Matematica Slides de Aula Unidade II

Prévia do material em texto

Unidade II
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Prof. Marcelo Seita
Funções
 Interdependência e variabilidade.
 Relacionamento entre variáveis.
 Interpretação de tabelas e gráficos.
 Variáveis.
Funções
x
y
y
x
t (horas) P (Km)
0 0
1 70
2 140
3 210
 Representações: f(x)
𝑝 = 2𝑡
Simetrias
 Translação
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
Simetrias
 Reflexão
A
B C
A’
C’ B’
Simetrias
 Rotação
A
B C
D
A’
B’
C’
D’
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Exemplo:
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏
Raiz: 0,5
Funções lineares: b=0 ex.: f(x) = 2x
Função afim
x f(x)
0 -1
1 1
2 3
3 5
Função afim
 Função afim constante
x
y
4
21 3 4
Função afim
y = x e y = -x
x
y
Função afim
y = x+1
x
y
Função afim
 Variação do sinal da função
Fonte: livro-texto
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟐
Função afim
 Variação do sinal da função
𝒇 𝒙 = −𝟏𝒙 + 𝟏
Fonte: livro-texto
Interatividade
Sobre a função, é possível afirmar:
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙 + 𝟏
a) É crescente e a raiz é -1.
b) É decrescente e a raiz é 0,5.
c) É decrescente e a raiz é -2.
d) É crescente e a raiz é -2.
e) É crescente e a raiz é 2.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝒙𝟐 + 𝑏𝑥 + 𝒄
Exemplo:
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒
𝒇 𝒙 = 𝟏𝒙𝟐 + 𝟎𝒙 − 𝟗
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟗
Função quadrática
7
0
-5
-8
-9
-8
-5
0
7
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Fonte: o autor
Raízes:
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟗
𝒙 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
Sendo ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
Temos:
𝒙𝟏 = +𝟑 e 𝒙𝟐 = −𝟑
Função quadrática
7
0
-5
-8
-9
-8
-5
0
7
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Fonte: o autor
𝒙 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
Função quadrática
𝑺𝒆 ∆= 𝟎
Fonte: livro-texto
𝒙 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
Função quadrática
𝑺𝒆 ∆> 𝟎
Fonte: livro-texto
𝒙 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
Função quadrática
𝑺𝒆 ∆< 𝟎
Fonte: livro-texto
Determinação do vértice
𝐕 =
−𝐛
𝟐𝐚
,
−∆
𝟒𝐚
Exemplo
𝐟 𝐱 = 𝐱𝟐 − 𝟗
a = 1 b = 0 c = -9
𝐕 = 𝟎,−𝟗
Função quadrática
7
0
-5
-8
-9
-8
-5
0
7
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Fonte: livro-texto
Interatividade
Sobre as funções abaixo, é possível afirmar:
𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝟏
𝒛 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒
a) f(x) é crescente e z(x) não possui raízes reais.
b) f(x) é decrescente e z(x) possui duas raízes reais distintas.
c) f(x) é decrescente e z(x) possui duas raízes reais e iguais.
d) f(x) é decrescente e z(x) não possui raízes reais.
e) f(x) é crescente e z(x) possui duas raízes reais e iguais.
𝑓 𝑥 = 𝒂𝒙
Exemplo: 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙
Função exponencial
Fonte: o autor
0
5
10
15
20
25
30
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.5x
𝑓 𝑥 = 𝒂𝒙
Exemplo: 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙
Função exponencial
Fonte: o autor
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
200000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Função exponencial
 Propriedades
𝒂𝒙𝒂𝒚 = 𝒂(𝒙+𝒚)
𝒂𝒙
𝒂𝒚
= 𝒂(𝒙−𝒚)
(𝒂𝒙)𝒚 = 𝒂𝒙𝒚
Função exponencial
 Propriedades
(𝒂𝒃)𝒙= 𝒂𝒙𝒃𝒙
𝒂
𝒃
𝒙
=
𝒂𝒙
𝒃𝒙
𝒂−𝒙 =
𝟏
𝒂
𝒙
Número de Euler
𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖
lim
𝑛→𝟎
1 + 𝒏
𝟏
𝒏
1 + 𝟏
𝟏
𝟏 = 𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎
1 +
𝟏
𝟔𝟒
𝟏
𝟏
𝟔𝟒 = 𝟐, 𝟔𝟗𝟕𝟑
1 +
𝟏
𝟒𝟎𝟗𝟔
𝟏
𝟏
𝟒𝟎𝟗𝟔 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟎
2,0000
2,1000
2,2000
2,3000
2,4000
2,5000
2,6000
2,7000
2,8000
Fonte: o autor
Equações exponenciais
𝟑𝒙 = 𝟏 → 𝒙 = 𝟎
𝟒𝒙 − 𝟔. 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
(𝟐𝟐)𝒙 − 𝟔. 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
𝟐𝟐𝒙 − 𝟔. 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
Equações exponenciais
𝟐𝟐𝒙 − 𝟔. 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
Fazendo 𝟐𝒙 = 𝒕, temos:
𝒕𝟐 − 𝟔𝒕 + 𝟖 = 𝟎
𝒕𝟏 = 𝟒 e 𝒕𝟐 =2
Então:
𝟐𝒙 = 𝟒 𝒆 𝟐𝒙 = 𝟐
Logo
𝒙𝟏 = 𝟐 𝒆 𝒙𝟐 = 𝟏
Interatividade
Resolva a equação:
𝟏𝟐𝟓𝒙 = 𝟔𝟐𝟓
a) 𝒙 =
𝟑
𝟒
b) 𝒙 = 𝟓
c) 𝒙 = 𝟒
d) 𝒙 = 𝟑
e) 𝒙 =
𝟒
𝟑
Logaritmos
𝟐𝟏 = 𝟐𝒙 → 𝒙 = 𝟏
progressão geométrica
progressão aritmética
𝟏𝟔 = 𝟐𝟒 → log𝟐 𝟏𝟔 = 𝟒
2 4 816 ...
