APOSTILA III EAD FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
 
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Professor: Prof. Dr. João B. A. dos Reis – jreisfisica@gmail.com e joao.reis@unec.edu.br 
 
CAPÍTULO III 
 
PRINCÍPIO E PROCESSO DE ESCOAMENTO TÉRMICOS 
2ª parte 
 
3 INTRODUÇÃO 
Analisar esta mudança espacial da temperatura dentro do objeto ao longo do tempo. 
Este modo de condução de calor pode ser referido como condução transiente. A aná-
lise destes sistemas é mais complexa e (exceto as formas simples) pede a aplicação 
das teorias de aproximação e/ou análise numérica por computador. Ou seja, é um 
método gráfico popular que envolve o uso de gráficos de Heisler. Na verdade, é a 
Transmissão de Calor – Condução em Regime Variável (P.J. Oliveira Departamento 
Engenharia Eletromecânica, UBI, outubro 2014). 
 
3.1. Gráficos de Heisler e o número de Biot 
 
Em muitos problemas de interesse prático a transferência de calor é feita em 
regime variável, o que significa que o campo de temperaturas irá variar ao longo do 
tempo. Por exemplo, o arrefecimento de um bloco de metal quando submergido num 
líquido mais frio (processos de tratamento térmico, como a têmpera do metal); o aque-
cimento de um produto alimentar qualquer (lata de refrigerante) retirado do frigorífico 
e exposto ao ar ambiente; em anatomia forense, a determinação do instante da morte 
pela temperatura de um cadáver. Vamos considerar duas situações: 
 
3.1.1. Temperatura uniforme (o corpo é caracterizado por um único valor de 
temperatura, ou seja, a temperatura é independente da variável espacial e só varia 
com o tempo). 
3.1.2. Temperatura não uniforme, varia dentro do corpo em análise: - Placa 
plana infinita; - Cilindro infinito; - Esfera; - Corpo semi-infinito. Exemplo: O pé na areia 
quente. 
 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
 
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Neste método, um termo conhecido como o número de Biot é calculado e de-
finido como a razão da resistência à transferência de calor em toda o contorno 
do objeto com um banho uniforme de diferentes temperaturas, para a resistên-
cia térmica condutiva dentro do objeto. Quando a resistência térmica de calor trans-
ferido para o objeto é menor que a resistência ao calor sendo difundida completamente 
dentro do objeto, o número de Biot é inferior a 1. Neste caso, em particular para os 
números de Biot, que são ainda menores, a aproximação das espacialmente unifor-
mes temperaturas dentro do objeto pode começar a ser utilizado, uma vez que se 
pode presumir que o calor transferido para o objeto tem tempo para uniformemente 
distribuir-se, devido à menor resistência em fazê-lo, em comparação com a resistência 
ao calor que entra no objeto. 
O número de Biot geralmente deve ser inferior a 0,1 para aproximação útil e 
precisa e a análise da transferência de calor. A solução matemática para a aproxima-
ção do sistema agrupado dá a lei de Newton do arrefecimento, discutida abaixo. 
Este modo de análise tem sido aplicado às ciências forenses para analisar o 
momento da morte de seres humanos. Também pode ser aplicado a HVAC (aqueci-
mento, ventilação e ar condicionado, ou climatização de construções), para garantir 
mais efeitos quase instantâneos de uma mudança na configuração do nível de con-
forto. 
Certamente o número de Biot (Bi) é um parâmetro adimensional e fornece um 
índice simples da razão entre o coeficiente de transferência convectiva de calor na 
superfície do sólido e a condutância específica do sólido, a razão das resistências 
dentro de e na superfície de um corpo. 
Esta razão determina se ou não as temperaturas dentro de um corpo variam 
significativamente no espaço, enquanto o corpo se aquece ou arrefece ao longo do 
tempo, a partir de um gradiente térmico aplicado à sua superfície. 
É usado em cálculos de transferência térmica em estado não estacionário (ou 
transiente). É nomeado em honra ao físico francês Jean-Baptiste Biot (1774–1862). 
A hipótese de temperatura uniforme no interior do sólido é válida se a condu-
tância específica do sólido for muito maior do que o coeficiente de transferência con-
vectiva de calor. 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia_forense
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_controle_HVAC
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_adimensional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Convec%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot
https://pt.wikipedia.org/wiki/Temperatura
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_transfer%C3%AAncia_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_transfer%C3%AAncia_t%C3%A9rmica
 
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O número de Biot é definido como: Bi = 
ℎ 𝐿𝑐
𝑘𝑏
 
Onde: 
• h = coeficiente de filme, coeficiente de transferência térmica ou coefici-
ente convectivo de transferência de calor. 
• LC = comprimento característico, o qual é comumente definido como o 
volume do corpo dividido pela área da superfície do corpo, tal qual 
• Lc = V/A (volume/área) 
• kb = coeficiente condutivo de calor do corpo 
 
O número de Biot é usado para definir o método a ser utilizado na solução de 
problemas de transferência de calor transiente. 
 
