MIGUENS apcap17

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Navegação astronômica e derrotas 589
Trigonometria Plana e Esférica
APÊNDICE AO CAPÍTULO 17
TRIGONOMETRIA PLANA E ESFÉRICA
1 INTRODUÇÃO
A Trigonometria Esférica é essencial para compreensão dos conceitos e resolução
dos problemas de Navegação Astronômica e Navegação Ortodrômica. É, ainda, impor-
tante para entendimento dos princípios fundamentais de alguns sistemas de Navegação
Eletrônica.
A Trigonometria Plana é indispensável para entendimento dos conceitos e resolu-
ção dos problemas de derrotas loxodrômicas, além de ser usada em outros tipos e métodos
de navegação.
Assim, antes de prosseguir, é necessário recordar as noções e as fórmulas da
Trigonometria Plana e da Trigonometria Esférica, o que possibilitará melhor compre-
ensão dos assuntos abordados nos Capítulos seguintes.
2 TRIGONOMETRIA PLANA
I CONCEITOS E SINAIS DAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS
a) Primeiro Quadrante: 0º a 90º (figura 17.A.1)
Figura 17.A.1 – Primeiro Quadrante
sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)
cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)
tg a =
sen a
= AT ; sinal positivo (+)cos a
sec a =
 1
= OT ; sinal positivo (+)cos a
cosec a =
 1
= OS ; sinal positivo (+)sen a
cotg a =
 1
 = BS ; sinal positivo (+) tg a
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
590
b) Segundo Quadrante: 90º a 180º (figura 17.A.2)
c) Terceiro Quadrante: 180º a 270º (figura 17.A.3.)
Figura 17.A.2 – Segundo Quadrante
Figura 17.A.3 – Terceiro Quadrante
sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)
cos a = OP = QM ; sinal negativo (–)
tg a =
 sen a = AT ; sinal negativo (–) cos a
sec a =
 1
= OT ; sinal negativo (–) cos a
cosec a =
 1
= OS ; sinal positivo (+) sen a
cotg a =
 1 = BS ; sinal negativo (–) tg a
sen a = PM = OQ ; sinal negativo (–)
cos a = OP = QM ; sinal negativo (–)
tg a =
sen a
= AT ; sinal positivo (+)cos a
sec a =
 1
= OT ; sinal negativo (–)cos a
cosec a =
 1
= OS ; sinal negativo (–)sen a
cotg a =
 1
= BS ; sinal positivo (+) tg a
Navegação astronômica e derrotas 591
Trigonometria Plana e Esférica
sen a = PM = OQ ; sinal negativo (–)
cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)
tg a =
sen a
= AT ; sinal negativo (–)cos a
sec a =
 1
= OT ; sinal positivo (+)
cos a
cosec a =
 1
= OS ; sinal negativo (–)
sen a
cotg a =
 1
= BS ; sinal negativo (–)
 tg a
Figura 17.A.4 – Quarto Quadrante
QUADRANTE
LINHA
d) Quarto quadrante: 270º a 360º (figura 17.A.4)
II RESUMO DOS SINAIS DAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS
 PRIMEIRO SEGUNDO TERCEIRO QUARTO
0º £ a £ 90º 90º£ a £ 180º 180º £ a £ 270º 270º£ a £ 360º
SENO + + – –
COSSENO + – – +
TANGENTE + – + –
SECANTE + – – +
COSSECANTE + + – –
COTANGENTE + – + –
III VARIAÇÕES DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
 1o +1 a 0 0 a + ¥ + ¥ a 0 +1 a + ¥ + ¥ a +1
 2o +1 a 0 0 a –1 – ¥ a 0 0 a – ¥ – ¥ a –1 +1 a + ¥
 3o 0 a –1 –1 a 0 0 a + ¥ + ¥ a 0 –1 a – ¥ – ¥ a –1
 4o –1 a 0 0 a +1 – ¥ a 0 0 a – ¥ + ¥ a +1 –1 a – ¥
QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE
0 a +1
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
592
IV PRIMEIRAS RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
sen (– a) = – sen a tg (– a) = – tg a sec (– a) = sec a
cos (– a) = cos a cotg (– a) = – cotg a cosec (– a) = – cosec a
sen (180º – a) = sen a tg (180º – a) = – tg a
cos (180º – a) = – cos a cotg (180º – a) = – cotg a
sen (180º + a) = – sen a tg (180º + a) = tg a
cos (180º + a) = – cos a cotg (180º + a) = cotg a
sen (90º + a) = cos a tg (90º + a) = – cotg a
cos (90º + a) = – sen a cotg (90º + a) = – tg a
V IDENTIDADES DA TRIGONOMETRIA PLANA
Em um círculo de raio unitário (r = 1), teremos:
sen2 a + cos2 a= 1
tg a = tg a = tg a =
cotg a = cotg a = cotg a =
sec2 a = 1 + tg2 a sec a =
cosec2 a = 1 + cotg2 a cosec a =
sen a
cos a
1
tg a
1
cotg a
cos a
sen a
1
cos a
+ 1 – sen2 a
sen a
sen a
+ 1 – sen2 a
1
sen a
Navegação astronômica e derrotas 593
Trigonometria Plana e Esférica
VI SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
DE ARCOS
sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b
sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
VII FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM
TRIÂNGULO RETÂNGULO
No triângulo retângulo ABC (figura 17.A.5) temos:
Figura 17.A.5 – Triângulo Retângulo
tg (a + b) = 
 tg a + tg b
1 – tg a . tg b
sen 2a = 2 sen a . cos a
cos 2a = cos2 a – sen2 a
tg 2a =
 2 tg a
1 – tg2 a
sen a = + 
1 – cos a
2 2
cos a = + 
1 + cos a
2 2
tg a = +
1 – cos a
2 1 + cos a
 
