Fórmulas Trigonométricas para Triângulos

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Fabrício Maia
assunto: Lei dos Senos, Lei dos Cossenos, ReLação de Stewart e FórMuLa TrigonoMétrica da Área
frente: MateMática i
002.945 – 129039/18
AULAS 03 A 05 
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Teorema dos Senos
Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos 
ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da 
circunferência circunscrita.
A
B
C
a
b
c
0
R
a
sen A
b
sen B
c
sen C
R A B
ˆ ˆ
ˆ= = = →�
�2 (a, b, c) = (2Rsen , 2Rsen , 2Rssen ) Ĉ
Teorema dos Cossenos
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses 
lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
A
C
α
a b
cB
a b c b c A A
b c a
b c
2 2 2
2 2 2
2
2
= + − → = + −· · · cos ˆ cos ˆ
· ·
Teorema de Stewart
Seja ABC um triângulo de lados a,b e c e seja z o comprimento 
de uma ceviana AD que divide BC em dois segmentos BD = x e DC = y, 
conforme a figura a seguir.
D
A
a
b
yx
z
c
CB
Relação de Stewart → b c y a z x y2 2 2· x · · · ·+ a− =
Fórmula Trigonométrica da Área
A área de um triângulo qualquer é igual à metade do produto 
de dois lados pelo seno do ângulo que eles formam.
B
C
ab
cA
Área ABC S
S
b c senA
S
a c senB
S
a b senC
∆( )
=
=
=
= →









· · ˆ
· · ˆ
· · ˆ
2
2
2
Exercícios
01. Se a, b e c são lados de um triângulo ABC que satisfaz a seguinte 
relação 
a
b c
c
b a2 2 2 2
0
−
+
−
= . Então, o ângulo B̂ oposto ao lado 
b desse triângulo vale: 
A) 
π
2
 B) 
π
4
 
C) 
2
3
π
 D) 
π
6
 
E) 
π
3
 
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
002.945 – 129039/18
02. No triangulo obtusângulo a seguir, sejam a, b e c os lados opostos 
aos ângulos A, B e C respectivamente.
 
B
C
α
3α
b
48
27
A
 Sabendo que o ângulo Ĉ é o triplo do ângulo  , a = 27 cm e 
c = 48 cm, então o valor de b é igual a
 Utilize: sen(3a) = 3 sena – 4 sen3 a
A) 33 cm 
B) 35 cm
C) 37 cm 
D) 39 cm 
E) 42 cm
03. Dado um triângulo de vértices A, B e C, e com lados medindo 
a = BC, b = AC e c = AB, chamamos D o ponto de interseção do 
lado AB com a bissetriz do ângulo Ĉ . Mostre que
CD
a b
C
a b
=




+
2
2
· · · cos
ˆ
 
 
Utilize: sen2a = 2senacosa
4. Sabendo que em um triângulo ABC a relação a seguir é satisfeita:
 
+ ++ + =
� 2 2 2
3
ˆcos  cosB cosC a b c
,
a b c R
em que R é o circunraio.
 
Então, o valor da expressão senA senB senCˆ ˆ ˆ⋅ ⋅ é:
A) 
1
4
B) 
1
2
C)
1
3
 
D) 
1
8
 
E) 
1
6
05. Suponha que exista um triângulo ABC de lados a, b, c e circunraio 
R, tal que R ⋅ (b + c) = a bc⋅ . 
 Podemos afirmar que
A) ABC é retângulo e isósceles.
B) ABC é um triângulo equilátero. 
C) ABC é um triângulo obtusângulo. 
D) não existe tal triângulo. 
E) n.d.a.
 
