade de aproximação: v
Q
D
v1
1
2
3
2 2
1
4 4 175 10
10 10
0 223= = ⋅ ×
×( )
⇒ =
−
−π π
,
, m/s
Número de Reynolds de aproximação:
Re
,
Re ,= ⋅ = ⋅ × ⇒ = ×
−
−
v D1 1
2
6
40 22 10 10
10
2 23 10
υ
 
Como a variação do número de Reynolds foi pequena nesse último caso, a vazão calculada pode ser 
adotada como verdadeira. Dessa forma, a vazão é:
Q = 1,75 × 103 m3/s
Exemplo 3
O tubo de Venturi é um dispositivo empregado para medição da vazão de fluidos em tubulações. 
Considere que o fluido estudado é água e que a área seção transversal da tubulação vale 64 cm² 
e na garganta a área cai pela metade. Por meio de um medidor pressão, sabe‑se que a pressão na 
tubulação é de 55 kPa e na garganta a pressão é 41 kPa. Determine a vazão de água doce em m³/s. 
Dados: g = 10 m/s² e gágua = 10000 N/m³.
Resolução
Dados:
A1 = 64 cm
2 = 64 × 10‑4 m2
126
Unidade III
A
A
2
1
2
=
P1 = 55 kPa = 55 × 10
3 Pa
P2 = 41 kPa = 41 × 10
3 Pa
g = 10 m/s²
g = 10000 N/m³
Para determinar a vazão de fluidos em um tubo de Venturi, utiliza‑se a equação:
Q A
p p
A
A
=
−




−
1
1 2
1
2
2
2
1
ρ
Escrevendo a vazão em termos do peso específico do fluido:
Q A
p p g
g
A
A
A
g
p p
A
A
=
−( )⋅
⋅




−
=
−




−
1
1 2
1
2
2 1
1 2
1
2
2
2
1
2
1
ρ γ
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
Q
A
= ×
⋅ × − ×



−64 10
2 10
55 10 41 10
100004 2
2
3 3
3
 m
 m/s
 Pa Pa 
 N/m
11
1
2
0 5
1
, ⋅




−
A
Q
N
m
m
N= ×








−
=−64 10
20
14000
10000
1
0 5
1
644 2
2
2 m
 m/s
 
²
³
,
×× ⋅
−
−10
20 14
4 1
4 2
2
 m
 m/s m,
127
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Q = × = × ⋅− −64 10 9 33 64 10 3 064 2 4 2 m m /s m m/s2 2, ,
Q = 19,58 × 10‑3 m3/s
Q = 0,020 m3/s
Exemplo 4
Em um determinado sistema, equipou‑se um tubo de Venturi com um medidor de pressão diferencial 
para determinação da vazão de água a 15 ºC (rágua = 999,1 kg/m³) através de uma tubulação horizontal 
com diâmetro de 5 cm. O diâmetro da garganta do tubo de Venturi é de 3 cm e há uma queda de pressão 
de 5 kPa. Nessas condições, determine a vazão volumétrica, em litros por segundo (l/s), e a velocidade 
média da água que atravessa a tubulação em metros por segundo (m/s).
5 cm
Medidor de pressão diferencial
3 cm
∆P
Figura 73 
Resolução
Dados:
rágua = 999,1 kg/m³
D1 = 5 cm = 5 × 10
–2 m
D2 = 3 cm = 3 × 10
–2 m 
∆P = 5 kPa
128
Unidade III
Q = ?
v = ?
Para determinação da vazão, emprega‑se a equação para o tubo de Venturi:
Q A
p p
A
A
=
−




−
1
1 2
1
2
2
2
1
ρ
Q
D
P
D
D
= ⋅ 























−
= ⋅π ρ
π
π
π1
2
1
2
2
2
22
2
2
2
1
∆
DD
P
D
D
1
2
1
2
42
2
1



 



−
∆
ρ
Q = ⋅ ×




×
×
×


−
−
−
π 5 10
2
2
5 10
999 1
5 10
3 10
2 2
3
3
2
2
 m
 Pa
 kg/m
 m
 m
,



−
= × −4
3 2
2
3
1
196 10
10
6 72
,
,
 m
 
N
m
m
kg
Q
kg m
s m
m
kg
m
s= ×
⋅
⋅ = ×− −196 10
10
6 72
196 10
10
6
3 2
2 2
3
4
3 2
2
2
,
,
,
,
 m
 
 m
 m
775
196 10 1483 2= × −, , m m /s2 2
Q = 2,38 × 10–3 m3/s
Lembrando que 1 m³ = 1000 litros, tem‑se:
Q = 2,38 l/s
129
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Para obtenção da velocidade, tem‑se:
Q v A v
Q
A
= ⋅ ⇒ =1
1
v
m
s m
= ×
×



