Livro Digital - Equações de 1 Grau

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Patrícia Simone Gomes de Paula - patriciadepaula01@gmail.com - IP: 45.184.143.21
 
 
 
 
 
Servidor público municipal da câmara de Poá-SP. Graduado em Química com 
atribuição tecnológica atuando na área da educação desde 2009. 
Professor de Matemática no JáPassei Educação. Apaixonado por concursos 
públicos e técnicas de otimização de estudos tendo já sido aprovado em 
mais de 15 certames. 
 
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As equações de primeiro grau caracterizam-se pela existência de duas ou mais incógnitas (valores 
desconhecidos) ligadas através de um vínculo textual, ou seja, através de uma comparação. 
 
Segue abaixo algumas expressões comparativas utilizadas nestes textos. 
“o sorvete custa 2 reais a mais do que o suco ...” + 
“João tem três anos a menos que Juca...” - 
“a diferença entre o maior e o menor investimento é de 1200 reais...” - 
“o carro custa o triplo da moto...” x 
“Maria fez um terço da tarefa, Joaquim fez dois quintos do restante ... “ : 
 
Dentre os tipos de questões envolvendo tal assunto, dois tipos merecem destaque: 
 Questões em que temos o valor total, mas faltam os valores das partes que o formam; 
Ex: Dona Yara comprou 4 pares de sapatos e gastou R$ 725,00 ao todo. O 2.º par de sapatos custava R$ 
20,00 a mais do que o 1.º, o 3.º custava o dobro do 2.º, e o 4.º custava o triplo do 1.º. O preço do 4.º par 
de sapatos foi 
Obs: Note que temos o valor total da compra, porém não temos os valores que formam este total 
(preços de cada um dos pares de sapato) 
 
 Questões em que não temos o valor total, mas temos o valor de uma das partes que o formam; 
Ex: Após organizar sua biblioteca, Lucas percebeu que metade de seus livros eram de matemática, a 
terça parte dos livros era de história, e 20 livros eram de artes. O total de livros da biblioteca de Lucas 
é: 
Obs: Aqui não temos o total de livros da biblioteca de Lucas, porém temos a quantidade exata de uma 
das partes (matérias) que formam esta biblioteca. 
 
Questões em que temos o valor total, mas faltam os valores das partes que o formam 
Ex: Mariana gastou um total de R$ 125,00 na compra de um cartucho de tinta para sua impressora, um 
pen drive e um livro. Sabe-se que o cartucho de tinta custou R$ 12,00 a menos que o pen drive e R$ 
19,00 a mais que o livro. Nesse caso, pode-se afirmar que o item mais caro custou: 
a) R$ 56,00. b) R$ 52,00. c) R$ 46,00. d) R$ 44,00. e) R$ 
42,00. 
 
R: Trata-se de uma questão de equação, pois, há 3 valores desconhecidos, preço do cartucho de tinta, 
do pen drive e do livro, e os mesmos estão vinculados textualmente (“12 a menos” / “19 a mais”); nota-
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
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se também que a questão nos fornece o valor total da compra embora não forneça o valor das partes 
que compõe este total, logo, estamos diante de uma questão de equação do primeiro tipo. 
 
Neste modelo de questão, deveremos, a priori, estabelecer qual dos valores desconhecidos será 
“chamado” de x e a partir daí nomear os demais. Saiba que é possível nomear qualquer dos valores 
desconhecidos de x, porém, esta escolha pode tornar a questão mais fácil ou mais complexa. 
Particularmente, creio eu ser preferível chamar de x o menor dentre os valores desconhecidos, pois 
assim, evito o uso desnecessário de frações. 
Como saber quem é o menor já que os valores são desconhecidos? 
Para isto podemos usar o enunciado. 
 
