Slides de Aula Unidade II Matematica

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Profa. Dra. Larissa Damiani
UNIDADE II
Matemática para 
Computação
 Dados dois conjuntos não vazios, A e B, considere 𝑥 como uma variável que representa os 
elementos de A e 𝑦 como uma variável que representa os elementos de B. 
Uma função de A em B é uma regra que determina como associar cada elemento 𝑥 ∈ A a um 
único elemento 𝑦 ∈ B. Essa função pode ser denotada por:
Funções – Introdução
Fonte: autoria própria.
f: A → B
 A correspondência entre os elementos é, geralmente, 
definida por uma Lei da Função, que é uma equação 
que relaciona 𝑥 a 𝑦;
 Chamamos 𝑥 de variável independente e 𝑦 de 
variável dependente.
𝑦 = f(𝑥)
A B
f
 Para os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 3, 6, 9}, considere a função f: A → B definida pela lei 
𝑦 = 3𝑥, com 𝑥 ∈ A e 𝑦 ∈ B. 
 Para 𝑥 = 0, temos:
 Para 𝑥 = 1, temos:
 Para 𝑥 = 2, temos:
Funções – Domínio, contradomínio e imagem
Fonte: autoria própria.
 Domínio: D(f) = A = {0, 1, 2}. O conjunto domínio de 
uma função é composto por todos os elementos que 
a variável 𝑥 pode assumir dentro de um contexto. A B
0
1
2
Im(f)
0
3
6
9
f
= D(f) = CD(f)
𝑦 = 3.0 = 0
𝑦 = 3.1 = 3
𝑦 = 3.2 = 6
 Contradomínio: CD(f) = B = {0, 3, 6, 9}. O conjunto 
contradomínio é composto por todos os elementos disponíveis 
para a variável 𝑦 (variável dependente de 𝑥).
 Imagem: Im(f) = {0, 3, 6}. O conjunto imagem é composto por 
todos os elementos de B que, de fato, encontraram uma 
correspondência com A. 
(0, 0)
(1, 3)
(2, 6)
Pares 
ordenados
(𝑥, 𝑦)
 Um plano cartesiano é um plano munido de dois eixos perpendiculares que abrigam os 
valores do domínio e da imagem, de forma a nos permitir representar 
graficamente a função.
 O eixo horizontal (das abscissas) abriga os
valores da variável independente, 𝑥. 
 O eixo vertical (das ordenadas)
abriga os valores da variável dependente, 𝑦 = f(𝑥).
 Cada ponto assume uma coordenada que
podemos identificar por um par ordenado. 
Funções – Plano cartesiano
Fonte: autoria própria.
(-3, 2)
(1, 1)
(2, 0)
(3, -1)
(0, -2)
(-2, -3)
Uma função f: ℝ → ℝ é denominada de função afim quando a sua lei pode ser expressa no 
seguinte formato, com a ∈ ℝ e b ∈ ℝ:
 Temos a e b como coeficientes, 𝑥 como uma variável independente e 𝑦 =f(𝑥) como uma 
variável dependente.
 Qualquer função que descreve uma reta, no plano cartesiano, desde que esta reta não seja 
vertical (paralela ao eixo das ordenadas), é uma função afim.
Funções afim – Introdução
Fonte: autoria própria.
 O coeficiente a, denominado de coeficiente angular, 
acompanha a variável 𝑥.
 O coeficiente b, chamado de coeficiente linear, é um termo 
independente, ou seja, não multiplica qualquer variável.
f(𝑥) = a𝑥 + b
Exemplo: uma vendedora recebe um salário mensal composto por uma parte fixa, no valor de 
R$ 1780,00, e uma parte variável, que corresponde a 8% sobre o total de vendas que ela fez, 
ao longo do mês. Se chamarmos o total de vendas do mês (em reais) de 𝑥, qual é a Lei da 
Função que representa o salário desta vendedora? Qual será o salário dela no mês em que 
vender R$ 1000,00?
Funções afim – Função de 1º grau
 Perceba que o salário depende do total de vendas.
 Nessa situação, temos uma Lei da Função Afim completa, no 
formato f(𝑥) = a𝑥 + b, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
 Neste formato, a função afim é uma função de 1º grau.
f(𝑥) = 0,08𝑥 + 1780Solução:
𝑥 representa o total de vendas do 
mês. Aplicando a taxa de 8% e 
adicionando a parte fixa, temos:
f(1000) = 0,08 . 1000 + 1780
f(1000) = R$ 1860
(Fundatec – 2020) A função f(x) = 3x + 18, cuja imagem é igual a 63, tem o elemento do 
domínio igual a:
a) 15.
b) 12.
c) 10.
d) 8.
e) 5.
Interatividade
(Fundatec – 2020) A função f(x) = 3x + 18, cuja imagem é igual a 63, tem o elemento do 
domínio igual a:
a) 15.
b) 12.
c) 10.
d) 8.
e) 5.