= ×
⋅ ×
−
−
−
−
2 38 10
5 10
2
2 38 10
625 10
13
2 2
3
6
3, , m /s
 m
3
π
π 22
 v = 1,21 m/s
Exemplo 5
A vazão mássica de ar a 20 ºC (rar = 1,204 kg/m³) através de um duto de 18 cm de diâmetro é medida 
com um tubo de Venturi equipado com um manômetro de água. A garganta no tubo de Venturi tem 
5 cm de diâmetro, e o fluido manométrico no tubo em U apresenta uma diferença de altura de 40 cm. 
Nessas condições, determine a vazão mássica de ar que atravessa a tubulação.
18 cm
Manômetro de água
5 cm
40 cm
Figura 74 
Resolução
Dados:
rar = 1,204 kg/m³
D1 = 18 cm = 18 × 10
–2 m
130
Unidade III
D2 = 5 cm = 5 × 10
–2 m
h = 40 cm = 40 × 10–2 m
rágua = 1000 kg/m³
Como se emprega um manômetro de água para medir a diferença de pressão, tem‑se:
∆P g hgua ar= −( )⋅ ⋅ρ ρá
 Em virtude do rágua >> rar,tem‑se:
∆P g hgua= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ×
−ρá 1000 40 10
3 2 2 kg/m 10 m/s m
∆P kg
m
m
s
m
kg m
m s
kg m
s m
N
m
= = ⋅
⋅
= ⋅ =4000 4000 4000 1 40003 2 2 2 2 2 2
∆P = 4000 P
Para o cálculo da vazão volumétrica, utiliza‑se a equação para o tubo de Venturi:
Q A
p p
A
A
=
−




−
1
1 2
1
2
2
2
1
ρ
Q
D
D
D
= ⋅ 



⋅ 


⋅ 



π
π
π
1
2 3
1
2
2
2
2
2
4000
1204
2
2
 Pa
 kg/m,











−
= ⋅ ×




⋅


−
2
2 2 2
3
1
21
18 10
2
2 3322 26
π m
,
N
m
m
kg
D
D


−
4
1
Q
kg m
m s
m
kg= ×
⋅
⋅
×
×




−
−
−
25 45 10
6644 52
18 10
5 10
3 2
2 2
3
2
2
,
,
 m
 m
 m
44
3 2
1
25 45 10
6644 52
166 96
−
= × −, ,
,
 m
 m /s2 2
131
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Q = × = × ⋅− −25 45 10 39 80 25 45 10 6 313 2 3 2, , , , m m /s m m/s2 2
Q = 0,16 m3/s
Como o problema pede a vazão mássica, QM:
Q QM = ⋅ = ⋅ρ 1204 0 16
3, , kg/m m /s3
QM = 0,19 kg/s
Exemplo 6
Em uma tubulação horizontal de 6 cm de diâmetro existe um tubo de Venturi com uma garganta 
de 4 cm de diâmetro. Sabendo que por essa tubulação escoa água, e que a diferença de pressão é de 
70 kPa, determine a vazão volumétrica. Dados: g = 10 m/s² e gágua = 10000 N/m³.
Resolução
Dados:
D1 = 6 cm = 6 × 10
–2 m
D2 = 4 cm = 4 × 10
–2 m
∆P = 70 kPa
g = 10 m/s²
gágua = 10000 N/m³
Empregando a equação do tubo de Venturi para a determinação da vazão volumétrica, tem‑se:
Q A
p p
A
A
=
−




−
1
1 2
1
2
2
2
1
ρ
132
Unidade III
Como demonstrado nos exemplos anteriores, esta equação pode ser reescrita como:
Q
D
P
D
D
= ⋅ 


 



−
π ρ1
2
1
2
42
2
1
∆
Ou, em termos do peso específico:
Q
D
g
P
D
D
= ⋅ 


 



−
π γ1
2
1
2
42
2
1
∆
Assim:
Q
D
g
P
D
D
= ⋅ 


 



−
= ⋅ ×




⋅−
π γ π1
2
1
2
4
2 2
2
2
1
6 10
2
2 10
∆
 m
 m/ss
 Pa
 N/m
 m
 m
2
3
3
2
2
4
70 10
10000
6 10
4 10
1
×
×
×




−
−
−
Q
m
s
N
m
m
N= × = ×− −2 83 10
140
4 06
2 83 10 34 483 2
2 2
3
3 2,
,
, , m
 