 
 
tg (a – b) = 
 tg a – tg b
1 + tg a . tg b
sen a = 2 sen a . cos a
2 2
cos a = cos2 a – sen2 a
2 2
tg a =
 2 tg 
a
 2
1 – tg2 
 a
 2
1 + cos a = 2 cos2 
 a
 2
1 – cos a = 2 sen2 
 a
 2
sen B =
b
=
cateto oposto
a hipotenusa
cos B =
c
=
cateto adjacente
a hipotenusa
tg B =
b
=
cateto oposto
c cateto adjacente
sec B =
a
=
1
c cos B
cosec B =
a
=
1
b sen B
cotg B =
c
=
1
b tg B
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Trigonometria Plana e Esférica
594
Ainda no triângulo retângulo ABC, B e C são ângulos complementares, isto é:
B + C = 90º.
Então:
sen B = b = cos C = cos (90º – B)a
cos B = c = sen C = sen (90º – B)a
tg B = b = cotg C = cotg (90º – B)c
sec B = a = cosec C = cosec (90º – B)c
cosec B = a = sec C = sec (90º – B)
b
cotg B = c = tg C = tg (90º – B)
b
VIII RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Consideram-se 4 casos na resolução dos triângulos retângulos:
1o CASO: Dados a hipotenusa e um ângulo agudo (a e B, respectivamente)
Lados: b = a . sen B Ângulo: C = 90º – B
c = a . cos B Área: S = 
1 a2 . sen 2 B4
2o CASO: Dados um cateto e um ângulo agudo (b e B, respectivamente)
3o CASO: Dados os dois catetos (b e c)
4o CASO: Dados a hipotenusa e um cateto (a e b, respectivamente)
^ ^
^^
Lados: a =
 b Ângulo: C = 90º – B
sen B
c = b . cotg B Área: S =
1 b2 . cotg B
2
Ângulos: tg B =
b Hipotenusa: a = 
b
c sen B
C = 90º – B Área: S =
1 bc
2
Ângulos: sen B =
b Lado: c =a
C = 90º – B Área: S =
1 bc =
b
2 2
b) – (a b) (a +
b) – (a b) (a +
Navegação astronômica e derrotas 595
Trigonometria Plana e Esférica
IX TRIÂNGULO PLANO OBLIQUÂNGULO
Seja o triângulo obliquângulo ABC da figura 17.A.6. As seguintes Leis são úteis para
resolução desse tipo de triângulo:
Lei dos Senos: 
 a b c
 sen A sen B sen C
Lei dos Cossenos: a2 b2 + c2 – 2 bc cos A
X RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO OBLIQUÂNGULO
Conforme os dados do problema, distinguiremos os 4 casos possíveis (figura 17.A.6).
1o CASO: Dados um lado e dois ângulos quaisquer (a, A e B)
Lados: b =
a . sen B Ângulo: C = 180º – (A + B)
 sen A
c =
a . sen C Área: S = 
a2 . sen B . sen (A + B)
 sen A 2 sen A
2o CASO: Dados dois lados e o ângulo que eles formam (a, b e C)
Ângulos: tg A + B = cotg 
C Lado: c =
a . sen C
 2 2 sen A
tg A – B =
a – b . cotg C Área: S = 
ab . sen C
 2 a + b 2 2
ou: tg A =
 a . sen C
b – a . cos C
e: B = 180º – (A + C)
3o CASO: Dados os três lados (a, b e c)
==
 =
2p c b a : Perímetro =++
B) (A180º – C :ou ; 
ab
b) – (p a) –(p
 
