Considere a EDO ẋ = f(t, x). Encontre uma transformação de variáveis y = h(x) que a transforma em uma EDO autônoma ẏ = g(y).

Para encontrar uma transformação de variáveis que transforme a EDO ẋ = f(t, x) em uma EDO autônoma ẏ = g(y), podemos seguir os seguintes passos: 1. Derive a função y = h(x) em relação a x para obter dy/dx. 2. Substitua dy/dx na EDO original ẋ = f(t, x) para obter uma expressão em termos de y e suas derivadas. 3. Igualando essa expressão a ẏ, obtemos a nova EDO ẏ = g(y). Vamos seguir esses passos com um exemplo: Suponha que temos a EDO ẋ = t + x. Queremos encontrar uma transformação de variáveis y = h(x) que transforme essa EDO em uma EDO autônoma ẏ = g(y). 1. Derivando y = h(x) em relação a x, obtemos dy/dx. 2. Substituindo dy/dx na EDO original ẋ = t + x, temos: dy/dx = h'(x) t + x = h'(x) 3. Igualando essa expressão a ẏ, obtemos a nova EDO ẏ = g(y): h'(x) = ẏ Agora, podemos escolher uma função h(x) que satisfaça a equação h'(x) = ẏ. Por exemplo, se escolhermos h(x) = x^2, temos: h'(x) = 2x = ẏ Portanto, a transformação de variáveis y = x^2 transforma a EDO ẋ = t + x em uma EDO autônoma ẏ = 2x. Lembrando que esse é apenas um exemplo ilustrativo. Em problemas reais, a escolha da transformação de variáveis depende da natureza da EDO original e pode exigir técnicas mais avançadas.