 m m /s2 2
Q = 2,83 × 10–3 m2 . 5,87 m/s
Q = 0,017 m3/s
 
8 EQUAÇÃO DA ENERGIA – FLUIDO REAL E CASOS ESPECIAIS
8.1 Perda de carga
Por meio da aplicação da equação de Bernoulli para um fluido ideal, na ausência de máquinas, 
verifica‑se que a carga (H) em dois pontos ao longo de uma linha de corrente é constante.
Fluido ideal na ausência de máquina: H1 = H2
133
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Porém, para fluidos reais (apresenta viscosidade não nula) as perdas por atrito não são desprezíveis 
e podem ser determinadas por meio do cálculo da perda total de carga (Hp). Essas perdas podem ser:
• distribuídas: quando causadas pelo atrito entre o fluido e a tubulação; ou
• singulares: quando produzidas por entradas ou acessórios como válvulas, cotovelos e reduções.
A perda total de carga corresponde à soma das perdas distribuídas e das singulares. Considerando um 
fluido real, incompressível e em regime permanente de escoamento, a carga no ponto 1 (H1) é maior do que 
a carga no ponto 2 (H2) devido à perda total de carga no trecho (HP1,2), como ilustrado na figura a seguir.
(1)
H1
HP1,2
H2
(2)
Figura 75 – Escoamento de um fluido real na ausência de máquinas
Dessa forma, na equação da energia do sistema, deve‑se adicionar uma parcela correspondente às perdas:
H1 = H2 + HP1,2
Logo, para um fluido real, a perda de carga (HP1,2) entre os pontos 1 e 2 é dada por:
HP1,2 = H1 – H2
H z z
p p
g
v vP 1,2 = − +
− + ⋅ −( ) ( ) ( )1 2 1 2 1
2
2
21
2γ
em que:
z1 e z2 → alturas do fluido nos pontos 1 e 2;
p1 e p2 → pressões do fluido nos pontos 1 e 2;
v1 e v2 → velocidades do fluido nos pontos 1 e 2;
g → aceleração da gravidade; e
g → peso específico do fluido.
134
Unidade III
Assim, para um escoamento sem atrito em um tubo horizontal a pressão somente pode variar se 
a velocidade variar (por meio de uma variação do diâmetro do tubo). Já quando existem perdas por 
atrito, a equação anterior indica que variações da pressão ocorrem mesmo para um tubo horizontal 
e de área constante.
 Saiba mais
A perda de carga total depende da geometria, do projeto, da fabricação 
dos componentes, da rugosidade dos tubos e do regime de escoamento. 
Para saber mais sobre perda de carga e suas aplicações industriais, consulte:
MUNHOZ, P. M. Fenômenos de transporte: aplicações industriais. São 
Paulo: Senai, 2015.
8.2 Equação da energia para fluido real na presença de uma máquina
Se um fluido real estiver escoando em um sistema com uma máquina (figura a seguir), a equação da 
energia deve ser reescrita de modo a considerar a carga da máquina (HM):
H1 + HM = H2 + HP1,2
em que:
H1 e H2 são as cargas nos pontos 1 e 2;
HM é a carga da máquina (bomba ou turbina); e
Hp1,2 é a perda de carga total entre 1 e 2.
(1)
H1
HM
HP1,2
H2
(2)
M
Figura 76 – Escoamento de um fluido real na presença de uma máquina
135
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Analogamente ao caso da potência recebida (ou cedida) pelo fluido, é possível definir a potência 
dissipada pelo atrito (NDISS) por meio da seguinte relação:
N Q HDISS P= ⋅ ⋅γ 1,2
sendo que:
g é o peso específico do fluido; e
Q é a vazão volumétrica do sistema.
Na figura a seguir, é apresentado um resumo das equações da energia para fluido ideal e real, na 
ausência e na presença de máquina.
Sem máquina:
H1 = H2
Com máquina:
H1 + HM = H2
Sem máquina:
H1 = H2 + HP1,2
Com máquina:
H1 + HM = H2 + HP1,2
Ideal
Real
Fluido
Figura 77 – Equações da energia para fluido real e para fluido ideal na presença e na ausência de máquina no sistema
 Saiba mais
O elemento químico He4 se comporta como um gás à temperatura 
ambiente. Contudo, para temperaturas inferiores a 4 kelvins, ele se 
torna líquido e, abaixo de 2 kelvins, o He4 apresenta uma fase chamada 
superfluida, na qual o líquido flui sem viscosidade. Para saber mais sobre 
estudos realizados com esse elemento, acesse:
SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA. Plasticidade gigante. São Paulo, [s.d.]. 
Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/v1/index.php?option=com_
content&view=article&id=787>. Acesso em: 14 dez. 2016.
136
Unidade III
Exemplo 1
Em um sistema, a vazão da água é de 25 litros/s, e as perdas entre os pontos (1) e (2), H P 1,2, equivalem 
a 3 m. No sistema, há uma bomba que fornece uma potência de 746 W. Considerando que o rendimento 
da bomba é de 90%, que o reservatório (1) possui grandes dimensões e que no ponto (2) a água é liberada 
para a atmosfera, determine a pressão no ponto (1). Dados: A2 = 50 cm², g = 10 m/s² e gágua = 10000 N/m³.
B
3 m
7 m
(1)
(2)
Figura 78 
Resolução
Dados:
Hp 1,2 = 3 m
Q = 25 l/s = 25 × 10–3 m3/s
A2 = 50 cm
2 = 50 × 10–4 m2
NB = 746 W
ηB = 0,90
Empregando a equação da energia para um fluido real na presença de uma máquina:
H1 + HM = H2 + Hp1,2
z
p
g
v H z
p
g
v HB P1
1
1
2
2
2
2
21
2
1
2
+ + + = + + +
γ γ 1,2
137
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Para o problema apresentado, tem‑se:
a) v1 = 0 m/s, reservatório é de grandes dimensões;
b) z2 = 0 m;
c) p2 = 0, pressão atmosférica.
Assim:
z
p
H
g
v HB P1
1
2
21
2
+ + = +
γ 1,2
p
g
v H z HP B1 2
2
1
1
2
= + − −



⋅1,2 γ
Lembrando que:
N
Q H
H
N
QB
B
B
B
B B= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
⋅
γ
η
η
γ
HB =
⋅
⋅ ×
= ⋅
⋅ ×− −
746 0 90
10000 25 10
746 0 90
10000 25 103 3 3
 W
 N/m m /s3
, , NN m
s
m
N
s
m
⋅ 3
3
HB = 2,69 m
A velocidade v2 é obtida pela relação:
v
Q
A2 2
3
4 2
25 10
50 10
5= = ×
×
=
−
−
 m /s
 m
 m/s
3
Então:
p m
m
1 2
2
3
1
2 10
5 3 10 2 69 10000=
⋅
( ) + − −