 “Sabe-se que o cartucho de tinta custou R$ 12,00 a menos que o pen drive...” 
Pelo texto, fica claro que o cartucho tem o preço menor do que o pen drive 
 “Sabe-se que o cartucho de tinta custou R$ 12,00 a menos que o pen drive e R$ 19,00 a mais que o 
livro”. 
Aqui mais uma informação é dada sobre o cartucho; a de que ele é mais caro do que o livro. 
Juntando as informações notamos que o pen drive é o mais caro seguido do cartucho e que o 
mais barato dos itens é o livro, portanto, ele será o meu “x” 
 
 Se o livro será o “x”, o cartucho que é 19 reais mais caro será o “x+19” 
 Se o cartucho é o “x+19”, o pen drive , que é mais caro 12 reais, valerá “x+19+12” 
 
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑢𝑐ℎ𝑜 + 𝑝𝑒𝑛 𝑑𝑟𝑖𝑣𝑒 + 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑜 = 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
𝑥 + 19 + 𝑥 + 19 + 12 + 𝒙 = 125 
3𝑥 + 50 = 125 
3𝑥 = 125 − 50 
3𝑥 = 75 
𝑥 =
75
5
 
𝒙 = 𝟐𝟓 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 (𝒑𝒓𝒆ç𝒐 𝒅𝒐 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒐) 
 
Como a questão queria saber o preço do item mais caro, resta-no descobrir o preço dos demais itens: 
Cartucho: x+19  25+19 = 44 reais 
Pen drive: x+19+12  25+19+12= 56 reais 
Gabarito: letra A. 
 
 Clarice planeja fazer uma viagem em 3 dias. No 2º dia, ela planeja percorrer a metade da distância 
percorrida no 1º dia. No 3º dia, ela planeja percorrer a metade da distância percorrida no 2º dia. Sabendo 
que a distância total a ser percorrida é de 924 km, conclui-se que Clarice planeja viajar no 2º dia a 
distância, em quilômetros, igual a 
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a) 256 b) 264 c) 274 d) 288 e) 294 
 
R: Esta questão também seria considerada como sendo sobre equação do primeiro grau, pelo fato de 
apresentar 3 valores desconhecidos (distâncias percorridas no 1º, 2º e 3º dias) e vinculados pelo texto 
(uma distância é metade da outra); notamos também que já possuímos o valor total percorrido neste 
caso, cabendo a nós a tarefa de determinar qual das informações faltantes será “chamada” de x. 
Analisando o texto poderemos chegar as seguintes conclusões: 
 “No 2º dia, ela planeja percorrer a metade da distância percorrida no 1º dia” 
A distância do segundo dia é menor do que a do primeiro dia. 
 “No 3º dia, ela planeja percorrer a metade da distância percorrida no 2º dia.” 
A distância do segundo dia é menor do que a do segundo dia. 
 
Através da análise do texto podemos concluir que a menor distância percorrida ocorreu no terceiro dia, 
portanto, o chamaremos de “x”. Assim: 
 3º dia: x 
 2º dia: o terceiro dia valeu metade do segundo, logo, o segundo dia percorreu o dobro do que foi 
percorrido o terceiro dia e será chamado de 2x 
 1º dia: o segundo dia valeu metade do primeiro, logo, o primeiro dia percorreu o dobro da distância 
percorrida pelo segundo e será chamado de 4.x 
1º 𝑑𝑖𝑎 + 2º 𝑑𝑖𝑎 + 3º 𝑑𝑖𝑎 = 𝑑𝑖𝑠𝑡. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
4𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 924 𝑘𝑚 
7𝑥 = 924 𝑘𝑚 
𝑥 =
924𝑘𝑚
7
 
𝒙 = 𝟏𝟑𝟐 𝒌𝒎 (𝟑º 𝒅𝒊𝒂) 
 
Para sabermos a distância percorrida no segundo dia, basta substituirmos o valor de x na expressão 
correspondente a ele (2.x), desta forma: 
2.x 
2.132 = 264 km 
Gabarito: letra B. 
 
EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU- TIPO 2 
 
Dando prosseguimento ao nosso estudo das equações do primeiro grau, abordaremos agora, o segundo 
tipo de situação utilizado pela banca Vunesp, a saber, situações em que não possuímos o valor total 
envolvido. Este tipo de situação utiliza conceitos ligado ao cálculo com frações e com sobras de frações 
também, sendo, portanto pertinente uma breve revisão. 
 
