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Departamento de F´ısica Segunda Prova de Fundamentos de Mecaˆnica Ondulato´ria 08 de Novembro de 2012 Nome: Turma: Matr´ıcula: Q1) Q2) Q3) Q4) TOTAL Indique todos os ca´lculos. Justifique todas as suas respostas. 1. Uma onda transversal senoidal com amplitude igual a 2,5 mm e comprimento de onda igual a 1,8 m propaga- se com velocidade de 36,0 m/s da esquerda para a direita ao longo de uma corda esticada horizontal. Considere a origem na extremidade esquerda da corda. No tempo t = 0 a extremidade esquerda esta´ sobre a origem e se move de baixo para cima. (a) Ache a frequeˆncia, a frequeˆncia angular e o nu´mero de onda desta onda. (b) Qual a func¸a˜o y(x, t) que descreve o movimento da onda? (c) Qual a func¸a˜o y(t) para uma part´ıcula situada a 1,35 m a` direita da origem? (d) Calcule a equac¸a˜o que descreve a velocidade transversal de qualquer ponto na corda em qualquer instante de tempo. (e) Qual e´ o mo´dulo ma´ximo da velocidade transversal de qualquer part´ıcula da corda? 2. Para afinar um piano, um mu´sico estica os fios de ac¸o do piano com uma tensa˜o igual a 800 N. O compri- mento do fio de ac¸o e´ igual a 0,4 m e sua massa e´ igual a 3,0 g. (a) Qual e´ a frequeˆncia do modo fundamental de vibrac¸a˜o do fio? E do primeiro harmoˆnico? (b) Sabendo que a velocidade do som no ar quando a temperatura e´ igual a 20◦C e´ de 344 m/s, calcule o comprimento da onda sonora (que se propaga no ar) gerada por essa corda do piano vibrando em seu primeiro harmoˆnico. (c) Imagine que no quarto onde esta´ o piano existe um botija˜o de he´lio. O he´lio comec¸a a vazar e cobre todo o volume de ar do quarto. Sabendo que a velocidade do som no he´lio (T=20◦C) e´ igual a 999 m/s, qual sera´ o comprimento da onda sonora gerada por essa corda do piano vibrando, novamente, em seu primeiro harmoˆnico? O som gerado e´ mais grave ou mais agudo que o som gerado quando a onda se propaga no ar? 3. Dois tubos de o´rga˜o, abertos nas duas extremidades, medem 1,14 m e 1,16 m. (a) Calcule as frequeˆncia da nova oscilac¸a˜o produzida, a frequeˆncia da variac¸a˜o de amplitude e a frequeˆncia do batimento que eles produzem quando tocam em sua frequeˆncia fundamental. (b) Sabendo que as ondas sonoras produzidas por cada tubo produzem uma variac¸a˜o de pressa˜o com amplitude ∆p = 10−1 N/m2, escreva a equac¸a˜o que representa a variac¸a˜o de pressa˜o provocada pelas duas ondas sonoras em um ponto qualquer do espac¸o. 4. No planeta Arrakis, tambe´m conhecido como Duna, um desafortunado Sardaukar, perdido no meio do deserto, ouve o barulho de um monstruoso verme de areia se aproximando. Usando seus sensores, o pobre Sardaukar mede uma frequeˆncia sonora de 363 Hz. Sabendo que quando um verme de areia esta´ se movendo sob a areia do deserto, ele produz um som peculiar com frequeˆncia de 327 Hz, os sensores indicam que a velocidade de aproximac¸a˜o do verme de areia e´ de 56,7 m/s. Nos u´ltimos segundos antes de sua morte, o Sardaukar, enta˜o, resolve sanar uma de suas maiores curiosidades: descobrir qual a velocidade do som no infernal planeta Arrakis, e porque sua voz em Arrakis produz um som mais agudo do que em seu agrada´vel planeta natal, Salusa Secundus. Considerando que o Sardaukar morreu feliz, apo´s calcular corretamente a velocidade do som em Arrakis, qual o valor desta velocidade? A velocidade do som em Salusa Secundus e´ maior ou menor que em Arrakis? Explique! Formula´rio ∂2y(x, t) ∂x2 = 1 v2 ∂2y(x, t) ∂t2 , y(x, t) = ymsen(kx− ωt), P (x, t) = √ Fµω2A2sen2(kx− ωt), I = Pmed A y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) + ..., y(x, t) = 2ymsen(kx− ωt− φ′) cos(∆φ/2) ∆L = mλ, ∆L = (m+ 1/2)λ, m = {0, 1, 2, 3...} y(x, t) = 2A(senkx)(senωt), fn = n v 2L , n = {1, 2, 3, ...}, fn = n v 4L , n = {1, 3, 5, 7, ...} p(x, t) = −B∂y(x, t) ∂x , I = 1 2 √ ρBω2A2, I = P 2max 2 √ Bρ , β = 10 log I I0 , I0 = 10 −12W m−2 p(x, t) = 2∆p cos [( ω1 − ω2 2 ) t ] sen [( ω1 + ω2 2 ) t ] , v = ω k , v = √ F µ , v = √ B ρ f ′ = f v ± vo v ∓ vs , senA+ senB = 2 cos A−B 2 sen A+B 2
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