 ⋅
 m/s
 m/s m m 
N
,
p
m
s
s
m
N
m
1
2
2
2
3125 9 69 10000= −




⋅, , m
138
Unidade III
p m
N
m
N
m
1 3
3
3125 9 69 10000 84 4 10= −( )⋅ = − ×, , , m m
P1 = –84,4 × 10
3 N/m2
p1 = –84,4 kPa
 
Exemplo 2
Determine a posição y1, sabendo que a água escoa do reservatório (1) para o reservatório (2) através 
de uma tubulação com área da seção transversal 20 cm²,como ilustrado na figura a seguir. Sabe‑se que, 
para a vazão volumétrica de 6 l/s, a perda entre os reservatórios (1) e (2) é de 27,9 m. Considere que os 
dois reservatórios são de grandes dimensões. Dados: y2 = 4 m; g = 10 m/s² e gágua = 10000 N/m³.
y1
y2 = 4 m
Figura 79 
Resolução
Dados:
y1 = ?
A = 20 cm2 = 20 × 10–4 m2
Q = 6l/s = 6 × 10–3 m3/s
HP 1,2 = 27,9 m
y2 = 4 m
g = 10000 N/m³
139
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Empregando a equação da energia para um fluido real:
H1 = H2 + HP1,2
y
p
g
v y
p
g
v HP1
1
1
2
2
2
2
21
2
1
2
+ + = + + +
γ γ 1,2
Para as condições apresentadas pelo problema, tem‑se:
a) p1 = p2 = 0, pois os reservatórios estão abertos;
b) v1 = v2 = 0, uma vez que os reservatórios são de grandes dimensões.
Assim:
y1 = y2 + HP1,2
y1 = 4 m + 27,9 m
y1 = 31,9 m
Exemplo 3
Água deve ser bombeada por uma bomba com potência de 5 kW e eficiência de 70% para uma 
piscina cuja superfície livre está a 30 m acima do nível da água, como ilustrado a seguir. Determine a 
vazão máxima da água se a perda do sistema de tubulação for de 4 m. Dados: g = 10000 N/m³.
30 m
Piscina
Bomba
Figura 80 
140
Unidade III
Resolução
Dados:
NB = 5kW
ηB = 0,70
z2 – z1 = 30 m
HP1,2 = 4 m
Q = ?
Empregando a equação da energia para fluido real na presença de uma máquina:
H1 + HB = H2 + Hp1,2
z
p
g
v H z
p
g
v HB P1
1
1
2
2
2
2
21
2
1
2
+ + + = + + +
γ γ 1,2
Para as condições apresentadas pelo problema, tem‑se:
a) p1 = p2 = 0, os reservatórios estão abertos;
b) v1 = v2 = 0, pois os reservatórios são de grandes dimensões.
Assim:
z1 + HB = z2 + HP1,2
HB = z2 – z1 + HP1,2
HB = 30 m + 4 m
HB = 34 m
Para determinação da vazão, emprega‑se a equação da bomba:
N
Q H
Q
N
HB
B
B
B B
B
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
⋅
γ
η
η
γ
141
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Q
N m
s
m
N m
= × ⋅
⋅
= ⋅5 10
10000 34
3500
340000
13
3
3 W 0,70
 N/m m
Q = 10,29 × 10–3 m3/s
Exemplo 4
Considere o reservatório, de grandes dimensões, mostrado a seguir, no qual se instalou uma bomba 
com 5 kW de potência e rendimento de 75%. Sabe‑se que a velocidade da água no ponto 2 é de 5 m/s. 
Nessas condições, determine a carga da bomba e a perda de carga total do sistema. Dados: g = 10000 
N/m³, A2 = 10 cm² e g = 10 m/s².
8 m
(1)
(2)
B
Figura 81 
Resolução
Dados:
NB = 5 kW
ηB = 0,75
v2 = 5 m/s
z1 = 8 m
A2 = 10 cm
2 = 10 × 10–4 m2
g = 1000 N/m3
142
Unidade III
Empregando a equação da energia para fluido real na presença de uma máquina:
H1 + HB = H2 + Hp1,2
z
p
g
v H z
p
g
v HB P1
1
1
2
2
2
2
21
2
1
2
+ + + = + + +
γ γ 1,2
Para as condições apresentadas pelo problema, tem‑se:
a) p1 = p2 = 0, os reservatórios estão abertos;
b) v1 = 0, pois o reservatório é de grandes dimensões;
c) z2 = 0 m.
Assim:
z H
g
v HB P1 2
21
2
+ = + 1,2
z H
g
v H H z H
g
vB P P B1 2
2
1 2
21
2
1
2
+ = + ⇒ = + −1,2 1,2
Para obter a perda de carga entre os pontos 1 e 2, é necessário determinar primeiro a altura 
manométrica (carga) da bomba (HB):
N
Q H
H
N
Q
N
v AB
B
B
B
B B B B= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
⋅
= ⋅
⋅ ⋅
γ
η
η
γ
η
γ
H
N m
s
m
N
s
m m
B =
⋅ ×
⋅ ⋅ ×
= ⋅−
0 75 5 10
10000 5
75
13
3 4 2
3
2
, W
 N/m m/s 10 10 m
 