Resposta
Solução:
Por “imagem”, entendemos que 63 se trata do valor 
assumido pela variável dependente, 𝑦 = f(𝑥).
f(𝑥) = 3𝑥 + 18
63 = 3𝑥 + 18
3𝑥 + 18 = 63
3𝑥 = 63 ⎯ 18
3𝑥 = 45
𝑥 = 15
Exemplo: a administração de um condomínio estabeleceu um critério para cobrar pelo aluguel 
do salão de festas. Para cada locação, o condômino deve pagar 10% do salário-mínimo 
brasileiro vigente. Se chamarmos de p o preço da locação do salão e de s o valor do 
salário-mínimo, qual é a lei matemática que associa as variáveis deste contexto?
Funções afim – Função de 1º grau (tipo linear)
 Nessa situação, temos uma Lei da Função Linear, no formato 
f(𝑥) = a𝑥, com a ≠ 0 e b = 0.
 A função linear também é uma função de 1º grau. É, apenas, 
um caso particular onde, necessariamente, b = 0.
p = 0,1 s
Solução:
O preço de locação p depende do salário-mínimo vigente s. Aplicando 10%, temos:
Exemplo: uma pizzaria utiliza o sistema de rodízio, onde cada cliente paga o equivalente a 
R$ 65,00 e pode comer à vontade, com bebidas e sobremesas incluídas. Se 𝑥 representa a 
quantidade de pizza consumida por um cliente, em kg, determine a Lei da Função que 
descreve o preço pago por cliente nesta pizzaria, assim como o preço pago por um cliente que 
consumiu 0,2 kg de pizza.
Funções afim – Função constante
 Nessa situação, temos uma Lei da Função constante, no 
formato f(𝑥) = b, com a = 0.
Solução:
A variável 𝑥 vai variar de acordo 
com o consumo. No entanto, o 
preço pago se manterá constante.
f(𝑥) = 65
f(0,2) = R$ 65
 O coeficiente angular a é o responsável pelo ângulo formado entre o gráfico da função e o 
eixo das abscissas.
Funções afim – Estudo dos coeficientes (coeficiente angular)
Fonte: autoria própria.
 Para a > 0: a função é crescente.
 Para a < 0: a função é decrescente.
 Para a = 0: a função é constante.
 O coeficiente linear b determina o ponto no qual a curva da função intersecta o eixo das 
ordenadas. Esta interseção ocorre no ponto (0, b).
Funções afim – Estudo dos coeficientes (coeficiente angular)
Fonte: autoria própria.
 Vemos os gráficos de funções que possuem diferentes 
coeficientes angulares, mas o mesmo coeficiente linear. 
 O cruzamento com o eixo vertical sempre ocorre no ponto 
onde 𝑦 = b.
Denomina-se de raiz da função afim o valor de x para o qual a função de formato f(x) = ax + b é 
nula, ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0. A raiz representa a interseção entre a reta da 
função e o eixo horizontal. Seja f uma função afim definida pela lei de formação f(x) = 5x + 3, 
determine a sua raiz:
a) 0,1.
b) 0,3.
c) 0,6.
d) ⎯ 0,3.
e) ⎯ 0,6.
Interatividade
Denomina-se de raiz da função afim o valor de x para o qual a função de formato f(x) = ax + b é 
nula, ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0. A raiz representa a interseção entre a reta da 
função e o eixo horizontal. Seja f uma função afim definida pela lei de formação f(x) = 5x + 3, 
determine a sua raiz:
a) 0,1.
b) 0,3.
c) 0,6.
d) ⎯ 0,3.
e) ⎯ 0,6.
Resposta
Solução:
Vamos zerar o valor da função e isolar 𝑥:
5𝑥 + 3 = 0
5𝑥 = ⎯3
𝑥 = ⎯0,6
Alternativamente, pode-se utilizar a seguinte fórmula, onde
𝑥’ representa a raiz da função, e a e b são os coeficientes:
 Uma função f: ℝ → ℝ é denominada de função quadrática ou função polinomial de 2º grau
quando a sua lei pode ser expressa no seguinte formato, com a ∈ ℝ*, b ∈ ℝ e c ∈ ℝ:
 Temos a, b e c como coeficientes, 𝑥 como uma variável independente e 𝑦 =f(𝑥) como uma 
variável dependente.
 Qualquer função que descreve uma parábola, no plano cartesiano, é uma função quadrática.
Função quadrática – Introdução
Fonte: autoria própria.
f(𝑥) = a𝑥2 + b𝑥 + c
 O coeficiente a sempre acompanha a variável 𝑥
elevada ao quadrado.
 O coeficiente b acompanha a variável 𝑥.
 O coeficiente c é um termo independente.
 O sinal do coeficiente a é responsável pela concavidade da parábola.
Função quadrática – Estudo dos coeficientes
Fonte: autoria própria.
 Para a > 0: a concavidade é voltada para cima. Temos um 
ponto mínimo, que representa o seu vértice. Para a < 0: a concavidade é voltada para baixo. Temos um 
ponto máximo, que representa o seu vértice.
 O coeficiente c determina o ponto no qual a parábola intersecta o eixo das ordenadas. Esta 
interseção ocorre no ponto (0, c).
Função quadrática – Estudo dos coeficientes
Fonte: autoria própria.