2
C
 sen
2ac
b– c a
 B cos :ou ; 
ac
c) –(p a) –(p
 
2
B
 sen
2bc
a – b c
 Acos :ou ; 
bc
c) –(p b) –(p
 
2
A
 sen:Ângulos
222
222
+==
+
==
+
==
Figura 17.A.6 – Triângulo Plano Obliquângulo
a
C
c
A
b
B
c) – (p b) – (p a) – (p p S : Área =
Navegação astronômica e derrotas
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596
4o CASO: Dados dois lados e o ângulo oposto a um deles (a, b e A)
3 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
I FINALIDADE DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
O navegante admite que a Terratem forma esférica, com o propósito de simplificar a
solução dos problemas de Navegação Astronômica. Por outro lado, os astros são supostos
estar projetados sobre a superfície interna de uma imensa esfera, denominada Esfera Celes-
te, de raio infinito e concêntrica com a Terra.
Eis porque, quando um navegante efetua Navegação Astronômica, o seguinte procedi-
mento se impõe:
1o. Observar astros que lhe parecem estar na superfície interna da Esfera Celeste; e
2o. resolver triângulos esféricos pertencentes à superfície interna dessa esfera (fi-
gura 17.A.7).
A RESOLUÇÃO DESTES TRIÂNGULOS ESFÉRICOS CONSTITUI, PARA
O NAVEGANTE, O FIM PRINCIPAL DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA.
Figura 17.A.7 – Triângulo Esférico na Esfera Celeste
Ângulos: sen B =
b . sen A Lado: c =
a . sen C
 a sen A
C = 180º – (A + B) Área: S =
1 ab . sen C
2
Navegação astronômica e derrotas 597
Trigonometria Plana e Esférica
As Tábuas para Navegação Astronômica (PUB. 229, PUB. 249, RADLER, NORIE, etc.)
constituem, na realidade, uma série de soluções pré-computadas de triângulos esféricos, para
todas as combinações possíveis de Latitude, Declinação e Ângulo Horário (ou ângulo no pólo),
a fim de facilitar ao navegante a resolução do triângulo de posição e a determinação rápida e
precisa do ponto no mar.
II PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS
ESFÉRICOS
TRIÂNGULO ESFÉRICO é a porção da superfície esférica compreendida entre três
arcos de circunferências máximas, cada um deles inferior a 180º.
Os ângulos do triângulo esférico ABC (figura 17.A.8) são simbolizados com as letras A,
B, C e os lados opostos, com as minúsculas respectivas: a, b, c. A cada triângulo esférico ABC,
de lados menores que 180º, corresponde um ângulo triédrico convexo, 0–ABC, cujo vértice
está no centro O da esfera. Os lados do triângulo esférico têm por medida as faces respectivas
do ângulo triédrico correspondente. Realmente, a medida de cada lado é igual à medida do
respectivo ângulo central:
lado a = ângulo central BOC
lado b = ângulo central AOC
lado c = ângulo central AOB
Figura 17.A.8 – Triângulo Esférico A B C
Os ângulos do triângulo esférico têm por medida os diedros do ângulo triédrico cor-
respondente:
 A = diedro OCAB
 B = diedro OABC
 C = diedro OACB
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
598
| b – c | < a < b + c
| c – a | < b < c + a
| a – b | < c < a + b
Propriedades dos triângulos esféricos:
1a. A soma dos 3 lados de um triângulo esférico é maior que 0º e menor que 360º.
0º < a + b + c < 360º