 
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Multiplicação de frações 
Para que seja feita a multiplicação de frações, deveremos sempre multiplicar os valores que estão na 
parte de cima das frações a serem multiplica das (numeradores) e também, multiplicar os valores 
existentes na parte de baixo de ambas as frações (denominadores). 
Ex: 
5
3
 .
6
7
=
𝟑𝟎
𝟐𝟏
 
11
4
.
3
5
=
𝟑𝟑
𝟐𝟎
 
7
2
.
1
3
=
𝟕
𝟔
 
2
9
.
2
3
=
𝟒
𝟐𝟕
 
 
 
Frações e sobras de uma fração 
Parte das questões deste formato utilizam as frações se referindo a uma sobra da etapa anterior e paratanto iremos verificar como determinar tais valores. 
Ex: “Foi executado dois quintos de uma tarefa na segunda-feira, três quartos do restante na terça ...” 
 
 “Dois quintos de uma tarefa”: trata-se de uma fração comum, ou seja, se referindo ao valor total das 
tarefas, logo, para simbolizar tal fração, basta colocarmos uma letra x em sua parte superior. 
𝟐𝒙
𝟓
 
 “Três quartos do restante”: para sabermos de quanto é este restante utilizaremos o mesmo 
denominador da etapa anterior (5) e na parte do numerador (parte de cima), utilizaremos a diferença 
existente na etapa anterior entre o numerador e o denominador (5-2 =3), assim: 
𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎:
3
5
 
A sobra obtida deve ser multiplicada pela fração apresentada na etapa (três quartos), a qual 
também receberá um “x”, assim: 
3
5
 .
3
4
=
𝟗𝒙
𝟐𝟎
 
Para uma melhor fixação, segue mais um exemplo. 
Ex: “Uma agência atendeu um terço de seus segurados na primeira semana do mês, cinco sétimos do 
restante na segunda semana do mês e os 22 clientes restantes nas últimas semanas do mês” 
 
 “um terço de seus segurados”: trata-se aqui de uma fração comum (refere-se ao total dos segurados), 
por isto, deverá ser acompanhada pela letra x em sua parte superior. 
𝟏𝒙
𝟑
 
 “cinco sétimos do restante na segunda semana do mês”: aqui não se trata de uma fração comum, 
pois a mesma refere-se ao resto da fração anterior, iniciaremos, portanto, descobrindo qual foi a sobra 
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da etapa anterior. Na parte de baixo da sobra, utilizaremos o mesmo denominador da primeira etapa 
(3) e na parte de cima, a diferença entre os valores da parte de cima e a de baixo da fração existente na 
primeira etapa (2), assim: 
𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎:
2
3
 
A sobra obtida deve ser multiplicada pela fração apresentada na etapa (cinco sétimos), a qual também 
receberá um “x”, assim: 
2
3
.
5
7
=
𝟏𝟎𝒙
𝟐𝟏
 
Agora que aprendemos como representar as frações, tanto as comuns quanto aquelas que se referem 
a alguma sobra da etapa anterior, podemos analisar algumas questões comentadas para que possamos 
entender a mecânica de resolução a ser utilizada neste tipo de questão. 
 
Ex: Após organizar sua biblioteca, Lucas percebeu que metade de seus livros eram de matemática, a 
terça parte dos livros era de história, e 20 livros eram de artes. O total de livros da biblioteca de Lucas 
é: 
 
R: Notamos estar diante de uma equação pelo fato de estar faltando 2 ou mais valores, no caso, a 
quantidade de livros de matemática, de história, assim como o total de livros; veja também que trata-
se de uma equação onde não temos o valor total envolvido e, nestes casos o valor total é quem será 
chamado de “x”. 
O primeiro passo a ser feito é a análise das frações existentes no texto, percebe-se que todas elas são 
frações comuns, pois, não se referem a uma sobra e, portanto, a representação das mesmas deverá ser 
feita mediante o acréscimo de um “x” em suas partes superiores. 
 