1 2 3 4 ...
2 2 2 2
Logaritmos
log𝒂 𝒃 = 𝒙
log𝟏
𝟒
𝟑𝟐 →
𝟏
𝟒
𝒙
= 𝟑𝟐
𝟒−𝟏
𝒙
= 𝟑𝟐
𝟐−𝟐
𝒙
= 𝟑𝟐
𝟐−𝟐𝒙 = 𝟐𝟓 → 𝒙 = −𝟐, 𝟓
Base
Logaritmando
Logaritmo
ln 𝒆 = 𝟏
log𝒆 𝒆
log 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐
log𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟐 = 𝟐
Logaritmos
 Propriedades
Divisão: log𝟐
𝟔𝟒
𝟒
= log2 𝟔𝟒 − log𝟐 𝟒
4 6 2= -
log𝒄
𝒂
𝒃
= log𝒄 𝒂 − log𝑐 𝒃
Logaritmos
 Propriedades
Produto: 
log𝟐 𝟖. 𝟖 = log𝟐 𝟖 + log𝟐 𝟖
log𝟐 𝟒. 𝟏𝟔 = log𝟐 𝟒 + log𝟐 𝟏𝟔
log𝟐 𝟑𝟐. 𝟐 = log𝟐 𝟑𝟐 + log𝟐 𝟐
log𝟐 𝟔𝟒
6 3 3= +
6 2 4= +
6 5 1= +
log𝒄 𝒂. 𝒃 = log𝒄 𝒂 + log𝑐 𝒃
Logaritmos
 Propriedades:
Potência: 
log𝟐 𝟒
𝟑 = log2 𝟒. 𝟒. 𝟒
log𝟐 𝟒
𝟑 = log2 𝟒 + log𝟐 𝟒 + log𝟐 𝟒
log𝟐 𝟒
𝟑 = 𝟑. log2 𝟒
log𝒄 𝒂
𝒃 = 𝒃. log𝑐 𝒂
Logaritmos
 Mudança de base
log𝟖𝟏 𝟗 =
log𝟑 𝟗
log3 𝟖𝟏
=
𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟐
log𝒃 𝒂 =
log𝒄 𝒂
log𝒄 𝒃
Função logarítmica
𝐟 𝐱 = log𝒂 𝒙 com 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒂 > 𝟎
Exemplo: 𝐟 𝐱 = log𝒂 𝒙
Quando a>1, temos:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a=2
Função logarítmica
𝐟 𝐱 = log𝒂 𝒙 com 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒂 > 𝟎
Exemplo: 𝐟 𝐱 = log𝒂 𝒙
Quando 0<a<1, temos: 
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a=0,5
Equação logarítmica
Exemplos:
log𝟐 𝟑𝒙 + 𝟏 =𝟒
𝟐𝟒 = (𝟑𝒙 + 𝟏)
𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟏𝟔
𝒙 = 5
log𝒙 𝟏𝟔 = 𝟐
𝒙𝟐 = 𝟏𝟔
𝒙 = ±𝟒
Interatividade
Resolva a equação:
log𝟐 𝒙 + log𝟒 𝒙 + log16 𝒙 = 𝟕
a) x = 16.
b) x = 25.
c) x = 9.
d) x = 10.
e) x = 7.
ATÉ A PRÓXIMA!