2a. A soma dos 3 ângulos de um triângulo esférico é maior que 2 retos e menor que 6 retos.
180º < A + B + C < 540º
3a. Cada lado de um triângulo esférico é menor que a soma e maior que a diferença dos
outros dois.
4a. Se 2 lados de um triângulo esférico são iguais, os ângulos opostos também são
iguais. A recíproca é verdadeira.
 Se a = b, então A = B (e reciprocamente)
5a. Ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice-versa.
6a. A soma de dois ângulos é menor que o terceiro acrescido de 180º e a diferença é
menor que o suplemento do terceiro.
 A + B < C + 180º
 A – B < 180º– C
III FÓRMULAS GERAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
A Trigonometria Esférica estabelece relações convenientes entre os 6 elementos de um
triângulo esférico (3 lados e 3 ângulos), tornando possível o cálculo de 3 desses elementos,
quando forem conhecidos os outros 3.
Assim, cada elemento desconhecido é calculado em função de outros 3, proporcionan-
do, em cada caso, uma combinação de 4 elementos. Como são 6 os elementos de um triângulo,
temos que ver quantas combinações poderemos fazer com esses 6 elementos 4 a 4.
Deste modo, com 15 fórmulas teremos abrangido todos os casos de resolução a seguir
expostos.
1o CASO: COMBINAÇÃO DE 3 LADOS A CADA UM DOS ÂNGULOS
Da figura 17.A.9, obtém-se: tg b = AL sec b = OL
tg c = AK sec c = OK
Cnm P
A
n
n
m= 
P
A
4
4
6
1 x 2 x 3 x 4
6 x 5 x 4 x 3 15= = = = 15
Navegação astronômica e derrotas 599
Trigonometria Plana e Esférica
Os triângulos planos retilíneos KOL e KAL permitem-nos escrever:
KL2 = OL2 + OK2 – 2 x OL x OK x cos a
KL2 = AL2 + AK2 – 2 x AL x AK x cos A
Igualando e substituindo:
sec2 b + sec2 c – 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b + tg2 c – 2 . tg b . tg c . cos A
 ou seja:
– 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b – sec2 b + tg2 c – sec2 – 2 tg b . tg c . cos A
Dividindo por (–2) ambos os membros da igualdade acima, teremos:
sec b . sec c . cos a = 1 + tg b . tg c . cos A
Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por cos b . cos c, virá:
 1 . 1 . cos a . cos b . cos c = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A . cos b . cos c
cos b cos c cos b cos c
Por dedução semelhante, chegaríamos às outras duas combinações, completando
assim o grupo das chamadas FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMÉTRICA
ESFÉRICA:
2o CASO: COMBINAÇÃO DE 3 ÂNGULOS A CADA UM DOS LADOS
Por simples aplicação da propriedade do triângulo polar ou suplementar, chega-
ríamos ao seguinte conjunto de fórmulas:
Figura 17.A.9
Donde cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
600
3o CASO: COMBINAÇÃO DE 2 ÂNGULOS A 2 LADOS OPOSTOS (ANALOGIA DOS
SENOS OU LEI DOS SENOS)
Partindo das fórmulas fundamentais, por fáceis substituições algébricas, deduzirí-
amos:
4o CASO: COMBINAÇÃO DE 4 ELEMENTOS CONSECUTIVOS (FÓRMULA DAS
COTANGENTES), NOS SENTIDOS MOSTRADOS NA FIGURA 17.A.10
Com origem nas fórmulas fundamentais, chegaríamos às últimas 6 fórmulas, atin-
gindo o total das 15 combinações procuradas:
Todo o trabalho restante da Trigonometria Esférica se resume, praticamente, na