 Matemática: 
𝟏𝒙
𝟐
 
 
 História: 
𝟏𝒙
𝟑
 
 
A terceira matéria existente nos livros, artes, já nos foi dada e por isto não levará “x”, ficando apenas 
como 20. 
Para a montagem do cálculo, utilizaremos a regra: “a soma das partes é igual ao total” 
𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 + 𝒉𝒊𝒔𝒕ó𝒓𝒊𝒂 + 𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 = 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒐𝒔 
1𝑥
2
+
1𝑥
3
+ 20 = 𝑥 
Para que as frações “sumam” poderemos utilizar o MMC da seguinte maneira: 
 Tirar o MMC dos denominadores; 
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 Dividir o MMC pelo antigo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador; 
O MMC dos denominadores 2 e 3 é 6. 
3𝑥
6
+
2𝑥
6
+
120
6
=
6𝑥
6
 
 
Após realizar esta etapa, os denominadores, por serem os mesos, podem ser retirados. 
3𝑥 + 2𝑥 + 120 = 6𝑥 
5𝑥 + 120 = 6𝑥 
120 = 6𝑥 − 5𝑥 
𝟏𝟐𝟎 = 𝒙 
 
Obs: É importante termos em mente que sempre estaremos calculando o valor total (x) e caso seja 
necessário saber algum valor que não seja este, bastará substituirmos o x encontrado na fração 
correspondente ao que queremos calcular, assim: 
 Total de livros: x= 120 livros 
 Livros de matemática: 
1
2
. 120 =
120
2
= 60 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑜𝑠 
 Livros de história: 
1
3
. 120 =
120
3
= 40 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑜𝑠 
 
Ex: Carlos, Ana e Gerson tabularam as respostas de uma pesquisa, realizada via questionário, que foi 
respondido pelos usuários de um determinado serviço municipal. Sabendo que Carlos tabulou um terço 
do total de questionários, Ana tabulou três quintos do que sobrou e Gerson, os 460 questionários 
restantes, a diferença entre os números de questionários tabulados por Ana e Gerson foi 
a) 210. b) 220. c) 230. d) 240. e) 250. 
 
R: Identificamos a necessidade de utilizar equação de primeiro grau pelo fato de que estão faltando 
duas ou mais informações (quantidade tabulada por Carlos, Ana e o total), sendo que nesta questão de 
equação não temos o total tabulado pelos três funcionários; iniciaremos então, pela montagem das 
frações apresentadas no enunciado. 
 Carlos: fração comum (refere-se ao total) 
𝟏𝒙
𝟑
 
 
 Ana: aqui há a presença de sobras (2/3), desta forma teremos: 
2
3
.
3𝑥
5
=
𝟔𝒙
𝟏𝟓
 
𝑪𝒂𝒓𝒍𝒐𝒔 + 𝑨𝒏𝒂 + 𝑮𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏 = 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒕𝒂𝒃𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 
1𝑥
3
+
6𝑥
15
+ 460 = 𝑥 
 
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Para que as frações “sumam” poderemos utilizar o MMC da seguinte maneira: 
 Tirar o MMC dos denominadores; 
 Dividir o MMC pelo antigo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador; 
O MMC dos denominadores 3 e 15 é 15 
 
5𝑥
15
+
6𝑥
15
+
6900
15
=
15𝑥
15
 
 
Como o denominador 15 é o mesmo para todos os valores, ele deve ser retirado. 
5𝑥 + 6𝑥 + 6900 = 15𝑥 
11𝑥 + 6900 = 15𝑥 
6900 = 15𝑥 − 11𝑥 
6900 = 4𝑥 
6900
4
= 𝑥 
𝒙 = 𝟏𝟕𝟐𝟓 𝒒𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏á𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒕𝒂𝒃𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 
 
Para poder responder à questão deveremos calcular quantos questionários foram tabulados por Ana, 
para isto, iremos substituir o total encontrado (1725) na fração correspondente ao trabalho de Ana. 
 Ana 
6
15
. 1725 
10350
15
= 𝟔𝟗𝟎 𝒒𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏á𝒓𝒊𝒐𝒔 
Comparando a quantidade tabulada por Ana (690) e por Gerson (460), nota-se uma diferença de 230 
questionários. Gabarito: letra C. 
 
 
 
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