10-12

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Fabrício Maia
assunto: FórMulas de adição e subtração de arcos
frente: MateMática i
003.815 - 130018/18
AULAS 10 a 12
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Transformações Trigonométricas
• Cosseno da soma de dois arcos
Propriedade:
Se a e b são arcos no ciclo trigonométrico, podemos escrever:
cos (a + b) = cos a · cos b - sen a · sen b
• Cosseno da diferença de dois arcos
Propriedade:
Se a e b são arcos no ciclo trigonométrico, podemos escrever:
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
• Seno da soma de dois arcos
Propriedade:
Se a e b são arcos no ciclo trigonométrico, podemos escrever:
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
• Seno da diferença de dois arcos
Propriedade:
Se a e b são arcos no ciclo trigonométrico, podemos escrever:
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
• Tangente da soma de dois arcos
Propriedade:
Se a e b são arcos no ciclo trigonométrico, podemos escrever:
tg a b
tg a tg b
tg a tg b
+( ) = +
− ⋅
 
 1
 em que a, b e a + b não são da forma 
π
π
2
+ k , 
k ∈ Z.
• Tangente da diferença de dois arcos
Propriedade:
Se a e b são arcos no ciclo trigonométrico, podemos escrever:
tg a b
tg a tg b
tg a tg b
−( ) = −
+ ⋅
 
 1 , em que a, b e a – b não são da forma
π
π
2
+ ∈k , Zk .
Exercícios
01. Se θ é um ângulo agudo tal que 2 2 47⋅ + =sen º cos º cosθ , 
então θ é igual a
A) 2º
B) 43º
C) 45º
D) 47º
E) 60º
02. Em um triângulo não retângulo se cumpre tg tg tg A B Cˆ ˆ ˆ+ − = 0 . 
Determine o valor de tg tg A Bˆ ˆ⋅ .
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
03. Sejam (x
1
 ,y
1
 ), (x
2
 ,y
2
 ),(x
3
 ,y
3
 ),...,(x
n
 ,y
n
 ) as soluções do sistema:
log log
cos cos x
2 2 1 0
1
x
sen x sen y
y⋅ + =
⋅ = − ⋅



 y 
, que satisfazem à condição x + y < 8.
Se W = x
1
 + x
2
 + x
3
 + ... + x
n
 + y
1
 + y
2
 + y
3
 + ... + y
n
, determine W
≠
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
04. Calcule o valor de M
tg
tg tg tg
=
−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )
1
1 1 1 2 1 42 2 2
º
º º º
. Considere 
que tg8
1
7
º = .
A) 
1
6
 B) 
1
42
C) 
1
49
 D) 
1
56
E) 
1
63
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
003.815 - 130018/18
05. Calcule o valor de 
1
170
3
350sen º cos º
− .
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
06. Seja a um ângulo agudo tal que senα =
4
5
. Se θ é um ângulo qualquer 
e M
sen
sen
=
⋅ +( ) − ⋅ +( )3 4
3
θ α θ α
θ
cos
, determine M ⋅ 3 .
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
07. Sejam a e θ arcos não pertencentes ao primeiro quadrante e tais 
que tgα θ= =
3
4
13
5
, sec . Calcule o valor de 65 ⋅ +( )sen α θ .
A) 35
B) 34
C) 33
D) 32
E) 31
08. Se k
tg
tg tg
=
− °
14
52 38
º
º
, podemos afirmar que:
A) k =
1
8
B) k =
1
6
C) k =
1
4
D) k =
1
2
E) 1
09. Sabendo-se que tgx tg x tg x tg x⋅ −




 ⋅ +





 =
π π
3 3
3 pode-se afirmar 
que cotg cotg cotg70 50 10° ⋅ ° ⋅ ° é igual a
A)
3
2
B) 
1
2
C) 
3
3
D) 3
E) 2
10. O valor de x > 0, que satisfaz a esquação x tg=