• Se Bi > 0,1 : usa-se as cartas de temperatura transiente 
• Se Bi < 0,1 : usa-se a análise 
 
Em geral, problemas envolvendo pequenos números de Biot (muito menores 
que 1) são termicamente simples, devido a campos de temperatura uniformes dentro 
do corpo. Números de Biot muito maiores que 1 apontam problemas de maior dificul-
dade devido a não uniformidade dos campos de temperatura dentro do objeto. 
O número de Biot tem uma variedade de aplicações, incluindo o uso em cálcu-
los de transferência de calor em superfícies estendidas. O significado físico do número 
de Biot pode ser razoavelmente compreendida imaginando-se o fluxo de calor a partir 
de uma pequena esfera de metal quente, repentinamente imerso em uma piscina, 
para o fluido circundante. 
O fluxo de calor experimenta duas resistências: a primeira dentro do metal só-
lido (a qual é influenciada tanto pelo tamanho como pela composição da esfera), e o 
segundo na superfície da esfera. Se a resistência térmica da interface fluido/esfera 
excede aquela resistência térmica oferecida pelo interior da esfera metálica, o número 
de Biot será menor que um. 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_transfer%C3%AAncia_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento_caracter%C3%ADstico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Condutividade_t%C3%A9rmica
 
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Para sistemas onde é muito inferior a um, o interior da esfera pode ser presu-
mido como sempre tendo a mesma temperatura, embora esta temperatura possa es-
tar mudando, na medida em que o calor passa para a superfície da esfera. A equação 
para descrever essa mudança de (relativamente uniforme) temperatura dentro do ob-
jeto, é uma exponencial simples descrita na lei de Newton do resfriamento. 
Em contrapartida, a esfera de metal pode ser grande, fazendo com que o com-
primento característico aumente a tal ponto que o número de Biot é maior que um. 
Agora, gradientes térmicos dentro da esfera tornam-se importantes, apesar de o ma-
terial da esfera ser um bom condutor. Equivalentemente, se a esfera é feita de um 
material isolante (pobremente condutivo), tal como madeira ou "isopor", a resistência 
interna ao fluxo de calor vai superar a d contorno fluido/esfera, mesmo com uma esfera 
muito menor. Neste caso, novamente, o número de Biot será maior do que um. 
(pt.wikipedia.org › wiki › Número de Biot) -Wikipédia, a enciclopédia livre. 
 Valores do número de Biot menores que 0,1 implicam que a condução de calor 
dentro do corpo é muito mais rápida que a convecção de calor a partir de sua super-
fície, e gradientes de temperatura são negligenciáveis dentro dele. Isto pode indicar a 
aplicabilidade (ou inaplicabilidade) de certos métodos de resolver problemas de trans-
ferência de calor transiente. Por exemplo, um número de Biot menor que 0,1 indica 
tipicamente que 5% de erro irá estar presente quando pressupõe-se um modelo dis-
creto de capacitância de transferência de calor transiente (também chamado de aná-
lise discreta de sistema).[1][2] Normalmente este tipo de análise leva a um comporta-
mento exponencial simples de aquecimento ou resfriamento (aquecimento ou resfria-
mento "Newtonianos") uma vez que a quantidade de energia térmica (vulgarmente, 
quantidade de "calor") no corpo é diretamente proporcional a sua temperatura, a qual 
por sua vez determina a taxa de transferência de calor para dentro ou para fora dele. 
Isso leva a uma simples equação diferencial de primeira ordem que descreve a trans-
ferência de calor nestes sistemas. 
Tendo-se um número de Biot menor que 0,1 caracteriza uma substância como 
"termicamente fina", e o calor pode ser considerado constante em todo o volume do 
material. O oposto é também verdadeiro: Um número de Biot maior que 0,1 (uma 
substância a "termicamente espessa") indica que não pode-se fazer esta pressuposi-
ção, e equações de transferência de calor mais complicadas para "transferência de 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transfer%C3%AAncia_de_calor_convectiva
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isopor
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_discreto_de_capacit%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_discreto_de_capacit%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot#cite_note-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot#cite_note-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transfer%C3%AAncia_de_calor
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transfer%C3%AAncia_de_calor
 
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calor transiente" irão ser requeridas para descrever o campo de temperatura variante 
no tempo e não espacialmente uniforme dentro do corpo material.[3] (pt.wikipedia.org 
› wiki › Número_de_Biot) - [ISEP-Instituto Superior de Engenharia do Porto] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Conforme os gráficos (cartas) de Gráficos de Heisler determinação do 
calor transferido e o número de Biot. Wikipedia – Enciclopédia Livre. 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot#cite_note-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
 
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Figura 8 
 
Conforme os gráficos de Gráficos de Heisler e o número de Biot relacionados à 
mudança da energia interna como função do tempo para corpos planos ou placas 
de pouca espessa. Adaptação com permissão. (Wikipédia -Enciclopédia Livre). 
 