06. Em um triângulo ABC, = =
a b c
ˆ ˆcos A cos Ccos B�
 
a
A
b
B
c
Ccos cos cos
= =� e b = 2 cm, então 
a área do ∆ABC é igual a
 
A) 2 
B) 3
C) 2
D) 3 
E) 4
07. Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 cm. 
Sejam a e β, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos
BC e AC. A área do triângulo, em cm2, é igual a 
 Utilize: sen(a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a
A) 2 ⋅ sen2 a ⋅ cotg β + sen2 a
B) 2 ⋅ sen2 a ⋅ tg β – sen2 a
C) 2 ⋅ cos2 a ⋅ cotg β + sen2 a 
D) 2 ⋅ cos2 a ⋅ tg β + sen2 a 
E) 2 ⋅ sen2 a ⋅ tg β – cos2 a
08. Sejam m
a
, m
b
 e m
c
 as medianas relativas aos lados a, b e c de um 
triângulo, mostre que:
(m ) (m ) (m )a
4 4 4
4 4 4
9
16
+ +
+ +
=b c
a b c
09. Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo e A, B e 
C os ângulos internos opostos, respectivamente, a cada um 
desses lados. Sabe-se que a, b, c, nessa ordem, formam uma 
progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo mede 15 cm 
e 
+ ++ + =
� 2 2 2
3
ˆcos  cosB cosC a b c
,
a b c R
 
cos cos cos
,
A
a
B
b
C
c
+ + = 77
240
 então sua área, em cm2, mede
A) 
15
4
7
 
B) 
4
3
5
C) 
4
5
5
 
D) 
4
7
7
 
E) 
3
4
5
10. Dado um triângulo ABC onde se cumpre que 
 
+ ++ + =
� 2 2 2
3
ˆcos  cosB cosC a b c
,
a b c R
cos cos cos
,
A
a
B
b
C
c
a
bc
+ + = calcular 
 cos B+ cos C+ 3 cos B cos C
6 6 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ⋅ ⋅
A) 1
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
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Módulo de estudo
11. Prove que em todo triângulo ABC vale a igualdade:
sen A B sen C s B senC A2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ= + − ⋅ ⋅ ⋅sen en 
12. Um triangulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito em uma 
circunferência de raio 
5
3
2
cm. Sabe-se que AB mede 2 5 cm e 
BC mede 2 2 cm. Determine a área do triângulo ABC.
13. Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos 
pertencentes ao lado BC tais que BM = MN = NC. Sendo a 
a medida, em radianos, do ângulo MÂN, então o valor de cos a é 
A) 
13
14
B) 
14
15
C) 
15
16
D) 
16
17
E) 
17
18
 
14. Em um triângulo ABC, obtusângulo em Â, de vértices A, B e C, 
e com lados medindo a = BC, b = AC e c = AB, cumpre-se a relação 
a4 + b4 + c4 = 2a2 ⋅ (b2 + c2), então o valor de cos  é
A) – 
1
2
 B) –
3
2
C) − 2
2
 D) –
1
3
E) – 
1
5 
15. Dada a figura a seguir:
 
θθθ
θ
B
Q
CEA
P
 Sabendo que BP = a e BQ = b. Então, o valor de BE, em função 
de a e b, é
A) 
ab
a b+
B) 
2ab
a b+
C) 2a + b
D) a + b
E) a + 2b 
Gabarito
01 02 03 04 05
E B – A A
06 07 08 09 10
B A – A A
11 12 13 14 15
– * A C B
– Demonstração.
* 12: 6 cm2
Resolução
01. Nessas condições, temos:
 
a
b c
c
b a
a
b c
c
b a2 2 2 2 2 2 2 2
0
−
+
−
= →
−
= −
−
 
 
 
Daí,
ab2 – a3 = – cb2 + c3
ab2 + cb2 = a3 + c3
b2⋅ (a + c) = (a + c) ⋅ (a2 – ac + c2), a + c ≠ 0
Segue que,
b2 = a2 + c2 – ac
b2 = a2 + c2 – 2ac ⋅
1
2
Logo,
cos B̂ =
1
2
 → B̂ = 60º =
π
3
 
 Resposta: E
02. Nessas condições, temos:
A B
27b α é agudo.
48
C
α
3α
 
• Lei dos senos: 
48
3
27
sen senα α
=
 Daí,
 
 
sen
sen
sen sen
sen
sen sen
 3 α
α
α α
α
α α
= → − =
− = → = →
16
9
3 4 16
9
3 4
16
9
11
6
3
2 ccosα = 5
6
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Módulo de estudo
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• Lei dos cossenos:
 
27 48 2 48
729 2304 2 48
5
6
80 1575 0
3
2 2 2
2
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅
− + =
=
b b
b b
b b
b
cos α
55
45
→
→
 ABC obtus ngulo.
ou
 ABC acut ngulo.
∆
∆
é â
é âb =
Resposta: B
03. Nessas condições, temos:
c
A b
d
a
α
α
D
C
B
[BCD] + [ACD] = [ACB]
Daí,
adsen bdsen absen
ad bd sen ab sen
d a b
α α α
α α α
2 2
2
2
2
2
+ =
+ = ⋅
+ =
( )
( ) cos
( ) aab
Logo
d
a b
cos
,
abcos
α
α
=
+
2
04. Diante do exposto, tem-se:
 