π
12
, é
A) x = 4 3
B) x = −5 4 3
C) x = −7 3
D) x = −7 4 3
E) x = −9 4 3
11. A pergunta “existe x real tal que os números ex, 1 + ex, 1 - ex são 
as tangentes dos ângulos internos de um triângulo?” admite a 
seguinte resposta:
A) não existe x real nessas condições.
B) todo x real, x ≥ 1, satisfaz essas condições.
C) todo x real, x ≤ −1, satisfaz essas condições.
D) todo x real, − < <1 1x , satisfaz essas condições.
E) apenas x inteiro, par, satisfaz essas condições.
12. No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e 
um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB
   
 e BC . O lado 
do quadrado mede 3r.
CD
A B
P
�
 O valor da tangente de θ é igual a
A) 0,65
B) 0,60
C) 0,55
D) 0,50
E) 0,45
13. Um triângulo retângulo tem perímetro igual a  5 , em que  é 
comprimento da hipotenusa. Se a e β são seus ângulos agudos, 
com a < β, então, sen β α−( ) é igual a
A) 5 2 5−
B) − +6 3 5
C) 16 5 35−
D) 20 5 44−
E) 18 5 40−
14. Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA, nessa ordem, 
sendo opostos aos ângulos internos ˆ , ˆ ˆA B e C , respectivamente, 
determine o valor da expressão:
cos
cos
A C
A C
 
 
−
+
2
2
A) 2
B) 2
C) 2 2
D) 3
E) 4
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003.815 - 130018/18
Módulo de estudo
15. Os números reais a, b e y são tais que a ≠ 0 e a · cos y ≠ b · sen y. 
Se tgx
a seny b y
a b seny
=
⋅ + ⋅
⋅ − ⋅
cos
cos y
, calcule o valor de tg (x – y) em função 
de a e b somente.
Gabarito
01 02 03 04 05
B B A D B
06 07 08 09 10
A C D D D
11 12 13 14 15
A B D B *
* 15: sen x y
x y
b
a
tg x y
( )
cos( )
( )
−
−
= = −
Resoluções
01. Do enunciado, tem-se:
2 2 47
2 47 45 47
2 47 45
⋅ ° + ° =
⋅ ° − °( ) + ° =
⋅ °
sen
sen
sen
cos cos
cos cos
cos
θ
θ
°° − ° °( ) + ° =
° − ° + ° =
sen
sen
sen
45 47 47
47 47 47
4
cos cos cos
cos cos cos
θ
θ
77
43
° =
° =
cos
cos cos
θ
θ
Como θ é agudo, concluímos:
 θ = 43°
Reposta: B
02. Inicialmente temos:
∆ABC A B C
N o ret ngulo
Suplementares
ã â 
  
 
→ + + = °ˆ ˆ ˆ 180
Daí,
tg A B tgC
tgA tgB
tgA tgB
tgC
tgA tgB tgC t
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
+( ) = −
+
− ⋅
= −
+ = − +



1
ggA tgB tgC
tgA tgB tgC tgA tgB tgC
Assim
tg
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
ˆ
⋅ ⋅
+ + = ⋅ ⋅  
2 CC tgA tgB tgC tgC
Logo
tgA tgB
= ⋅ ⋅ ≠
⋅ =
ˆ ˆ ˆ , ˆ
:
ˆ ˆ
0
2
Reposta: B
03. Temos que:
log log
cos cos x sen
2
12 1 0 1
1
x log⋅ + = → = − → =
= − → +(
−
y y x x y
senx y seny x y)) =




+ =
=




→ − + = → ∉
+ =
1
2
1
2
1 02
Novos sistemas
x y
xy
x x x
x y
 
π
π
r.
55
2
5
2
1 0
1
2π π→ − + = → ∈
=




x x x r.
xy
log log
cos cos x sen
2
12 1 0 1
1
x log⋅ + = → = − → =
= − → +(
−
y y x x y
senx y seny x y)) =