 
Estas primeiras cartas de Heisler-Gröber Charts (M. P. Heisler, "Temperature 
Charts for Induction and. Constant Temperature Heating," Trans. ASME 69, 1947, pp. 
227-36). Ainda em Gröber, H., Erk, S., and Grigull, U., (Fundamentals of Heat Trans-
fer, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1961) foram baseadas no primeiro 
termo da solução exata da série de Fourier para uma parede plana infinita: 
 
 
 
Resumidamente, a primeira carta para uma parede plana é plotada usando-se 
3 variáveis diferentes. Plotada ao longo do eixo vertical da carta está a temperatura 
cujo dimensionamento ao plano médio, é 
 
Quando plotada ao longo do eixo horizontal está o número de Fourier, Fo=αt/L2 
.Assim, As curvas dentro do gráfico são uma seleção de valores para o inverso do 
número de Biot, onde "Bi = hL/k. k é a condutividade térmica do material e h é o coe-
ficiente de transferência de calor." Conforme Yunus A. Cencel, (2007). [Heat and 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Heisler
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fpt.wikipedia.org%2Fwiki%2FCarta_de_Heisler&psig=AOvVaw3BU18Qjdj9sKdPug5afbyf&ust=1597605391404000&source=images&cd=vfe&ved=0CAMQjB1qFwoTCPC5qID2nesCFQAAAAAdAAAAABAr
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biot
 
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Mass Transfer: A Practical Approach 3rd edition ed.). McGraw Hill. pp. 231-236. ISBN 
978-0-07-312930-3]. 
Onde Ti é a temperatura inicial da placa, T∞ é a temperatura constante impostos 
no contorno, x é a é a localização na parede plana, λn é π(n+1/2), e α é a difusividade 
térmica. A posição x=0 representa o centro da placa. 
A segunda carta é usada para determinar a variação de temperatura dentro da 
parede do plano para diferentes números de Biot. O eixo vertica é a razão de uma 
 
temperatura dada àquela na linha central onde a curva x/L 
 
é a posição na qual T é dado. O eixo horizontal é o valor de Bi−1. 
A terceira carta em cada conjunto foi suplementada por Gröber em 1961 em 
particular mostra a transferência de calor adimensional da parede como uma função 
de uma variável tempo adimensional. O eixo vertical é uma plotagem de Q/Qo , a razão 
da transferência de calor atual para a quantidade de transferência de calor total antes 
de T=T∞ . Sobre o eixo horizontal está a plotagem de (Bi2)(Fo), uma variável de tempo 
adimensional, ou seja, Fo → t , para melhor entendimento vide novamente Fig.7 e 
Fig.8. 
 
# Este artigo ou se(c)ção foi traduzidode «Heisler Chart» na Wikipédia em inglês Ajude e 
colabore com a tradução. (Janeiro de 2011) 
 
Referências Bibliográficas 
CENCEL, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach 3rd. New York: 
McGraw Hill. pp. 231-236, 2007. 
ÇENCEL, Yunus A. Transferência de calor e massa. 3. ed. São Paulo: MacGraw-
Hill, 2009. 
 
INCROPERA; DeWitt, Bergman, Lavine (2007). Fundamentals of Heat and Mass 
Transfer 6th edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. pp. 260–261. 
PARRY, J.L. Mathematical modeling and computer simulation of heat and mass trans-
fer in agricultural grain drying. A review. Journal of Agricultural Engineering Rese-
arch, London, v. 32, p.1-29, 1985. 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9780073129303
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9780073129303
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difusividade_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difusividade_t%C3%A9rmica
https://en.wikipedia.org/wiki/Heisler_Chart
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Carta_de_Heisler&action=edit
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ajuda:Guia_de_tradu%C3%A7%C3%A3o
 
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GEBHART, B.; Heat conduction and mass diffusion. New York: McGraw-Hill, 1993. 
p. 634. 
OLIVEIRA. P.J. Transmissão de Calor: Condução em Regime Variável (Departa-
mento Engenharia Eletromecânica, UBI, outubro 2014). 
 
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