+ ++ + =
� 2 2 2
3
ˆcos  cosB cosC a b c
,
a b c R
cos cos cos
,
A
a
B
b
C
c
a b c
R
+ + = + +
� 2 2 2
3
 
 
Utilizando a Lei dos Cossenos, vem:
b c a
abc
a c b
abc
a b c
abc
a b c
R
a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
2
+ − + + − + + − = + +
+ +
aabc
a b c
R
abc R
= + +
=
2 2 2
3
32
Utilizando a Lei dos Senos, encontramos:
2 2 2 2
16 1
3⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) =
=
RsenA RsenB RsenC R
senAsenBsenC
Logo
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
:
ssenAsenBsenCˆ ˆ ˆ = 1
4
 Resposta: A
05. Sabe-se que:
 
a
senA
R
a
senA
b c a bc
senA
b c
bc
senA
ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
= → ⋅ + =
=
+
≥ → =
2
2
2
1 1
Da ,
Logo,
í
ˆ̂ ºA b c bc b c= → + = → =90 2
 Resposta: A
06. Pela Lei dos Senos, temos:
 
a
sen A
b
sen B
c
sen C
a
b
sen A
sen B
A
B
tgA
ˆ ˆ
ˆ cos ˆ
cos
ˆ
= =
= = → =
�
� �
= 2R
Da ,í
ttg B A B
b
c
sen B
sen C
B
C
tg B tgC B C
� �
� �
� �
→ =
= = → = → =
ˆ
ˆ
cos
cos ˆ
ˆ ˆ
Com issoo, 
Logo,
 cm2
ˆ ˆ º
( )
A B C
rea ABC
= = =
= =
� 60
2 3
4
3
2
Á ∆
 Resposta: B
07. Diante do exposto, tem-se:
C
A
2
a
c
B
α
θ
β
i. a + β + q = 180º → sen q = sen (a + β)
ii. 
c
sen sen
c
sen
senθ β
α β
β
= → = +2 2 ( )
Como sen (a + β) = sen a cos β + sen β cos a, vem:
c
sen sen
sen
sen= + = +2 2 2 2α ββ α
β
α β αcos cos coscotg
iii. Área ABC
c sen
c sen( )∆ = ⋅ ⋅ =2
2
α α 
 Área ABC sen sen( ) ( )∆ = +2 22α β α cotg
 Resposta: A
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Módulo de estudo
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08. Do enunciado, tem-se:
c
A
B Ca/2
a/2
M
b
ma
• Stewart → ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅b a c a m a a a aa2 2 2
2 2 2 2
Simplificando, obtemos:
4 22 2 2 2m b c aa = +( ) −
Analogamente,
4 2
4 2
2 2 2 2
2 2 2 2
m a c b
m a b c
b
c
= +( ) −
= +( ) −
Elevando ao quadrado e somando membro a membro, vem:
16 94 4 4 4 4 4m m m a b ca b c+ +( ) = + +( )
Logo, 
m m ma
4 4 4
4 4 4
9
16
+ +
+ +
=b c
a b c
09. Diante do exposto, tem-se:
i. (a, b, c) = (x – r, x, x + r) P.A.;
ii. a + b + c = 15 → 3x = 15 → x = 5;
iii. Lei dos Cossenos:
 
+ −= + − → =
2 2 2
2 2 2 b c aˆ ˆa b c 2bccos A cos A
2 bc
iv. 
+ ++ + =
� 2 2 2
3
ˆcos  cosB cosC a b c
,
a b c R
cos cos cosA
a
B
b
C
c
+ + = 77
240
 
b c a
abc
a c b
abc
a b c
abc
a b c
abc
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
77
240
77
+ − + + − + + − =
+ + =
1120
5 5 5
5 5 5
77
120
1 4 5 6
2 2 2( ) ( )
( ) ( )
: , ,
− + + +
− ⋅ ⋅ +
= → = →r r
r r
r lados
 