+ =
=




→ − + = → ∉
+ =
1
2
1
2
1 02
Novos sistemas
x y
xy
x x x
x y
 
π
π
r.
55
2
5
2
1 0
1
2π π→ − + = → ∈
=




x x x r.
xy
Raízes da equação: x
1
 e x
2 
→ soluções do sistema: (x
1
, y
1
) e (x
2
, y
2
)
Daí,
W = x
1
 + x
2
 + y
1
 + y
2
 = (x
1
 + y
1
) + (x
2
 + y
2
)
W = + =
5
2
5
2
5
π π
π
Logo:
W
π
= 5
Reposta: A
04. Sabe-se que:
tg a b
tga tgb
tga tgb
Fazend a b x
tg x
tgx
tg x
tg
+( ) = +
− ⋅
= =
( ) =
−
−
1
2
2
1
1
2
o:
22 2
2
1
2 1
2
2 2
4
2 4
8
8
x
tgx
tg x
Da
M
tg
tg
tg
tg
tg
tg
tg
m
tg
=
=
°
°
°
⋅
°
°
⋅
°
°
=
( )
,í
°°
=
8
1
56
Reposta: D
05. Temos
V
sen
V
sen
V
s
 que:
 
=
°
−
°
=
°
−
°
=
° −
1
170
3
350
1
10
3
10
10 3
cos
cos
cos een
sen
V
sen
sen
V
10
10 10
2 10 2 3 10
2 10 10
4
1
2
°
° °
=
° − °
° °
=
cos
cos
cos
cos
 
110
3
2
10
20
4 30 10 10 30
° − °






°
=
° ° − ° °( )
sen
sen
V
sen sen
s
cos cos
een
V
sen
sen
V
20
4 20
20
4
°
=
⋅ °
°
=
Reposta: B
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Módulo de estudo
003.815 - 130018/18
06. Do enunciado, tem-se:
a é agudo e senα α= → =
4
5
3
5
cos
Daí,
M
sen sen sen sen
sen
M
=
⋅ +( ) − −( )
= +
3
4 3
3
3
θ α α θ θ α θ α
θ
α
cos cos cos cos
cos 33
4 3
3
4 3
3
3
3
5
3
4
5
sen sen
M
α θ θ α αcotg cotg cos
cot
− +
= ⋅ 




 + ⋅





 gg cotgθ θ
θ θ
− 




 +






= + − +
4 3
3
3
5
4 3
3
4
5
3 3
5
4 3
5
4 3
5
16
M cotg cotg
33
15
9 3
15
16 3
15
25 3
15
5 3
3
3 5
M
M
= + = =
=
Reposta: A
07. Nestas condições, temos:
 • α α α α∉ = → = − = −1
3
4
3
5
4
5
º Q e tg cossen e
 • θ θ θ θ∉ = → = − = −1
13
5
5
13
12
13
º Q e sec cos e sen
Assim,
sen (a + θ) = sen a cos θ + sen θ cos a
sen (a + θ) =
−



⋅ 



+ −



⋅ −



3
5
5
13
12
13
4
5
sen (a + θ) =
− + =15 48
65
33
65
Logo:
65 sen (a + θ) = 33
Reposta: C
08. Temos que:
K
tg
tg tg
K
tg
tg tg
K
tg tg
t
= °
° − °
=
° − °( )
° − °
=
° − °
+
19
52 38
52 38
52 38
52 38
1 gg tg
tg tg
K
tg tg
K
52 38
5238
1
1 52 38
1
1 1
1
2
° ⋅ °
° − °
=
+ ° ⋅ °
=
+
=
Reposta: C
09. Diante do exposto, tem-se:
tg x · tg (60° – x) · tg (60° – x) = tg 3x
Fazendo x = 20°, vem:
tg 20° · tg 40° · tg 80° = tg 60°
cot 70° · cotg 50° · cotg 10° = 3
Reposta: D
10. De acordo com o enviado, tem-se:
x tg tg tg
x
tg tg
tg tg
x
= 