HB = 75 m
Assim, a perda total de carga do sistema é dada por:
H z H
g
vP B1,2 m m
 m/s
 m/s= + − = + −
⋅
( )1 22 2
21
2
8 75
1
2 10
5
143
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
HP 1,2 m
 m /s
 m/s
 m m= − = −83 25
20
83 125
2 2
2 ,
HP1,2 = 81,75 m
 Lembrete
Em reservatórios de grandes dimensões em que houver descarga 
de fluido, esta não seria suficiente para alterar o nível do reservatório, 
que permanecerá aproximadamente constante com o tempo, e, assim, 
pode‑se considerar que a velocidade do fluido será aproximadamente 
nula nesse ponto.
8.3 Escoamento não uniforme
Até o momento tratamos apenas dos escoamentos uniformes. No entanto, discutiremos também 
sobre os escoamentos em tubulações, devido ao princípio da aderência. Nesses pontos de contato, o 
fluido apresenta velocidade nula, e o perfil de velocidades não é uniforme ao longo da seção transversal.
Considerando o perfil de velocidades mostrado na figura a seguir, verifica‑se que o valor do vetor 
velocidade (v) altera‑se ponto a ponto ao longo da seção de área A. Dessa forma, o termo da carga cinética 
(v²/2g) da equação da energia não possui significado, já que existem distintos valores em uma seção.
A
dA
v
Figura 82 – Perfil da velocidade de um escoamento completamente desenvolvido em uma tubulação
Para utilizar o valor médio da velocidade (vm) ao longo da seção transversal de área A (figura a 
seguir), é necessário empregar um fator de correção na equação da energia. Esse fator de correção é 
conhecido como coeficiente de energia cinética (a) e pode ser determinado por:
α =



∫
1
3
A
v
v
dA
M
144
Unidade III
Dessa forma a equação da energia para um fluido real deve ser escrita como a seguir.
z
p v
g
z
p v
g
HM M p1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
122 2
+ + ⋅ = + + ⋅ +
γ
α
γ
α ,
em que:
z1 e z2 são as alturas do fluido nos pontos 1 e 2;
p1 e p2 são as pressões do fluido nos pontos 1 e 2;
a1 e a2 são os coeficientes de energia cinética nos pontos 1 e 2;
vM1 e vM2 são as velocidades médias nos pontos 1 e 2;
g é a aceleração da gravidade; e
g é o peso específico do fluido.
A
vm
v
Figura 83 – Velocidade média para um perfil de velocidade de um escoamento completamente desenvolvido em uma tubulação
O valor do coeficiente de energia cinética depende do perfil de velocidade e será maior quanto 
mais esse perfil se afastar de um perfil uniforme. Nesse contexto, é importante estudar os valores desse 
coeficiente para os regimes de escoamento laminar e turbulento em tubos de seções circulares.
a) Escoamento laminar (Re < 2000):
Para escoamento laminar a = 2, o diagrama (ou perfil) de velocidade pode ser descrito pela expressão:
v v
r
R
= − 











max 1
2
145
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
em que:
r é a distância do centro do tubo até o ponto de interesse;
R é o raio do tubo; e
vmax é o valor máximo da velocidade que, para um escoamento laminar completamente desenvolvido 
em uma tubulação, corresponde ao dobro da velocidade média.
Assim, a equação da energia fica:
z
p v
g
z
p v
g
HM M p1
1 1
2
2
2 2
2
12+ + = + + +γ γ ,
 Lembrete
O escoamente laminar é caracterizado pelo fato de a velocidade do 
fluido em um ponto fixo qualquer não variar com o tempo, nem em módulo 
nem em orientação.
b) Escoamento turbulento (Re > 2400 ):
Para escoamento turbulento a ≅ 1, o diagrama de velocidade é frequentemente descrito pela 
expressão:
v v
r
R
= −


max
/
1
1 7
Para esse tipo de escoamento, a razão entre a velocidade média e máxima é dada por:
v
v
v vM M
max
max= ⇒ =
49
60
60
49
 