v. Logo, a área do ∆ABC é:
 Área P a P b P c cm= − − − = ⋅ ⋅ ⋅ =P( )( )( )
15
2
7
2
5
2
3
2
15 7
4
2
 Resposta: A
10. Diante do exposto, tem-se:
+ ++ + =
� 2 2 2
3
ˆcos  cosB cosC a b c
,
a b c R
cos cos cosA
a
B
b
C
c
a
bc
+ + =
A Lei dos Cossenos nos permite escrever:
b c a
abc
a c b
abc
a b c
abc
a
bc
a b c
abc
a
bc
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
+ − + + − + + − =
+ + =
aa b c a
b c a A B C
2 2 2 2
2 2 2
2
90 90
+ + =
+ = → = = + =ˆ º ˆ ˆ º
• Como B̂ e Ĉ são complementares → senC B
senB C
ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ
=
=



 
• Relação fundamental → sen2 Ĉ + cos2 Ĉ = 1
 Elevando ao cubo, concluímos que:
 sen6 Ĉ + cos6 Ĉ + 3 sen2 Ĉ cos2 Ĉ = 1 
 cos6 B̂ + cos6 Ĉ + 3 cos2 B̂ cos2 Ĉ = 1
 Resposta: A
11. Conhecemos:
I. Lei dos cossenos:
 a2 = b2 + c2 – 2bc cos Â
II. Lei dos senos:
 (a, b, c) = (2R sen Â, 2R sen B̂, 2R sen Ĉ)
Substituindo (II) em (I), tem-se:
(2R sen Â)2 = (2R sen B̂)2 + (2R sen Ĉ)2 – 2 ⋅ (2R sen B̂) ⋅ (2R sen Ĉ) cos Â
4R2 sen2Â = 4R2 sen2 B̂ + 4R2 sen2 Ĉ – 8R2 sen B̂ ⋅ sen Ĉ ⋅ cos Â
Logo,
sen2  = sen2 B̂ + sen2 Ĉ – 2sen B̂ ⋅ sen Ĉ ⋅ cos  
12. Do enunciado, tem-se:
B C
b
α
0
A
5
3
2
2
5
2 2
 
i. Lei dos senos → 
2 2
2
5 2
3senα
= ⋅




Daí, senα α= → =3
5
4
5
cos
ii. Lei dos cossenos 
 
2 2 2 5 2 2 5
8 20
16 5
5
16 5
5
12 0
1
2 2
2
2
2
( ) = ( ) + − ⋅ ⋅ ⋅
= + −
− + = →
→
=
b b
b b
b b
b
cosα
 
00
5
6
5
( )
(
ok
b n o=





 ã â pode, pois o é acut ngulo)∆
6F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
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Logo,
Área ABC cm∆( ) =
( ) ⋅ 


⋅
=
2 5
10
5
3
5
2
6 2 
13. Nessas condições, temos:
60º
C N Ma a
A
a B
60º
3a 3a
x x
α
i. ∆ACN → x2 = a2 + 9a2 – 2 ⋅ a ⋅ 3a ⋅ cos 60º
 x2 = 10a2 – 3a2 → x2 = 7a2
ii. ∆AMN → a2 = x2 + x2 – 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ cos a
 a2 = 14a2 – 14a2 ⋅ cos a
 14a2 cos a = 13a2
 cosα = 13
14
 Resposta: A
14. Pela Lei dos Cossenos, temos:
 
a2 = b2 + c2 – 2bc cos Â
2bc cos  = b2 + c2 – a2 
Elevando ao quadrado, vem:
4b2c2 cos2 Â = b4 + c4 + a4 + 2b2c2 – 2a2b2 – 2a2c2 
4b2c2 cos2 Â = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 – 2a2b2 – 2a2c2
4b2c2 cos2 Â = 2b2c2 
cos2 Â = 
1
2
cos  = − 2
2
(∆ obtusângulo em Â)
 Resposta: C
15. Nessas condições, temos:
P
B
b
a
x
θ
θ θ
θ
y
d
A E C
Q
Sabe-se que:
i. d
x y
x y
=
+
2· · · cos θ
ii. cos cosθ θ= =a
x
b
y
 e 
Assim,
d
a b
a b
ab
a b
=
⋅
+
=
+
2 2· cos
·
cos
cos
cos cos
θ θ
θ
θ θ
 
 
 Resposta: B
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
naldo – Rev.: KELLY MOURA