simplificação destas fórmulas gerais, que são suficientes para resolver qualquer caso clás-
sico que se apresente.
 Acos . b cos Asen . Ccotg b sen . ccotg 
B cos . a cos B sen . Ccotg a sen . ccotg 
 Acos . c cos Asen . Bcotg c sen . bcotg 
C cos . a cos C sen . Bcotg a sen . bcotg 
C cos . b cos C sen . cotg A b sen . acotg 
B cos . c cos B sen . cotg A c sen . acotg 
+=
+=
+=
+=
+=
+=
Figura 17.A.10
B
C
A
c
b
a
cos A = – cos B . cos C + sen B . sen C . cos a
cos B = – cos A . cos C + sen A . sen C . cos b
cos C = – cos A . cos B + sen A . sen B . cos c
==
sen a
sen A
sen b
sen B
sen c
sen C
Navegação astronômica e derrotas 601
Trigonometria Plana e Esférica
IV SIMPLIFICAÇÃO DAS FÓRMULAS GERAIS NOS
CASOS DOS TRIÂNGULOS ESFÉRICOS
RETÂNGULOS E RETILÁTEROS
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO é aquele que tem um ângulo igual a 90º.
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETILÁTERO é aquele que tem um lado igual a 90º.
Fazendo parte dos 3 elementos dados de um triângulo esférico um ângulo igual a 90º
(triângulo esférico retângulo), ou um lado igual a 90º (triângulo esférico retilátero), é evidente
que este elemento irá simplificar a combinação escolhida, como se verifica no quadro a seguir,
no qual são apresentadas as fórmulas gerais e as fórmulas simplificadas que atendem à reso-
lução de qualquer caso dos triângulos esféricos retângulos e retiláteros.
 cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A cos a = cos b . cos c cos A = – cotg b . cotg c
 cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B cos b = sen c . cos B
 cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C cos c = sen b . cos C
 cos A = – cos B . cos C + sen B . sen C . cos a cos a = cotg B . cotg C cos A = – cos B . cos C
 cos B = – cos A . cos C + sen A . sen C . cos b cos B sen C . cos b
 cos C = – cos A . cos B + sen A . sen B . cos c cos C sen B . cos c
 sen a 
=
 sen b sen b sen a . sen B sen B = sen b . sen A
 sen A sen B
 sen a =
 sen c sen c sen a . sen C sen C = sen c . sen A
 sen A sen C
 sen b 
 =
 sen c
 sen B sen C
 cotg a . sen c = cotgA . sen B + cos c . cos B cotg a = cotg c . cos B cotg A = – cos c . cotg B
 cotg a . sen b = cotg A . sen C + cos b . cos C cotg a = cotg b . cos C cotg A = – cos b . cotg C
 cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C cotg b = cotg B . sen C
 cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A cotg B = cotg b . sen c
 cotg c sen cotg C . sen B + cos a . cos B cotg c = cotg C . sen B
 cotg c sen cotg C = cotg c . sen b
FÓRMULAS GERAIS
FÓRMULAS SIMPLIFICADAS
 A = 90º a = 90º
 =
 =
=
 =
=a
= cotg C . sen A + cos b . cos A
.
. b
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
602
V FÓRMULAS EMPREGADAS NA RESOLUÇÃO DOS
TRIÂNGULOS ESFÉRICOS OBLIQUÂNGULOS
1o CASO: DADOS OS TRÊS LADOS (a, b, c)
2o CASO: DADOS OS TRÊS ÂNGULOS (A, B, C)
Figura 17.A.11
B
a
b
C
c
A
3o CASO: DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO COMPREENDIDO (A, b, c) – FIGURA
 17.A.11
2
c b a
 p sendo ; 
a) – (p sen . p sen
c) – (p sen . b) – (p sen
 