 O coeficiente c não é capaz de alterar a abertura ou a 
concavidade da parábola (estes papéis são do coeficiente a).
 Denominam-se de raízes da função quadrática os valores de 𝑥 para os quais a função é nula, 
ou seja, os valores de 𝑥 para os quais f(𝑥) = 0. 
 As raízes 𝑥’ e 𝑥’’ representam os pontos de interseção entre a parábola e o eixo horizontal. 
Função quadrática – Raízes da função
 Qualquer formato de função quadrática pode ter as suas 
raízes encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara.
 Além deste, existem outros métodos para encontrar as raízes. 
 O valor do determinante Δ traz informações sobre as raízes da função. 
Função quadrática – Estudo do determinante
Fonte: autoria própria.
 Para Δ > 0: a função tem duas raízes reais distintas.
 Para Δ = 0: a função tem duas raízes reais iguais.
 Para Δ < 0: a função não tem raízes reais.
(Adaptado de: Vunesp – 2018) Uma pequena fábrica produz, pelo menos, 4 canetas por dia. 
O custo y (em reais) para a produção de um número x de canetas é dado pela equação
y = –x2 + 10x + 20. Certo dia, o custo de produção das canetas foi de R$ 36,00. O número de 
canetas produzidas, nesse dia, é igual a:
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
Interatividade
(Adaptado de: Vunesp – 2018) Uma pequena fábrica produz, pelo menos, 4 canetas por dia. 
O custo y (em reais) para a produção de um número x de canetas é dado pela equação
y = –x2 + 10x + 20. Certo dia, o custo de produção das canetas foi de R$ 36,00. O número de 
canetas produzidas, nesse dia, é igual a:
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
Resposta
Solução:
𝑦 = 36Certo dia, o custo foi de R$ 36,00
–𝑥2 + 10𝑥 + 20 = 36
–𝑥2 + 10𝑥 + 20 – 36 = 0
Raízes são os valores que
fazem com que 𝑦 = 0. Assim:
–𝑥2 + 10𝑥 – 16 = 0
𝑥: número de canetas produzidas por dia
𝑦: custo para produzir 𝑥 canetas
a = –1 b = 10 c = –16
∆ = b2 – 4ac
∆ = (10)2 – 4(–1)(–16) = 36
𝑥’ = 2 𝑥’’ = 8
 Podemos calcular as coordenadas do vértice V de uma função quadrática, por meio das 
relações mostradas a seguir: 𝑥v é a coordenada horizontal e 𝑦v é a coordenada vertical.
Função quadrática – Coordenadas do vértice da parábola 
Fonte: autoria própria.
O vértice é um ponto no plano cartesiano representado pelo 
par ordenado:
Exemplo: encontre as coordenadas do vértice da função f(𝑥) = –𝑥2 + 4𝑥 + 5.
Função quadrática – Introdução
Fonte: autoria própria.
 O vértice representa o ponto máximo da função, pois a < 0.
∆ = b2 – 4acSolução: = (4)2 – 4(–1)(5) = 16 + 20 = 36
= 2
= 9
a = –1
b = 4
c = 5
V (2, 9)
(Fumarc/2018) A água lançada obliquamente para cima, por um chafariz, é uma curva que se 
assemelha ao gráfico de uma função quadrática. Sabendo disso, um arquiteto projetou o 
chafariz da praça de sua cidade de tal forma, que a trajetória da água lançada, descrevesse 
uma parábola cuja equação pode ser dada pela função a seguir, sendo h a altura, em 
decímetros, do jato de água, e x, a distância horizontal até o chafariz, em decímetros. A altura 
máxima, em decímetros, que esse jato de água atinge é:
Interatividade
a) 2,0.
b) 4,0.
c) 8,1.
d) 9,0.
e) 12,1.
(Fumarc/2018) A água lançada obliquamente para cima, por um chafariz, é uma curva que se 
assemelha ao gráfico de uma função quadrática. Sabendo disso, um arquiteto projetou o 
chafariz da praça de sua cidade de tal forma, que a trajetória da água lançada, descrevesse 
uma parábola cuja equação pode ser dada pela função a seguir, sendo h a altura, em 
decímetros, do jato de água, e x, a distância horizontal até o chafariz, em decímetros. A altura 
máxima, em decímetros, que esse jato de água atinge é:
Resposta
a) 2,0.
b) 4,0.
c) 8,1.
d) 9,0.
e) 12,1.
hmáx = yV
∆ = b2 – 4ac
∆ = 182 – 4(–1)(40)
∆ = 324 +160
∆ = 484
 DANTE, L. R.; VIANA, F. Matemática: contexto & aplicações – Volume único. 
São Paulo: Ática, 2018.
 MARGUTI, A. L.; CHIEREGATTI, B. G.; LIMA, J. S. B. (Coord.) Minimanual de Matemática: 
Enem, vestibulares e concursos. São Paulo: Rideel, 2017.
 OLIVEIRA, C. A. M. Matemática [livro eletrônico]. Curitiba: InterSaberes, 2016.
 ROCHA, A.; MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P. Tópicos de Matemática Aplicada 
[livro eletrônico]. Curitiba: InterSaberes, 2013.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!