Assim, a equação da energia fica:
z
p v
g
z
p v
g
HM M p1
1 1
2
2
2 2
2
122 2
+ + = + + +
γ γ ,
Como a ≅ 1 para valores elevados do número de Reynolds e como, em geral, a variação da carga 
cinética é pequena quando comparada com os outros termos da equação da energia, é razoável utilizar 
a = 1 para a maioria dos casos práticos de escoamento em tubulações.
146
Unidade III
 Lembrete
O regime de escoamento turbulento é caracterizado pelo fato de o 
campo de velocidades das partículas do fluido mudar com o tempo de 
forma aparentemente aleatória.
8.4 Entradas e saídas não únicas
É possível generalizar a equação da energia para casos de escoamentos por sistemas com 
entradas e saídas não únicas, em movimento permanente, para fluidos incompressíveis e sem 
trocas de calor envolvidas (figura a seguir). Para esses casos, e considerando um fluido ideal, a 
energia mecânica total (E) de entrada deve ser igual à energia mecânica total da saída para um 
mesmo intervalo de tempo (t), ou seja:
E E
e s∑ ∑=
em que:
• (e) refere‑se à entrada; e
• (s) refere‑se à saída.
E1e
E2e
E1s
E2s
Ens
1e 1s
2s2e
ne ns
Ene
Figura 84 – Esquema de um sistema com n entradas e saídas
147
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Ainda, para que a equaçãoanterior seja utilizada, as condições para a equação de Bernoulli devem 
ser satisfeitas, ou seja:
• movimento permanente;
• escoamento incompressível;
• sem trocas de calor;
• forças de atrito são desprezíveis;
• escoamento ao longo de uma linha de corrente; e
• ausência de máquinas no trecho.
Dividindo a equação anterior pelo intervalo de tempo (t):
E t E t
e s
/ /∑ ∑=
Como a razão energia por tempo define a grandeza potência (N), então:
N N
e s∑ ∑=
Ou seja:
γ γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑Q H Q He s
E a carga em cada seção é dada por:
H z
p v
g
M= + + ⋅
γ
α
2
2
Considerando um fluido real escoando por um sistema com entradas e saídas não únicas na presença 
de uma máquina (figura a seguir), a potência do sistema é dada por:
γ γ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +∑ ∑Q H N Q H Ne DISSs
em que a potência N pode ser positiva ou negativa, dependendo se a máquina for bomba ou turbina, 
e NDISS corresponde à potência dissipada por atrito do fluido em todos os trechos do escoamento.
148
Unidade III
N H QDISS P= ⋅ ⋅∑ γ
E1e
NDISS
E2e
E1s
E2s
Ens
1e 1s
2s2e
ne ns
Ene
M
Figura 85 – Esquema de escoamento de um fluido real em um sistema com n entradas e saídas na presença de máquina
Exemplo 1
Um líquido escoa por uma tubulação de seção circular de raio R. Sabendo que o escoamento é 
laminar, em que a velocidade média corresponde à metade da velocidade máxima, e o diagrama de 
velocidade é dado por:
v v
r
R
= − 











max 1
2
sendo vmax a velocidade máxima, r a distância do centro da tubulação até um ponto de interesse e R 
o raio da tubulação, determine o coeficiente de energia cinética a para esse escoamento.
Resolução
O coeficiente de energia cinética (a) pode ser determinado por:
α =



∫
1
3
A
v
v
dA
M
em que:
A é a área da seção transversal do tubo. Como a tubulação é circular, então:
A = π . R2
dA = 2πrdr
149
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
v é a velocidade; e
vM é a velocidade média, que é dada por:
v
v
M
MAX=
2
Dessa forma, o coeficiente de energia cinética é:
α
π
π=
⋅
− 
























∫1
1
2
2
2
3
0
R
v
r
R
v
rdr
R
²
max
max
α = −( )∫168 3
0R
R r rdr
R
² ²
α = ⋅ − ⋅ + ⋅ −( )∫16 3 38 6 4 2 5 7
0R
R r R r R r r dr
R
³
α α= − + −




⇒ = − + −



16
2
3
4
3
6 8
16
12 18 12 3
248
8 8 8 8
R
R R R R
 == ⋅16 3
24
a = 2
Como esperado teoricamente, a = 2, para esse tipo de escoamento e geometria.
Exemplo 2
Um líquido escoa por uma tubulação de seção circular de raio R. Sabendo que o escoamento é 
turbulento, em que a velocidade média corresponde a 49 60
⋅



vMAX , e o diagrama de velocidade é 
dado por:
v v
r
R
= −


max
/
1
1 7
150
Unidade III
sendo vmax a velocidade máxima, r a distância do centro da tubulação até um ponto de interesse e 
R o raio da tubulação, determine o coeficiente de energia cinética (a) para esse escoamento.
Resolução
O coeficiente de energia cinética (a) pode ser determinado por:
α =



∫
1
3
A
v
v
dA
M
em que:
A é a área da seção transversal do tubo. Como a tubulação é circular, então:
A = π . R2
dA = 2πrdr
v é a velocidade; e
vM é a velocidade média, que é dada por:
v
v
M
MAX= ⋅49
60
Dessa forma, o coeficiente de energia cinética é:
α
π
π=
⋅
−