2
A
tg 
++
=+=
 
c) – (p sen . p sen
b) – (p sen . a) – (p sen
 
2
C
tg 
 
b) – (p sen . p sen
c) – (p sen . a) – (p sen
 
2
B
tg 
+=
+=
B) – (S cos . – A)(S cos
C) – (S cos . S cos– 
 
2
c
tg 
 
2
b
tg 
2
CB A
 S sendo ; 
2
a
tg 
+=
+=
++
=+=
C)– (S cos . A)– (S cos
B)– (S cos . S cos– 
 
C)– (S cos . B)– (S cos
A)– (S cos . S cos– 
 
Navegação astronômica e derrotas 603
Trigonometria Plana e Esférica
m cos
m) ~ (c cos
 . b cos a cos =
ssv A c. sen b. sen c) ~ (bssv assv +=
Para o cálculo do lado a podemos empregar a fórmula:
Em que o argumento auxiliar m é dado por tg m = tg b. cos A ou, então, lançar mão da
fórmula do SEMI-SENO-VERSO:
É oportuno recordar que se denomina semi-seno-verso (ssv) de um ângulo A à expres-
são:
É fácil demonstrar a igualdade acima, desde que nos lembremos das seguintes iden-
tidades:
· multiplicando a segunda fórmula por (– 1), teremos:
· somando 1 a cada um dos membros, ficará:
· como:
· ou, então:
2
A
 sen –
2
A
 cos Acos
1 Acos Asen
22
22
=
=+
2
A
 sen 
2
A
 cos – Acos– 22 +=
2
A
 sen 
2
A
 cos – 1 Acos 1 22 +=-
2
A
sen A)cos – (1 
2
1
 e ; 
2
A
sen 2 Acos–1 22 ==
sen2 A + cos2 
 A
 = 1, teremos:
 2 2
2
A
sen A)cos - (1 
2
1
 ssv A 2 == –
1– cos A = sen2 A + cos2 A – cos2 A + sen2 A
 2 2 2 22
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
604
O semi-seno-verso (ssv) é empregado na solução do triângulo de posição em várias
Tábuas para Navegação Astronômica. Em inglês, é denominado haversine (hav). É esta a
notação empregada na Tábua Norie.
Quanto aos ângulos B e C, podem ser obtidos por meio das ANALOGIAS DE NEPER:
O lado a também pode ser obtido, após o cálculo dos ângulos B e C, utilizando a ANA-
LOGIA DE NEPER:
4o CASO: DADOS DOIS ÂNGULOS E O LADO COMPREENDIDO (LADO COMUM)
Dados: A, b, C
Utiliza-se a resolução pela decomposição em triângulos retângulos.
Na figura 17.A.12, o ângulo B pode ser calculado pela fórmula
2
A
cotg . 
2
c b
 sen
2
c – b
 sen
 
2
C –B
tg 
2
A
cotg . 
2
c b
 cos
2
c – b
 cos
 
2
C B
tg 
+
=
+
=
+
2
c b
tg . 
2
C – B
 cos
2
C B
 cos
 
2
a
tg 
+
+
=
Ø
ä
 sen
 Acos . sen
 B cos =
Figura 17.A.12
C
A
B
c
a
b
Y
d
Navegação astronômica e derrotas 605
Trigonometria Plana e Esférica
Em que o argumento auxiliar Y é dado por cotg Y = tg A . cos b, e o ângulo d = C – Y.
Ou, então, lançando mão da fórmula do SEMI-SENO-VERSO:
Os lados a e c podem ser calculados por meio das ANALOGIAS DE NEPER:
Calculados os lados a e c, pode-se utilizar a fórmula seguinte, para calcular o ângulo
B, obtida da ANALOGIA DE NEPER:
5o CASO: DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO OPOSTO DE UM DELES (a, b, A)
Na figura 17.A.13, temos:
2
C A
tg . 
2
c – a
 cos
2
c a
 cos
 
2
B
cotg 
+
+
=
Figura 17.A.13
m
c
dA
b a
B
2
b
tg . 
2
C A
 cos
2
C – A
cos
 
2
c a
tg 
+
=
+
2
b
tg . 
2
C A
 sen
2
C – A
 sen
 
2
c – a
tg 
+
=
Y d
ssv (180º – B) = ssv (A + C) – sen A. sen C . ssv b
C
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
606
Sinais de d e d:
– As grandezas m e Y serão sempre positivas.
– As grandezas d e d serão positivas quando A e B forem do mesmo quadrante; quando
A e B não forem do mesmo quadrante, os valores de d e d serão precedidos do sinal –
(menos). Os sinais de d e d saem diretamente das fórmulas acima, para cos d e cos d.
6o CASO: DADOS DOIS ÂNGULOS E O LADO OPOSTO A UM DELES (A, B, b)
sen B =
sen A . sen b
 
sen a
c = m + d tg m = cos A . tg b cos d =
cos m . cos a
 
cos b
C = Y + d cotg Y = cos b . tg A cos d =
cos Y . tg b
 
tg a
sen a =
sen A . sen b
 
sen B
c = m + d cotg m = – cos A . tg b cos d = – 
cotg B . cos m
 
cotg A
C = Y + d tg Y = – cos b . tg A cos d = –
 cos Y . cos B
 
 cos A
Figura 17.A.14
Na figura 17.A.14, temos:
A
B
a
m
b
d
C
dY
c
Navegação astronômica e derrotas 607
Trigonometria Plana e Esférica
Sinais de d e d:
– Os sinais de Y e m são sempre positivos.
– Os sinais de d e d são sempre iguais, pois estes são sempre do mesmo quadrante
(o que acontece, igualmente, com m e Y). Os sinais de d e d saem diretamente
das fórmulas acima, para cos d e cos d.