= ° = ° − °( )
=
° − °
+ ° ⋅ °
π
12
15 45 30
45 30
1 45 30
==
−
+ ⋅
=
−
+
=
−( )
=
−
= −
= −
1
3
3
1 1
3
3
3 3
3 3
3 3
6
12 6 3
6
2 3
7 4 3
2
x
x
x
Log
x
o:
Reposta: D
11. Com base no enunciado, tem-se
∆ABC → ˆ ˆ ˆA B C+ + = °180 (Não retângulo)
Daí,
tgA tgB tgC tgA tgB tgCˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ+ + = ⋅ ⋅
Substituindo, encontramos:
ex + 1 + ex + 1 – ex = ex (1 + ex) · (1– ex)
ex + 2 = ex (1 – e2x)
2 = – e3x
e3x = – 2 → x ∉ R
Reposta: A
12. A partir da ilustração, obtemos:
A B3π
π
π E
θ
α
D C
• tg e tgα π
π
θ α π
π
= = +( ) = =
4
1
4
3
3
1
5 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
003.815 - 130018/18
Módulo de estudo
Daí,
tg tg
tg tg
tg tg
tg tg
tg tg
θ α
θ α
θ θ
θ θ
θ
+
− ⋅
=
+ = − ⋅
+ = −
= → = =
1
1
1
4
1
1
4
4 1 4
5 3
3
5
00 6,
Reposta: B
13. De posse das características do triângulo, temos:
b
c
β
α
�
i) b + c +  =  5  b + c =  5 1−( ) 
ii) b + c =  5 1−( )  b 2 + c 2 + 2bc = 6 2 5−( )  
 2bc = 5 2 52 2 −
iii) (c – b)2 = (c + b)2 – 4bc  (c – b)2 = 2 6 2 5−( ) – 102 + 42 5
Daí, (c b)− = − → − = −2 2 22 5 4 2 5 4  c b
iv) sen (β – a) = sen β cos a – sen a cos β
 
sen
c c b b c b c b
sen
β α
β α
−( ) = ⋅ − ⋅ = +( ) ⋅ −( )
⋅
−( ) =
−( ) ⋅ −
⋅
     
 

5 1 2 5 4

=
= −( ) ⋅ −( ) = −
= − = −( )
k
k
k sen
2 6 2 5 2 5 4 20 5 44
20 5 44 β α
Reposta: D
14. Sabe-se que:
sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos y
sen (x – y) = sen x cos y – sen y cos y
Somando:
sen (x + y) + sen (x – y) = 2 sen x cos y
Logo:
sen P + sen Q = 2 sen
P Q P Q+



−


2 2
cos (*)
De posse do resultado (*), temos:
• (a, b, c) P. A.  a + c = 2b
• Expressão =
−



+



=
cos
cos
A C
A C
E
2
2
 
Daí,
E
sen
A C A C
sen
A C A C
=
+



−



+



−
2
2 2
2
2 2
ˆ ˆ
cos
ˆ ˆ
ˆ ˆ
cos
ˆ ˆ



=
+
+( )
=
+
=
+
sen A sen C
sen A C
E
sen A sen C
sen B
a
R
c
R
b
R
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
2 2
2
EE
a c
b
ab
b
=
+
= = 2
15. Temos que:
sen x a sen y b y
a y b sen ycos x
cos
cos
=
+
−
a sen x cos y – b sen x cos y = a sen y cos x + bar x cos y
a sen x cos y – a sen y cos x = b cos x cos y + bsen x sen y
a(sen x cos y – sen y cos x) = b (cos x cos y + sen x + sen y)
a sen(x – y) = b · cos (x – y)
Logo:
sen x y
x y
b
a
tg x y
−( )
−( ) = = −( )cos
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Fabrício Maia
DIG – Aníbal – REV.: Sarah