⋅












⇒∫1
1
49
60
2
1 7 3
0
R
v
r
R
v
rdr
R
²
max
/
max
 α =
−( ) ⋅







∫
1 60
49
2
1 7
1 7
3
0
R
R r
R
rdr
R
²
/
/
α = ⋅ ⋅ −( )∫1 2 604917 7
3
3
3 7
0R
R r rdr
R
/
/
Com:
R r a r R a dr da− = ⇒ = − ⇒ = − 
• Para: r = 0 ⇒ a = R
151
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
• Para: r = R ⇒ a = 0
Então:
R r rdr a R a da a R a da a R da
R
R
R R
−( ) = − −( ) = − = ⋅∫ ∫ ∫3 7
0
3 7
0
3 7
0
3 7
0
/ / / /( ) ( ) ∫∫ ∫− ⋅a da
R
10 7
0
/
a R da a da R R R R
R R
3 7
0
10 7
0
10 7 17 7 17
10
7
17
119 70
170
/ / / /⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − =
−( )∫ ∫ 77 7 17 749170
/ /= R
Portanto, o coeficiente de energia cinética será:
α = ⋅ ⋅1 2 60
49
49
17017 7
3
3
17 7
R
R/
/
a = 1,058
Dessa forma, para escoamento de fluido incompressível em regime permanente e turbulento por 
uma tubulação de seção transversal circular, a carga cinética será:
α ⋅ =v
g
v
g
M M
2 2
2
1 058
2
,
Na prática, para esse tipo de escoamento, é comum considerar que a = 1, já que isso acarretará 
um pequeno erro de arredondamento. Dessa forma, a carga total do fluido (H) pode ser escrita 
como:
H z
p v
g
z
p v
g
M M= + + ≅ + +
γ γ
1 058
2 2
2 2
,
Exemplo 3
Considere que o escoamento de um fluido seja laminar e completamente desenvolvido em uma 
tubulação de seção transversal circular de raio R. Determine a distância radial (r) a partir do eixo do tubo 
no qual a velocidade é igual à velocidade média (vM).
152
Unidade III
Resolução
Para escoamento laminar, o perfil de velocidade é dado por:
v v
r
R
= − 











max 1
2
A velocidade média relaciona‑se com a velocidade máxima por:
v
v
v vM
MAX
MAX M= ⇒ = ⋅2
2 
Assim, o perfil de velocidade pode ser escrito como:
v v
r
RM
= ⋅ − 











2 1
2
Como v = vM, então:
1
2
1 0 5 0 5
2 2
= − 



⇒ 



= ⇒ = ⋅r
R
r
R
r R , ,
Portanto, a distância radial a partir do eixo do tubo em que essa condição ocorre é:
r = 0,707 . R
 Resumo
O tubo de Pitot é um dispositivo empregado para medir a velocidade 
de fluidos. Para um tubo horizontal, a velocidade do fluido pode ser 
determinada por:
v
p pestagna o est tica
1 2= ⋅
−( )çã á
ρ
O tubo de Venturi é instrumento empregado para medir a vazão 
volumétrica em condutos fechados. Esse medidor causa uma obstrução ao 
escoamento do fluido devido à existência de uma garganta, na qual a área 
153
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
de escoamento é mínima, o que permite determinar a vazão do escoamento 
medindo a diferença de pressão e utilizando a expressão:
Q A
p p
A
A
= ⋅
⋅ −




−
1
1 2
1
2
2
2
1
( )
ρ
A placa de orifício é uma placa fina, com um orifício concêntrico, que 
é inserida entre flanges de tubulações. Sua geometria é simples, o que lhe 
confere um baixo custo inicial e perda de carga elevada, em comparação 
com os demais medidores de vazão. A vazão pode ser determinada em uma 
placa de orifício por meio da seguinte expressão:
Q k A g
p p= ⋅ ⋅ ⋅ −0 1 22
( )
γ
em que:
k
C
C
D
D
D
C
=
−




1 0
1
4
A equação da energia para fluido real é:
H H H H z z
p p
g
v vP P1 2 1 2
1 2
1
2
2
21
2
= + ⇒ = − + − + ⋅ −1,2 1,2 ( )
( )
( )
γ
A equação da energia para fluido real na presença de uma máquina é:
H1 + HM = H2 + HP1,2
A potência dissipada pelo atrito (NDISS) é:
NDISS = g . Q . HP1,2
O coeficiente de energia cinética (a) é:
α =



∫
1
3
A
v
v
dA
M
154
Unidade III
Para escoamento laminar (Re < 2000): a = 2
Para escoamento turbulento (Re > 2400): a = 1
A equação da energia para um fluido real em escoamento não 
uniforme é:
z
p v
g
z
p v
g
HM M p1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
122 2
+ + ⋅ = + + ⋅ +
γ
α
γ
α ,
O perfil da velocidade para escoamento laminar é:
v v
r
R
= − 











max 1
2
O perfil da velocidade para escoamento turbulento é:
v v
r
R
= −


max
/
1
1 7
As entradas e saídas não únicas – fluido ideal – são:
E E
e s∑ ∑=
N N
e s∑ ∑=
γ γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑Q H Q He s
As entradas e saídas não únicas – fluido real e na presença de 
máquina – estão definidas a seguir:
γ γ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +∑∑ Q H N Q H Ns DISSe
N H QDISS P= ⋅ ⋅∑ γ
155
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
 Exercícios
Questão 1. O tubo de Pitot foi criado em 1732 pelo físico francês Henri Pitot (1665‑1743). O 
objetivo era o de medir a velocidade do fluxo da água no Rio Sena, que atravessa Paris. O uso desse tipo 
de equipamento atravessou o tempo, sendo usado até hoje, por exemplo, na medição de velocidades de 
aeronaves. Isso pode ser observado na figura a seguir, que mostra a asa de um avião de pequeno porte 
sustentando um Tubode Pitot.
Tubo de Pitot
Figura 86
O tubo de Pitot funciona basicamente como um medidor de pressão diferencial, necessitando, para 
isso, possuir duas pressões bem definidas e comparadas. Veja, por exemplo, a figura a seguir:
P2
P1
Sentido do 
escoamento
Fluido 
manométrico
gm = 135 kN/m3
h = 10 mm
g = 10 kN/m3
Figura 87
156
Unidade III
A primeira fonte de pressão do sistema (P1) é a pressão estática do fluido, tomada na direção 
perpendicular à trajetória do fluido. A segunda medida (P2) feita na extremidade do tubo de Pitot, 
através de sua entrada frontal principal, é a pressão dinâmica, ou pressão total ou pressão de estagnação.
Por essa consideração, é possível concluir que P2 seja maior que P1, e o fluido manométrico sofrerá 
um desnível (h) como o mostrado na figura.
Por meio do tubo de Pitot, indicando por g a aceleração da gravidade, por g o peso específico do 
fluido em escoamento e por gm o peso específico do fluido manométrico, a velocidade do fluido no 
ponto de medição é dada por:
v g hm= −




2 1
γ
γ
Dessa forma, sabendo que g = 10 m/s2, quando se dobrar a velocidade do fluido em escoamento 
mostrado na figura, o desnível (h) ficará:
A) Maior que o mostrado e igual a 20 mm.
B) Menor que o mostrado e igual a 5 mm.
C) Maior que o mostrado e igual a 40 mm.
D) Menor que o mostrado e igual a 10 mm.
E) Igual ao mostrado.
Resposta correta: alternativa C.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: a alternativa mostra uma relação linear entre a velocidade e o desnível h, enquanto a 
 
expressão v g hm= −




2 1
γ
γ
 mostra que o desnível é proporcional ao quadrado da velocidade. Assim, 
 
dobrando a velocidade, o desnível aumenta com o seu quadrado, ou seja, ele fica igual a quatro vezes o 
apresentado na questão.
B) Alternativa incorreta.
157
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Justificativa: para que essa alternativa fosse correta, seria necessário que a velocidade diminuísse e 
ficasse igual à existente dividida por 2 .
C) Alternativa correta.
Justificativa: a solução da questão é:
v g hm1 12 1= −




γ
γ
 v v g hm2 1 22 2 1= ⋅ = −




γ
γ
2
2 1
2 1
1
1
2
1
⋅ =
−




−




v
v
g h
g h
m
m
γ
γ
γ
γ
2
2 1
2 1
2
1
=
−




−




g h
g h
m
m
γ
γ
γ
γ
2
2 1
2 1
2
2
1
=
−




−




g h
g h
m
m
γ
γ
γ
γ
4 42
1
2 1= = ⋅
h
h
h h
h mm h mm2 24 10 40= ⋅ =
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: se o desnível ficar igual a 10 mm, não existirá mudança na velocidade.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: se o desnível ficar igual, não existirá mudança na velocidade.
Questão 2 (Cesgranrio 2011, adaptada). A figura a seguir ilustra um escoamento em regime 
permanente em um Venturi. Considere que o fluido manométrico é o mercúrio e que os pesos específicos 
envolvidos no problema valem gHg = 140000 N/m
3 e gÁgua = 10000 N/m
3.
158
Unidade III
A1 = 40 m
2
A2 = 20 m
2
água
h = 20 cm
(1)
(2)
Figura 88
Supondo as perdas por atrito desprezíveis, propriedades uniformes nas seções e g = 10 m/s2, para 
essa situação, a velocidade da água na seção 2 é:
A) v
m
s2
8 3= ,
B) v
m
s2
6 5= ,
C) v
m
s2
4 2= ,
D) v
m
s2
9 7= ,
E) v
m
s2
28 3= ,
Resolução desta questão na plataforma.
159
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 3
800PX‑REYNOLDS_FLUID_TURBULENCE_EXPERIMENT_1883. Disponível em: <https://en.wikipedia.
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Acesso em: 20 dez. 2016.
Figura 4
ÇENGEL, Y. A.; CINBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. Porto Alegre: 
Mcgraw‑Hill, 2015. p. 7.
Figura 18
FOG_VISUALIZATION. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fog_visualization.
jpg>. Acesso em: 20 dez. 2016.
Figura 61
800PX‑B777‑381_JA8752_NOSE_PITOT_TUBE_JA. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/
Tubo_de_Pitot#/media/File:B777‑381_JA8752_nose_Pitot_tube_ja.jpg>. Acesso em: 20 dez. 2016.
Figura 70
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Prentice Hall, 2009. p. 215.
REFERÊNCIAS
Textuais
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WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. Porto Alegre: Mcgraw‑Hill, 2010.
162
Exercícios
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2011: Engenharia Grupo 
III. Questão 18. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2011/
ENGENHARIA_GRUPO_%20III.pdf>. Acesso em: 29 dez 2016.
Unidade III – Questão 2: FUNDAÇÃO CESGRANRIO. Petróleo Brasileiro (Petrobras) 2011: Engenheiro(a) 
de Equipamentos Júnior Mecânica: Questão 29. Disponível em: <http://www.cesgranrio.org.br/pdf/
petrobras0210/provas/PROVA%209%20‑%20ENGENHEIRO%20DE%20EQUIPAMENTOS%20
J%C3%9ANIOR%20‑%20MEC%C3%82NICA.pdf>. Acesso em: 29 dez. 2016.
163
164
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167
168
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000